Módulo 2: Más ejemplos
Geometría diferencial y Mecánica: Una introducción
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3) Un cuerpo rígido
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3) Un cuerpo rígido Asumiremos que el movimiento es continuo ⇓ Se preserva la orientación del objeto
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3) Un cuerpo rígido Asumiremos que el movimiento es continuo ⇓ Se preserva la orientación del objeto ⇓ El cuerpo se puede mover solamente por una combinación de rotaciones y traslaciones
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3) Un cuerpo rígido Asumiremos que el movimiento es continuo ⇓ Se preserva la orientación del objeto ⇓ El cuerpo se puede mover solamente por una combinación de rotaciones y traslaciones Consideramos el movimiento rotacional de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
X configuración de referencia
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
X configuración de referencia x(t) posición de una partícula del cuerpo en un instante t
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
X configuración de referencia x(t) posición de una partícula del cuerpo en un instante t ⇓ ∃ una matriz de rotación R(t):
(M´ odulo 2)
x(t) = R(t)X
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
X configuración de referencia x(t) posición de una partícula del cuerpo en un instante t ⇓ ∃ una matriz de rotación R(t):
x(t) = R(t)X
R t = R −1 ,
(M´ odulo 2)
det(R) = 1
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
X configuración de referencia x(t) posición de una partícula del cuerpo en un instante t ⇓ ∃ una matriz de rotación R(t):
x(t) = R(t)X
R t = R −1 ,
det(R) = 1
SO(3) = {R matriz de orden 3 | R t = R −1 , det(R) = 1}
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable gl(3, R) ∼ = R9
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable gl(3, R) ∼ = R9 GL(3, R) = {A ∈ gl(3, R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3, R)
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable gl(3, R) ∼ = R9 GL(3, R) = {A ∈ gl(3, R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3, R) Sim(3, R) ∼ = R6 espacio de matrices simétricas [Variedad diferenciable]
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable gl(3, R) ∼ = R9 GL(3, R) = {A ∈ gl(3, R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3, R) Sim(3, R) ∼ = R6 espacio de matrices simétricas [Variedad diferenciable] F : GL(3) → Sim(3)
aplicación diferenciable F (R) = R t R − Id
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable gl(3, R) ∼ = R9 GL(3, R) = {A ∈ gl(3, R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3, R) Sim(3, R) ∼ = R6 espacio de matrices simétricas [Variedad diferenciable] F : GL(3) → Sim(3)
aplicación diferenciable F (R) = R t R − Id
DF (R)(B) = B t R + R t B tiene rango 6
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable gl(3, R) ∼ = R9 GL(3, R) = {A ∈ gl(3, R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3, R) Sim(3, R) ∼ = R6 espacio de matrices simétricas [Variedad diferenciable] F : GL(3) → Sim(3)
aplicación diferenciable F (R) = R t R − Id
DF (R)(B) = B t R + R t B tiene rango 6 ⇓ O(3) = F
−1
(0) = {R | R matriz de orden n: R t = R −1 }
es una variedad diferenciable de dimesión 3 (M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
O(3) = F −1 (0) = {R | R matriz de orden n: R t = R −1 } es una variedad diferenciable de dimesión 3
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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El cuerpo rígido y SO(3)
O(3) = F −1 (0) = {R | R matriz de orden n: R t = R −1 } es una variedad diferenciable de dimesión 3 Si R ∈ O(3) ⇒ det(R) = ±1
(M´ odulo 2)
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El cuerpo rígido y SO(3)
O(3) = F −1 (0) = {R | R matriz de orden n: R t = R −1 } es una variedad diferenciable de dimesión 3 Si R ∈ O(3) ⇒ det(R) = ±1 ⇓ SO(3) = det
−1
(M´ odulo 2)
(] − 1, ∞[) ∩ O(3) es una variedad diferenciable de dimensión 3
M´ as ejemplos
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