Módulo 4: Campos de vectores y sistemas de ecuaciones diferenciales
Geometría diferencial y Mecánica: Una introducción
(M´ odulo 4)
Campos de vectores
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Ecuaciones diferenciales y campos de vectores
La evolución de un sistema en Rn dx = f (x), f : Rn → Rn dt
(M´ odulo 4)
Campos de vectores
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Ecuaciones diferenciales y campos de vectores
La evolución de un sistema en Rn dx = f (x), f : Rn → Rn dt Otra forma de representar esta ecuación diferencial Xf : Rn → T Rn = Rn × Rn , x 7→ (x, f (x))
(M´ odulo 4)
Campos de vectores
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Ecuaciones diferenciales y campos de vectores
La evolución de un sistema en Rn dx = f (x), f : Rn → Rn dt Otra forma de representar esta ecuación diferencial Xf : Rn → T Rn = Rn × Rn , x 7→ (x, f (x))
⇓ Xf : Rn → T Rn aplicación diferenciable τRn ◦ Xf = IdRn
(M´ odulo 4)
τRn : T Rn → Rn
Campos de vectores
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Campos de vectores DEFINICION Un campo de vectores sobre una variedad diferenciable M es una aplicación X : M → TM tal que
(M´ odulo 4)
Campos de vectores
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Campos de vectores DEFINICION Un campo de vectores sobre una variedad diferenciable M es una aplicación X : M → TM tal que τM ◦ X = idM m X (x) ∈ Tx M,
(M´ odulo 4)
(x ∈ M)
Campos de vectores
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Campos de vectores DEFINICION Un campo de vectores sobre una variedad diferenciable M es una aplicación X : M → TM tal que τM ◦ X = idM m X (x) ∈ Tx M,
(x ∈ M)
X es diferenciable
(M´ odulo 4)
Campos de vectores
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Campos de vectores DEFINICION Un campo de vectores sobre una variedad diferenciable M es una aplicación X : M → TM tal que τM ◦ X = idM m X (x) ∈ Tx M,
(x ∈ M)
X es diferenciable (U, ϕ ≡ (x 1 , . . . , x n )) carta local en M ⇓ { ∂x∂ i |x }i=1,...,n X (x) =
n X
X i (x)
i=1 i
n
X : R → R,
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1
n
base de Tx M
∂ ∂x i |x
i
x ≡ (x , . . . , x ) → X (x) diferenciable
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Ejemplos de campos de vectores
Los campos coordenados (U, ϕ ≡ (x 1 , . . . , x n )) una carta de M ∂ : U → TU, ∂x j
(M´ odulo 4)
∂ ∂ (x) = (x, j ) ∂x j ∂x |x
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Ejemplos de campos de vectores
Los campos coordenados (U, ϕ ≡ (x 1 , . . . , x n )) una carta de M ∂ : U → TU, ∂x j
∂ ∂ (x) = (x, j ) ∂x j ∂x |x
Suma de campos de vectores X + Y : M → TM x ∈ M 7→ (X + Y )(x) = X (x) + Y (x) ∈ Tx M
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Campos de vectores
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Ejemplos de campos de vectores
(M´ odulo 4)
Campos de vectores
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Ejemplos de campos de vectores
f : M → R es diferenciable en x ∈ M m f ◦ ϕ−1 : U ⊆ Rn → R es diferenciable para (U, ϕ ≡ (x 1 , . . . , x n ))
(M´ odulo 4)
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Ejemplos de campos de vectores
f : M → R es diferenciable en x ∈ M m f ◦ ϕ−1 : U ⊆ Rn → R es diferenciable para (U, ϕ ≡ (x 1 , . . . , x n )) Producto de una función diferenciable por un campo de vectores fX : M → TM, x ∈ M 7→ (fX )(x) = f (x)X (x) ∈ Tx M
(M´ odulo 4)
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Campos de vectores
Una definición alternativa de campo de vectores X : M → TM campo de vectores X : C ∞ (M) → C ∞ (M) x ∈M
(U, ϕ ≡ (x 1 , . . . , x n )) carta de M con x ∈ U ⇓ X (x) =
n X
X i (x)
i=1
∂ ∂x i |x
⇓ X (f )(x) =
n X i=1
(M´ odulo 4)
X i (x)
∂(f ◦ ϕ−1 ) ∂x i |x
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Campos de vectores
Una definición alternativa de campo de vectores X : M → TM campo de vectores X : C ∞ (M) → C ∞ (M) x ∈M
(U, ϕ ≡ (x 1 , . . . , x n )) carta de M con x ∈ U ⇓ X (x) =
n X
X i (x)
i=1
∂ ∂x i |x
⇓ X (f )(x) =
n X i=1
X i (x)
∂(f ◦ ϕ−1 ) ∂x i |x
X (f + g ) = X (f ) + X (g ) X (f · g ) = f · X (g ) + g · X (f ) (M´ odulo 4)
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Campos de vectores
X : C ∞ (M) → C ∞ (M) X (f + g ) = X (f ) + X (g ) X (f · g ) = f · X (g ) + g · X (f ) ⇓ X induce un campo de vectores
X (x) =
n X
X i (x)
i=1
∂ , ∂x i |x
X i = X (x i )
⇓ X (f )(x) =
n X i=1
(M´ odulo 4)
X i (x)
∂(f ◦ ϕ−1 ) ∂x i |x
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Ejemplos de campos de vectores
Corchete de Lie de campos de vectores X : C ∞ (M) → C ∞ (M), Y : C ∞ (M) → C ∞ (M) [X , Y ] : C ∞ (M) → C ∞ (M),
(M´ odulo 4)
[X , Y ](f ) = X (Y (f )) − Y (X (f ))
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