Tutorial de Matemáticas

EL MUNDO MÁGICO DE LAS MATEMÁTICAS.

Porque las matemáticas son sencillas si tú lo decides, solo tienes que creer en ti.

Elaborado por: Claudia Merary Figueroa González. .

2013 Vive las matemáticas.

Una función es cuando los elementos del dominio se relacionan con un solo elemento del contra domino o codominio.

Seguramente te estarás preguntando, de que me esta hablando, para que se aclaren mas tus dudas enseguida se muestra un ejemplo de una función y de lo que no es una función en forma de diagrama: Pastel.

Si es función

Sabor.

Fresa

1

Chocolate

2

Vainilla

3

Piña

4

Zarzamora

5

Dominio

Pastel.

Contra dominio O Codominio

No es function.

Sabor.

1

Fresa

2

Chocolate

3

Vainilla

4

Piña

5

Zarzamora

En la función se dice que su imagen es la relación que existe del dominio y el contra dominio, y a el conjunto de imágenes se le llama rango que en la mayoría de los casos son los mismos valores del contra dominio.

Por ejemplo: A

Dominio

B

1

a

2

b

3

c

4

d

Imagen Rango Imagen

Contra dominio

Generalmente a la función se le conoce mediante una regla de correspondencia que suele ser Y=F(X) donde los valores de y son del contra dominio, F representa la función y los valores de X son del domino.

Una funci贸n se puede representar mediante: Una oraci贸n: A cada n煤mero entero, del uno al cuatro se le asocia su doble.

Un diagrama: A

B

Amor

Amiga

Amistad

Mama

Dominio.

Imagen Imagen

Rango

Contra dominio.

Una tabla: X Y

1 2

2 4

Por pares ordenados:

2=2(1), 4=2(2), 6=2(3)

4 8

Una grafica:

(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)

Por una ecuaci贸n: Y=2x

3 6

y

x

Funciones continuas y discontinuas.

Las funciones continuas se describen como aquellas graficas que se pueden trazar sin despegar el lรกpiz del papel, por lo tanto las funciones discontinuas son en las que se traza la grafica despegando el lรกpiz del papel.

Para ser mรกs claros a continuaciรณn se muestran algunos ejemplos de cada funciรณn.

Funciones continuas.

Funciones discontinuas.

Una funci贸n inyectiva es cuando un elemento del rango o imagen se asocia con solo un elemento del dominio.

Por ejemplo: Zapatos.

Si es

Color.

1

Azul

2

Negro

3

Rojo

Dominio.

Contra dominio.

No es 1

Azul

2

Negro

3

Rojo

Dominio.

Contra dominio.

La función sobreyectiva es cuando el rango y el codominio son iguales.

Por ejemplo: Helado.

Si es

Sabor.

1

Fresa

2

Vainilla

Rango.

3

Dominio.

Contra dominio.

No es 1

Fresa

2

Vainilla

Rango.

3

Dominio.

Contra dominio.

Una función biyectiva es cuando al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva.

Dominio

Azul

Camisa

Naranja

Suéter

Verde

Pantalón

Café

Blusa

Rango.

Contra dominio

Antes de continuar hablando de funciones, tienes que saber identificar el nombre y el comportamiento de las siguientes graficas.

Y=X Es la función identidad y da como resultado una recta.

Y= -X Nueva mente es la función identidad da como resultado una recta, a diferencia de la anterior cambia de posición por el signo negativo.

Y=X² Esta es la función cóncava o cuadrática la cual da como resultado una parábola que abre hacia arriba.

Y= -X² Esta función es cóncava o cuadrática y da como resultado una parábola que abre hacia abajo por el signo que lo caracteriza.

Y=X³ Esta función se llama cubica que da como resultado la siguiente figura.

Y= -X³ Esta función es cubica que da como resultado la siguiente figura que se encuentra invertida a la de arriba esto se debe a su signo.

Y=|X| Es la funci贸n valor absoluto que tiene como resultado la siguiente figura que abre hacia arriba.

Y=|-X| Es la funci贸n valor absoluto que tiene como resultado la siguiente figura que abre hacia abajo por su signo.

Y= Esta funci贸n se llama ra铆z cuadrada que de como resultado la siguiente figura.

.Una función creciente es cuando al aumentar el valor de x aumenta el valor de Y. Un ejemplo son: Y

Y

X X

Una función decreciente es si al aumentar el valor de X disminuye el valor de Y. Un ejemplo son:

Dato interesante: Para saber si una grafica es una función se puede trazar una línea vertical imaginaria si esta toca solo un punto quiere decir que si es una función, si toca dos o mas puntos se puede decir que no es una función.

Existen dos tipos de translación, la vertical y la horizontal.

Para identificarlas es muy sencillo solo tienes que prestar atención a su regla de correspondencia.

Comenzare por explicar la traslación vertical con un ejemplo muy sencillo.

Tenemos la siguiente función F(x)= X²+3 en ella podemos notar que es una parábola la cual abre hacia arriba ahora la traslación es muy sencilla solo fíjate en el +3 nos esta indicando que la función se va a trasladar tres puntos hacia arriba ya que es positiva.

Y quedara así: y

X

Por otra parte para la traslación horizontal también hay que prestar mucha atención en su regla de correspondencia siguiendo con el ejemplo anterior tenemos que F(X) =(X²+3)

Donde podemos ver que es una parábola que abre hacia arriba por su signo.

Seguramente te estarás preguntando pero que tiene de diferente?

Pues es muy fácil se encuentra entre paréntesis lo que nos indica que se va a trasladar al punto -3 en el eje de las X, no te confundas cuando lo encuentres en paréntesis el signo cambiara si es positivo pasara negativo y así según sea su caso.

Por lo tanto nuestra grafica nos quedara así:

Y

X

Antes de comenzar este tema tienes que saber que es una función polinomial.

Una función polinomial es cuando la regla de correspondencia de una función la podemos escribir con un polinomio en una variable es decir cuando se escribe como la siguiente expresión: anXn + an1 − 1Xn − 1…...

Para ser más clara a continuación, se hablara más a fondo sobre estas funciones:

Si un polinomio tiene solo un término independiente se dice que es una función polinomial de grado cero. Se mantiene constante. Su formula general es F(X)=a0 Por ejemplo: f(x) =2

Las funciones polinomiales de grado uno son aquellas que se representan por una recta que va hacia arriba o hacia abajo dependiendo su caso. Su formula general es F(X) =a1X+a0.

Un ejemplo de ella es: F(x) =2x+1

Dato curioso: para graficar una funci贸n cuando solo te dan la regla de correspondencia solo hay que tabular. Ejemplo: F(X) =2X+3 2(-3) +1 2(-2) +1 2(-1) +1 2(0) +1 2(1) +1 2(2) +1 2(3) +1

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y -5 -3 -1 0 3 5 7

A una función polinomial de grado dos también se le llama cuadrática y se caracteriza por dar como resultado una parábola. Por ejemplo: F(X) =-x²+3

A esta función también se le conoce como cubica en ella se pueden ver los puntos mas a fondo.

Generalmente esta funci贸n se caracteriza por tener la siguiente expresi贸n.

Y su forma es:

Dato curioso: Las funciones polinomiales se pueden identificar por sus exponentes por Ejemplo: F(X)=X鲁+5 Esta funci贸n es de grado tres.

Cuando escuchas decir “una raíz de un polinomio” se refieren a aquel numero que si lo sustituyes en una variable teda igual a cero.

Aquí te enseñare tres formas que puedes utilizar para obtenerla, ya que por lo general en un problema te piden que encuentres 3 raíces y si ese no es tu caso por lo menos te servirá para que encuentres la forma mas rápida de obtenerla.

El primer paso es identificar el polinomio X³+2X²-4X-8 Posteriormente lo sustituimos con un número al asar.

Comenzaremos con el 1 (1)³+2(1)²-4-8 Haciendo la operación nos queda de la siguiente manera.

1+3-4-8= -8 Por lo tanto este número no es raíz del polinomio ya que no da cero.

Entonces seguimos con el 2 (2)³+2(2)²-4-8 Haciendo la operación nos queda de la siguiente manera 8+8-8-8= 0 Por lo tanto este número si es raíz del polinomio ya que si da igual a cero.

Finalmente tenemos que X1= 2

Es cierto que esta forma parece ser complicada pero en realidad es más sencilla de lo que parece solo presta atención.

Tomando el ejemplo anterior el resultado final fue X1= 2 Por lo tanto nuestra división quedara así 1.- se invierte el signo.

x-2 2.- X³ se divide entre X y da:

X²

x-2

÷ 3.- El resultado se multiplica por X y luego por -2 se cambia el signo.

X²

* x-2 -

+

4.- Se hace la resta o suma correspondiente.

X²

x-2 -

+ 0³ + 4x²

5.- Se repite el proceso anterior (del 2 al 4) pero ahora con 4X².

X² + 4X

x-2 -X³ + 2X² 4X² -4X² + 8X 6.- Y por ultimo se repite el proceso con 4X

X² + 4X + 4

x-2 -X³ + 2X² 4X² -4X² + 8X + 4X -4X + 8 0

Este proceso nos permitió ver que el resultado nos da 0 y nos dio tres datos importantes para la siguiente raíz pero eso sera más adelante, ya que en este momento veremos una forma más sencilla de resumir lo que hicimos anteriormente obteniendo el mismo resultado con la:

Tenemos que X³+2X²-4X-8 es nuestro polinomio. y nuestro resultado anterior fue X1= 2 Ahora quitamos las variables y pasamos el número con su signo y nos queda así.

0+2-4-8

Ponemos el número entre el que vamos a dividir.

1+ 2- 4- 8 2

Lo siguiente es bajar el primer número tal como esta, y luego este se multiplica por el dos y el resultado se coloca debajo del que sigue.

1 + 2- 4- 8 2 1

=2

*

Se elabora la suma.

1+ 2- 4- 8 +2 1+ 4

2

Y repetimos el mismo procedimiento pero ahora con el cuatro lo que nos quedara 4*2 y el resultado se pone debajo del – 4 y se realiza la suma.

1 + 2- 4- 8 + 2+8 1 + 4 -4

= 2

* Por ultimo se repite nuevamente el procedimiento con el 4 lo que nos quedara 4*2 el resultado se coloca debajo de el ocho y se realiza la suma.

1 + 2- 4- 8 + 2+8 +8 1 + 4 +4+0

= 2

* Finalmente podemos ver que queda el mismo resultado que en la división anterior y es más rápida y sencilla

RESULTADO FINAL PASANDOLO CON VARIABLES

X²+4x+4 y nos da igual a 0

La ultima forma puede ser por medio de factorización o por la formula general que es la que tomaremos en este caso.

Para recordar la formula general es la siguiente.

Ahora el resultado que obtuvimos de la división anterior fue: X² + 4X + 4 Los que nos esta proporcionando los tres datos para sustituir en la formula. a=1 b=4 c=4 Solo queda sustituir.

2(1)

2

Una vez terminando tenemos nuestras tres raíces: X1=2 X2=-2 X3=2

-4 – 0 2 -2

Dato curioso: la multiplicidad de la raíz es cuando un polinomio tiene dos o más raíces igual es. Un ejemplo es: F(x)= (x-3) (x-3) (x-5) en este caso su multiplicidad es 3 ya que se repite dos veces.

Una recta puede llegar a ser asíntota cuando la distancia entre la grafica y la recta es cada vez pequeña ósea cuando está más cerca de ella pero nunca toca el 0.

La formula o regla de correspondencia que emplea es: F(x) =

Un ejemplo de ella es:

Una función exponencial tiene como forma y = Donde si a es mayor que 0 la grafica se encontrara arriba del eje x y su dominio serán los números positivos.

Si a es menor que 0 la grafica se encontrara abajo del eje x y su dominio serán los números negativos.

Pero si M es 1 la función cambia a una forma más simple: F(x)= Donde a es la base de la función exponencial y no puede ser negativa.

Un ejemplo de una función exponencial podría ser: F(X) =

Es bueno saber como créese una inversión o una deuda para esto aquí te mostrare la formula y el desarrollo de como puedes calcular el monto del crecimiento:

MF= MI (1+I )ⁿt n Donde: mf= monto final mi= monto inicial i= tasa de interés n= número de veces que reinvertimos nuestra capital por año (semestral n=2, trimestral n=4 etc.) t= tiempo número de años que dura.

Por ejemplo: Supongamos que invierto 1000 a una tasa de 6% durante 5 años el interés se compone cada trimestre, cual es el monto final?

MF= 1000(1+ .60)4(5) 4 MF=1000(1+ 0.015) 4(5) MF=1000(a.015) 4(5) MF=1000(1.015)20 Mf=100081.346855007) MF=1346.855007

La funciĂłn exponencial natural tiene como forma

Su base es el nĂşmero e el cual aproximadamente es 2.71828 aunque es un nĂşmero finito como su domino son todos los reales y su rango son todos los reales positivos.