МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ ХМЕЛЬНИЦЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2012–2013 н. р. Завдання 11 клас 2 x − 1 2 1. Розв’яжіть рівняння 4 x − 4 x − 3 = 4 × . (Тут квадратні дужки 2 означають цілу частину числа). 2. Розв’язати рівняння в натуральних числах 5x − 3 y = 4 . 3. Діагоналі ділять трапецію на чотири трикутники. Нехай S – площа трапеції, S1 та S2 – площі двох трикутників, що містять основи трапеції як власні основи. Доведіть, що
S = S1 + S2 .
4. В тетраедрі ABCD всі три плоскі кути при вершині D - прямі. Доведіть, що cos ∠ABC = cos ∠ABD ×cos ∠CBD. 5. Андрійко і Миколка грають у таку гру: по черзі називають натуральні числа, причому Андрійко першим називає число не більше 10 , а Миколка називає число, яке перевищує число назване Андрійком, але не більше, ніж на 10 . Далі, Андрійко називає число, яке перевищує число назване Миколкою, але не більше, ніж на 10 , і т.д. Виграє той, хто назве число 100 . Хто виграє: Андрійко чи Миколка?
На виконання роботи виділяється 4 години. Використання записників і калькулятора не дозволяється.
10 листопада 2012 року.