Analisis economico en ingenieria

ÁREA DE GESTION DE LA PRODUCCIÓN

Curso: ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA (GP-234) Profesor: MBA William Oria Chavarría

Email: woriach@yahoo.es

Sesión 04: Tasas de Interés y Descuento Curso: Análisis Económico en Ingeniería (GP-234)

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Tasa Tasa de de Interés Interés Se denomina a la medida % del valor del dinero en el tiempo, y se expresa como un % de la cantidad original por unidad de tiempo.

Vi

Vf

Tiempo

Período Final

Inicial i=

Vf - Vi x 100 Vi

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Donde: Vi: monto de dinero al inicio del período.

Vf: monto de dinero al final del período. i: tasa de interés Profesor: MBA William Oria Chavarría

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Tasa Tasa de de Interés: Interés: Elementos Elementos Básicos Básicos Tasa Pura: Es el rendimiento base para el efecto real del tiempo, es la efectiva capitalización del dinero libres de riesgo e inflación.

Prima de riesgo: es el componente que se adiciona a la tasa base, con la finalidad de proteger al inversionista de la variabilidad o la dispersión del rendimiento esperado en el tiempo.

Cobertura por inflación: este elemento representa la protección ante la pérdida del poder adquisitivo del dinero.

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Tipos Tipos de de Tasa Tasa de de Interés Interés Tasa de Interés Corriente: Es aquella tasa de interés que contiene los tres componentes básicos.

Tasa corriente = (1+tasa pura)(1+riesgo)(1+inflación)-1 Tasa de Interés Real: Esta tasa excluye el factor inflación. El propósito es separar de la tasa de interés el efecto de la variación del poder adquisitivo interno de la moneda.

Tasa Real = (1+tasa pura)(1+riesgo) - 1 Conversión:

Tasa Real =

1 + Tasa Corriente - 1 1 + Inflación

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Ejemplo Ejemplo La tasa de interés en el período Febrero-Mayo fue de 3%.

La inflación mensual es la siguiente: febrero 2.15%, marzo 3.12%, Abril 0.75%, Mayo 5.26%. Hallar la tasa de interés real.

Solución: Lo primero que debemos hacer es encontrar la inflación acumulada del período febrero-mayo con la relación: Inflac feb-may=(1+2.15%)(1+3.12%)(1+0.75%)(1+5.26%) – 1 Inflac feb-may = 11.7% Entonces el interés real en la relación: Int Real =

1 + 3% 1 + 11.7%

-1

x 100 = -7.7%

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Esto nos indica que en términos de poder adquisitivo se está perdiendo 7.7%

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Tasa Tasa de de Interés Interés Nominal Nominal Es una tasa de interés simple, en donde el capital inicial no varía en el tiempo, además los intereses no se capitalizan (no forman parte del capital).

Vf = Vi (1 + n*i) Donde: n: períodos. i: tasa de interés

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Ejemplos Ejemplos Ejemplo 1: Se tiene un capital de S/. 1,000 y se coloca a un interés simple del 2% mensual. ¿Cuál será el valor final de un año?

Solución: Vf=1,000 (1+12*2%) = 1,240 Al final del año se obtendrá 1 se obtendrá S/.1,240.

Ejemplo 2: Una institución internacional ofrece préstamos promocionales (blandos) al 4% anual de interés simple. Si el préstamo otorgado es de S/. 4,000. ¿A cuánto ascienden los intereses al cabo de 3 años?

Solución: I=4,000*3*4% = 480 Los intereses al cabo de 3 años será de S/. 480.

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Tasa Tasa Nominal Nominal Es una tasa de referencia para un periodo determinado que puede ser anual, trimestral, mensual, etc.

Ejemplo: -48% nominal anual.

-30% nominal semestral.

-5% nominal mensual.

Esta tasa sólo puede ser transformado proporcionalmente, es decir, debe ser multiplicada o divida.

En el régimen de interés simple, multiplicamos o dividimos una tasa nominal, la tasa resultante será también una tasa nominal.

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Tasa Tasa Proporcional Proporcional Una vez elegida la unidad de tiempo con el cual se realizarán los cálculos financieros, se determina la fracción o proporción de la tasa nominal correspondiente.

A la tasa hallada se le denomina tasa proporcional, la cual depende de la unidad de tiempo que se elije para trabajar.

Ejm: Si tenemos una tasa de 18% nominal anual y deseamos hallar la proporcional trimestral, el procedimiento sería el siguiente: % trimestral = 18% / 4 = 4.5% trimestral

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Tasa Tasa Proporcional Proporcional Una conclusión inmediata de lo anterior es que para una tasa nominal en el régimen de interés simple existen diversas tasas proporcionales: Ejm: 13.5% nominal trimestral = 54% nominal anual = 4.5% nominal mensual = 0.15% diario.

Es importante mencionar que estas tasas proporcionales siguen siendo nominales. De este modo debe quedar claro que en el régimen de interés simple sólo se trabaja con tasa nominales.

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Tasa Tasa de de Interés Interés Efectivo Efectivo Es aquella tasa que toma en cuenta el efecto de la capitalización durante un periodo y refleja el tiempo en que se pagan los intereses, impuestos y cualquier otro tipo de gastos que la operación implique.

ie =

n i n 1+ m -1

Donde: ie = tasa de interés efectiva de un período. in = tasa de interés nominal en tanto por uno. m: número de capitalizaciones por período. n: número total de períodos.

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Ejemplo Ejemplo Se otorga un préstamo por S/. 10,000 a una tasa de interés de 36% anual, capitalizable trimestralmente más 4 % de comisión de administración del crédito. Calcular el monto total a pagar luego de transcurrido un año.

Solución: Las comisiones se suman a la tasa de interés y esa es la tasa a la que se efectúa el cálculo total.

Tenemos: i = 36 + 4 = 40% capitalizable trimestralmente.

4 ie = 1 + 40% - 1 = 46.41% 4 La tasa efectiva es 46.41% anual, los intereses son: I = 10,000*46.41% = 4,641 Monto total a pagar = 10,000 + 4,641 = S/. 14,641 Curso: Análisis Económico en Ingeniería (GP-234)

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Costo Costo de de Oportunidad Oportunidad Se incurre debido al uso de recursos limitados, de manera que se pierde la oportunidad de obtener ventajas económicas en una alternativa.

Es el costo de la mejor oportunidad rechazada (pérdida) y que con frecuencia está oculto o implícito.

Ejm: Un estudiante podría ganar S/. 20,000 por trabajar durante un año, pero en lugar de ello elige asistir a la universidad por una año y gastar S/. 5,000. El costo de oportunidad de ir a la escuela por un año es de S/. 25,000; S/.

5,000 en efectivo y S/. 20,000 por el ingreso perdido.

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Tasa Tasa de de Costo Costo de de Oportunidad Oportunidad “En la evaluación financiera nada es absoluto, todo es relativo” Cuando a una persona se le pide en préstamo una cantidad de dinero, podemos esperar que está se pregunte: ¿Qué tasa debo cobrar? En tal caso, una posible respuesta podría ser: “la tasa activa promedio que cobran los bancos”.

Entonces se debe evaluar el promedio de lo que cobran “los bancos” y, con ello, se llega a una situación en la cual esta persona se estaría considerando “un banco promedio”, lo cual financieramente no tiene lógica.

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Tasa Tasa de de Costo Costo de de Oportunidad Oportunidad Ante la pregunta ¿qué tasa debo cobrar?, la respuesta correcta es: “debo cobrar por lo menos mi tasa de costo de oportunidad”.

La tasa de costo de oportunidad se define como la mayor tasa de rentabilidad posible de obtener entre todas las alternativas de inversión factibles de ejecutar en un determinado punto en el tiempo; en consecuencia, detrás de cada tasa costo de oportunidad hay una alternativa de inversión que genera dicha tasa.

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Tasa Tasa de de Costo Costo de de Oportunidad Oportunidad Por lo tanto, esta tasa representa para cada unidad económica (persona o empresa) el costo de su dinero, en otras palabras, es la tasa de interés que dejaría de ganar por prestarlo o invertirlo en una nueva alternativa de inversión.

Entonces: La mínima rentabilidad que una unidad económica debe estar dispuesta a obtener por su dinero es su tasa de costo de oportunidad.

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Tasa Tasa de de Costo Costo de de Oportunidad Oportunidad Rentabilidad Anual de alternativas factibles Proyecto 1 2 3 4

UE "A" 30% 28% 42% 37%

UE "B" 18% 21% 16% 9%

La TCO de A es: La TCO de B es: B puede prestarle dinero a A cobrándole como mínimo: A puede prestarle dinero a B pagándole como mínimo: El margen de negociación sería:

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Tasa Tasa de de Interés Interés Vencida Vencida Es la tasa más común aplicable, considera que los intereses deben pagarse al final del período establecido.

Tasa Tasa de de Interés Interés Adelantada Adelantada Se nombra a aquella tasa donde los intereses se reconocen al inicio del período de capitalización.

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Tasa Tasa Equivalente Equivalente Son aquellas que pueden expresarse en diferentes unidades de tiempo y que producen el mismo monto.

Ejemplo: Un préstamo por S/. 1,000 a una tasa de interés anual del 20%, al cabo de un año será S/. 1,200; si utilizamos la tasa de interés equivalente quincenal de 0.7626%, también tendremos, luego de 24 quincenas (1 año), un valor futuro de S/. 1,200.

Tasa nominal es aquella que puede ser capitalizable varias veces en un año, y se denomina (j).

Tasa efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capital una vez en el año, y se denomina (i).

Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de conversión (capitalización) son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un año.

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Tasa Tasa Equivalente Equivalente Las tasas nominal y efectiva son equivalentes cuando producen la misma cantidad de dinero al final del año.

Ejemplo: Un capital de S/. 1, al 18% anual capitalizable mensualmente será: F = 1*(1+18%/12)^12 = S/. 1.1956182 A una tasa de interés efectiva del 19.56182% F=1*(1+19.56182%) = S/. 1.1956182 Se puede apreciar que la tasa nominal, 18% anual capitalizable mensualmente, es equivalente a la tasa efectiva del 19.56182%, pues ambos producen el mismo resultado.

Tasas equivalentes son aquellas tasas que, con diferentes períodos de capitalización, producen el mismo interés compuesto.

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Tasa Tasa Equivalente: Equivalente: Formulas Formulas Formula de equivalencia tasa nominal/tasa efectiva: El monto de S/. 1, a la tasa “i” en una año es: 1*(1+i) = 1+ i = F El monto de S/. 1, a la tasa “j” con “m” capitalizaciones en el año es: F=(1+j/m)^m Considerando que los dos montos son iguales, se plantea:

(1+i) = ( 1 + j/m)

m

Es la ecuación de equivalencia, que relaciona una tasa efectiva con una tasa nominal capitalizable varias veces en el año, y viceversa, con tasas de interés vencidas.

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Tasa Tasa Equivalente Equivalente Ejm: Luis realiza un préstamo a su primo Juan, por el monto de S/. 1,000 a una tasa de interés del 10% semestral, durante 15 meses. ¿Cuánto tendrá que devolver Juan a Luis, luego de los 15 meses?

Solución: Préstamo (P) = 1,000 Tasa de interés (i) = 10% semestral Plazo (t) = 15 meses Comprobar la concordancia entre i y t I: semestral diferente a t: mensual. i180 = 10% semestral Curso: Análisis Económico en Ingeniería (GP-234)

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Tasa Tasa de de Interés Interés Equivalente Equivalente Primer método:

i180 = 10% semestral i30 = (1 + i180)^(30/180) -1 i30 = (1 + 0.1)^(30/180) -1 i30 = 1.601% mensual F=1,000*(1+0.01601)^15 F= S/. 1,269.06

Segundo método: Expresar el tiempo en semestres: t=15 meses*(1sem/6meses) t=2.5 semestres F=1,000*(1+0.1)^2.5 F= S/. 1,269.06

Respuesta: Luego de 15 meses, Juan deberá devolver a Luis la suma de S/. 1,269.06.

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Ecuaciones Ecuaciones de de Valor Valor • Son aquellas que se utilizan para la resolución de problemas de matemáticas financieras en las cuales se reemplazan un conjunto de obligaciones, con diferentes fechas de vencimiento, por uno o varios valores con otra(s) fecha(s) de referencia, previo acuerdo entre el acreedor y el deudor.

• Se emplean para consolidar o reemplazar dos o más deudas por una sola. También se utilizan para el cálculo del monto de una serie de depósitos y para calcular el valor actual de una serie de pagos.

• Para la resolución de los problemas las ecuaciones de valor relacionan las diferentes fechas de vencimiento con una denominada FECHA FOCAL. Curso: Análisis Económico en Ingeniería (GP-234)

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Ecuaciones Ecuaciones de de Valor Valor • Todo problema de matemática financiera puede ser resuelto mediante una ecuación de valor. Es simplemente una igualdad entre entradas y salidas (prestaciones y de capitales financieros, una vez que sus vencimientos han sido homogenizados por un tiempo común (es decir, una vez que los capitales han sido trasladados a un instante temporal común.

• Aplicaciones: reemplazo de un conjunto de obligaciones o deudas por un solo pago (consolidación de deudas).

Comparación de ofertas para comprar o vender. Cálculo del monto de una serie de depósitos sucesivos a corto plazo y cálculo del valor actual o presente de una serie de pagos sucesivos a corto plazo.

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Ejemplo Ejemplo Una empresa tiene las siguientes deudas: D1=S/. 5,000 a 60 días plazo; D2=S/. 7,000 a 120 días plazo; D3=S/. 10,000 a 240 días plazo y D4=12,000 a 300 días plazo.

La empresa debe reemplazar sus obligaciones por un solo pago a 180 días plazo, considerando una tasa de interés de 18% anual. Calcular el valor del pago único.

Forma gráfica: D1

0

30

60

D2

90

120

X

150

180

D4

D3

210

240

270

300

FF Curso: Análisis Económico en Ingeniería (GP-234)

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Ejemplo Ejemplo Como se aprecia en el gráfico, se ha tomado como fecha focal los 180 días, que es la fecha de pago consolidado de todas las deudas. Las dos primeras deudas, a los 60 días y 120 días, ya han vencido, por lo tanto, deben calcularse como valor futuro; mientras que las otras dos deudas, a los 240 y 300 días, se pagan por anticipado por lo que deben calcular como valor presente o valor actual.

Primero calculamos los tiempos en días: t1 = 180 – 60 = 120 t2 = 180 – 120 = 60 t3 = 180 – 240 = 60 t4 = 180 – 300 = 120 Luego planteamos la ecuación de valor: Curso: Análisis Económico en Ingeniería (GP-234)

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Ejemplo Ejemplo X = D1(1+ i*t1) + D2 (1+ i*t2) + D3/(1+ i*t3) + D4/(1+ i*t4) X=5000[1+18%(120/360)]+7000[1+18%(60/360)] +1000/[1+18%(60/360)]+12000/[1+18%(120/360)] X=5300 + 7210 + 9708.74 + 11320.75 = S/. 33,539.49 El pago único sería de S/. 33,539.49

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El El Descuento Descuento • Es la disminución que se hace antes de su vencimiento, a la cantidad que se encuentre escrita en un documento financiero.

• Es el interés cobrado o pagado por anticipado, es decir, al principio de la operación financiera.

• Es la operación de adquirir, antes del vencimiento, valores generalmente endosables.

• Operación por la que un banco entrega al tenedor de un efecto de comercio, antes de su vencimiento, el importe del mismo con ciertas deducciones.

• Es la operación que consiste en adquirir letras, pagarés o documentos financieros por un importe efectivo menor o valor en la fecha en que vence y su valor al vencimiento.

• Es la acción de recibir o pagar un dinero hoy, a cambio de una suma mayor comprometida para fecha futura, según las condiciones convenidas en el pagaré.

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El El Descuento Descuento • Generalmente los descuentos se hacen a documentos de giros o pagarés.

• Valor Presente del documento: Es el valor nominal y el descuento.

• Valor nominal del documento: es el que está escrito en el documento.

• Valor de un documento: es la cantidad que hay que pagar a la fecha de su vencimiento.

• El documento también tiene una tasa de descuento y un plazo de duración.

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El El Descuento Descuento Simple Simple oo Racional Racional Descuento racional o descuento simple, a una tasa de interés, es la diferencia entre monto o valor a la fecha de vencimiento de un documento o deuda y el valor presente. Se interpreta como el interés simple del valor actual.

Descuento (D) = Valor Futuro (F) – Valor Actual (A) D = F – [F / (1+i*n)]

D = F*i*n

A = F ( 1 – i*n)

F : Cantidad sobre la que se paga el descuento (Valor nominal) i%: tasa de descuento. n: tiempo que dura o se pacta la transacción.

Con fines de aplicación práctica es conveniente definir también al descuento como la cantidad que se resta al valor nominal de un título-valor (letra, pagaré, etc) antes de su fecha de vencimiento con la finalidad de hacerlo efectivo en la fecha de descuento.

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Ejemplo Ejemplo Descuento Descuento El señor Raúl pidió un préstamo a una institución financiera por S/.100,000 a 1 año. Si el banco le cobró una tasa de interés de 20% por adelantado. Cuánto le retuvo el banco por concepto de intereses?

D = F d t = 100,000 x 20% x 1 = 20,000 La cantidad retenida por el Banco es de S/. 20,000

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Ejemplo Ejemplo Descuento Descuento El BCP descontó el 30 de Abril un pagaré de S/. 15,000 que tenía esta misma fecha devengada el 15% de interés y vencía el 30 de Mayo del mismo año. Puesto que el tipo de descuento era también del 15%. Cuál fue el descuento retenido por el Banco?

A = 15,000 n = 30 días i = 15%

A = F ( 1 – n*i) F = 15,000 / (1 – 30/360 * 15%) F = 15,189.87

D = F * i * n = 15,189.97 * 15% * 30/360 La cantidad retenida por el Banco es de S/. 189.365

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