Aritmética para todos

Indice 

Aritmética Para Todos ………………..2 i: Salutaciones……………………………..3 i2: Debes Saber……………………………4 I3: ¿Qué es la Aritmética?........................5

5.4: Algoritmos en la División………….57 5.5 División de números………………..58 Rincón de Historia………………………60 Ejercicios…………………………………62

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Unidad 1: Teoría de Conjuntos ……...6  1.1: Definición y Representación de Conjuntos………………………………………8 1.2: Extensión y Comprensión…………..8 1.3: Subconjuntos…………………………9 1.4: Tipos de Conjuntos………………...10 1.5: Conjuntos Numéricos……………...11 1.6: Unión e Intersección……………….13 Rincón de Historia………………………14 Ejercicios…………………………………16



Unidad 2: Adición……………………..17 2.1: ¿Qué es la Suma o Adición?............20 2.2: Origen de la Suma………………….20 2.3: Propiedades de la Suma…………...21 2.4: Suma de decimales…………………22 Rincón de Historia……………………...23 Ejercicios…………………………………24

Unidad 6: Potenciación ………………64 6.1: Concepto de Potencia……………..66 6.2: Exponente Entero………………….66 6.3: Multiplicación de Potencias de Igual Base……………………………………….67 6.4: Potencia de una potencia………….68 6.5: Potencia de un producto………….68 6.6: División de Potencias de Igual Base………………………………………….69 6.7: Potencia de un Cociente…………..70 6.8: Propiedades que no cumple la Potenciación…………………………………….70 6.9: Notación Científica………………...71 6.10: Operaciones con Notación Científica…………………………………………..72 Rincón de Historia………………………74 Ejercicios…………………………………76

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Unida 3: Sustracción ………………...28 3.1: ¿Qué es la Resta o Sustracción?....30 3.2: La resta como inversa de la suma..32 3.3: Propiedades…………………………33 Rincón de Historia……………………...34 Ejercicios…………………………………36

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Unidad 4: Multiplicación …………….38 4.1: Multiplicación……………………….40 4.2: Origen ………………………………40 4.3: Notación de la Multiplicación…….41 4.4: Definición…………………………...42 4.5: Objetivo de la Multiplicación……..43  4.6: Propiedades…………………………44 4.7: Producto de números negativos…..46 4.8: Relación Producto-Multiplicado…..46 4.9: Multiplicación de la unidad seguida por ceros…………………………………47 4.10: Número de cifras del producto….48 4.11: Producto Continuado…………….48 Rincón de Historia……………………...49 Ejercicios…………………………………51



Unidad 5: División…………………….53 5.1: Definición de División……………..55 5.2: Notación…………………………….56 5.3: Propiedades…………………………56

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Unidad 7: Radicación………………...78 7.1: ¿Qué es la Radicación?...................80 7.2: Términos de la Radicación………...80 7.3: Representación……………………..81 7.4: Clases de raíces más utilizadas…...81 7.5: Propiedades de la Radicación……..82 7.6: Suma y Resta de radicales………………………………………....84 7.7: Multiplicación y División de radicales………………………………………….84 Rincón de Historia………………………85 Ejercicios…………………………………86 Unidad 8: Números Racionales ……88 8.1: Introducción a los Números Racionales…………………………………………90 8.2: Concepto de Números Racionales.90 8.3: Propiedades de los Números Racionales………………………………………91 8.4: Ejemplos de Números Racionales..93 8.5: Simplificar…………………………..93 8.6: Suma y Resta de Números Racionales………………………………………...94 8.7: Multiplicación de racionales……...96 8.8: División de Racionales…………….96 8.9: Fracciones Propias, Impropias y Mixtas…………………………………………96

Indice 8.10: Conversión de fracciones impropias a números mixtos y viceversa…………………...97 8.11: Fracción Generatriz……………………...97 Rincón de Historia……………………………..99 Ejercicios……………………………………...101 

Créditos……………………………………..104

INTRODUCCIĂ“N

AritmĂŠtica Para Todos Salutaciones y un breve recorrido por nuestros objetivos y secciones. Daremos a conocer algunas nociones que deben ser conocidas de antemano.

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Aritmética Para Todos

Introducción i

i: Salutaciones Bienvenidos a “ A ritmética Para Todos ” , un libro creado por estudiantes para estudiantes. Nuestra misión es mostrar la Aritmética a los estudiantes de una manera creativa e interactiva, con datos importantes para promover el interés por los alumnos hacia la Aritmética, al mismo tiempo que exploramos este maravilloso universo de una manera fácil y divertida, con un lenguaje sencillo y sin rodeos, para que pueda ser comprensible para todos.

Aritmética Para Todos consta de 8 unidades, las cuales serán un viaje por la Teoría de Conjuntos, Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación, Radicación y Números Racionales, al tiempo que desenterramos poco a poco la historia de la Aritmética y cómo ha estado fuertemente ligada al desarrollo de la humanidad.

Una de las secciones más interesantes es el Rincón de Historia. En este espacio estaremos conociendo más sobre el origen de la matemática moderna, de la mano de personajes como Aristóteles, John Venn y Ada

Lovelace.

También

encontraremos

pequeños

espacios

titulados

¿Sabías

Qué?,

donde

estaremos al tanto de datos divertidos e interesantes sobre la Aritmética a medida que avanzamos por los temas. La sección “ Ejercicios ” está fuertemente basada e inspirada en la aplicación directa de los temas ya tratados. También está enfocada en desarrollar el razonamiento lógico en los estudiantes, de modo que para encontrar una respuesta a una pregunta dada, haya que encontrar una respuesta lógica.

Las actividades de este libro están recomendadas para ser desarrolladas en el cuaderno o libreta.

Aritmética para todos se enfoca en los puntos donde los estudiantes necesitan más apoyo y va desde lo más sencillo hasta lo más complejo, en un entorno amigable para el lector. Con este libro, nuestro objetivo principal es mostrar el lado divertido de las matemáticas al mismo tiempo que aprenden.

Aritmética Para Todos estudiará temas variados, desde la teoría de las operaciones aritméticas, hasta la aplicación en el mundo real. Aritmética Para Todos no sólo esta dirigida a los estudiantes, sino que cualquiera que esté interesado en conocer este universo lo puede hacer porque, como dice el título, ésta Aritmética es una Aritmética Para Todos.

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Aritmética Para Todos

Introducción i

i.2: Debes Saber...

En el transcurso del libro estaremos viendo diversos conceptos, los cuales son vitales para la total comprensión de los contenidos. Estos conceptos, nos acompañarán en definiciones, ejercicios y razonamientos. 

Números Positivos y Negativos

En la primera unidad, Teoría de Conjuntos, aprenderemos que los números están tradicionalmente divididos en positivos y negativos, organizados en una gráfica llamada “ Recta Numérica ” , la cual tiene números en ambos extremos, con el número cero en su punto céntrico. Los números a la izquierda son los números negativos, representados con el símbolo negativo ( - ) y tienen valor opuesto a los positivos, los cuales son los que se encuentran a la derecha representado con el símbolo positivo ( + ) aunque comúnmente se suele omitir este signo, ya que cuando está omitido ( o

tácito )

sobreentiende que el número es positivo y que no hay necesidad de remarcarlo. Aquí un ejemplo de

-12 -11-10 -9 -8 - 7 -6 -5 -4 -6 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 - x= Números Negativos 

+ x= Números Positivos

Valor Absoluto

Luego de aprender qué es un número positivo y qué es un número negativo, podemos hablar de Valor Absoluto. Definimos como Valor Absoluto al valor numérico sin tener en cuenta si el número es positivo o negativo. En la recta numérica que vimos anteriormente, el valor numérico seria la distancia que hay entre un número y el cero. Para representar el valor absoluto, debemos encerrar dicho número entre barras ( │ -4│= 4, y se lee de la manera “ El valor absoluto de - 4 es igual a 4 ) tal si practicamos un poco.

Determinar los valores absolutos de :│ 654│ ; │ -100│ ; │ -∞│ ; │24│ ; │-15│

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Sencillo, ¿no? Qué

se

Aritmética Para Todos

Introducción i

Números opuestos



Cada número tiene su opuesto, el cual es aquel número que se encuentra al otro extremo de la recta numérica. Si por ejemplo tenemos el número 8, su opuesto sería -8, el cual sería un sinónimo de antípoda, es decir, al extremo opuesto.

Ahora que sabemos algunos de los conceptos mencionados en este libro, ¿Quieres saber qué es la Aritmética?

i.3: ¿Qué es la Aritmética?

La Aritmética es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las estructuras numéricas elementales, así como las propiedades de las operaciones y los números en sí mismos en su concepto más profundo, construyendo lo que se conoce como teoría de números.

La aritmética estudia los números y las operaciones hechas con ellos: suma, resta, multiplicación división.

Existen cuatro operaciones fundamentales en la aritmética: adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división. Éstas son las bases para desarrollar todas las demás operaciones, como elevación a potencias , extracción de raíces, y fracciones o números racionales .

Para ti es más sencillo encontrar la aritmética dentro de tu vida diaria cuando:



Vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular por medio de una resta, el cambio que dará el vendedor.



Cuando estas a punto de a abordar el autobús y cuentas rápidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor del pasaje.

Se piensa que la Aritmética nace con la necesidad de contar los objetos y animales que el ser humano primitivo poseía. Ahora bien, ¿estás listo ( a ) para comenzar?

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UNIDAD 1

Teoría de Conjuntos

6

En esta unidad:

1. Definición y Representación de Conjuntos 2. Extensión y Comprensión 3. Subconjuntos 4. Tipos de Conjuntos 5. Conjuntos Numéricos 6. Unión e Intersección 7. Rincón de Historia 8. Ejercicios

Un Conjunto Singular: Las Razas Humanas En antropología, razas humanas se refiere a los grupos en que se subdividen los seres humanos de acuerdo con diversos sistemas de clasificación usados especialmente entre el siglo XVIII y mediados del XX. Tales sistemas han variado según la época y contexto, y la rama que se encarga de su estudio ha sido la antropología física basándose mayoritariamente en aspectos físicos visibles como el color de la piel, características del cabello, forma del cráneo, etc. La agrupación en razas humanas no está exenta de polémicas que cuestionan su uso; incluso los antropólogos especialistas no se han puesto de acuerdo con la existencia misma de las razas humanas, pues muchos sostienen que la especie humana no tiene razas. El racismo ha sesgado los estudios históricos y ha usado conclusiones pseudocientíficas para el enfrentamiento o discriminación de los grupos humanos diferentes al suyo y para prevalencia de los grupos mayoritarios o de poder, produciéndose en el siglo XX los mayores genocidios étnicos que se registran en la historia de la humanidad. No es de extrañar que la clasificación de los seres humanos haya tenido en la actualidad un gran declive, y que muchas veces sea tratada como tema tabú.

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Teoría de Conjuntos

Unidad 1

1.1: Definición y Representación de Conjuntos Un conjunto se define como una reunión de objetos. Cada uno de éstos ( los objetos ) recibe el nombre de “ elementos del conjunto ” . ¿Cómo se representan?

Se representan con letras mayúsculas los conjuntos y con letras minúsculas los elementos de los conjuntos. Se escribe a ∈ A para expresar que el elemento a es del conjunto A, y diremos que a pertenece a A, y escribiremos a ∉ A para expresar que el elemento a no es del conjunto A, o A no contiene a, y diremos que a no pertenece a A.

1.2: Extensión y Comprensión Un conjunto debe determinarse de una de las dos formas siguientes: por extensión o por comprensión.

Un conjunto está determinado por extensión cuando se enumeran todos y cada uno de los elementos.

Así, agruparemos todos los elementos del conjunto entre llaves, o bien podremos representarlo gráficamente mediante diagramas de Venn, donde todos los elementos se representan mediante puntos encerrados en una curva plana cerrada. Por ejemplo, un conjunto determinado por extensión sería: A= { a, e, i, o, u } , que quedará representado gráficamente por el diagrama de Venn de la siguiente figura:

Representa los siguientes conjuntos:

a,

o,

e,

u

A={1,2,3,4,5} B=

i

{m,n,o,p,q,k}

C= {1,2,5,o,n,q} ¿Qué conjunto es subconjunto de cuál?

A= { a, e, i, o, u }

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Teoría de Conjuntos

Unidad 1

Decimos que un conjunto está determinado por comprensión cuando se expresa una o más propiedades que verifican todos sus elementos y sólo ellos. Éstas, al igual que en el caso de extensión se escriben entre llaves. Mientras que un conjunto de extensión solo puede ser expresado de una única manera, podría haber varias maneras de determinarlo por comprensión. Así, por ejemplo, el conjunto A= { 1 , 2, 3 } puede determinarse de muchas otras formas, como: A= { x ∈ ℕ/ 0 < x < 4 } , A= { x ∈ ℕ/ 0 < x 2 < 10 } , etc.

Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Así, A= B si, y sólo si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A. En caso contrario, escribiremos A ≠ B. Definimos cardinal de un conjunto A finito, como el número de elementos de A, y lo denotaremos card A. Por ejemplo, card ∅= 0, es decir, el conjunto vacío, que se representa por ∅, es aquel que no dispone de ningún elemento. También podemos decir que, siendo A y B dos conjuntos finitos, A= B ⇒ card A = card B, aunque la implicación contraria sería falsa.

1.3: Subconjuntos

Decimos que un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si, y sólo si, todo elemento de A es también de B, o A está incluido en B; y escribiremos: A ⊂ B. En caso contrario, se escribe: A ⊄ B. Podemos decir que cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo, y que el conjunto vacío ∅ es un subconjunto de cualquier conjunto. Así, decimos que dado un conjunto cualquiera, sus subconjuntos impropios son él mismo y el conjunto vacío. Mientras que los subconjuntos propios de un conjunto son todos sus subconjuntos no propios, es decir, A es un subconjunto propio de B siempre que A ⊂ B, A ≠ B y A ≠ ∅.

Siendo A y B dos conjuntos finitos es obvio que: A ⊂ B ⇒ card A ≤ card B. Haciendo uso de la relación de inclusión, podemos decir que dos conjuntos A y B son iguales si, y sólo si A ⊂ B y B ⊂ A.

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Teoría de Conjuntos

Unidad 1

1.4: Tipos de Conjuntos Conjunto universal Llamamos conjunto universal o referencial a aquel conjunto que contiene todos los elementos de todos los conjuntos con los que trabajemos en ese momento. Así, por ejemplo, si trabajamos con un dado, el conjunto universal sería el formado por todos los resultados posibles, los cuales serán: { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 } .

Conjunto vacío Es el conjunto que carece de elementos. Este conjunto se denotará por el número 0. Un conjunto vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria, por ejemplo: Sea A = { x / x2 = 4 Ù x es impar } .

Conjunto complementario Dado un conjunto universal U y uno de sus subconjuntos A, definimos el conjunto complementario de A con respecto a U, como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a U pero no a A; y lo denotaremos por U∖A. Así pues, U/A= { x ∈ U/ x ∉ A } .

¿Sabías Qué? La contribución de los romanos a las Matemáticas estuvo limitada a varias nociones de Agrimensura, surgidas de la necesidad de medir y fijar las fronteras del vasto imperio. No obstante, la huella romana se observa todavía hoy a través de su numeración, que ha sido fijada por el uso, en los capítulos de los libros; en la sucesión de los reyes; en la notación de los siglos; y, especialmente, en las inscripciones históricas.

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Teoría de Conjuntos

Unidad 1

1.5: Conjuntos Numéricos 1 ) N = Conjunto de los Números Naturales N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

}

El conjunto de los Números Naturales nació de la necesidad de contar, lo cual se revela en el ser humano desde sus orígenes.

Este conjunto se caracteriza porque: Tiene un número ilimitado de elementos

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno ( +1 ) ; el antecesor se obtiene restando uno ( -1) .

2 ) N ’ = N0 = Conjunto de los Números Cardinales N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

}

Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 ( cero ) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

3) Z Z=

= Conjunto de los Números Enteros {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción o resta, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5-20 = ¿? ). Debido a esto, la recta numérica se amplía hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

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Teoría de Conjuntos

Unidad 1

4 ) Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos Z = Tiene 3 Subconjuntos: Enteros Negativos: Z

¯

Enteros Positivos: Z + Enteros Positivos y el Cero: Z

0+

Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

Z = Z ¯ U {0 } U Z + 5 ) Q = Conjunto de los Números Racionales Q = {

- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,

}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las restricciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para corregir esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.

El conjunto de los Números Racionales ( Q

) se ha construido a partir del conjunto

de los Números Enteros ( Z ) .

Se expresa por comprensión como: Q = { a / b tal que a y b

Z; y b

0}

5 ) I = Q* = Conjunto de Números Irracionales I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, Phi, etc .A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción.

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Teoría de Conjuntos

Unidad 1

No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos: 1,4142135...

0,10200300004000005...

1.6: Unión e Intersección Definimos la unión de dos conjuntos A y B como el conjunto construido por todos aquellos elementos que pertenezcan a A o a B, o ambos a la vez, y lo denotaremos por A ⋃. Así pues,

A ⋃ B= { x / x ∈ A o

x ∈ B } , donde al escribir “ o ” debemos interpretar “ y/o ” . Por ejemplo, si A= { a, b, c } , B= { c , d, e, f } , C= { e, f } , entonces: A ⋃ B= { a, b, c, d, e, f } , B ⋃ C= { c, d, e, f } y A ⋃ C= { a, b, c, e, f } .

Definimos la intersección de dos conjuntos A y B como el conjunto constituido por todos los elementos que pertenecen a la vez a A y a B, es decir, los elementos que A y B tienen en común, y lo denotaremos A ∩ B. Así pues, A ∩ B= { x /x ∈ A y x ∈ B } .

3 6 4 8 10

2

12 9 7

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¿Sabías Qué? Euclides, hacia el 300 A. C., demostró en sus “Elementos”, los teoremas básicos de la divisibilidad de los números enteros, lo que permite a Gauss en 1801, deducir el teorema fundamental de la Aritmética. Más tarde, alrededor de 1875, el matemático alemán Dedekind (1831- 1916), llevó a cabo la generalización de los caracteres de divisibilidad, extendiéndolos a los números racionales y a los ideales. ( o imaginarios).

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Teoría de Conjuntos

Unidad 1

Rincón de Historia Personaje: John Venn John Venn nació en 1834 en Hull, Yorkshire, Inglaterra. Su madre, Martha Sykes, venía de Swanland, cerca de Hull, y murió mientras John era aún un niño pequeño. Su padre era el reverendo Henry Venn, quien en la época en que nació John era el rector de la parroquia de Drypool, cerca de Hull. Henry Venn provenía de una familia distinguida. Su propio padre, el abuelo de John, el Reverendo John Venn, había sido rector de Clapham en el sur de Londres. Era el líder de la Secta Clapham, un grupo de cristianos evangélicos que se reunían en su iglesia y que promovían la reforma de la prisión y la abolición de la esclavitud y de los deportes crueles.

John Venn fue criado de forma estricta. Se esperaba que siguiera la tradición familiar como ministro cristiano. Luego de pasar un tiempo en la Escuela de Highgate, entró en el Colegio de Gonville y Caius, en Cambridge, en 1853. Se graduó en 1857 y pronto fue elegido profesor adjunto de la escuela. Fue ordenado diácono de Ely en 1858 y se volvió sacerdote en 1859. En 1862 regresó a Cambridge como profesor de ciencias morales.

El área de mayor interés para Venn era la lógica, y publicó tres textos sobre el tema. Escribió The Logic of Chance ( Lógica del Azar ) , que introdujo la teoría de frecuencia de la probabilidad, en 1866, Symbolic Logic ( Lógica Simbólica ) , que presentaba los diagramas de Venn, en 1881, y The Principles of Empirical Logic ( Los Principios de la Lógica Empírica ) , en 1889.

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Teoría de Conjuntos

Unidad 1

En 1883, Venn fue elegido miembro de la Royal Society. En 1897, escribió una historia de su colegio, llamada The Biographical History of Gonville and Caius College, 1349 - 1897. Comenzó una compilación de notas biográficas de alumnos de la Universidad de Cambridge, trabajo que continuó su hijo John Archibald Venn ( 1883-1958 ) , publicado como Alumni Cantabrigienses, ¡en 10 volúmenes!, entre 1922 y 1953.

Falleció en 1923, a la edad de 88 años, en Cambridge, y fue sepultado en el cercano cementerio de la Iglesia Trumpington.

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Teoría de Conjuntos

Unidad 1

Ejercicios 1. Responde:

1 ) Sean A, B, C, los siguientes conjuntos: A = { {1,3},

{2,4,6 }, { 8,9 } }

B = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 ,9 } C = { { 1 } , {3 }, {2 }, {4 },

{6 }, {8 }, {9 } }

- ¿Es correcto decir que A = B = C? Explique.

2. Dados los siguientes conjuntos: F: El conjunto de los números de cuatro cifras, donde dos al menos de dichas cifras son cero.

G: El conjunto de números de cuatro cifras, donde una al menos de dichas cifras es cero.

H: El conjunto de números de cuatro cifras, dos de las cuales son cero y las otras dos diferentes de cero. 

Determine todas las posibles relaciones de inclusión que se pueden establecer entre los conjuntos F, G y H.

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Teoría de Conjuntos

Unidad 1

3. Sea A = {0, 1, 2, 3} y B = {0, {0},3,5} Determine todos los subconjuntos de A. Determine todos los subconjuntos de B.

4. Resuelve 1.Si A es el conjunto de números de dos cifras tales que la primera cifra es mayor que la segunda y B el conjunto de números de dos cifras tales que la primera cifra es menor que la segunda, expresar A + B y A· B. 2. Suponga que el conjunto universal es el conjunto de los números enteros positivos. Defina S, E y M así: S: Conjunto de todos los enteros positivos menores o iguales a 6.

E: Conjunto de todos los enteros positivos pares.

M: Conjunto de todos los enteros positivos múltiplos de tres.

Investiga: ¿Cuáles otros métodos se utilizan para representar conjuntos?

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UNIDAD 2

Adici贸n

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En esta unidad: 1. ¿Qué es la Suma?

2. Origen de la Suma 3. Propiedades de la Suma 4. Suma de Números Decimales 5. Rincón de Historia 6. Ejercicios

Tecnología: Contar con los dedos, digitalmente.

Nuestro mundo avanza cada vez más rápido y la carrera por la tecnología aumenta de velocidad más y más también. Lo que hace unos veinte, quizás diez, años atrás nos parecían meras hipótesis o teorías, pueden ser posible e incluso estar al alcance de nuestros dedos, literalmente. Últimamente, ha sido lanzada en el iPad App Store una aplicación muy singular, “10 Dedos”.

Esta app sirve para que los niños aprendan a contar con sus dedos. Tiene 3 modalidades de juego diferentes. En la primera, tendrán que ir tocando un insecto verde muy entretenido, y entonces aparecerán en la pantalla una serie de dibujos, por ejemplo 5 mariquitas o 3 zanahorias, ¿qué tiene que hacer el pequeño? Pues tocar la pantalla con tantos dedos como dibujos haya. Entonces una voz en off infantil irá contando. Esta app está disponible en 9 idiomas diferentes, con lo que es ideal para que aprendan a contar en otros idiomas.La segunda opción de juego es para niños más grandes o avanzados. Al tocar el bicho en cuestión, nos aparecerá en la pantalla un número dibujado, y el niño tendrá que poner tantos dedos en la pantalla como indique el número. Cuando lo haga bien, la voz en off infantil irá contando del 1 hasta el número en cuestión.

La tercera opción es para súper campeones. ¡Tendrán que sumar!

Cuando toquemos el insecto, nos aparecerá un suma, la voz en off la leerá, y los niños tendrán que poner tantos dedos como corresponda.

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Adición

Unidad 2

2.1: ¿Qué es la suma?

La suma o adición es una operación elemental, que se simboliza con el signo ( + ) , el cual se combina con sencillez matemática de composición que reside en combinar o añadir dos o más números para conseguir una cantidad total. La suma también se define como el proceso de juntar dos colecciones de objetos con la finalidad de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno es la forma más simple de contar.

Científicamente, la suma es una operación aritmética delimitada sobre conjuntos de números ( n aturales, enteros, racionales, reales y complejos) , y también sobre estructuras asociadas a ellos.

2.2: Origen de la Suma El ser humano siempre ha necesitado de la habilidad de contar, y además, de reunir cantidades separadas, hecho que origino la suma. La primera operación aritmética que se conoció fue la suma. Para resolver esta operación siempre se recurría a elementos concretos, puesto que no se había llegado a un grado suficiente de abstracción matemática. En América, los incas, que alcanzaron un elevado nivel de cultura, practicaban la suma haciendo nudos en unas cuerdas de vivos colores que iban contando hasta formar el llamado quipo.

¿Sabías Qué? Conceptos de número en los pueblos primitivos (25,000- 5,000 A. C.). y

contar

fueron

las

primeras

actividades

matemáticas

del

hombre

primitivo.

Medir Haciendo

marcas en los troncos de los árboles lograban, estos primeros pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían; así surgió la Aritmética.

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Adición

Unidad 2

2.3: Propiedades de la Suma

La suma posee cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa, asociativa, distributiva y elemento neutro.

Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4 Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo: ( 2 +3 ) + 4= 2 + ( 3 +4 ) Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por ejemplo: 5 + 0 = 5.

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo: 4 * ( 6+3 ) = 4*6 + 4*3

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Aritmética Para Todos

Introducción i

2.4: Suma de Números Decimales Para sumar decimales hacemos el siguiente procedimiento:



Escribe un número debajo del otro, de tal manera que los puntos decimales del primer y del último

número queden alineados.

Suma cada columna comenzando por la de la derecha.

Ejemplo: Suma 3.2756 + 11.48 3.2756 + 11.4800 14.7556 Como sumar tres o más números decimales que tengan distinta cantidad de lugares decimales.



Escribe los números en una columna de tal manera que los puntos decimales queden alineados.

Suma cada columna comenzando por la de la derecha.

Ejemplo: Suma 23.143 + 3.2756 + 11.48 23.1430 + 03.2756 11.4800 37.8986

¿Sabías Qué? Ni los griegos, ni los romanos tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del sigloVIII (D.C.). Por eso, nuestras cifras se llaman indoarábigas.

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Adición

Unidad 2

Rincón de Historia La Máquina de Sumar de Leonardo Da Vinci.

Leonardo da Vinci (1452-1519 ) fue un genio universal, y el principal representante del Renacimiento ya que fue pintor, científico, ingeniero, inventor, anatomista, escultor, arquitecto, urbanista, botánico, músico, poeta, filósofo y escritor.

Éste combinó exitosamente el arte y la ciencia dejando aproximadamente 13,000 páginas de pasajes y dibujos detallados en donde presenta sus ideas, muchas de las cuales consideradas muy avanzadas para su tiempo.

Vislumbró máquinas como el helicóptero, el submarino y el automóvil, pero desdichadamente, la mayor parte de sus proyectos no se llevaron a cabo debido a que en su época no se contaba con los progresos técnicos necesarios para llevarlos a la realidad.

En el año 1967, se encontraron dos manuscritos inéditos del mismísimo Leonardo da Vinci, en los cuales describe una máquina de sumar. Este es el primer bosquejo conocido de un artefacto mecánico para calcular.

Reproducción hecha por Roberto Guatelli en 1968

23

Adición

Unidad 2

La máquina de Sumar de Burroughs Una máquina de sumar es un ejemplar de calculadora, generalmente especializada para los cálculos de contabilidad. El inventor William Seward Burroughs recibió una patente para su máquina sumadora el 21 de agosto de 1888. Así se creó la Burroughs Adding Machine Company, la cual evolucionó para producir máquinas electrónicas de facturación y mainframes, y eventualmente se fusionó con Sperry Corporation para formar Unisys.

Las máquinas sumadoras demandaban que el usuario tirase de una manivela para sumar números. Estos eran entrados al presionar teclas en un teclado numérico grande: por ejemplo, la cantidad

$30,72 era entrada utilizando las teclas que

correspondían a "$30", "70¢", y "2¢", y posteriormente se tiraba de la manivela Una máquina sumadora posterior, llamada el comptometer, no requirió de una manivela para sumar. Los números eran entrados simplemente pulsando teclas. Así, la máquina era operada solo por la energía de los dedos.

Algunas máquinas sumadoras eran electromecánicas, de estilo antiguo, pero manejadas por energía eléctrica.

Blaise Pascal y su Pascalina La pascalina fue la primera calculadora que operaba con el principio de ruedas y engranajes, creada en el 1642 por el filósofo y matemático francés Blaise Pascal ( 1623-1662 ) . El primer calificativo que le dio a su creación fue «máquina de aritmética». Luego la llamó «rueda pascalina», y finalmente «pascalina».

24

Adición

Unidad 2

En 1642, a los 19 años, Pascal concibió la idea de la pascalina con el fin de facilitar la tarea de su padre, que había sido nombrado superintendente de la Alta Normandía por el cardenal Richelieu, y que debía restaurar la organización de los ingresos fiscales de su provincia. Este invento hacía posible la suma y resta de dos números de manera directa y hacer la multiplicación y división por repetición.

La pascalina ocupaba algo menos que una caja de zapatos y era pequeña y alargada. Dentro, se situaban unas ruedas dentadas conectadas entre sí, constituyendo una cadena de transmisión, de forma que, cuando una rueda giraba totalmente sobre su eje, hacía avanzar un grado a la siguiente.

Las ruedas simbolizaban el «sistema decimal de numeración». Cada rueda constaba de diez pasos, para lo cual estaban marcadas con números del 9 al 0. El número total de ruedas era ocho. Así «se podían obtener números entre 0.01 y 999,999.99».

A través de una manivela se hacía girar las ruedas dentadas. Para sumar o restar sólo había que accionar la manivela en el sentido correcto, con lo que las ruedas corrían los pasos necesarios. Cuando una rueda se encontraba en el 9 y se sumaba 1, ésta avanzaba hasta la posición marcada por un cero.

En este punto, un garfio hacía avanzar un paso a la rueda siguiente. De esta manera se realizaba la operación de suma.

25

Adición

Ejercicios 1. Piensa y Responde: 1) En una vasija hay dos frutas y en la otra hay 7. ¿Cuántas frutas hay en total?

2)Tengo una caja que vacía pesa 3 Kilos. También tengo 12 Kilos de limones. ¿Cuántos Kilos pesará la caja con los limones dentro?

3) En un castillo hay trece meninas y veinte guardianes reales. ¿Cuántos son en total?

4) Carlos tiene 15 pesos y su tío le regala 45. ¿Cuántos pesos tiene ahora?

5)En un curso hay 10 niños de pelo negro. También hay 6 niños de pelo rubio, y 13 de pelo castaño. ¿Cuántos niños hay en el curso?

26

Unidad 2

Adición

Unidad 2

2. Suma 1.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)

265+32= 521+69= 1+65= 2365+658412= 12+3= 15+20= 65+987= 67+1= 0+65412= (3+4)+6= 4+6+6+4= 126+64= 897+36= 4587+98= 3+(6+6)+64= 165+654=

16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31)

15423+6544= 32+12= 98+456= 1568+98= 12+6= 45+98= 612+40= 1000+200= 360+15= 156+9856= 3354+874= 3.125+6.32= 15.3654+999.6= 6+65.32+3214.6548= 96+9871= 65.3+654=

Investiga: Dónde se descubrió el primer uso de la Suma como operación Aritmética?

27

UNIDAD 3

Sustracci贸n

28

En esta unidad:

1. ¿Qué es la Resta o Sustracción?

2. La Resta como inversa de la Suma 3. Resta de Números Racionales 4. Propiedades 5. Rincón de Historia 6. Ejercicios

Tendencia: El Minimalismo El término minimalista se refiere a cualquier cosa que haya sido reducida a lo básico, despojada de elementos sobrantes. Es una traducción del inglés minimalist, que significa minimista, o sea, que utiliza lo mínimo. Es la tendencia a reducir a lo esencial. Este significado queda más claro si se explica que minimalismo en realidad quiere decir minimismo.

El término «minimal» fue utilizado por primera vez por el filósofo británico Richard Wollheim en 1965, para referirse a las pinturas de Ad Reinhardt y a otros objetos de muy alto contenido intelectual pero de bajo contenido formal o de manufactura, como los «ready-made» de Marcel Duchamp. El término minimalismo también se utiliza para describir una tendencia en el diseño y la arquitectura, donde la estructura se reduce a sus elementos necesarios. El diseño minimalista ha sido muy influenciado por el diseño tradicional japonés y la arquitectura. Además, los trabajos de los artistas de De Stijl es una importante fuente de referencia para este tipo de trabajo. De Stijl ha ampliado las ideas que se podría expresar mediante el uso de elementos básicos tales como líneas y planos organizada de manera muy particular, como dice un dicho: “menos es más”.

29

Sustracción

Unidad 3

3.1: ¿Qué es la Resta o Sustracción?

La resta es una operación inversa de la suma que tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos ( minuendo ) y uno de ellos ( sustraendo ) hallar el otro sumando ( resta, exceso o diferencia ) .

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto.

El signo de la resta es ( - ) colocado entre el sustraendo y el minuendo.

En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto. Esto implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros Z, que incluye a los naturales. Esto también es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.

Siendo a el minuendo, b el sustraendo y d la diferencia, tendremos la notación; a- b=d.

De acuerdo con la definición de resta, la diferencia sumada con el sustraendo tiene que dar el minuendo.

Así, en la resta 9 - 4 = 5 se tiene que 5 + 4 = 9 Y en 8 - 2 = 6 se tiene que 6 + 2 = 8.

En general siendo a - b = d se tendrá que b + d = a.

La cifra 0 en el minuendo se considera como un 10, mientras que en el sustraendo no tiene ningún efecto.

30

Sustracción

Unidad 3

Siendo a el minuendo, b el sustraendo y d la diferencia, tendremos la notación; a- b=d.

De acuerdo con la definición de resta, la diferencia sumada con el sustraendo tiene que dar el minuendo.

Así, en la resta 9 - 4 = 5 se tiene que 5 + 4 = 9 Y en 8 - 2 = 6 se tiene que 6 + 2 = 8.

En general siendo a - b = d se tendrá que b + d = a.

La cifra 0 en el minuendo se considera como un 10, mientras que en el sustraendo no tiene ningún efecto.

Como ejemplo ilustrativo del proceso de restado de dos números, se utilizarán el

1419 y 751,

obteniéndose lo siguiente:

La comprobación del resultado como «Resto o Diferencia» se hace sumando dicho resultado con el sustraendo, ya que en toda resta se cumple que: Sustraendo + Diferencia = Minuendo, o sea, el resultado de dicha suma debe de ser el minuendo, en este caso ejemplo sería 668+751=1419.

31

Sustracción

Unidad 3

3.2: La Resta como inversa de la Suma

La resta es inversa de la suma porque en esta, dado los sumandos, hay que hallar su suma, mientras que en la resta, dada la suma de dos sumandos y uno de ellos, se halla el otro sumando.

Tabla de Restar

0

1

2

es

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

0

1

1

0

2

2

1

0

3

3

2

1

0

4

4

3

2

1

0

5

5

4

3

2

1

0

6

6

5

4

3

2

1

0

7

7

6

5

4

3

2

1

0

8

8

7

6

5

4

3

2

1

0

9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

11

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

12

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

¿Sabías qué? era

3

necesario decir,

un

0

La civilización maya fue la primera de América en idear el cero. Este

para sistema

su de

numeración numeración

porque

los

mayas

en

que

cada

el

tenían símbolo

un tiene

según la posición que ocupa. El símbolo del cero es representado por un caracol.

32

sistema un

valor

posicional, diferente

Sustracción

Unidad 3

3.3: Propiedades de la Resta La resta no tiene las propiedades de la suma.

La resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales, porque para que dos números naturales se puedan restar es necesario que el número minuendo sea mayor que el número substraendo. La resta tiene una propiedad fundamental, si sumamos el resultado de la resta con el sustraendo, el resultado será igual al minuendo.

La resta NO es conmutativa:

La resta de números no es cerrada ya que su resultado no siempre es un número natural.

La resta NO es asociativa:

La resta de cualquier número y cero ( 0 ) es igual al mismo número.

Así 11 - 0 = 11.

Ten en cuenta que si la cifra que tienes de minuendo es menor que la del sustraendo entonces de resultados tendremos un número negativo.

2 — 4 = -2

¿Sabías qué?

El signo más antiguo para indicar la resta lo encontramos en el famoso papiro de Rhind, tal como

lo escribían los egipcios Se dice que los signos actuales de suma y resta se deben a que los mercaderes antiguos ( ۸) iban haciendo unas marcas en los bultos de mercancías. Cuando pesaban los sacos les ponían un signo más ( + ) o un signo ( - ) , según tuviera mayor o menor cantidad de la estipulada.

33

Sustracción

Unidad 3

Rincón de Historia ¿Quién fue Ada Lovelace?

Ada Augusta King, Condesa de Lovelace, también conocida como Ada Lovelace, fue una matemática y escritora británica conocida primordialmente por su trabajo sobre la máquina calculadora mecánica de Charles Babbage, la Máquina Analítica. Entre sus notas sobre la máquina se encuentra lo que se reconoce hoy como el primer algoritmo destinado a ser procesado por una máquina. Como consecuencia, se la describe a menudo como la primera programadora de ordenadores.

Ada Lovelace es reconocida por haber escrito una descripción de la antigua máquina analítica de Charles Babbage, y por haber desarrollado instrucciones para hacer cálculos en una versión inicial del computador.

Hoy en día se reconoce a Ada Lovelace como la primera persona en describir un lenguaje de programación de carácter general interpretando las ideas de Babbage, pero reconociéndosele la plena autoría y originalidad de sus aportes. Ada Augusta King es la madre de la programación informática.

Esta publicó en 1843 una serie de influyentes notas sobre el ordenador de Babbage, su «máquina analítica» que nunca llegó a construirse, aunque no las firmó con sus iniciales por miedo a ser censurada por ser mujer.

34

Sustracción

Unidad 3

Ancestro del Calculador: El Ábaco El ábaco es

un

aparato

que

se

utiliza

para efectuar

operaciones aritméticas sencillas

( s umas, restas y multiplicaciones ) . Consiste en un cuadro hecho de madera con columnas paralelas mediante las cuales corren bolas movibles, útiles también para enseñar estos cálculos simples.

Su origen data de la antigua Mesopotamia, más de 2000 años antes de nuestra era.

El ábaco es estimado como el más antiguo instrumento para calcular, adaptado y apreciado en múltiples culturas. La época de origen del ábaco es desconocida. En épocas tempranas, el hombre primitivo encontró materiales para idear utensilios de conteo. Es factible que su inicio fuera en una extensión plana y piedras que se movían sobre líneas trazadas con polvo. En la actualidad se tiende a pensar que el inicio del ábaco se encuentra en China, donde el uso de este instrumento aún es importante. Otras hipótesis sostienen que el ábaco apareció en el Sahara, donde los ancestros del actual ábaco eran dameros rayados en la arena o en las rocas, usados tanto para realizar cálculos aritméticos como para jugar a diversos juegos tradicionales de inteligencia, frecuentes de estas zonas.

Como gran parte de la aritmética en sus inicios se realizaba con el ábaco, este vocablo ha pasado a ser sinónimo de aritmética. Dicho título se encuentra en el texto Liber Abaci, escrito por el matemático italiano Leonardo de Pisa Fibbonacci, famoso por el “ Código Fibonacci ( me ncionado en múltiples estudios, e ¡incluso novelas de ficción histórica como El Código Da Vinci de Dan Brown! ) . Este Liber Abaci, publicado en dos ediciones de 1202 y 1228, trata del uso de los números indo-arábigos. La copia que ha visto la luz en la actualidad corresponde a la edición del 1228.

Las pruebas del uso del ábaco nacen en comentarios de los antiguos escritores griegos. Por ejemplo, Demóstenes ( 3 84-322 a. C. ) escribió

sobre la necesidad del uso de piedras para

realizar cálculos complicados de efectuar mentalmente. Otro ejemplo son los métodos de cálculo hallados en los escritos de Heródoto ( 484-425 a. C. ) , que hablando de los egipcios decía:

"Los egipcios mueven su mano de derecha a izquierda en los cálculos, mientras los griegos lo hacen de izquierda a derecha".

35

Sustracción

Ejercicios 1. Efectúa las siguientes sustracciones 1.

107 - 104

2.

129 - 32

3.

127- 42

4.

13,870 - 13,439

5.

848 - 166

6.

627 - 300

7.

54 - 22

8.

300 - 21

9.

567 - 786

10.

678 -97

2. Resuelve estos problemas 1) En el refrigerador hay un cartón que tiene 30 huevos. Si Luis Medina toma 7 para hacer la cena , cuántos huevos quedan?

2) En un campo hay 97 árboles y en otro 63. ¿Cuántos árboles tiene el primero más que el segundo?

36

Unidad 3

Sustracción

3) En una caja de queso había 8 porciones. Si Lucila se come 2 y Laura 3, ¿cuántas porciones quedan en la caja?

4) En un autobús van 70 personas sentadas. Si hay 42 sentadas, ¿cuantas van de pie?

5) Tenía RD$ 128.000 para pagar el recibo de la luz. Si me devolvieron $ 43.550, ¿ por cuánto dinero llegó el recibo?

6) Bogotá tiene aproximadamente 3,506,102 viviendas y Medellín 1,604,324. La diferencia de viviendas entre la dos ciudades es de:

37

Unidad 3

UNIDAD 4

Multiplicaci贸n

38

En esta unidad: 1. Multiplicación 2.

3.

4.

5.

6.

7.

Origen Notación Definición Objetivo Propiedades Producto de números negativos 8. Relación ProductoMultiplicado 9.Multiplicación de la unidad seguida por ceros 10. Número de cifras del producto 11. Producto Continuado 12. Rincón de Historia 13. Ejercicios

Problema Real: La Superpoblación La superpoblación es un fenómeno que ocurre cuando una elevada densidad de la población provoca un empeoramiento del entorno, una disminución en la calidad de vida o situaciones de hambre y conflictos. Generalmente este término se refiere a la relación entre la población humana y el medio ambiente. También puede aplicarse a cualquier otra especie que alcance niveles críticos en su número de individuos. El concepto de superpoblación se basa en el principio de que todo territorio tiene una determinada capacidad de carga, la que viene determinada por la cantidad de recursos disponibles, y por la tasa de renovación de éstos. La población de cualquier especie alcanzará su nivel óptimo cuando ésta sea igual a la capacidad de carga. Si la población aumenta por sobre la capacidad de carga, habrá sobrepoblación, y por consiguiente los recursos (especialmente los alimentos) no alcanzarán para todos los habitantes de la población, produciéndose la muerte por inanición de éstos.

39

Multiplicación

Unidad 4

4.1: Multiplicación

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 ( leyéndose «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres» ) es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo ( 4+4+4 ) . Es una operación diferente de la suma, aunque equivalente; no es igual a una suma reiterada, sólo son equivalentes porque permiten alcanzar el mismo resultado. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

La potenciación es un caso particular de la multiplicación donde el exponente indica las veces que debe multiplicarse un número por sí mismo.

El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando ( número a sumar o número que se está multiplicando ) y multiplicador ( veces que se suma el multiplicando ) .

4.2: Origen de la Multiplicación Los primeros en usar la multiplicación fueron los egipcios, aproximadamente en el año 2700 A.C. Usaron un sistema que llamaron multiplicación por duplicación. Los egipcios no tenían necesidad de saberse las tablas de multiplicar. Sólo sabían multiplicar por 2. Su método Antiguos jeroglíficos egipcios

se basaba sólo en sumas.

Otra civilización pionera en usar la multiplicación fue la sumeria, en Asia menor, hacia el 2600 A.C. Inventaron las tablas de multiplicar y las escribían en tablas de arcilla secadas al sol. La técnica de multiplicar que utilizamos en la actualidad fue inventada en la India.

40

Multiplicación

Unidad 4

Llegó a Europa a mediados del siglo XIII. En esta época los escolares multiplicaban mediante series de sumas ( método egipcio ) . Esta técnica de multiplicar mediante sumas la mejoró Neper mediante sus regletas.

No fue hasta después de la revolución francesa ( 1789 ) cuando se impuso definitivamente el método de la India.Los matemáticos hindúes a partir del siglo V, efectuaron

la

multiplicación

por

el

procedimiento

conocido con el nombre de “ cuadrículas ” . Mas tarde lo utilizaron los árabes y ellos lo llevaron a Europa, allí se l e conoció con el nombre de “ gelosía ” .

Los chinos multiplicaban con varillas de bambú. Ejemplo: multiplicar 342 por 25 las varillas se disponen en forma horizontal las que corresponden al multiplicando y en forma vertical las que corresponden al multiplicador.

4.3 Notación de la multiplicación La multiplicación se indica con un aspa ( × ) o el punto medio ( · ) . En ausencia de estos caracteres se suele emplear elasterisco ( * ) , sobre todo en computación , pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa.

¿Sabías Qué? De unas tablillas encontradas en las orillas del Eufrates, se deduce que los primeros que aplicaron la elevación a potencias fueron los sacerdotes mesopotámicos, quienes resolvían la multiplicación sin necesidad de recurrir al ábaco, pues empleaban la tabla de cuadrados, al basarse en el principio que dice “el producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su semidiferencia”.

41

Multiplicación

Unidad 4

Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con cierta regularidad se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir explícitamente los primeros términos y los últimos, ( o en caso de un producto de infinitos términos sólo los primeros ) , y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es análogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números ( como las sumas) . Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:

Mientras que el producto de los números pares del entre 1 y 100 se escribiría: .

Esto también se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la línea de texto:

4.4: Definición La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como:

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión «sumar m a sí mismo nveces». Puede facilitar la comprensión al expandir la expresión anterior:

m ·n = m + m + m +...+ m

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Multiplicación

Unidad 4

Así, por ejemplo: 5×2 = 5 + 5 = 10 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 4 ×3 = 4 + 4 + 4 = 12

m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m m·5 = m + m + m + m + m = 5m El producto de infinitos términos se define como el límite del producto de los n primeros términos cuando n crece indefinidamente.

4.5: Objetivo de la multiplicación La multiplicación es una operación de composición que tiene por objeto, dados números llamados multiplicado y multiplicador, hallar un numero llamado producto que se respecto del multiplicado lo que el multiplicados es respecto de la unidad.

Así , multiplicar 4 ( m ultiplicado )

por 3 ( m ultiplicador )

es hallar el número que sea respecto

de 4 como el 3 es de 1, pero 3 es tres veces mayor que 1, luego el producto será tres veces mayor que 4, o sea 12. Igualmente multiplicar 8 por 5 es hallar un número que sea respecto de 8 lo que el 5 es respecto de 1, pero 5 es cinco veces 1, luego el producto será cinc veces 8, o sea 40.

En general, multiplicar a por b es hallar un número que sea respecto del a como el b es de 1.

43

Multiplicación

Unidad 4

4.6: Propiedades

Para los números naturales, enteros, fracciones y números reales y complejos, la multiplicación tiene ciertas propiedades: Para los números naturales, enteros, fracciones y números reales y complejos, la multiplicación tiene ciertas propiedades: Propiedad conmutativa El orden de los factores no altera el producto.

Propiedad asociativa Únicamente expresiones de multiplicación o adición son invariantes con respecto al orden de las operaciones.

Propiedad distributiva El total de la suma de dos números multiplicado por un tercer número es igual a la suma de los productos entre el tercer número y cada sumando.

Elemento neutro Todo número multiplicado por la unidad, es decir, 1, da como resultado el mismo número

44

Multiplicación

Elemento absorbente ( también conocida como “ Elemento Cero ” ) Cualquier número multiplicado por cero da como producto cero. Esto se conoce como la propiedad cero de la multiplicación.

Negación Menos uno multiplicado por cualquier número es igual al opuesto de ese número.

Menos uno multiplicado por menos uno es uno, ya que menos por menos es mas.

El producto de números naturales no incluye números negativos.

.

45

Unidad 4

Multiplicación

Unidad 4

4.7: Producto de números negativos El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero m: ( - 1 ) m = ( -1 ) + ( - 1 ) +...+ ( - 1 ) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de ( -1 ) ( -1 )

( -1 ) :

( - 1 ) = - ( -1 ) = 1

De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores de números: primero el conjunto de las fracciones o números racionales, después a todos los números reales y finalmente a los números complejos y otras extensiones de los números reales.

4.8: Relación Producto-Multiplicado Consideremos 4 casos: 1 ) Si el multiplicador es cero, el producto es cero. Así, 5 X 0 = 0, como el multiplicador es 0 indica la ausencia de la unidad, luego el producto tiene que indicar la ausencia del multiplicado.

2 ) Si el multiplicador es 1 el valor es igual al multiplicado. Así, 4 X 1 = 4, porque siendo el multiplicador igual a la unidad, el producto tiene que ser igual al multiplicando.

46

Multiplicación

Unidad 4

“El número 1 es el único número que multiplicado por otro da un producto igual a ese último y por eso se dice que el 1 es el módulo de la multiplicación.”

3 ) Si el multiplicador es > 1, el producto es > el multiplicando. Así, 7 X 6 = 42 > 7, porque siendo 6 > 1, el producto tiene que ser > el multiplicando.

4 ) Si el multiplicando es < 1, el producto es < el multiplicando. Así, 8 X 0.5 = 4 < 8, porque siendo 0.5 la mitad de 1 el producto tiene que ser la mitad del multiplicando.

De lo anterior se deduce que multiplicar no es siempre aumentar.

4.9: Multiplicación de la unidad seguida por ceros Ejemplos: 1.

54 X 100 = 5400, porque el valor relativo de cada cifra se ha hecho 100 veces mayor.

2.

1789 X 1000 = 1789000, porque el valor relativo de cada cifra se ha hecho 1000 veces mayor.

Para multiplicar un entero por la unidad seguida de ceros se añaden al entero tantos ceros como ceros acompañen a la unidad. 

Multiplicación de dos números terminados en ceros

“ Se multiplican los números como si no tuvieran ceros y a la derecha del producto se le agregan tantos ceros como haya en el multiplicando y multiplicador. ” Ejemplo: 4300 X 25000 = 107500000.

47

Multiplicación

Unidad 4

4.10: Número de cifras del producto En el producto hay siempre tantas cifras como haya en el multiplicando y multiplicador juntos o una menos.

Así, el producto de 345 X 23 ha de tener cuatro cifras o cinco.

En efecto : 345 X 23 > 345 X 10, y como este último producto 345 X 10 = 3450 tiene cuatro cifras, el producto 345 X 23, que es mayor que él, no puede tener menos de cuatro cifras.

Por otra parte, 345 X 23 < 345 X 100, pero este producto 345 X 100 = 34500 tiene cinco cifras, luego el producto de 345 X 23, que es menor que el ultimo producto, no puede tener más de cinco cifras.

4.11: Producto Continuado Para hallar el producto de más de dos números como 2 X 3 X 4 X 5 se halla primero el producto de dos de ellos; luego se multiplica este producto por el tercer factor; luego el segundo producto con el factor siguiente y así hasta el último factor.

Así, en este caso, tendremos: 2 X 3 = 6; 6 X 4 = 24; 24 X 5: 120 Luego 2 X 3 X 4 X 5 = 120.

¿Sabías Qué? La operación de multiplicar resultaba muy compleja para los antiguos. Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagórica, que ya conocían antes de nacer el mismísimo Pitágoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados. Entre los romanos, la operación era lenta y trabajosa, debido a su notación numeral. La multiplicación comenzó a impartirse en academias a partir del siglo XVII, ya que sólo se consideraba materia universitaria hasta ese entonces. El signo de multiplicar, cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647.

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Multiplicación

Unidad 4

Rincón de Historia Anécdota: El inventor del Ajedrez El rey de Persia, encantado con el juego de ajedrez, quiso conocer y galardonar al inventor, un matemático oriental. Le ofrecía el premio que solicitara.

El hombre contestó: - Me conformo con un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta..., y así fue doblando la cantidad hasta la casilla 64 del tablero de ajedrez.

Ordenó el rey a su visir que preparara el premio solicitado, pero éste hizo los cálculos y se dio cuenta que era imposible cumplir la orden.

Se necesitaría la cantidad de: 264 granos de trigo = 183446 7442073 7091551 616 granos. ¿Sabes leer ese número?: Diez y ocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos dieciséis granos de trigo.

En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28.220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653.676.260.585 toneladas; estas ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11.5 kilómetros de lado.

Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluyéndose los mares ) durante ocho años. Por supuesto, el rey no pudo cumplir su promesa.

49

Multiplicación

Unidad 4

Pitágoras: Padre de las Matemáticas Pitágoras (ca. 569 a. C. - ca. 475 a. C.1

) fue un filósofo y

matemático griego, estimado por muchos como

el primer

matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética.

La «ciencia matemática» ejercida por Pitágoras y los matematikoi se diferencia del tratamiento de esta ciencia que se efectúa en las universidades o instituciones modernas. Los pitagóricos no estaban interesados en «enunciar o resolver problemas matemáticos». El interés de Pitágoras era el de «los principios» de la matemática, «el concepto de número», «el concepto de triángulo» y la idea genérica de «prueba».

Pitágoras apreciaba en los números propiedades como «personalidad», «masculinos y femeninos», «perfectos o imperfectos», «bellos y feos». El número diez era especialmente valorado, ya que era la suma de los primeros cuatro enteros [1 + 2 + 3 + 4 = 10 . Para los pitagóricos, «las cosas son números», y veían esta relación en el cosmos, la astronomía o la música.

Entre los aportes de Pitágoras, están: 

Invención de la Tabla de Multiplicar.



Formación de los números cuadrados, partiendo de la unidad y agregando la serie ascendente de los números impares.



Descubrimiento de la existencia de los números Irracionales.

50

Multiplicación

Unidad 4

Ejercicios 1. Responde las siguientes preguntas según lo aprendido.

1.

Cuál es el módulo de la multiplicación? ¿Por qué?

2.

Siendo el multiplicando 48, ¿Cuál debe ser el multiplicador para que el producto sea 48; el doble de 48; su tercera parte; 5 veces mayor que 48; cero?

3.

Si el multiplicador es 6, ¿cuál será el multiplicador si el producto es 18; si es 3; si es cero?

4.

Siendo ab = 3a, ¿Qué número es b?

5.

Siendo mn = m, ¿qué número es n?

6.

Siendo a.5 = b, ¿Qué valor tiene b con relación a a?

7.

Siendo 5a =20, ¿qué número es a? ¿Por qué?

8.

Cuantas cifras tendrán los productos 13 X 4; 45 X 32; 176 X 543; 1987 X 515?

2.Expresar en forma de suma los productos siguientes.   



a ∙ 4; b ∙ 5; c ∙ 9.

3 X 4; 5 X 7; 6 X 8. ab; mn; cd.

  

· 1228 X 315.

B x 6; a x 5.

Jk; lm;no.

Investiga: ¿Cuál es la importancia de la multiplicación?

51

Multiplicación

3. Efectuar       

· 234 X 56 · 1228 X 315 · 4444 X 917 · 12345 X 6432 · 100001 X 1001 · 3245672 X 2003 · 5000045 X 7004

4. Efectuar las operaciones siguientes 

· 856 por una decena.



· 54325 por una decena de millar. · 1 centena de millar por 14 decenas. · 17 décimas de centena por 145 centenas de decena. · 8 centenas por 19 centenas de millar.

  

5. Resuelve 1. · 324 X 100.

2. · 1215 X 1000.

3. · 198654 X 100000.

4. · 766534 X 10000000.

5. · 20 X 30 6. · 400 X 40 7. · 12000 X 3400 · 70000 X 42000 8.

Cuantas cifras tendrán los productos 13 X 4; 45 X 32; 176 X 543; 1987 X 515?

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Unidad 4

UNIDAD 5

Divisi贸n

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En esta unidad:

1. Definición 2. Notación 3. Algoritmos en la División 4. Algoritmos en la División 5. División de Números (Enteros, Racionales, Reales y Cero) 6. Simplificar 7. Rincón de Historia 8. Ejercicios

Humanidad: Compartir El hecho de compartir hace referencia al darlo a otras personas en común de un recurso o un espacio. En sentido estricto, hace referencia al disfrute simultáneo o uso alternativo de un bien determinado, como un monte público o un lugar de residencia.

En un sentido más amplio, compartir hace referencia a la concesión gratuita de algo que será tratado como un bien sin rival por no ser tangible, como es la información.

Más ampliamente, puede hacer referencia al concepto de donar; ejemplo claro de esto son iniciativas como el bookcrossing, donde el objeto compartido no vuelve a la persona que lo pone en circulación.

Compartir juega un rol en la economía del don, pero también en la economía de mercado, ejemplo es el hecho de compartir vehículo en desplazamientos cortos y viajes.

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División

Unidad 5

5.1: Definición de División En matemática, la división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número ( divisor ) está contenido en otro número ( d ividendo ) . El resultado de una división recibe el nombre de cociente. De manera general puede decirse que la división es la operación inversa de la multiplicación.

Debe distinguirse la división «exacta» ( s ujeto principal de este artículo ) de la «división con resto» o residuo

( l a división euclídea ) . A diferencia de la suma, la resta o

la multiplicación, la división entre números enteros no está siempre definida; en efecto: 4 dividido 2 es igual a 2 ( u n número entero ) , pero 2 entre 4 es igual a un medio, que ya no es un número entero. La definición formal de «división» , «divisibilidad» y «conmensurabilidad», dependerá luego del conjunto de definición.

Conceptualmente, la división describe dos nociones relacionadas aunque diferentes, la de «separar» y la de «repartir». 1 2 De manera formal, la división es una operación binaria que a dos números asocia el producto del primero por el inverso del segundo. Para un número no nulo, la función «división por ese número» es el recíproco de «multiplicación por ese número». De este modo, el cociente a dividido entre b se interpreta como el producto por 1/b .

Si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde:

Etimología: la palabra dividir deriva del latín dividere: partir, separar.

Al partir un pastel, lo dividimos.

¿Sabías Qué? En el siglo IV (A. C.), Euclides, un genio griego, logró reunir los principales conocimientos matemáticos de su época. Todo lo relacionado con la Aritmética, lo expuso en los libros VII, VIII, IX y X de sus “Elementos”. Entre los curiosos datos aritméticos que se encuentran en esa portentosa obra, aparece el método de resolución del Máximo Común Divisor (M.C.D.), que hoy llamamos de divisiones sucesivas.

55

División

Unidad 5

5.2: Notación La división se denota generalmente a modo de fracción, con el dividendo escrito sobre el divisor. Por ejemplo

se lee: tres dividido cuatro.

También puede emplearse una barra oblicua: 3/4; este es el modo más corriente en los lenguajes de programación por computadora, puesto que puede ser fácilmente inscrito como secuencia simple del código ASCII. Otro modo de indicar una división es por medio del símbolo óbelo (

)

( t ambién llamado "signo

de la división" ) . Este símbolo también se usa para representar la operación de división en sí, como es de uso frecuente en las calculadoras. Otras variantes son los dos puntos ( : ) o el punto y coma (; ).

5.3: Propiedades de la División La división no es propiamente dicho una "operación" ( e s decir, una ley de composición interna definida por todas partes ) , sus «propiedades» no tienen implicaciones estructurales sobre el conjunto de números, y deben ser comprendidas dentro del contexto de los números fraccionarios.

No es conmutativa:

; No es asociativa

; Elemento neutro a la derecha: 1

; Elemento absorbente a la izquierda: 0

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División

Unidad 5

5.4: Algoritmos en la División Hasta el siglo XVI fue muy común el algoritmo de la división por galera, muy similar a la división larga y a la postre ( sustituido por ésta como método predilecto de división ) . El proceso usual de división ( d ivisión larga ) suele representarse bajo el diagrama:

También se usa un diagrama equivalente con la línea debajo del dividendo :

Y también se usa otro diagrama equivalente:

Otro método consiste en la utilización de una «tabla elemental», similar a las tablas de multiplicar, con los resultados preestablecidos.

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División

Unidad 5

5.5: División de números División de Números Enteros



La división no es una operación cerrada, lo cual quiere decir que, en general, el resultado de dividir dos números enteros no será otro número entero, a menos que el dividendo sea un múltiploentero del divisor.

Existen criterios de divisibilidad para números enteros ( p or ejemplo, todo número terminado en 0,2,4,6 u 8 será divisible entre 2 ) , utilizados particularmente para descomponer los enteros en factores primos, lo que se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.



División entre Cero

La división de cualquier número entre cero es una «indefinición». Esto resulta del hecho que cero multiplicado por cualquier cantidad finita es otra vez cero, es decir que el cero no posee universo multiplicativo. Si la realizamos con calculadora el resultado será un error.

¿Sabías qué? Los principios generales de divisibilidad son una consecuencia del desarrollo que

había alcanzado la teoría de los números. Los hindúes, por ejemplo, llegaron a conocer la divisibilidad por tres, nueve y siete. Griegos y egipcios establecieron la clasificación de los números en pares o impares. El genio matemático francés Blaise Pascal (1623- 1662), propuso las reglasc para determinar la divisibilidad por cualquier número.

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División

Unidad 5

División de Números Reales



El resultado de dividir dos números reales es otro número real ( siempre y cuando el divisor no sea 0 ) .

Se define como a/b = c si y solo si a = cb y b ≠ 0.

8/4 = 2

División entre Cero



La división de cualquier número entre cero es una «indefinición». Esto resulta del hecho que cero multiplicado por cualquier cantidad finita es otra vez cero, es decir que el cero no posee universo multiplicativo.

¿Sabías Qué? Los números fraccionarios tuvieron su origen en las medidas. Los babilonios utilizaban como único denominador el sesenta. Los egipcios empleaban la unidad como numerador; para representar 7/8, escribían, ½, ¼, 1/8. Los griegos marcaban el numerador con un acento y el denominador con dos; o colocaban al denominador como un exponente. Hiparco introdujo las fracciones babilónicas en la Astronomía griega.

Actividades Responde: 1.

2.

Efectúa:

Cómo se efectúa la división entre números naturales?

Cuántos algoritmos tiene la división?

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División

Unidad 5

Rincón de Historia Personaje: John Napier John Napier ( ó Neper ) , barón de Merchiston (Edimburgo, 1550 - 4 de abril de 1617 ) fue un matemático escocés, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. También hizo común el uso del punto decimal en las operaciones aritméticas.

Nació en el año 1550 en el castillo de Merchiston, Edimburgo. A la edad de trece años, en 1563 comenzó sus estudios en la Universidad de SaintAndrews, de la que salió años más tarde para viajar por el continente europeo.

A pesar de haber pasado a la posteridad por sus contribuciones en el campo de las matemáticas, para Napier , ésta era una actividad de distracción, siendo su preocupación fundamental la interpretación del Apocalipsis, a la que se consagró desde su estancia en el colegio. Fruto de esta labor fue su publicación Descubrimientos de todos los secretos del Apocalipsis de San Juan, por dos tratados: uno que busca y prueba la verdadera interpretación, y otro que aplica al texto esta interpretación parafrásticamente e históricamente. La singularidad de su estudio es la aplicación del formalismo matemático en la argumentación, de forma que admitiendo ciertos postulados, demostró sus proposiciones. ¡Entre ellas, Napier predijo el fin del mundo para los años 1668 a 1700!

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División

Unidad 5

En 1614 Napier publica su obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usus in utroque Trigonometría; ut etiam in omni logística mathematica, amplissimi, facillimi, et expeditissimi explicatio, en la que da a conocer los logaritmos que él llamó «números artificiales».

Gracias a estos números las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por divisiones, lo que no sólo simplificó considerablemente la práctica manual de los cálculos matemáticos, sino que permitió realizar otros que sin su invención no habrían sido posibles.

Una cita de Pierre-Simon Laplace hace mención y honor al descubrimiento y aplicación de En 1617 apareció su obra Rabdologiæ seu numerationis per virgulas los logaritmos por Napier: libri duo: cum appendice expeditissimo multiplicationis promptuario, “Con la reducción del trabajo de quibus accesit et arithmeticæ localis liber unus, en la que describe varios meses de cálculo a unos pocos días, el ábaco neperiano. el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos.”

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División

Unidad 5

Ejercicios 1. Efectúa 10÷5

270÷45

4÷4

279÷93

92÷4

3500÷20

80÷5

6630÷85

2. Piensa y Responde

1) Mary y Jennifer compraron tres bizcochitos en la tienda de la esquina para ellas dos. Cuántos bizcochitos le tocó a cada una?

2) Si Michael tiene 25 canicas y decide repartirlas en partes iguales entre sus amigos Gustavo, Carlitos, Miguel, José y Manuel, cuántas canicas les dará a cada uno?

3) Las tortugas carey se acercan a las playas de Bahía de las Águilas a desovar. Éste año, las tortugas pusieron 3,375 huevos en dos meses. Si cada tortuga puso 15 huevos, ¿cuántas tortugas desovaron en total?

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División

4) En el curso de Héctor repartieron unos volantes publicitarios. Si en su curso hay 42 personas y se repartieron 85 volantes, ¿cuántos volantes se le dio a cada estudiante y cuántos volantes sobraron?

5) Una exhibición de arte tiene en exposición unos 288 frescos italianos. Si en una caja caben 12 frescos, ¿cuántas cajas se necesitan para transportar los frescos de regreso a Italia?

3. Calcula

81,2 ÷ 100

45,2÷10

46,77÷4

278÷3,6

40÷3

150,45÷2,52

58,44÷5

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Unidad 5

UNIDAD 6

Potenciaci贸n

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En esta unidad: 1. Concepto de Potencia 2. Exponente Entero 3. Multiplicación de Potencias de Igual Base 4. Potencia de una Potencia 5. Potencia de un producto 6. División de potencias de igual base 7. Potencia de un cociente 8. Propiedades que no cumple la Potenciación 9. Rincón de Historia 10. Ejercicios

Medir lo sin medida: El Universo El Universo abarca todo lo que conocemos: la materia, la energía, el espacio y el tiempo. Las escalas en el universo son tan grandes que ni siquiera podemos imaginarlas. Para hacernos una idea aproximada, por cada grano de arena que hay en la Tierra, existen un millón de estrellas. Nuestra galaxia es sólo una entre cientos de miles de millones. Impresionante, ¿no? Aún así, toda la materia del Cosmos es sólo una pequeñísima y minúscula parte del universo.

El Universo es, sobre todo, un inmenso espacio casi vacío.

Es imposible conocer el tamaño exacto del Universo.

Podría incluso ser infinito, aunque no parece probable. Al no saber qué forma tiene, tampoco podemos calcular su tamaño. Además, sigue expandiéndose. Sólo conocemos el tamaño del Universo visible desde la Tierra.

El límite del Universo visible desde la Tierra está a 46,500 millones de años luz, en todas las direcciones. Es decir, un diámetro de 93,000 millones de años luz. Un año luz son 9.46 billones de kilómetros. El cálculo es enorme, y aún así, es sólo la parte del Universo que podemos ver. Tras el Big Bang, el Universo se expandió tan rápidamente que parte de su luz aún no ha llegado hasta nosotros y, por eso, no podemos verlo.

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Potenciación

Unidad 6

6.1: Concepto de Potencia La potenciación es una operación matemática entre dos términos: base a y exponente n. Se escribe an y se lee comúnmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, el cual se lee al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. En el caso de la potenciación, la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.

Se llama potencia a una expresión de la forma

, donde a es la base y n es el exponente. Su

definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente de dicha potencia.

Toda potencia, como anteriormente dijimos, posee dos partes: base y exponente. La base es el número que debe ser multiplicado, y el exponente es el número que representa la cantidad de veces que debe ser multiplicada la base. OJO: No debemos confundirnos. El exponente no es el número por el que debe multiplicarse la base, sino la cantidad de veces por las que debe ser multiplicada la base. Ejemplo: = 5 x 5 x 5 x 5, es decir que el 5 fue multiplicado por sí mismo 4 veces.

6.2: Exponente entero Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

66

Potenciación

Unidad 6

6.3: Multiplicación de potencias de igual base El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

Es decir, que si ambas potencias poseen bases iguales, solamente sumamos los exponentes como en el gráfico.

Ejemplo:

¿Sabías Qué?

Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y cubos. Diofanto, siglo III (D. C.), ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x, xx, xxx, etc., para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (15961650), introdujo la notación x, xx, x³, etc.

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Potenciaci贸n

Unidad 6

6.4: Potencia de una potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes ( la misma base y se multiplican los exponentes ) :

Ejemplo:

6.5: Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

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Potenciaci贸n

Unidad 6

Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

Ya que todo n煤mero negativo elevado a un exponente par da resultado positivo.

Ya que todo n煤mero negativo elevado a un exponente impar da resultado

6.6: Divisi贸n de potencias de igual base El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor , esto es:

Es decir, que si dividimos dos potencias cuyas bases son iguales, solamente necesitamos restar sus respectivos exponentes. Ejemplo

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Potenciación

Unidad 6

6.7: Potencia de un cociente La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

6.8: Propiedades que no cumple la potenciación No es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

¿Sabías Qué? A partir de los trabajos de interpretación de la escritura cuneiforme en 1929 por

O. Neugebauer, se ha puesto de relieve la contribución babilónica al progreso de las matemáticas. En las tablillas y puestas en lenguas modernas, y que datan de 20001200 A. C., aparecen infinidad de problemas resueltos de modo ingenioso. Estos problemas tuvieron su origen en la activa vida comercial del puesto babilónico.

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Potenciación

6.9. Notación Científica La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños, como por ejemplo, la distancia entre estrellas de dos galaxias distantes o el tamaño de una partícula subatómica. Su empleo está más bien reducido a estudios científicos, de ahí su nombre. Para representar estas cantidades se usan las potencias de diez.

Básicamente, la notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez.

Para expresar un número en notación científica identificamos el punto decimal ( si está ) y lo desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 ( empieza con cero punto ) , lo desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que ( en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda del punto esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha del punto decimal.

Es más fácil entender con ejemplos: 732.5051 = 7.325051 • 102 (movimos el punto decimal 2 lugares hacia la izquierda) −0.005612 = −5.612 • 10−3 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).

La cantidad de lugares que movimos el punto ( ya sea a izquierda o derecha ) nos indica el exponente que tendrá la base 10 ( si movemos el punto dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente ) .



Nota importante:

Siempre que movemos el punto decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será positivo.

Siempre que movemos el punto decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 será negativo.

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Unidad 6

Potenciación



Unidad 6

Otro ejemplo, representar en notación científica: 7856.1 1. Se desplaza el punto decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero ( entre 1 y 9 ) , en este caso el 7.

7.8561 La coma se desplazó 3 lugares.

2. El número de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103.

3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; ya que se sobreentiende que es positivo.

Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es: 7,8561 x 103

6.10. Operaciones con Notación Científica 

Multiplicar :

Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales

de las notaciones científicas y se apli-

ca producto de potencias para las potencias de base 10.

Ejemplo: ( 5 .24 • 106 ) • ( 6.3 •

108 ) = 5.24 • 6.3 • 106 + 8 = 33.012 • 1014 = 3.301215

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Potenciación



Unidad 6

Dividir:

Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica división de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notación científica.

Hagamos una división: (5.24 • 107) (6.3 • 104)



=

(5.24 ÷ 6.3) • 107−4 = 0.831746 • 103 = 8.31746 • 10−1 • 103 = 8.31746 • 102

Potenciación:

Si tenemos alguna notación científica elevada a un exponente, como por ejemplo (3 • 10 6)2 ¿qué hacemos?

Primero elevamos el 3, que está al cuadrado (3 2) y en seguida multiplicamos los exponentes pues la potencia es (106)2, para al final tener: 9 • 1012

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Potenciación

Unidad 6

Rincón de Historia Personaje: Leonhard Paul Euler Leonhard Paul Euler

( Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo,Rusia, 18 de

septiembre de 1783 ) , conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Fue el principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos.

Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y efectuó importantes hallazgos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos.

También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, especialmente para el área del análisis matemático.

Euler ha sido uno de los matemáticos más fructíferos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían alcanzar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación atribuida a Pierre-Simon Laplace enuncia la influencia de Euler en los matemáticos futuros: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»

Algunos de los mayores triunfos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real mediante el análisis matemático, en lo que es conocido como matemática aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxión de Newton, y desplegó herramientas que facilitaban la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.

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Potenciación

Unidad 6

Por otro lado, uno de los intereses más llamativos de Euler fue la aplicación de las ideas matemáticas sobre la música. En 1739 escribió su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de las matemáticas a la teoría musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo excesiva atención del público, y llegó a ser considerada como “ d emasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos ” .

Simon Stevin: Padre de los Negativos Simon Stevin ( 1 548 - 1620 ) , conocido como Simón de Brujas o Stevinus ( en la forma latinizada de su nombre ) fue un matemático, ingeniero militar e hidraúlico, constructor de molino y fortificaciones, semiólogo, contable e intendente Holandés. Se le considera el padre de los números negativos por ser el primer matemático que los aceptó como resultado de ecuaciones algebraicas.

Su fama en vida y en la época inmediatamente posterior a su muerte fue grande, llegando a ser considerado como una suerte de Leonardo da Vinci del norte. De hecho, es mencionado repetidas veces en la novela Tristram Shandy de Laurence Sterne como un genio, y su nombre se encuentra citado en numerosos tratados de ingeniería militar e hidraúlica de toda la época que va desde el s.XVII al s.XIX.A sus 37 años, publicó "La aritmética de Simon Stevin, de Brujas", un corto tratado sobre las fracciones decimales que en su traducción francesa no excede las siete páginas. En él Stevin presentaba con suma claridad el empleo de fracciones decimales para la extracción de la raíz cuadrada de un número, postulando la conveniencia de adoptar un sistema métrico decimal en moneda y unidades de medida.

También introdujo una nueva notación para describir los números decimales, de poco éxito por su complejidad frente a otras más sencillas como la de Bartolomeo Pitiscus y John Napier, usada hoy en día. Destacó además por ser el primer matemático que reconoció la validez del número negativo ( todo número menor a cero ) , al aceptarlos como resultado de los problemas con que trabajaba. Además, reconoció la igualdad entre la sustracción de un número positivo y la adición de un número negativo [ ( + a ) - ( + b ) = ( +a ) + ( -b ) ]. Por todo ello es considerado en la actualidad como el padre de los números negativos.

75

Potenciaci贸n

Ejercicios 1. Escribe el valor de las siguientes potencias 33 =

26 =

72 =

10 1=

52 =

10

10 5 =

84 =

3

=

3 2=

2. Efect煤a las siguientes operaciones

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

76

Unidad 6

Potenciación

3. Escribe estos números en notación científica 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

0.00598 13,659,874,521 3.6958 926,587,421,369,854 0.365987 0.0000000001 2,000,235,693,981 0.1235654698756 031366857956542 0.256

4. Convierte de notación científica

1.

2.

3.

4.

5.

77

Unidad 6

UNIDAD 7

Radicaci贸n

78

En esta unidad:

1. ¿Qué es la radicación?

2. Términos de la radicación 3. Representación 4. Clases de raíces más utilizadas 5. Propiedades de la radicación 6. Rincón de Historia 7. Ejercicios

Mundo Real: La Aritmética en la cotidianidad Según Fibonacci, las matemáticas son estructuras en las que se basa la naturaleza desde el origen de esta y estructuras que el humano sigue inconscientemente. (En el arte, la musica...el pensamiento, nuestra anatomía...)

La aritmética se encuentra inmersa en todas las actividades desarrolladas por el hombre, por lo que es muy importante. Actualmente se enseñan como un conjunto de elementos y reglas de juego predefinidos que, en el mejor de los casos, coinciden con algo que se relaciona con nuestra percepción. Resultan abstractas porque se nos muestran como unas reglas inamovibles, que uno no sabe de dónde surgen y que algunas veces comprobamos que funcionan, aunque no entendamos el porqué.

Esta parcialidad se debe a que la mayor parte del conocimiento que desde siempre ha formado parte de esta ciencia parece que permanece escondido. Igual sucede con la formación musical oficial, donde se aprende una mínima representación de variedades musicales, pero no todas las que existen.

La aritmética nos acompaña en nuestro diario vivir, desde al hacer las compras del supermercado hasta calcular el presupuesto mensual con base a nuestro sueldo. La más antiguas de las ciencias matemáticas es también la esencial, ya que de esta se derivan las demás.

79

Radicación

Unidad 7

7.1: ¿Qué es la radicación?

La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por si mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado.

Así si tenemos un número A y deseamos hallar su raíz B, consistiría en buscar un número C, que cumpliera la condición de que CxCxCxC etc B veces=A; que puesto de otra forma Se ve fácilmente que radicar es una operación inversa de la potenciación, donde se da el total y el exponente y se quiere hallar la base.

7.2: Términos de la radicación Los términos de la radicación son: el radicando, el índice radical y la raíz.

El radicando o base es cualquier número dado del que deseamos hayar la raiz. El índice radical indica las veces que hay que multiplicar por sí mismo un número para obtener el radicando.

La raíz es el número que multiplicado por sí mismo las veces que indica el índice radical da el radicando.

¿Sabías Qué?

La palabra raíz viene del latín radix, radicis; pero es indudable que los árabes conocían la radicación que habían tomado de los hindúes. Es decir, que la radicación era conocida mucho antes de que los romanos inventaran una palabra para nombrarla. Los árabes la designaban con la palabra gidr, una traducción de la palabra sánscrita mula, que significa vegetal y también raíz cuadrada de un número.

80

Radicación

Unidad 7

7.3: Representación

La forma de representar la radicación es la siguiente:

Dado un radicando A, un indice radical B y una raiz C, donde se cumple que

se indicaría

de la siguiente forma El grafismo para indicar una raíz se llama signo radical.

¿Sabías Qué?

El signo radical se empezó a usar en 1525 y apareció por primera vez en un libro alemán de álgebra. Antes, para indicar la raíz de un número se escribía “raíz de…”. Luego, para abreviar, se empezó a poner “r”. Pero si el número era largo, el trazo horizontal de la “r” se alargaba hasta abarcar todas las cifras. Así nació el símbolo de la raíz, como una “r” mal hecha.

7.4: Clases de raíces más utilizadas Las raíces más utilizadas son la cuadrada y la cúbica.

La raíz cuadrada es aquella donde un número multiplicado por si mismo dos veces da un radicando determinado. Ejemplo: La raiz cúbica es aquella donde un número multiplicado por si mismo tres veces da un radicando determinado. Ejemplo:

81

Radicación

Unidad 7

7.5: Propiedades de la radicación

La radicación puede definirse como la operación inversa de la potenciación.

Para comprender mejor la definición de radicación, supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, de forma tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a. Por ejemplo si queremos averiguar qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196, obtenemos como resultado, 14.

Se llama raíz cuadrada de un número ( algunas veces se abrevia simplemente como raíz ) a aquel otro que siendo mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es igual al primero. En la radicación El número que está dentro de la raíz se denomina radicando ( a ), el grado de una raíz se denomina índice del radical (n ) el resultado se denomina coeficiente (k) .

Las propiedades de la radicación son bastante parecidas a las propiedades de la potenciación, ya que una raíz es una potencia con exponente racional.

Ejemplo de un radical en forma de potencia:

¿Sabías Qué? Se da por seguro que fueron los hindúes los primeros en hallar las reglas para la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas. Resulta curioso conocer la terminología que ellos empleaban. Para la raíz tenían el vocablo sánscrito mula, que además quiere decir vegetal, al cual añadían varga o ghana, y formaban las expresiones varga mula o ghana mula, que significaba raíz cuadrada y raíz cúbica respectivamente.

82

Radicación

Veremos ahora las propiedades de la radicación:

Es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.

En la División

En la Multiplicación

No es distributiva con respecto a la suma y a la resta.

En la Suma

En la Resta

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Unidad 7

Radicación

Unidad 7

7.6: Suma y resta de radicales Para sumar o restar radicales debemos tener en cuenta que sólo aquellos radicales que tengan el mismo índice y tengan la misma base ( radicando ) pueden ser sumados o restados. Por ejemplo:

Estas operaciones no pueden ser efectuadas si los términos en cuestión no cumplen las condiciones mencionadas.

7.7: Multiplicación y división de radicales Por otro lado, para multiplicar y/o dividir radicales con el mismo índice, se multiplican o dividen las bases o radicandos y se deja el mismo índice. Ejemplo

Actividades 1.  

Investiga.

2.

De dónde se origina el término “Raíz Cuadrada”? ¿Cuáles usos se le da a las raíces en la vida?

84

Efectúa

Radicación

Unidad 7

Rincón de Historia ¿Quién fue Tales de Mileto?

Tales de Mileto

(c. 625/4 a. C.-c. 547/6 a. C. ) fue un filósofo y científico griego. Nació y murió

en Mileto, polis griega de la costa Jonia (la Turquía moderna ). Fue el iniciador de la escuela filosófica milesia a la que pertenecieron también Anaximandro y Anaxímenes . En la antigüedad se le consideraba uno de los Siete Sabios de Grecia. No se conserva ningún fragmento suyo y es probable que no dejara ningún escrito a su muerte. Se le atribuyen desde el s. V a. C. importantes aportaciones en el terreno de la filosofía, las matemáticas, astronomía, física, etc., así como un activo papel como legislador en su ciudad natal.

Tales es considerado el iniciador de la especulación científica y filosófica griega y occidental, aunque su figura y aportaciones están rodeadas de grandes interrogantes.

Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras que Tales utilizó para medir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación. Se supone también que Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular.

Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus terrenos. Mas Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies ) y mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su geometría un mayor grado de complejidad y abstracción.

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Radicaci贸n

Ejercicios 1. Resuelve

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

2. Encuentra las siguientes ra铆ces 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

86

Unidad 7

Radicación

3. Piensa y Responde

1. Se compra cierto número de naranjas por $729. Si la cantidad de naranjas compradas es el cuadrado del precio de una naranja, ¿cuántas he comprado y cuánto costó cada una?

2. Fernandito tiene 4 años de edad. Si su hermano mayor, Manuel, tiene su edad al cuadrado, y su hermana Angélica tiene la edad de Manuel menos 5 años, ¿cuántos años tiene Miguel, el cual es un año mayor que Angélica?

3. Al extraer la raíz cuadrada de un número dado, se obtiene, por resto, 2; y si a dicho número se suman 27 unidades, la raíz cuadrada de la suma aumenta en una unidad, y el resto en 4. ¿Cuál es el número?

4. Miguel tiene un rompecabezas de 625 piezas. Teniendo en cuenta de que las piezas formarán un cuadrado, ¿cuántas piezas tendrá cada lado?

5. Christine tiene un libro de 400 páginas, si su libro tiene la cantidad de páginas al cuadrado del libro de Oliver, ¿cuántas páginas tiene el libro de Oliver?

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Unidad 7

UNIDAD 8 NĂşmeros Racionales

88

En esta Unidad:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Introducción Concepto Propiedades Ejemplos Simplificar Suma y Resta Multiplicación División Tipos de Fraciones 10.Conversión de Fracciones 11.Fracción Generatriz 12.Rincón de Hitoria 13.Ejercicios

Érase Una Vez: La Historia de las Matemáticas La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos enmatemáticas, de los métodos matemáticos, de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados.

Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.). En todos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de laaritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir laTierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.

89

Números Racionales

Unidad 8

8.1: Introducción a los Números Racionales Los números racionales son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto se encuentra en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales, los cuales son consecutivos, ( por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue 7 ) , los números racionales no tienen consecución pues entre cada número racional hay números infinitos que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

8.2: Concepto de Números Racionales Un número racional es una cifra o valor definido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción, donde la parte superior será el numerador y la inferior el denominador.

Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador. Ejemplo:

Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra Q, que viene de la palabra anglosajona

“ Q uotient ” que significa cociente, y que los recoge como un subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, ya que estas son fracciones reducibles o simplificables. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son: Los números racionales limitados, los cuales son aquellos cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0.125.

Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se encuentra un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y sin secuencia, por ejemplo, Pi.

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Números Racionales

Unidad 8

A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…

8.3: Propiedades de los Números Racionales Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:

Entre las propiedades de la suma y resta están:

Propiedad interna.- Al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara.

ab+cd=ef Propiedad asociativa.- Si agrupamos los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:

(ab+cd)−ef = ab+(cd−ef) Propiedad conmutativa.- Si el orden de los sumandos varía, el resultado no cambia, de esta manera:

ab + cd = cd + ab Elemento neutro.- El elemento neutro, como hemos visto anteriormente, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.

ab +0 = ab Inverso aditivo o elemento opuesto.- Propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.

ab −ab = 0

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Números Racionales

Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:

Propiedad interna.- Al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

ab×cd=ef Esta además aplica con la división

ab÷cd=ef Propiedad asociativa.- Al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef) Propiedad conmutativa.- aquí aplicamos la célebre frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

ab×cd=cd×ab Propiedad distributiva.- Cuando combinamos sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

ab×1=ab ab÷1=ab

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Unidad 8

Números Racionales

Unidad 8

8.4: Ejemplos de Números Racionales Los números racionales son números fraccionarios, aquí un ejemplo:

Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:

Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:

También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:

8.5: Simplificar Simplificar es reducir un racional a su mínima expresión, de manera que sea más sencillo su manejo en operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Para simplificar, sólo debemos dividir el número a su mitad, tercera parte o quinta, et cétera, de modo que la fracción quede reducida.

Para que una fracción sea simplificable o reducible, tanto numerador o denominador deben tener mitad, tercera o quinta parte, o si no, no podría simplificarse. Ejemplos:

93

Números Racionales

Unidad 8

8.6: Suma y Resta de Números Racionales Suma y Resta de Racionales con el mismo denominador Hay tres simples pasos para sumar o restar racionales con el mismo denominador. Tanto suma como resta se resuelven de la misma manera: 

Paso 1: asegúrate de que los denominadores sean iguales.



Paso 2: suma los números de arriba

( los

numeradores ) . Pon la respuesta sobre

el denominador del paso 1. 

Paso 3: simplifica la fracción ( si es necesario )

Practiquemos:

Paso 1. Los denominadores son los mismos. Ve directamente al paso 2.

Paso 2. Suma los numeradores y pon la respuesta sobre el denominador:

Paso 3. Simplifica la fracción:

¿Sabías Qué? El origen de las fracciones comunes o quebrados es muy remoto. Los babilonios, egipcios y griegos han dejado pruebas de que conocían las fracciones. Cuando Juan de Luna tradujo al latín, en el siglo XII, la Aritmética de Al-Juarizmi, empleó fractio para traducir la palabra árabe al-kasr, que significa “quebrar, romper”. Este uso se generalizó junto con la forma ruptus, que prefería Leonardo de Pisa.

94

Números Racionales

Unidad 8

Suma y Resta de Radicales con denominadores diferentes Cuando tenemos denominadores distintos, el procedimiento es distinto. Buscamos el Mínimo Común Múltiple, pero primero, ¿qué es esto? Según Claude Irwin Palmer y Samuel Fletcher Bibb en su libro “ M atemáticas Prácticas ” , el Mínimo Común Múltiplo ( m .c.m ) , de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Para encontrarlo, simplemente multiplicamos ambos números, pero si ambos son múltiplos, simplemente escogemos al mayor. Ahora sí, para sumar o restar fracciones hacemos lo siguiente: 1 ) Buscamos el Mínimo Común Múltiplo ( m.c.m ) :

Como 3 x 6 = 18, colocamos 18 al otro lado del signo de igualdad ( = ) 2 ) Dividimos el Mínimo Común Múltiplo entre el denominador de la primera fracción y el resultado ( 6 ) lo multiplicamos por el numerador de la fracción ( 6 x 2 = 12 ) . Lo colocamos al otro lado de la igualdad, sobre el Mínimo Común Múltiplo y procedemos a hacer lo mismo con la otra fracción. De nuevo dividimos el m.c.m ( 18) entre el denominador, esta vez de la segunda fracción. Luego el resultado ( 3 ) lo multiplicamos por el numerador de la segunda fracción ( 3 x 8 = 24 ) y lo colocamos al lado del 12, con signo positivo ( + ) , ya que estamos sumando. Luego procedemos a sumar ( o restar ) los dos números:

Simplificamos:

El 18 tiene mitad, pero el 9 no tiene. Como ambos poseen tercera parte, podemos simplificarlos así:

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Números Racionales

Unidad 8

8.7: Multiplicación de Racionales Multiplicar racionales o fracciones es muy sencillo. Sólo debemos multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador. ¡Así de fácil! Veamos:

8.8: División de Racionales Para dividir racionales procedemos a hacer un producto cruzado, es decir, a multiplicar el numerador del primer término con el denominador del segundo término seguido del denominador del primer término con el numerador del segundo término:

8.9: Fracciones Propias, Impropias y Mixtas Los quebrados, números racionales o fracciones se clasifican en tres tipos específicos: Propias, Impropias y Mixtas. 

Una fracción propia es aquella cuyo denominador es mayor que el numerador:



Una fracción impropia es aquella cuyo denominador es igual o menor que el numerador:



Una fracción mixta es aquella que tiene a un número entero acompañando la fracción:

¿Sabías Qué? Al inventar Simón Stevin las fracciones decimales introdujo para expresarlas un cero dentro de un circulo. Este procedimiento resultaba muy engorroso.

En 1616, al publicar su obra sobre los logaritmos, Napier dio a conocer el uso del punto decimal que se usa hoy para separar las cifras enteras de las decimales. En algunos países este punto decimal se sustituye por una coma.

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Unidad 8

Números Racionales 8.10: Conversión de fracciones impropias a números mixtos y viceversa

Para pasar de fracción impropia a número mixto, dividimos el denominador con el numerador. Por ejemplo, para la fracción 21/4, 4 dividido en 21 es igual a 5 y nos sobra 1.

Colocamos lo que sobra de la división anterior, es decir el resto, como el numerador de otra fracción con el mismo denominador que tenia la fracción impropia. Para el ejemplo, 1 se convierte en: Añadimos el resultado de la división que hicimos en el paso 1 como un número entero. Siendo entonces, al 1/4 se le añade 5, y el resultado es igual a:

El último paso es comprobar el resultado para asegurarnos de que está correcto.

Multiplicamos el denominador por el número entero y luego suma el numerador. Nuestro resultado lo colocamos sustituyendo al numerador del número mixto. En nuestro ejemplo es: 4×5 = 20, 20+1 = 21 Este número debe coincidir con el numerador de la fracción impropia original:

8.11: Fracción Generatriz La

fracción

generatriz

es

aquella

que

se

obtiene

a

partir

de

números

decimales.

Depende del tipo de decimal que sea haremos diferentes procedimientos.

1 ) C o nv ertir un decimal exacto en fracción: Si la fracción es una fracción decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin el punto, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. Ejemplos:

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Números Racionales

Unidad 8

2 ) Convertir un decimal periódico en fracción: Si, de lo contrario, es una fracción periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin el punto, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período.

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Números Racionales

Unidad 8

Rincón de Historia Personaje: Euclides Euclides nació en el 330 a.C. y falleció en el 275 a.C. Fue un matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es probable que se instruyera en Atenas, lo que permitiría explicar su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con ninguna de las obras de Aristóteles.

Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría ( el epigrama, sin embargo, se atribuye también a Menecmo como respuesta a una demanda similar por parte de Alejandro Magno ) .

La tradición ha conservado una descripción de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido asimismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la aritmética le preguntó qué ganaría con su aprendizaje; Euclides, tras explicarle que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma, ordenó a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que éste tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios.

Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores, que las superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito.

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Números Racionales

Unidad 8

De los trece tomos que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría elemental; en ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo.

Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas y los tres restantes se ocupan de geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.

La influencia posterior de los Elementos de Euclides fue concluyente; tras su aparición, se adoptó de inmediato como libro de texto ejemplar en la enseñanza inicial de la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de inspirar a Euclides. Más allá, incluso, del ámbito estrictamente matemático, fue tomado como modelo, por su método y exposición, por autores como Galeno, para la medicina, o Espinoza, para la ética.

De hecho, Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En el caso de los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes.

La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto ( postulado de las paralelas ) . Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como un teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes, llamadas «no euclidianas», en las que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella.

100

NĂşmeros Racionales

Ejercicios 1. Resuelve las siguientes sumas y restas de racionales

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

2. EfectĂşa

101

Unidad 8

N煤meros Racionales

3. Simplifica

1.

5.

2.

6.

3.

7.

4.

4. Encuentra la fracci贸n generatriz.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)

1.265 265.368 6.32 1.1 -1258.3 568.1 0.265 125.23 12,125.36 3.652 89.21 1.002

13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

999.9 12.2 1.23 69854.3 45.0 11.874 2541.6 9.5 8.65 21,524.78 3.1416 89.6 2.154

102

Unidad 8

Números Racionales

5. Convierte de número mixto a fracción impropia. Si se puede, simplifica.

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

6. Convierte de fracción impropia a número mixto:

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

103

Unidad 8

Créditos



Editorial: Printería

Impresión:



Printería 

Editora y Supervisora de Diseño: Sheila De la Rosa



Asesores:



Asesora de Marketing: Evelyn Cáceres

Asistente de Edición:

Asesor de Diseño y Portada: Emanuel De León

Lía Hernández 

Supervisoras del contenido:

Ejercicios y Problemas matemáticos:



Ana Gabriela Martínes, Loren Rodríguez, Lucila

Lía Hernández y Laura Pilar Guerrero

Velásquez, Lisa Torres, Laura Pilar Guerrero, Ca

roline Salazar, Sheila De la Rosa

Encargadas por sección: Teoría de Conjuntos: Lía Hernández

Bibliografía:

Adición: Ana Gabriela Martínez y Loren Rodríguez  Sustracción: Lucila Velásquez y Laura Rodríguez Multiplicación: Lisa Torres y Laura Pilar Guerrero División: Anny Pérez y Caroline Salazar

Análisis Matemático, Tom M. Apóstol Rational Numbers: An Integration of Research, Thomas P. Carpenter

Potenciación y Radicación: Isandra Montás

Matemáticas Prácticas, Claude Irwin Palmer, Samuel

Números Racionales: Sheila De la Rosa Rincón de Historia y ¿Sabías Qué? : Hilda Rodríguez, Gabriela Chireno, Sheila De la Rosa, Isandra

Fletcher Bibb

Matemáticas, Patricia Ibáñez Carrasco, Gerardo García Torres

Montás y Lía Hernández

Doing Simple Math In Your Head, W. J. Howard ¿Música Celestial? , Wilfrid Mellers versión en español



Historia de la Matemática, Carl B. Boyer

Supervisora Ortográfica:

La Historia por la Aritmética, Rudolf Menge, Ferdinand Werneburg

Sheila De la Rosa 

Asistente del Supervisor Ortográfico:

Matemáticas Para el Siglo XXI, Sergio Macario Vives Rational Number Theory in the 20th Century, Władysław Narkiewicz

Gabriela Chireno

Historia de las Matemáticas: En los últimos 1000 años, Ian Stewart



Maestro: Luis M. Medina

104