6[1]. Funksionet

Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda ANALIZA MATEMATIKE I

17

4. FUNKSIONET

Detyra për ushtrime –PJESA 6 Të caktohet zona e përkufizimit për funksionet: 5− x 1+ x

1.

y = ln( x − 3) +

3.

y = log

5.

y=

7.

y = log

9.

y = log sin 2 x + cos x

x3 − 3x + 2 x +1 x

x − 3x + 2 2

+ 3 + 2 x − x2

3x − x 2 2

15. y = 17. y =

y = ln

4.

y = ( x − 2)

6.

y=

8.

y = arccos

1− x 1+ x

x −1 + x +1

x−2 x+2

4 3 + 2sin x

10. y = cos(sin x) + log | x 2 − 1|

11. y = arcsin(log 3 x)

12. y = log 2 log 3 log 4 ( x − 1)

x2 −1 1 + log ( x + 3)( x − 4) x−4

13. y =

x −1 x + x 2 − 4 − sin 2x + 7 2

2.

3 + log( x 2 − x) 4 − x2 x 2 − 4 + ln(− x)

14. y = (2 x + 8 − x 2 )

1 2

+ log 0.3 ( x − 1)

x  16. y = arcsin  log  10  

18. y = ln arcsin

1 + x2 − 4

−

x+2 5− x

1

19. y = x + 1 − 3 − x + e x

20. y = arcsin(sin x)

21. y = arcsin(3 + 2 x )

22. y =

ln( x + 3) | x | −x

24. y =

1 [ x]

23. y =

3

x+2 x− | x |

25. y = [ x] − x

Përgatitur nga Armend Shabani

26. y = log sin

3x − 5 2

www.armendshabani.info

Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda ANALIZA MATEMATIKE I

18

27. y = sin x 29. y =

x sin πx

31. y = log(cos(log x))

π  28. y = log  sin  x 

30. y = ( x + | x |) x sin 2 πx 32. y = ctgπx + arccos 2 x

Cilat nga funksionet vijuese janë simetrike (çift, tek) dhe cilat asimetrike 1+ x 1− x

33. y = 1 + x + x 2 − 1 − x + x 2

34. y = ln

35. y = 3 (1 − x)2 + 3 (1 + x)2

36. y = x sin 2 x − x 3

37. y = cos( x + 1) 38. Funksioni y = f ( x) i definuar në intervalin [−a, a ] mund të paraqitet si shumë i një funksioni tek dhe një funksioni çift si vijon f ( x) + f (− x) f ( x) − f (− x) y= + . Tregoni.

2 2 39. A ekziston numri a për të cilin funksioni f ( x) = a ) është çift;

5x − 1 5x + 1 −a⋅ 2 2 x +x x −x

b) është tek.

Të caktohet perioda e funksioneve 40. y = sin 2

x 2

41. y =| sin x | + | cos x |

42. Tregoni nëse y = sin x + cos ax është periodik atëherë a është numër racional.

43. Le të jenë f1 ( x), f 2 ( x) funksione me të njëjtin domenë.

Të vërtetohet se: a ) Nëse funksionet f1 ( x), f 2 ( x) janë periodikë me perioda themelore T1 dhe T2 , përkatësisht dhe nëse T1 : T2 = m : n, ku m, n ∈ N dhe (m, n) = 1, atëherë shuma f1 + f 2 dhe prodhimi f1 ⋅ f 2 janë funksione periodike. b) Nëse për funksionet f1 dhe f 2 ekziston numri T > 0 i tillë që f1 ( x + T ) = f 2 ( x) dhe f 2 ( x + T ) = f1 ( x) atëherë f1 + f 2 dhe f1 ⋅ f 2 janë funksione periodike.

Përgatitur nga Armend Shabani

www.armendshabani.info

Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda ANALIZA MATEMATIKE I

19

44. Tregoni se funksioni f ( x) = sin x 2 nuk është funksion periodik.

A janë periodike funksionet 45. y = tgπx

46. y = sin x + sin 2 x

47. f ( x) = cos x 2

48. y = x − [ x]

49. y = x + sin x

50. y = cos x

51. Le të jetë f funksion periodik me periodë p = 2 i tillë që f ( x) = x 2 − 1 në [0, 2). Gjeni formulën analitike për funksionin f në [2k , 2k + 2), k ∈ Z .

52. Le të jetë f funksion periodikë me periodë themelore p i përkufizuar në !. p Tregoni se f (ax + b), a > 0 është periodë me periodë themelore . a 53. Thuhet se funksioni f është periodikë me antiperiodë p nëse f ( x + p) = − f ( x), ( x ∈ D f ). Tregoni se nëse f është antiperiodë me antiperiodë p atëherë funksioni f është periodikë me periodë 2p.

54. Tregoni se funksioni F ( x) =

1 + F ( x − a) , ku a është konstante, është 1 − F ( x − a)

periodik.

Të caktohen intervalet e monotonisë së funksioneve x 1 + x2

55. y = x 2 , n ∈ "

56. y = x3 + 2 x

57. y =

58. y = a sin x + b cos x

59. y = [ x]

60. y = 2 x

61. Le të jenë f , g funksione monotone, të tilla që F ( x) = f [ g ( x)] kompozimi i tyre.

D⊆!

ndërsa

Të vërtetohet se: a ) Në qoftë se f , g janë njëkohësisht funksione rritëse ose zvogëluese atëherë funksioni F është rritës. b) Në qoftë se njëri prej tyre është funksion rritës, e tjetri zvogëlues atëherë F është zvogëlues.

62. Le të jetë f funksion rritës në (0, +∞). Tregoni se funksioni f ( x 2 n ), n ∈ " është zvogëlues në (−∞, 0) dhe rritës në (0, ∞ ).

63. Le të jetë f funksioni rritës në (−∞, ∞ ). Çfarë mund të themi për f ( x 2 n+1 ), n ∈ " ?

Përgatitur nga Armend Shabani

www.armendshabani.info

Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda ANALIZA MATEMATIKE I

20

A janë të kufizuara funksionet?

1 x + 2x + 3

64. f ( x) =

65. f ( x) =

2

x 1+ x

66. f ( x) =

x x +1 2

67. Është dhënë funksioni f ( x) = tgx + ctgx, (tgx > 0). Tregoni se f është i kufizuar nga poshtë dhe njehsoni m = min f ( x) dhe xm për të cilin f ( xm ) = m.

Të caktohet max f ( x) dhe min f ( x) nëse: x∈I

x∈I

68. f ( x) = x 2 − 4 x − 5, I [0,5]

69. f ( x) =

x , I = [−10, −3] x+2

4 − x2 , I = [−1,3] 4 + x2

71. f ( x) =

x4 + 4 , I = [1, 2] x2

70. f ( x) =

Të caktohen funksionet inverse të funksioneve 72. y = cos x − sin x + 1 x

74. y = 2 x−1 76. y =

1+ x 1− x

x   73. y = ln  arcsin  +1 x  1 1+ x 75. y = log a 2 1− x

77. y = sin x

78. y = sin ln x + cos ln x − 1 79. Le të jetë f ( x) = 1 + sin x − 1 − sin x ,

π π + k π ≤ x ≤ + k π.

4 2

Tregoni se a)

f (π − 2 x) = 2 − ( f ( x))2 ;

Përgatitur nga Armend Shabani

b)

f ( x) = f ( px) ctg

px .

2

www.armendshabani.info