Campos de vectores y sistemas de ecuaciones diferenciales francisco javier cervigon ruckauer

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MOTIVACIĂ“N

G EOMETRĂ?A DIFERENCIAL Y M ECĂ NICA : U NA INTRODUCCIĂ“N

MĂłdulo 4: Campos de vectores y sistemas de ecuaciones diferenciales

Resumen Introducimos en este mĂłdulo el concepto de campo de vectores en una variedad diferenciable como una manera de expresar geomĂŠtricamente el concepto de sistema de ecuaciones diferenciales autĂłnomo.

1 MotivaciĂłn La evoluciĂłn de un sistema (fĂ­sico, biolĂłgico, mecĂĄnico...) suele estar representada por un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma dx = f (x), (1) dt donde f : Rn → Rn es una funciĂłn, generalmente diferenciable. AdemĂĄs, es bien sabido que el sistema (1) tiene una Ăşnica soluciĂłn x(t) para un valor inicial x0 ∈ Rn , es decir, existe un intervalo (− , ) y una curva x : (− , ) → Rn tal que se cumple (1) y x(0) = x0 .

Como f representa las posibles velocidades de la partícula, si queremos considerar simultåneamente la posición x y su velocidad, construimos una nueva aplicación Xf : Rn → Rn × Rn ,

x 7→ (x, f (x)).

Ahora, usando el concepto de espacio tangente visto en el módulo anterior y recordando que el espacio tangente a Rn , que denotamos por T Rn , es simplemente Rn × Rn , nos queda una aplicación diferenciable Xf : Rn → T Rn tal que la proyección τRn : T Rn → Rn satisface τRn ◌ Xf = Id. Así, usando el espacio tangente de las velocidades, tenemos una manera de ver globalmente una ecuación diferencial y que es fåcilmente generalizable al contexto de las variedades. En este módulo desarrollaremos dicha idea.

Nota 1.1 En el caso de la fĂ­sica, la segunda ley de Newton es una ecuaciĂłn diferencial de segundo orden F =m

d2 x , dt2

(2)

dx = x. Ë™ dt Si queremos reinterpretar esta ecuaciĂłn como de primer orden utilizamos el siguiente argumento: En vez de considerar las variables x, tomamos las variables (x, p), con p = mxË™ y (2) se puede reescribir como

1 xË™ = m p, pË™ = F. donde F es la fuerza sobre el cuerpo y m es la masa del mismo. Representemos

Por tanto, una ecuaciĂłn de segundo orden en Rn se verĂĄ como una ecuaciĂłn de primer orden en T ∗ Rn .

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CAMPOS DE VECTORES

2 Campos de vectores Siguiendo el razonamiento de la primera sección, tenemos la siguiente definición.

Definición 2.1 Un campo de vectores sobre una variedad diferenciable M es una aplicación diferenciable X : M → T M tal que τM ◦ X = idM , esto es, X(x) ∈ Tx M, (x ∈ M ).

La diferenciabilidad en este caso se interpreta de la siguiente manera. Sea (U, ϕ) una carta local en M con coordenadas locales (x1 , . . . , xn ). Entonces, en el abierto U podemos definir los campos de vectores locales ∂ : U → T M, ∂xi

x ∈ U 7→

∂ ∈ Tx M. ∂xi |x

∂ Usando que { ∂x } es una base de Tx M , para todo x ∈ U , el campo de vectores X se puede escribir en U i |x i=1,...,n como n X ∂ X= Xi i . ∂x i=1

Ya que X i = X i (x1 , . . . , xn ), para todo i ∈ {1, . . . n}, diremos que X es diferenciable si las funciones X i son diferenciables.

Esta noción no depende de la carta elegida. En efecto, si tenemos otra carta (V, ψ ≡ (y 1 , . . . , y n )). Entonces, n X ∂ X= Y i i . Por tanto, en la intersección de U ∩ V tenemos ∂x i=1 X=

n X i=1

n X

Xi

n j X ∂ ∂ i ∂y = X . i ∂y j ∂xi ∂x i,j=1

∂y j es diferenciable. ∂xi i=1 Uno puede definir la noción de diferenciabilidad para una aplicación entre variedades. En este curso hemos optado por no introducir esta noción para hacer más simple el curso. Este es el caso de la aplicación X : M → T M ya que como hemos visto anteriormente T M es una variedad diferenciable. La condición impuesta aqui para la diferenciabilidad del campo es equivalente a probar que X : M → T M es diferenciable.

Así, Y j =

Xi

Si f : M → R es una aplicación diremos que es diferenciable en x ∈ M si existe una carta (U, ϕ ≡ (x1 , . . . , xn )) de x tal que f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → R es diferenciable. Esta definición no depende de la carta elegida. Esto es, si f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → R es diferenciable, para cualquier otra carta (V, ψ) de x, f ◦ ψ −1 = (f ◦ ϕ−1 ) ◦ (ϕ ◦ ψ −1 ) : ψ(V ∩ U ) → R es diferenciable. Denotamos por C ∞ (M ) el conjunto de las funciones f : M → R diferenciables en todo punto de M. Denotamos por X(M ) al conjunto de los campos de vectores sobre M . X(M ) es un C ∞ (M )-módulo. En efecto, si X, Y ∈ X(M ) entonces X +Y : M → TM x ∈ M 7→ (X + Y )(x) = X(x) + Y (x) ∈ Tx M Universidad de La Laguna m Grupo de Geometría Diferencial y Mecánica Geométrica

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UNA DEFINICIÓN ALTERNATIVA DE CAMPO DE VECTORES

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es un campo de vectores sobre M . Por otra parte, si f ∈ C ∞ (M ) fX :

M → TM x ∈ M 7→ (f X)(x) = f (x)X(x) ∈ Tx M

es un campo de vectores sobre M . En particular, X(M ) es un espacio vectorial sobre R.

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Una definición alternativa de campo de vectores

En esta sección daremos una definición alternativa de campo de vectores, menos intuitiva, pero muy útil a la hora de trabajar con campos de vectores.

Si X : M → T M es un campo de vectores, entonces podemos definir una aplicación que también denotaremos por X X : C ∞ (M ) → C ∞ (M ), f 7→ X(f ) dada como sigue: Si x ∈ M y (U, ϕ ≡ (x1 , . . . , xn )) es una carta de M con x ∈ U , entonces X(x) =

n X

X i (x)

i=1

Así, definimos X(f )(x) =

n X

X i (x)

i=1 ∞

∂ . ∂xi |x

∂(f ◦ ϕ−1 ) . ∂xi |x

∞

Esta función X : C (M ) → C (M ) satisface las siguientes propiedades: • X(f + g) = X(f ) + X(g) • X(f · g) = f · X(g) + g · X(f ) para todo f, g ∈ C ∞ (M ).

Recíprocamente, se puede probar (no lo veremos aquí) que si tenemos una función X : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) que satisface: • X(f + g) = X(f ) + X(g), • X(f · g) = f · X(g) + g · X(f ), entonces, podemos deducir un campo de vectores X : M → T M tal que si X(x) =

n X

X i (x)

i=1

entonces X(f )(x) =

∂ , ∂xi |x

n X i=1

X i (x)

X i = X(xi ),

∂(f ◦ ϕ−1 ) . ∂xi |x

Esta definición alternativa de campo de vectores nos permite definir a partir de dos campos de vectores X : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) e Y : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) un nuevo campo de vectores que denominamos el corchete de los campos X e Y : [X, Y ] : C ∞ (M ) → C ∞ (M ), [X, Y ](f ) = X(Y (f )) − Y (X(f )).

Este nuevo campo de vectores satisface las siguientes propiedades: 1. [X, Y ] = −[Y, X] 2. [X + Y, Z] = [X, Z] + [Y, Z] 3. [X, f Y ] = f [X, Y ] + Y (f )X 4. Identidad de Jacobi: [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0 Universidad de La Laguna m Grupo de Geometría Diferencial y Mecánica Geométrica

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CURVAS INTEGRALES DE CAMPOS DE VECTORES

4 Curvas integrales de campos de vectores Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. Supongamos que γ : I → M es una curva sobre M , esto es, I es un intervalo abierto de R y γ es diferenciable. Esto quiere decir que para cualquier carta (U, ϕ ≡ (x1 , . . . , xn )) tal que α(I) ⊆ U entonces ϕ ◦ α : U → ϕ(U ) es una aplicación diferenciable. Esta definición no depende de la carta elegida.

Recordamos que el vector tangente a la curva γ en t = t0 ∈ I esta definido por γ(t ˙ 0 ) = lim

t→t0

γ(t) − γ(t0 ) , t − t0

donde t es la coordenada estándar sobre R. Definición 4.1 Sea X : M → T M un campo de vectores sobre M . Una curva integral de X es una curva γ : I → M tal que γ(t) ˙ = X(γ(t)), (t ∈ I).

Sea γ : I ⊆ R → M una curva sobre M tal que γ(I) ⊆ U , con (U, ϕ ≡ (x1 , . . . , xn )) una carta local de M . Entonces, utilizando la regla de la cadena, n X d(xi ◦ γ) ∂ , (t ∈ I). γ(t) ˙ = dt |t ∂xi |γ(t) i=1 ∂ ∂ Supongamos ahora que X i : U → R son las componentes de X con respecto de la base { ∂x 1 , . . . , ∂xn }, esto es,

X=

n X

Xi

i=1

∂ . ∂xi

Luego, X(γ(t)) =

n X i=1

X i (γ(t))

∂ , ∂xi |γ(t)

(t ∈ I).

Por tanto, d(xi ◦ γ) = X i (γ(t)), ∀ i, ∀t ∈ I dt |t d(xi ◦ γ) ⇐⇒ = X i ◦ γ, ∀ i. dt En consecuencia, para calcular las curvas integrales del campo X en U tenemos que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Desde este resultado se justifica lo que habíamos comentado al principio del módulo: los campos de vectores son el objeto geométrico que codifica un sistema de ecuaciones diferenciales en la variedad. γ es una curva integral del campo X ⇐⇒

En virtud de los teoremas de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden resulta que: Proposición 4.2 Sea X ∈ X(M ). Entonces, para cada p ∈ M hay un intervalo I alrededor del cero y una única curva integral γ : I → M de X tal que γ(0) = p.

Veamos ahora un resultado de unicidad que nos permitirá pensar en las curvas integrales de una manera global.

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CURVAS INTEGRALES DE CAMPOS DE VECTORES

Corolario 4.3 Sean Îą, β : I → M curvas integrales de X tales que Îą(a) = β(a) para algĂşn a ∈ I. Entonces, Îą = β en todo I. DemostraciĂłn.

Sea A = {t ∈ I | Îą(t) = β(t)}. Probaremos que es abierto y cerrado en I. A es cerrado ya que al ser M Hausdorff se tiene que ∆M = {(x, x) ∈ M Ă— M } ⊆ M Ă— M es cerrado y, puesto que Îą Ă— β : I → M Ă— M es continua, se sigue que (Îą Ă— β)−1 (∆M ) = A es cerrado en I. Veamos ahora que A es abierto. En efecto, sea t ∈ A. Tomando s suficientemente pequeĂąo s 7→ Îą(t + s),

s 7→ β(t + s),

son curvas integrales de X que coinciden en s = 0. Por tanto, para s suficientemente pequeĂąo, Îą(t + s) = β(t + s) y t + s ∈ A. Consecuentemente, (t − , t + ) ⊆ A, para suficientemente pequeĂąo. Esto implica que A es abierto.

Al ser I conexo, se tiene que A = I, concluyendo el resultado.

Sea p ∈ M y X ∈ X(M ). Consideramos la colecciĂłn de todas las curvas integrales Îą : IÎą → M , que empiezan en p, esto es, Îą(0) = p. Para dos de tales curvas, el corolario anterior demuestra que Îą = β sobre IÎą ∊ Iβ . AsĂ­, todas estas curvas definen una curva integral Îąp : Ip → M , donde Ip = âˆŞIÎą . Decimos que Îąp es la curva integral maximal de X con origen en p.

Ejemplos 4.4 i) En R2 con coordenadas (x1 , x2 ) consideramos el campo de vectores X = x1

∂ ∂ + x2 2 . ∂x1 ∂x

Calculemos sus curvas integrales. Sea γ : I ⊆ R → R2 una curva en R2 . Supongamos que γ(t) = (x1 (γ(t)), x2 (γ(t))).

Entonces, Îł es una curva integral de X si y sĂłlo si d(x1 â—Ś Îł) = x1 â—Ś Îł, dt

d(x2 â—Ś Îł) = x2 â—Ś Îł. dt

Por tanto, Îł(t) = (a et , b et ), con a, b ∈ R. Luego, la curva integral maximal que pasa por (a, b), Îł(0) = (a, b), estĂĄ definida en todo R. ii) En R2 con coordenadas (x1 , x2 ) consideramos el campo de vectores X = e−x

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∂ . ∂x1

Calculemos sus curvas integrales. Sea γ : I ⊆ R → R2 una curva en R2 . Supongamos que γ(t) = (x1 (γ(t)), x2 (γ(t))).

Entonces, Îł es una curva integral de X si y sĂłlo si 1 d(x1 â—Ś Îł) = e−(x â—ŚÎł) , dt

d(x2 â—Ś Îł) = 0. dt

Por tanto, Îł(t) = (ln(t + ea ), b), con a, b ∈ R. AsĂ­, la curva integral maximal que pasa por (a, b), Îł(0) = (a, b), estĂĄ definida en el intervalo ] − ea , +∞[.

DefiniciĂłn 4.5 Un campo de vectores X sobre una variedad M se dice completo si la curva integral maximal de X que pasa por un punto cualquiera de M estĂĄ definida en toda la recta real.

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