Módulo 3: Espacio de velocidades
Geometría diferencial y Mecánica: Una introducción
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes Sistema mecĂĄnico: detectar los espacios de posibles posiciones + posibles velocidades
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes Sistema mecĂĄnico: detectar los espacios de posibles posiciones + posibles velocidades x ∈ Rm Curva Îą : (− , ) → Rm con Îą(0) = x
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes Sistema mecĂĄnico: detectar los espacios de posibles posiciones + posibles velocidades x ∈ Rm Curva Îą : (− , ) → Rm con Îą(0) = x ⇓ la velocidad de Îą en x: Îą(0) Ë™ =
(M´ odulo 3)
dÎą dt |t=0
Espacio de velocidades
= limt→0
Îą(t)âˆ’Îą(0) t
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Vectores tangentes Sistema mecĂĄnico: detectar los espacios de posibles posiciones + posibles velocidades x ∈ Rm Curva Îą : (− , ) → Rm con Îą(0) = x ⇓ la velocidad de Îą en x: Îą(0) Ë™ =
dÎą dt |t=0
= limt→0
Îą(t)âˆ’Îą(0) t
(x 1 , . . . , x m ) coordenadas en Rm
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes Sistema mecĂĄnico: detectar los espacios de posibles posiciones + posibles velocidades x ∈ Rm Curva Îą : (− , ) → Rm con Îą(0) = x ⇓ la velocidad de Îą en x: Îą(0) Ë™ =
dÎą dt |t=0
= limt→0
Îą(t)âˆ’Îą(0) t
(x 1 , . . . , x m ) coordenadas en Rm Îą(t) = (x 1 (t), . . . , x m (t)) 1
Îą(0) Ë™ = ( dx dt
(M´ odulo 3)
|t=0
,...,
dx m ) dt |t=0
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes Sistema mecĂĄnico: detectar los espacios de posibles posiciones + posibles velocidades x ∈ Rm Curva Îą : (− , ) → Rm con Îą(0) = x ⇓ la velocidad de Îą en x: Îą(0) Ë™ =
dÎą dt |t=0
= limt→0
Îą(t)âˆ’Îą(0) t
(x 1 , . . . , x m ) coordenadas en Rm Îą(t) = (x 1 (t), . . . , x m (t)) 1
Îą(0) Ë™ = ( dx dt
(M´ odulo 3)
|t=0
,...,
dx m ) dt |t=0
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes
El conjunto de las posibles velocidades en x es Rm
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes
El conjunto de las posibles velocidades en x es Rm Si v ∈ Rm ⇒ la curva α(t) = x + t v : α(0) = x, α(0) ˙ =v
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
3/1
Vectores tangentes
El conjunto de las posibles velocidades en x es Rm Si v ∈ Rm ⇒ la curva α(t) = x + t v : α(0) = x, α(0) ˙ =v ˙ Problema: dos curvas α y β α(0) = β(0), α(0) ˙ = β(0)
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
3/1
Vectores tangentes
El conjunto de las posibles velocidades en x es Rm Si v ∈ Rm ⇒ la curva α(t) = x + t v : α(0) = x, α(0) ˙ =v ˙ Problema: dos curvas α y β α(0) = β(0), α(0) ˙ = β(0) ˙ α ∼ β ⇔ α(0) = β(0) y α(0) ˙ = β(0)
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes
El conjunto de las posibles velocidades en x es Rm Si v ∈ Rm ⇒ la curva α(t) = x + t v : α(0) = x, α(0) ˙ =v ˙ Problema: dos curvas α y β α(0) = β(0), α(0) ˙ = β(0) ˙ α ∼ β ⇔ α(0) = β(0) y α(0) ˙ = β(0) Tx Rm = espacio tangente en x a Rm
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes en variedades M variedad n-dimensional en Rm
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes en variedades M variedad n-dimensional en Rm x ∈M Îą : (− , ) → M curva diferenciable con Îą(0) = x
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes en variedades M variedad n-dimensional en Rm x ∈M Îą : (− , ) → M curva diferenciable con Îą(0) = x (U, Ď•) carta local en M tal que Îą([− , ]) ⊆ U
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes en variedades M variedad n-dimensional en Rm x ∈M Îą : (− , ) → M curva diferenciable con Îą(0) = x (U, Ď•) carta local en M tal que Îą([− , ]) ⊆ U ⇓ n
Ď• â—Ś Îą : [− , ] → R curva diferenciable
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes en variedades M variedad n-dimensional en Rm x ∈M Îą : (− , ) → M curva diferenciable con Îą(0) = x (U, Ď•) carta local en M tal que Îą([− , ]) ⊆ U ⇓ n
Ď• â—Ś Îą : [− , ] → R curva diferenciable d(Ď• â—Ś Îą) dt |t=0
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes en variedades
α y β en U con α(0) = β(0) = x ∈ U
(M´ odulo 3)
d(ϕ ◦ α) d(ϕ ◦ β) = dt dt |t=0 |t=0
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes en variedades
α y β en U con α(0) = β(0) = x ∈ U
d(ϕ ◦ α) d(ϕ ◦ β) = dt dt |t=0 |t=0
Esta definición es independiente de la carta escogida
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Vectores tangentes en variedades
α y β en U con α(0) = β(0) = x ∈ U
d(ϕ ◦ α) d(ϕ ◦ β) = dt dt |t=0 |t=0
Esta definición es independiente de la carta escogida
(M´ odulo 3)
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Vectores tangentes en variedades
DEFINICIÓN Un vector tangente a una variedad M en el punto x ∈ M es una clase de equivalencia de curvas α(t), con α(0) = x. Al conjunto de vectores tangentes a M en x, Tx M, se le denomina espacio tangente a M en x.
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Espacio de velocidades
PROPOSICIĂ“N Sea M una variedad diferenciable de dimensiĂłn n. El espacio tangente a M en x, Tx M, es un espacio vectorial real de dimensiĂłn n. Una base de Tx M base canĂłnica asociada a la carta (U, Ď• ≥ (x 1 , . . . x n )) ∂ ∂ , . . . , ∂x 1 |x ∂x n |x i) d ∂ = Ď•âˆ’1 â—Ś (Ď•(x) + t(0, . . . , 1, . . . , 0)) i ∂x |x dt |t=0
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Espacio de velocidades
PROPOSICIĂ“N Sea M una variedad diferenciable de dimensiĂłn n. El espacio tangente a M en x, Tx M, es un espacio vectorial real de dimensiĂłn n. Una base de Tx M base canĂłnica asociada a la carta (U, Ď• ≥ (x 1 , . . . x n )) ∂ ∂ , . . . , ∂x 1 |x ∂x n |x i) d ∂ = Ď•âˆ’1 â—Ś (Ď•(x) + t(0, . . . , 1, . . . , 0)) i ∂x |x dt |t=0
v = vi
(M´ odulo 3)
∂ ⇒ (v1 , . . . , vn ) coordenadas de v ∈ Tx M ∂x 1 |x
Espacio de velocidades
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Espacio de velocidades
¿Cómo obtener las coordenadas de un vector tangente a M en x al cambiar de carta?
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Espacio de velocidades
¿Cómo obtener las coordenadas de un vector tangente a M en x al cambiar de carta?
Sean (U, ϕ) y (V , ψ) cartas locales en M tal que x ∈ U ∩ V (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) las coordenadas en U y V respectivamente ⇓ ∂ ∂ ∂ ∂ { 1 , . . . , n } y { 1 , . . . , n } son bases de Tx M ∂x |x ∂x |x ∂y |x ∂y |x ⇓
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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Espacio de velocidades
¿Cómo obtener las coordenadas de un vector tangente a M en x al cambiar de carta?
Sean (U, ϕ) y (V , ψ) cartas locales en M tal que x ∈ U ∩ V (x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) las coordenadas en U y V respectivamente ⇓ ∂ ∂ ∂ ∂ { 1 , . . . , n } y { 1 , . . . , n } son bases de Tx M ∂x |x ∂x |x ∂y |x ∂y |x ⇓ J(ψ ◦ ϕ−1 )(ϕ(x))
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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El espacio de velocidades una nueva variedad
DEFINICIÓN Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. El conjunto TM = ∪x∈M {x} × Tx M se denomina el fibrado tangente de la variedad M
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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El espacio de velocidades una nueva variedad
DEFINICIÓN Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. El conjunto TM = ∪x∈M {x} × Tx M se denomina el fibrado tangente de la variedad M τM : TM → M,
(M´ odulo 3)
τM (v ) = x
Espacio de velocidades
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El espacio de velocidades una nueva variedad
DEFINICIÓN Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. El conjunto TM = ∪x∈M {x} × Tx M se denomina el fibrado tangente de la variedad M τM : TM → M,
τM (v ) = x
PROPOSICIÓN Sobre el fibrado tangente TM de una variedad M de dimensión n se puede definir una estructura de variedad diferenciable de dimensión 2n de tal forma que la proyección canónica τM : TM → M es localmente una proyección
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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El espacio de velocidades una nueva variedad
Cartas de TM
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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El espacio de velocidades una nueva variedad
Cartas de TM (x, v ) ∈ TM
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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El espacio de velocidades una nueva variedad
Cartas de TM (x, v ) ∈ TM (U, ϕ) carta de M con x ∈ M ⇒ ϕ(x) = (x 1 , . . . , x n )
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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El espacio de velocidades una nueva variedad
Cartas de TM (x, v ) ∈ TM (U, ϕ) carta de M con x ∈ M ⇒ ϕ(x) = (x 1 , . . . , x n ) v=
n X i=1
vi
∂ ∂x i |τM (v )
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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El espacio de velocidades una nueva variedad
Cartas de TM (x, v ) ∈ TM (U, ϕ) carta de M con x ∈ M ⇒ ϕ(x) = (x 1 , . . . , x n ) v=
n X i=1
vi
∂ ∂x i |τM (v ) −1 (τM (Uα ), ϕ ¯ = (x 1 , . . . , x n , v 1 , . . . v n ))
(M´ odulo 3)
Espacio de velocidades
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El espacio de velocidades una nueva variedad
Cartas de TM (x, v ) ∈ TM (U, ϕ) carta de M con x ∈ M ⇒ ϕ(x) = (x 1 , . . . , x n ) v=
n X i=1
vi
∂ ∂x i |τM (v ) −1 (τM (Uα ), ϕ ¯ = (x 1 , . . . , x n , v 1 , . . . v n ))
τM : TM → M,
(M´ odulo 3)
τM (x 1 , . . . , x n , v 1 , . . . v n ) = (x 1 , . . . , x n )
Espacio de velocidades
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