МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ ХМЕЛЬНИЦЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2012–2013 н. р. Завдання 10 клас 1. Розв’яжіть систему рівнянь xy + x + y = 1, yz + y + z = 5, zx + x + z = 2. 2. Розв’язати рівняння в натуральних числах 7x − 3y = 2 . 5555555553 6666666664 3. Яке з чисел більше: чи ? 5555555557 6666666669 4. На дошці виписали числа 3,4,..., 2012 . Дозволяється стерти будь-які два числа, записавши замість них їх різницю. Довести, що багатократним повторенням такої операції не можна досягти того, щоб на дошці залишився один нуль. 5. Нехай a, b, c – сторони трикутника, p – його півпериметр, r – радіус вписаного кола. Доведіть, що 1 1 1 1 + + ≥ 2. 2 2 2 ( p − a ) ( p − b) ( p − c ) r
На виконання роботи виділяється 4 години. Використання записників і калькулятора не дозволяється.
10 листопада 2012 року.