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MOTIVACIĂ“N
G EOMETRĂ?A DIFERENCIAL Y M ECĂ NICA : U NA INTRODUCCIĂ“N
MĂłdulo 3: Espacio de velocidades
Resumen Introducimos en este mĂłdulo el concepto de espacio tangente de una variedad, con el que se codificarĂĄn todas las posibles velocidades de un sistema mecĂĄnico en un cierto punto del espacio de configuraciĂłn.
1 MotivaciĂłn Cuando estamos estudiando un sistema mecĂĄnico, nos interesa considerar no sĂłlo las posibles posiciones del sistema sino tambiĂŠn todas las posibles velocidades. Es claro que si nuestro sistema se encuentra en el espacio euclĂdeo Rm entonces, dado un punto x ∈ Rm y una curva Îą : (− , ) → Rm con Îą(0) = x, la velocidad de Îą en x viene dada por Îą(0) Ë™ =
dÎą Îą(t) − Îą(0) = lim . dt |t=0 t→0 t
Considerando en Rm coordenadas (x1 , . . . , xm ), la expresiĂłn de la curva es Îą(t) = (x1 (t), . . . , xm (t)) y, en consecuencia, el vector velocidad en el punto x viene dado por 1 dx dxm Îą(0) Ë™ = ,..., dt |t=0 dt |t=0 AsĂ, no es difĂcil probar que el conjunto de las posibles velocidades en x es simplemente Rm . De hecho, si v = (v 1 , . . . , v m ) ∈ Rm entonces tomando la curva Îą(t) = x + t v, se tiene que Îą(0) = x y Îą(0) Ë™ = v. Pueden existir dos curvas Îą y β que tengan la misma velocidad en un punto, es decir, Îą(0) = β(0),
˙ ι(0) ˙ = β(0).
Por tanto, no existe una correspondencia uno-a-uno entre curvas y vectores tangentes en Rm . Para evitar esta indeterminación, definimos la relación de equivalencia siguiente: dos curvas ι y β estån relacionadas si y sólo si ˙ ι(0) = β(0) y ι(0) ˙ = β(0). Esta última condición es equivalente a que lim
t→0
Îą(t) − β(t) = 0. t
Denotaremos el conjunto cociente de velocidades en un punto x por Tx Rm . Universidad de La Laguna m Grupo de GeometrĂa Diferencial y MecĂĄnica GeomĂŠtrica
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DEFINICIĂ“N Y EJEMPLOS
2 DefiniciĂłn y Ejemplos Supongamos ahora que el movimiento se desarrolla sĂłlo sobre una variedad k-dimensional M en Rm . Si consideramos una curva Îą : (− , ) → M ,
y una carta local (U, Ď•) en M tal que Îą([− , ]) ⊆ U , la composiciĂłn Ď• â—Ś Îą : [− , ] → Rn es una curva diferenciable en Rn . Lo que estamos haciendo es asignar coordenadas a la curva con la carta. Ahora tiene sentido considerar su vector velocidad en x = Îą(0) como d(Ď• â—Ś Îą) . dt |t=0 De igual manera a como hemos procedido en el caso del espacio eucĂdeo Rm , dadas dos curvas Îą y β en M con Îą(0) = β(0) = x, decimos que son equivalentes si, dada una carta (U, Ď• ≥ (x1 , . . . , xk )), con x ∈ U , se tiene lim
t→0
(Ď• â—Ś Îą)(t) − (Ď• â—Ś β)(t) = 0. t
Esta definiciĂłn es independiente de la carta elegida. Si (V, Ďˆ) es otra carta de la variedad M entonces, usando que Ďˆ â—Ś Ď•âˆ’1 es un difeomorfismo (Ďˆ â—Ś Îą)(t) − (Ďˆ â—Ś β)(t) t→0 t lim
=
(Ďˆ â—Ś Ď•âˆ’1 â—Ś Ď• â—Ś Îą)(t) − (Ďˆ â—Ś Ď•âˆ’1 â—Ś Ď• â—Ś β)(t) t→0 t
=
lim
lim
(Ďˆ â—Ś Ď•âˆ’1 ) Ď• â—Ś Îą)(t) − (Ď• â—Ś β)(t)
t→0 −1
=
(Ďˆ â—Ś Ď•
=
0.
t (Ď• â—Ś Îą)(t) − (Ď• â—Ś β)(t) ) lim t→0 t
Cada una de las clases de estas curvas determinan un Ăşnico vector tangente en x. DefiniciĂłn 2.1 Un vector tangente a una variedad M en el punto x ∈ M es una clase de equivalencia de curvas Îą(t), con Îą(0) = x. Al conjunto de vectores tangentes a M en x, denotado por Tx M , se le denomina espacio tangente a M en x. Nuestra discusiĂłn en Rm sobre vectores velocidad como elementos del propio Rm nos hace pensar que los vectores tangentes a cualquier variedad en un punto x forman un espacio vectorial. Veamos que esto es efectivamente asĂ. ProposiciĂłn 2.2 Sea M una variedad diferenciable de dimensiĂłn n. El espacio tangente a M en x, Tx M , es un espacio vectorial real de dimensiĂłn n. De hecho, si (U, Ď•) es una carta coordenada, con x ∈ U , y (x1 , . . . , xn ) sus funciones coordenadas, entonces ∂ ∂ , . . . , , ∂x1 |x ∂xn |x con i) ∂ d −1 = Ď• â—Ś (Ď•(x) + t(0, . . . , , . . . , 0)) 1 ∂xi |x dt |t=0 constituye una base de Tx M denominada base canĂłnica o natural asociada a la carta (U, Ď•).
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DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
Demostración. Con la definición de vector tangente, podemos identificar Tx M con Rk como sigue. Si α es una curva con α(0) = x, podemos identificar su clase de equivalencia con el vector velocidad v = α(0) ˙ =
d(ϕ ◦ α) . dt |t=0
Con esta identificación, es fácil definir las operaciones de multiplicación de un vector tangente por un número real y la suma de vectores tangentes d(λ(ϕ ◦ α)) , λ ∈ R, λα(0) ˙ = dt |t=0 d((ϕ ◦ α1 ) + (ϕ ◦ α2 )) α˙ 1 (0) + α˙ 2 (0) = dt |t=0 ∂ Veamos que { ∂x , . . . , ∂x∂n |x } es un sistema generador de Tx M . Sea v ∈ Tx M con v = 1 |x 1
n
(α (t), . . . , α (t)), denotando vi =
dαi dt |t=0 ,
v=
d(ϕ◦α) dt |t=0 .
Si ϕ ◦ α =
es fácil probar que
k X
vi
i=1
i) d (ϕ(x) + t(0, . . . , 1 , . . . , 0)). dt |t=0
Veamos finalmente que son linealmente independientes. Para ello supongamos que k X i=1
λi
∂ = (0, . . . , 0, . . . , 0), con λi ∈ R. ∂xi |x
De la definición de producto por un escalar y suma de vectores, (0, . . . , 0, . . . , 0)
= =
k X i=1 1
∂ d λ = ∂xi |x dt |t=0 i
k X
i)
i
!
λ (ϕ(x) + t(0, . . . , 1 , . . . , 0))
i=1
(λ , . . . , λk ).
Por tanto, λj = 0, para todo j ∈ {1, . . . , k}. Nota 2.3 Nótese que en la demostración del resultado anterior se tiene que si (U, ϕ ≡ (x1 , . . . , xn )) es una carta en M entonces las componentes del vector tangente a la curva α(t) son los números (v 1 , . . . , v k ) donde vi =
dαi , dt |t=0
i = 1, . . . , k,
con (ϕ ◦ α)(t) = (α1 (t), . . . , αk (t)). A continuación, veremos cómo se obtienen las coordenadas de un vector tangente a M en x cuando cambiamos de carta. Sean (U, ϕ) y (V, ψ) cartas locales en M tales que x ∈ U ∩ V . Supongamos que (x1 , . . . , xn ), (y 1 , . . . , y n ) ∂ son las coordenadas para las respectivas cartas. Entonces, { ∂x , . . . , ∂x∂n |x } y { ∂y∂ 1 , . . . , ∂y∂n } son bases de Tx M . 1 |x |x
d(ψ ◦ α) dt |t=0
|x
d(ψ ◦ ϕ−1 ◦ ϕ ◦ α) dt |t=0 d(ϕ ◦ α) = J(ψ ◦ ϕ−1 )(ϕ(x)) dt |t=0 =
donde J(ψ◦ϕ−1 )(ϕ(x)) es la matriz jacobiana de ψ◦ϕ−1 en el punto ϕ(x). Usando que ψ◦ϕ−1 es un difeomorfismo, se tiene que J(ψ ◦ ϕ−1 )(ϕ(x)) define un automorfismo del espacio vectorial Tx Rn . En consecuencia, la matriz jacobiana de la aplicación ψ ◦ ϕ−1 en el punto ϕ(x) es la matriz cuadrada de orden n que da el cambio de base correspondiente a un cambio de cartas.
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DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
Ejemplo 2.4 Si M viene dado como F −1 (c1 , . . . , ck ), con F : RN → Rk , se puede probar que Tx M = {v = (v1 , . . . , vN +1 ) ∈ RN / DF (x).v = 0} donde (ejercicio) DF (x) =
∂F ∂F (x), . . . , N +1 (x) . ∂x1 ∂x
En particular, para S n = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 |(x1 )2 + . . . + (xn+1 )2 = 1} se tiene que Tx S n = {(v1 , . . . , vn+1 ) ∈ Rn+1 | x1 v1 + . . . + xn+1 vn+1 = 0}. En este caso la función F : Rn+1 → R es F (x1 , . . . , xn+1 ) = (x1 )2 + . . . + (xn+1 )2 y su matriz Jacobiana en x es justamente (2x10 , . . . , 2xn+1 ), donde x = (x10 , . . . , xn+1 ) ∈ Sn. 0 0 En el caso de una circunferencia (n = 1) el espacio tangente en un punto x = (q 1 , q 2 ) de S 1 Tx S 1 = {(v1 , v2 )/q1 v1 + q2 v2 = 0} es la recta perpendicular al vector de posición (q 1 , q 2 ). En el caso de la esfera S 2 (n = 2), el espacio tangente en x = (q 1 , q 2 , q 3 ) ∈ S 2 es el plano cuyo vector normal es el vector de posición (q 1 , q 2 , q 3 ).
Ejemplo 2.5 Sea V un espacio vectorial real de dimensión n y v ∈ V . Entonces, existe un isomorfismo lineal Iv : V → Tv V. De hecho, si {ei } es una base de V y (x1 , . . . , xn ) son las correspondientes coordenadas globales sobre V entonces Iv (ei ) =
∂ , ∂xi |v
para todo i.
De manera global, Iv (u) = α˙ vu (0) donde αvu : R → V es la curva dada por αvu (t) = v + tu. Ejemplo 2.6 Si M y N son variedades, vimos en el primer módulo que el producto M × N es una variedad. Si α es una curva en M con α(0) = x y β es una curva en N con β(0) = y, entonces γ(t) = (α, β)(t) = (α(t), β(t)) es una curva en M × N con γ(0) = (x, y). Notar que ˙ γ(0) ˙ = (α(0), ˙ β(0)). Esta construcción nos da una aplicación Φ : Tx M × Ty N → T(x,y) (M × N ). Φ es claramente inyectiva. Veamos que es sobreyectiva. Si γ es una curva en M × N con γ(0) = (x, y) entonces α = prM ◦ γ y β = prN ◦ γ, con prM (resp. prN ) la proyección en M (resp. N ), son curvas en M (resp. N ) y γ = (α, β). Así, hemos probado que T(x,y) (M × N ) ∼ = Tx M × Ty N .
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EL FIBRADO TANGENTE
3 El fibrado tangente Describiremos a continuación el espacio de velocidades en donde se incluyen conjuntamente posiciones y velocidades de un sistema mecánico. Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. Definición 3.1 El conjunto que reúne conjuntamente posiciones y velocidades, estos es, T M = ∪x∈M {x} × Tx M se denomina el fibrado tangente de la variedad M . Podemos definir una proyección canónica τM : T M → M dada por τM (v) = x,
(v ∈ Tx M ).
Tenemos entonces el siguiente resultado. Proposición 3.2 Sobre el fibrado tangente T M de una variedad M de dimensión n se puede definir una estructura de variedad diferenciable de dimensión 2n de tal forma que la proyección canónica τM : T M → M es localmente una proyección. No haremos la prueba completa. Sólo definiremos un atlas para la estructura diferenciable de T M . Sea {(Uα , ϕα )}α∈A un atlas para la estructura diferenciable de M y supongamos que (x1α , . . . , xnα ) son las coordenadas correspondientes para la carta (Uα , ϕα ). Entonces, el atlas para T M está dado por −1 {(τM (Uα ), ϕ¯α )}α∈A −1 donde ϕ¯α : τM (Uα ) → ϕα (Uα ) × Rn ⊆ R2n está definido por
ϕ¯α (v) = (ϕα (τM (v)), vα1 , . . . , vαn ) si v =
Pn
i=1
vαi
∂ ∂xiα |τ
M (v)
.
Notar que, efectivamente, ϕ¯α es biyectiva. Por otra parte, si α ∈ A, se tiene que la aplicación inducida τˆM = ϕα ◦ τM ◦ ϕ¯−1 α está dada por τˆM :
ϕα (Uα ) × Rn (xiα , vαi )
−1 τM (Uα )
→
ϕα (Uα ) ⊆ Rn
∂ n 1 → ϕ−1 α (xα , . . . , xα ) → ∂xiα |ϕ−1 1 ,...,xn ) (x α α α
(x1α , . . . , xnα )
→ n X → vαi i=1
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→
Uα
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