DOCUMENTOS DE TRABAJO Distribuci贸n de los rendimientos de las Afore y 541
su efecto en la administraci贸n del riesgo Marco Antonio Austria Mayo de 2014
Distribución de los rendimientos de las Afore y su efecto en la administración del riesgo Marco Antonio Austria* Abril de 2014 Fundación Rafael Preciado Hernández A.C. Documento de Trabajo No. 541 Clasificación temática: Federalismo fiscal
RESUMEN
En este documento se estudia la distribución de probabilidad de los rendimientos diarios de las diferentes SIEFORES para el periodo 20102013. Los resultados arrojan evidencia sobre la existencia de sesgo, alta curtosis y por tanto colas pesadas. Estas características permiten señalar una subestimación del riesgo en la cartera de las SIEFORES y abren la puerta a diferentes sugerencias de política sobre la administración del riesgo en la cartera actual.
Correo electrónico: autriche333@hotmail.com. Las opiniones contenidas en este documento corresponden exclusivamente al autor y no representan necesariamente el punto de vista de la Fundación Rafael Preciado Hernández A.C. *
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Índice**
1. Introducción ........................................................................................................................ 4
2. Justificación ........................................................................................................................ 8
3. Objetivo de la investigación ............................................................................................... 9
4. Planteamiento y delimitación del problema ..................................................................... 10
5. Formulación de hipótesis .................................................................................................. 11
6. Marco teórico y conceptual de referencia......................................................................... 12
7. Estimaciones y resultados................................................................................................. 24
8. Conclusiones y nueva agenda de investigación ................................................................ 29
9. Bibliografía ....................................................................................................................... 30
** La estructura de este documento de trabajo se ajusta a los requerimientos establecidos en el punto 2.3 del Reglamento para el Financiamiento Público de las Actividades Específicas que realicen los Partidos Políticos Nacionales como entidades de Interés Público del Instituto Federal Electoral vigente a partir de octubre de 2005. [3]
1. Introducción En términos generales, se puede afirmar que un sistema de pensiones es un plan sistemático y organizado, mediante preceptos legales, que busca proporcionar ingresos uniformes y periódicos a un grupo de personas después de su jubilación, Devolder (2013). En el caso de nuestro país, la Comisión Nacional del Sistema de Ahorro para el Retiro (CONSAR) es quien se encarga de llevar a buen término el sistema de pensiones. Las instituciones que invierten en los fondos de pensiones se enfrentan al reto del diseño y administración de portafolios que sean sostenibles en el largo plazo. La rentabilidad depende de la gestión de cada fondo. En México, de acuerdo a la edad del trabajador se tienen cinco posibles fondos para la inversión de los recursos disponibles denominadas Sociedades de Inversión Especializada en Fondos para el Retiro (SIEFORES), ver cuadro 1.
Cuadro 1. SIEFORES según la edad. SIEFORE
Edad del trabajador
Básica 1 (SB1)
56 años y mayores
Básica 2 (SB2)
Entre 46 y 55 años
Básica 3 (SB3)
Entre 37 y 45 años
Básica 4 (SB4)
Entre 27 y 36 años
Básica 5 (SB5)
26 años y menores Fuente. Elaboración propia con datos de CONSAR.
Estos fondos son aquellos donde las Administradoras de Fondos para el Retiro (AFORES) invierten los recursos de los trabajadores a lo largo de su vida laboral. Mientras más joven es el individuo, se permiten instrumentos de inversión con mayor riesgo. El punto es maximizar el ahorro para cuando llegue el momento del retiro y la clasificación por edad permite establecer diferentes aspectos regulatorios. Antes de la reforma del sistema de fondos de pensiones en México de 1997, el IMSS y el ISSSTE controlaban los fondos de los trabajadores, era un sistema con serios problemas de sostenibilidad hacia el largo plazo, Villagómez y Antón (2013). En el nuevo esquema existen una serie de instituciones, públicas y privadas, que tienen acceso a los recursos de los
trabajadores para invertir y gestionar carteras con fines de bienestar para el trabajador, Villagómez y Hernández, (2010). En el sistema actual de pensiones, la administración de riesgos para valorar las distintas estrategias de inversión resulta crucial. La volatilidad del mercado y de diferentes variables económicas pone en jaque la riqueza futura de la población y por tanto su bienestar. Sin mencionar el impacto multiplicador que existe entre el Sistema de Ahorro para el Retiro (SAR) y el entorno macroeconómico, pues variables como el crecimiento económico, las tasas de interés de largo plazo, entre otras, se encuentran altamente relacionadas, Villagómez y Antón (2013). Bajo este contexto, resulta necesario analizar la información presente en los rendimientos de las SIEFORES, pues la administración de los diferentes portafolios tiene implicaciones no solo en la economía nacional de hoy, sino en el desarrollo futuro del país. Si bien es cierto, que gran parte de la cartera del SAR se ubica en deuda gubernamental, ver cuadro 2, no significa que la administración del riesgo más detallada deba pasarse por alto.
Cuadro 2. Composición de la cartera del SAR al cierre de 2013. Instrumentos
Composición de la cartera (%)
Valores gubernamentales
51.10
Deuda privada nacional
18.06
Renta variable nacional
8.63
Instrumentos estructurados
3.96
Deuda internacional
1.86
Renta variable internacional
16.35
Mercancías
0.04 Fuente. Elaboración propia con datos de CONSAR.
El SAR sigue una metodología de diversificación de las carteras bajo un enfoque de concentración que se basa en el Índice de Herfindhal (IHH), donde no se considera explícitamente la distribución de probabilidad de los rendimientos de las SIEFORES. Este procedimiento permite a la CONSAR definir un Índice de Diversificación (ID) que castiga según el número de activos invertidos y según el porcentaje invertido, asimismo se toman en [5]
cuenta las correlaciones entre los precios de los activos para la ponderación según el ID, Villagómez y Antón (2013). En ese sentido, este documento analiza las propiedades estadísticas de los rendimientos diarios de las diferentes SIEFORES para contribuir con sugerencias de política al ID. Se considera el periodo posterior a la crisis de 2008-2009, de esa forma se descarta la volatilidad elevada de ese periodo y se concentran los esfuerzos en el comportamiento de 2010-2013. El punto es encontrar evidencia estadística para concretar algunas observaciones de política en la administración de las carteras.
1.1 Aspectos teóricos y numéricos en administración del riesgo A lo largo de los últimos años se ha observado que las distribuciones de rendimientos financieros usualmente no se distribuyen de acuerdo a una variable aleatoria normal. Sin embargo, los inconvenientes numéricos que a menudo presentan las distribuciones no normales limitan su aplicación y extensión hacia los modelos económicos y financieros. Por ello es que usualmente en administración del riesgo se utiliza la distribución de probabilidad normal. Barndorff-Nielsen (1977) introdujo una familia de distribuciones de probabilidad que contemplan una gran variedad de parámetros y constituyen unas funciones altamente versátiles para capturar comportamientos complejos de la naturaleza. Barndorff-Nielsen (1977) las utilizó para el estudio de los granos de arena y las denominó distribuciones hiperbólicas generalizadas (GH). Desafortunadamente, pasaron muchos años antes de las implementaciones numéricas robustas. Blæsild y Sørensen (1992) desarrollaron el programa HYP, que permitía ajustar distribuciones hiperbólicas mediante máxima verosimilitud. En este punto la familia GH encontró escasas aplicaciones. Por otra parte, Prause (1999) analizó exhaustivamente la calibración de las distribuciones, aunque con problemas numéricos. Eberlein y Keller (1995) ajustaron la distribución hiperbólica univariada para diferentes rendimientos de acciones alemanas bajo una alta precisión. Más adelante, Protasov (2004) modificó el algoritmo de máxima verosimilitud para estimar las distribuciones hiperbólicas generalizadas multivariadas. Este autor es el primero que reporta la estimación de la familia GH para una dimensión mayor a tres. Específicamente, Protasov (2004) ajusta la distribución GH para rendimientos geométricos sobre cinco diferentes tipos de cambio de la OCDE, obteniendo ajustes robustos. [6]
En este documento se emplea la parametrización empleada por Protasov (2004) para ajustar los rendimientos diarios de las diferentes SIEFORES. La razón de emplear esta metodología es la alta bondad de ajuste que puede conseguirse con la familia de distribuciones de probabilidad GH, lo cual permitiría medir y analizar con mayor cuidado las colas pesadas que presentan los rendimientos de las SIEFORES, sin mencionar el sesgo y la alta curtosis. Para realizar de manera robusta las estimaciones de los parámetros de la distribución hiperbólica generalizada, se siguen las sugerencias comentadas en Protasov (2004), donde se combina apropiadamente el procedimiento de máxima verosimilitud con las restricciones de dominio que presentan los parámetros poblacionales.
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2. Justificación El sistema actual de pensiones requiere constantemente de la actualización de técnicas en administración del riesgo, ya que la valoración de las distintas estrategias de inversión es una necesidad apremiante. La administración de carteras al interior de las diferentes SIEFORES representa un área de oportunidad enorme para la riqueza futura de la población mexicana. El desarrollo de la economía nacional en el largo plazo requiere que el SAR funcione de forma eficiente en cada momento del tiempo. En este contexto, se justifica el análisis de los rendimientos diarios de las SIEFORES, no sólo como un ejercicio descriptivo sino como un complemento que permita concretar medidas de ajuste en la administración del riesgo de los distintos portafolios existentes en el SAR. La diversificación de las carteras de inversión de cada una de las SIEFORES es un punto importante para alcanzar altos rendimientos. No obstante, la distribución de probabilidad que presentan los activos juega un papel relevante en la medición y control de riesgo de cada cartera. Los eventos extremos con alta probabilidad de ocurrencia no son capturados por las colas de la distribución normal, así que se justifica el estudio de los rendimientos mediante una distribución de probabilidad diferente. La utilización de la función de densidad que mejor se ajusta a los rendimientos diarios observados es un área de oportunidad para calibrar en mejor medida el desempeño de las SIEFORES.
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3. Objetivo de la investigación El objetivo del presente documento es encontrar evidencia estadística sobre la distribución de probabilidad de los rendimientos diarios de las SIEFORES en el periodo 2010-2013, y establecer sugerencias de política sobre la administración de carteras que complementen el ID empleado por el SAR.
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4. Planteamiento y delimitación del problema ¿El Sistema de Ahorro para el Retiro ha valorado correctamente el riesgo existente en las carteras de inversión que tiene disponibles? ¿Cuál es el área de oportunidad para implementar mejoras en la administración del riesgo? Para responder este planteamiento, se utilizan los rendimientos de las distintas SIEFORES entre los años 2010 y 2013. La periodicidad de los datos es diaria y la fuente de información son las cifras reportadas por la CONSAR. Es importante señalar que se ha considerado este periodo para evitar sesgos en las estimaciones, pues durante 2008-2009 se ha observado alta volatilidad, atribuible a la crisis financiera. Durante ese periodo una gran cantidad de activos e índices financieros presentaron cambios bruscos, tanto en la economía mexicana como en el exterior. De ahí que no resulte sencillo identificar la causalidad o al menos la relación de las variaciones en esa etapa. Por tanto, para no sesgar el estudio de los rendimientos de las AFORES se ha considerado el periodo posterior. En ese sentido, se utiliza el método de máxima verosimilitud modificado, Protasov (2004), para estimar el mejor ajuste de los rendimientos diarios a una distribución de probabilidad hiperbólica generalizada, Rydberg (1999). La idea es cuantificar los efectos existentes en la administración del riesgo, debido a que el ID no considera la función de probabilidad subyacente de los rendimientos explícitamente. La función de verosimilitud que se maximiza toma en cuenta el comportamiento de los rendimientos diarios y no sólo la diversificación bajo el enfoque de concentración. En otras palabras, el estudio de los rendimientos de las SIEFORES bajo la metodología de la función hiperbólica generalizada permite modificar el índice de diversificación de la CONSAR, de tal manera que capture la volatilidad existente sin menoscabo del enfoque por concentración. En cada caso y para SIEFORE se realiza el procedimiento de estimación, pues como se comentaba anteriormente, cada una de ellas abarca a personas en distintos rangos de edad.
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5. Formulación de hipótesis El actual Sistema de Ahorro para el Retiro participa en el sistema financiero mexicano tanto con instrumentos de renta fija como renta variable. La administración del riesgo del SAR se centra en el uso del ID, el cual no considera directamente la distribución de probabilidad de los rendimientos o de los factores de riesgo asociados. Por ello, resulta natural preguntarse sobre la función de probabilidad de los rendimientos y encontrar áreas de oportunidad para el ID. Concretamente, se desea verificar que la distribución de probabilidad de los rendimientos de las SIEFORES no es una normal y que existe sesgo, alta curtosis y colas pesadas. En otras palabras, se busca evidencia de que se ha subestimado el riesgo y que puede complementarse el ID bajo algunas consideraciones estadísticas de los rendimientos. Las observaciones de política tendrían un sustento equivalente al nivel de confianza de las pruebas estadísticas empleadas en este trabajo. En otras palabras, se desea hallar evidencia estadística bajo algún nivel de significancia para corroborar las siguientes hipótesis de trabajo: H1: Los rendimientos diarios de las SIEFORES 1, 2, 3, 4 y 5 no siguen una distribución de probabilidad normal en el periodo de referencia. H2: La distribución de probabilidad hiperbólica generalizada se ajusta adecuadamente a los rendimientos diarios de las SIEFORES 1, 2, 3, 4 y 5. H3: El tipo de función de densidad que mejor se ajusta a la distribución empírica de los rendimientos de las SIEFORE corresponde a la gaussiana inversa normal. H4: Los rendimientos diarios de las AFORES para las SIEFORES 1, 2, 3, 4 y 5 no siguen una distribución de probabilidad normal en el periodo de referencia. H5: La distribución de probabilidad hiperbólica generalizada se ajusta adecuadamente a los rendimientos diarios de las AFORES en los casos de las SIEFORES 1, 2, 3, 4 y 5. H6: El tipo de función de densidad que mejor se ajusta a la distribución empírica de los rendimientos de las AFORE corresponde a la gaussiana inversa normal. H7: Los rendimientos diarios de las SIEFORES 1, 2, 3, 4 y 5 así como de las AFORE correspondientes son series de tiempo estacionarias.
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6. Marco teĂłrico y conceptual de referencia 6.1 Rendimiento y volatilidad Los rendimientos diarios de las distintas SIEFORES se han calculado bajo un enfoque continuo đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ą = ln(đ?‘?đ?‘–,đ?‘Ą ) − lnâ Ą(đ?‘?đ?‘–,đ?‘Ąâˆ’1 ) donde đ?‘– = 1, ‌ ,5 son las SIEFORES1 y đ?‘Ą la variable tiempo que abarca los dĂas durante los aĂąos 2010-2013. Bajo esta notaciĂłn se tiene que đ?‘?đ?‘–,đ?‘Ą =precio diario reportado por la CONSAR de la SIEFORE đ?‘– en el tiempo đ?‘Ą, đ?‘&#x;đ?‘–,đ?‘Ą =rendimiento diario de la SIEFORE đ?‘– en el tiempo đ?‘Ą, En este punto es importante seĂąalar por quĂŠ el uso de rendimientos logarĂtmicos, en lugar de utilizar los rendimientos simples aritmĂŠticos đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ą =
đ?‘?đ?‘–,đ?‘Ą −1 đ?‘?đ?‘–,đ?‘Ąâˆ’1
Este rendimiento clĂĄsico establece una normalizaciĂłn entre los cambios de los diferentes precios y permite crear un marco de comparaciĂłn entre dos o mĂĄs activos. Si se emplean rendimientos aritmĂŠticos, entonces el rendimiento del portafolio puede expresarse como la suma ponderada de los rendimientos de los activos correspondientes. MĂĄs aĂşn, si se estima la matriz de covarianzas para el conjunto total de activos en un mismo periodo de tiempo, los rendimientos simples constituyen una buena opciĂłn. Sin embargo, los rendimientos logarĂtmicos cuentan con las ventajas anteriores y con beneficios adicionales para el anĂĄlisis intertemporal y la inferencia estadĂstica, Mata (2013). Los rendimientos logarĂtmicos toman en cuenta una capitalizaciĂłn continua, donde es posible emplear la distribuciĂłn normal para anĂĄlisis estadĂstico, siempre y cuando los precios de los
1
Las SIEFORES se componen de varios gestores de fondos, y el precio đ?‘?đ?‘–đ?‘Ą reportado por la CONSAR
es el promedio de los precios correspondientes a las diferentes AFORES en el periodo đ?‘Ą.
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activos se comporten como una distribuciĂłn lognormal2. El supuesto de normalidad es un enfoque usual en administraciĂłn de riesgos, ya que se puede invocar el teorema de lĂmite central en muestras grandes o periodos suficientemente largos. Los rendimientos logarĂtmicos cuentan con las ventajas anteriores y contemplan otras facilidades numĂŠricas, tales como la propiedad de aditividad, recuĂŠrdese que el producto de variables normalmente distribuidas no es una variable normal, salvo la suma de variables normales no correlacionadas. Entonces se reduce la complejidad algorĂtmica, y el teorema de lĂmite central puede aplicarse un mayor nĂşmero de ocasiones. Desafortunadamente, aun cuando el teorema del lĂmite central ofrece una puerta abierta a la normalidad, usualmente la elevada volatilidad de las series de tiempo, los periodos muestrales cortos, eventos extremos y poco probables o la simple dinĂĄmica de los rendimientos financieros implican un comportamiento no normal. En ese caso, resulta altamente recomendable trabajar con la distribuciĂłn de probabilidad que mejor se ajuste a los datos y no con la funciĂłn de densidad de la normal, Mata (2013). Los rendimientos puede caracterizarse bĂĄsicamente mediante dos parĂĄmetros: media đ?œ‡ y varianza đ?œŽ 2 . El primero mide el valor central de la distribuciĂłn, el valor esperado segĂşn la distribuciĂłn de probabilidad. La varianza, en cambio, mide el grado de dispersiĂłn de los rendimientos alrededor de la media, usualmente a mayor desviaciĂłn estĂĄndar đ?œŽ , mayor riesgo. La palabra riesgo hace referencia a la posibilidad de que suceda un evento que se traduzca en pĂŠrdidas para los agentes, como podrĂan ser deudores, instituciones o inversionistas. El riesgo tiene su origen en la incertidumbre que existe sobre el valor de los activos financieros, ante variaciones de los factores determinantes; en otras palabras, a mayor incertidumbre mayor riesgo. La media đ?œ‡ y la desviaciĂłn estĂĄndar đ?œŽ son los caballos de batalla usuales para describir los rendimientos sobre un periodo de tiempo. Pero existen otros dos parĂĄmetros de gran relevancia: el sesgo y la curtosis. El sesgo caracteriza la asimetrĂa de una distribuciĂłn de probabilidad alrededor de la media y se encuentra dado por đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘”đ?‘œ = đ??¸[đ?‘&#x;đ?‘Ą − đ?œ‡]3
2
Se dice que una variable aleatoria đ?‘‹ se distribuye como una lognormal con media đ?œ‡â Ąy desviaciĂłn estĂĄndar đ?œŽ,
si la variable aleatoria lnâ Ą(đ?‘‹) sigue una distribuciĂłn normal.
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En el caso de la distribuciĂłn de probabilidad, el sesgo es cero, ver figura 1.
Figura 1. Sesgo negativo y positivo de una distribuciĂłn de probabilidad. Fuente. ElaboraciĂłn propia.
La curtosis mide la picudez relativa de una distribuciĂłn de probabilidad, la expresiĂłn que describe a la curtosis es đ?‘˜ = đ??¸[đ?‘&#x;đ?‘Ą − đ?œ‡]4 Que vale tres para la funciĂłn de densidad normal, esta cantidad permite definir el exceso de curtosis como k-3, Jhonson (2007). Tanto el sesgo como la curtosis son parĂĄmetros relevantes para juzgar la normalidad de una serie de rendimientos. Si los rendimientos estĂĄn muy concentrados alrededor de la media, la distribuciĂłn de probabilidad se dice leptocĂşrtica (curtosis mayor a 3). Si los rendimientos presentan una alta dispersiĂłn, la distribuciĂłn es platicĂşrtica (curtosis menor a 3). En cualquiera de ambos casos las colas de probabilidad son diferentes al caso normal y dan cuenta de eventos poco comunes con altos valores de probabilidad hacia la ocurrencia o no ocurrencia en periodos cortos de tiempo, ver figura 2.
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Figura 2. Curtosis en una distribución de probabilidad. Fuente. Elaboración propia.
El comportamiento de la normal exige que la curtosis sea igual a cero (distribución mesocúrtica). Los cuatro parámetros media, desviación estándar, sesgo y curtosis permiten caracterizar que tan alejadas son las propiedades de los rendimientos diarios, mientras más proximidad haya hacia la normal, mayor confiabilidad habrá al emplear la función de de densidad normal.
6.2 Prueba de Kolmogorov Una prueba de hipótesis clásica para verificar si una muestra aleatoria corresponde a una distribución específica de probabilidad es el test de Kolmogorov, Jhonson (2007). Esta prueba no paramétrica permite valorar la bondad de ajuste entre dos distribuciones de probabilidad. En este documento emplearemos la prueba para verificar si la distribución de probabilidad empírica de los rendimientos de las SIEFORES y sus elementos AFORES, corresponden a una distribución de probabilidad normal. En cuyo caso la administración del riesgo suele ser más simple. Ahora bien, si es el caso que la distribución de probabilidad de los rendimientos diarios no sigue una distribución de probabilidad normal, entonces se buscará la distribución de
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probabilidad que mejor se ajuste a los datos observados y se corroborarĂĄ mediante la prueba de Kolmogorov. La hipĂłtesis nula de la prueba afirma que la distribuciĂłn de probabilidad propuesta es adecuada, en cuyo caso, el rechazo de la hipĂłtesis nula arroja evidencia para descartar la distribuciĂłn de probabilidad propuesta. La bondad de ajuste consta concretamente del valor p encontrado bajo el estadĂstico de prueba de cola derecha đ??ˇđ?‘›+ = đ?‘šĂĄđ?‘Ľ{đ??šđ?‘› (đ?‘Ľ) − đ??š(đ?‘Ľ)}
Alternativamente se puede llevar a cabo el test con el estadĂstico de prueba de cola izquierda dado por đ??ˇđ?‘›âˆ’ = đ?‘šĂĄđ?‘Ľ{đ??š(đ?‘Ľ) − đ??šđ?‘› (đ?‘Ľ)}
La distribuciĂłn empĂrica segĂşn la muestra đ??šđ?‘› (đ?‘Ľ) se define como đ??šđ?‘› (đ?‘Ľ) =
đ?‘› 1 ∑ đ??ź(đ?‘Ľđ?‘– ) đ?‘› đ?‘–=1
donde 1 đ??ź(đ?‘Ľđ?‘– ) = { 0
đ?‘Śđ?‘– ≤ đ?‘Ľ đ?‘œđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œâ Ąđ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œ
đ??š(đ?‘Ľ) es la distribuciĂłn segĂşn la hipĂłtesis propuesta, Jhonson (2007). En este trabajo, đ??š(đ?‘Ľ) es la distribuciĂłn de probabilidad hiperbĂłlica generalizada, y mientras mĂĄs grande sea el valor p, mayor serĂĄ la evidencia a favor de la distribuciĂłn de probabilidad supuesta teĂłricamente. En este trabajo se realizarĂĄ la prueba de Kolmogorov para verificar la bondad de ajuste, tanto a la distribuciĂłn de probabilidad normal como de la distribuciĂłn de probabilidad alternativa. El punto es emplear en las sugerencias de administraciĂłn del riesgo de las carteras, la distribuciĂłn de probabilidad que mejor se adapte al comportamiento observado en los datos, es decir, a los rendimientos diarios calculados de cada una de las SIEFORES. Similarmente para el caso de las AFORES representativas de cada SIEFORE se realizarĂĄ la prueba de Kolmogorov y se evaluarĂĄ la bondad de ajuste correspondiente.
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6.3 Estacionariedad Un aspecto que se debe cuidar a la hora de realizar la prueba de Kolmogorov sobre los rendimientos diarios de las SIEFORES es el concepto de estacionariedad 3 . Para ello se realizarĂĄ la prueba clĂĄsica de raĂz unitaria Dickey-Fuller aumentada. La prueba de raĂz unitaria es de gran trascendencia en las diferentes estimaciones, ya que permite un uso correcto de las distribuciones de probabilidad a la hora de realizar pruebas de hipĂłtesis complementarias. AdemĂĄs evita la estimaciĂłn de regresiones espurias4 y en otros contextos es un paso previo al anĂĄlisis de cointegraciĂłn y de las tendencias estocĂĄsticas, Jhonson (2007). En el caso de los rendimientos diarios de las diferentes SIEFORES, se requiere que se cumpla el supuesto de estacionariedad, ya que eso implicarĂa la existencia de una distribuciĂłn de probabilidad poblacional para los rendimientos, lo cual es una gran ventaja, ya que permitirĂa analizar el conjunto total de rendimientos diarios bajo el uso de la distribuciĂłn de probabilidad estimada y evaludada con la prueba de Kolmogorov. La condiciĂłn de no estacionariedad se encuentra Ăntimamente relacionado con el concepto de integraciĂłn en series temporales. Se dice que una serie de tiempo es integrada de orden d y se escribe đ??ź(đ?‘‘), si la serie de tiempo puede convertirse en una serie estacionaria mediante d diferencias de la forma ∆đ?‘Śđ?‘Ą = đ?‘Śđ?‘Ą − đ?‘Śđ?‘Ąâˆ’1 ∆2 đ?‘Śđ?‘Ą = ∆đ?‘Śđ?‘Ą − ∆đ?‘Śđ?‘Ąâˆ’1 3
En tĂŠrminos bĂĄsicos, se dice que una serie de tiempo đ?‘‹đ?‘Ą es estacionaria si la distribuciĂłn de probabilidad del
vector đ?‘?đ?‘Ą = (đ?‘‹đ?‘Ą+đ?‘ , đ?‘‹đ?‘Ą+đ?‘ −1 , ‌ , đ?‘‹đ?‘Ą+đ?‘ −đ?‘˜ )′ coincide con la distribuciĂłn de probabilidad del vector đ?‘Šđ?‘Ą = (đ?‘‹đ?‘?+đ?‘ , đ?‘‹đ?‘?+đ?‘ −1 , ‌ , đ?‘‹đ?‘?+đ?‘ −đ?‘˜ )′. En otras palabras, si la media poblacional es constante en el tiempo, la varianza poblacional es constante en el tiempo y si la covarianza entre cualesquiera dos observaciones es cero, es decir, no se correlacionan a lo largo de los periodos. 4
En general, puede pensarse como un modelo de regresiĂłn donde por la naturaleza de las variables
involucradas, ninguna inferencia resulta fiable. EspecĂficamente, arrojan una elevada bondad de ajuste y un valor del estadĂstico Durbin-Watson sumamente bajo.
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‌ ∆đ?‘‘ đ?‘Śđ?‘Ą = ∆đ?‘‘−1 đ?‘Śđ?‘Ą − ∆đ?‘‘−1 đ?‘Śđ?‘Ąâˆ’1 Si una serie de tiempo ya es estacionaria, se dice que es I(0). Si la serie de tiempo requiere una diferencia para transformarse a estacionaria, se llama I(1). En general, las series de tiempo I(0) presentan las siguientes caracterĂsticas: a)
presentan varianza finita e independiente del tiempo,
b)
poseen memoria limitada,
c)
tienden a fluctuar alrededor de su valor medio, la cual puede o no incluir una tendencia determinista,
d)
y presentan autocorrelaciones que disminuyen rĂĄpidamente a medida que el nĂşmero de rezagos aumenta.
Por otra parte, las series de tiempo I(1), que son usuales en economĂa y finanzas, presentan los siguientes rasgos: a)
la varianza depende del tiempo, no es constante y tiende a infinito conforme el tiempo avanza,
b)
cualquier choque aleatorio afecta de manera permanente al proceso,
c)
oscilan ampliamente a lo largo del tiempo
d)
y las autocorrelaciones tienden a la unidad, en valor absoluto, para casi cualquier orden del rezago que se tenga.
La prueba de hipĂłtesis usual para verificar la estacionariedad de una serie de tiempo es la prueba de Dickey-Fuller, cuya hipĂłtesis nula es que existe raĂz unitaria (no estacionariedad) en la serie de tiempo. El rechazo de la hipĂłtesis nula bajo diferentes especificaciones, Hamilton (1999), arroja evidencia sobre la naturaleza de la variable aleatoria de interĂŠs. En general, el modelo de regresiĂłn que se estima para realizar el test aumentado de DickeyFuller sobre đ?‘Śđ?‘Ą sigue la especificaciĂłn ∆đ?‘Śđ?‘Ąâˆ’1 = đ?œ‡ + đ?›žđ?‘Śđ?‘Ąâˆ’1 + đ?›ż1 ∆đ?‘Śđ?‘Ąâˆ’1 + â‹Ż + đ?›żđ?‘?−1 ∆đ?‘Śđ?‘Ąâˆ’đ?‘?+1 + đ?œ€đ?‘Ą [18]
donde la hipĂłtesis nula se traduce concretamente en verificar la significancia del coeficiente đ?›ž. En otras palabras, â Ąđ??ť0 : đ?›ž = 0.
6.4 Ă?ndice de diversificaciĂłn La CONSAR ha definido una medida relativa para la diversificaciĂłn de las carteras de inversiĂłn de las SIEFORES. La idea central es la diversificaciĂłn del portafolio, pues se asume que mientras mejor diversificada se encuentre una cartera de inversiĂłn, existirĂĄ mayor cobertura ante eventos inesperados en el mercado. Sin mencionar que se encontrarĂa posibilidades de obtener mayores rendimientos. La medida relativa de la CONSAR se denomina Ă?ndice de DiversificaciĂłn (ID) y se calcula para cada SIEFORE BĂĄsica, bajo la informaciĂłn disponible de la cartera al cierre de cada mes. El ID castiga el nĂşmero de activos de distinta clase (“cubetaâ€?) en donde se invierten los recursos y el porcentaje invertido en cada clase. Una medida de similaridad que se emplea para comparar a los diferentes activos son las correlaciones existentes. Los activos que se encuentran altamente correlacionados quedan en una misma cubeta. Ahora bien, las correlaciones entre los activos contemplan modelos de promedios mĂłviles sobre los precios observados. Un modelo de promedios mĂłviles asume que todas las observaciones de la serie de tiempo son igualmente importantes para la estimaciĂłn de los parĂĄmetros correspondientes. De esta forma, se emplea como proyecciĂłn đ?‘§đ?‘Ą . El promedio de los n valores de los datos mĂĄs recientes5 del conjunto de datos: đ?‘›
1 đ?‘§đ?‘Ą = ∑ đ?‘Ľđ?‘Ąâˆ’đ?‘– đ?‘› đ?‘–=1
5
No existe una regla formal para elegir el valor adecuado de n. Aunque si la serie de tiempo presenta baja
volatilidad, se sugiere que sea elevado. En tanto que si la serie de tiempo presenta variaciones bruscas y alta volatilidad, se sugieren valores chicos para n. En la prĂĄctica usualmente los valores de n oscilan entre 2 y 10.
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El tĂŠrmino mĂłvil se refiere a que cada nueva observaciĂłn de la serie de tiempo đ?‘§đ?‘Ą , corresponde a un movimiento en el promedio, es decir, conforme se tengan nuevas observaciones, el valor del promedio irĂĄ modificĂĄndose. Las cubetas consideradas por la CONSAR corresponden a Papel Gubernamental en Moneda Nacional, Papel Gubernamental en Moneda Extranjera, Corporativo domĂŠstico, Bancario domĂŠstico, Paraestatales, Accionario domĂŠstico, Deuda internacional y Accionario internacional. En este Ăşltimo caso, cada Ăndice se representa por una cubeta. Resulta natural pensar que la determinaciĂłn de las cubetas se modifica cuando las correlaciones mĂłviles entre los diferentes activos presentan variaciones sustanciales. La construcciĂłn del ID se basa en un Ăndice de concentraciĂłn, donde se cuenta el nĂşmero de cubetas en donde la SIEFORE haya invertido y se contabiliza el porcentaje invertido en cada cubeta. La idea es premiar a los portafolios de inversiĂłn cuyas inversiones se ubiquen en un mayor nĂşmero de cubetas y a aquellas que tengan porcentajes de inversiĂłn mĂĄs equilibrados a lo largo de ellas. El Ăndice de concentraciĂłn que se utiliza es el denominado Herfindahl-Hirschman (IHH). Concretamente se define đ??źđ??ťđ??ť(đ?‘–) = ∑
�� �=1
��2
donde đ?‘›đ?‘– es el nĂşmero de cubetas donde invierte la SIEFORE i y đ?›źđ?‘—2 es el porcentaje del portafolio invertido en la cubeta j. Luego se ajusta el Ăndice đ??źđ??ťđ??ť(đ?‘–) al conjunto de datos observados, de tal manera que se castigue a los portafolios concentrados en pocas cubetas, al Ăndice ajustado se denotarĂĄ por đ??źđ??ťđ??ťâ€˛(đ?‘–). El Ăndice de diversificaciĂłn đ??źđ??ˇ(đ?‘–) sobre la SIEFORE đ?‘– se define como đ??źđ??ˇ(đ?‘–) = 10(1 − đ??źđ??ťđ??ť ′ (đ?‘–)) Se puede observar que los valores de ID oscilan entre cero y diez, siendo que el valor cero representa una diversificaciĂłn nula y diez la mĂĄxima diversificaciĂłn posible. Es importante seĂąalar que cada SIEFORE consta de su propio ID y por ende se pondera el grado de diversificaciĂłn para cada una de ellas.
[20]
6.5 DistribuciĂłn hiperbĂłlica generalizada Para indagar la distribuciĂłn de probabilidad subyacente a los rendimientos diarios de las SIEFORES se emplea una funciĂłn de densidad versĂĄtil, la cual se ha empleado con ĂŠxito en otros contextos financieros, Paolella (2007). La distribuciĂłn de probabilidad utilizada es la hiperbĂłlica generalizada (GH) cuyos parĂĄmetros la convierten en una especificaciĂłn altamente flexible, Eberlein y Keller (1995). El rango de variaciĂłn de los parĂĄmetros de GH es sumamente amplio, aunque sobresalen el caso HiperbĂłlico (đ?œ† = 1) y el caso Gaussiano Inverso Normal (đ?œ† = −1/2), Paolella (2007). Esta familia de funciones resuelve teĂłricamente diferentes problemas en el ĂĄrea de administraciĂłn de riesgos, aunque se requieren procedimientos numĂŠricos rebuscados para el caso multivariado, Mata (2013). En el cuadro 3 se presentan los miembros de la familia GH, donde sobresale la funciĂłn de densidad gaussiana inversa normal, pues se ha empleado en diferentes contextos financieros exitosamente. Cuadro 3. Miembros de la familia hiperbĂłlica generalizada.
Fuente. ElaboraciĂłn propia.
En particular, el parĂĄmetro que determina la forma de la distribuciĂłn de probabilidad es đ?œ†, de ahĂ que la integral de Bessel modificada de tercer orden alcance mayor importancia, pues se encuentra dentro de cada una de las funciones de densidad hiperbĂłlicas generalizadas. En este documento se propone la familia GH para analizar los rendimientos diarios de las SIEFORES, pues existe evidencia de no-normalidad en diferentes paĂses y contextos. En el caso del Mercado accionario mexicano, Trejo, Núùez y Lorenzo (2006) muestran que la funciĂłn Gaussiana Inversa Normal (GIN) ajusta exitosamente. [21]
La distribuciĂłn de probabilidad univariada GH, Paolella (2007), presenta la especificaciĂłn usual Îť
đ?‘“đ??şđ??ť (x; Îź, Îą, δ, β, Îť) =
(Îą2 − β2 )2 1 Îťâˆ’ √2πι 2 δΝ K Îť (Î´âˆšÎą2
− β2 )
K Îťâˆ’1 (ÎąâˆšÎ´2 + (x − Îź)2 )expâ Ą(β(x − Îź)) 2
donde K v es la funciĂłn modificada de Bessel de tercer orden, 1 ∞ đ?‘Łâˆ’1 1 đ??žđ?‘Ł (đ?‘Ľ) = âˆŤ đ?‘¤ expâ Ą([− đ?‘Ľ(đ?‘¤ + đ?‘¤ −1 )] đ?‘‘đ?‘¤ 2 0 2 para valores positivos de la variable đ?‘Ľ, Abramowitz (1972). El procedimiento de estimaciĂłn directo por mĂĄxima verosimilitud para hallar el conjunto de parĂĄmetros Θ = (đ?œ†, đ?›ź, đ?›ż, đ?›˝, đ?œ‡) puede presentar dificultades numĂŠricas de convergencia, por ello primero estimamos un punto inicial Θ0 â Ącomo la soluciĂłn por mĂnimos cuadrados no lineales de đ?‘›
Θ0 = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘šĂđ?‘› ∑
2
(đ?‘Śđ?‘– − đ?‘“đ??şđ??ťđ?‘Śđ?‘? (đ?œ†, đ?›ź, đ?›ż, đ?›˝, đ?œ‡))
đ?‘–=1
El parĂĄmetro đ?œ† se deja fijo en -1/2 y se ejecuta mĂĄxima verosimilitud modificada para ajustar a la funciĂłn gaussiana inversa normal. Las expresiones que ponderan la funciĂłn de verosimilitud, Protasov (2004), son las siguientes: (đ?‘‹đ?‘– − đ?œ‡)2 đ?›˝2 + đ?›ż 2, đ?›ź2 + 2) 2 đ?œŽ đ?œŽ đ??¸[đ?‘Šđ?‘– |đ?‘‹đ?‘– ] = (đ?‘‹đ?‘– − đ?œ‡)2 đ?›˝2 đ?‘˜đ?œ†âˆ’1/2 ( + đ?›ż 2, đ?›ź2 + 2) 2 đ?œŽ đ?œŽ đ?‘˜đ?œ†+1/2 (
đ?›˝ 2 (đ?‘‹đ?‘– − đ?œ‡)2 , + đ?›ż 2) đ?œŽ2 đ?œŽ2 −1 đ??¸[đ?‘Šđ?‘– |đ?‘‹đ?‘– ] = đ?›˝ 2 (đ?‘‹ − đ?œ‡)2 đ?‘˜âˆ’đ?œ†+1/2 (đ?›ż 2 + 2 , đ?‘– 2 + đ?›ż 2) đ?œŽ đ?œŽ đ?‘˜âˆ’đ?œ†âˆ’1/2 (đ?›ż 2 +
[22]
đ?œ•đ??žđ?œ† (đ?›źđ?›ż) đ?œ•đ?œ† đ??¸[lnâ Ą(đ?‘Šđ?‘– )|đ?‘‹đ?‘– ] = đ?‘™đ?‘›(đ?›źđ?›ż) + đ??žđ?œ† (đ?›źđ?›ż)
donde es una variable aleatoria auxiliar de estimaciĂłn. Este procedimiento se repite para cada una de las SIEFORES y para los elementos AFORES. Posteriormente se realiza la prueba de Kolmogorov para valorar la bondad de ajuste. En la figura 3, se presenta una curva clĂĄsica de GH, la curva en rojo es la distribuciĂłn normal y la curva en azul es GIN.
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Figura 3. DistribuciĂłn HiperbĂłlica Generalizada para đ?œ† = −1/2 y parĂĄmetros unitarios. Fuente. ElaboraciĂłn propia.
La evidencia hallada bajo esta comparaciĂłn permite afirmar la existencia o ausencia de sesgo, colas pesadas y alta curtosis. De esta forma, puede medirse la existencia de una subestimaciĂłn del riesgo en la administraciĂłn de las carteras de las SIEFORES y establecer sugerencias de polĂtica para complementar la diversificaciĂłn mediante el ID.
[23]
7. Estimaciones y resultados En esta sección se presenta evidencia estadística para sugerir aspectos complementarios al ID empleado por la CONSAR. En el cuadro 1 se reportan los rendimientos netos promedio más altos para diferentes AFORES, se consideran las cinco SIEFORES para obtener la media muestral entre 2010 y 2013. Cuadro 1. Rendimiento neto promedio de las AFORES
Rendimiento neto promedio: SIEFORES a diciembre de 2013 Afore
Estadístico t
Afirme Bajío
10.4%
Azteca
10.0%
Banamex
9.4%
Coppel
9.2%
Inbursa
9.0%
Invercap
8.8%
Metlife
8.7%
Pensión ISSSTE
8.4%
Principal
7.4%
Profuturo GNP
6.5%
SURA
5.8%
XXI Banorte
5.7%
En el cuadro 2 se puede observar, a un nivel de significancia menor a 1%, que las series de rendimientos diarios de las AFORES provienen de poblaciones estacionarias. Por tanto, se puede estimar directamente la distribución de probabilidad que se encuentra detrás de cada una de estas variables. En otras palabras, en cada una de las series de rendimientos diarios se ha encontrado evidencia de que la distribución de probabilidad permanece. Es decir, que en términos poblacionales, la media de rendimientos para el periodo 2010-2013 es constante. De igual manera, la covarianza entre cualesquiera dos días diferentes de rendimientos es cero, lo que significa que puede buscarse con toda factibilidad la distribución de probabilidad subyacente.
[24]
Cuadro 2. Prueba de raĂz unitaria para las AFORES.
Prueba aumentada de Dickey Fuller HipĂłtesis nula: Existe raĂz unitaria Afore
EstadĂstico t Probabilidad
Afirme BajĂo
-32.042
0.000
Azteca
-32.642
0.000
Banamex
-40.384
0.000
Coppel
-33.411
0.000
Inbursa
-6.729
0.000
Invercap
-34.195
0.000
Metlife
-34.163
0.000
PensiĂłn ISSSTE
-29.163
0.000
Principal
-41.251
0.000
Profuturo GNP
-40.379
0.000
SURA
-16.491
0.000
XXI Banorte
-40.644
0.000
Fuente. ElaboraciĂłn propia con datos de la CONSAR 2010-2013. En el cuadro 3 se presentan los parĂĄmetros estimados para la distribuciĂłn de probabilidad empĂrica de los rendimientos de las principales AFORES. Se puede seĂąalar que existe evidencia estadĂstica para afirmar que los rendimientos diarios no siguen una distribuciĂłn normal, pues el valor p es inferior a 1% en todos los casos. Como se rechaza la hipĂłtesis nula de normalidad, entonces se puede afirmar en un primer momento que el sesgo no es cero y que la curtosis no es tres, lo que representa asimetrĂa en la distribuciĂłn de probabilidad, respecto al valor de la media, y colas mĂĄs anchas que aquellas que tiene la funciĂłn de densidad normal. El nivel de confianza de esta afirmaciĂłn es superior al 99%. MĂĄs aĂşn, el ajuste de la funciĂłn de probabilidad GIN es factible a un nivel de significancia superior a 10% para todas las AFORES. La distribuciĂłn de probabilidad gaussiana inversa normal se ajusta razonablemente a los rendimientos diarios, con al menos un nivel de confianza del 90%. Esta bondad de ajuste convierte a la distribuciĂłn de probabilidad hiperbĂłlica generalizada (đ?œ† = −1/2) en un buen instrumento para estudiar estas variables. [25]
Los resultados del cuadro 3 muestran que la media de la distribuciĂłn de los rendimientos diarios es similar entre las AFORES (primera columna). Aunque sobresalen Banamex, SURA y Banorte XXI con un nivel de 0.08% y Pension ISSSTE con 0.09%. En todos los casos, el rendimiento diario poblacional es mayor a cero, lo cual es una buena noticia para las diferentes AFORES, pues significa que en tĂŠrminos de media poblacional, cada uno de los trabajadores ha incrementado sus ahorros. El parĂĄmetro đ?›ż es una medida de la dispersiĂłn que tienen los rendimientos alrededor de la media, a mayor valor de đ?›ż se tiene una mayor variaciĂłn alrededor del promedio. En este caso, Invercap y PensiĂłn ISSSTE son quienes presentan mayor volatilidad implĂcita durante 20102013. Es decir, que los rendimientos diarios oscilan drĂĄsticamente alrededor de la media. La magnitud del coeficiente đ?›ż no representa especĂficamente la varianza de la variable aleatoria en la funciĂłn de densidad hiperbĂłlica generalizada, pero se encuentra relacionada Ăntimamente con ella, pues se tiene que đ?‘‰[đ?‘‹] = đ?‘“(đ?›ż, đ?›ź, đ?›˝),â Ą
đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ
>0
El coeficiente β mide la asimetrĂa (sesgo) que presenta la distribuciĂłn gaussiana inversa normal asociada a los rendimientos diarios de las SIEFORES. Si el coeficiente β vale cero, entonces se tiene una distribuciĂłn simĂŠtrica alrededor de la media, y la mediana coincide con el valor esperado. En el caso de los rendimientos de las AFORES, nos interesa el sesgo hacia la izquierda, pues eleva la probabilidad de pĂŠrdidas potenciales. Es importante recordar que para la estimaciĂłn de esta secciĂłn se considerĂł el rendimiento promedio de las cinco SIEFORES en sus elementos correspondientes de AFORES. Esto significa que las estimaciones y observaciones aplican, en promedio, para cualesquiera de las SIEFORES. Ahora bien, en el cuadro 3 se puede apreciar que el coeficiente de sesgo es negativo casi en todos los casos, asĂ que la cola izquierda “pesaâ€? mĂĄs que la cola derecha, en relaciĂłn a una distribuciĂłn normal. Es decir, que la probabilidad de eventos poco comunes presenta una probabilidad mĂĄs elevada que en el caso de la normal. Sobresalen en cola pesada izquierda Coppel y PensiĂłn ISSSTE, en contraste Inbursa presenta una cola izquierda mĂĄs delgada. Por otra parte, los valores elevados del parĂĄmetro đ?›ź, en relaciĂłn al coeficiente de sesgo, es un indicativo de alta curtosis para todas las AFORE. En general, si consideramos los parĂĄmetros estimados se encuentra que la probabilidad de pĂŠrdidas potenciales es superior a la probabilidad descrita por la distribuciĂłn normal. [26]
Cuadro 3. EstimaciĂłn de la distribuciĂłn de probabilidad para los rendimientos de las AFORES.
Afore
Probabilidad
ParĂĄmetros estimados segĂşn GH (ď Ź=-1/2) ď ď€
ď ¤ď€
ď Ąď€
ď ˘ď€
Afirme BajĂo
0.0006
0.0015
131.5623
Azteca
0.0006
0.0020
139.8424
Banamex
0.0008
0.0022
Coppel
0.0006
Inbursa Invercap
GIN
Normal
-11.8086
0.3405
0.0000
-8.5701
0.2974
0.0000
104.6330
-7.9401
0.3616
0.0000
0.0017
192.5295
-16.1532
0.4351
0.0000
0.0003
0.0005
410.3022
31.3875
0.4135
0.0000
0.0005
0.0027
53.1989
-1.6196
0.3917
0.0000
Metlife
0.0008
0.0024
123.8747
-10.8986
0.2880
0.0000
PensiĂłn ISSSTE
0.0009
0.0028
238.1620
-23.2322
0.3392
0.0001
Principal
0.0006
0.0023
132.0180
-8.4612
0.3949
0.0000
Profuturo GNP
0.0008
0.0025
117.7279
-9.7204
0.4103
0.0000
SURA
0.0008
0.0024
112.8562
-6.1556
0.3070
0.0000
XXI Banorte
0.0008
0.0023
126.5686
-8.9327
0.3350
0.0000
ď€
Fuente. ElaboraciĂłn propia. Las conclusiones seĂąaladas sobre las caracterĂsticas de la distribuciĂłn de probabilidad de los rendimientos de las principales AFORES que se muestran en el cuadro 3, representan el comportamiento medio poblacional que puede presentarse a lo largo de las cinco SIEFORES, pues se puede observar que en el caso de las cinco SIEFORES, el comportamiento es regular, cuadro 4. En el cuadro 4, el rendimiento poblacional diario de las diferentes SIEFORES oscila alrededor del 0.05%, mientras que la varianza se puede analizar mediante el parĂĄmetro parĂĄmetro đ?›ż . La mayor volatilidad se presenta en la SIEFORE BĂĄsica 3 y en la SIEFORE BĂĄsica 2, y corresponde a una amplitud promedio de đ?›ż = 0.0030. Cuando se observa el signo del coeficiente đ?›˝, se puede apreciar que es menor a cero, lo que representa un sesgo hacia la izquierda y por tanto evidencia tambiĂŠn de colas pesadas. En las cinco SIEFORES se observa un comportamiento similar, aunque sobresale en sesgo la distribuciĂłn de probabilidad que corresponde a la SIEFORE BĂĄsica 1, lo cual hace sentido, pues ahĂ se ubican los trabajadores mĂĄs jĂłvenes y se puede incurrir en mayor riesgo, dado que se tiene un tiempo mayor de ahorro hacia el futuro.
[27]
Cuadro 4. EstimaciĂłn y bondad de ajuste para los rendimientos de las cinco SIEFORES. Probabilidad
ParĂĄmetros estimados segĂşn GH (ď Ź=-1/2) SIEFORE
BĂĄsica 1 BĂĄsica 2 BĂĄsica 3 BĂĄsica 4 BĂĄsica 5
ď ď€
ď ¤ď€
ď Ąď€
ď ˘ď€
0.0004 0.0004 0.0005 0.0005 0.0005
0.0019 0.0027 0.0030 0.0025 0.0026
194.5010 131.3801 127.5494 148.9044 143.4061
-11.9143 -10.0802 -9.4833 -9.8659 -9.5924
ď€
GIN
Normal
0.8964 0.6532 0.6719 0.7393 0.6870
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Las cinco SIEFORES muestran en promedio un rendimiento diario cercano a 0.0005 con una dispersiĂłn mayor a 0.0020 unidades por rendimiento (coeficiente đ?›ż ), donde existe sesgo hacia la izquierda (coeficiente đ?›˝ negativo) y elevada curtosis (coeficiente đ?›ź elevado). Estas afirmaciones son vĂĄlidas con un nivel de confianza superior al 90%, ver columnas de probabilidad para GIN en los cuadros 3 y 4. Se sabe que la diversificaciĂłn llevada a cabo sobre las carteras de las SIEFORES emplea un enfoque de concentraciĂłn bajo el IHH, donde no se toma en cuenta directamente la distribuciĂłn de probabilidad de los rendimientos, pues se asume normalidad cuando se calculan los promedios mĂłviles que alimentan al ID, CONSAR (2013). En el esquema del ID, la CONSAR determina las “cubetasâ€? (nĂşmero de activos de diferente tipo en los cuales se invierten recursos) bajo las variaciones en los movimientos de las correlaciones mĂłviles, CONSAR (2013), que se calculan entre los activos financieros, pero sin ponderar por la distribuciĂłn de rendimientos. En este trabajo se ha encontrado evidencia de la ausencia de normalidad en los rendimientos de las diferentes SIEFORES y AFORES, este hallazgo implica que la probabilidad de pĂŠrdidas potenciales es superior a la probabilidad asumida bajo la normal, lo cual apunta a que se subestime el riesgo de pĂŠrdida potencial, pues no se recoge directamente la no normalidad de los rendimientos y/o de los activos elegidos. La GIN muestra un ajuste razonable a los rendimientos diarios de las AFORES, lo que la coloca como una distribuciĂłn razonable para ponderar las cubetas en el proceso de diversificaciĂłn bajo el ID.
[28]
8. Conclusiones y nueva agenda de investigaciĂłn Este documento muestra como la distribuciĂłn de probabilidad GIN se ajusta razonablemente a los rendimientos diarios de las cinco SIEFORES y a las AFORES correspondientes. La bondad de ajuste se valora mediante la prueba clĂĄsica de Kolmogorov con un nivel de confianza superior al 90% para cada uno de los casos considerados. La funciĂłn de densidad de probabilidad GIN que se ha estimado cuenta con diferentes parĂĄmetros, los cuales permiten estimar no solamente el valor esperado y la varianza, sino tambiĂŠn el sesgo y la curtosis. En ese sentido, los parĂĄmetros encontrados apuntan directamente a la existencia de sesgo, colas pesadas y alta curtosis en los rendimientos diarios de las SIEFORES. Este hallazgo seĂąala que los rendimientos de los activos que componen las carteras no siguen, en promedio, una distribuciĂłn normal y por ende la probabilidad de pĂŠrdidas potenciales es superior a la probabilidad estimada con la normal. En otras palabras, la no incorporaciĂłn de la distribuciĂłn de probabilidad adecuada en la diversificaciĂłn de las carteras subestima el riesgo existente. La no normalidad de los rendimientos diarios, lleva a una sugerencia clara en la administraciĂłn del riesgo, la incorporaciĂłn de la distribuciĂłn de probabilidad GIN en la implementaciĂłn del ID. Para ello se sugiere realizar el ajuste del indicador đ??źđ??ťđ??ť(đ?‘–) considerando la distribuciĂłn de probabilidad GIN de la SIEFORE i en el proceso de estimaciĂłn. De esa forma, el Ăndice ajustado đ??źđ??ťđ??ťâ€˛(đ?‘–) contemplarĂĄ no sĂłlo el grado de diversificaciĂłn sino la distribuciĂłn de probabilidad subyacente a los rendimientos y correlaciones utilizadas. De igual manera, se sugiere incorporar la distribuciĂłn de probabilidad GIN en las correlaciones mĂłviles que alimentan la diversificaciĂłn de activos (cubetas). Este Ăşltimo punto abre una nueva agenda de estudio, el ajuste del Ăndice Herfindahl-
Hirschman para castigar la concentraciĂłn en las cubetas podrĂa modificarse no solamente mediante la inclusiĂłn de la distribuciĂłn de probabilidad GIN, sino tambiĂŠn mediante la inclusiĂłn simultĂĄnea de un criterio de Markowitz que minimice el riesgo atribuible a la diversificaciĂłn. En este caso, el Ăndice đ??źđ??ťđ??ť(đ?‘–) deberĂa ajustarse con una restricciĂłn adicional sobre la cartera, aquella que contemple la minimizaciĂłn del riesgo. De esta forma el Ăndice ajustado implicarĂa un ID mĂĄs robusto estadĂsticamente ante los diferentes niveles de riesgo.
[29]
9. Bibliografía Abramowitz, M., & Stegun, I. A. (1972). Handbook of Mathematical Functions. New York, USA: Dover; Chapter 9 Bessel Functions of Integer Order. Barndorff-Nielsen, O.E. (1977). Exponentially decreasing distributions for the logarithm of the particle size. Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 353:401-419. Blæsild, P. and Sørensen, M.(1992). ’hyp’- a computer program for analyzing data by means of the hyperbolic distribution. Research Report 248, Department of Theoretical Statistics, University of Aarhus.
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[31]
Documentos de Trabajo es una investigación de análisis de la Fundación Rafael Preciado Hernández, A. C. a petición del Partido Acción Nacional.
Registro ante el Instituto Nacional de Derechos de Autor en trámite.
Fundación Rafael Preciado Hernández, A.C.
Ángel Urraza No. 812, Col. Del Valle, C.P. 03100, México, D. F.
[32]