CAPITULO 5 EMPUJE
En el cuerpo mostrado la fuerza hacia arriba es igual al peso del volumen EADCF: Farriba = γVolEADCF
La fuerza hacia abajo es igual al peso del volumen EABCF: Fabajo = γVolEABCF
Fuerza neta o de flotación (FB): FB = Farriba – Fabajo = γVolABCD
En conclusión: la fuerza de flotación o empuje (F B) es igual al peso del fluido desalojado.
Empuje En el cuerpo mostrado el En el cuerpo mostrado el empuje es igual al peso del volumen ADC: E = γVolADC
La siguiente ecuación es válida tanto para cuerpos sumergidos parcialmente o completamente: FB = γVolDesalojado
Para fluidos de densidad uniforme la linea de acción de la fuerza de empuje actúa en el centroide del volumen desplazado.
Principio de Arquímides: para un cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido existe una fuerza hacia arriba (fuerza de flotación) igual al peso del fluido desalojado.
Hidrometría El
hidrómetro es un bulbo de vidrio con un peso de plomo en el fondo para que flote verticalmente. El vástago tiene una escala graduada. Se utiliza para medir el peso específico de un fluido. El hidrómetro flotará a más o menos profundidad dependiendo del peso específico del fluido.
Ejemplos
3.116 Un tanque cilíndrico de 1 ft de diámetro se llena de agua a profundidad de 2 ft. Un cilindro de madera de 6” de diámentro y 3“ de largo se hace flotar en el agua. El peso del cilindro de madera es de 2 lb. Determinar el cambio (si lo hay) en la profundidad del agua del tanque. El cilindro de madera está en equilibrio, por lo que el empuje hacia arriba está equilibrado por el peso de 2 lb. W = 2 lb = FB = peso del fluido desalojado FB = γVoldesalojado = 2 lb = 62.4 * Vdesalojado V = 0.03205 ft3 = Volumensumergido = Vdesplazado Vdesplazado = πd2/4 * ∆htanque 0.03205 = π(1)2/4 * ∆htanque ∆htanque = 0.0408 ft (se eleva)
3.108 Un objeto pesa 75 N cuando está sumergido en aceite (S = 0.8) y es necesaria una fuerza de 100 N para mantenerlo sumergido en mercurio. Determine su volumen, peso específico y gravedad específica. En el aceite su peso (W) es mayor al empuje (no lo equilibra), la diferencia son los 75 N que pesa adentro del fluido FB - W = - 75 N FB = γVol 9810(0.8)Vol - W = - 75 (ecuación 1) En el mercurio el empuje es mayor al peso (W) por lo que se requieren 100 N para que haya equilibrio. FB – W – 100 N = 0 9810(13.6)Vol – W = 100 (ecuación 2) V = 1.39 x 10-3 m3 W = 85.93 N = γ(1.39 x 10-3 m3) γ = 61,820 N/ m3 =(S)(9810) S = 6.3
3.114 Un cono contiene agua. El volumen del cono está dado por V = πh3/3. Un
bloque con un volumen de 200 cm3 y S = 0.6 se hace flotar en el agua. ¿Cuál será el cambio (en cm) en la altura de la superficie del agua en el cono?
El peso del bloque equilibra el empuje.
FB = W FB = γaguaVoldesalojado W = γbloqueVolbloque = 0.6(γagua)(200) γagua *Voldesalojado = (γagua)(120) Voldesalojado = 120 cm3 (volumen que se eleva) Vol. inicial = πh3/3 = π(10)3/3 = 1047.2 cm3 Vol. final = (1047.2 + 120) = 1167.2 cm3 Vol. final = 1167.2 cm3 = π(10+∆h)3/3
∆h = 0.368 cm.
3.117 La plataforma flotante tiene un cilindro de 1 m de diámetro sellado y hueco en cada esquina. La plataforma pesa 30 kN en aire y cada cilindro 1kN por metro de longitud. ¿Qué longitud (L) es necesaria para que la plataforma flote a un metro sobre la superficie del agua salada (γ = 10,000 N/m3)? La plataforma es cuadrada en planta.
Σ Fy = 0 -Wplat – W4cil + E4cil = 0 -30,000 – 4(1000)L + 4*10,000(π(1)2/4)(L-1) = 0
L = 2.24 m
3.124 Se va a utilizar un globo para transportar instrumentos meteorológicos a una elevación de 15,000 ft, donde la presión del aire es 8.3 psia. El globo se va a llenar de helio, y el material con que se fabrica el globo pesa 0.01 lb/ft2. Si los instrumentos pesan 10 lb, ¿qué diámetro debe tener el globo esférico?
Debemos calcular cuanto sería la densidad del aire y el
helio en esas condiciones (ρ = P/(RT)) para encontrar el peso del gas en el globo como el empuje del aire
Como no sabemos la temperatura utilizamos la
ecuación T = To - α(z-zo) ya que el globo se encuentra en la tropósfera.
Al nivel del mar (zo) la temperatura (To) es 73 °F
(73+460) = 533 °R El gradiente de temperatura(α) es 0.003221 °F/ft ó °R/ft
Entonces encontramos la temperatura: T = To - α(z-zo) = 533 – (0.003221)(15,000-0) T = 485 °R
La densidad del aire es entonces: ρ = P/(RT) = 8.3psi*(144psf/psi)/(1715*485) ρaire = 0.001437 slugs/ft3
La densidad del helio es entonces (las presiones interna y externas están equilibradas): ρ = P/(RT) = 8.3psi*(144psf/psi)/(12429*485) ρhelio = 0.000198 slugs/ft3 .
ΣFy = 0 FB – Winsturmento – W(globo+helio) = 0 FB = (ρaire g)Volglobo FB = 0.001437(32.2)*πD3/6 Winsturmento = 10 lb Wglobo = (0.01 lb/ft2)*(Asuperf.Globo) = (0.01 lb/ft2)*(πD2)
Whelio = (ρhe g)Volglobo = 0.000198(32.2)*πD3/6 Regresando a ΣFy = 0: 0.001437(32.2)*πD3/6 -10 - (0.01 lb/ft2)*(πD2) - 0.000198(32.2)*πD3/6 = 0
D = 8.35 ft