Modelo de crecmiento neoclásico basado en la productividad (de Ramsey) aplicado a México 2000-2010.

DOCUMENTOS DE TRABAJO 518 Modelo de crecimiento neoclásico basado en la productividad (de Ramsey) aplicado a México 2000-2010.

Salomón Guzmán Rodríguez Hugo Venancio Castillo Enero de 2014

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Modelo de crecimiento neoclásico basado en la productividad (de Ramsey) aplicado a México 2000-2010.

Salomón Guzmán Rodríguez Hugo Venancio Castillo* Enero de 2014 Fundación Rafael Preciado Hernández A.C. Documento de Trabajo No. 518 Clasificación temática: Crecimiento económico, Acumulación del stock del capital, Cuentas nacionales, Modelo de Ramsey, Control Óptimo, Diagrama de fase, Equilibrio de estado estacionario, Punto silla de equilibrio, necesidades de reposición del capital.

RESUMEN Este trabajo trata de verificar cuantitativamente los cambios en la evolución del factor del stock del capital y el consumo en México, en la tasa de crecimiento de la economía en el largo plazo. El propósito es llegar a conclusiones cuantitativas robustas, sobre la importancia que representan las decisiones de consumo e inversión por parte de los privados en la economía la cual presenta tasas de crecimiento bajas en relación a otros países. Los resultados muestran que si en futuro no muy lejano, la economía mexicana experimentara un mayor aumento en las necesidades de reposición de capital como consecuencia del aumento de la población, mayor tasa descuento o mayor consumo de capital, las preferencias por la inversión se verían afectadas por las decisiones del consumo, generando menores tasas de productividad del capital y del producto.

Correo electrónico: saloguz@gmail.com y venancio.hugo@gmail.com Las opiniones contenidas en este documento corresponden exclusivamente al autor y no representan necesariamente el punto de vista de la Fundación Rafael Preciado Hernández A.C. *

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Contenido de la Investigación:

I. Introducción

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II. Planteamiento y Delimitación del Problema

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III. Formulación de Hipótesis

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IV. Objetivos

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V. Justificación

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VI. Marco teórico

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VII. Pruebas empíricas de la investigación

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VIII. Conclusiones

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X. Referencias Bibliograficas

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IX. Anexos

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I.

Introducción Según el premio nobel en economía, Robert Lucas 1 , el crecimiento

económico es la parte más importante de la macroeconomía 2 moderna. Es tan relevante el tema en los tiempos modernos que la evaluación empírica de las conclusiones a las que llegan las distintas teorías del crecimiento económico3 se ha vuelto un tema por demás interesante si se trata de explicar la realidad de cualquier economía doméstica que se encuentre en la senda de crecimiento de largo plazo, en el caso concreto, permitir obtener una explicación coherente de lo que sucede en la realidad económica.

En las economías capitalistas dominadas por la acumulación de capital que no crecen , como lo es la economía mexicana y algunas Latino americanas, dejan ver un conjunto de problemas a nivel macroeconómico y microeconómico que no les permiten experimentar tasas de crecimiento económico sostenido; algunos de ellos van desde el sistema político que las caracteriza hasta el problema de la buena administración de lo recursos naturales.

A nivel microeconómico 4 , como lo señalan la mayoría de las teorías de crecimiento neoclásico, se observa que las familias no cuentan con ingresos suficientes que permitan dinamizar los mercados internos, algo así como los círculos viciosos de la pobreza. La brecha de la desigualdad se hace mas ancha generando que la sociedad no experimente las mismas oportunidades en el tiempo. Las multiplicidad de las decisiones individuales conducen, como lo muestran algunas otras teorías, a un caos por tratar de explicar el endeudamiento de las familias, las cuales afectan su nivel de bienestar en general.

Desde ese punto de vista, cabe mencionar, la economía mexicana ha experimentado desde el año 2000 dos ciclos económicos5, el primero fue en el 1

Recibió el premio nobel en economía en 1995, por sus aportaciones a la macroeconomía con las expectativas racionales. N.A 2 La macroeconomía es el estudio de la economía en su conjunto y plantea algunas de las cuestiones más relevantes de la economía: por qué algunos países son ricos y otros pobres, etc. Romer (2002) 3 Crecimiento económico se refiere al crecimiento sostenido del producto per cápita. Kuznets (1996) 4 Teoría de la elección racional. N.A 5 Periodos de expansión y contracción que experimenta el nivel general de actividad de un país, en las economías modernas, los niveles agregados de producción y empleo experimentan importantes variaciones en el corto plazo. Romer (2002)

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periodo 2001-2008 y el segundo desde 2009 hasta 2013; una tasa de crecimiento económico del dos por ciento, baja inflación, lo que índica una política monetaria robusta 6 , un nivel de desempleo relativamente menor al de las economías desarrolladas de la OCDE (2012) ; por otro lado, el crecimiento de la productividad media de los factores totales7 ha sido negativa en el periodo de 1991-2011, según el Sistema Nacional de Cuentas Nacionales8 que pública el INEGI. Por su parte, durante el periodo arriba mencionado los servicios de capital y del trabajo han mantenido la misma proporción promedio en el incremento del valor de la producción con el 40.0 % y 14.0 %, respectivamente. Así mismo la tasa de crecimiento de estas dos variables ha sido de apenas el 1.58 % y del 0.43 %. En consecuencia, la trayectoria temporal de la tasa de crecimiento de la economía mexicana debe evaluarse con detenimiento profundo, su análisis debe generarse a partir de metodologías robustas y consistentes.

En este trabajo se trata de dar una explicación cuantitativa y deductiva robusta, bajo la perspectiva del modelo de crecimiento de Ramsey (1928), sobre del comportamiento de la trayectoria del crecimiento económico de la economía mexicana durante el periodo 2000 al año 2012 y sus principales implicaciones futuras.

La cuestión es verificar cuantitativamente, si la evolución del factor del stock del capital9 y el consumo en México, permiten deducir la trayectoria que seguirá la economía en el largo plazo. El propósito es llegar a conclusiones cuantitativas robustas, sobre la importancia que representan las decisiones de consumo e

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Se denomina a una política monetaria robusta a aquélla que logra tasas de inflación bajas en un periodo de tiempo relativamente corto. N.A 7 Concepto usado en la teoría económica, que representa entre otros elementos a la tecnología, la organización y administración de las empresas y efectos del marco institucional en la economía. También se le define como un residual que mide la parte del incremento del producto que no se explica por los incrementos en los factores utilizados en la producción. INEGI (2011) 8 Sistema mediante el cual el país contabiliza y registra a nivel macroeconómico las actividades, operaciones y flujos de la economía nacional, referentes a la producción, consumo, ahorro, inversión y sector externo, reflejando la situación y evolución económica del país. INEGI (2011) 9

Stock de capital que toma en cuenta el decline en eficiencia de los activos además de la depreciación. Se considera la verdadera parte del Stock de capital que contribuye a la producción. INEGI (2011)

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inversión por parte de los privados en la economía la cual presenta tasas de crecimiento bajas en relación a otros países.

En la primera sección de este trabajo se mostrará un resumen concreto sobre el modelo de Solow10 y la formulación matemática básica del modelo Ramsey, los cuales son la base para muchos análisis de crecimiento económico y que permitirá hacer las deducciones necesarias con la herramienta matemática de optimización del Control Óptimo11 en tiempo continuo.

En la segunda sección se mostrará la construcción del modelo de Ramsey12 y a partir de ello construir, con la información que reporta el INEGI, la variable del stock de capital privado y consumo privado a precios del 2008.

En la tercera sección, utilizando el la herramienta del control óptimo y datos de la información económica mexicana, evaluar si el modelo de Ramsey encaja en la realidad de la economía. Por su parte se realizará un modelo econométrico de las variables stock de capital y consumo, bajo algunos supuestos importantes.

En la cuarta sección de este trabajo se presentaran las principales conclusiones deductivas que permitan advertir la situación en el largo plazo del crecimiento económico después de 2012.

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Recibió el premio nobel en economía en 1987, por sus contribuciones a la teoría del crecimiento. N.A El control óptimo es una herramienta matemática que se usa para resolver problemas de optimización temporal. El autor principal es el ruso Lev Pontryagin N.A 12 Economista británico que murió a los 25 años de edad. Sus aportaciones a la teoría del crecimiento son base de los modelos de generaciones traslapadas en macroeconomía. N.A. 11

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II.

Planteamiento del Problema No cabe duda que hay muchas preguntas de por qué la economía mexicana

no se ha insertado en una senda de crecimiento de largo plazo que le permita dinamizar el ingreso real de los hogares de tal suerte que la pobreza disminuya y la calidad de vida de los mexicanos aumente. La explicaciones pueden variar según el enfoque teórico, sin embargo a continuación se mostraran algunas cifras contundentes que reflejan la dinámica de la economía.

Por ejemplo, de acuerdo a cifras macroeconómicas reportadas en el portal del Banco Mundial para la economía mexicana, en el periodo 2000 al 2012, la tasa de crecimiento del PIB13 per cápita fue de apenas 3.6 %, la formación bruta de capital fijo14 como porcentaje del PIB aumentó apenas en 0.37 %, el ahorro bruto como porcentaje del PIB en 0.56 % , la inversión extranjera directa en 3.92 %.

Por su parte, de acuerdo al INEGI y según estimaciones propias basadas en la metodología del mismo Instituto para el calculo del stock de capital, el consumo real privado y el stock de capital privado en México, experimentaron tasas de crecimiento promedio del 7.17% y de 7.85 %, respectivamente.

En ese mismo aspecto, la tasa del crecimiento de la población experimentó un incremento promedio del 2.0 % y de la población económicamente activa en 8.11%. El consumo del capital fijo 15 , el cual es una medición cercana a la depreciación, representa el 10. 84 % del PIB y su tasa de crecimiento fue del uno porciento.

Según la OCDE, el futuro de México presenta un aspecto obscuro en cuanto a futuras generaciones en el país no experimentarán mejoras en su calidad de vida

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Producto interno bruto es el valor monetario de la producción de bienes y servicios en un año a precios de mercado menos el consumo de capital fijo. N.A. 14 Incremento de los activos fijos o capital fijo registrado durante un periodo determinado en el sector público o privado. Incluye construcción (residencial y no residencial), equipo de transporte, maquinaria y equipo. INEGI (2011) 15 Consumo de capital fijo. Depreciación experimentada durante el periodo contable por el valor corriente del stock de activos fijos que posee y utiliza un productor, como consecuencia del deterioro físico, de la obsolescencia normal o de daños accidentales normales. Este concepto se basa en la vida económica prevista para cada bien y tiene por objeto cubrir la pérdida de su valor por obsolescencia (antigüedad o desuso) debido al uso o desgaste normal. INEGI (2011)

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si no se hacen todos los esfuerzos por insertarse en una trayectoria de crecimiento acelerado.

Esta

Institución

multilateral,

señala

algunas

recomendaciones

fundamentales para que México pueda lograr tasas de crecimiento sostenidas: reforma fiscal, mercado laboral, política fiscal 16 , competencia, atención de la desigualdad, educación, inversión en innovación y salud, etc.

En otras palabras, la economía mexicana necesita una amplia restructuración de su sistema económico en general, es decir el camino es muy largo desde ese punto de vista. Muchas de las reformas ya se han llevado a cabo y la prosperidad del país no ha florecido para toda la sociedad. Según algunos autores, México se ha detenido en la trampa del ingreso medio lo cual lo lleva a un estancamiento singular mediocre.

Por su parte, y de acuerdo a la comisión para el crecimiento y desarrollo en 2008-2007, los países que han crecido tienen en común algunas características como son: apertura económica

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, estabilidad en la conducción de la

macroeconomía, altas de ahorro e inversión, precios accesibles, capacidad de inclusión social, etc. Sin embargo, estas características, sin lugar a dudas no son suficientes.

En ese sentido, se plantea una pregunta a contestar en este trabajo de análisis cuantitativo: a) ¿La senda del crecimiento económico en México a lo largo del periodo 20002010, puede estar marcada por la evolución temporal de las trayectorias del consumo y stock de capital privado; en otras palabras, se podría entender el desempeño de la economía mexicana por el ritmo de la tasa del consumo18 privado o por menor una acumulación19 del stock de capital privado?

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Es el conjunto de acciones por parte del gobierno de un estado con la finalidad de influir en los gastos que realizan los hogares en una economía domestica por medio de impuestos y gasto público.

17 Aumento del comercio internacional y de los flujos de capital del extranjero que experimenta un país a raíz de un proceso legislativo. N.A. 18 Adquisiciones de bienes y servicios de la administración pública y de los hogares destinados a la satisfacción de sus necesidades inmediatas. INEGI (2011) 19 Acumulación de la capital es le proceso que consiste en el incremento de la dotación de bienes de capital en una economía durante el tiempo; de manera genérica el incremento de la dotación del stock de capital total de una economía. INEGI (2011)

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III.

Formulación de Hipótesis El crecimiento económico en México ha fluctuado de manera significativa en

términos estadísticos a lo largo del tiempo, hoy crece cada vez menos. Esto, como se mencionó anteriormente y de acuerdo a reportes internacionales, esta limitado por falta de reformas económicas y políticas importantes que le vengan a dar ánimo al mercado interno.

Por consiguiente, si la productividad de los factores es negativa como lo reporta el INEGI, implica muchas cosas para una economía, por ejemplo: baja aportación porcentual del capital y mano de obra en la generación de riqueza de tal surte que las decisiones de los agentes económicos por mayor consumo sin aumentar la productividad genera que el crecimiento económico se es encuentre sesgada de su trayectoria óptima.

En ese sentido, se observa, las decisiones de mayor consumo presente por parte de los privados, aunado a que se presenta en la economía mexicana una alta tasa de depreciación del capital y crecimiento de la población económicamente activa, aunque se acumule capital en menor ritmo, es una de las principales causas del pobre desempeño de la actividad económica, como se muestra con las cifras en la introducción.

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IV.

Objetivos El presente trabajo tiene como objetivo principal, mostrar de manera

cuantitativa por medio del control óptimo, utilizando datos reales reportados del INEGI como es la depreciación, el crecimiento de la población, la participación de los factores en el incremento del producto, el stock de capital y del consumo privado, y de un modelo econométrico de series de tiempo, las implicaciones que representa para la economía mexicana las decisiones de mayor consumo en el ritmo de crecimiento sostenido20.

En términos concretos, demostrar bajo la perspectiva neoclásica la posible explicación del bajo ritmo de crecimiento experimentado en el periodo 2000-2012.

Por otra parte, describir por medio del modelo de crecimiento de Ramsey, las posibles explicaciones fundamentales de la evolución futura del crecimiento económico de largo plazo en México.

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Un concepto más amplio que capta los aspectos no considerados por el producto bruto es el concepto de desarrollo económico, que incluye además de aspectos como el nivel de producción, aspectos estructurales como la educación de la población, indicadores de mortalidad, esperanza de vida, etc. En el concepto de desarrollo también se incluyen nociones más abstractas como la libertad política, la seguridad social, etc. INEGI (2011)

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V.

Justificación Son dos las principales justificaciones de este trabajo: i) el análisis del

crecimiento económico se analiza con datos reales y con una simulación al caso de la economía mexicana por medio del modelo de Ramsey, el cual su herramienta fundamental es el Control Óptimo. Cabe señalar, en este trabajo no se abunda en la construcción de datos descriptivos y la visión generalizada de la estadística convencional gráfica, sino que en su lugar, tomando datos concretos, se simula la situación actual del bajo ritmo del crecimiento económico21 para México. ii) por otra parte, esta investigación trata de realizar una aportación para las posteriores investigaciones de la construcción de la variable stock de capital de acuerdo a las metodología de la OCDE y del INEGI, ya que en términos concretos esta variable no se encuentra en la base de datos de ambas Instituciones sino que en su lugar debe construirse con la formulación adecuada. Esta investigación en términos generales es importante dado que se tratará de modelar a la economía mexicana con la herramienta del control óptimo para después evaluar sus resultados con el modelo econométrico de series de tiempo.

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Cambio cuantitativo, o incremento de los factores de producción de una economía. Se utiliza para hacer referencia al proceso de expansión de una economía en términos cuantitativos (crecimiento del producto). INEGI (2011)

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VI.

Marco Teórico El modelo neoclásico de crecimiento de Solow Después de las contribuciones seminales de Solow (1956, 1957) y Swan

(1956), el modelo neoclásico se convirtió en el enfoque dominante para el análisis del crecimiento económico, por lo menos en el mundo académico. Sobre la base de un marco neoclásico de función de producción, el modelo de Solow subraya el impacto del ahorro, el crecimiento demográfico y el progreso tecnológico en el crecimiento económico en un entorno de economía cerrada y sin gobierno.

A pesar de los acontecimientos recientes en la teoría del crecimiento endógeno, el modelo de Solow sigue siendo el punto de partida esencial para cualquier discusión sobre el crecimiento económico.

Se asume que la economía se compone de un sector que produce sólo un tipo de producto que se puede utilizar ya sea para fines de inversión o de consumo.

1. La economía se cierra a las transacciones internacionales y el sector gubernamental se ignora; 2. Todo lo que se ahorra se invierte, es decir, en el modelo de Solow la ausencia de una función separada de inversión implica que las dificultades keynesianas son eliminadas con el ahorro y la inversión ex ante; 3. El modelo tiene que ver con el largo plazo y no hay problemas de estabilidad keynesiana, es decir, los supuestos de plena flexibilidad de precios y la neutralidad monetaria se aplican y la economía siempre está produciendo su nivel potencial de la producción total;

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4. Solow abandona los supuestos de Harrod- Domar de una relación producto-capital fijo (K / Y) y la relación capital-trabajo fijo (K / L); 5. La tasa de progreso tecnológico, el crecimiento demográfico y la tasa de depreciación del stock de capital son determinados exógenamente.

Teniendo en cuenta estas premisas, se logra concentrar en el desarrollo de las relaciones entre la función de producción, la función de consumo y el proceso de acumulación de capital.

La función de producción22.

El modelo de crecimiento de Solow se basa en la función de producción (1) y se centra en las causas del crecimiento: Yt = At F(K, L)

(1)

Donde Y es la producción real, K el capital, L es la mano de obra y A es una medida de la tecnología (es decir, la forma en que las entradas en la función de producción pueden ser transformados en la salida) que es exógeno y se toman simplemente a depender a tiempo. A veces, A se llama productividad total de los factores. Es importante ser claro acerca de lo que significa en el modelo de Solow que la tecnología sea exógena. En la Teoría Neoclásica del crecimiento, se supone que la tecnología es un bien público. Aplicado a la economía mundial, esto quiere decir que los países comparten el mismo conjunto de conocimientos que está disponible gratuitamente, es decir, todos los países tienen acceso a la misma función de producción.

En su defensa del supuesto neoclásico de tratar la tecnología como si se tratara de un bien público, Mankiw (1995) menciona: “La función de producción no debe considerarse literalmente como una descripción de un proceso de producción 22

Es toda relación, ecuación, matriz o vinculación entre los insumos aplicados y el producto obtenido. INEGI (2011)

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específico, sino como un proceso de asignación de cantidades. Decir que los diferentes países tienen la misma función de producción no es más que decir que si tenían los mismos insumos, producirían la misma cantidad de productos. Los diferentes países con diferentes niveles de insumos no necesitan basarse exactamente en los mismos procesos de producción de bienes y servicios. Cuando un país duplica su stock de capital, no da a cada trabajador el doble de palas, en cambio, sustituye a las palas con excavadoras. Este cambio debe ser visto como un movimiento a lo largo de la misma función de producción, en lugar de un cambio a una nueva función de producción”.

Para simplificar, se asume una situación en la que no hay el progreso tecnológico, esto permitirá que nos concentrarse en la relación producción por trabajador y capital por trabajador: Yt = F(K, L)

(2)

En primer lugar, para todos los valores de K> 0 y L> 0, F (.) presenta rendimientos marginales positivos pero decrecientes en relación con el capital y el trabajo, es decir, ∂F/ ∂K > 0, ∂2 F / ∂K 2 < 0, ∂F/ ∂L > 0, ∂2 F / ∂L2 < 0. En segundo lugar, la función de producción presenta rendimientos constantes a escala tal que F (λK, λL) = λY, es decir, el aumento de las aportaciones de λ también aumentará la producción total. Dejar que λ = 1 / L rendimientos Y / L = F (K / L), donde y = producción por trabajador (Y / L) y k = capital por trabajador (K / L): y = f (k), f ′(k) > 0, f ′′(k) < 0

(3)

La ecuación (3), afirma que la producción por trabajador es una función positiva de la relación capital-trabajo y exhibe rendimientos decrecientes. El supuesto clave de rendimientos constantes a escala implica que la economía es lo suficientemente grande como para que cualquier ganancia de una mayor división del trabajo y especialización que ya se han agotado, por lo que el tamaño de la economía, en términos de fuerza de trabajo, no tiene ninguna influencia en la producción por trabajador.

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En tercer lugar, cuando la relación capital-trabajo se aproxima a infinito (k → ∞) el producto marginal del capital (MPK) se aproxima a cero y cuando la relación capital-trabajo se aproxima a cero el producto marginal del capital tiende a infinito (MPK → ∞).

Para una determinada tecnología, cualquier país que incrementa su razón capital-trabajo (más equipo por trabajador) tendrá una mayor producción por trabajador. Sin embargo, debido a los rendimientos decrecientes, el impacto en la producción por trabajador como resultado de la acumulación de capital por trabajador (profundización del capital) disminuirá.

Así, para un aumento dado de k, el impacto en la producción va a ser mucho mayor cuando el capital es relativamente escaso que en los países donde el capital es relativamente abundante. Es decir, la acumulación de capital debe tener un efecto mucho más dramático en la productividad del trabajo en los países en desarrollo en comparación con los países desarrollados.

La pendiente de la función de producción mide el producto marginal del capital, donde MPK = f(k + 1) – f(k). En el modelo de Solow el MPK debe ser mucho mayor en las economías en desarrollo en comparación con las economías desarrolladas. En un entorno de economía abierta, sin restricciones sobre la movilidad del capital, se debe esperar que el capital fluya de los países ricos a los países pobres, atraídos por los mayores rendimientos posibles, acelerando así el proceso de acumulación de capital.

La función de consumo Dado que la producción por trabajador depende positivamente del capital por trabajador, de debe entender cómo la relación capital-trabajo se desarrolla con el tiempo. Para examinar el proceso de acumulación de capital en primer lugar hay que especificar la determinación de ahorro. En una economía cerrada, la producción total = ingreso total y comprende dos componentes el consumo (C) y la inversión (l)=Ahorro (S), es decir: Y = C + I en forma equivalente Y = C + S

(4) 15

AquĂ­ S = sY es una simple funciĂłn de ahorro donde s es la fracciĂłn de los ingresos 0<s<1. Podemos reescribir (4) y (5): Y = C + sY

(5)

Dado el supuesto de una economĂ­a cerrada, el ahorro interno privado (s Y) debe ser igual a la inversiĂłn nacional (I).

El proceso de acumulaciĂłn de capital El stock de capital de un paĂ­s (đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2022; ) en un punto en el tiempo consiste en instalaciones, maquinaria e infraestructura. Cada aĂąo una proporciĂłn del stock de capital se desgasta. El parĂĄmetro đ?&#x153;š representa este proceso de depreciaciĂłn.

Contrarrestar esta tendencia del capital a la decadencia es un flujo de gasto de inversiĂłn cada aĂąo (đ?&#x2018;°đ?&#x2019;&#x2022; ), que se suma al stock de capital. Por lo tanto, teniendo en cuenta estas dos fuerzas, podemos escribir una ecuaciĂłn para la evoluciĂłn del capital de la siguiente forma: đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2022;+đ?&#x;? = đ?&#x2018;°đ?&#x2019;&#x2022; + (đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;š)đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2022; = đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x2022; + đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2022; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x153;šđ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2022;

(6)

Reescribiendo (6) en cuanto a los rendimientos de los trabajadores por la ecuaciĂłn siguiente:

K t+1 /L = sYt /L + K t /L â&#x2C6;&#x2019; δK t /L

(7)

Restando en ambos lados por K t /L de (7) :

K t+1 /L â&#x2C6;&#x2019; Kt /L = sYt /L â&#x2C6;&#x2019; δKt /L

(8)

La ecuaciĂłn diferencial fundamental del modelo de Solow es: 16

k̇ = sf (k) – δk

Donde

(9)

k̇ = K t+1 /L – Kt /L

es el cambio del capital por trabajador, y

s f (k) = s y = s Y t /L es el ahorro (inversión) por trabajador. El término δk = δKt /L representa los requisitos de inversión de cada trabajador con el fin de mantener la relación capital-trabajo constante. La condición de estado estacionario en el modelo de Solow está dada en la ecuación siguiente: sf (k ∗ ) − δk ∗ = 0

(10)

En consecuencia, en el estado estacionario sf (k ∗ ) = δk ∗ , es decir, la inversión por trabajador es suficiente para cubrir la depreciación por trabajador, quedando el capital por trabajador constante. En el modelo de Solow se supone que la tasa de participación es constante, de modo que la fuerza de trabajo crece a una tasa proporcional constante igual a la tasa determinada exógena de crecimiento de la población = n. Debido k = K / L, el crecimiento de la población, mediante el aumento de la oferta de trabajo, reducirá k. Por lo tanto el crecimiento de la población tiene el mismo impacto en k como la depreciación.

Tenemos que modificar (10) para reflejar la influencia del crecimiento de la población. La ecuación diferencial fundamental ahora se convierte en: k̇ = sf (k) − (n + δ)k Podemos pensar en la expresión (n + δ)k

(11) como los requerimientos

necesarios de inversión para mantener el stock de capital por unidad de trabajo (k) constante. Con el fin de evitar que k disminuya se requiere algún tipo de inversión para compensar la depreciación. Esta es la (δ)k en términos de (11). También se requiere algunas inversiones debido a que la cantidad de trabajo está creciendo a una tasa = n, éste es el (nK) en términos de (11).

Por lo tanto el stock de capital debe crecer a una tasa (n + δ) sólo para mantener constante k. Cuando la inversión por unidad de trabajo es mayor que la requerida, entonces k aumentará y la economía estará experimentando la 17

profundización del capital. Dada la estructura del modelo de Solow, la economía a través del tiempo, se acercará a un estado de equilibrio donde la inversión real por trabajador, sf(k), es igual a los requerimientos inversión por trabajador (n + δ)k.

Usando * para indicar valores de estado estacionario, se puede definir éste como: sf (k ∗ ) = (n + δ)k ∗

(12)

Por su parte, el nivel de estado estacionario de la producción por trabajador se incrementará si la tasa de crecimiento de la población y / o la tasa de depreciación se reduce y viceversa. Por el contrario, el nivel de estado estacionario de la producción por trabajador también aumentará si la tasa de ahorro aumenta y viceversa.

De particular importancia es la predicción del modelo de Solow, un aumento en la tasa de ahorro no puede aumentar permanentemente la tasa de largo plazo de crecimiento. Una alta

tasa de ahorro aumenta temporalmente la tasa de

crecimiento durante el período de transición al nuevo estado de equilibrio y también aumenta permanentemente el nivel de producto por trabajador.

Una conclusión significativa del modelo de crecimiento neoclásico es que sin el progreso tecnológico la capacidad de una economía para aumentar la producción por trabajador a través de la acumulación de capital está limitada por la interacción de los rendimientos decrecientes, la voluntad de la gente para ahorrar, la tasa de crecimiento de la población y el tasa de depreciación del stock de capital. Para explicar el crecimiento continuo de la producción por trabajador en el largo plazo el modelo de Solow debe incorporar la influencia del progreso tecnológico sostenido.

Sea la función de producción tipo Cobb-Douglas: Y = AtK α L1−α

(13)

Donde α y 1 − α son las participación del capital y del trabajo en el ingreso nacional. Suponiendo rendimientos constantes a escala, la producción por trabajador (Y /L) no se ve afectada por la escala de la producción, y, por una determinada tecnología At0 . La producción por trabajador se relaciona positivamente con la relación capital-trabajo (K / L).

18

Y/L = A(t 0 )(K/L) = A(t 0 )K α L1−α /L = A(t 0 )(K/L)α

(14)

Se tiene la forma intensiva de la función de producción agregada se muestra en la ecuación:

y = A(t 0 )k α

(15)

Para una determinada tecnología, la ecuación (15) nos dice que el aumento de la cantidad de capital por trabajador (profundización del capital) dará lugar a un aumento de la producción por trabajador. Cambios al alza continua de la función de producción, provocados por un crecimiento determinado exógenamente del conocimiento, constituyen el único mecanismo para explicar el crecimiento de estado estacionario de la producción por trabajador en el modelo neoclásico.

Aunque no era la intención original de Solow, la teoría del crecimiento trajo al progreso tecnológico como un factor explicativo importante en el análisis del crecimiento económico. Sin embargo, el progreso tecnológico de Solow es exógeno, es decir, no explicada por el modelo. El autor admite que el progreso tecnológico es exógeno en su modelo con el fin de simplificar y también porque no quería pretendía comprenderlo.

Por otra parte, aunque el modelo de Solow no atribuye ningún rol a la acumulación de capital en la consecución de un crecimiento sostenible a largo plazo, se debería señalar que el crecimiento de la productividad no puede ser independiente de la acumulación de capital si se incorpora el progreso técnico en nuevos bienes de capital. De Long y Summers (1991, 1992) encontraron una fuerte asociación entre la inversión en equipo y el crecimiento económico en el período 1960-1985 en una muestra de más de 60 países.

Cabe destacar que, mientras los economistas han reconocido desde hace tiempo la importancia crucial del cambio tecnológico como una de las principales fuentes de dinamismo en economías capitalistas (especialmente Karl Marx y Joseph 19

Schumpeter), el análisis del cambio tecnológico y la innovación ha sido, hasta hace poco, un área de relativo abandono (véase Freeman, 1994; Baumol, 2002).

Dejando a un lado estas controversias, por el momento, es importante tener en cuenta que el modelo de Solow nos permite hacer varias predicciones importantes sobre el proceso de crecimiento (ver Mankiw, 1995, 2003; Solow, 2002): 1. En el largo plazo una economía se aproximará gradualmente un equilibrio de estado estacionario con Y* y K* independiente de las condiciones iniciales; 2. La tasa de equilibrio de estado estacionario de crecimiento de la producción agregada depende la tasa de crecimiento de la población (n) y la tasa de progreso tecnológico (A); 3. La tasa de crecimiento del producto por trabajador depende únicamente de la tasa de progreso tecnológico; 4. La tasa de estado estacionario de crecimiento del stock de capital es igual a la tasa de crecimiento del ingreso, por lo que la relación K/Y es constante; 5. A mayor tasa de ahorro aumentará y*, un mayor crecimiento de la población reducirá y* ; 6. El impacto de un aumento de la tasa de ahorro en el crecimiento de la producción por trabajador es temporal. Una tasa más alta de ahorro no tiene ningún efecto sobre la tasa crecimiento de largo aunque aumente el nivel de la producción por trabajador; 7. En particular, si los países son similares con respecto a los parámetros estructurales de las preferencias y la tecnología, entonces los países pobres tienden a crecer más rápido que los países ricos (Barro, 1991).

El resultado en el modelo de Solow de que un aumento en la tasa de ahorro no tiene impacto en la tasa de largo plazo del crecimiento económico contiene más que un toque de ironía (Cesaratto, 1999). Como Hamberg (1971) señaló, el modelo de Harrod-Domar neo-keynesiano pone de relieve la importancia de aumentar la tasa de ahorro para aumentar el crecimiento a largo plazo, mientras que en La Teoría General de Keynes un aumento en la tasa de ahorro conduce a una caída 20

en la producciĂłn en el corto plazo a travĂŠs de su impacto negativo sobre la demanda agregada (la llamada paradoja del ahorro efecto).

Por el contrario, la larga tradiciĂłn de la economĂ­a neoclĂĄsica de resaltar las virtudes del ahorro viene un poco a despegarse con el modelo de Solow, ya que es el progreso tecnolĂłgico el que impulsa el crecimiento a largo plazo de la producciĂłn por trabajador (ver Cesaratto, 1999).

Modelo de crecimiento de Ramsey23 (tiempo continuo) El modelo de Solow, entre otras muchas ventajas, permite observar que el comportamiento de las variables agregadas estĂĄn determinadas por las decisiones microeconĂłmicas; el caso especial es el modelo de Ramsey (1928) y Koopmans (1965). En el modelo de Ramsey los habitantes de una economĂ­a maximizan una funciĂłn de utilidad de la forma : â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;&#x153;) = â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;˝đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ą)1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x192; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x192;

đ??ż(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

(1)

Donde beta es una constante que representa la tasa de descuento, c es el consumo per cĂĄpita en el momento t, L es el tamaĂąo de la poblaciĂłn y theta es una constante. La tasa de descuento representa el hecho de que los individuos, prefieren el consumo propio mĂĄs que el de sus hijos, es decir, representa el egoĂ­smo en un mundo intergeneracional (entre mĂĄs alto el valor de esta variable mayor su egoĂ­smo y por parto mayor consumo en el presente).

Otro de los supuestos del modelo es que la funciĂłn de utilidad tambiĂŠn debe entenderse como una funciĂłn de felicidad cĂłncava, lo que refleja el hecho de que los agentes econĂłmicos obtengan trayectorias de consumo mĂĄs o menos suaves, es decir continuas. Es decir, por ejemplo, las personas prefieren consumir un poco cada dĂ­a en lugar de morirse de hambre durante todo el mes y organizar una fiesta el Ăşltimo del mes.

23

Para echar un vistazo mĂĄs amplio del modelo de Ramsey y sus principales conclusiones, consultar los libros de Javier Sala-i-Martin (capitulo tres) y David Romer (capitulo dos) y Dynamic Economic de Ronald Shone (2005)

21

Si la preferencias son cĂłncavas24 entonces el parĂĄmetro theta mide el grado de concavidad. Cuanto mayor sea este valor mayor deseo de alisar el consumo (consumir mĂĄs o menos la misma cantidad diariamente) a travĂŠs del tiempo, si el valor es de cero entonces la funciĂłn de utilidad es lineal, es decir no desean alisar el consumo y a medida que theta se aproxime a uno, la funciĂłn de utilidad serĂĄ logarĂ­tmica.

La dinĂĄmica de la transiciĂłn, partamos del Modelo de Ramsey con las siguientes ecuaciones: đ?&#x2018;&#x152;(đ?&#x2018;Ą) = đ??ś(đ?&#x2018;Ą) + đ??ź(đ?&#x2018;Ą)

(2)

đ??ź(đ?&#x2018;Ą) = đ??žĚ&#x2021; (đ?&#x2018;Ą) + đ?&#x203A;żđ??ž(đ?&#x2018;Ą)

(3)

đ?&#x2018;&#x152;(đ?&#x2018;Ą) đ??ś(đ?&#x2018;Ą) đ??žĚ&#x2021; (đ?&#x2018;Ą) đ?&#x203A;żđ??ž(đ?&#x2018;Ą) = + + đ??ż(đ?&#x2018;Ą) đ??ż(đ?&#x2018;Ą) đ??ż(đ?&#x2018;Ą) đ??ż(đ?&#x2018;Ą) đ??žĚ&#x2021;(đ?&#x2018;Ą)

(4)

đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x2021;) + đ??ż(đ?&#x2018;Ą) + đ?&#x203A;żđ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;Ą)

kĚ&#x2021; =

KĚ&#x2021;(t) đ??żĚ&#x2021; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; L(t) đ??ż

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;

đ??żĚ&#x2021; =đ?&#x2018;&#x203A; đ??ż

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;

đ??žĚ&#x2021; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x2DC;Ě&#x2021; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x203A; đ??ż(đ?&#x2018;Ą)

đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ą) + đ?&#x2018;&#x2DC;Ě&#x2021;(đ?&#x2018;Ą) + (đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x203A;ż)đ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;ĂĄđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x2DC;) đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2DC;Ě&#x2021; = đ?&#x2018;&#x201C;(đ??ž) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x203A;ż)đ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ą)

(5)

Problema de maximizaciĂłn (El control Ă&#x201C;ptimo) â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ đ??˝ = â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;˝đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;?)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;?) =

đ?&#x2018;? 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x192; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x192;

(6)

s.a. đ?&#x2018;&#x2DC;Ě&#x2021; = đ?&#x2018;&#x201C;(đ??ž) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x203A;ż)đ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ??ž(0) = đ?&#x2018;&#x2DC;0 đ?&#x2018;Ś 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x2DC;)

24

Una funciĂłn es cĂłncava si en un intervalo abierto la primera deriva es positiva y negativa la segunda derivada.

N.A

22

El Hamiltoneano de valor corriente muestra que 𝐻𝑐 = 𝑈(𝑐) + 𝜇[(𝐾) − (𝑛 + 𝛿)𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡)]

(7)

Las condiciones de primer orden muestran que 𝜕𝐻𝑐

𝑑𝑈(𝑐)

−𝜇 =0

(8)

𝜇̇ = −𝜇𝑓´(𝑘) + 𝜇(𝑛 + 𝛿) + 𝛽𝜇

(9)

𝑘̇ = 𝑓(𝐾) − (𝑛 + 𝛿)𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡)

(10)

𝜕𝑐

=

𝑑𝑈(𝑐) 𝑑𝑐

[

𝑑𝑈(𝑐) ] 𝑑𝑐

𝑑𝑡

[

𝑑𝑐

=𝜇

𝑑𝑈(𝑐) ] 𝑑𝑐 𝑑𝑐

𝑑𝑡

(11)

= 𝜇̇

𝑑𝑡

= 𝜇̇ = −𝜇[𝑓´(𝑘) + (𝑛 + 𝛿 + 𝛽)

𝑈´´(𝑐)

− 𝑈´(𝑐) 𝑐̇ = [𝑓´(𝑘) + (𝑛 + 𝛿 + 𝛽) 𝑈´´(𝑐)

(12)

(13)

𝜎(𝑐) = − 𝑈´(𝑐) 𝑐̇

(14)

𝜎(𝑐)

(15)

𝑐

𝑐̇ = 𝑓´(𝑘) − (𝑛 + 𝛿 + 𝛽) 1

𝑐̇ = 𝜎(𝑐) 𝑐[𝑓´(𝑘) − (𝑛 + 𝛿 + 𝛽)]

(16)

𝑘̇ = 𝑓(𝐾) − (𝑛 + 𝛿)𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡)

(17)

El valor de equilibrio de acuerdo a la función tipo Cobb-Douglas vendrá dada por la ecuación: ∗

𝛼𝐴

𝑘 = (𝛿+𝛽)

1 1−𝛼

(18) 23

Diagrama de fase: análisis cualitativo.

1. Si ċ > 0 entonces f ´(k) > (n + δ + β) , significa que a la izquierda de ċ = 0 k > k ∗ , el consumo aumenta; por su parte, (n + δ + β) , significa que a la derecha

ċ < 0 entonces f ´(k) <

de ċ = 0 k < k ∗ , el consumo

disminuye.

2. Si k̇ > 0 entonces f ´(k ∗ ) − (n + δ)k ∗ > c , significa que por arriba de la curva de k̇ = 0 k disminuye. Por su parte, Si k̇ < 0 entonces f ´(k ∗ ) − (n + δ)k ∗ < c , significa que por debajo de la curva de k̇ = 0 k aumenta.

Gráfico 1. Diagrama de fase del punto silla25

25

El diagrama de fase sirve para obtener conclusiones cualitativas de un sistema discreto y continuo en relación a las trayectorias temporales de las variables, así como verificar el tipo de equilibrio. N.A

24

Cuando el crecimiento viene por debajo del Stock de estado estacionario, ecuación (18), el stock per cápita crece aunque lo haga cada vez menor, debido a los rendimientos decrecientes, y por consecuencia el tipo de interés y el crecimiento en sí mismo. Por otra parte, los agentes económicos escogerán la trayectoria estable dado que es la única que satisface todas las condiciones de primer orden, incluyendo las condiciones de transversalidad de control óptimo.

Considérese una economía con capital inicial por debajo del de equilibrio, supongamos que el consumo inicial a este capital es Co, también considérese una consumo inicial Co´ por encima del nivel Co; al principio, tanto el consumo como el capital aumentarían, sin embargo, en un momento del tiempo, la economía se encontraría en un punto en el que k´=0, el consumo aumentaría más a la par que el capital disminuiría. En consecuencia la economía doméstica se descapitalizaría en el periodo cercano.

Por su parte, si el consumo inicial Co´´ estuviera por debajo de Co, el consumo inicial de la trayectoria estable, el consumo y el capital crecerían durante un periodo de tiempo, sin embargo, al cruzar la línea c´=0 la economía se desviaría a otro estado estacionario sin equilibrio y el tipo de interés será menor que la tasa 25

de crecimiento de la población, lo cual violaría el supuesto de transversalidad. En otras palabras, los consumidores consumen demasiado poco e invierten demasiado y se llega a un estado estacionario con demasiado capital.

El diagrama de fase muestra la trayectoria temporal de las variables consumo y capital dependiendo en cuál región se encuentren. Sin embargo, la única trayectoria capaz de colocarlas en la ruta optima hacia los puntos de equilibrio sería la que marca el brazo estable. El diagrama muestra que hay un punto de equilibrio (c ∗ , k ∗ ) . Además, se debe observar, en el equilibrio de estado estacionario k es constante, de suerte tal que el capital crece a la misma tasa que la fuerza de trabajo; si k es constante en el equilibrio entonces también y(t), la cual crece a la misma tasa de la fuerza de trabajo.

La forma funcional de las trayectorias estables no pueden estar determinadas en forma exacta. Su forma depende, de diferentes parámetros, cuya influencia se puede calcular. Por ejemplo, para valores elevados del parámetro theta, significa que los agentes económicos tratan de consumir tanto como sea posible para así tener una trayectoria de consumo relativamente lisa (consumir tanto como sea posible implica invertir tan poco como sea posible, por este motivo, la trayectoria estable se sitúa en las proximidades de k´=0.

Así mismo, en el caso de que theta sea muy bajo, a los agentes económicos no les importa tener trayectorias de consumo lisas. La trayectoria estable óptima estaría próxima al eje de las abscisas para stock de capitales bajos. Cerca del estado estacionario.

26

VII.

Pruebas empĂ­ricas de la investigaciĂłn

MetodologĂ­a de la investigaciĂłn En esta parte y de acuerdo a la concepciĂłn matemĂĄtica del modelo de Ramsey se procederĂĄ a la realizaciĂłn de la simulaciĂłn con datos reales segĂşn los reporte del INEGI en 2000-2012. Se procede a utilizar las ecuaciones (16) y (17) para encontrar los valores de equilibrio del modelo: 1

đ?&#x2018;?Ě&#x2021; = đ?&#x153;&#x17D;(đ?&#x2018;?) đ?&#x2018;?[đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;&#x2DC;) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x203A;ż + đ?&#x203A;˝)]

(16)

đ?&#x2018;&#x2DC;Ě&#x2021; = đ?&#x2018;&#x201C;(đ??ž) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x203A;ż)đ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ą)

(17)

Se observa que el sistema dinĂĄmico formado por las ecuaciones de arriba es no lineal, para lo cual se utilizarĂĄ el mĂŠtodo de Taylor con la finalidad de hacerlo lineal. El sistema puede escribirse de la siguiente forma (debe recordarse que este paso es importante por dos cosas: permite encontrar los valores de equilibrio y los brazos estables cuando el modelo experimenta puntos silla): đ?&#x2018;?Ě&#x2021; = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; , đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; )(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; ) + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; , đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; )(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; )

(1)

đ?&#x2018;&#x2DC;Ě&#x2021; = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; , đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; )(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; ) + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; , đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; )(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; )

(2)

Con derivaciones del modelo matemĂĄtico se debe ser capaz de encontrar la trayectoria estable por medio de los valores de equilibrio del sistema linelizado y de los vectores caracterĂ­sticos para llegar a la siguiente relaciĂłn lineal: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą = đ?&#x203A;˝đ?&#x2018;&#x153; + đ?&#x203A;˝1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą

(3)

Este sistema linelizado, permite encontrar las rutas optimas cuando el modelo presenta equilibrio de punto silla. Nos dice que de (16) y (17) se debe derivar respecto a cada variable y evaluar el sistema con los valores de equilibrio. En ese sentido, como se muestra en el diagrama de fase del apartado anterior, el propĂłsito es tratar de modelar la trayectoria optima del consumo a la largo del tiempo con datos reales.

27

Por otra parte, con el sistema lineal por medio de Taylor, se construye la matriz que nos ayudara a encontrar los valores caracterĂ­sticos de la misma y sus vectores caracterĂ­sticos correspondientes. Debe tomarse en cuenta que para encontrar los valores de equilibrio se recurre al programa matemĂĄtico mathematica ya que habrĂĄ mĂĄs precisiĂłn debido a que el sistema es no lineal.

En lo siguiente, se obtienen datos importantes para la simulaciĂłn de la trayectoria Ăłptima del consumo en MĂŠxico, con la informaciĂłn del INEGI: En el primer escenario se exponen los siguientes datos y supuestos: A)

Se realizaran tres simulaciones con el modelo de Ramsey utilizando el control Ăłptimo y la informaciĂłn siguiente:

1 1 3 đ?&#x153;&#x192; = ,đ?&#x153;&#x192; = ,đ?&#x153;&#x192; = ; 4 2 4 B)

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; = 0 , đ?&#x203A;˝ = 0.02 đ?&#x2018;Ś đ?&#x203A;ż = .1084

Se realizan dos simulaciones con datos mĂĄs reales de acuerdo al INEGI:

1 3 đ?&#x153;&#x192; = ,đ?&#x153;&#x192; = ; 4 4

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; = 0.0811 , đ?&#x203A;˝ = 0.12 đ?&#x2018;Ś đ?&#x203A;ż = .1084

De igual manera, debe recordarse que theta representa el tipo de alisamiento de los consumidores en el tiempo. El INEGI reporta, por otra parte, que la participaciĂłn promedio del stock de capital en el crecimiento del producto es del 40.0 % , mientras que la mano de obra apenas del 24.0 %, durante todo el periodo de anĂĄlisis. La ParticipaciĂłn del stock de capital servirĂĄ para sustituirla en la ecuaciĂłn (17).

En otro sentido, la tasa de crecimiento de la PEA en MĂŠxico fue del 8.11% ; asĂ­ tambiĂŠn se tomarĂĄ en cuenta que la tasa de retorno es del 12.0% en MĂŠxico y que, de acuerdo al consumo de capital fijo como porcentaje del PIB en el paĂ­s, la depreciaciĂłn fue del 10.84 % en promedio. DespuĂŠs se procederĂĄ a la construcciĂłn del modelo economĂŠtrico de series de tiempo de acuerdo a la (3) con la finalidad de comparar los resultados de la simulaciĂłn y asĂ­ comparar.

28

Por tanto, n serĂĄ la tasa de crecimiento de la PEA, đ?&#x203A;˝ serĂĄ la tasa de descuento en MĂŠxico y đ?&#x203A;ż representarĂĄ la tasa de depreciaciĂłn26, la cual se toma de la participaciĂłn del consumo de capital a precios de 2008. De acuerdo al primer escenario A) se obtuvieron los siguientes resultados; se subraya que los valores de equilibrio del consumo y del stock de capital son los mismos, independientemente de las decisiones de consumo, es decir: đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; = 1.41, đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; = 6.63 Cuando theta vale un cuarto y se tiene que đ?&#x2018;&#x203A; = 0 , đ?&#x203A;˝ = 0.02 đ?&#x2018;Ś đ?&#x203A;ż = .1084 1)

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;0.3560 + 0.2664 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą Cuando theta vale un medio y se tiene que đ?&#x2018;&#x203A; = 0 , đ?&#x203A;˝ = 0.02 đ?&#x2018;Ś đ?&#x203A;ż = .1084

2)

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą = 0.1405 + 0.1915 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą Cuando theta vale tres cuartos y se tiene que đ?&#x2018;&#x203A; = 0 , đ?&#x203A;˝ = 0.02 đ?&#x2018;Ś đ?&#x203A;ż = .1084

3)

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą = 0.1590 + 0.3640 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą De acuerdo al segundo escenario B) se obtuvieron los siguientes

resultados; se subraya que los valores de equilibrio del consumo y del stock de capital son los mismos, independientemente de las decisiones de consumo, es decir (debe recordarse que estos valores cambia con la depreciaciĂłn, la poblaciĂłn y la tasa de descuento) đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;: đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; = 0.90, đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; = 1.53 Cuando theta vale un cuarto y se tiene que đ?&#x2018;&#x203A; = 0.08 , đ?&#x203A;˝ = 0.12 đ?&#x2018;Ś đ?&#x203A;ż = .1084 4)

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;0.2192 + 0.7203 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą

Cuando theta vale tres cuartos y se tiene que đ?&#x2018;&#x203A; = 0.08 , đ?&#x203A;˝ = 0.12 đ?&#x2018;Ś đ?&#x203A;ż = .1084

26

ReducciĂłn del valor de los bienes y equipos de capital a consecuencia del uso o del paso del tiempo. INEGI (2011)

29

5)

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą = 0.2120 + 0.4403 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą Por su parte, se realiza una regresiĂłn economĂŠtrica de series de tiempo

utilizando la estructura de la ecuaciĂłn (3) y con datos del stock de capital privado y consumo privado a precios del aĂąo 2008 (se debe seĂąalar, que los datos estĂĄn en tĂŠrminos per cĂĄpita utilizando solamente los datos de la PoblaciĂłn EconĂłmicamente Activa en MĂŠxico) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;12,601 + 1.168 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą + 0.697đ??´đ?&#x2018;&#x2026;(1) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2026; 2 = 0.937 EvaluaciĂłn de resultados Se muestra que la ecuaciĂłn cuatro y uno presentan los mismos signos a aquellos obtenidos en la regresiĂłn economĂŠtrica. La constante es negativa y la pendiente de la ecuaciĂłn (4) es la de mayor valor de entre todos los demĂĄs escenarios, incluyendo la comparaciĂłn de la ecuaciĂłn (3) y (5).

Por otra parte, se muestra que cuando la poblaciĂłn presenta tasas de crecimiento positivas, niveles altos de tasas de descuentos y altos niveles de depreciaciĂłn del capital, los valores de equilibrio estable son menores, comparativamente.

En otro aspecto, el tipo de alisamiento que deciden los consumidores de la trayectoria del consumo en el tiempo muestra que los valores de la ecuaciĂłn del brazo estable que nos lleva al equilibrio intertemporal son diferentes y se refuerza el aspecto del alisamiento cuando theta es cada vez mayor; por ejemplo, en el primer escenario la ecuaciĂłn tres presenta la mayor pendiente de entre las tres ecuaciones del primer escenario.

Cuando theta es igual a tres cuartos en el primer escenario, no hay crecimiento poblacional, la tasa de descuento es menor (hay menos egoĂ­smo por el consumo presente) y una depreciaciĂłn constante igual a 10.84 %, la pendiente y la constante son mayores al resto de las ecuaciones; por lo cual, se deduce por medio de la simulaciĂłn del control Ăłptimo, la sociedad mexicana trata de consumir tanto

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como les sea posible lo cual conlleva a que se encuentre cerca de la trayectoria k´=0, donde la acumulación del capital es igual a cero a través del tiempo.

De acuerdo al modelo de crecimiento de Ramsey lo anterior implicaría que el capital dejaría de acumularse y no se alcanzaría un equilibrio estable y mucho menos la acumulación de capital de la regla de oro además, por consecuencia, la tasa de consumo decrecería en una forma negativa en el largo plazo.

Comparando la regresión econométrica y la ecuación cuatro de la simulación del control óptimo del escenarios dos, se observa que los signos son los mismos, negativa para la constante y positiva para la pendiente. Además, la ecuación cuatro registra la mayor pendiente de entre las cinco simulaciones restantes si se considera un theta igual a tres cuatro con valores de las constantes mayores en comparación al primer escenario.

También se observa, al pasar de un incremento poblacional de cero a positivo y de una tasa de descuento baja a una de mayo valor y manteniendo la depreciación constante, además que los valores de equilibrio disminuyen en comparación al primer escenario de la ecuación dos, la pendiente de la ecuación cuatro aumenta casi tres veces la pendiente de la ecuación uno.

Para efectos teóricos del modelo de Ramsey y comparando con la pendiente de la regresión, se deduce, un ritmo de acumulación de capital lento debido a un nivel alto de reposición de capital, la acumulación de éste estaría cercana a la curva k´= 0, se puede decir que se alisó la trayectoria del brazo estable y aumento la pendiente de la ecuación cuatro al aumentar las necesidades de reposición del capital, al darse una situación como la descrita los individuos empezaran a consumir tanto como les sea posible e invertir poco.

Esta deducción teórica se aplica de igual manera para la pendiente de la regresión econométrica cuyo valor es mayor a uno, es decir, a lo largo del tiempo las necesidades de reposición han afectado la trayectoria de consumo optimo de los privados en México de tal suerte que los privados han desplazado el consumo por la inversión.

31

Si en futuro no muy lejano, la economía mexicana experimentara un mayor aumento en las necesidades de reposición de capital como consecuencia del aumento de la población, mayor tasa descuento o mayor consumo de capital, las preferencias por la inversión se verían afectadas por las decisiones del consumo, generando menores tasas productividad del capital y del producto.

32

VIII. i.

Conclusiones

La economía mexicana ha experimentado desde el año 2000 dos ciclos económicos, el primero fue en el periodo 2001-2008 y el segundo desde 2009 hasta 2013; una tasa de crecimiento económico del dos por ciento, un nivel de desempleo relativamente menor al de las economías desarrolladas de la OCDE, el crecimiento de la productividad media de los factores totales ha sido negativa en el periodo de 1991-2011, según el Sistema Nacional de Cuentas Nacionales que pública el INEGI;

ii.

De acuerdo cifras INEGI y según estimaciones propias basadas en la metodología del mismo Instituto para el calculo del stock de capital, el consumo real privado y el stock de capital privado en México, experimentaron tasas de crecimiento promedio del 7.17% y de 7.85 %, respectivamente;

iii.

En ese mismo aspecto, la tasa del crecimiento de la población experimentó un incremento promedio del 2.0 % y de la población económicamente activa en 8.11%. El consumo del capital fijo, el cual es una medición cercana a la depreciación, representa el 10. 84 % del PIB y su tasa de crecimiento fue del uno porciento;

iv.

De acuerdo a cifras macroeconómicas del Banco Mundial, en el periodo 2000 al 2012, la tasa de crecimiento del PIB per cápita fue de apenas 3.6 %, la formación bruta de capital fijo como porcentaje del PIB aumentó apenas en 0.37 %, el ahorro bruto como porcentaje del PIB en 0.56 % , la inversión extranjera directa en 3.92 %;

v.

Cuando la población presenta tasas de crecimiento positivas, niveles altos de tasas de descuentos y altos niveles de depreciación del capital, los valores de equilibrio estable son menores;

vi.

Para efectos teóricos del modelo de Ramsey y comparando la ecuación cuatro con la pendiente de la regresión, un ritmo de acumulación de capital lento debido a un nivel alto de reposición de capital, la acumulación de éste estaría cercana a la curva k´= 0, se puede decir que se alisó la trayectoria del brazo estable y aumento la pendiente de la ecuación cuatro al aumentar las necesidades de reposición del capital, al darse una situación como la descrita 33

los individuos empezaran a consumir tanto como les sea posible e invertir poco; vii.

Si en futuro no muy lejano, la economía mexicana experimentara un mayor aumento en las necesidades de reposición de capital como consecuencia del aumento de la población, mayor tasa descuento o mayor consumo de capital, las preferencias por la inversión se verían afectadas por las decisiones del consumo, generando menores tasas productividad del capital y del producto.

34

IX. Referencias bibliográficas Barro, R.J. (1991), ‘Economic Growth in a Cross Section of Countries’, Quarterly Journal of Economics, May. Baumol, W.J. (2002), The Free-market Innovation Machine: Analysing the Growth Miracle of Capitalism, Princeton: Princeton University Press.

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www.inegi.org.mx www.banxico.org.mx www.worldbank.org

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X. ANEXO Y TABLAS ESTADISTICAS Participaci贸n del consumo de A帽os capital Fijo en el PIB a precios de 2008 2003 10.738% 2004 10.526% 2005 10.285% 2006 10.067% 2007 10.119% 2008 10.544% 2009 12.103% 2010 11.310% 2011 11.158% 2012 11.546% Promedio 10.84%

37

Periodo

2000/01 2000/02 2000/03 2000/04 2001/01 2001/02 2001/03 2001/04 2002/01 2002/02 2002/03 2002/04 2003/01 2003/02 2003/03 2003/04 2004/01 2004/02 2004/03 2004/04 2005/01 2005/02 2005/03 2005/04 2006/01 2006/02 2006/03 2006/04 2007/01 2007/02 2007/03 2007/04 2008/01 2008/02 2008/03 2008/04 2009/01 2009/02 2009/03 2009/04 2010/01 2010/02 2010/03 2010/04 2011/01 2011/02 2011/03 2011/04 2012/01 2012/02 2012/03 2012/04

Fbkf privado Consumo privado mdp mdp 1,431,065 1,396,184 1,577,963 1,568,249 1,464,396 1,390,857 1,675,189 1,547,774 1,482,453 1,530,488 1,682,391 1,601,875 1,578,026 1,578,349 1,669,448 1,602,399 1,710,884 1,718,887 1,732,840 1,780,116 1,736,613 1,777,220 1,850,295 1,921,669 1,893,886 1,945,374 2,037,871 2,112,507 2,000,120 2,056,039 2,174,486 2,297,880 2,070,714 2,189,041 2,199,505 2,114,564 1,757,113 1,776,627 1,917,731 2,050,088 1,790,012 1,858,850 1,936,644 2,059,599 1,969,334 2,083,272 2,194,152 2,333,057 2,175,687 2,258,833 2,381,841 2,519,770

6,167,592 6,323,421 6,447,181 6,745,388 6,328,826 6,473,671 6,540,893 6,857,460 6,346,593 6,671,343 6,651,734 6,896,498 6,467,848 6,610,150 6,702,423 7,080,045 6,796,780 6,913,718 7,112,722 7,532,322 7,058,518 7,302,947 7,409,932 7,831,626 7,466,579 7,696,656 7,822,633 8,249,991 7,743,984 7,929,544 8,042,406 8,468,868 7,998,990 8,220,952 8,254,126 8,321,272 7,370,326 7,386,447 7,717,318 8,203,210 7,696,710 7,906,320 8,098,568 8,594,962 8,059,956 8,240,248 8,610,531 8,968,488 8,650,290 8,610,721 8,877,349 9,325,861

Stok de capital Inicial mdp 7,972,507

Stock de capital a precios de 2008 mdp 8,384,225 8,353,125 8,515,199 8,506,538 8,413,943 8,348,375 8,601,886 8,488,283 8,430,043 8,472,870 8,608,307 8,536,519 8,515,255 8,515,544 8,596,767 8,536,987 8,633,712 8,640,847 8,653,287 8,695,438 8,656,652 8,692,857 8,758,011 8,821,648 8,796,876 8,842,783 8,925,253 8,991,799 8,891,594 8,941,452 9,047,059 9,157,077 8,954,536 9,060,036 9,069,366 8,993,632 8,674,929 8,692,328 8,818,137 8,936,146 8,704,262 8,765,638 8,835,000 8,944,625 8,864,145 8,965,732 9,064,593 9,188,441 9,048,130 9,122,263 9,231,937 9,354,914

Stock de capital productivo a precios de 2008mdp 9,815,290 9,749,309 10,093,162 10,074,786 9,878,339 9,739,232 10,277,075 10,036,057 9,912,496 10,003,358 10,290,698 10,138,395 10,093,281 10,093,893 10,266,215 10,139,386 10,344,596 10,359,734 10,386,127 10,475,554 10,393,265 10,470,077 10,608,306 10,743,317 10,690,763 10,788,156 10,963,125 11,104,306 10,891,714 10,997,491 11,221,545 11,454,957 11,025,249 11,249,077 11,268,872 11,108,196 10,432,042 10,468,955 10,735,868 10,986,234 10,494,273 10,624,489 10,771,644 11,004,224 10,833,479 11,049,004 11,258,745 11,521,499 11,223,816 11,381,096 11,613,778 11,874,683

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Stock de capital per cápita a Año/trimestre precios de 2008/ PEA 50,513471 2000/01 19,431 2000/02 19,300 2000/03 19,981 2000/04 19,945 2001/01 19,556 2001/02 19,280 2001/03 20,345 2001/04 19,868 2002/01 19,623 2002/02 19,803 2002/03 20,372 2002/04 20,071 2003/01 19,981 2003/02 19,983 2003/03 20,324 2003/04 20,073 2004/01 20,479 2004/02 20,509 2004/03 20,561 2004/04 20,738 2005/01 20,575 2005/02 20,727 2005/03 21,001 2005/04 21,268 2006/01 21,164 2006/02 21,357 2006/03 21,703 2006/04 21,983 2007/01 21,562 2007/02 21,771 2007/03 22,215 2007/04 22,677 2008/01 21,826 2008/02 22,269 2008/03 22,309 2008/04 21,991 2009/01 20,652 2009/02 20,725 2009/03 21,253 2009/04 21,749 2010/01 20,775 2010/02 21,033 2010/03 21,324 2010/04 21,785 2011/01 21,447 2011/02 21,873 2011/03 22,289 2011/04 22,809 2012/01 22,219 2012/02 22,531 2012/03 22,991 2012/04 23,508

Consumo per cápita a precios de 2008/ PEA 50,513472 12,210 12,518 12,763 13,354 12,529 12,816 12,949 13,576 12,564 13,207 13,168 13,653 12,804 13,086 13,269 14,016 13,455 13,687 14,081 14,912 13,974 14,457 14,669 15,504 14,781 15,237 15,486 16,332 15,331 15,698 15,921 16,766 15,835 16,275 16,340 16,473 14,591 14,623 15,278 16,240 15,237 15,652 16,032 17,015 15,956 16,313 17,046 17,755 17,125 17,046 17,574 18,462

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Documentos de Trabajo es una investigación de análisis de la Fundación Rafael Preciado Hernández, A. C. a petición del Partido Acción Nacional.

Registro ante el Instituto Nacional de Derechos de Autor en trámite.

Fundación Rafael Preciado Hernández, A.C. Ángel Urraza No. 812, Col. Del Valle, C.P. 03100, México, D. F.

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