Nozioni introduttive Terminologia essenziale. Misurazione dei caratteri
Terminologia essenziale
Collettivo statistico o popolazione: insieme di riferimento, molteplicità dei casi individuali finalizzata alla conoscenza e/o alla comprensione del fenomeno oggetto di studio Unità statistica: il caso individuale, un elemento della popolazione Carattere statistico o variabile: ogni aspetto elementare oggetto di rilevazione nelle unità statistiche della popolazione Modalità: i diversi modi con cui si presenta il carattere nelle unità statistiche del collettivo
La popolazione - esempio Alcuni studenti intendono finanziare le spese di frequenza universitaria avviando un programma di ripetizioni ben fatte ed a basso costo. Quale sarà la popolazione? E’ chiaro che non possono essere tutti gli studenti iscritti. Ci si può limitare agli studenti dei primi 2 anni. Occorre poi determinare le materie per cui esistono le competenze: ad es. i corsi di statistica e matematica. La delimitazione dell’universo è chiara: studenti del biennio che non hanno sostenuto statistica e/o analisi. Iscritti ai primi due popolazione anni di corso
Interessati a matematica e statistica
Tipologia di popolazione La popolazione può essere:
FINITA: Se include oggetti che possono essere contati ed il conteggio, ad un certo punto si interrompe. Esempi: le pagine di un libro, i diplomati di una scuola ENUMERABILE : Le unità sono contabili, ma il conteggio non si interrompe mai Esempi: i numeri naturali
INFINITA : Ogni sottoinsieme di popolazione contiene lo stesso numero di entità contenute nella popolazione. Esempi: le frazioni tra zero ed uno, le nuances di un colore INDETERMINATA : L’insieme dei soggetti è finito in quanto esiste un limite fisico non valicabile alla sua crescita, ma le unità sono sparse o rare al punto da rendere impossibile il loro materiale censimento. Esempi: animali selvatici, tifosi di una squadra, gruppi etnici o religiosi particolari
L’unità statistica - esempi
Interessi maturati su di un conto corrente Tipo di riscaldamento di un appartamento Numero di testi consigliati in un corso Emissione di gas tossici da un automobile
(Il conto corrente) (L’appartamento) (Il corso) (L’automobile)
A volte la corretta definizione di unità statistica richiede una definizione convenzionale molto dettagliata. Per definire le famiglie ad es. è possibile utilizzare la definizione fornita dall’ISTAT (censimento 2001): per famiglia si
intende un insieme di persone legate da vincoli di matrimonio, parentela, affinità, adozione, tutela o da altri vincoli affettivi, coabitanti e aventi dimora abituale nello stesso comune (anche se non sono ancora iscritte all’Anagrafe dello stesso comune). Una famiglia può essere costituita anche da una sola persona. N.B. Le unità devono essere distinguibili e non ambigue.
Unità statistiche semplici e composte Semplice Una persona Un albero Un’automobile Un soldato
Composta Una famiglia Una foresta Una concessionaria Un reggimento
Carattere statistico - Esempi Può essere una distanza, una numerosità, una forma, un grado, una composizione di caratteristiche da trattare in modo aggregato. Dal punto di vista della definizione statistica qualunque carattere si “articola” in modalità ossia modi di essere, ad es. il sesso in maschio e femmina, l’età in
anni …
Le modalità devono essere almeno: 1. esaustive (devono rappresentare tutti i possibili modi di manifestarsi del carattere) 2. non sovrapposte (ad ogni unità si può associare una sola modalità) 3. soggette a variazioni ossia presentarsi con almeno due valori o categorie distinte in corrispondenza delle diverse unità statistiche del collettivo.
Classificazione dei caratteri statistici Le modalità di un carattere possono essere: 1.
2.
Quantitative ossia espresse da numeri ad esempio l’età in anni compiuti, il reddito in euro, la temperatura in gradi centigradi …, in tal caso il carattere si dice quantitativo o variabile. Qualitative ossia espresse da termini nominali, categorie, attributi, numeri convenzionali ad esempio il sesso, le professioni in libero professionista, dirigente, impiegato, artigiano, i colori, i mesi … in questo caso il carattere si dice qualitativo o mutabile.
Classificazione delle mutabili Un carattere qualitativo viene distinto in: Carattere sconnesso (o con scala nominale) se date due sue modalità è possibile affermare solo se sono uguali o diverse; ad es. sesso, stato civile, religione, razza … Carattere ordinato (o con scala ordinale) se date due modalità è possibile solo dare un ordine, specificando che una precede l’altra; ad es. grado di soddisfazione (poco, abbastanza, molto), titolo di studio (senza titolo, licenza elementare, licenza media, diploma, laurea, dottorato) I caratteri ordinati si dicono: 1. rettilinei se possiedono una modalità iniziale ed una finale ad es. titolo di studio, 2. ciclici se non hanno vere e proprie modalità iniziali e finali ma vengono spesso fissate in modo convenzionale ad es. la direzione del vento o il mese di nascita in questo caso se si elencano le modalità iniziando da gennaio fino a dicembre si nota che le modalità estreme sono in realtà molto prossime tra loro.
Classificazione delle variabili Un carattere quantitativo viene distinto in: quantitativo con scala a intervalli se non esiste uno zero assoluto, naturale e non arbitrario. Ha senso considerare la differenza tra le modalità del carattere ma non il loro rapporto, ad es. la temperatura misurata in gradi centigradi (lo zero
utilizzato è convenzionale e l’affermazione “la temperatura 40° è due volte più calda che 20°” non ha senso non potendo fare nessuna affermazione sul loro rapporto poichè 0° non significa “totale assenza di calore”).
quantitativo con scala di rapporti se esiste uno zero assoluto, naturale e non arbitrario, ad es. peso, reddito, età, lunghezza di un oggetto Le variabili vengono anche distinte in: 1. Discrete se l’insieme delle modalità assumibili può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme di numeri interi, per cui le modalità sono in numero finito al più un’infinità numerabile, ad es. il numero di
2.
figli, numero di pezzi prodotti, voto ad un esame.
Continue se l’insieme delle modalità può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme di numeri reali, ad es. il peso, l’altezza.
Ricapitolando … Caratteri
Caratteristiche
Caratteri qualitativi (Mutabili)
Scala nominale (mutabile sconnessa)
Scala ordinale (mutabile rettilinea e ciclica)
Scala ad intervalli Scala di rapporti
Operazioni consentite = oppure ≠ nessun ordinamento delle modalità Operazioni consentite >< le modalità possiedono un ordinamento semplice (strutture d’ordine)
Caratteri quantitativi (Variabili)
Operazioni consentite + -, esiste un’unità di misura costante quindi una distanza tra le modalità Operazioni consentite × : esiste uno zero assoluto
Ricordate
La distinzione tra variabili qualitative e quantitative è importante per scegliere il metodo di analisi da utilizzare Talvolta la classificazione di una variabile dipende da come viene misurata Una variabile che assume valori numerici corrispondenti a codici (es. CAP) è qualitativa La variabile continua è un concetto astratto: qualunque sia la precisione dello strumento il numero di modalità ottenibili è discreto ◦
Es. una bilancia che misura alla precisione dell’hg fornisce valori come 66.0 kg, 66.1 kg, 66.2 kg … i valori osservabili sono un insieme discreto ma il carattere peso è continuo!
Errore frequente: affermare che un carattere continuo (peso, tempo …) è discreto in quanto si osserva un insieme discreto di valori
Caratteri dicotomici
•
•
I caratteri dicotomici detti anche var. logiche, dummy, var. indicatrici binarie, hanno solo due modalità: maschi e femmine, vivi o morti … Le unità statistiche sono classificate in base alla dicotomia: presenza / assenza di un dato attributo. Alle modalità “presenza” si attribuisce convenzionalmente valore a e alle modalità “assenza” valore b con a e b simboli qualsiasi (ad es. 0 e 1). Da un punto di vista del livello di misurazione : possiedono in qualche modo un ordinamento (avere o non avere) ma riguardo alle relazioni d’ordine proprie delle scale ordinali non è possibile dire quale delle due modalità è maggiore o minore, possiedono il requisito dell’unità di misura e quindi la distanza che tuttavia è una sola.
Una dicotomia può essere trattata sia come una scala nominale che ordinale che cardinale, secondo la natura del carattere reso dicotomico, pur senza avere pienamente le proprietà di tali scale.
Altre classificazione dei caratteri statistici 1. 2. 3.
I caratteri statistici possono distinguersi in base al tempo: invarianti nel tempo (ad es. luogo di nascita, anno di nascita); di stato, rilevabili con riferimento ad un dato momento (età stato civile,…); di flusso, rilevabili con riferimento ad un intervallo di tempo (nascite, reddito, consumi, ...). Un carattere è trasferibile se ha senso immaginare che un’unità statistica possa cedere tutto o parte del carattere posseduto ad un’altra un’unità statistica, ad es. il reddito, i beni posseduti non sono invece caratteri trasferibili il peso, l’altezza, l’età …
Distribuzioni statistiche Distribuzioni statistiche disaggregate Distribuzioni di frequenze Distribuzioni doppie
Matrice dei dati
I dati sono di solito raccolti in forma RETTANGOLARE: matrice righe × colonne ogni riga della matrice corrisponde ad una unità di osservazione ogni colonna della matrice corrisponde ad una variabile Es. si intervistano 39 persone con un questionario di 4 domande 39 osservazioni × 4 variabili variabili Etichette di identificazione
Unità statistiche No nomi (privacy)
Unità u
id
sesso
età
Caio
2
M
32
…
…
Primo
Sempronio Velia
1
M
3
M
39
F
Modalità delle variabili
…
24 19 …
27
Liv_istruz Distanza (km) 2
15
2
20
4
18
3
…
6
…
Liv istruz 1 Lic. elementare 2 Lic. media 3 Lic. superiore 4 Laurea
Distribuzione unitaria o disaggregata
Si definisce distribuzione unitaria (o disaggregata) semplice di un carattere l’elencazione delle modalità osservate, unità per unità, nel collettivo preso in esame. Se si analizza più di un carattere la distribuzione sarà denominata unitaria multipla. La distribuzione unitaria del carattere descrive, in maniera analitica, le modalità di ciascuna unità statistica, ma non permette di rappresentare in maniera sintetica, le caratteristiche del fenomeno osservato. Una prima descrizione sintetica del carattere osservato è data dalla frequenza con cui si presenta la sua modalità (frequenza assoluta)
Distribuzione di frequenze Con le frequenze è possibile ottenere una rappresentazione molto più sintetica detta distribuzione di frequenze. La distribuzione di frequenze semplice associa alle modalità che può assumere un carattere X, qualitativo o quantitativo, le corrispondenti frequenze assolute. La distribuzione di frequenze si dice semplice se è riferita ad un unico carattere, ad es. il sesso; si dice doppia se è riferita a due caratteri congiuntamente, ad es. il sesso e l’età, in generale si dice multipla se si riferisce a più di un carattere.
Frequenza assoluta Dopo aver costruito il database, per potere valutare il fenomeno descritto dal carattere è importante associare a ciascuna modalità la frequenza assoluta, cioè il numero di volte che una modalità si presenta nella popolazione. Es.: Una variabile discreta ottenuta dalle votazioni riportate da 30 studenti all’esame di statistica: 18; 23; 30; 24; 18; 27; 21; 29; 25; 23; 20; 19; 26; 22; 28; 22; 24; 30; 18; 25; 27; 26; 28; 28; 26; 27; 20; 22; 26; 21. Occorre identificare il valore minimo (18) e quello massimo (30), contando quante volte compare ogni modalità (cioè quanti sono gli studenti che hanno avuto la stessa votazione).
Distribuzione di frequenza (Tabella) Le precedenti informazioni sono riportate in maniera più semplice nella tabella.
La costruzione delle frequenze assolute permette di fare una prima valutazione sulla variabile osservata, è infatti possibile affermare quali sono le votazioni che si manifestano con maggiore (nell’esempio 26) o minore (il voto 19, 29) frequenza.
Le frequenze assolute indicano, quindi, la consistenza numerica effettiva con cui una certa modalità è stata osservata.
Voto 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Totale
Freq. assolute 3 1 2 2 3 2 2 2 4 3 3 1 2 30
Es. nel caso di variabile continua Quando la variabile è continua la distribuzione di frequenza della variabile suddivisa in classi si ottiene selezionando m intervalli della variabile, (x0-x1, …, xi-i +1, xn-1-xn) e contando, per ogni intervallo, il numero di volte che le unità di osservazione presentano un valore in esso compreso. Es.: Si supponga di rilevare la temperatura corporea in un campione di 13 donne:
{36.2, 36.6, 37.3, 38.0, 38.2, 36.5, 36.5, 37.3, 38.4, 36.5, 37.4, 38.0}
Nella formazione delle classi, il limite inferiore della I classe ed il limite superiore dell’ultima classe non devono essere i valori osservati, ma li devono comprendere. La classe iniziale e terminale non devono essere classi aperte (< 36.2 quella iniziale ≥38.4 quella finale). È necessario definire con precisione il valore minimo e massimo. Nell’esempio, le classi possono essere 36-36.4 la prima, 36.5-36.9 la seconda, e così via fino a 38-38.4 per l’ultima. Poiché la scala è continua i gradi °C riportati devono essere sempre intesi con cifre decimali.
Tabella nel caso di variabili continue Considerando i dati dellâ&#x20AC;&#x2122;esempio precedente, piuttosto che elencare nella distribuzione di frequenza, le singole modalitĂ , che potrebbero dar luogo ad una tabella molto lunga e difficilmente leggibile, conviene raggrupparle in un certo numero di classi, come fatto, nella tabella successiva:
Temperatura
Freq. assoluta
36.5-36.9
4
37.5-37.9
1
36.0-36.4 37.0-37.4 38-38.4 Totale
1
3
4
13
Frequenze relative e percentuali Le frequenze relative indicano il peso, il contributo relativo di ogni modalità al totale. Sono ottenute dividendo le freq. assolute corrispondenti ad ogni modalità o ad ogni classe di valori, per il totale delle unità osservate: ni numero di volte che si osserva l' i - esima modalità fi = = N numero di unità che formano la popolazione
Spesso alle frequenze relative semplici sono preferite quelle percentuali, ottenute moltiplicando le prime per 100: ni f % = × 100 = f i × 100 N
Frequenze relative perché Facilitare la percezione del PESO delle modalità Sesso M F
Tot
Freq. assoluta 1750 1250
3000
Freq. relativa 0.583 0.417 1
Freq. % 58.3 41.7 100
Facilitare CONFRONTI tra popolazioni Sesso M F
Freq Assoluta
Freq. %
Pop. A
Pop. B
Pop. A
Pop. B
1250
150
41.7
15.0
1750
3000
850
1000
58.3 100
85.0 100
Ma attenzione: l’attendibilità delle frequenze relative dipende dalla numerosità della popolazione
Ad es leggiamo che ad un anno dalla laurea, l’80% dei laureati in scienze del divertimento è occupato poi scopriamo che si tratta di 5 laureati di cui 4 occupati: se 2 degli occupati non avessero trovato lavoro la percentuale sarebbe stata del 40% Al contrario, con popolazioni numerose le frequenze relative sono stabili: Supponiamo che l’80% sia calcolato su 1000 laureati (800 occupati): se 2 degli occupati non avessero trovato lavoro la percentuale sarebbe stata del 79.8%
Frequenze cumulate La frequenza cumulata assoluta (relativa) associata ad una modalità della variabile indica il numero (la proporzione) di osservazioni che presentano un valore minore o uguale rispetto a quello della modalità Si può utilizzare solo se il carattere è misurato almeno su scala ordinale. La distribuzione di frequenze cumulate e retrocumulate consistono nel sommare via via tutte le osservazioni che presentano il valore inferiore (cumulate) o quello superiore (retroculate) ad una data modalità: 1
F1 = ∑ ni = n1 i =1
2
F2 = ∑ ni = n1 + n2 i =1
k
Fk = ∑ ni = n1 + n2 + nk = N i =1
Frequenze cumulate: hanno senso? Le frequenze cumulate possono sempre essere calcolate ma hanno senso solo se le modalità sono ordinabili, cioè per tutte le variabili numeriche per le variabili categoriche solo se ordinali Esempio: titolo di studio OK Città di residenza NO
Es. di frequenze relative, percentuali e cumulate Si consideri, la seguente distribuzione di frequenza â&#x20AC;&#x153;numero di esami superatiâ&#x20AC;? e si calcolino le frequenze relative fi, relative percentuali f% e cumulate. n. esami 1 2 3 4 5 6 Totale
f 120 150 180 165 135 104 854
fi 0.14 0.18 0.21 0.19 0.16 0.12 1
f% 14.05 17.56 21.08 19.32 15.81 12.18 100
fcum 120 270 450 615 750 854
Es. di frequenze relative, percentuali e cumulate Carattere qualitativo ordinale. Soddisfazione f Poco 120 Abbastanza 241 Molto 180 Totale 541 Carattere qualitativo sconnesso. Colore occhi f Castano 120 Azzurro 241 Marrone 180 Totale 541
f%
fcum % 22.2 66.7 100
f%
fcum % 22.2 66.7 100
22.2 44.5 33.3 100 22.2 44.5 33.3 100
Classificazione delle distribuzioni
Tabelle di frequenza bivariate
Es. Tabelle di frequenze bivariate Numero di figli e condizione lavorativa Frequenze assolute
Numero di figli e condizione lavorativa Frequenze relative
Es. Tabelle di frequenze bivariate Numero di figli e condizione lavorativa Frequenze percentuali riga
Numero di figli e condizione lavorativa Frequenze percentuali colonna