Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda ANALIZA MATEMATIKE I
17
4. FUNKSIONET
Detyra për ushtrime –PJESA 6 Të caktohet zona e përkufizimit për funksionet: 5− x 1+ x
1.
y = ln( x − 3) +
3.
y = log
5.
y=
7.
y = log
9.
y = log sin 2 x + cos x
x3 − 3x + 2 x +1 x
x − 3x + 2 2
+ 3 + 2 x − x2
3x − x 2 2
15. y = 17. y =
y = ln
4.
y = ( x − 2)
6.
y=
8.
y = arccos
1− x 1+ x
x −1 + x +1
x−2 x+2
4 3 + 2sin x
10. y = cos(sin x) + log | x 2 − 1|
11. y = arcsin(log 3 x)
12. y = log 2 log 3 log 4 ( x − 1)
x2 −1 1 + log ( x + 3)( x − 4) x−4
13. y =
x −1 x + x 2 − 4 − sin 2x + 7 2
2.
3 + log( x 2 − x) 4 − x2 x 2 − 4 + ln(− x)
14. y = (2 x + 8 − x 2 )
1 2
+ log 0.3 ( x − 1)
x 16. y = arcsin log 10
18. y = ln arcsin
1 + x2 − 4
−
x+2 5− x
1
19. y = x + 1 − 3 − x + e x
20. y = arcsin(sin x)
21. y = arcsin(3 + 2 x )
22. y =
ln( x + 3) | x | −x
24. y =
1 [ x]
23. y =
3
x+2 x− | x |
25. y = [ x] − x
Përgatitur nga Armend Shabani
26. y = log sin
3x − 5 2
www.armendshabani.info
Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda ANALIZA MATEMATIKE I
18
27. y = sin x 29. y =
x sin πx
31. y = log(cos(log x))
π 28. y = log sin x
30. y = ( x + | x |) x sin 2 πx 32. y = ctgπx + arccos 2 x
Cilat nga funksionet vijuese janë simetrike (çift, tek) dhe cilat asimetrike 1+ x 1− x
33. y = 1 + x + x 2 − 1 − x + x 2
34. y = ln
35. y = 3 (1 − x)2 + 3 (1 + x)2
36. y = x sin 2 x − x 3
37. y = cos( x + 1) 38. Funksioni y = f ( x) i definuar në intervalin [−a, a ] mund të paraqitet si shumë i një funksioni tek dhe një funksioni çift si vijon f ( x) + f (− x) f ( x) − f (− x) y= + . Tregoni. 2 2 39. A ekziston numri a për të cilin funksioni f ( x) = a ) është çift;
5x − 1 5x + 1 −a⋅ 2 2 x +x x −x
b) është tek.
Të caktohet perioda e funksioneve 40. y = sin 2
x 2
41. y =| sin x | + | cos x |
42. Tregoni nëse y = sin x + cos ax është periodik atëherë a është numër racional. 43. Le të jenë f1 ( x), f 2 ( x) funksione me të njëjtin domenë. Të vërtetohet se: a ) Nëse funksionet f1 ( x), f 2 ( x) janë periodikë me perioda themelore T1 dhe T2 , përkatësisht dhe nëse T1 : T2 = m : n, ku m, n ∈ N dhe (m, n) = 1, atëherë shuma f1 + f 2 dhe prodhimi f1 ⋅ f 2 janë funksione periodike. b) Nëse për funksionet f1 dhe f 2 ekziston numri T > 0 i tillë që f1 ( x + T ) = f 2 ( x) dhe f 2 ( x + T ) = f1 ( x) atëherë f1 + f 2 dhe f1 ⋅ f 2 janë funksione periodike. Përgatitur nga Armend Shabani
www.armendshabani.info
Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda ANALIZA MATEMATIKE I
19
44. Tregoni se funksioni f ( x) = sin x 2 nuk është funksion periodik. A janë periodike funksionet 45. y = tgπx
46. y = sin x + sin 2 x
47. f ( x) = cos x 2
48. y = x − [ x]
49. y = x + sin x
50. y = cos x
51. Le të jetë f funksion periodik me periodë p = 2 i tillë që f ( x) = x 2 − 1 në [0, 2). Gjeni formulën analitike për funksionin f në [2k , 2k + 2), k ∈ Z . 52. Le të jetë f funksion periodikë me periodë themelore p i përkufizuar në !. p Tregoni se f (ax + b), a > 0 është periodë me periodë themelore . a 53. Thuhet se funksioni f është periodikë me antiperiodë p nëse f ( x + p) = − f ( x), ( x ∈ D f ). Tregoni se nëse f është antiperiodë me antiperiodë p atëherë funksioni f është periodikë me periodë 2p. 54. Tregoni se funksioni F ( x) =
1 + F ( x − a) , ku a është konstante, është 1 − F ( x − a)
periodik. Të caktohen intervalet e monotonisë së funksioneve x 1 + x2
55. y = x 2 , n ∈ "
56. y = x3 + 2 x
57. y =
58. y = a sin x + b cos x
59. y = [ x]
60. y = 2 x
61. Le të jenë f , g funksione monotone, të tilla që F ( x) = f [ g ( x)] kompozimi i tyre.
D⊆!
ndërsa
Të vërtetohet se: a ) Në qoftë se f , g janë njëkohësisht funksione rritëse ose zvogëluese atëherë funksioni F është rritës. b) Në qoftë se njëri prej tyre është funksion rritës, e tjetri zvogëlues atëherë F është zvogëlues.
62. Le të jetë f funksion rritës në (0, +∞). Tregoni se funksioni f ( x 2 n ), n ∈ " është zvogëlues në (−∞, 0) dhe rritës në (0, ∞ ). 63. Le të jetë f funksioni rritës në (−∞, ∞ ). Çfarë mund të themi për f ( x 2 n+1 ), n ∈ " ? Përgatitur nga Armend Shabani
www.armendshabani.info
Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda ANALIZA MATEMATIKE I
20
A janë të kufizuara funksionet? 1 x + 2x + 3
64. f ( x) =
65. f ( x) =
2
x 1+ x
66. f ( x) =
x x +1 2
67. Është dhënë funksioni f ( x) = tgx + ctgx, (tgx > 0). Tregoni se f është i kufizuar nga poshtë dhe njehsoni m = min f ( x) dhe xm për të cilin f ( xm ) = m. Të caktohet max f ( x) dhe min f ( x) nëse: x∈I
x∈I
68. f ( x) = x 2 − 4 x − 5, I [0,5]
69. f ( x) =
x , I = [−10, −3] x+2
4 − x2 , I = [−1,3] 4 + x2
71. f ( x) =
x4 + 4 , I = [1, 2] x2
70. f ( x) =
Të caktohen funksionet inverse të funksioneve 72. y = cos x − sin x + 1 x
74. y = 2 x−1 76. y =
1+ x 1− x
x 73. y = ln arcsin +1 x 1 1+ x 75. y = log a 2 1− x
77. y = sin x
78. y = sin ln x + cos ln x − 1 79. Le të jetë f ( x) = 1 + sin x − 1 − sin x ,
π π + k π ≤ x ≤ + k π. 4 2
Tregoni se a)
f (π − 2 x) = 2 − ( f ( x))2 ;
Përgatitur nga Armend Shabani
b)
f ( x) = f ( px) ctg
px . 2
www.armendshabani.info