12 belles histoires de pavages

12 belles histoires de pavages !

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Une initiative de la

avec la collaboration scientifique de Thomas Fernique

Onze pavages archimédiens Ayant eu à refaire le sol de votre cuisine, vous avez opté pour un joli carrelage par octogones et carrés. Vous avez en fait réalisé un pavage archimédien, c’està-dire un recouvrement du plan par des polygones réguliers convexes tel qu’autour de chaque sommet il y a le même agencement de polygones. Ici, chaque sommet est en effet entouré d’un carré et de deux octogones. Il n’existe que onze pavages archimédiens, dont les plus connus sont le classique carrelage carré ou les tomettes hexagonales.

Si vous cherchez à paver votre sol avec des pentagones, vous vous rendez vite compte que c’est impossible avec un pentagone régulier (convexe). Déformezle jusqu’à obtenir un pentagone (toujours convexe) qui pave : vous avez trouvé un pavage pentagonal ! On en connaît quinze à ce jour, découverts entre 1918 et 1983, sauf le dernier, en 2015. Quatre sont dus à Marjorie Rice, une « amatrice » sans formation mathématique supérieure. Trouverez-vous le prochain ?

© Pegg, Baldomir - Fotolia.com Ed Jr. CC BY-CA

Quinze pavages pentagonaux... ou plus ?

Dix-sept groupes de papier peint Martin von Gagern CC BY-SA

On peut décorer une surface plane en répétant un motif de base dans deux directions, formant ainsi un pavage périodique. Mais un joli pavage a bien souvent des symétries supplémentaires : translations, rotations ou réflexions qui le laissent inchangé. Ces transformations forment ce qu’on appelle son groupe de papier peint : elles permettent de l’engendrer à partir d’un motif de taille minimal (le domaine fondamental). Fedorov a montré en 1891 que malgré l’infinie variété des pavages décoratifs, il n’y a que dix-sept groupes de papier peint différents.

Un noble puzzle Au début des années 1970, le physicien et mathématicien britannique Roger Penrose conçoit (et brevette) deux pièces de puzzle qui, disponibles en quantité illimitée, permettent de recouvrir le plan entier, mais sans jamais qu’un motif de base ne se répète régulièrement selon deux directions. Il s’agit d’un pavage apériodique ! La simplicité et la beauté de ce pavage lui ont assuré une gloire certaine, allant de la modélisation des quasicristaux au design de papier toilettes. Et il n’est pas étranger au fait que son inventeur ait été anobli par la Reine d’Angleterre !

Les maths qui se dilatent

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Prenez un rectangle, dilatez-le pour doubler sa taille et divisez-le en quatre nouveaux rectangles de la même taille que celui de départ. Ce procédé, appelé substitution, peut être itéré sans fin jusqu’à obtenir un pavage du plan entier par des rectangles. Il confère au pavage obtenu une invariance d’échelle qui garantit son apériodicité. Le pavage de Penrose peut être obtenu de cette façon - et c’est d’ailleurs ainsi que Sir Roger Penrose a montré que son puzzle avait une solution.

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Des puzzles-ordinateurs

Les premiers ordinateurs sont apparus à la suite de modèles théoriques de calcul comme la machine de Turing (due au Britannique Alan Turing en 1936) ou les automates cellulaires (dus au Polonais Stanislaw Ulam et au Hongrois John von Neumann dans les années 1940, même si certains coquillages tropicaux ne les ont pas attendus - comparez ci-contre le cône textile et l’automate Rule 30). Or les pavages du plan peuvent simuler ces modèles : l’espace de calcul est codé horizontalement et le déroulement temporel du calcul, verticalement. De véritables puzzle-ordinateurs !

Richard Ling CC BY-SA

Multiplications sans fin En 1995, le Finnois Jarkko Kari découvre un ensemble de seulement quatorze tuiles carrées à bords colorés qui, disposées de sorte que les côtés adjacents aient la même couleur, forment uniquement des pavages apériodiques ne pouvant être obtenus ni par substitution ni en coupant un espace de dimension supérieure. En effet, les lignes de ces pavages codent des nombres réels, qui sont multipliés par 3 ou divisés par 2 d’une ligne à l’autre.

Comme il n’existe pas d’entiers p et q tels que 3p = 2q, on ne retombe jamais deux fois sur la même ligne !

Indécidabilité Au début des années 1960, l’Américain Hao Wang cherche un algorithme permettant de décider si un jeu de tuiles fini, chaque tuile étant en quantité illimitée, peut paver le plan.

Son étudiant Robert Berger montre peu après que cet algorithme n’existe pas. Le problème est donc indécidable. En fait, il y a là encore un lien avec les machines de Turing. En effet, un tel jeu de tuiles simulerait au moins une machine de Turing. Or un puzzle qui simule une machine de Turing permet de paver le plan si et seulement si cette machine ne s’arrête jamais. Et une machine de Turing qui ne s’arrête jamais, c’est un problème indécidable !

Le pavage qui valait deux millions Paver le plan entier est certes un problème indécidable, mais quid si l’on se restreint à une zone finie ? Au pire, il suffit d’essayer toutes les possibilités !

C’est ce qu’ont dû se dire tous ceux qui ont (en vain) tenté de résoudre le puzzle Eternity II, qui comporte seulement 256 pièces mais dont la résolution était dotée d’un prix de deux millions de dollars. Le nombre de façons de poser les pièces a en effet à peu près autant de chiffres que ce texte a de caractères... Et les mathématiciens sont presque sûrs qu’il n’existe rien de mieux à faire que d’essayer chaque combinaison !

Le théorème du cercle arctique Compter les pavages ne sert pas seulement à faire des puzzles. Certains matériaux sont en effet modélisés par des pavages et on voudrait savoir si un pavage choisi au hasard parmi les combinaisons possibles a une propriété typique, c’est-à-dire vraie avec une grande probabilité. Un des exemples les plus frappants est celui des pavages par calissons (ou empilements de cubes dans une boîte) : la probabilité d’observer un cercle (arctique) en dehors duquel les calissons sont toujours dans la même position (gelés) grandit avec la taille du pavage !

Marche aléatoire sur des pavages Afin d’étudier les propriétés typiques des pavages, on peut vouloir savoir en tirer un au hasard. Une méthode simple consiste à effectuer une marche aléatoire sur tous les pavages possibles, en passant d’un pavage à l’autre par une modification élémentaire. Choisir un pavage aléatoire revient alors à marcher assez longtemps pour se perdre. Toute la question est de savoir combien de temps ! Le même problème se pose d’ailleurs pour mélanger un Rubik’s cube (ou un paquet de cartes) : combien de rotations (ou de passes) faut-il effectuer pour qu’il soit « bien mélangé » ?

Booyabazooka CC BY-CA

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