La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. La potenciación se considera una operación uno-aria y se define de la siguiente forma: Si n es un entero positivo y a un número real
Si n es un número racional la potenciación se convierte en radicación, es decir
Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo (Un anillo A es un conjunto dotado de dos operaciones, suma y multiplicación, con la suma es grupo abeliano y con la multiplicación semigrupo. Estas definiciones pueden variar según el autos).
Propiedades de la potenciación Algunas propiedades de la potenciación son:
De clic sobre la imagen del ejercicio para que pueda interactuar con los ejemplos
A la propiedad número 1 se le conoce como la base a la suma de exponentes. a la propiedad 2 se le llama potencia de potencia de igual base, a la propiedad 3 se le denomina multiplicación a la misma potencia. La propiedad 4 si n es un entero negativo genera un número fraccionario, la propiedad 5 es el inverso de la propiedad 1 y la propiedad 6 se considera una definición para poder el dominio de la función logarítmica.
Operaciones de potencias
De clic sobre la imagen del ejercicio para que pueda interactuar con los ejemplos Ejercicios: (Realizar operaciones con potencias. Pulse el botón EJERCICIO para ver el enunciado. Luego realícelo en su cuaderno, la respuesta que calculo digítela en el simulador, por último pulse el botón SOLUCIÓN para ver si lo ha realizado correctamente)
De clic sobre la imagen del ejercicio para que pueda interactuar con los ejemplos y da sobre el botón ejercicio
Propiedades de la Radicación La radicación es la operación inversa de la potenciación. Llamamos raiz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a. donde a > 0. Para interactuar con los siguientes ejercicios de clic sobre la imagen.
Operaciones radicales Producto de radicales del mismo índice (Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos)
División de radicales del mismo índice ( Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos)
Potencia de radical (Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice)
Radical de radical (Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos)
Ejercicios: Pulse el botón EJERCICIO para ver el enunciado. Luego realícelo en su cuaderno, la respuesta que calculo digítela en el simulador. Por último pulse el botón SOLUCIÓN para ver si lo ha realizado correctamente.
Racionalización Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar desaparezca la raíz del denominador.
Pulse el botón Ejemplo 1 y observa la forma de racionalizar expresiones del tipo:
Pulse el botón Ejemplo 2 y observa la forma de racionalizar expresiones del tipo:
Ejemplos
De clic sobre la imagen para interactuar con el ejercicio
Ejercicios: (Pulse el botón EJERCICIO para ver el enunciado. Luego realícelo en su cuaderno, la respuesta que calculo digítela en el simulador, por último pulse el botón SOLUCIÓN para ver si lo ha realizado correctamente)
Para interactuar con el ejercicio de clic sobre la imagen
Logaritmación Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma (un número) y se denomina la base del logaritmo.
donde "a" es constante
Seguramente ya se han estudiado los logaritmos por lo que conoces la definición de logaritmo de un número (b) en una cierta base (a):
si se cumple que
.
Definición de la función Logaritmo Base a
El logaritmo de un número en base es el exponente se debe elevar para obtener como resultado el número . Se simboliza:
o potencia a la que
Gráfica 1. Logaritmo en base a
El logaritmo es el exponente de la potenciación de cualquier base siguiente figura 1:
como se muestra en la
Nota: La función logaritmo natural se puede definir como la función inversa de la exponencial. Es decir: logaritmo base
ó logaritmo Neperiano,
A la función logaritmo natural también se le llama .
Gráfica 2: Logaritmo Natural En la siguiente grafica comparamos la función logaritmo con su inversa
De clic sobre la imagen para interactuar con el ejercicio
Ejemplos ilustrativos Formas equivalentes de lo logaritmos a forma exponencial. Forma logarĂtmica
Forma exponencial
* La siguiente escena muestra la grĂĄfica de esta funciĂłn sus valores modificando el valor de x. Analicemos las funciones exponenciales ax para diferentes valores de a. Fijando el valor del control a mueve el control x para elaborar las tablas de valores, para interactuar de clic sobre la imagen respectiva
De clic sobre la imagen para interactuar con el ejercicio
En la siguiente grafica comparamos las funciones Y=2x, Y=X2 , Y=2x, que puede concluir
De clic sobre la imagen para interactuar con el ejercicio Sabemos también que las bases más utilizadas para los logaritmos son las base 10 (logaritmos decimales) y la base el número "e=2,718281.." (logaritmos neperianos), estos logaritmos neperianos. De esta forma, la gráfica de la función y = loga (x) se puede obtener a partir de la gráfica de y = ax, para la siguiente grafica se compara la función exponencial y su inversa para un determinado valor de una base a.
De clic sobre la imagen para interactuar con el ejercicio
Aspectos importantes sobre la definición de logaritmos: •
El logaritmo de 1, en cualquier base es 0 : ya que
•
El logaritmo de un número igual a la base es 1: ya que
•
El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: ya que
•
No existe el logaritmo de cualquier base de un número negativo o cero.
•
El logaritmo de un número estrictamente mayor que 1, Así por ejemplo:
•
es negativo si la base
ya que
El logaritmo de un número mayor que 0 y menor que 1estrictamente si la base del logaritmo es menor que 1, Ejemplo
del logaritmo es
es positivo
ya que
•
El logaritmo de un número Ejemplo ya que
es positivo si la base .
•
El logaritmo de un número
es negativo si la base
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Los logaritmos, inventados por John Neper (1550-1617), nacieron para resolver los complejos cálculos astronómicos de la época. Tuvieron gran importancia en el pasado para simplificar los cálculos numéricos. La razón es que mediante los logaritmos se puede convertir una multiplicación en una simple suma. 1) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Ejemplo: 2) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
Ejemplo: 3) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
Ejemplo: 4) El logaritmo de una raĂz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el Ăndice de la raĂz.
Ejemplo: 5) Cambio de base:
Ejemplo: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores
De clic sobre la imagen para interactuar con el ejercicio