Módulo 5: Sistemas Hamiltonianos
Geometría diferencial y Mecánica: Una introducción
Ref
(M´ odulo 5)
Sistemas Hamiltonianos
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Mecánica de Newton
Partícula P moviéndose en R3 ~r (t) el vector de posición de P en el instante t.
(M´ odulo 5)
Sistemas Hamiltonianos
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Mecánica de Newton
Partícula P moviéndose en R3 ~r (t) el vector de posición de P en el instante t.
Segunda ley de Newton ~ = m~a = m d22 ~r = F dt
(M´ odulo 5)
Sistemas Hamiltonianos
d ~p . dt
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Mecánica de Newton
Partícula P moviéndose en R3 ~r (t) el vector de posición de P en el instante t.
Segunda ley de Newton ~ = m~a = m d22 ~r = F dt
d ~p . dt
donde ~ es la fuerza total que actúa sobre la partícula. F m es la masa de la partícula. ~v =
d ~r dt
es la velocidad de la partícula.
~a =
d ~v dt
=
d2 ~r dt 2
es la aceleración de la partícula.
~p = m~v es el momento lineal.
(M´ odulo 5)
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Mecánica de Newton
Ref
Fi = mi x¨i ,
(M´ odulo 5)
1 ≤ i ≤ 3N = k,
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Energía del sistema
Energía cinética del sistema T =
(M´ odulo 5)
k 1X mi (x˙ i )2 2 i=1
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Energía del sistema
Energía cinética del sistema T =
k 1X mi (x˙ i )2 2 i=1
Energía potencial del sistema. V : Rk → R Fi = −
∂V , ∂xi
i = 1, . . . , k.
En este caso, el sistema se dice conservativo.
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Coordenadas generalizadas. Ecuaciones de Euler-Lagrange
Limitaciones al movimiento ≥ variedad diferenciable Q en R3N
(M´ odulo 5)
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Coordenadas generalizadas. Ecuaciones de Euler-Lagrange
Limitaciones al movimiento ≡ variedad diferenciable Q en R3N Coordenadas (U, (q 1 , . . . , q m )). xi = xi (q 1 , . . . q m ), m
x˙ i =
X ∂xi A dx q˙ . = dt ∂q A A=1
(M´ odulo 5)
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Coordenadas generalizadas. Ecuaciones de Euler-Lagrange
Limitaciones al movimiento ≡ variedad diferenciable Q en R3N Coordenadas (U, (q 1 , . . . , q m )). xi = xi (q 1 , . . . q m ), m
x˙ i =
X ∂xi A dx q˙ . = dt ∂q A A=1
Ecuaciones de Euler-Lagrange para el sistema mecánico. d ∂L ∂L − = 0, 1 ≤ B ≤ m, dt ∂ q˙ B ∂q B L(q A , q˙ A ) = T − V función lagrangiana del sistema (función en TQ)
(M´ odulo 5)
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Espacio de fases Momentos generalizados v A = q˙ A ,
(M´ odulo 5)
LA =
∂L ∂L = , ∂v A ∂ q˙ A
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Espacio de fases Momentos generalizados v A = q˙ A ,
LA =
∂L ∂L = , ∂v A ∂ q˙ A
Consideramos las funciones FA (q B , v B , pB ) = LA (q B , v B ) − pA , G (q B , v B , pB ) = (F1 (q B , v B , pB ), . . . , Fm (q B , v B , pB )).
(M´ odulo 5)
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Espacio de fases Momentos generalizados v A = q˙ A ,
LA =
∂L ∂L = , ∂v A ∂ q˙ A
Consideramos las funciones FA (q B , v B , pB ) = LA (q B , v B ) − pA , G (q B , v B , pB ) = (F1 (q B , v B , pB ), . . . , Fm (q B , v B , pB )). ∂LA Si ( ∂q B ) es regular
(q A , v A ) 7→ (q A , pA =
∂L ) ∂v A
es biyectiva (localmente) con inversa (q A , pA ) 7→ (q A , ψA (q, p)) Espacio fase de momentos del sistema (q A , pA ) (M´ odulo 5)
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Función Hamiltoniana. Ecuaciones de Hamilton
Función Hamiltoniana H=
m X
pA v A − L(q B , v B ).
A=1 m X
m
∂H ∂v B X ∂v B = vA + pB − pB = v A = q˙ A , ∂pA ∂pA ∂pA B=1 B=1 ∂H ∂L = − A. ∂q A ∂q
(M´ odulo 5)
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Función Hamiltoniana. Ecuaciones de Hamilton
Función Hamiltoniana H=
m X
pA v A − L(q B , v B ).
A=1 m X
m
∂H ∂v B X ∂v B = vA + pB − pB = v A = q˙ A , ∂pA ∂pA ∂pA B=1 B=1 ∂H ∂L = − A. ∂q A ∂q Ecuaciones de Hamilton Ecuaciones Euler-Lagrange ⇔
(M´ odulo 5)
∂H = −p˙ A , ∂q A
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∂H = q˙ A . ∂pA
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Corchete de Poisson
ϕ = ϕ(q A , pA ), observable (función de las posiciones y los momentos) t → (q 1 (t), . . . , q m (t), p1 (t), . . . , pm (t)) solución de las ecuaciones de Hamilton ¿Cuál es la evolución de ϕ a lo largo de la solución?
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Corchete de Poisson
ϕ = ϕ(q A , pA ), observable (función de las posiciones y los momentos) t → (q 1 (t), . . . , q m (t), p1 (t), . . . , pm (t)) solución de las ecuaciones de Hamilton ¿Cuál es la evolución de ϕ a lo largo de la solución?
ϕ˙ =
m X ∂ϕ ∂H ∂ϕ ∂H − . ∂q A ∂pA ∂pA ∂q A A=1
{F , G } =
m X A=1
(M´ odulo 5)
∂F ∂G ∂F ∂G − ∂q A ∂pA ∂pA ∂q A
(Corchete de Poisson)
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Corchete de Poisson
ϕ = ϕ(q A , pA ), observable (función de las posiciones y los momentos) t → (q 1 (t), . . . , q m (t), p1 (t), . . . , pm (t)) solución de las ecuaciones de Hamilton ¿Cuál es la evolución de ϕ a lo largo de la solución?
ϕ˙ =
m X ∂ϕ ∂H ∂ϕ ∂H − . ∂q A ∂pA ∂pA ∂q A A=1
{F , G } =
m X A=1
∂F ∂G ∂F ∂G − ∂q A ∂pA ∂pA ∂q A
(Corchete de Poisson)
⇓ ϕ˙ = {ϕ, H}.
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