festa d ll’ dell’inquietudine d III edizione 14 – 15 –16 maggio 2010 Finale Ligure SV, Riviera delle Palme
Il Limite in Matematica Manfredo Montagnana
Executive Summary
La Festa dell'Inquietudine è un evento performativo di Cultura & Intrattenimento dedicato alla “Inquietudine”. La Festa è strutturata su 5 ggruppi pp di eventi: Dibattiti & Incontri Mostre & Spettacoli Inquieto dell’Anno InquietaMente Inquietus Celebration Agli eventi partecipano personalità di primo piano del mondo Culturale, Scientifico e dello Spettacolo italiano e mondiale. Filo conduttore del 2010: “Inquietudine & Limite” in Filosofia Matematica Scienza & Specie Sport E Economia i Tecnologia T l i & Organizzazioni O i i i & Vita, Vit Aldilà, Aldilà & Risorse Ingegneria Leadership Altri Mondi
Sede: Complesso Monumentale di Santa Caterina a Finalborgo e Fortezza di Castelfranco a Finalmarina 2 Periodo: 14 - 15 -16 Maggio 2010.
Contenuti
Festa dell’Inquietudine • Festa dell’Inquietudine 2010 • Inquietudine & Limite in … • Andare oltre … Limite in Matematica Mancanza di confini per la mente umana Limite nella Matematica Natura N t astratta t tt del d l concetto tt di Limite Li it Luoghi della Festa dell’Inquietudine 2010 Organizzazione della Festa dell’Inquietudine 2010 • Eventi • Inquieto dell’anno Citazioni & Links Inquieti Channels 3
Evento performativo di Cultura e Intrattenimento dedicato alla “Inquietudine� 4
iinquietudine i t di è conoscenza e crescita it culturale e sentimentale inquietudine q non caratterizza solo chi vive stati d’angoscia o d’ansia inquietudine avvolge e pervade chi ama, chi è tormentato dalla creatività artistica, artistica chi ha desiderio di conoscenza, chi è pervaso dal dubbio, chi hi è affascinato ff i t dal d l mistero, i t chi è sedotto dalla vita, partecipa p ai drammi dell’umanità contemporanea p e, chi p ancor più, chi ne è afflitto direttamente. 5
Festa dell’Inquietudine dell Inquietudine 2010
Limite 1. Linea che divide 2. Punto estremo a cui può arrivare qualcosa 3. Termine che non si può o non si deve superare [anche in senso figurato] *
Nella III edizione della Festa dell’Inquietudine si lavora sulla relazione:
«inquietudine q e limite» * fonte: www.dizionario-italiano.it
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Inquietudine & Limite in … Filosofia
Sport
Matematica
Tecnologia & Ingegneria
Economia, Risorse, Ambiente, Situazioni S
Organizzazioni & Leadership
Scienza & Specie p
Vita, Altri Mondi, Aldilà
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“PLVS PLVS VLTRA VLTRA”, andare oltre …
«Viviamo in un’epoca in cui tutto sembra “superabile”: superabile : dalle prestazioni sportive alle acquisizioni scientifiche, fino alla stessa “specie umana” ».
«Per noi, del Circolo degli Inquieti, è ovvio pensare che sia l’inquietudine a spingere l’uomo al limite e, magari, oltre ».
“PLVS VLTRA” (Plus Ultra) in latino significa “andare oltre”, superare i propri limiti, in contrapposizione all'altro all altro motto latino “NEC NEC PLVS VLTRA” (Nec Plus Ultra), "non più avanti“, che indica il limite estremo.
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Sono andati oltre … Della mitologia di Eracle-Ercole ci piace quel sentenzioso “Nec Nec plus ultra ultra” scolpito sulle Colonne omonime. Veniva dopo imprese straordinarie in cui l’Eroe aveva sfidato e vinto divinità e mostri; e indicava un limite. limite Ma ancor più ci affascinano coloro che quelle Colonne hanno superato! Ulisse, Cristoforo Colombo ma anche Platone che “oltre” vi colloca la perduta Atlantide. 9
Plus Ultra Ci piace, persino, Carlo V del Sacro Romano I Impero (Carlos (C l I d de E España ñ ) che h ttrasforma f il divieto in incoraggiamento ad andare oltre; e “Plus Plus ultra ultra” diventa il suo motto» motto».
Fonte: wikipedia
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Matematica ď‚Ž ď‚Ž ď‚Ž
Mancanza di confini M fi i per lla mente t umana Limite nella Matematica Natura astratta del concetto di Limite Manfredo Montagnana
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Manfredo Montagnana Presidente da oltre dieci anni dell'Unione Culturale Franco Antonicelli di Torino. Ha fatto p parte del Consiglio g Comunale di Torino dal 2001 al 2006 partecipando ai lavori delle Commissioni Cultura e Urbanistica. Ha ricoperto importanti incarichi nei Sindacati della Scuola, Scuola dell'Università e della Ricerca della CGIL. Dal 1961 al 1971 ha insegnato matematica nelle Università di Torino e di Genova. Dal 1971 al 1998 ha svolto corsi di Analisi Matematica, Geometria, Applicazioni della Matematica all'Economia, Al Politecnico di Torino In questo ateneo è stato membro del Consiglio di Amministrazione ed ha diretto il Centro dei Servizi Didattici di Architettura. Architettura Nell'anno accademico 1969-70 ha svolto ricerca presso il Mathematical and Statistical Department dell'University della y California in Berkeley. Dal 1940 al 1948 è vissuto in Australia dove ha acquisito l'inglese come propria lingua madre. 12
Mancanza di confini per la mente umana
Esiste una contraddizione profonda tra la percezione dello spazio reale e del tempo come entità limitate ed il rifiuto della nostra ragione all’idea che oltre ogni frontiera spazio/ temporale non ci possa essere"qualche altra cosa" (c'era un "prima” del big bang? che c'è oltre l'universo più o meno conosciuto?). Il passaggio da un numero “limitato” di oggetti al concetto di infiniti numeri (Bolzano, Weierstrass), che è stato lungo e faticoso, deve il suo avvio a questo tentativo di chiarire che cosa si debba intendere per “infinito”. Ancora più difficile è stato comprendere l'esistenza di diversi infiniti numerici (numerabile, continuo) e cosa li distingue uno dall'altro; tanto che resta incomprensibile ai più come i numeri razionali (le frazioni) possano essere “tanti quanti” i numeri interi positivi. 13
Limite nella Matematica
Concetto di limite I Matematici del Limite Esempio geometrico di Limite Limite di n-gon g Metodo di esaustione Archimede e il metodo di esaustione
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Concetto di Limite
Nella matematica moderna il concetto di limite nasce dalla duplice esigenza di precisare la natura dell’insieme dei numeri reali e di eliminare le molte critiche alla definizione newtoniana della derivata.
Nella definizione di Cauchy il limite è associato alla descrizione dell'andamento di una funzione quando il suo argomento g si avvicina a un dato valore,, oppure pp al crescere illimitato di tale argomento.
Una completa sistemazione della definizione di limite e dei metodi di calcolo si ha solo verso la fine del secolo XIX XIX.
In seguito, questo concetto fondamentale fu introdotto in tutti i settori della matematica, non solo nello studio delle funzioni di più variabili ma anche nello studio di spazi assai generali come quelli metrici e quelli topologici. 15
I Matematici del Limite Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716), 1716) filosofo, matematico, scienziato tedesco. Sir Isaac Newton (1643 – 1727), matematico, fisico inglese “una inglese, una delle più grandi menti di tutti i tempi tempi”. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781 – 1848) matematico, filosofo, logico boemo. Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857), matematico e ingegnere francese. ), Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ((1815 – 1897), matematico tedesco, "padre dell'analisi moderna". Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), filosofo e logico austriaco. Fonte: Wikipedia
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Esempio geometrico di Limite Consideriamo un poligono iscritto in un cerchio …
Aumentando il numero di lati, lati il poligono si avvicina sempre più a un cerchio. Se ci riferiamo al poligono come n-gon, dove n è il n mero di lati, numero lati possiamo fare alcune alc ne considerazioni considera ioni matematiche … 17
Limite di n n-gon gon
All’aumentare di n, n-gon approssima un cerchio. Per n tendente a infinito, n-gon si avvicina al cerchio. Il limite di n n-gon, gon, per n che tende all'infinito, all infinito, è il cerchio!
“n-gon non diventa mai veramente un cerchio, ma si avvicina talmente che,, ai fini pratici, p , può p essere condiderato un cerchio”. 18
Metodo di esaustione
Consideriamo un cerchio ed i poligoni inscritti che chiameremo n-gon. Aumentando il numero dei lati, i successivi n-gon esauriscono via via la regione piana occupata dal cerchio. L’area An di ogni n-gon si calcola facilmente come somma delle aree dei triangoli che lo compongono. Quando n cresce indefinitamente le aree An approssimano sempre meglio l’area del cerchio. I matematici dicono che, quando tende all’infinito, le aree An A tendono t d all’area ll’ A del d l cerchio hi e scrivono i lim An = A . n→ ∞ 19
Archimede e il metodo di esaustione Archimede (287-212 a.C.) utilizzò questa idea oltre 2.200 anni addietro: calcolando le aree dei primi n-gon ottenne una buona approssimazione dell’area del cerchio. In questo modo determinò le prime due cifre del numero Pi Greco.
= 3,14159265358979 . . . Il metodo di esaustione, descritto da Archimede ne Il Metodo, è alla base del concetto di integrale g di una funzione sviluppato nel Seicento da Newton e Leibniz.
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La natura astratta del concetto di limite li i
Spazi astratti
Dipingendo la derivata
Infinitesimo & Infinito
Fonte: Calculus has practical applications, such as understanding the true meaning of the infinitesimals. (Image concept by Dr. Lachowska, MIT)
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Spazi p astratti ď‚Ž
ď‚Ž
La natura astratta della definizione di limite data da C Cauchy h assume nuovo valore l solo l quando d viene i estesa agli spazi astratti e non sembra risolvere i dubbi sulla definizione di derivata. Infatti l’impostazione del calcolo differenziale data da Newton e Leibniz venne contestata da altri studiosi e, tra questi Karl Marx.
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Definizione di derivata
In effetti tale definizione di derivata presenta una evidente incoerenza. Se consideriamo il rapporto (velocità media) tra l’incremento ∆s di una grandezza s (strada percorsa) ed il corrispondente incremento ∆t della variabile t (tempo impiegato), esso ha senso solo finchè il denominatore ∆t è diverso da zero. D’ l parte, a seguito D’altra i di semplici li i operazioni i i algebriche, il rapporto viene sempre semplificato in modo che si p possa p porre ∆t = 0,, ottenendo così la “derivata” (velocità istantanea) della variabile s. Insomma, si accetta a posteriori un passaggio che a priori era dichiarato impossibile. impossibile 23
Dipingendo la Derivata … Nel primo grafico, la derivata viene individuata punto per punto: è la inclinazione della retta tangente al grafico, dove la retta tangente in un punto è definita come "posizione limite" delle rette secanti passanti per quel punto. Si tratta della derivata nel senso di Newton, Newton reso rigoroso da Cauchy, che si ottiene come "passaggio al limite" del rapporto ∆s/∆t.
Grafico di f(x)=1/x
Grafico di f’(x)=-1/x2
Nel secondo grafico (ragionando alla maniera di Marx) la derivata è un "operatore", cioè uno strumento matematico che ad ogni funzione ne associa un'altra secondo determinate regole. g In questo caso, alla funzione 1/x si associa la sua "funzione derivata" 1/x² 24
Infinitesimo & Infinito
Le idee di “infinitesimo = punto” e di “infinito = oltre ogni limite” suggeriscono i un parallelismo ll li con la coincidenza tra il punto e l'infinito nella mistica ebraica. Questo riferimento spinge a costruire un ponte tra matematica, logica e filosofia (peraltro esistente da molto t tempo, vedi di Witt Wittgenstein). t i ) 25
Luoghi della Festa Finale Ligure, “locus finalis”
Finalborgo
Finalmarina Ci piace pensare che, per tre giorni, le Colonne g della Conoscenza segneranno lì il l luogo di confine. fi 26
Complesso monumentale di Santa Caterina a Finalborgo
Chiuso tra mura medievali ancora ben conservate, intervallate da torri semicircolari e interrotte solo in corrispondenza delle porte, il Borgo di Finale (Finalborgo da Burgum Finarii, terra di confine (ad fines) ai tempi dei Romani) offre al visitatore una sensazione di protezione e raccoglimento. raccoglimento 27
Fortezza di Castelfranco a Finalmarina www.scalo.org/images/finaliu.jpg
Il complesso fortilizio, che risale alla seconda metà del XIV secolo, si articola in una pianta a forma stellata, a stretto contatto con l'abitato del centro di Finale. Finale Castelfranco fu attivo come fortezza ancora nel 1745 1745, quando respinse l'attacco di quattordici navi inglesi. Dal 1938 è di proprietà del Comune di Finale Ligure. 28
Organizzazione della Festa Comitato promotore: CittĂ di Finale Ligure Fondazione A A. De Mari - Cassa di Risparmio di Savona Provincia di Savona Turismo in Liguria Id Ideazione i e organizzazione: i i Circolo degli Inquieti di Savona 29
Eventi
Dibattiti e Incontri: promozione dell’Inquietudine dell Inquietudine come condizione dell'essere umano e sinonimo di conoscenza e crescita culturale.
Mostre & Spettacoli: proposizione di aspetti difformi di creatività artistica.
InquietaMente: progetti innovativi e inquieti dedicati ai giovani e alle imprese imprese.
Inquietus Celebration (IV edizione): “celebrazione” di personalità inquiete che si sono distinte per l'elevata vivacità intellettuale e sentimentale in ambiti specifici f dell'attività à umana.
Inquieto dell'Anno (XIII edizione): “celebrazione” della personalità che si è contraddistinta per il suo essere inquieto.
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Inquieto q dell’Anno “Anno”
Edizione Celebrazione Inquieto dell’Anno
2009
XIII
2010
?
2008 2007
XII XI
2009 2008
Don Luigi Ciotti Milly & Massimo Moratti
2006 2005 2004 2003 2002
X IX VIII VII VI
2007 2006 2005 2004 2003
Raffaella Carrà Règis Debray Costa Gavras Oliviero Toscani Barbara Spinelli
2001 2000 1998 1997 1996
V IV III II I
2002 2001 1999 1998 1997
Antonio Ricci Gino Paoli Francesco Biamonti Gad Lerner Carmen Llera Moravia
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Inquieto dell dell'Anno Anno 2008
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Citazioni & Link
Il logo del Circolo è di Ugo Nespolo www.nespolo.com
Il logo della Festa è di Oliviero Toscani - La Sterpaia www.lasterpaia.it
Le foto della Festa sono di Emilio Rescigno www.emiliorescigno.it
Mozart Mo art S Symphony mphon 40 by b Col Columbia mbia Uni University ersit Orchestra www.archive.org/details/Mozart_Symphony_40 34
Arrivederci alla Festa … L atmosfera unica di Finale Ligure, L’atmosfera Ligure del suo storico Borgo e di Varigotti nonché della Riviera di Ponente, Ponente la curiosità degli eventi proposti durante la festa e i sapori della cucina e del buon vino ligure renderanno i tre giorni della festa davvero indimenticabili. indimenticabili
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