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INDICI DI VARIABILITÀ  

 • • • • • • • • • •

Indicano l’attitudine di un carattere ad assumere valori diversi. Un indice di variabilità deve essere nullo se e solo se le modalità del carattere sono tutte uguali, cioè se non c’è dispersione; non si deve modificare se tutte le frequenze vengono moltiplicate per una costante positiva e deve essere positivo qualora vi sia variabilità; deve essere non negativo e deve aumentare al crescere della disuguaglianza. Gli indici più utilizzati sono: intervallo di variazione; differenza interquartile; scostamento semplice medio; devianza; varianza; momenti; scarto quadratico medio; differenze medie; coefficiente di variazione; covarianza.

Indici di variabilità assoluta

Indici di variabilità relativa

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INTERVALLO DI VARIAZIONE

Il campo o intervallo di variazione, detto anche range, è definito come la differenza tra il valore massimo e quello minimo

Intervallo di variazione = xN – x1 dove xN ed x1 indicano, rispettivamente, la modalità massima e quella minima della distribuzione. È facile rendersi conto che il campo di variazione è una misura molto grossolana poiché esso dipende soltanto dai valori estremi senza tenere conto dei valori intermedi che sono in generale i più numerosi. 2


DIFFERENZA INTERQUARTILE Un indice di variabilità meno grossolano del campo di variazione è la differenza interquartile, che è uguale alla differenza tra il terzo ed il primo quartile della distribuzione. Altri indici dello stesso tipo si ottengono facendo la differenza tra il nono ed i primo decile o, più in generale, fra due centili. La differenza interquartile (alle volte si considera la semidifferenza interquartile) non presenta gli inconvenienti del campo di variazione; non tiene conto, però, di tutta l’informazione a disposizione.

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LA VARIANZA La varianza o Quadrato Medio (MS da Mean Square), il cui simbolo è σ2, è la misura di quanto i dati siano distanti dalla loro media aritmetica. È pari alla media aritmetica dei quadrati degli scarti dei valori osservati dalla loro media aritmetica ossia:

(

)

n ∑ xi − M 2 2 σ = i =1

n

dati semplici

1 n σ = ∑ (xi − M )2 ni N i =1 2

(dati ponderati)

Per devianza s’intende semplicemente la somma dei quadrati degli scarti, ossia il numeratore della varianza.

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LO SCARTO QUADRATICO MEDIO Lo scarto quadratico medio (standard deviation) dalla media aritmetica, il cui simbolo è σ , è il più utilizzato degli indici di variabilità. La sua espressione è:

σ=

σ=

)

(

n ∑ xi - M 2 i =1

n

(

)

n ∑ xi - M 2 ni i =1 n ∑ ni i =1

Distribuzione di frequenza

cioè non è altro che la radice quadrata della varianza; è anche uguale alla media quadratica degli scarti.

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LO SCARTO QUADRATICO MEDIO: VANTAGGI Le ragioni per cui si utilizza lo scarto quadratico medio sono di varia natura:  è più sensibile di altre misure di variabilità alla presenza di modalità particolarmente alte o basse, cioè amplifica le fluttuazioni intorno alla media delle modalità;  si presta meglio di altri indici a elaborazioni matematiche;  è uno dei parametri che, unitamente alla media, caratterizza la distribuzione normale.

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DIFETTI DEGLI INDICI DI VARIABILITÀ ASSOLUTI Tra i requisiti formali degli indici di variabilità vi è quello di essere espressi nella stessa unità di misura delle osservazioni. Essi pertanto non consentono di effettuare il confronto fra la variabilità di distribuzioni espresse in unità di misura diverse; se si tratta di unità di misura trasformabili, come ad es. cm e m, kg e libbre, è semplice ottenere la misura della variabilità nell’unità di misura di una delle due distribuzioni. Quando invece le due distribuzioni sono espresse in unità di misura non trasformabili non è possibile con gli indici visti finora confrontare la variabilità delle distribuzioni. Inoltre gli indici di variabilità assoluta non consentono il confronto di distribuzioni che hanno medie diverse; essi sono influenzati dall’intensità del carattere

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ESEMPIO DEVIANZA Calcolare la devianza (SQ) dell’età , espressa in anni, di 6 bambini iscritti ad una scuola di pianoforte: 5; 6; 7; 7; 8; 10. si deve calcolare prima la media: M=

5 + 6 + 7 + 7 + 8 + 10 43 = = 7.16 6 6

ed in seguito la Somma dei Quadrati degli scarti di ogni valore dalla media: = (5 - 7.16)2+(6-7.16)2+(7-7.16)2+(7-7.16)2+(8-7.16)2+(10-7.16)2= =4.665 + 1.346 + 0.026 + 0.026 + 0.706 + 8.066 = 14.835 8


ESEMPIO

Si calcoli la varianza e lo scarto quadratico medio per la variabile X rappresentante il numero di cani minori presenti in 6 diversi istituti. X

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Media= 13.5 n

∑ (xi - M )2

σ 2 = i =1

n

=

1297.5 = 216.25 6

σ=

∑ (xi - x )2

i =1

n -1

= 216.25 =14.71

0.5

(xi-M)2

0.25

3

-10.5

45

31.5

992.25

-7.5

56.25

2

11 6

n

(xi-M)

81

-11.5 -2.5 0

110.25

132.25

6.25

1297.5

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COEFFICIENTE DI VARIAZIONE Esprime quanto la deviazione standard s supera la media aritmetica M. È un indice di variabilità relativa perché prescinde dall’unità di misura. Il Coefficiente di Variazione (CV) è dato dal rapporto percentuale tra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica:

CV =

σ

M

×100

Altri indici relativi si ottengono dividendo lo scostamento semplice medio dalla media per la media o lo scostamento semplice mediano per la mediana. 10


COVARIANZA Che cos’è? é la grandezza più usata per misurare la variabilità tra due variabili. A che cos’è uguale? La covarianza di due variabili x ed y cov(xy), è la media dei prodotti degli scarti di ciascuna variabile dalla propria media: n

cov( xy ) =

n

∑∑ ( x i =1 j =1

i

− x) × ( y j − y) n 11


ESEMPIO Sia X il numero di cani randagi per quartiere nella città di Messina ed Y il numero di gatti. Determinare il covarianza tra le due variabili.

Prima di tutto occorre determinare la media sia di X che di Y, successivamente si procede al calcolo degli scarti semplici ed infine si fa il prodotto degli scarti. La somma del prodotto degli scarti è uguale alla codevianza: Codev(XY)=1425.45 Per ottenere la covarianza occorre dividere per la numerosità n, che in questo caso è pari a 14. Pertanto: Covar (XY)= 1425,45 / 14 = 101.82

X

14

Y

( x i - x) 1

( yi - y ) ( xi − x )( yi - y)

-5.14

-12.79

-17.14

-1.79

3

23

-16.14

45

34

6

65.76

9.21

-148.74

25.86

20.21

522.68

5

-13.14

-8.79

115.47

21

21

1.86

7.21

45

44

1

6

7

3

2

11

81 23

3

6 268

12

21 8

-8.14

-58.74

-5.79

-357.89

3.86

-10.79

-41.6

5

-16.14

-8.79

7

-13.14

-6.79

3

193

61.86

7.21

30.61

25.86

-18.14

-12.14

0.04

13.4

30.21

781.26

-7.79

141.26

-10.79

130.97

-0.06

141.83 89.18

1425.45 12


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