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UN MÉTODO PARA OBTENER VARIEDADES DIFERENCIABLES G EOMETRÍA DIFERENCIAL Y M ECÁNICA : U NA INTRODUCCIÓN
Módulo 2: Más ejemplos
Resumen En este módulo, mostraremos un método para obtener variedades diferenciables. Utilizando este método, deduciremos que SO(3), el conjunto de rotaciones alrededor del origen en el espacio, es una variedad diferenciable. Este es el espacio de configuración del cuerpo rígido rotando alrededor de un punto fijo.
1 Motivación En el módulo anterior definimos el concepto de variedad diferenciable, justificando su introducción desde el punto de vista de los sistemas mecánicos. En particular, mostramos que la circunferencia S 1 , el toro S 1 × S 1 o el producto del plano R2 con la circunferencia son variedades diferenciables que sirven para modelar el movimiento de un péndulo simple plano (la circunferencia), el de un péndulo doble plano (el toro) o el movimiento de un carrito (R2 × S 1 ). Sin embargo, si queremos modelar algo más complejo, como el movimiento de un cuerpo rígido rotando alrededor de un punto fijo, ninguna de las variedades descritas hasta ahora son suficientes. En este módulo mostraremos un método, basado en el teorema de la función implícita, para obtener variedades diferenciables más complejas. Como aplicación de dicho método, obtendremos que SO(3), el conjunto de rotaciones en el espacio, es una variedad diferenciable. Este conjunto servirá como espacio de configuración para las rotaciones de un cuerpo rígido.
2 Un método para obtener variedades diferenciables Si tenemos en cuenta que las variedades son una generalización de las nociones de curva y de superficie, nos viene a la mente un caso muy particular. La idea que uno tiene de curva en el espacio es el de una aplicación diferenciable α : I ⊆ R → R3 , donde I es un intervalo abierto de R. Físicamente podemos pensar que es el conjunto de posiciones en R3 que ocupa un móvil en un intervalo de tiempo I. De igual manera, un ejemplo de superficie es la imagen de una aplicación u : Ω ⊆ R2 → R3 , siendo Ω un abierto de R2 . Sin embargo, no todas las aplicaciones de este tipo nos darán una variedad diferenciable. Para ello, exigimos dos cosas. Primero, que no hayan autointersecciones, es decir, que la curva (resp. superficie) no se corte. Segundo, que no aparezcan picos o filos. La manera de evitar estos dos problemas se consigue pidiendo que la aplicación α (resp. u) sea inyectiva y que la derivada de α (resp. el jacobiano de u) sea distinta de cero para todo punto (resp. tenga rango 2 en todo punto).
Estas curvas no son variedades Universidad de La Laguna m Grupo de Geometría Diferencial y Mecánica Geométrica
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UN MÉTODO PARA OBTENER VARIEDADES DIFERENCIABLES
Si queremos generalizar esto a variedades, haremos lo siguiente: dada una aplicación ψ : Ω ⊆ Rk → Rn tal que ψ es inyectiva y el jacobiano de ψ tiene rango k para todo x ∈ Ω, se tiene que M = ψ(Ω) es una variedad de dimensión k. Un caso particular es el grafo de cualquier aplicación diferenciable: si f : Ω ⊆ Rk → Rn−k es una aplicación diferenciable, entonces M = {(x, f (x)) | x ∈ Ω} es una variedad diferenciable: tomando ψ(x) = (x, f (x)) tenemos que se cumplen las dos condiciones que necesitamos para que M = ψ(Ω) sea una variedad. De hecho, se puede probar que toda variedad diferenciable de dimensión k, con la definición dada en el módulo I, se puede ver como un subconjunto de Rn que localmente es el grafo de una aplicación. Más precisamente, Proposición 2.1 Un subconjunto M de Rn es una variedad diferenciable de dimensión k si y sólo si para todo x ∈ M existe un entorno abierto U de x tal que M ∩ U es el grafo de una aplicación diferenciable expresando (n − k) de las coordenadas en término de las otras k. Veamos el ejemplo de la esfera S 2 como imagen de grafos. p Ejemplo 2.2 Sea f : {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1} → R la función dada por (x, y) 7→ 1 − x2 − y 2 . f es diferenciable y su grafo nos dará el casquete superior de la esfera S 2 . Modificando el procedimiento podemos recubrir todo S 2 con lo que S 2 es una variedad diferenciable.
En el ejemplo anterior, no es posible obtener una aplicación diferenciable de tal manera que su imagen sea todo S 2 ¿Existe algún método que nos permita probar de una manera directa que es una variedad diferenciable? Describiremos a continuación un método basado en ver las variedades diferenciables como un subconjunto de Rn dado por una serie de ecuaciones. Por ejemplo, la esfera S 2 está descrita por la ecuación x2 + y 2 + z 2 = 1. Esto es equivalente a decir que S 2 es F −1 (1), donde F : R3 → R, (x, y, z) 7→ x2 + y 2 + z 2 . Desde el punto de vista de la Mecánica esta aproximación es bastante natural: los espacios de configuración en problemas mecánicos están definidos por una o más ligaduras que limitan el movimiento. Estas ligaduras vienen representadas por ecuaciones de la forma f1 = c1 , . . . , fk = ck donde f1 : Rn → R, . . . , fk : Rn → R son funciones diferenciables. Definición 2.3 Sean f1 : Rn → R, . . . , fk : Rn → R funciones diferenciables y (c1 , . . . , ck ) ∈ Rk . Al conjunto de puntos {x ∈ Rn | (f1 , . . . , fk )(x) = (c1 , . . . , ck )} se le denomina conjunto de nivel. La pregunta que nos hacemos es cuándo un conjunto de nivel es una variedad diferenciable. Ilustremos con un ejemplo las distintas posibilidades. Ejemplo 2.4 Sea f : R2 → R la función dada por f (x, y) = xy. Si c 6= 0 entonces el conjunto de nivel f (x, y) = c es la hipérbola y = c/x, que es una variedad diferenciable. Sin embargo, si tomamos c = 0 vemos que aparece un problema en el origen (x, y) = (0, 0), ya que localmente nunca va a ser el grafo de una aplicación. Universidad de La Laguna m Grupo de Geometría Diferencial y Mecánica Geométrica
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UN MÉTODO PARA OBTENER VARIEDADES DIFERENCIABLES
∂f Si estudiamos el gradiente de f , ∇f = ( ∂f ∂x , ∂y ) = (y, x) vemos que
∇f = (0, 0) si y sólo si (x, y) = (0, 0). Por tanto, para todo (x, y) tal que f (x, y) = c 6= 0, se tiene que ∇f es distinto de (0, 0). Supondremos de k ≤ n. Sean f1 , . . . , fk : Ω ⊆ Rn → R funciones diferenciables. Si consideramos la función F = (f1 , . . . , fk ) : Ω → Rk , el ejemplo anterior nos da una idea que el gradiente de las funciones fi nos dará condiciones suficientes para que F (x) = c sea una variedad. Como los gradientes de las funciones fi son las filas de la matriz jacobiana DF (x), éste va a jugar un papel importante. De hecho, la respuesta está en el Teorema de la Función Implícita, que recordamos a continuación. Teorema 2.5 (Teorema de la Función Implícita) Sea F : Ω ⊆ Rn → Rk una aplicación diferenciable con n ≥ k. Sea x0 ∈ Ω y c = F (x0 ). Si el rango de DF (x) es k entonces existe un entorno U de x tal que F −1 (c) ∩ U es el grafo de una función diferenciable expresando k de las variables estándar en término de las otras. Definición 2.6 Sea F : Ω ⊆ Rn → Rk una aplicación diferenciable con n ≥ k. Decimos que c ∈ Rk es un valor regular si la matriz Jacobiana DF (x) tiene rango k para todo x ∈ F −1 (c). Nota 2.7 Notar que c ∈ Rk es un valor regular si y sólo si DF (x) es una matriz que define una aplicación suprayectiva para todo x ∈ F −1 (c). Del Teorema de la Función Implícita podemos concluir el siguiente método para obtener variedades. Corolario 2.8 Sea F : Ω ⊆ Rn → Rk una aplicación diferenciable con n ≥ k. Si c ∈ Rk es un valor regular entonces el conjunto de nivel F −1 (c) es una variedad diferenciable de dimensión n − k. Vemos algunas aplicaciones de este método. Ejemplo 2.9 Sea f : Rn+1 → R la función dada por f (x1 , . . . , xn+1 ) = (x1 )2 + . . . + (xn+1 )2 . f es una aplicación diferenciable y ∇f = (2x1 , . . . , 2xn+1 ). Es trivial ver que c = 1 es un valor regular de f con lo que f −1 (1) = S n es una variedad diferenciable. Notar que, aunque ya sabíamos que la esfera es una variedad diferenciable, con esta técnica lo hemos demostrado de manera directa, sin necesidad de encontrar las cartas de la variedad. Ejemplo 2.10 Sea f : R3 → R la función dada por f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . Si c 6= 0 entonces es un valor regular para f . En este caso, el conjunto de nivel f (x, y, z) = c es el hiperboloide de dos hojas.
Si c = 0 entonces tenemos que el correspondiente conjunto de nivel es el cono, que no es una variedad diferenciable, ya que no se puede expresar alrededor del origen (0, 0, 0) como un grafo. Universidad de La Laguna m Grupo de Geometría Diferencial y Mecánica Geométrica
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EL CUERPO RÍGIDO Y SO(3)
3 El cuerpo rígido y SO(3) En esta sección mostraremos un tipo particular de variedad diferenciable que nos servirá para modelar el movimiento de un cuerpo rígido rotando al lado de un punto fijo. Un cuerpo rígido es un sistema de varias masas puntuales, no todas alineadas, sujetos a la restricción que la distancia entre cualquier par de puntos permanece constante a lo largo del tiempo. En vez de un conjunto finito de masas puntuales, uno puede considerar un objeto sólido, formado por un número infinito de puntos. Asumiremos que el movimiento es continuo, lo que implica que se preserva la orientación del objeto. Esta hipótesis junto con la restricción de que las distancias de las partículas interiores permanecen constantes, implican que el cuerpo se puede mover solamente por una combinación de rotaciones y traslaciones. Desde un punto de vista físico, es posible tratar de manera separada el movimiento rotacional y el traslacional. En nuestro caso, consideramos el movimiento rotacional de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo, el punto pivote.
Si fijamos una configuración de referencia X, denotando la posición de una partícula del cuerpo en un instante t por x(t), tenemos que existe una matriz de rotación R(t) tal que x(t) = R(t)X. Recordamos que las matrices de rotación son ortogonales, es decir Rt = R−1 , donde Rt es la matriz traspuesta de R, y como se preserva la orientación, det(R) = 1 Por tanto, para estudiar el movimiento rotacional de un cuerpo rígido en el espacio, el conjunto a considerar es SO(3) = {R | R matriz de orden 3, con Rt = R−1 , det(R) = 1} Usando la técnica de la sección anterior, veamos que SO(3) es un variedad diferenciable. Consideramos gl(3, R) el conjunto de las matrices reales de orden 3. En el Módulo I ya habíamos probado que el conjunto de matrices reales regulares GL(3, R) es un abierto de gl(3, R) y, por tanto, una variedad diferenciable. Ahora, consideramos el espacio vectorial de las matrices reales de orden 3 simétricas, Sim(3). Sea F : GL(3, R) → Sim(3, R) la aplicación dada por F (R) = Rt R − Id Nota que Gl(3, R) y Sim(3, R) son espacios vectoriales que se pueden identificar con R9 y R6 , respectivamente. Bajo esta identificación, la aplicación F es diferenciable. Calculemos el jacobiano DF (R): dada B ∈ gl(3, R), DF (R)(B)
= =
d F (R + tB) dt |t=0 d (R + tB)t (R + tB) − Id = B t R + Rt B, dt |t=0
De este resultado, deducimos que DF (R) es sobreyectiva, ya que si S ∈ Sim(3, R), tomando B = 21 (R−1 )t S satisface DF (R)(B) = S. Así, del Corolario 2.8, O(3) = F −1 (0) = {R | R matriz de orden n, con Rt = R−1 } Universidad de La Laguna m Grupo de Geometría Diferencial y Mecánica Geométrica
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EL CUERPO RÍGIDO Y SO(3)
es una variedad diferenciable. Si R ∈ O(3) entonces, det R = ±1. Así, SO(3) = O(3) ∩ det−1 (] − 1, ∞[) es un abierto de O(3). De hecho, SO(3) es la componente conexa de O(3) con determinante +1. Concluimos entonces que SO(3) es una variedad diferenciable.
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