Módulo 2: Más ejemplos
Geometría diferencial y Mecánica: Una introducción
(M´ odulo 2)
M´ as ejemplos
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Un método para construir variedades diferenciables Ejemplos de variedades en R3 Imagen de una curva α : I ⊆ R → R3 Imagen de una aplicación u : Ω ⊆ R2 → R3
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Un método para construir variedades diferenciables Ejemplos de variedades en R3 Imagen de una curva α : I ⊆ R → R3 Imagen de una aplicación u : Ω ⊆ R2 → R3 NO TODAS INDUCEN VARIEDADES DIFERENCIABLES
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Un método para construir variedades diferenciables Imagen de una curva α : I ⊆ R → R3 Imagen de una aplicación u : Ω ⊆ R2 → R3
RESTRICCIONES
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Un método para construir variedades diferenciables Imagen de una curva α : I ⊆ R → R3 Imagen de una aplicación u : Ω ⊆ R2 → R3
RESTRICCIONES No hayan autointersecciones ⇓ la aplicación α (resp. u) debe ser inyectiva
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Un método para construir variedades diferenciables Imagen de una curva α : I ⊆ R → R3 Imagen de una aplicación u : Ω ⊆ R2 → R3
RESTRICCIONES No hayan autointersecciones ⇓ la aplicación α (resp. u) debe ser inyectiva No aparezcan picos ⇓ la derivada de α (resp. el jacobiano de u) sea distinta de cero para todo punto (resp. tenga rango 2 en todo punto) (M´ odulo 2)
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Un método para construir variedades diferenciables METODO DE CONSTRUCCION Aplicación diferenciable ψ : Ω ⊆ Rk → Rn ,
k≤n
ψ es inyectiva El jacobiano de ψ tiene rango k para todo x ∈ Ω
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Un método para construir variedades diferenciables METODO DE CONSTRUCCION Aplicación diferenciable ψ : Ω ⊆ Rk → Rn ,
k≤n
ψ es inyectiva El jacobiano de ψ tiene rango k para todo x ∈ Ω ⇓ M = ψ(Ω) es una variedad de dimensión k
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Un método para construir variedades diferenciables METODO DE CONSTRUCCION Aplicación diferenciable ψ : Ω ⊆ Rk → Rn ,
k≤n
ψ es inyectiva El jacobiano de ψ tiene rango k para todo x ∈ Ω ⇓ M = ψ(Ω) es una variedad de dimensión k Caso particular: M = {(x, f (x)) | x ∈ Ω} f : Ω ⊆ Rk → Rn−k aplicación diferenciable ψ(x) = (x, f (x)) ⇓ M = ψ(Ω) (M´ odulo 2)
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Un método para construir variedades diferenciables
Un subconjunto M de Rn es una variedad diferenciable de dimensión k m Para todo x ∈ M existe un entorno abierto U de x tal que M ∩ U es el grafo de una aplicación diferenciable expresando (n − k) de las coordenadas en término de las otras k M = {(x 1 , . . . x k , ψ(x 1 , . . . , x k ))} ψ : Rk → Rn−k
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Un método para construir variedades diferenciables B La esfera S 2 como unión de imágenes de grafos: f : {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 < 1} → R p f (x, y ) = 1 − x 2 − y 2
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Un método para construir variedades diferenciables B La esfera S 2 como unión de imágenes de grafos: f : {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 < 1} → R p f (x, y ) = 1 − x 2 − y 2
⇓ S 2 variedad diferenciable (M´ odulo 2)
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Un método para construir variedades diferenciables
OTRO METODO PARA CONSTRUIR VARIEDADES DIFERENCIABLES Idea: Ver las variedades diferenciables como un conjunto de Rn dado por varias ecuaciones
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Un método para construir variedades diferenciables
OTRO METODO PARA CONSTRUIR VARIEDADES DIFERENCIABLES Idea: Ver las variedades diferenciables como un conjunto de Rn dado por varias ecuaciones S 2 = {(x, y , z) ∈ R3 /x 2 + y 2 + z 2 = 1}
S 2 = F −1 (1),
(M´ odulo 2)
F : R3 → R,
F (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2
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Un método para construir variedades diferenciables
OTRO METODO PARA CONSTRUIR VARIEDADES DIFERENCIABLES Idea: Ver las variedades diferenciables como un conjunto de Rn dado por varias ecuaciones S 2 = {(x, y , z) ∈ R3 /x 2 + y 2 + z 2 = 1}
S 2 = F −1 (1),
F : R3 → R,
F (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2
En Mecánica: los espacios de configuración están definidos por una o más ligaduras ( ecuaciones ) que limitan el movimiento
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Un método para construir variedades diferenciables
OTRO METODO PARA CONSTRUIR VARIEDADES DIFERENCIABLES Idea: Ver las variedades diferenciables como un conjunto de Rn dado por varias ecuaciones S 2 = {(x, y , z) ∈ R3 /x 2 + y 2 + z 2 = 1}
S 2 = F −1 (1),
F : R3 → R,
F (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2
En Mecánica: los espacios de configuración están definidos por una o más ligaduras ( ecuaciones ) que limitan el movimiento f1 = c1 , . . . , fk = ck ,
f1 : Rn → R, . . . , fk : Rn → R funciones diferenciables
{x ∈ Rn | F (x) = (c1 , . . . , ck )} = F −1 (c1 , . . . , ck ) F : Rn → Rk , (M´ odulo 2)
F (x) = (f1 (x), . . . , fk (x)) M´ as ejemplos
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Un método para construir variedades diferenciables
B Ejemplo: f : R2 → R, f (x, y ) = xy
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Un método para construir variedades diferenciables
B Ejemplo: f : R2 → R, f (x, y ) = xy Si c 6= 0 ⇒ f (x, y ) = c es la hipérbola y = c/x ⇓ f (x, y ) = c variedad diferenciable
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Un método para construir variedades diferenciables
B Ejemplo: f : R2 → R, f (x, y ) = xy Si c 6= 0 ⇒ f (x, y ) = c es la hipérbola y = c/x ⇓ f (x, y ) = c variedad diferenciable Si c = 0 ⇒ f (x, y ) = 0 no es una variedad
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Un método para construir variedades diferenciables
B Ejemplo: f : R2 → R, f (x, y ) = xy Si c 6= 0 ⇒ f (x, y ) = c es la hipérbola y = c/x ⇓ f (x, y ) = c variedad diferenciable Si c = 0 ⇒ f (x, y ) = 0 no es una variedad
El gradiente de f :
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∂f ∇f = ( ∂x ,
∂f ∂y
) = (y , x) = (0, 0) ⇔ (x, y ) = (0, 0)
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Un método para construir variedades diferenciables
f1 , . . . , fk : Ω ⊆ Rn → R funciones diferenciables F = (f1 , . . . , fk ) : Ω → Rk Los gradientes de las funciones fi son las filas de la matriz jacobiana DF (x)
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Un método para construir variedades diferenciables
f1 , . . . , fk : Ω ⊆ Rn → R funciones diferenciables F = (f1 , . . . , fk ) : Ω → Rk Los gradientes de las funciones fi son las filas de la matriz jacobiana DF (x)
c ∈ Rk es un valor regular si DF (x) tiene rango k para todo x ∈ F −1 (c)
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Un método para construir variedades diferenciables
TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA Consideremos una función F : Ω ⊆ Rn → Rk una aplicación diferenciable. Sea x0 ∈ Ω y c = F (x0 ). Si el rango de DF (x) es k entonces existe un entorno U de x tal que F −1 (c) ∩ U es el grafo de una función diferenciable expresando k de las variables estándar en término de las otras
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Un método para construir variedades diferenciables
TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA Consideremos una función F : Ω ⊆ Rn → Rk una aplicación diferenciable. Sea x0 ∈ Ω y c = F (x0 ). Si el rango de DF (x) es k entonces existe un entorno U de x tal que F −1 (c) ∩ U es el grafo de una función diferenciable expresando k de las variables estándar en término de las otras F : Ω ⊆ Rn → Rk aplicación diferenciable c ∈ Rk valor regular ⇓ el conjunto de nivel F −1 (c) es una variedad diferenciable de dimensión n − k
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Un método para construir variedades diferenciables
EJEMPLOS LA ESFERA f : Rn+1 → R, f (x1 , . . . , xn+1 ) = (x1 )2 + . . . + (xn+1 )2
f es una aplicación diferenciable ∇f = (2x1 , . . . , 2xn+1 ) c = 1 es un valor regular de f ⇓ f −1 (1) = S n es una variedad diferenciable
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Un método para construir variedades diferenciables EJEMPLOS HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS f : R3 → R f (x, y , z) = x 2 + y 2 − z 2
f es una aplicación diferenciable ∇f = (2x, 2y , −2z) c 6= 0 es un valor regular de f ⇓ {(x, y , z) ∈ R3 /f (x, y , z) = c} el hiperboloide de dos hojas
es una variedad diferenciable (M´ odulo 2)
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