2[1].Metoda e zevendesimit

2. Integrimi me metodën e zëvendësimit Duke zbatuar metodën e zëvendësimit të njehsohen integralet: 1.

 (1  x ) dx.

7

2.

 (3  2x ) dx.

6

3.



1  xdx .

4.



4

1  x dx .

Zgjidhja.

1.

7  (1  x ) dx 

1x t t8 (1  x )8   t7 dt   C   C. 8 8 dx  dt

3  2x  t 1  1 2.  (3  2x ) dx  2dx  dt   t 6   dt    t 6 dt 2  2 1 dx   dt 2 6



1 t7 t7 (3  2x )7 C   C   C 2 7 14 14

3. Mënyra e parë: 1x t

1  x dx  dx  dt 



dx  dt



1

1 2

1

t2 t ( dt )    t dt   C 1 1 2

2

2 2   t3  C   (1  x )3  C. 3 3

Mënyra e dytë: 1  x  t2 1  x dx 



2   t( 2t )dt  2 t 2dt   t 3  C 3 dx  2tdt dx  2tdt

t  1x



4.



4

1  xdx 

2 (1  x )3  C. 3

1  x  t4  t  4 1  x dx  4t dt 3

3

  t  4t dt  4  t 4 dt

INTEGRALI I PACAKTUAR

2

 4

t5 4  C   4 (1  x )5  C. 5 5

Detyra për ushtrime Të njehsohen integralet: 1.

 (1  2x ) dx.

4.



7.

 ((1  x )

4

5

3

1  3x dx .

3

2  2.    x  dx . 3 

3.



5x  1 dx .

6.

(

5.



5

1

x dx .

2

x  1  x  1)dx .

 3 1  x )dx .

Të njehsohen integralet: 5.

2x  1  x 2  x  3 dx.

8.

x

2

 1  x 3 dx .

x3  x 4  1 dx. x2  3 dx .

9.  3 x 2

6.

7.

x

1  2x 2 dx .

Zgjidhja.

5.

6.

x2  x  3  t 2x  1 dt dx    ln|t | ln( x 2  x  3)  C.  x2  x  3 t (2x  1)dx  dt

x

x

4

3

1

x4  1  t dx  4 x 3 dx  dt  1 x 3 dx  dt 4



1 dt ln( x 4  1) 1 dt 1 4  C.    ln|t |  4 t 4 t 4

1  2x 2  t 2  t  1  2x 2 1 7.  x  1  2x 2 dx  4 xdx  2tdt   t  t dt 2 1 xdx  tdt 2 3 1 t 1    (1  2x 2 )3  C. 2 3 6

ANALIZA MATEMATIKE II

3

1  x 3  t2  t  1  x 3

8.

1  x 3  x 2 dx  3x 2 dx  2tdt



x 2 dx 



9.



x2  3 3

x 2

dx 

2 tdt 3

2 2 t3   t  tdt    C 3 3 3

2 (1  x 3 )3  C 9

x  2  t 3  x  t 3  2; t  3 x  2 dx  3t 2 dt

(t 3  2)2  3  3t 2 dt  3 (t 6  4t 3  4  3)  t dt  t t8 t5 t2  3 (t7  4t 4  t )dt  3   12   3  8 5 2 33 12 3 3  ( x  2)8  ( x  2)5  3 ( x  2)2  C. 8 5 2 

Detyra plotësuese Të njehsohen integralet 8.

2x  1  x 2  x  4 dx.

9.

2x  3  x 2  3x  1 dx.

10.

x5  x 6  1 dx.



11.

2x  a 2x 3 , a-const.12. dx  x 2  ax  1  4x 4  1 dx.

13.

14.

2  x  1  x dx.

15.

2  x  2  3x dx.

16.

17.

2 3  x  2  5x dx.

18.

 x 3   x  5  

  dx . x 2 x2 2

Të njehsohen integralet: 10.



12.



dx x 1  x 1 1x dx .

1x

.

1x

11.



13.

x



1  x2

dx .

dx x2 1

.

x 2 x 3

dx .

x ( x 2  1) 3

x2  1

dx .

INTEGRALI I PACAKTUAR

4

Zgjidhja.

10. Pas racionalizimit të emëruesit kemi: dx 1 x 1  x 1 I    dx x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1  dx   dx x  1  ( x  1) 2 1 1  x  1dx   x  1dx  ( I1  I 2 ) ,  2 2 ku I1   x  1 dx ; I 2   x  1 dx .





Zgjidhim veçmas integralet I1 , I 2 . Merret: x  1  t2

I1 



t3 2 x  1dx  t  x  1   t  2tdt  2   ( x  1)3  C. 3 3 dx  2tdt x  1  t2

I2 



t3 2 x  1dx  t  x  1   t  2tdt  2   ( x  1)3  C. 3 3 dx  2tdt

Pra





12 2 1  ( x  1)3  ( x  1)3   C  ( x  1)3  ( x  1)3  C.  23 3 3  1x dx xdx 11. I   dx     arcsin x  I1 .

2 2 1x 1x 1  x2 I 

I1 



1  x 2  t2  2xdx  2tdt  1  x2 xdx  tdt xdx



tdt    dt  t   1  x 2 t

Pra, I  arcsin x  1  x 2  C 12. Pasi të kryejmë racionalizimin merret 1x 1x 1x 1x  1  x dx   1  x  1  x dx   1  x 2 dx.

Integrali që morëm është i ngjashëm me integralin e detyrës paraprake.

1x Pas zgjidhjes merret  dx  arcsin x  1  x 2  C. 1x

ANALIZA MATEMATIKE II

13.

x 



dx x2 1





5

dx 1   x x 2 1  2  x  

dx 1 x  x sgn x 1    x

2







dx 1 x |x | 1    x dx

1  sgn x 

1 x2 1    x

2

2

1 t dx dt x  sgn x     sgn x  2 1 1  t2 1 2   dt x 1  x2 x 1   sgn x  arcsin t  C   sgn x  arcsin  C. x

Detyra për ushtrime Të njehsohen integralet: 19.



22.



25.



dx

.

dx

20.



x 3 dx .

1  (2x )2

23.



1x dx .

1x

26.



15.

x

18.

1 x

x 1  x 1

1

21.



dx .

24.



.

27.

x

16.

 x ln x ln(ln x ) .

2x  1  2x  1

x 1 1  9x

2

xdx 4

x x

2

.

x 2 dx .

1  x2

3

1x 1  4x 2 dx x2  1

dx . .

Të njehsohen integralet: dx

14.

 x (1  2 ln x ).

17.

 x cos

19.

dx



2

ln x

.

ln( x  1  x 2 ) dx .

1  x2

dx 1  ln x 2

1

2

ln

.

1x dx.

1x

dx

INTEGRALI I PACAKTUAR

6

Zgjidhja.

(1  2 ln x )  t dx 1 dt 1 14.   dx 1    ln|t | x (1  2 ln x ) 2 t 2  dt x 2 1  ln|1  2ln x |C. 2 ln x  t dx dt 15.   dx   arcsin t  C  arcsin(ln x )  C. 2  dt x 1 - ln x 1  t2 x ln(ln x )  u dx du 16.   dx   ln|u | C  ln|ln(ln x )| C. x ln x ln(ln x ) u  du x ln x ln x  t dx dt 17.   dx   tan t  C  tan(ln x )  C. 2 x cos ln x cos2 t  dt x 1 1x 18. I   ln dx 2 1x 1x 1x Zëvendësojmë ln u 1x Pas diferencimit merret: '

1 1  x   dx  du 1  x  1  x  1x 1  x (1  x )' (1  x )  (1  x )(1  x )'  dx  du 1x (1  x )2 1 1  x  (1  x )( 1)  dx  du 1x 1x 1  x 1  x dx  du 1  x2 1 1 dx  du 2 1x 2 Pra, kemi: 2

 1x   ln 1  x  2 du u   1 ln 2 1  x  C. I  u   2 4 4 4 1x

ANALIZA MATEMATIKE II



19. I 

7

ln( x  1  x 2 ) ln( x  1  x 2 ) dx  dx  1  x2 1  x2

Zëvendësojmë ln( x  1  x 2 )  u Pas diferencimit merret: ( x  1  x 2 )'

dx  du x  1  x2 x 1 1  x 2 dx  du x  1  x2

x  1  x2 1  x2

dx  du x  1  x2 dx Pra  du.

1  x2 Merret: I 



1 2

3

u2 2 udu   u du   ln 3 ( x  1  x 2 )  C. 3 3 2

Detyra për ushtrime Të njehsohen integralet: dx

28.

 2x (ln x  1).

31.

34.

dx

29.

x

 ln(sin x ) dx.

32.

 cos

1 1x  1  x 2 ln 1  x dx.

35.

cos x



1  ln x 2

.

dx . x ln(ctgx )

sin x

30.

 ln(cos x ) dx.

33.

 x sin

dx 2

ln x

.

ln( x  1  x 2 ) dx .

1  x2

Të njehsohen integralet: 20.

cos x  e sin x dx.

21.

ex  1  e x  x dx. 22.



ex

1 e  2 x

dx . 23.

x

2  x3

e

dx .

INTEGRALI I PACAKTUAR

8 1

ex 24.  2 dx . x

25.

Zgjidhja. sin xdx 

dx  ex  ex .

cos x  t

26.



ex ex  1

   et dt  et  e cos x  C.

20.

e

21.

ex  x  t ex  1 dt dx    ln|t | ln| e x  x | C.  ex  x x t ( e  1)dx  dt

22.



cos x

ex ex 

1 2

dx 

 sin xdx  dt

1 t dt 1    ln|t | ln  e x    C. 2 t 2  e x dx  dt ex 

x 3  t

23.

x

2  x3

e

dx .

dx  3x 2 dx  dt   1 x 2 dx   dt 3

1 t 1 1 3 e dt   et   e  x  C.  3 3 3

1 1 t 1 ex x    et dt  et  e x  C. 24.  2 dx  1 x  2 dx  dt x dx dx dx e x dx 25.  x     e2x  1  e2x  1 e  ex  x 1 e  x e ex 

26.



ex e 1 x

ex  t e x dx dt   2  arctan t  arctan e x  C. x 2 x ( e )  1 e dx  dt t 1

dx 

ex  1  t2  t  ex  1 e dx  2tdt x





2tdt  2 e x  1  C. t

Detyra për ushtrime Të njehsohen integralet: 36.

sin x  e cos xdx.

37.

e tgx  cos2 x dx.

38.

e

dx . 1

x

ANALIZA MATEMATIKE II

39.

42.

9

2e 2 x  1  e2x  x dx.



e x dx 3

ex  3

40.

x

2 2 x 3

e

dx .

41.

 xe

x 2  a2

dx .

.

Të njehsohen integralet: dx 8x  3 x 2 dx 27.  2 28.

29.  2 . dx . .

2 6  x a x 7 9x Zgjidhja. dx x 2 t dx 1 dx 1 a  2  2  2 27.  2 a 2 2 2 x a x a a x a  1 dx  adt 2   a a 1 dt 1 1 x   2  arctan t  arctan  C. a t 1 a a a

t

adt 2 1

dt x dx x dx 1 dt  2  3x 2 dx  dt   2 3 2   2 2 .

28. I   6 3 2 3 3 t 9x 3  (x ) 3 t dt 2 x dx  3 Në bazë të detyrës paraprake dt 1 t 1 x3  arctan  C  arctan  C1 .

1  32  t 2 3 3 3 3 1 x3 Pra I  arctan  C. 9 3 8x  3 8x dx 29.  2 dx  8  2 dx  3 2  8 I1  3 I 2 , ku x 7 x 7 x  ( 7 )2 xdx dx I1   2 ; I2   2 x 7 x  ( 7 )2 2

2

x2  7  t

I1 

Pra

x3  t

xdx 1 dt 1 1  2xdx  dt    ln|t | ln( x 2  7).

2 2 t 2 2 7 dt xdx  2

x

INTEGRALI I PACAKTUAR

10

1 1 x ln( x 2  7)  3 arctan C 2 7 7 3 x  4 ln( x 2  7)  arctan  C. 7 7

I  8

Detyra për ushtrime Të njehsohen integralet 43.

dx  2x 2  a 2 .

46.

 2x

x2 dx .

6 5

44.

dx  2x 2  3 .

47.

x

9x  1 dx .

2  15

45.

x3  7  x 8 dx.

48.

 (ex )

dx .

2  2

Të njehsohen integralet: 30.

a arctan x  1  x 2 dx , a  R \ {1}, a  0.

31.

dx

 arcsin x

1  x2 e arctg2 x  x 33.  dx .

1  4x 2

.

arctanx  x ln(1  x 2 ) dx .  1+x 2 Zgjidhja. arctan x  u a arctan x au a arctan x u 30.  dx   a du    C. dx  ln| a | ln a 1  x2  du 2 1x arcsin x  u dx du 31.     ln|u | ln|arcsin x | C. dx 2  du u arcsin x 1  x 1  x2

32.

arctan x  x ln(1  x 2 ) arctan x x ln(1  x 2 ) dx  dx    1  x2  1  x 2 dx 1  x2  I1  I 2 ,

32. I 

arctan x  u u2 (arctan x )2  u du   . dx  2 2  du 2 1x ln(1  x 2 )  u ln(1  x 2 ) 1 u2 ln 2 (1  x 2 ) I2   dx   udu   .

1 du  2 4 4 1  x2 xdx  2 1  x2 Pra

ku I1 

arctan x  1  x 2 dx 

ANALIZA MATEMATIKE II

11

(arctan x )2 ln 2 (1  x 2 )   C. 2 4 e arctan 2 x  x e arctan 2 x xdx 33. I   dx  dx    I1  I 2 , 2 2  1  4x 1  4x 1  4x 2 I 

arctan 2x  u

I1 

I2 

e 1 1 u eu e arctan 2 x dx   2 dx  du  e du   .

2 2  1  4x 2 2 2 1  4x dx 1  du 2 2 1  4x arctan 2 x

1  4 x 2  t 1 dt 1 xdx 1 2   1  4x 2 8xdx  dt  8  t  8 ln|t | 8 ln(1  4x ).

Pra, I 

e arctan 2 x 1  ln(1  4 x 2 )  C. 2 8

Detyra për ushtrime Të njehsohen integralet: 49.

3arctan x  1  x 2 dx.

50.

52.

x ln(1  3x 2 )  1  3x 2 dx.

53.

Të njehsohen integralet: 34.  sin ax dx.

35.

37.

40.

43.

 cot ax dx.  tan x dx.  sin x sin 2x dx.

4

51.



3

arcsin 2 x 1  x2

dx .

e arctan 4 x  e arctan 4 x dx .  1 x2  16

 cos ax dx. cos 2x

36.  tan ax dx .

 sin x cos x dx. 39.  sin x dx.

41.  sin x dx .

42.  cot x dx .

44.  cos x cos 2x cos 3x dx.

38.

dx  2 sin2 x  cos2 x . 46. sin x  sin 3 x 48.  dx . 49.

2 cos2 x  sin 2 x

45.

arctan 3 x  1  9x 2 dx.

4

5

sin 2x  tan4 x dx. dx  sin x .

5

47.

sin 3 x  cos2 x dx.

50.

 sin

4

x  cos4 x dx .

INTEGRALI I PACAKTUAR

12

Zgjidhja. ax  t

34.

 sin ax dx  adx  dt dx 



1 1 1 sin t dt   cos t   cos ax  C.  a a a



1 1 1 cos t dt  sin t  sin ax  C.  a a a

1 dt a

ax  t

35.

 cos ax dx  adx  dt dx 

1 dt a

cos ax  u sin ax 36.  tan ax dx   dx  1 cos ax sin ax dx   du a 1 du 1 1     ln|u|  ln|cos ax |C. a u a a sin ax  u cos ax 37.  cot ax dx   dx  1 sin ax cos ax dx  du a 1 du 1 1    ln|u| ln|sin ax |C. a u a a 38. Mënyra e parë: cos 2x cos2 x  sin 2 x cos x sin x I  dx   dx   dx   dx sin x cos x sin x cos x sin x cos x   cot x dx   tan x dx  ln|sin x |  ln|cos x |  ln|sin x  cos x |C.

Mënyra e dytë: cos 2x 2 cos 2x cos 2x I  dx   dx  2 dx  2 cot 2x dx sin x cos x 2 sin x cos x sin 2x  ln|sin 2x | C1 .

Shënim.

ANALIZA MATEMATIKE II

13

Lexuesi mund të ketë përshtypjen se rezultatet që morrëm nga zgjidhja në dy mënyrat janë të ndryshme por lehtë vërejmë se: ln|sin 2x | C1  ln|2 sin x cos x | C1  ln 2  ln|sin x cos x | C1  ln|sin x cos x | C. 2

 1  cos 2x  4 2 2  sin xdx   (sin x ) dx    2  dx 1   (1  2 cos 2x  cos2 2x ) dx 4 1 1 1 1  cos4 x   dx   cos2x dx   dx 4 2 4 2 1 1 1  x  I1  I 2 .

4 2 4 2x  u 1 1 1 I1   cos 2x dx    cos u du  sin u  sin 2x  C1 .

1 2 2 dx  du 2 2 1  cos 4 x 1 1 1 1 I2   dx   dx   cos 4 x dx  x  sin 4 x  C2 .

2 2 2 2 8 Përfundimisht merret: 1 1 1 1  1 1  3x sin 2x sin 4 x I  x   sin 2x    x  sin 4 x      C. 4 22 4 2 8 8 4 32     1   1  dx 40.  tan 4 x dx   tan 2 tan 2 x dx   tan 2 x  2  cos x  1   tan 2 x dx   tan 2 x dx  I1  I 2 . cos2 x tan x  u 1 u3 tan 3 x 2 2 I1   tan x dx   u du   . dx 3 3 cos2 x  du  2 cos x 2 sin x 1  cos2 x dx I 2   tan 2 x dx   dx   dx    dx 2 2 cos x cos x cos2 x   tan x  x  C. Përfundojmë se tan3 x 4 tan x dx   tan x  x  C.  3 cos x  t 41.  sin 5 xdx   sin x sin 4 x dx   sin x (1  cos2 x )2 dx  sin xdx  dt

39.

INTEGRALI I PACAKTUAR

14

   (1  t 2 )2 dt    dt  2 t 2 dt   t 4 dt  t  2

t3 t5  3 5

2 1 cos3 x  cos5 x  C. 3 5 5 cos x cos x  cos4 x cos x (1  sin 2 x )2 42.  cot 5 xdx   dx  dx  dx  sin5 x  sin5 x sin 5 x sin x  u (1  u2 )2 1  2u2  u4   du  du  cos x dx  du u5 u5 du 1 1   u 5 du  2 u 3 du     4  2  ln|u | u 4u u 1 1    ln|sin x | C. 4 sin 4 x sin 2 x Në detyrat vijuese zbatohen formulat: 1 sin x  sin y  (cos( x  y)  cos( x  y)) 2 1 cos x  cos y  (cos( x  y )  cos( x  y )) 2 1 sin x  cos y  (sin( x  y)  sin( x  y)).

2 1 43.  sin x sin 2x dx   (cos( x  2x )  cos( x  2x )) dx 2 1 1 1  cos x dx   cos 3x dx  sin x  sin 3x  C.  2 2 6 1 44.  cos x cos 2x cos 3x dx   cos 2x  (cos( x  3x )  cos( x  3x )) dx 2 1   cos 2x (cos( 2x )  cos 4 x ))dx 2 1  cos 2x cos 2x dx   cos 2x cos 4 x dx 2  1  dx   cos 4 x dx   cos 2x dx   cos 6x dx 4  1 1 1 1    x  sin 2x  sin 4 x  sin 6 x   C. 4 2 4 6  dx dx tan x  u 2 2 dx cos x cos x 45.     dx 2 sin 2 x  cos2 x  sin 2 x 2 tan 2 x  1  du 2 1 cos2 x 2 cos x   cos x 



 







ANALIZA MATEMATIKE II

15



du du   2 arctan 2u 2 1 ( 2u )2  1

 2u

 2 arctan( 2 tan x )  C. sin 2x 2 sin x cos x sin x cos x cos 4 x 46.  dx   dx  2 dx 4 4 tan x sin x sin 4 x cos4 x sin x  u sin x (1  sin 2 x )2 cos x  2 dx  4 cos x dx  du sin x u(1  u2 )2 du du du du  2 3  4  2  2 4 u u u u 1 4 1 4   2   2 ln|u |    2 ln|sin x | C. u u sin 2 x sin x sin3 x sin x sin 2 x sin x (1  cos2 x ) 47.  dx  dx  dx  cos2 x  cos2 x cos2 x  2



cos x  u

sin x dx  du

 

1  u2 1 1 du   u   cos x  C. u cos x u2

sin x  sin 3 x sin x (1  sin 2 x ) sin x cos2 x dx   dx   dx 2 2 2 x  sin x cos x  1 cos2 x  1 cos x  t t2 dt    2 dt    dt   2 sin x dx  dt t 1 t 1  t  arctan t   cos x  arctan(cos x )  C. x x sin 2  cos2 dx dx 2 2 dx   49.  x x  x x sin x  2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2 x x   sin cos  1 1 2 2   dx   dx   ( I 2  I 2 ). x x 2  2 sin  cos 2 2  

48.

 2 cos

INTEGRALI I PACAKTUAR

16

x u 2 x sin 2 dx   1 sin x dx  du  du  2 ln|u |  2 ln|cos x |.

I1   u x 2 2 2 cos x 2 sin dx  2 du 2 cos

x x sin  u du x 2 2 dx  I2    2  2 ln|u | 2 ln sin . x u 2 x sin cos dx  2du 2 2 x sin 1 x x  2  ln tan x  C. Pra I   2 ln cos  2 ln sin   ln x 2 2 2 2 cos 2 cos

4

 2 sin x cos x  50.  sin x  cos x dx   (sin x cos x ) dx     dx 2   4

4

4

2

(sin 2 2x )2 1  1  cos 4 x   16 dx  16   2  dx 1  (1  2 cos 4 x  cos2 4 x ) dx 64  1  dx  2 cos4 x dx   cos2 4 x dx 64  1  1 1  cos 8x   x  2  sin 4 x   dx   64  4 2  



 



1  1 1 1  x  sin 4 x  x  sin 8 x   64  2 2 16 

1 3 1 1  x  sin 4 x  sin 8 x   C.  64  2 2 16 

Detyra për ushtrime Të njehsohen integralet: cos x dx . x x sin cos 2 2

54.



57.

 cos

5

x dx .

55.

 cos

58.

 tan xdx.

4

5

x dx .

56.

 cot

59.

 sin 3x sin x dx.

4

x dx .

ANALIZA MATEMATIKE II

17

dx . x  5 cos2 x

60.

 sin x sin 2x cos 3xdx.

61.

 sin

62.

cos 2x  cot4 x dx.

63.

sin 2x  cot4 x dx.

65.

cos2 x  sin 2 x  sin x  sin3 x dx.

66.

 cos x .

2

dx

Të njehsohen integralet dx 51.  .

2 x  a2

52.

x

a 2  x 2 dx .

54.



53.



64. 

Zgjidhja.

67.

dx a2  x 2 dx (1  x 2 )3

sin5 x dx . cos2 x



dx . x sin 2

. .

x 2  a2  t  x , t  x  x 2  a2 x 2  a 2  t 2  2tx  x 2

51.

dx





x 2  a2



t2  a2 t2  a2 , dx  dt 2t 2t 2 t2  a2 x 2  a2  t  2t 2 t  a2 x 2  a2  2t

 2tx  t 2  a 2  x 

t2  a2 2t 2 dt  dt  ln|t | ln| x  x 2  a 2 | C. t t2  a2 2t

x  a tan u dx du 52.   dx  a 2 2 cos2 u x a x a2  x 2  a

du 2 cos u  2 a tan u a  a 2 tan 2 u a

1 cos u

INTEGRALI I PACAKTUAR

18

du du 2 1 du cos u cos2 u     2 1 a sin u a tan u 1  tan u a sin u cos u 1 u  ln tan . a 2 a x Meqë cos u  atëherë sin u  dhe 2 2 2 a x a  x2 x tan

Pra

53.



u sin u   2 1  cos u

x

dx 2

a x

2



1

a2  x 2 a



a2  x 2

x a  a2  x 2

.

1 x ln  C. a a  a2  x 2

x  a sin t dx  a cos t dt a 2  x 2 dx  sin t  x  a x t  arcsin a



a 2  a 2 sin 2 t  a cos t dt

 a 2  1  sin 2 t cos t dt  a 2  cos2 t dt  a 2  



 dt   cos 2tdt  a2  t  12 sin 2t   2

1 x x x2    a2    t  2 sin t cos t  arcsin  1    2  2 a a a 2     a2 x x  arcsin  a 2  x 2  C. 2 a 2 dt x  tan t dx dt cos2 t    dt 3 dx  (1  x 2 )3 (1  tan 2 t )3  sin 2 t  2 cos2 t cos t 1   cos2 t   

54.

a2 2

1  cos 2t dt 2

a2 2

ANALIZA MATEMATIKE II





Shënim.



19

dt cos2 t x

1 cos3 t

1  x2

  cos t dt  sin t  C 

tan t 1  tan 2 t

 C.

sin 2 t sin t tan 2 t tan t cos2 t sin 2 t     sin t  .

2 2 2 2 2 2 sin t  cos t sin t cos t 1  tan t 1  tan t  cos2 t cos2 t 2

Detyra për ushtrime Të njehsohen integralet: 68.



71.



dx 2

x a

69.

2

dx ( a 2  x 2 )3

.

x

dx x 1 2

.

70.



dx 9  x2

.