Conjunto de Números racionales: Es el conjunto que se puede expresar, como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales pues se pueden expresar como cocientes de ellos mismo por la unidad a=a/1. Este conjunto numérico se denota con = { a/b, con a y b enteros, b 0 } son los fraccionarios y los decimales finitos e infinitos periódicos. Al igual que los demás conjuntos numéricos, este conjunto está dotado de una operación binaria. Definición: Por operación binaria en un conjunto F se entiende una función B de números reales con domino F x F y codominio en F, a cada par ordenado (a, b) de elementos de F se tiene un único elemento B (a, b) sin embargo en vez de usar esta anotación es común utilizar a + b, a - b, a x b, etc. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. Al expresar un número racional no entero en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódica. El conjunto de números decimales se denomina por la letra "D". Este subconjunto de números reales lo vamos a dotar de dos operaciones que se denominarán adición y multiplicación respectivamente y satisfacen las propiedades de grupo, grupo abeliano, anillo, campo y o cuerpo. Definición 2. i. Suma: Sean a, b elementos de enteros.
, donde a = c/d, y b = e/f con c, d. e, f números
Donde cf esta denotando c x f, considera como la multiplicación usual de números enteros. ii. Multiplicación: Sean a,b elementos de
, donde a = c/d, y b = e/f con c, d. e, f números enteros.
Donde cf esta denotando c x f, considera como la multiplicación usual de números enteros.
Número Irracionales: Son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por . Los irracionales = { 3,1415..., π, , decimales infinitos no periódicos, etc. } no se pueden expresar como fracción. Los primeros matemáticos en la historia que utilizaron el concepto de número irracional fue en la antigua Grecia introduciendo estudios de geometría. No utilizaron construcciones matemáticas como tal para construir un numero real a partir de un número racional o irracional. Fue hasta el siglo XIX que los matemáticos Weierstrass, Cantor, Dedekid que aplicaron los axiomas de Peano de los números positivos para construir los números reales. Dedikid principalmente construyó los números irracionales que se encuentra publicado en el texto de Fundamentos del análisis por E. Landau en 1951 en New York.
Números Racionales Considérese ahora el conjunto cuyos elementos son números que se representan por el cociente de dos enteros p y q, donde q es diferente de 0,es decir, los números que se representan simbólicamente como p/q se le conoce como el conjunto de los números RACIONALES y se denota: Q = {...-3, -1/2, 0, 1/3, 2/3, 5/2,...}, con los Enteros no siempre se puede dividir Algunos números contenidos en Q son:
Fracción con numerador menor que el denominador (Fracción Propia): Se divide el segmento entre 0 y 1 en tantas partes iguales como indica el denominador y se cogen tantas como indica el numerador, si la fracción es negativa se divide el segmento entre -1 y 0 Ejemplos: 1.
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Fracción con numerador mayor que el denominador (Fracción Impropia): Se escribe la fracción en la forma n/d = e + r/d donde r es el resto de la división de n entre d. Se divide el segmento entre e y e+1 en tantas partes iguales como indica el denominador d y se cogen tantas como indica el numerador r, si la fracción es negativa se divide el segmento entre -e y -e-1. Ejemplos: 1.
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Video explicativo de las operaciones con números racionales El siguiente video explica cómo realizar operaciones con números racionales:
Números Irracionales A los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas se les llama números irracionales.
Un número irracional tiene un número ilimitado de cifras, por tanto, es imposible escribir su valor exacto. Para manejar estos números se utilizan aproximaciones de los mismos. Aumentando el número de cifras, el error va disminuyendo, de modo que puede ser tan pequeño como se quiera. Las raíces cuadradas no exactas de números naturales son irracionales.
Para interactuar con el ejercicio de clic sobre la imágen El número raíz de 2 no es racional, es decir no se puede expresar como cociente de dos números enteros ni por tanto como decimal exacto o periódico, es un ejemplo de número irracional.
Para interactuar con el ejercicio de clic sobre la imágen Video explicativo de las operaciones con números irracionales El siguiente video explica cómo realizar operaciones con números irracionales
Radicales A continuación se hará un ejemplo de las principales propiedades de la radicación y la potenciación de radicales. Se propone un ejemplo de la teoría básica y esperamos que efectúen los ejercicios que se proponen como ejemplo. 1. Radicales: La radicación es la operación inversa de la potenciación. Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a.
Potencias de exponente fraccionario. Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical.
2. Ejercicios Para practicar y autoevaluarse diríjase al siguiente enlace y realice los ejercicios del 3 al 17. Esto le permitirá afianzar lo aprendido en este módulo.