Percurso Livre - Fortalecendo Cálculos by frm

PERCURSO LIVRE Fortalecendo Cálculos

Matemática – Ensino Fundamental

1º ENCONTRO

Operações básicas da Matemática, 9

2º ENCONTRO

Razão e proporção, 29

3º ENCONTRO

Equações e outras expressões algébricas, 51

4º ENCONTRO

Triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras, 71

5º ENCONTRO

Áreas de figuras planas, 85

Professor, professora, Neste caderno, vamos relembrar conceitos e fortalecer os assuntos considerados complicados pelos estudantes. Vamos sugerir maneiras de abordar esses assuntos de forma agradável e de fácil compreensão, dialogando com o objetivo do Percurso Livre em que o entendimento da linguagem matemática se dá por aplicações práticas e lúdicas, partindo de conhecimentos informais que permeiam nossa vida diariamente. A cada encontro, vamos tratar de vários assuntos, que estão interligados e, para cada um destes, vamos apresentar uma proposta de jogo. Este terá a finalidade de mobilizar a turma e propiciar uma sondagem informal a respeito dos conteúdos a serem desenvolvidos. Conversando a respeito do jogo, vamos introduzir questões matemáticas, seguidas de atividades para a fixação e a avaliação do conteúdo apresentado. Os jogos serão pontos de partida para diálogo com questões desenvolvidas nas Olimpíadas Brasileiras de Matemática (OBMEP). Isto porque a proposta adotada na elaboração das provas entra em consonância com a proposta do Percurso Livre, que é desenvolver, no estudante, sua autonomia e suas capacidades reflexiva e crítica, fundamentais para o ingresso no Ensino Médio. Aqui, você encontrará sugestões de atividades para serem trabalhadas em cinco encontros. Nós oferecemos as ideias, mas só você pode garantir que seja preservado o clima de prazer em cada um desses módulos. Vamos em frente!

O caderno Percurso Livre de Matemática do Ensino Fundamental está estruturado da seguinte forma: A seção Primeiras palavras, como o nome já diz, é uma conversa inicial, uma apresentação dos assuntos que serão revisados no encontro. Não é uma atividade para os estudantes e, sim, uma instigação para você, professor(a). Sugerimos que este texto seja lido antes da preparação de sua aula. Pense nestas informações como uma ferramenta que vai auxiliá-lo na construção de um cenário, na construção do seu planejamento de aula. Estabelecido o foco do encontro, você poderá organizar o trabalho passo a passo. Vamos dividir o encontro por assuntos e todos irão conter as seções: Apresentação do assunto é uma fala para “preparar o território”. Por que é importante conhecermos esse conceito? De onde surgiu? A que podemos relacionar? Informações e curiosidades para criar um cenário que aproxime e envolva nossos estudantes. Jogo é uma atividade para esquentar a turma. É uma forma de motivação, uma dinâmica em que a matemática está presente, mas não é evidente. É comum ouvirmos de pessoas de todas as idades a frase “Eu não entendo nada de matemática”. Mas não percebemos que todos nós usamos o pensamento matemático diariamente nas atividades do nosso cotidiano, seja calculando o troco ou a que horas precisamos acordar para chegar pontualmente na escola ou no trabalho. Todos nós sabemos pelo menos um pouco de matemática. Durante o jogo, você poderá observar o quanto os estudantes já conhecem ou aplicam o conteúdo a ser abordado, sem que tenham, no entanto, um conhecimento formal a respeito deste conteúdo. E esse conhecimento pode ser resgatado, ampliado e formalizado de maneira divertida e dinâmica. Do jogo à matemática é um momento para mostrar que pensamentos matemáticos estão presentes na dinâmica realizada. Por exemplo, ao cozinhar, seguindo uma receita ou não, o cozinheiro precisa pensar em porcentagens. Em um jogo, como Batalha Naval, é preciso pensar em organização e interpretação de tabelas. Em um jogo de cartas, em probabilidades. Já em um jogo de futebol, precisamos pensar em Geometria... Mas será que todos se lembram disso enquanto estão jogando ou cozinhando? Você lembra? Essa seção é para você, professor(a). Aqui você vai poder relacionar os conteúdos do encontro com as aulas do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental), facilitando, assim, o entendimento dos estudantes sobre a revisão dos conteúdos abordados. Desafio. Essa é a hora de exercitar! Vamos, em cada assunto, propor exercícios que seguem a proposta da OBMEP. Todos os desafios

vão conter uma fala para você, professor(a), com comentários e soluções, passo a passo, a fim de aproximar ainda mais os conteúdos da realidade dos estudantes.

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1° Encontro

Operações básicas da Matemática

Primeiras palavras Professor(a), neste encontro apresentaremos assuntos fundamentais para a organização do pensamento matemático como a resolução de cálculos envolvendo adição, subtração e multiplicação; problemas expressos por enunciados escritos, que envolvam a adição e a subtração, em situações relacionadas aos seus diversos significados; e problemas significativos, usando MMC e MDC entre números. Apresentando estes assuntos aos estudantes, lembre-se de mostrar que estes, além da sua importância na matemática, são também fundamentais na nossa vida.

Princípio fundamental da contagem Apresentação do assunto Diferentemente dos outros habitantes do nosso planeta, o ser humano, num dado momento, passou ter a necessidade de contar, de medir, de calcular. E, principalmente, de organizar estes conhecimentos para que fossem disponibilizados e transmitidos para todos. Esta noção facilitou em muito a sobrevivência da espécie humana. A organização de sistemas de contagens foi o primeiro passo para observar sempre o acréscimo ou a falta de elementos, por maiores que fossem as quantidades. E, a partir de um dado momento, para facilitar as contagens, foram criadas operações matemáticas que relacionam estes elementos contados entre si de forma mais objetiva, evitando a trabalhosa e demorada contagem de um em um. Vários povos diferentes da Antiguidade criaram o seu próprio sistema de numeração. O sistema usado pelos romanos, dois mil anos atrás, mesmo não sendo de uso corriqueiro, ainda é usado até hoje em alguns casos especiais. Por exemplo, estudando a História, você pode observar que muitas datas são escritas utilizando este sistema. No sistema nu-

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mérico utilizado hoje, agrupamos elementos de 10 em 10. E, além disso, usamos símbolos especiais chamados de algarismos para representar estes elementos. Este é um sistema que recebe o nome de decimal.

Jogo Organizando fichas O objetivo deste jogo é o de chamar a atenção dos estudantes, de forma lúdica e concreta, para a organização de um processo de contagem e agrupamento de qualidades.

Descrição Peça que a turma se coloque em círculo. Mostre aos estudantes um punhado de fichas na sua mão, um prato de louça e uma caixa de papelão. No centro deste círculo coloque o prato. Peça que um estudante coloque uma venda nos olhos. Mostrando o prato vazio no centro da roda, pergunte ao estudante que está com os olhos vendados: Quantas fichas existem aqui dentro? Usando o tato, o estudante deverá responder à pergunta feita.

A resposta será algo como: "nenhuma ficha", o prato está vazio.

Peça que o estudante tire a venda dos olhos. Confirme a percepção realizada pelo tato: nenhuma ficha dentro do prato. Peça que outro estudante coloque a venda nos olhos. Agora, pegue uma das fichas e coloque, silenciosamente, dentro do prato. Em seguida, refaça a pergunta ao estudante de olhos vendados: E agora, quantas fichas existem aqui dentro?

A resposta será: uma ficha. Representamos esta qualidade pelo símbolo 1.

Sem a venda nos olhos, confirme a percepção realizada pelo tato: uma ficha dentro do prato. Novamente, peça que outro estudante coloque uma venda nos olhos. Retire a ficha anterior deixe cair, uma a uma, duas fichas dentro do prato. Pedindo ao estudante vendado que não utilize o tato para

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fazer a verificação (e sim a audição), pergunte: E agora, quantas fichas existem dentro do prato?

A resposta será: duas fichas.

A partir deste momento, sistematize o procedimento para dar continuidade ao jogo. 1. A cada rodada, substitua o estudante de olhos vendados. 2. Retire as fichas anteriores do prato. 3. Adicione a nova quantidade de fichas, sempre somando de uma em uma e alterne a forma de contagem, ora pelo tato, ora pela audição. Chegando ao número de cinco fichas, sem nenhum estudante de olhos vendados, coloque as fichas dentro de uma caixa, e esta dentro de um prato.

Siga com o procedimento sistematizado anteriormente, mantendo a caixa dentro do prato. Coloque fichas no prato, uma a uma e juntando 5 fichas dentro do prato (junto com a caixa), coloque-as em outra caixa.

Siga com o procedimento sistematizado anteriormente, utilizando caixas cheias de fichas (com 5 fichas dentro) e fichas soltas. Siga jogando até a quantidade de três caixas.

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Do jogo à matemática Em seguida, professor, mostre para os estudantes que, a partir de um processo semelhante, foi montado o sistema decimal por nós utilizados. Mostre o "0", que significa "nenhuma ficha", mostre os outros algarismos, significando uma contagem crescente até o 9 (no caso do jogo, arbitrariamente, agrupamos de 5 em 5 fichas). Mostre o 10 representando o momento do jogo onde tínhamos uma caixa cheia de fichas e nenhuma ficha fora da caixa. Mostre o 11, representando o momento em que tínhamos uma caixa cheia de fichas e uma ficha fora. Siga o raciocínio mostrando aos estudantes que, no sistema decimal, quando completamos uma caixa cheia de fichas, recomeçamos a contar as fichas do lado de fora, uma a uma e passamos a contar também o número de caixas cheias. Para representar a quantidade de caixas cheias, usamos os mesmos algarismos já conhecidos. Porém, para que as representações não sejam confundidas, para que saibamos exatamente se a representação se refere a uma quantidade de fichas ou de caixas, colocamos estes algarismos em posições diferentes para formar um novo símbolo.

Você lembra? Aproveite este momento para observar como uma criança conta: você se lembra da expressão "contar nos dedos"? E das parlendas para tirar sorte, como a "uni du ni tê"?. Estas brincadeiras inocentes de criança são formas de contagem. São brincadeiras populares para, gradativamente, apresentar este conceito para os mais novos. A aula 2, Números do nosso dia a dia e a aula 3: Nosso sistema de numeração do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) abordam este assunto, mostrando o passo a passo necessário para resolver cálculos envolvendo operações de adição, subtração e multiplicação. Lembrar aos estudantes que calcular é uma palavra derivada de cálculo, que quer dizer pedra, uma referência à contagem de pedras, nossa primeira forma de realizar uma operação de soma / subtração.

Desafio 1) Para comemorar seu noivado, João abriu um pacote com 60 chocolates para distribuir entre os amigos convidados. Separou 12 para os que não puderam comparecer ao encontro e, com o restante, fez 12

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trouxinhas com número igual de chocolates para os que ali estavam. Quantos chocolates cada um dos convidados presentes ganhou?

Comentário Este desafio pode ser resolvido fazendo a contagem de bombom por bombom, amigo por amigo. Certamente, chegaremos a uma resposta correta, embora de forma trabalhosa e demorada. Mas podemos aplicar uma operação matemática para facilitar esta contagem e para sermos mais rápidos e seguros.

Solução Matematicamente falando, a expressão "separou 12 para...", dita no enunciado, significa substrair 12 unidades de um total. Assim, podemos logo saber quantos chocolates foram distribuídos entre os convidados presentes. 60 – 12 = 48. Temos então 48 chocolates para distribuir entre os convidados presentes. Temos então 48 chocolates para agrupá-los em 12 trouxinhas. Para descobrir quantos chocolates teremos em cada trouxinha, podemos distribuí-los um a um, até que se esgotem os chocolates. Mas utilizando a operação de multiplicação, obtemos a mesma resposta fazendo a seguinte pergunta: qual o número que multiplicado por 12 tem 48 como resposta? Chegamos assim ao 4 pois, 4 x 12 = 48. A resposta é: 4 chocolates. Observe este desafio bastante semelhante a um registrado no “Banco de questões” da 7ª OBMEP 2011, nível 1. 2) Lúcia deixou sua mochila cair no chão e, quando foi usar a calculadora, descobriu, por acaso, que a tecla do zero não estava funcionando. Primeiro, tentou somar 7 + 3. E o resultado que apareceu no visor de sua máquina era 1. Resolveu fazer mais um teste teste multiplicando 5 por 6. E não é que apareceu um 3 como resposta? Interessada em mais um teste, Lúcia digitou outros dois números, desta vez de dois algarismos. A operação de multiplicação entre estes números resultou 11 no visor.

Comentário Para resolver este problema, temos de trabalhar com resolução de cálculos envolvendo adição, subtração e multiplicação. Antes de resolver o cálculo, é importante observar o valor posicional dos algarismos e limitar as possibilidades em função da localização dos possíveis números formandos no sistema de contagem.

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Solução Primeiro passo: Se os números utilizados possuem dois algarismos, o menor número formado pelos dois será 11 x 11 = 121 e o maior será 99 x 99 = 9801. Isso significa que o número que procuramos está entre os números 121 e 9801. Segundo passo: Como já aparecem dois algarismos (11) na tela, temos que procurar as possibilidades de incluir o zero, montando, com estes dois, números entre 121 e 9801. Terceiro passo: Encontramos assim os seguintes números: 1001, 1010 e 1100. Quarto passo: Descobrir que multiplicação entre dois números tem como resultado uma das três opções acima, ou seja, temos que descobrir que números formam esta operação. Se os estudantes já sabem, para ser mais rápido e facilitar, podemos calcular todas as possibilidades rapidamente. Mas vamos por partes. Quais os dois números de dois algarismos que multiplicados entre si resultam em 1001? 11 e 91.

Resposta Logo, na primeira tentativa, descobrimos uma das possibilidades: 11 e 91 são dois dos possíveis números que Lúcia digitou.

A adição e a subtração Apresentação do assunto Operações matemáticas são formas e regras para realizar agrupamentos e contagens de maneira mais fácil. A operação de soma, também chamada de adição ou conta de mais, representada pelo sinal (+), é a operação que junta elementos para agrupá-los num conjunto maior. Esta operação criou regras para que este ‘ajuntamento’ acontecesse de forma a facilitar a contagem de um em um. A operação de subtração, também chamada de "conta de menos", representada pelo sinal (-), se desenvolve da mesma forma que a operação de adição. Na verdade, somar ou subtrair faz parte de uma mesma contagem. Diferem apenas porque, no caso da soma, contamos "a mais" e, no caso da subtração, contamos "a menos". Estas duas operações nasceram da mesma observação do pastor que, para cada nova ovelha chegada ao seu rebanho, acrescentava uma pedra dentro de sua sacola. E, para cada ovelha negociada desgarrada do rebanho, retirava uma pedra.

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Jogo Vamos propor um jogo bastante simples: uma brincadeira chamada "adedanha". Porém, ao invés de contarmos os dedos de um em um, temos que fazer a conta somando os grupos de dedos de cada uma das mãos.

Primeira fase Quatro estudantes em círculo, todos se olhando de frente, mãos escondidas para trás onde cada um ‘esconde’ uma quantidade de dedos. Ao sinal combinado, mostram as mãos ao mesmo tempo. Ganha a rodada o primeiro que somar de cabeça a quantidade de dedos apresentada.

Segunda fase Continuamos com quatro estudantes, mesmo procedimento, porém: se a quantidade de dedos for apresentada com a palma da mão para baixo, a operação é a soma. Se a palma da mão ficar para cima, a operação é a subtração.

Do jogo à matemática A partir do jogo, professor, mostre aos estudantes que, quando contamos os dedos, estamos realizando uma operação de ‘soma’ ou ‘subtração’ de dedos. Lógico, podemos sempre somar ou subtrair de um em um, mas, certamente é muito mais demorado. A sistematização destas operações aconteceu com o intuito de facilitar o processo de contagem.

Você lembra? Estes conteúdos são encontrados no livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) na aula 4: Somar e diminuir; na aula 5: A conta de mais; e na aula 6: A conta de menos. Neste momento, trabalhamos com a resolução de problemas, expressos por enunciados escritos, que envolvam a adição e a subtração, em situações relacionadas aos seus diversos significados (juntar e separar, acrescentar e retirar). As propriedades da adição são encontradas no livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) na aula 7: Somando de cabeça. Neste momento, professor, mostre aos estudantes que podemos somar quantidades agrupadas ou mudar a ordem dos números e o resultado será o mesmo. Veja os exemplos a seguir:

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Exemplo 1 1 + 1 + 1 = (1 + 1) + 1 = 2 + 1 = 1 + (1 + 1) = 1 + 2 = 3

Exemplo 2 1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1) + (1 + 1) = 2 + 2 = (1 + 1 + 1) + 1 = 3 + 1 = 1 + (1 + 1 + 1) =1+3=4 A propriedade da operação de adição que permite mudar a ordem dos termos, mantendo igual o resultado final, é chamada de comutativa. A propriedade da operação de adição que permite agrupar as parcelas de qualquer modo e somar o resultado destes agrupamentos, mantendo igual o resultado final, é chamada de associativa.

Desafio 1) Utilizando estas propriedades, monte a operação abaixo de outra forma (você já sabe que o resultado será o mesmo). Procure usar as propriedades de forma a facilitar a realização da operação para realizá-la ‘de cabeça’. 17 + 4 + 3 + 2 + 11 + 6 = 43

Solução a. Vamos aplicar a propriedade comutativa e mudar alguns números de lugar 17 + 3 + 6 + 4 + 2 + 11 = 43 b. Vamos aplicar a propriedade associativa e ‘juntar’ alguns números (17 + 3) + (6 + 4) + 2 + 11 = 43 20 + 10 + 2 + 11 = 43 30 + 13 = 43 Veja esta questão proposta na 1ª OBMEP 2005, 1ª fase, nível 1. 2) Marina, ao comprar uma blusa de R$17,00, enganou-se e deu ao vendedor uma nota de R$10,00 e outra de R$50,00. O vendedor, distraído, deu o troco como se Marina lhe tivesse dado duas notas de R$10,00. Qual foi o prejuízo de Marina?

Comentário Temos aqui dois caminhos bem interessantes para encontrar a solução deste desafio.

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Solução Faremos um ‘passo a passo’, refazendo todas as ações Marina. Vejamos: Marina deu ao vendedor 50 + 10 = R$60,00. A blusa custou R$17,00. O troco então deveria ser: 60 – 17 = R$43,00. Mas como o vendedor também se confundiu e imaginou ter recebido de Marina 10 + 10, deu o troco de R$3,00. Se Marina deveria receber um troco de R$43,00 e recebeu apenas R$3,00, o seu prejuízo foi de 43 – 3 = R$40,00. A resposta é R$40,00. No segundo caminho, vamos simplesmente observar que, se Marina e o vendedor confundiram o valor de uma nota de R$50,00 por R$10,00, independente do custo da mercadoria, a diferença causada pela confusão foi de 50 – 10 = R$40,00. A resposta é R$40,00. Outra questão semelhante foi apresentada na 8ª OBMEP 2012, 1ª fase, nível 1. 3) Na sua festa de aniversário, Maria fez uma enorme torta de morango. Dividiu a torta em 30 pedaços. Na festa, estavam presentes os 45 convidados. Porém, alguns não gostavam de morango e, depois de todos se servirem com uma fatia, sobraram ainda 4 pedaços de torta. 3.1. Quantos convidados de Maria não gostavam de morango?

Comentário Usaremos o conceito de subtração para resolver esta proposta (já que a pergunta é: quantos não comeram?).

Solução Primeiro passo: Observação dos dados: 30 pedaços de torta, 45 convidados, sobraram 4 pedaços. Segundo passo: Se sobraram 4 pedaços e tínhamos 30, foram consumidos 30 - 4 = 26 pedaços. Terceiro passo: Se eram 45 convidados e foram consumidos 26 pedaços de torta, quantos convidados não comeram? 45 - 26 = 19.

Resposta E esta é a resposta final: 19 convidados não gostavam de morango. 3.2. Por causa da festa, Maria acabou deixando sujar um dos seus cadernos com anotações e, no dia seguinte, teve que recuperar

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algumas informações. Vamos ajudá-la? a. Neste caso, os sinais das operações ficaram ilegíveis: quais seriam eles? 1. 6 ( * ) 6 = 0 2. 6 ( * ) 6 = 12 3. 6 ( * ) 6 ( * ) 6 = 6 4. 6 ( * ) 6 ( * ) 6 = 18

Solução a 1. Com qual a operação que relacionando 6 e 6 obtemos o resultado 0? 6 ( - ) 6 = 0 2. Com qual a operação que relacionando 6 e 6 obtemos o resultado 12? 6 ( + ) 6 = 12 3. Com qual a operação que relacionando 6, 6 e 6 obtemos o resultado 6? 6 + 6 (-) 6 = 6 4. Com qual a operação que relacionando 6, 6 e 6 obtemos o resultado 18? 6 (+) 6 (+) 6 = 18 b. E, neste caso, agora, faltaram alguns números... complete! 1. 3 + 19 - 7 - ( * ) = 0 2. 11 - 7 ( * ) 4 - 8 = 0

Solução b 1. Primeiro passo: observar que falta um número. Segundo passo: somar as quantidades positivas. 3 + 19 = 21 Terceiro passo: subtrair, deste total, a quantidade negativa: 21 - 7 = 14 Quarto passo: descobrir 14 -? = 0 ? = 14, ou seja, falta o número 14. 2. Primeiro passo: observar que falta um sinal de operação. Segundo passo: resolver as operações já definidas. 11 – 8 = 3 Terceiro passo: observar que, se o resultado final é 0, teremos que resolver a operação que falta tendo como resultado -3 (para que, 3 – 3 = 0) -7 ( + ) 4 = -3, ou seja, a Quarto passo: descobrir -7 ( ? ) 4 = -3. operação é ( + )

Múltiplos e divisores Apresentação do assunto A necessidade de utilizar a operação de multiplicação surgiu com a necessidade de somar agrupamentos iguais. Esta operação ajuda a resolver questões de contagem com grandes valores de forma bem mais rápida. Assim, ganhamos velocidade e tempo para a realização

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de cálculos mais sofisticados. Chamamos de múltiplos de um número os resultados da multiplicação deste número pela sequência dos números naturais. Por exemplo, para determinar os múltiplos de 6, devemos multiplicar o número 6 pela sucessão dos números naturais: 6x0=0 6x1=6 6 x 2 = 12 6 x 3 = 18 6 x 4 = 24 6 x 5 = 30 6 x 6 = 36 ... E assim por diante. Assim, os múltiplos de 6 são: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36… Um número é divisor de outro quando o resto da divisão entre os dois números for igual a 0, ou seja, quando a divisão for exata. Por exemplo: 36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36, ou seja, 36÷1 = 36 (sem deixar restos), 36÷2 = 18 (sem deixar restos), 36÷3 = 12 (sem deixar restos), 36÷4 = 9 (sem deixar restos), 36÷6 = 6 (sem deixar restos), 36÷ 9 = 4 (sem deixar restos), 36÷18= 2 (sem deixar restos) e 36÷3 6 = 1 (sem deixar restos). Dizemos, então, que 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36 são divisores de 36. Para facilitar aos estudantes fixar esta ideia, relacione múltiplos e divisores entre si: Por exemplo: se 20 é divisível por 5, então, 5 é divisor de 20; e 20 é múltiplo de 5.

Jogo Jogos das trovas Já na Grécia Antiga, oradores e poetas estudavam a métrica em versos para facilitar a organização do pensamento. Desde então, a fala rítmica tem sido uma das formas, matematicamente pensadas, para facilitar a compreensão de ideias e mensagens. Popularmente, a inclusão de sentenças matemáticas nesta forma de organizar a fala é uma das maneiras utilizadas para apresentar, aproximar e facilitar a compreensão de enunciados ou propriedades que envolvam números e suas operações.

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Descrição Apresente aos estudantes a trova popular abaixo: Sete e sete são quatorze, Com mais sete, vinte e um. Tenho sete namorados Não me caso com nenhum. Divida a turma em grupos e peça que cada grupo crie trovas usando uma sequência de múltiplos de um número entre 2 e 9. Veja outro exemplo: Seis mais seis são doze Com mais seis, dezoito Vou em sua casa Pra comer biscoito

Do jogo à matemática Usar trovas é uma das muitas maneiras utilizadas na cultura popular para que, falando ritmicamente, se passe um conteúdo adiante. Vocês se lembram de quando falamos de atividades lúdicas para apresentar conteúdos matemáticos aos mais novos? Criar trovas é uma brincadeira que pode servir perfeitamente a este propósito. A partir deste jogo, organizamos mentalmente o nosso pensamento para apresentar sentenças matemáticas a respeito de números múltiplos.

Você lembra? a. b. c. d.

Recorde as regras de divisibilidade. Todo número é divisível po1 e por ele mesmo. Todo número par é divisível por 2. Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 3. Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo for um 0 ou um 5.

Estes assuntos são apresentados na aula 21: Múltiplos e divisores, do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Aproveite as informações para complementar ou elaborar o seu planejamento de aula. Estes são conteúdos para resolver problemas significativos, usando MMC e MDC entre números.

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Desafio Veja um interessante desafio abordando este conteúdo, apresentado na 4ª OBMEP 2008 1ª fase, nível 2. 1) Daniel escreveu a lista, em ordem crescente, de todos os números inteiros de 1 a 100 que são múltiplos de 7 ou têm o algarismo 7. Os três primeiros números da lista são 7, 14 e 17. Quantos números essa lista possui?

Comentário Inicialmente, devemos observar que, com estas características, devemos procurar os números múltiplos de 7 entre 7 e 100 e os números que possuem o algarismo 7 na coluna das unidades ou na coluna das dezenas. Faremos então uma listagem das três possibilidades. Primeira lista, os múltiplos de 7 = 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 = 14 números. Segunda lista, os números com 7 na coluna das unidades: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 = 10 números. Terceira lista, os números com 7 na coluna das dezenas: 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 = 10 números.

Solução Fazendo a soma, temos total de 14 + 10 + 10 = 34 números. Porém, antes de dar o resultado final, podemos observar que o número 7 aparece na primeira e na segunda fila. Verificando se existem outros números repetidos, encontramos o 70, que aparece na primeira e na terceira listas e o 77, que aparece nas três listas. Temos, então, que descontar (diminuir) estes quatro números repetidos. A resposta final será 34 – 4 = 30. Veja outro exemplo tirado da 8ª OBMEP 2012, 1ª fase, nível 1.

1°

2°

3°

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2) Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Quantos palitos ela vai usar para construir o quinto triângulo da sequência? a. b. c. d. e.

36 39 42 45 48

Solução A solução deste desafio parte da observação de um dado bastante interessante: a cada passo, aumentamos uma fila com um triângulo a mais do que a anterior. Como o primeiro triângulo é formado por três palitos, o segundo será formado por: 3 + (2×3) = 9 palitos. O terceiro, por: 3 + 6 + (3×3) = 18 palitos, o quatro será formado por: 3 + 6 + 9 + (4×3) = 30 palitos; e o quinto será formado por: 3 + 6 + 9 + 12 + (5×3) = 45 palitos. E 45 é a nossa resposta. Mas observe bem que interessante: 1º triângulo = 3 palitos (3x1) 2º = anterior + 6 (3x2) 3º = anterior + 9 (3x3) 4º = anterior + 12 (3x4) 5º = anterior + 15 (3x5) Isso quer dizer que as fileiras serão sempre compostas por múltiplos de 3.

Fatoração, MMC e MDC Apresentação do assunto Fatorar um número significa escrever este número de tal forma que mostre o produto de todos os seus divisores. Isso é importante para que possamos realizar, com segurança, as simplificações em sentenças e fórmulas matemáticas. Simplificar é uma forma de reduzir e facilitar a obtenção de um resultado em várias questões matematicamente desenvolvidas, porém, para que isso aconteça, temos que ter plena certeza de que não devemos descartar nenhuma contagem ou quantidade em questão.

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Jogo Observando flores e frutas Objetivo Este é um jogo de observação. Ludicamente, esta forma de jogar é realizada intuitivamente em parte da nossa infância, quando a nossa curiosidade nos impele a desmontar quase tudo ao nosso redor para, observando parte por parte, saber como é feito ou como funciona. Quando sistematizado, esse jogo de desmontar parte por parte é um procedimento científico de grande importância.

Descrição Reúna a turma em pequenos grupos, dê para cada grupo formado um objeto simples, de fácil desmontagem, e peça que cada um dos grupos desmonte este objeto na maior quantidade de partes possíveis. Peça que relacionem cada uma destas partes e apresentem-nas para as outras equipes. Importante: determinar antes de iniciar um limite para a desmontagem, ou seja, determinar quando uma parte do objeto se torna indivisível.

Exemplo Desmontando o motor de um brinquedo quebrado, podemos encontrar ímãs, fios, hastes de metal, parafusos, porcas, correias etc. Neste caso, podemos fixar como limite de indivisibilidade "deixar o parfuso inteiro" (que poderia, no entanto, ser dividido em ponta, cabeça, fenda, haste etc). Desmontando uma tangerina, por exemplo, podemos fixar os gominhos como o limite para desmontagem, pois, se destes for tirada a pele que os cobre, o líquido interior escorre e deixam de ser gominhos.

Do jogo à matemática Este tipo de jogo tem como função pedagógica apresentar um dos caminhos mais interessantes da observação científica em várias áreas: engenharia, botânica, biologia, geologia, psicologia, medicina etc. Mostre aos estudantes que, na parte da matemática abordada neste encontro, começamos a fazer exatamente esta observação minuciosa com os números. Como são formados estes números, o que formam quando se juntam, como se comportam. Mostre que, quando numa fatoração, chegamos a um número primo, chegamos a um limite de divisibilidade, assim como os limites de desmontagem estabelecidos no jogo.

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Você lembra? Relembrando as regras de divisibilidade apresentadas anteriormente, sabemos que 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são divisores de 12. Então, podemos fatorar o 12 escrevendo como 3x4,ou como 12x1, ou como 6x2, ou como 2x2x3... Vejamos, agora, como se comporta o número 17. Será que existem dois números que multiplicados um pelo outro resultam em 17? Não! E, quando isso acontece, significa que este número não tem divisores, ou seja, ele só é divisível por ele mesmo ou por 1. Estes números não podem ser fatorados e recebem o nome de números primos. Como mostramos no exemplo com o número 12, existem várias maneiras de fatorar um número. Para garantir que uma fatoração seja feita sempre da mesma maneira, fazemos sempre a fatoração usando números primos, os nossos limites. Veja. Vamos fatorar o número 12 usando números primos. 1º passo: Escrevemos o 12 e colocamos um traço do seu lado direito 12 2º passo: Veja qual é o menor número primo que é divisor de 12. No caso, é o 2. Resolvemos a operação 12 ÷ 2 = 6 e registramos assim: 12 2 6 3º passo: Observe o resultado da divisão (no caso, o 6) e veja qual é o menor número primo divisor de 6. No caso, é o 2. Resolvemos a operação 6 ÷ 2 = 3 e registramos assim: 12 2 6 2 3 4º passo: Observe o resultado da nova divisão (no caso, o 3) e veja qual é o menor número primo divisor de 3. No caso, é o próprio 3. Resolvemos a operação 3 ÷ 3 = 1 e registramos assim: 12 2 6 2 3 3 1 5º passo: Chegando ao resultado 1, finalizamos. Isso quer dizer que fatorar 12 em números primos é escrever 12 = 2 x 2 x 3.

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Estes conceitos também foram apresentados na aula 22: Trabalhando com múltiplos, do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) e são conhecimentos básicos para resolver problemas significativos, usando MMC e MDC entre números. Importante que você, professor, faça um link entre as maneiras utilizadas para apresentar os conteúdos aqui e no livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Ambas são sugestões que podem contribuir e ajudar no seu planejamento para que, mais facilmente, você tenha recursos e possa criar atividades para os estudantes.

Desafio 1) Um dia de festa no colégio. Os estudantes organizaram um desfile de fantasias para encerrar o evento. Mas como o desfile seria à noite, no pátio pouco iluminado, os estudantes teriam que colocar lâmpadas. Por segurança, elas só poderiam ser colocadas no alto das paredes laterais e, para isso, algumas questões teriam que ser observadas: a. A distância entre as lâmpadas deverá ser igual, para garantir boa iluminação em todos os locais do desfile. b. Por questões de economia, as lâmpadas serão colocadas da forma mais espaçada possível. Veja, a seguir, um desenho das duas paredes do pátio e, para as condições acima descritas, calcule de quantos em quantos metros deverão ser colocadas as lâmpadas. 84 metros

72 metros

Comentário Para realizar a atividade proposta, usaremos o conceito de fatoração em números primos. Para encontrar o maior divisor comum (MDC) entre eles (já que as lâmpadas deverão ficar o mais espaçadas possível entre si), faremos uma multiplicação dos fatores comuns das duas medidas.

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Solução: Fatorando 84, temos 84 = 2 x 2 x 3 x 7 Fatorando 72, temos 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 84 = 2 x 2 x 3 x 7 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 MDC = 2 x 2 x 3 = 12

Ou seja, as lâmpadas deverão ser colocadas de 12 em 12 metros. Como temos 156 metros de parede (84 metros + 72 metros), temos então 156 ÷ 12 = 13 lâmpadas. 7 lâmpadas na parede de 84 metros e 6 lâmpadas na parede de 72 metros. Veja como exemplo uma das questões do ‘banco de questões’ da OBMEP 2013 , nível 1, que aborda o conteúdo a respeito de múltiplos e divisores, conteúdo este necessário para trabalhar esta seção. 2) O número natural preferido por Vladas possui uma quantidade ímpar de divisores. Mostre que esse número é um quadrado perfeito.

Sugestão Note que, se o número "d" é um divisor do número "n", então, ele também é um divisor de "n". Por exemplo, 6 é divisor de 24, logo, 24 ÷ 6 = 4 também é divisor de 24.

Comentário Como já é dito no enunciado do problema, a primeira observação importante a ser feita é que se um número qualquer é divisor d de qualquer número n, o resultado n ÷ d também será um número divisor de n. A partir deste dado, vamos observar dois casos. 1º - um número qualquer, no caso, o número 24 utilizado no enunciado da questão. Se 6 é divisor de 24, implica que 24 ÷ 6 = 4, será também divisor de 24 (e realmente 4 é divisor de 24). Note que aqui temos dois divisores diferentes: o 6 e o 4. 2º - um número que seja um quadrado perfeito, por exemplo, 16. Pelo mesmo raciocínio, deduzimos: Escolhendo o 4 como um dos divisores de 16, temos: Se 4 é divisor de 16, implica que 16 ÷ 4 = 4, será também divisor de 16. Mas é claro, pois 4 = 4.

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Solução A partir da observação anterior, podemos constatar que, quando d ≠ d:n (como no primeiro caso), teremos sempre dois divisores, ou seja, um n (como no segundo caso), número par de divisores. No caso de d = d temos o mesmo divisor, ou seja, um só, no caso, um número ímpar. Assim, se d = n:d, podemos concluir que n = d². E essa é exatamente a definição de um quadrado perfeito.

Resposta Todos os números quadrados perfeitos têm números ímpares de divisores, inclusive o número preferido do Vladas.

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2° Encontro

Razão e proporção

Primeiras palavras Professor(a), nas primeiras séries da nossa vida escolar, quando trabalhamos com os conceitos de números maiores ou menores, iniciamos os procedimentos para comparar grandezas. Logo após estes primeiros contatos, no decorrer dos anos, trabalhamos com frações e operações cujos resultados nos mostram, após a divisão do inteiro, a parte que coube a cada um. Neste encontro, ampliamos as possibilidades de comparar grandezas estudando várias maneiras de estabelecer proporções entre elas. Apresentamos aqui os seguintes assuntos: situações que envolvam proporcionalidade; o conceito de razão em diversos contextos: proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem etc.; relações de proporcionalidade direta, inversa e regra de três; porcentagem; taxas, juros, aumentos e descontos.

Razão e proporção Apresentação do assunto Nesta sequência, apresentamos diferentes formas de comparação entre grandezas. Estamos nos preparando para realizar cálculos que nos ajudarão a tomar diferentes decisões no nosso dia a dia.

Jogo Variando movimentos proporcionalmente A proposta é apresentar o conceito matemático de proporção aos estudantes, de forma lúdica e concreta. Para isso vamos jogar um popular jogo de imitação.

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Descrição Tendo como critério a altura dos estudantes da turma, peça a ajuda de três participantes: um estudante alto; um, de média estatura; e um outro escolhido entre os menores. Peça que eles se coloquem em evidência, um ao lado do outro, de forma que possam ser observados por todos. Escolha um dos três estudantes como mediador e, como no tradicional jogo de imitações, peça que os outros repitam todos os movimentos feitos pelo comandante. Oriente o mediador para que faça movimentos lentos, que não se locomova e que tente usar todas as partes do corpo. Limite estes movimentos em: encolher, esticar, abaixar, se espichar, observe, durante um minuto, a relação etc.. Ao restante da turma, peça que observem durante 60 segundos, a relação entre os movimentos dos três colegas. Havendo possibilidade, repita a proposta com outros três estudantes em destaque.

Do jogo à matemática Após o jogo, converse com a turma e pontue: ao se encolher ou se esticar, todos diminuíram e aumentaram de tamanho. Mas a diferença no aumento e na redução da altura pode ser melhor percebida nos colegas que já eram mais altos e mais baixos do que a média. Este entendimento é o passo inicial e é imprescindível para aquisição da habilidade de reconhecer situações que envolvam proporcionalidade. A partir destas observações, mostre que este é o conceito de ‘grandezas diretamente proporcionais’. Aumentando uma, independentemente de seu tamanho anterior as outras também aumentam proporcionalmente da mesma forma.

Você lembra? Razão e proporção foi o assunto abordado na aula 46 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Faça uma revisão com os estudantes, montando links entre o desafio resolvido a seguir e as fundamentações apresentadas no livro. Compare as informações abordadas em cada um. A compreensão de situações que envolvam proporcionalidade são fundamentais para a compreensão dos próximos assuntos abordados neste encontro do Percurso Livre.

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Desafio 1) Em uma determinada firma de construção, observa-se que, a cada cinco funcionários contratados, a proporção é de quatro homens para uma mulher. Numa empreitada conjunta com outras empresas, para dar um toque especial e distinguir de longe os seus funcionários entre outros, o gerente geral mandou que fossem criados uniformes especiais para todos eles. Se nesta firma existem 60 funcionários, quantos uniformes femininos foram confeccionados?

Comentário Pelo enunciado, observamos que, para resolver este desafio, devemos comparar as grandezas mencionadas e, descobrindo a relação proporcional entre elas, descobrir a quantidade desejada de uniformes femininos.

Solução Primeiro passo Vamos fazer uma tabela com o número total de funcionários, o número de homens e o número de mulheres. Conforme já foi mencionado, a razão entre funcionários homens e mulheres é de quatro para um, ou seja, a cada cinco funcionários, há apenas uma mulher. Registrando esta informação de forma matemática, numa tabela, teremos:

Número de mulheres

Número de homens

Número de total de funcionários 5

Segundo passo Agora, vamos dobrar o número de mulheres. Portanto, para manter a proporção, temos que multiplicar por dois o número de homens e o total de funcionários. Após registrar esta nova informação na tabela, teremos:

Ação realizada

Duplicar

Número de mulheres

Número de homens

Número de total de funcionários

1x2=2

4x2=8

5 x 2 = 10

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Desta forma, concluímos que, se há duas mulheres trabalhando na firma, temos, então, oito homens em um total de 10 funcionários. Terceiro passo Vamos, agora, triplicar o número de mulheres. Portanto, teremos também que multiplicar, por 3, o número de homens e o total de funcionários. Registrando esta nova informação na tabela, teremos:

Número de mulheres

Número de homens

Número de total de funcionários

Duplicar

1x2=2

4x2=8

5 x 2 = 10

Triplicar

1x3=3

4 x 3 = 12

5 x 3 = 15

Ação realizada

Desta, concluímos que, se há três mulheres trabalhando na firma, temos, então, 12 homens em um total de 15 funcionários. Quarto passo Seguindo este mesmo procedimento, vamos quadruplicando, quintuplicando etc... até aparecer na tabela o número total de 60 funcionários, que foi pedido na formulação da questão. Veja quando este número aparecerá na tabela: Número de mulheres

Número de homens

Número de total de funcionários

Duplicar

1x2=2

4x2=8

5 x 2 = 10

Triplicar

1x3=3

4 x 3 = 12

5 x 3 = 15

Quadruplicar

1x4=4

4 x 4 = 16

5 x 4 = 20

Multiplicar por 5

1x5=5

4 x 5 = 20

5 x 5 = 25

Multiplicar por 6

1x6=6

4 x 6 = 24

5 x 6 = 30

Multiplicar por 7

1x7=7

4 x 7 = 28

5 x 7 = 35

Multiplicar por 8

1x8=8

4 x 8 = 32

5 x 8 = 40

Multiplicar por 9

1x9=9

4 x 9 = 36

5 x 9 = 45

Multiplicar por 10

1 x 10 = 10

4 x 10 = 40

5 x 10 = 50

Multiplicar por 11

1 x 11 = 11

4 x 11 = 44

5 x 11 = 55

Multiplicar por 12

1 x 12 = 12

4 x 12 = 48

5 x 12 = 60

Ação realizada

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Resposta Então, encontramos aqui a solução. Quando temos o total de 60 funcionários, teremos 48 homens e 12 mulheres. Isso significa que serão confeccionados 12 uniformes femininos. Veja agora o exercício proposto na 4ª OBMEP 2008 -1ª fase, nível 1. 2) Cada uma das figuras está dividida em 16 partes iguais. Em qual 5 delas a parte colorida corresponde a 8 da área total? A

Comentário A primeira observação a ser feita é a de que este enunciado nos apre5 senta uma relação de proporção = 8 . Isso quer dizer que procuramos uma figura onde, para cada oito partes do total, cinco são coloridas, ou seja, uma proporção de "cinco para oito". Ainda de acordo com o enunciado, todas as figuras apresentadas possuem 16 partes.

Solução Montamos uma tabela para realizar a proporção entre 8 (proporção dada) e 16 (procurada). Observe a tabela de proporções: Número total de partes

Número de partes coloridas

Pela tabela, concluímos que se o oito (número total de partes da primeira linha) se transformou em 16, na segunda linha, é porque ele foi duplicado. Então, o cinco, proporcionalmente, também deve ser duplicado e, assim, teremos 5 x 2 = 10.

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Resposta Devemos, então, procurar uma figura em que, entre as 16 partes, 10 sejam coloridas. No caso, a resposta certa é a letra D, um retângulo.

Proporção inversa Apresentação do assunto Este é um conceito interessante em matemática. Principalmente porque, no nosso dia a dia, temos uma infinidade de exemplos que se utilizam deste mesmo conceito. Mostre aos estudantes que a expressão ‘os opostos se atraem’ é, na verdade, uma alusão popular ao conceito matemático de "inversamente proporcional". Para abordar o assunto, professor(a), apresente, à turma, um jogo de adivinhação popular: o que é, o que é, quanto mais se tira, maior fica? Possivelmente, alguns saberão a resposta. Se ninguém adivinhou, dê a resposta (o buraco) e explique o motivo. Mostre que este é o conceito de proporção inversa, em matemática: a comparação entre duas grandezas que se comportam de maneiras opostas.

Jogo Trabalho reduzido Com esta atividade, pretendemos mobilizar os estudantes para o assunto, apresentando a eles, de forma bastante visível, o comportamento de uma relação inversamente proporcional.

Descrição Apresente aos estudantes um copo comum cheio de grãos de milho. Peça a um deles que conte quantos grãos de milho existem dentro do copo e peça a outro estudante para medir o tempo gasto pelo colega para realizar a contagem. Registre as informações em um lugar visível a todos: um colega gastou tanto tempo para contar os grãos de milho. Em seguida, divida o mesmo conteúdo do copo em duas partes e peça que a contagem seja feita por dois colegas que iniciam ao mesmo tempo, cada qual, a contagem da sua parte de grãos. Peça a um terceiro colega para medir o tempo gasto para realizar a contagem total. Registre: dois colegas gastaram tanto tempo para contar a mesma quantidade de grãos de milho. Mais uma vez, divida o mesmo conteúdo do copo em quatro e peça que a contagem seja feita por quatro colegas que iniciam ao mesmo tempo, cada qual, a contagem da sua parte de grãos. Peça a outro colega para medir o tempo gasto para realizar a contagem total. Registre: quatro colegas gastaram tanto tempo para contar os grãos de milho.

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Do jogo à matemática Comparando os três registros, professor(a), pontue que, concretamente, quanto maior o número de colegas envolvidos na contagem, menor o tempo gasto para realizá-la. A partir desta observação, mostre que este é o conceito que define, matematicamente, uma relação de proporcionalidade inversa.

Você lembra? Proporcionalidade inversa é o tema da aula 49 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Logo no início desta aula, propõe-se uma revisão a respeito das grandezas diretamente proporcionais, mais comuns e usadas popularmente em grande escala, principalmente na divisão ou na duplicação de receitas culinárias. Antes de seguir, é importante que a comparação entre estes dois conteúdos (grandezas diretamente e inversamente proporcionais) seja trabalhada de forma bem criteriosa. Se necessário, relembre o conteúdo. Para isso, utilize o exemplo abaixo: Uma tabela relacionada a quantidade de quilos de feijão e o dinheiro gasto na compra. 1 Kg de arroz 2 Kg de arroz 3 Kg de arroz 4 Kg de arroz

R$2,30 R$4,60 R$6,90 R$9,20

Mostre aos estudantes, comparando os valores de cada coluna que, à medida em que compramos uma maior quantidade de arroz, o gasto de nossa compra aumenta. Deixe esta tabela à vista de todos. Esta outra tabela relaciona o tempo para o descarregamento de um navio com a quantidade de funcionários trabalhando. 1 funcionário 2 funcionários 3 funcionários

48 horas 24 horas 12 horas

Mostre aos estudantes, comparando os valores de cada coluna desta nova tabela que, à medida em que temos um maior número de funcionários trabalhando, o tempo de realização da atividade diminui. Compare as duas tabelas. Aplique, aqui, os conceitos de diretamente e inversamente proporcional, dados importantíssimos para a aquisição da habilidade de resolver problemas que envolvem relações de proporcionalidade e de regra de três.

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Desafio João precisa de seis horas para abastecer a caixa d´água de sua casa. Exatamente no dia em que o João precisava sair mais cedo, a boia que fecha, automaticamente, a entrada da água na caixa, quando esta já está cheia, parou de funcionar. E, neste dia, João não poderia esperar as seis horas necessárias para fechar manualmente o registro da água. Sendo assim, de quantos outros canos de entrada iguais ao primeiro, João precisa para encher a caixa d´água em duas horas.

Comentário Para resolver o desafio, partimos do mesmo procedimento já utilizado, montando uma tabela para realizar a proporção entre quantidade de canos e o tempo gasto para encher a caixa. Tempo para encher a caixa

Número de canos

Solução Pela tabela, se o número total de horas (6), passou a ser 2, isto significa que o tempo incial de seis horas foi dividido em três. Se a tabela representasse uma relação diretamente proporcional, teríamos o número de 1 . canos (1) igualmente dividido por 3 e o resultado seria 3 Porém, é importante observar que quanto maior a quantidade de canos usada para abastecer a caixa, menor é o tempo gasto para enchê-la. Isto significa que esta é uma relação inversamente proporcional. Então, neste caso, ao invés de dividir por 3, vamos ter que multiplicar o número de canos por 3.

Resposta Teremos, assim 3 x 1 = 3 canos.

Regra de três Apresentação do assunto Organizando o pensamento para montar operações envolvendo proporções, utilizamos o conhecimento chamado de ‘regra de três’. Este é um processo para a realização de um cálculo matemático onde se procura o valor de uma grandeza a partir do conhecimento de, pelo menos, outras três grandezas proporcionais. Para resolver uma regra de três, veja um passo a passo, utilizando, como exemplo, os dados do primeiro desafio apresentado em Razão e proporção. 36

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Primeiro passo Identificar e agrupar as grandezas. Separar, relacionar e colocar juntas todas as medidas ou contagens semelhantes. No exemplo em que foram utilizados os dados do problema anterior, falamos da quantidade de mulheres e da quantidade total de funcionários. Quantidade total de funcionários

Quantidade de mulheres

Inicial = 5

Final = 60

Segundo passo Armar a operação, colocando em colunas (uma abaixo da outra) as grandezas semelhantes. 5 funcionários = 1 mulher 60 funcionários ?mulheres

Terceiro passo Montada esta forma para relacionar os dados, chegamos ao momento de resolver o xis da questão, ou seja, procurar o valor desconhecido (aqui apresentado pelo sinal de interrogação), a partir de outros três valores conhecidos. Para isso, montamos uma equação que é lida assim: 5 (funcionários) está para 60 (número total de funcionários), assim como 1 (uma funcionária) está para "X" (número de funcionários de sexo feminino que queremos descobrir). A partir desta sentença, vamos montar a seguinte operação: 5 60

1 x

E, para resolver a equação, temos: "X" x 5 = 60 x 1. Isolando o "X" temos: X = (60 x 1) ÷ 5, de onde se conclui que X = 12. Como procuramos o número de uniformes femininos, o resultado final será dado como: 12 uniformes femininos. Atenção: ao apresentar como montar a regra de três, professor(a), mostre aos estudantes que, antes de armar a fórmula, é necessário que se faça outra observação em relação aos valores das grandezas. O conceito abordado anteriormente (diretamente e inversamente proporcionais) é fundamental para este passo.

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Jogo ‘Montando três, ganha o quarto’ Este é um jogo de atenção bastante simples, pelo qual vamos exercitar nossa percepção em reconhecer o todo, a partir da apresentação de três partes deste todo. O objetivo é determinar um quadrado mostrando a posição de três dos quatro triângulos formados pela interceção de suas diagonais.

Descrição Para jogar, usamos um tabuleiro comum (de xadrez). No lugar de peões, usamos pequenos triângulos de papel.

Construindo os triângulos de papel 1. Recorte quadrados de papel do tamanho das casas do tabuleiro. 2. Marque duas diagonais deste quadrado, unindo os vértices opostos. Veja a figura.

3. Recorte os quatro triângulos formados. Veja um deles.

Faça 50 triângulos para cada time.

Regras Cada jogador, alternadamente, coloca, em cada jogada, dois dos seus triângulos no tabuleiro, com o objetivo de determinar um quadrado com cores do seu time. Ganha o jogador (ou o time) que mais tiver triângulos determinados no final.

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1. O tempo de cada partida é de 1 minuto. 2. Não pode haver sobreposição de peças. 3. Determinar um quadrado significa dispor três triângulos consecutivos com as cores do seu time, de tal forma que a formação de um quadrado fique evidente. Determinado um quadrado, se ganha o ponto. As peças permanecem no tabuleiro, mas não podem servir de base para determinar outros quadrados. Exemplo de quadrados determinados (usando apenas parte de um tabuleiro). Não é necessário fechar o quadrado colocando o quarto triângulo para determiná-lo. A partir do momento em que fica clara a possibilidade de determinar o quadrado na próxima jogada, o ponto já é ganho. Neste jogo, uma dica importante é colocar sempre dois triângulos por jogada no tabuleiro e usar um deles para fazer sua jogada e o outro, para bloquear as jogadas do adversário.

Estas disposições de triângulos determinam um quadrado, pois fica evidente que falta apenas uma peça para completá-lo. Não é necessário colocar esta peça no tabuleiro.

Do jogo à matemática Descobrir um quarto elemento a partir do conhecimento das relações entre outros três é uma antiga questão da matemática de onde originou-se a regra de três e, posteriormente, o pensamento algébrico. Este jogo tem, como principal finalidade, exercitar, no estudante, a observação, a visualização de caminhos e a procura de soluções. Neste jogo, como na regra de três, o objetivo é determinar um todo (no caso, um quadrado composto por quatro triângulos), a partir da disposição de três partes do todo). Muitos dos desafios apresentados neste caderno se resolvem, principalmente, por observações e pela possibilidade de o estudante conseguir interpretar e visualizar o caminho para encontrar uma solução.

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Você lembra? Regra de três também foi abordado na aula 50 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Compare as abordagens, estabeleça uma relação entre elas e retire, de cada uma, o melhor para o seu planejamento. É importante que os estudantes percebam que, na prática, algumas operações de divisão, de proporções e de regra de três são semelhantes e obedecem à mesma lógica de resolução.

Desafio 1) Um pescador, habitante de uma ilha, usava um antigo barco a remo e demorava três horas para ir de casa até o continente. Este barco atingia atingia, no máximo, a velocidade de 15 quilômetros por hora. Com o passar do tempo e a melhoria das condições financeiras, ele comprou um barco a motor e passou a atingir a fantástica velocidade de 45 quilômetros por hora. Em quanto tempo este novo barco consegue realizar o mesmo percurso?

Comentário Mostre aos estudantes que estaremos aqui realizando uma comparação entre grandezas para encontrar a solução. Conhecendo as respostas de uma situação anterior, por comparação proporcional, podemos descobrir a resposta para a nova situação apresentada. Condições perfeitas para utilização da regra de três.

Solução Primeiro passo Identificar grandezas. No caso, falamos de tempo (2 horas) e velocidades (15 Km/h e 45 Km/h) Segundo passo Separar as colunas.

Velocidade

Tempo

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Terceiro passo Montar a equação, porém: verificar antes o comportamento das grandezas. Serão elas diretamente ou inversamente proporcionais? Observando: Se o barco passou a andar mais rápido (velocidade aumenta), o tempo de travessia aumenta ou diminui? Como podemos ver claramente que o tempo diminui com o aumento da velocidade, sabemos que as grandezas são inversamente proporcionais. 15 45

3 x

Se as grandezas são inversamente proporcionais, temos que inverter também a ordem dos elementos em uma das colunas e teremos então: 45 15

3 x Agora, podemos montar a equação e chegar ao resultado.

45 = 15

3 x

45x = 15 x 3

x = 45 ÷ 45 = 1

Resposta Como estamos falando de tempo e este está sendo medido em horas, 1 significa uma hora. Veja agora, esta questão proposta na 4ª OBMEP 2008 - 1ª fase, nível 2. 2) Para encher uma caixa d'água são necessários 2000 baldes ou 2400 latas de água. Se já foram colocados 1500 baldes na caixa, quantas latas serão necessárias para acabar de enchê-la?

Comentário Pelo enunciado, podemos observar que faltam 500 baldes para encher a caixa d’água. Veja. Caixa cheia = 2000 baldes. Se já foram colocados 1500, faltam 2000 – 1500 = 500. Também, pelo enunciado, sabemos que a caixa é cheia com 2000 baldes ou 2400 latas d’água. Esta informação nos informa nos fala da relação de proporção entre quantidade de baldes e quantidade de latas.

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Solução Conhecendo a relação entre número de baldes e o de latas d’água (2000 baldes equivalem a 2400 latas); e sabendo quantos baldes faltam para encher a caixa, montamos uma regra de três da seguinte forma: 2000 baldes estão para 2400 latas d’água, assim como, 500 baldes estão para x.

Resposta 2000 2400 = 500 x

x = (500 x 2400) ÷ 2000 = 600

Precisamos, portanto de 600 latas.

Porcentagens Apresentação do assunto Apresente o assunto aos estudantes mostrando que porcentagem é uma proporção como as outras que acabamos de abordar. Porém, neste caso especial, sempre usamos como referência uma proporção onde a relação se estabelece com uma divisão por 100 partes. Isso é muito importante, pois, desta forma, temos proporções seguindo sempre o mesmo padrão. Assim, poderemos mais facilmente comparar os resultados.

Jogo - Jogo da memória Este jogo, baseado no tradicional jogo da memória, é um jogo de cartões onde exercitamos o cálculo de porcentagens. Construindo o material Primeiro passo Usando um papel mais grosso, tipo cartolina, corte 40 cartões de tamanho aproximado de 10 cm por 6 cm. Separe estes cartões em grupos (20 + 20). Segundo passo Em 20 destes cartões, escreva com cuidado (para não aparecer do outro lado do papel) as seguintes porcentagens: 1%, 5%,10%, 50%, 100%. Preenchendo os 20 cartões, no final, você terá 4 cartões com cada uma destas porcentagens. Nos outros 20 cartões, também escrevendo com cuidado para não

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aparecer do outro lado, registre cada um dos seguintes conceitos, duas vezes cada: 1. Todos os estudantes foram aprovados! 2. Metade da turma estava assistindo ao jogo desta tarde. 3. Nesta salada com 10 frutas, temos 1 maçã. 4. Meu time preferido ganhou, até agora, 2 das 4 partidas que jogou. 5. Hoje, acordei tão cansado que, dos 1000 metros de caminhada, só consegui fazer 100 metros. 6. Gosto de trabalhar naquela loja, pois, cada vez que vendo 100 chocolates, ganho 1. 7. Gostei muito deste sapato, ainda mais que o dono da loja, em vez de cobrar R$100,00, me cobrou R$95,00. 8. Nossa! Este biscoito é tão bom que vou comer todos! 9. Você tem 200 figurinhas repetidas, me dê 2 para completar esta minha página. 10. Estamos combinados! 200 para você e 40 para mim.

Jogando Misture os cartões, com a face escrita para o lado de baixo e jogue, como no jogo da memória, procurando encontrar o par correspondente. No caso, o par se forma com um cartão de porcentagem e outro com o conceito correspondente àquela porcentagem.

Exemplo Temos 4 cartões com o símbolo 100%, dois cartões com o conceito "Todos os estudantes foram aprovados" e outros dois cartões com o conceito "Nossa! Este biscoito é tão bom que vou comer todos!". Podemos formar pares usando o 100% com qualquer um destes conceitos.

Do jogo à matemática Esta é uma maneira de mostrar aos estudantes como a questão matemática ligada ao cálculo de porcentagens faz parte do nosso dia a dia. Esse tipo de abordagem como mobilização de uma turma é muito importante para aproximar o estudante do conteúdo. Mostre, também, a eles que as porcentagens utilizadas são facilmente calculadas e, na verdade, a maior dificuldade do jogo é a de realmente memorizar a posição dos cartões para estabelecer as relações entre os conceitos e as porcentagens apresentadas.

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Você lembra? Este assunto é apresentado na aula 27: Quantos por cento?, do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Lembre aos estudantes que porcentagem é um tipo de proporção, onde sempre temos como referência a divisão por 100.

Desafio 1) Em um certo dia festivo da escola, houve um lanche coletivo de uma turma onde todos contribuíram com uma fruta para que fosse feita uma grande salada. A receita mencionava: abacaxi, manga, laranja e melancia. Considerando uma melancia suficiente, a proporção estabelecida entre as frutas para que cada estudante da turma trouxesse uma foi: 1 melancia, 9 laranjas, 6 mangas e 4 abacaxis. O sabor final ficou delicioso. Para que a mesma receita seja aplicada, hoje, em qualquer turma, calcule o percentual de frutas usadas para que ela possa ser repetida levando em conta diferentes quantidades de estudantes.

Solução Primeiro passo: Observamos que 100% das frutas somam 20 frutas. Segundo passo: Para estabelecer uma porcentagem, fazemos este total de frutas ‘virar’ 100 frutas. Para isso multiplicamos 20 x 5 = 100. Terceiro passo: Proporcionalmente, multiplicamos todas as quantidades por 5 e teremos: total de 100 frutas, 5 x 1 = cinco melancias, 9 x 5 = 45 laranjas, 5 x 5 = 30 mangas e 2 x 5 = 10 abacaxis.

Resposta Escrevemos o resultado em forma de porcentagem. 5% de uma melancia, 45% de laranjas, 30% de mangas e 20% de abacaxis.

Conclusão importante Estabelecendo esta proporção por porcentagens, podemos facilmente aplicá-la para qualquer número de pessoas e a salada sairá sempre com o mesmo sabor. Veja agora outro proposto na 4ª OBMEP 2008 - 1ª fase, nível 2.

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2) O gráfico mostra o resultado de uma pesquisa sobre como os moradores de um bairro de uma grande cidade vão ao trabalho. Entre os entrevistados que não vão ao trabalho a pé, qual o percentual dos que vão de carro?

ônibus 40% a pé 25% carro 22,5%

outros 12,5%

Comentário Importante observar que os dados iniciais estão relacionados em porcentagem, ou seja, se referem a 100% de entrevistados. Note que a pergunta subtrai destes 100% o percentual dos que vão ao trabalho a pé.

Solução Observando que os 100% da pergunta são, na verdade, 100% dos entrevistados menos 25% dos que andam a pé (que resultam em 75%), estabelecemos uma regra de três e resolvemos a questão! ‘100% estão para 75% assim como 22,5% estão para X’. Mas, antes de montar a operação, o que é que fazemos? Verificamos o comportamento das proporções (diretamente ou inversamente proporcionais). No caso, quando diminuímos a porcentagem de entrevistados, a porcentagem dos que andam de carro aumenta! Isso quer dizer, grandezas inversamente proporcionais. Então teremos:

Resposta X = (22,5 x 100) ÷ 75 = 30%.

Lucro e prejuízo Apresentação do assunto Mostre aos estudantes que este assunto é, na verdade, uma importante aplicação prática do nosso estudo a respeito de proporções, regra de três e porcentagens. A matemática financeira baseia-se na aplicação de vários conceitos matemáticos em assuntos de economia e negócios. “Qual o prejuízo, qual o lucro? ’ são perguntas que ouvimos frequentemente. Falando de juros, aumentos e descontos, apresente estes assuntos aos estudantes, mostrando que são decorrentes do conteúdo geral de ‘Lucros e prejuízos’. Em função destes três conceitos, podemos aumentar ou diminuir nossos lucros ou prejuízos. Saber utilizar estes conhecimentos facilita bastante a organização de nossas finanças pessoais.

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Jogo A finalidade deste jogo é a de apresentar e registrar situações que mostrem aos estudantes a presença do assunto abordado neste encontro em nosso dia a dia.

Descrição Apresente aos participantes duas expressões corriqueiras a respeito do assunto "lucros e prejuízos", expressões estas usadas nos mais diferentes contextos. "Tudo que vier é lucro" e "Agora, é correr atrás do prejuízo".

Jogando Divida a turma em duas equipes. Cada equipe deve elaborar um cartaz com cinco itens utilizados, normalmente, para a promoção de vendas ou negócios e elaborar (pode ser verbalmente, se a equipe preferir) uma explicação de cada um destes itens no contexto das frases acima citadas.

Exemplo Item 1 - "Pague em 10 vezes sem juros" (Um item de propaganda muito utilizado) Contexto: "Tudo que vier é lucro" Explicação: Realmente, dividir um custo em partes, sem acréscimo, é uma ótima opção para não ficar apertado demais tendo a necessidade de realizar um gasto grande. Contexto "Agora, é correr atrás do prejuízo" Explicação: Não tendo dinheiro para saldar a dívida em dia, prestações tornam-se muito maiores, são cobradas multas, juros e acabamos gastando muito mais.

Você lembra? Estes temas estão relacionados na aula 38: Lucro e prejuízo, e na aula 76: Aumentos e descontos sucessivos, do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Lá você encontrará outros exemplos, outras explicações e diferentes formas de apresentar esse assunto. Também na aula 27, você pode recordar os conhecimentos a respeito de porcentagens, ferramenta muito importante para a compreensão da matemática financeira. Junte estes conhecimentos e faça o melhor planejamento para ajudar aos estudantes.

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Desafio 1) Um comerciante comprou frutas no mercado central e, nesta compra, gastou R$1.500,00. Na feira do seu bairro, este comerciante vendeu estas frutas por um preço 120% maior do que o valor pago. Sabendo que ele gastou R$250,00 de transporte para a mercadoria; pagou R$600,00 pelo aluguel do espaço na feira; R$50,00 de taxa para a região administrativa; e uma diária de R$150,00 para cada um dos seus três ajudantes, qual foi, em dinheiro, o lucro do comerciante?

Comentários Para saber o lucro do comerciante, temos que calcular os seus ganhos e, deste total, subtrair os gastos.

Solução Primeiro passo Calcular o recebido pela venda para saber com quanto de crédito o comerciante ficou. Sabendo que ele vendeu a mercadoria com acréscimo de 120%, podemos saber quanto ele ganhou vendendo todas as frutas. Para isso, calculamos 120% x 1500 = R$3.300,00. Segundo passo Somar os gastos para saber o débito total do comerciante. 1.500 + 250 + 600 + 50 + 450 = R$2.850,00

Resposta Calculando o saldo final, realizamos a operação de subtração Crédito(-) Débito3.300 - 2.850 = 450. O comerciante, vendendo as frutas com acréscimo de 120%, teve um lucro de R$450,00. 2) Ouça a conversa entre três amigos: Maria, João e Pedro. Maria: ― Estou super contente! Fui promovida e eu, que ganhava R$760,00 passei a ganhar R$950,00. João: ― Nossa! R$190,00 de aumento! Eu também tive aumento, mas meu aumento foi só de R$120,00, pois passei de R$300,00 para R$420,00. Pedro: ― Pare de reclamar, amigo. Seu aumento foi muito maior do que o da Maria!

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João discordou! R$120 é menos do que R$190! - disse ele. E agora? Como explicar, matematicamente falando, a afirmação de Pedro?

Comentário Nesta atividade, usamos o conceito de aumento, de proporcionalidade e de aumentos percentuais, fundamentais para o desenvolvimento da habilidade de resolver problemas que envolvem taxas, juros, aumentos e descontos.

Solução Primeiro passo Observar os resultados em valores concretos. No caso de Maria: aumento de 780 para 970 = 190. No caso de João: aumento de 300 para 420 = 120 Segundo passo Observar os resultados em percentuais para estabelecer o percentual de aumento. Maria: 190/780 = 1/4. Calculando o percentual, temos X/100 =1/4 ―› x = 25% João: 120/300 = 2/5. Calculando o percentual, temos x/100 = 2/5 ―› x = 40%

Resposta Isso quer dizer que, na realidade, o aumento de João foi de 40% enquanto o de Maria foi de 25%. Pedro estava com a razão. O aumento de João, na realidade, foi maior! 3) Pedro precisou de um dinheiro urgente e fez um empréstimo de R$600,00 no banco. A taxa de juros cobrada foi de 6,5% ao mês para que a dívida fosse quitada ao final de seis meses. Calcule quanto Pedro pagou ao banco.

Solução Primeiro passo Se a taxa foi de 6,5% ao mês, isto significa que os juros mensais são de R$600 x 0,065 = R$39,00. Segundo passo Como o pagamento será quitado em seis meses, teremos R$39,00 x 6 = R$234,00

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Resposta Somando o valor dos juros com o valor do empréstimo, teremos o total de R$834,00 pagos ao banco. 4) Vamos imaginar agora que, quando o Pedro fez o empréstimo, ele o fez apenas por um mês, pois esperava receber um dinheiro extra e quitar logo a dívida. Além disso, as taxas de juros eram um pouco menores nestas condições, seria de R$6% ao mês. Mas, como às vezes acontece, o dinheiro extra não chegou e João só conseguiu quitar seu empréstimo seis meses depois. Levou os R$834,00 pensando até em ter um troco (a taxa de juros era mais baixa), mas levou um susto quando viu que sua dívida era maior! Veja a explicação do banco e depois faça o cálculo para ver o quanto Pedro acabou pagando pelo empréstimo! A taxa de juros aplicada neste tipo de negócio recebe o nome de juros compostos. Isso quer dizer que a cada mês (no caso era a medida de tempo usada) o valor dos juros deste mês é somado ao valor inicial e, para o cálculo da parcela seguinte, aplicamos juros. A taxa inicial é menor, mas os juros são acumulados! Ou seja, a cada mês, eles são cobrados incluindo ao valor inicial o valor dos próprios juros, veja:

Solução Primeiro mês: 600 x 6% = 36. Total da prestação = R$636,00 Segundo mês: 636 x 6% = 38,16. Total da prestação = R$674,16 Terceiro mês: 674,16 x 6% = 40,44. Total da prestação = R$714,60 E assim por diante até que, na sexta prestação, quando Pedro foi quitar a dívida, o valor já estava em R$851,10 Observe que, a partir do terceiro mês, mesmo com juros de 6%, a parcela já estava com valor maior do que a parcela fixa, mesmo sendo esta calculada com uma taxa de 6,5%.

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3° ENCONTRO

Equações e outras expressões algébricas Primeiras palavras Professor(a), neste encontro propomos uma revisão de vários assuntos interessantes a respeito da linguagem algébrica. Muitos matemáticos da Antiguidade, ou até mesmo comerciantes e pastores, usavam intuitivamente conhecimentos do gênero. Porém, a grande conquista do conhecimento algébrico se deu a partir do momento em que estes conhecimentos práticos foram sistematizados, no século XVI, pelo francês François Viète, hoje considerado o pai da Álgebra. Portanto, professor, ao apresentar aos estudantes questões algébricas já sistematizadas, tente fazê-lo da forma mais explicada possível, sempre mantendo o passo a passo para que eles possam realmente compreender o processo. Lembre-se que nem grandes matemáticos o compreenderam de uma só vez. Neste terceiro encontro do percurso livre de matemática, apresentamos sugestões para o trabalho com: expressões algébricas, produtos notáveis,fatoração, inequações do 1º grau eequações do 1º e 2º graus.

Expressões algébricas, fatoração, simplificação, produtos notáveis Apresentação do assunto Sabemos que é possível usar letras do alfabeto para representar números, principalmente quando estes números são desconhecidos por nós ou quando queremos generalizar um fato matemático. Nasceu desta ideia a expressão literal na matemática: uma forma de mesclar números e letras em um mesmo problema ou em problemas semelhantes.

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Montando uma expressão algébrica Primeiro passo Quando montamos uma sentença matemática, descrevemos verbalmente a operação desejada: Cinco mais cinco são dez. Segundo passo Matematicamente, falamos a mesma coisa assim: 5 + 5 = 10 Agora, observe outra sentença: Se tenho 10 e tiro 5, com quanto eu fico? Falando matematicamente 10 - 5 = x O x, neste caso, se refere ao símbolo da interrogação, se refere ao valor desconhecido ao qual pretendemos chegar. Por usar letras e números, classificamos esta como uma expressão algébrica. Trabalhando com expressões algébricas, encontraremos alguns nomes que merecem um destaque especial pela frequência que são utilizados. Veja: Monômios: são expressões que envolvem valores numéricos e literais, nas quais aparecem apenas operações de adição, subtração ou multiplicação. Além disso, são montadas com 1 termo. Binômios: são expressões que envolvem valores numéricos e literais, nas quais aparecem apenas operações de adição, subtração ou multiplicação, montadas com 2 termos. Trinômios: são expressões que envolvem valores numéricos e literais, nas quais aparecem apenas operações de adição, subtração ou multiplicação, montadas com 3 termos. Polinômios: são expressões que envolvem valores numéricos e literais, nas quais aparecem apenas operações de adição, subtração ou multiplicação, montadas com vários termos. É chamado produto notável um tipo especial de produto que aparece com muita frequência nas expressões algébricas. Tão frequente que ocupa um lugar de destaque e tem, portanto, uma atenção especial.

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Jogo Notícias na matemática O objetivo deste jogo é propor aos estudantes a interpretação de um texto literário transformando-o em uma expressão matemática.

Descrição Divida a turma em equipes. Peça que cada uma selecione várias notícias pesquisando em jornais e revistas já usados. Observando o conteúdo da notícia, veja de que forma ela pode ser simplificada e como pode ser apresentada em linguagem matemática. Cada equipe escolhe uma notícia e, em um cartaz, registra o título da notícia e a forma matemática de representá-la. Verbalmente, um participante da equipe explica o passo a passo utilizado para se chegar ao resultado apresentado no cartaz.

Exemplo Citaremos aqui um caso real, do matemático Lejeune Dirichlet. Dizem que, quando nasceu seu primeiro filho, em uma época em que o telégrafo ainda era mais utilizado do que o telefone, sabendo que seus pais ficariam satisfeitos com a notícia de que eram avós, correu até uma agência telegráfica e lhes enviou a seguinte mensagem: 1+ 1= 3! Interessante, não é?

Do jogo à matemática A partir das notícias, dos resumos apresentados, da sentença matemática utilizada e da explicação verbal, professor (a), converse com os estudantes e analise o passo a passo de cada uma delas. Mostre a eles que, a partir da sistematização da álgebra, embora a proposta deste segmento matemático seja o de encurtar caminhos, a interpretação dos problemas é fundamental para garantir o correto uso de uma forma sistematizada.

Você lembra? Este assunto é abordado na aula 61: Expressões algébricas; na aula 71: Produtos notáveis e na aula 72: Fatoração do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) Importante, professor(a), mostrar aos estudantes como esta sequência de conteúdos se organizou, quais foram as observações que permitiram a sistematização destas ideias. Conhecendo o passo a passo, se torna bem mais fácil interpretar e aplicar estes conteúdos na resolução de desafio. PERCURSO LIVRE · Matemática · Ensino Fundamental

Desafio Veja esta questão da 7ª OBMEP 2011, 1ª fase, nível 2. 1) Tia Geralda sabe que, dentre seus sobrinhos Ana, Bruno,Cecília, Daniela ou Eduardo, um deles comeu todos os biscoitos. Ela também sabe que o culpado sempre mente e que os inocentes sempre dizem a verdade. Bruno diz: “O culpado é Eduardo ou Daniela.”

•

• Eduardo diz: “O culpado é uma menina.” • Por fim, Daniela diz: “Se Bruno é culpado, então, Cecília é inocente.” Quem comeu os biscoitos?

Comentário Este é um problema onde a compreensão e a interpretação de cada uma das ideias apresentadas nos leva a montar a resolução final. Vamos analisar cada sentença, uma a uma, identificar e tirar conclusões do real conteúdo matemático expresso em cada uma.

Solução Primeiro Passo A primeira observação interessante é notar que, embora pareça não acrescentar nenhum dado concreto, a afirmação de Daniela é verdadeira, pois há apenas um culpado. Logo, a culpada não é Daniela (o culpado mente e ela fez uma afirmação verdadeira). Segundo passo Observando a afirmação de Bruno, se ele mentiu, então, ele é o culpado. Como só existe um mentiroso (o culpado), Eduardo não seria culpado e, portanto, diz a verdade. Terceiro passo Mas observe que Eduardo disse que a culpada é uma menina e, se o culpado fosse, realmente, o Bruno, Eduardo também estaria mentindo (veja o que Daniela, que diz a verdade, diz), o que não pode ser verdade, pois há apenas um mentiroso. Quarto passo Observando o terceiro passo, concluímos que o Bruno diz a verdade.

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Solução Se no primeiro passo, concluímos que Daniela diz a verdade e, neste quarto passo, concluímos que Bruno também diz a verdade, concluímos que Eduardo mentiu.

Resposta Se Eduardo mentiu, pelo enunciado (o culpado mente), podemos afirmar que ele comeu os biscoitos. Veja esta questão banco de questões OBMEP 2011, nível 2. 2) Observe que 1²+ 2²+ (1x2)²= 3² 2²+ 3²+ (2x3)²= 7² 3²+ 4²+ (3x4)²= 13²: Prove que se a e b são inteiros, consecutivos, então o número a² + b² + (ab)² é um quadrado perfeito.

Comentário Este é um problema que parte da utilização de produtos notáveis. No exemplo dado, temos valores de três sequências de números consecutivos nos quais aplicamos a expressão a² + b² + (ab)² e, nos três casos, temos um quadrado perfeito como resposta. O desafio pede que provemos que, qualquer que sejam os valores de a e b, nas condições estipuladas, teremos um quadrado perfeito. Note inicialmente que (a + b)² = a² +2ab + b².

Solução Primeiro passo Vamos supor que b > a e, como são consecutivos, sabemos que b – a = 1. Podemos, então, afirmar que (b - a)² = 1² (elevando ambos os membros da equação ao quadrado, podemos fazer isso sem alterar os valores da equação). Segundo passo Aplicando os conhecimentos a respeito de produtos notáveis, temos: b² - 2ab + a² = 1 que pode ser escrita como: b² + a² = 2ab + 1 Terceiro passo Somando (ab)² em cada lado da equação, temos (também podemos somar um mesmo termo dos dois lados que isso não muda o resultado): b² + a² + (ab)² = (2ab + 1) + (ab)²

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Quarto passo Neste momento, note que, de um lado da igualdade, temos o número que desejamos: a² + b² + (ab)². Falta, então, provar que o outro lado da igualdade é um quadrado perfeito e é o sucessor. Quinto passo Observe o outro lado do sinal de igualdade: (2ab + 1) + (ab)². Vamos escrever esta sentença assim: (ab)² + 2ab + 1 Note que este é exatamente o resultado de um produto notável: (ab)² + 2abx1 + 1², onde o primeiro termo é ab e o segundo é 1, podemos, então, representar esta parte da expressão assim (ab)² + 2ab + 1 = (ab + 1)².

Resposta (ab + 1) significa que o número (qualquer que seja) é o sucessor de outro. E, como na nossa equação, ele está elevado ao quadrado, ele será sempre um quadrado perfeito! Podemos, então, afirmar que se a e b são inteiros consecutivos, então, o número a² + b² + (ab)² é um quadrado perfeito.

Equação de primeiro grau Apresentação do assunto Para classificar uma expressão algébrica como uma equação de 1º grau, temos que satisfazer algumas exigências. Vamos observar a expressão: 3x + 10 = 2. Vemos que, nesta expressão, temos uma igualdade estabelecida ( = ), valores conhecidos (3, 10 e 2) e um valor desconhecido, representado por x, que recebe o nome de incógnita. De uma forma geral, podemos apresentar esta expressão na forma: ax + b = 0 onde: "a" deve ser sempre diferente de 0 e os valores de a e b são constantes. Este é o formato de uma equação de primeiro grau, com uma incógnita. Para resolver uma equação do primeiro grau devemos encontrar valores que satisfaçam à sentença proposta, ou seja, procurar por valores que, ao substituírem as letras da expressão algébrica, tornem verdadeira esta sentença. Para tanto, basta separar as incógnitas dos números, colocando cada um deles de um lado do sinal de igual (=). Assim, teremos de um lado os valores desconhecidos (os que procuramos) e do outro, as constantes (os que conhecemos). Mostre, aos estudantes, que este método para a resolução de equações do 1º grau, onde separamos em lados opostos do sinal de igualdade, incógnitas e constantes, é, na verdade, uma simplificação. O pensamen-

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to matemático original que possibilitou esta forma veio da propriedade matemática que diz que podemos somar ou subtrair quantidades iguais dos dois lados de uma expressão, sem alterar seu resultado. Veja um exemplo desta propriedade aplicado ao caso: 2x + 6 = 12 Ao ‘isolar o 2x’, aparentemente, simplesmente ‘passamos o 6 para o outro lado (invertendo o sinal) mas, a propriedade que permite que isso seja possível, na verdade consiste em somar -6 em cada um dos termos, fazendo com que o 6 desapareça, sobrando apenas o 2x. Veja: 2x + 6 (-6) = 12 (-6), de onde concluímos: 2x + 6 – 6 = 12 – 6 Realizando as subtrações, temos: 2x = 6 Para encontrar a solução em um sistema de duas equações com duas incógnitas, temos alguns métodos. O primeiro deles é o de tentativa e erro. Sim, para equações simples utilizadas nos exemplos, chega a ser uma solução viável. Mas, certamente, com um mínimo aumento de dificuldade, este passa a ser um método praticamente impossível de ser realizado.

Apresentando o método de substituição Este é um dos métodos mais usados para resolver estes sistemas de equações. Como diz o próprio nome, faremos uma substituição. Se temos duas equações e duas incógnitas no sistema, o que fazemos, nesta proposta, é isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituí-la na outra equação. Assim, reduzimos a nossa equação a apenas uma incógnita. Veja um exemplo prático em que o sistema testado logo acima é utilizado. Equação 1 x + y = 40 Equação 2 x – y = 16 Vamos isolar o ‘x’ na primeira equação. Temos, assim: x = 40 – y (o y muda de lado trocando o sinal). Agora, na equação 2, ao invés de usar o x, vamos substituí-lo pelo valor isolado na equação 1. Teremos: 40 – y – y = 16 Resolvendo: 40 – 16 = 2y ―› 24 = 2y ―› y = 12

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Sabendo o valor de y, encontramos o valor de x, pois conforme já sabemos, x = 40 – y = 40 – 12 = 28. Temos assim o par ordenado (28, 12) como solução para esta equação.

Apresentando o método de adição Este método é muito interessante e depende bastante da percepção e da observação do estudante para saber quando utilizá-lo. Como diz o próprio nome, para resolver equações utilizando este método, devemos somar estas equações. Vejamos um exemplo. Determine o resultado (x, y) para o sistema abaixo:

{

5x + 4 y = 22 3 x - 4y = - 6

Para resolver a questão pelo método de adição, como diz o próprio nome, basta somar as duas equações. Vejamos: 5x + 4 y = 22 3 x - 4y = - 6 8x+ 0 = 16 De onde concluímos que 8x = 16 e que x = 2 Conhecendo o valor de x, encontramos o y, substituindo este valor x em qualquer das equações. Por exemplo, na primeira: 10 + 4y = 22 De onde concluímos que 4y = 12 e que, portanto, y = 3. Pronto, perfeito. Mas, o importante, professor(a), é mostrar aos estudantes que, não sendo pedido qual método utilizar, a observação e a análise da equação são um importantíssimo elemento para se determinar a escolha. No exemplo usado acima para apresentar o método de adição, a resolução só se tornou fácil porque o temo y da primeira equação, somado com o termo y da segunda equação foi reduzido a 0 desapareceu, logo na primeira operação. Isso facilitou muito a utilização deste processo. Isso aconteceu porque no sistema utilizado existia o que chamamos de termos opostos. Na verdade, observando e analisando a equação poderemos escolher o melhor método para sua resolução. No caso de utilizar o método de adição, quando não é possível eliminar logo em um primeiro momento uma das incógnitas, devemos usar a multiplicação ou a troca de sinais em uma das equações até que essa eliminação seja possível.

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Jogo Deslocamento comandado por uma expressão matemática. Este jogo tem como objetivo exercitar, de maneira bastante rápida, a realização de cálculos definidos por sentenças algébricas simples.

Descrição Inicialmente, marcamos um caminho no chão, com 17 pontos de parada. O objetivo do jogo é o de transpor o caminho marcado, chegando ao final com números exatos de passos (não pode sobrar). O jogo é disputado em duplas. Um dos participantes se desloca pelo caminho enquanto o outro calcula a quantidade de passos, resolvendo uma expressão matemática. O ‘calculista’, para dizer a quantidade de passos do colega, deverá (em um tempo curto, 30 segundos, por exemplo) encontrar valores para os quais, quando substituídos na sentença matemática, dêem, como resultado, o número de passos desejados. Podem jogar, alternadamente, várias duplas, para ver qual delas consegue primeiro atingir ao objetivo. Sugestão de expressões a serem sorteadas para cada jogada. a. O dobro desse número Se o número é representado pela letra ‘z’, o dobro deste número, qualquer que seja o valor de z, poderá algebricamente ser representado por 2z. b. O antecessor desse número (esta define o ganhador, na maioria das vezes) Sabemos que o antecessor de um número é o número que antecede a este número. No caso de números pertencentes ao conjunto dos números naturais, podemos representar o antecessor por (z – 1). c. O valor de a que torne a sentença verdadeira. 35 – a + 34 = 0. (Podemos criar várias expressões, bem simples, para que o estudante possa resolver de cabeça).

Exemplo João e Maria formam uma dupla. Maria inicia calculando, e João, se deslocando: a. Maria sorteia uma expressão: ‘O valor de a que torne a sentença verdadeira. 35 – a + 34 = 0’. Maria tem 30 segundos para encontrar o resultado e encontra a resposta (correta) a = 1. b. João se desloca 1 passo. c. É a vez de outra dupla jogar. O procedimento é o mesmo. Sorteia-se a expressão, resolve-se e o resultado é a quantidade de passos. Se o tempo máximo se esgotar, ou se a resposta não for correta, não existe deslocamento, a dupla perde a vez e outra dupla joga.

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d. Em um dado momento do jogo, vamos dizer que Maria sorteie a seguinte expressão: (n – 1). Isso quer dizer que Maria pode ganhar o jogo observando quantos passos exatos João deve dar para chegar ao final e falar o sucessor deste número.

Você lembra? Estes assuntos também são abordados no livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) na aula 61: Expressões algébricas, 71 : Produtos notáveis; e na aula 72 : Fatoração. Os conteúdos destes encontros são muito importantes, pois o conhecimento deles vai ajudar na interpretação do enunciado dos desafios e na escolha do melhor caminho para resolvê-los. Conforme já dissemos, uma das primeiras propostas da álgebra foi a de simplificar, de cortar caminhos. Mas isso só é possível quando se conhecem os caminhos para se garantir que nenhum registro esteja sendo excluído.

Desafio Veja este desafio da 8ª OBMEP 2012, 1ª fase, nível 1. 1) A balança da figura está equilibrada. Os copos são idênticos e contêm, ao todo, 1.400 gramas de farinha. Os copos do prato da esquerda estão completamente cheios e os copos do prato da direita estão cheios até a metade de sua capacidade. Qual é o peso, em gramas, de um copo vazio?

Comentário Este é um ótimo desafio para trabalharmos com equações do primeiro grau. Note, pelo enunciado, que temos todas as informações necessárias para montarmos uma equação.

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Solução Vamos chamar de f o peso da farinha e de c o peso do copo Primeiro passo Observando o desenho, como a balança está equilibrada, podemos dizer que o peso de dois copos cheios de farinha é igual ao peso de três copos com farinha pela metade. Considerando a farinha de um copo cheio como duas metades de farinha, matematicamente representamos esta sentença assim: 4f + 2c = 3f + 3c, onde: 4f = peso de quatro ‘meias’ farinhas, 2c = peso de dois copos, 3f = peso de três meias farinhas e 3c = peso de 3 copos. Segundo passo Resolvemos, agora, a equação: 4f + 2c = 3f + 3c Separando os termos (colocando f de um lado e c do outro). f = c. Isso quer dizer que o copo tem o mesmo 4f – 3f = 3c – 2c peso de ‘meia’ farinha. Terceiro passo Pelo enunciado do problema, sabemos que 7f = 1400 gramas (pois 7f é a quantidade total de meia farinha). Desta afirmação, concluímos que f = 1400 ÷ 7 = 200 gramas.

Solução Como já sabemos que f = 200 gramas e f = c, concluímos que c = 200 gramas. Ou seja, cada copo pesa 200 gramas. Veja também esta questão da 7ª OBMEP 2011, nível 2. 2) "Quantos copos, de 130 mililitros, conseguimos encher (até a borda) com dois litros de água?"

Comentário Podemos observar que este é um enunciado bastante simples e que temos, nele, todas as informações necessárias para montar uma equação. O único dado que precisamos rever é a questão da transformação de litros em mililitros, para usarmos a mesma unidade de medida.

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Solução Primeiro passo Chamando de c a quantidade de água possível de ser colocada dentro de um copo, até a sua borda, temos c = 130. A quantidade total de água que pretendemos utilizar é de 2000 (2 litros = 2.000 mililitros). Segundo passo Podemos, assim, montar a equação substituindo por x (quantos copos) a quantidade de copos possível para a quantidade de água disponível. Como o copo é de 130 mililitros, (x = 130), temos: 130x = 2000 Terceiro passo Calculando o valor de x temos: x = 2000 ÷ 130 = 15,......

Resposta Temos como resposta 15 copos. Importante notar que sobrou água, pois a divisão não foi exata, mas como a solução é pedida em copos cheios, desprezamos esta sobra. Vamos analisar o seguinte desafio, um problema clássico da matemática: 3) "Um gavião passou voando ao lado de um bando de pombas e as saudou: 'Bom dia, minhas 100 pombas!' Elas responderam: Bom dia, Gavião, mas 100 pombas não somos nós. Mas nós, tantas outras de nós, mais a metade de nós, mais a quarta parte de nós e contigo, gavião, 100 pombas seremos nós!". Quantas pombas eram elas?

Comentário Este problema clássico da matemática pode facilmente ser resolvido pela utilização da álgebra. Note que, mesmo sendo o enunciado meio rebuscado, numa linguagem que dificulta a sua compreensão, temos todos os elementos necessários para montar uma equação.

Solução Primeiro passo Interpretação das informações textuais e transformação destas em expressões matemáticas.

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"Nós" (chamamos de x) "Outro tanto de nós" (o mesmo valor de x, repetido duas vezes) "Metade de nós" (x/2) "Um quarto de nós" (x/4) "E contigo" (+1) Segundo passo Montando a expressão matemática x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100 Terceiro passo Separando o x, teremos: x + x + x/2 + x/4 = 99 Resolvendo a equação, temos: Encontrando o mmc e reduzindo ao mesmo denominador = 4x + 4x + 2x + x = 396

Resposta 11x = 396 ―› x = 36. Pronto, 36 pombas.

Observação Agora, professor(a), aproveite este problema clássico para mostrar, aos estudantes, como foi importante para a humanidade a sistematização do conhecimento algébrico. Antes da sistematização de álgebra e da sua utilização de forma mais corriqueira, este problema podia ser resolvido utilizando um raciocínio chamado de falsa posição, que utiliza os mesmos princípios da regra de três. Esta forma já era utilizada pelos antigos egípcios e pelos babilônios e encontramos alguns exemplos com este tipo de solução no famoso papiro de Rhind, escrito 3700 anos atrás. Para resolver o problema por este sistema, teremos que escolher um número qualquer. Arbitrariamente, e, com este número, fazer as operações de acordo com a resposta das pombas. Vejamos: Vamos escolher o número 20, por exemplo. Fazendo as operações, de acordo com as resposta, teremos: Nós = 20 Outro tanto de nós = 20 A metade de nós = 20 ÷2 = 10 A quarta parte de nós = 20 ÷ 4 = 5 E contigo, Gavião = 1 Somando estes, chegaremos a um resultado fictício. 20 + 20 + 10 + 5 + 1 = 56 Usando este resultado, montamos uma regra de três da seguinte maneira: PERCURSO LIVRE · Matemática · Ensino Fundamental

Subtraímos 1 do resultado fictício (56 – 1), subtraímos 1 do número total suposto pelo gavião (100 – 1) e estabelecemos uma proporção com o número por nós imaginado (20) e com o número que queremos descobrir (vamos chamar de x). (56 -1) estão para (100 -1) assim como 20 estão para x. Montando a regra de três e resolvendo a operação, teremos: 55 99

20 x

x = (99.20) ÷ 55 = 36. E, realmente, são 36 bombas. Imagine e mostre aos estudantes quantos séculos de pensamentos foram necessários para que se chegasse a uma formalização que desse este resultado de forma tão simples, como nossaprimeira resolução. Ou seja, recebemos um ‘pensamento’ pronto. Mas veja o tamanho do passo dado entre resolver de uma forma ou de outra!

Equação de segundo grau Apresentação do assunto Para classificar uma expressão algébrica como uma equação de 2º grau, temos que satisfazer uma exigência: um dos termos literais da equação tem que ser elevado ao quadrado. Ou seja, teremos sempre um x². Usando esta nomenclatura reconhecida internacionalmente, mostre aos estudantes que uma equação de 2º grau obedece a seguinte forma. ax² + bx + c = 0 Onde: a, b e c são números conhecidos pertencentes ao conjunto dos números reais e o ‘a’ será sempre diferente de 0. Mostre aos estudantes que, se a = 0, ax² também será = 0, portanto, não teremos o termo a², que identifica uma equação de 2º grau. Resolver uma equação de 2º grau é determinar as raízes que, substituindo os valores x e y (desconhecidos), tornem verdadeira a sentença original.Explicando por partes: 1. "Determinar as raízes" significa que, em algum momento termos que extrair a raiz quadrada (já que a equação e de 2º grau) para encontrar possíveis soluções. 2. "Tornar verdadeira a sentença original". Mostre, aos estudantes, que uma equação, na verdade, é uma sentença que, montada na

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forma vista acima, quer dizer exatamente: "quais as possibilidades de valores numéricos para as letras x e y, de tal forma que a operação proposta seja = 0?" Mostre, aos estudantes, que a forma usada por Bhaskara intuitivamente no século XII, chegou hoje, finalmente como a fórmula representada por: x=

-b±

b² - 4ac 2a

Nesta fórmula, temos: x = o valor que queremos descobrir para que nossa sentença seja possível, seja verdadeira. a = o valor numérico do termo x². b = o valor numérico do termo x. c = o valor do termo totalmente numérico. Agora, professora(a), mostre, aos estudantes, que resolver uma equação de 2º grau não é uma questão difícil, ao contrário. Depois de séculos de aprimoramento e encontrada esta ‘fórmula’, basta aplicá-la e... pronto! No entanto, a dificuldade na resolução depende muito da atenção de cada um. Depende de encontrar os dados corretos, de realizar as outras operações corretamente (extração de raízes, somas, subtrações, multiplicações e divisões, envolvendo, às vezes, números fracionários, decimais, negativos... encontrar o mmc ou mmd quando necessário...), enfim, a dificuldade, na verdade, pode se resumir na palavra atenção! Por outro lado, conhecer os caminhos percorridos para se chegar a uma fórmula tão sintética e objetiva, pode ser uma viagem fascinante pelo mundo do pensamento matemático, pode facilitar um ‘ir além’, um ‘descobrir coisas’. Faça sempre o passo a passo com os estudantes.

Jogo Corrida das equações Neste jogo, temos, como obejtivo, exercitar resolver equações do segundo grau, sorteando valores para os termos conhecidos.

Descrição Dividir a turma em quatro equipes. Cada equipe escolhe um participante para movimentar os peões. Os outros da equipe se concentram

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em descobrir a quantidade de passos a ser dada. Usamos uma fita métrica estendida como referência para o deslocamento de peões.

Preparando o jogo Crie cartões e os separe em três montes. No primeiro monte, coloque cartões com os seguintes valores: a1, a2, a3, a4, a5 – em qualquer quantidade para cada valor. Embaralhe e organize os cartões no monte com a face escrita para baixo. Para o segundo monte, faça cartões com os números b0, b3, b5, b10 (também em qualquer quantidade para cada valor). Para o terceiro número, faça cartões com os números c0, c6,c12, c24.

Jogando 1. O professor apresenta para a turma a forma conhecida que caracteriza uma equação de 2º grau. ax² + bx + c = 0 2. Todas as equipes, ao mesmo tempo, sorteiam três cartões, um de cada bloco. 3. Com os valores sorteados, cada equipe substitui os valores de a, b e c, e resolve a equação acima. 4. A primeira equipe a chegar ao resultado correto anda 10 marcas na fita métrica. As outras andam duas casas. 5. A equipe que apresentar um resultado, e este não estiver correto, volta cinco marcas na reta, e o primeiro a apresentar o resultado correto anda as 10 casas.

Do jogo à matemática Este jogo é uma proposta prática para exercitar, de maneira lúdica, a velocidade na resolução de equações do segundo grau. Trabalhar repetidamente a forma de resolução em equações simples facilita a sua utilização em questões mais elaboradas.

Você lembra? Na aula 73: Equações do 2º grau, no livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental), você encontrará algumas definições e nome utilizados em diferentes momentos deste estudo. Some estas informações com as informações que foram obtidas aqui. No momento de fazer o seu planejamento, pense que, quanto mais completa for a sua abordagem, maior a possibilidade de os estudantes conseguirem entender. 66

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Desafio 1) João e Maria são namorados e querem se casar. O pai de Maria discorda da ideia. Ele acha que ainda é muito cedo, que eles são muito novos e devem esperar. João argumentou que não é tão novo assim, afinal, ele é cinco anos mais velho do que Maria. E esta, querendo logo a permissão do pai, disse: "Se multiplicarmosas nossas idades, teremos 374 anos". Qual é a idade dos dois?

Comentário Este é um desafio que podemos resolver aplicando uma equação do segundo grau. Observe que, no enunciado, temos o produto da idade dos dois , que diz que João é cinco anos mais velho do que Maria. Representando por J a idade de João e por M a idade de Maria, matematicamente, podemos registrar estas informações como duas equações: J x M = 378 e M = (J- 5).

Solução Primeiro passo Substituindo, na primeira equação, a idade da Maria pela relação da idade dela com João, dada na segunda equação, temos: J x (J - 5) = 378 E realizando a operação J² - 5J = 374, temos a equação J² - 5J – 374 = 0 Segundo passo Como esta é uma equação de segundo grau, poderemos resolver aplicando a fórmula tradicional x=

-b±

b² - 4ac 2a

Onde b = -5, b² = (-5)², 4ac = 4 x 1 x 374 e 2a = 2 Terceiro passo E por se tratar de uma equação de 2ª grau, resolvendo, encontramos duas possibilidades de valores para J (a idade do João) J=

5±

25 + 1496 2

Teremos J = (5 + 39) ÷ 2 = 22 ou (5 - 39) ÷ 2 = - 17.

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Resposta Como não podemos ter idade negativa, descartamos a resposta – 17 e consideramos apenas a resposta = 22. Assim, João terá 22 anos e, como Maria é cinco anos mais nova, ela terá 17. 2) Beatriz, uma excelente artista, recebeu a encomenda de um quadro. Mas o comprador fez uma exigência: a tela precisaria cobrir uma área de 9.600cm² e ter uma largura uma vez e meia maior do que a outra. Quando foi encomendar a tela para iniciar o trabalho, o vendedor perguntou: quais as dimensões da tela que a senhora quer? E Beatriz pensou, pensou, pensou... Bem, elaestava demorando muito responder. Vamos encontrar a resposta para ela?

Comentário Seguindo o mesmo raciocínio do enunciado anterior, vamos registrar os dados fornecidos no enunciado de maneira matemática. A área da tela = 9600cm². Já sabemos que a área de um retângulo é dada pela fórmula A x L (altura x largura). Sabemos também que a relação entre a largura e altura deve ser de 1,5. Com estas duas , e fazendo as substituições, encontramos a forma para ter uma resposta.

Solução Chamando a largura de x e a altura de 3x ÷ 2, temos, então as seguintes equações A × L = 9.600cm² ―› x . 3x ÷ 2 = 9600 Temos, então, a equação formada 3x² ÷ 2 = 9600 ―› x² = 6400 e x = √6400 ―› L = ± 80. Como não podemos ter tamanhos negativos, desconsideramos o 80 e usamos como resposta apenas o 80.

Resposta Se uma medida é 80 cm, a outra será (80 × 3) ÷ 2 = 120. Teremos, assim, uma tela de tamanho 120cm / 80cm.

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4º ENCONTRO

Triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras

Professor(a), neste encontro apresentaremos alguns assuntos fundamentais para a resolução de problemas em diferentes contextos, envolvendo as relações métricas dos triângulos retângulos (teorema de Pitágoras). Apresentando este assunto aos estudantes, lembre que medir a terra foi uma das primeiras atividades sistematizadas do pensamento matemático.

Perpendiculares e paralelas Apresentação do assunto Neste primeiro momento, faremos uma pequena recordação dos conceitos básicos da geometria falando das retas, suas posições relativas e ângulos. Esta é uma preparação para resolver problemas envolvendo as relações métricas dos triângulos retângulos.

Jogo - O tamanho de um abraço Este tipo de jogo, bastante utilizado em dinâmicas de mobilização e entrosamento de grupos, propõe de forma concreta a construção e a observação de semirretas, e a relação entre elas quando colocadas sobre uma mesma superfície.

Descrição Primeira fase Peça aos estudantes que formem duplas. Cada dupla ganha um pedaço de barbante (tamanho próximo dos dois metros). Em seguida, um dos participantes de cada dupla estica bem os braços, como se fosse abraçar o colega. Este mantém os braços abertos enquanto o colega que ia

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ser abraçado utiliza o barbante para medir o tamanho do abraço, dando um nó em cada ponta do barbante para registrar a distância entre os pontos mais afastados dos braços abertos. Repetimos o procedimento invertendo os papéis para ter registrada a medida dos dois abraços. Segunda fase Utilizando o chão ou uma parede como referência, cada dupla assenta seus barbantes esticados sobre a superfície escolhida e cria uma frase usando como tema a palavra ‘abraços’, para apresentar a posição entre os dois barbantes.

Exemplos 1. ‘Nossos abraços estarão sempre juntos.' 1

2. ‘Nunca iremos nos abraçar!’

3. ‘Mais adiante, o meu abraço encontrará o seu.' 3

Do jogo à matemática A partir da observação das formas e dizeres construídos no jogo, aborde os conceitos matemáticos utilizados e defina reta, semirreta e mostre a posição relativa entre duas retas em um plano. Mostre, por exemplo, que "nunca iremos nos abraçar" é um conceito que, matematicamente, pode ser definido como retas paralelas. Usando as retas utilizadas no jogo, amplie as possibilidades e apresente a nomenclatura oficial utilizada na matemática para falar das posições relativas entre elas.

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Você lembra? Faça uma rápida revisão geral, mostrando estes conceitos básicos (ponto, retas, ângulos) e a importância destes no segmento do nosso estudo, onde trabalharemos com as relações métricas dos triângulos retângulos, em especial, o teorema de Pitágoras. Aproveite e amplie o assunto mostrando aos estudantes como funciona o ‘prumo’ de um pedreiro. Mostre a importância deste conhecimento nas antigas construções. A aula 30: Retas concorrentes, perpendiculares e paralelas, do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental), aborda este assunto.

Desafio 1) Manoel construiu sua própria casa. Depois de pronta, a casa ficou da forma apresentada no desenho seguir: Veja.

Durante algum tempo, a construção funcionou bem. Mas, logo na primeira chuva forte, a casa do Manoel caiu! Observando a casa, responda as perguntas: 1. Possivelmente, qual das paredes caiu primeiro? 2. Para qual lado (para dentro ou para fora da cassa) esta primeira parede caiu? 3. Por que a casa só caiu quando choveu forte?

Comentário Todas as questões deste desafio se solucionam utilizando conceitos de ângulo, de retas paralelas e observado a ação da gravidade.

Solução 1. Observando a casa de Manoel, possivelmente a parede não perpendicular ao chão (a parede torta) caiu primeiro. Assim, a ação da gravidade doi acentuada. 2. Observando o ângulo da parede, também podemos supor que a força da gravidade teve uma ação no sentido da seta (o ângulo

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formado pela parede com o chão era menor do que o reto neste sentido).

3. Observando o telhado, vemos que o ângulo formado pelo lado a com a perpendicular traçada é menor do que o ângulo formado pelo lado b com a mesma perpendicular. Assim sendo, com chuva, a água do lado a escorria mais rapidamente do que a água do lado b. Ou seja, no lado b, a água água ficou mais empoçada e fez mais peso. a

2) O vendedor de algodão doce, João, trabalha no parque. Mesmo sem se dar conta, para fazer o menor esforço possível ao segurar o seu produto, João utiliza um conceito matemático. Observe os três desenhos a seguir e elabore um pequeno texto para cada um, com explicações matemáticas a respeito do esforço feito por João em cada caso, utilizando os conceitos de ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso.

Comentário Como este é um desafio dissertativo, devemos observar a capacidade dos estudantes de reconhecer e verbalizar os conhecimentos adquiridos a respeito de ângulos.

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Solução Independentemente da forma do comentário feito pelos estudantes, eles deverão pontuar: Desenho 1 O esforço de João é mínimo, pois quando o ângulo é reto, o peso do algodão doce se apoia na própria estrutura.

Desenho 2 Por causa do ângulo pequeno (menor do que um reto), , João empurra a estrutura que, com a força da gravidade, tenta cair sobre ele.

Desenho 3 Por causa do ângulo grande (maior do que um reto), João é forçado a segurar o peso da estrutura, que tenta, pela ação da gravidade, se afastar dele e cair no chão.

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O teorema de Pitágoras Apresentação do assunto Este é um dos assuntos mais versados na história da matemática. Pitágoras foi um grego que, 2.500 anos atrás, iniciou a sistematização da geometria. Sabemos que questões geométricas já eram estudadas desde civilizações bem mais antigas, há 4 mil anos. Mas a importância de Pitágoras vai além do fato de ele ter sido um grande estudioso da matemática. O professor Pitágoras preocupou-se em sistematizar um conhecimento para passá-lo adiante.

Jogo - Montando triângulos Neste jogo, vamos trabalhar com nossa capacidade de perceber a possibilidade de montar triângulos. A partir da definição que caracteriza a figura, o jogo se propõe a mobilizar os estudantes para que procurem e encontrem a maior quantidade de formas triangulares a partir das referências apresentadas.

Preparação Apresente aos estudantes um tabuleiro com 10 pontos aleatórios. Veja o desenho. Observação: se não existem tabuleiros disponíveis, faça 10 pontos utilizando giz e uma parte do quadro, ou coloque 10 sementes num determinado espaço do chão etc.

Descrição Fase 1 Forme duas equipes entre os estudantes, combine um tempo para que cada uma desenhe triângulos quaisquer no tabuleiro, traçando retas com origem em quaisquer destes pontos. Fase 2 Agora, diminua o tempo e peça peça para que cada equipe desenhe o máximo de triângulos que conseguir, de tal forma que, dentro da figura, exista apenas um ponto. Veja o exemplo:

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Fase 3 Diminua o tempo novamente e peça, agora, às equipes que formem o máximo de triângulos que não tenham nenhum ponto no seu interior. Veja o exemplo.

Observação Professor, você pode ampliar o jogo utilizando outros critérios para a formação de novos triângulos, até que fique clara a aquisição desta habilidade de reconhecer e visualizar triângulos pelos estudantes.

Do jogo à matemática A partir da visualização dos triângulos, apresente aos estudantes os conceitos básicos que definem esta figura geométrica. Mostre no tabuleiro usado, a relação de tamanho necessária para que três retas formem um triângulo. A partir de alguns dos triângulos feitos pelos estudantes, apresente as classificações básicas dos triângulos.

Você lembra? Num caso muito especial, quando duas das três retas concorrentes que formam um triângulo são perpendiculares, ou seja, fazem um ângulo reto, o triângulo formado por elas recebe o nome de triângulo retângulo. Pitágoras desenvolveu seu teorema observando um triângulo retângulo formado, respectivamente por segmentos de reta de tamanhos 3, 4 e 5 unidades. A área do quadrado formado sobre o lado maior é igual à soma da área dos dois outros quadrados formados sobre os lados menores. Veja o desenho:

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a2 c2

a b b2

Desta maneira, confirmamos que 25 = 16 + 9. Pitágoras provou que esta regra era válida não apenas para triângulos com lados destes tamanhos 3, 4 e 5 e, sim, para qualquer triângulo retângulo. Esta regra é matematicamente registrada na forma a2 = b2 + c2 Isso quer dizer que, em um triângulo retângulo, o quadrado da medida do maior lado é igual à soma do quadrado das medidas dos dois outros lados. Como chamamos de hipotenusa o lado maior e de catetos os outros dois lados, podemos resumir assim este teorema: O quadrado da hipotenusa é igual ao quadrado da soma dos catetos Denominando a hipotenusa de a, e os catetos de b e c, temos a a2 = b2 + c2 fórmula acima citada Na aula 54: O teorema de Pitágoras, do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental), são apresentadas algumas das maneiras que você pode usar para provar o teorema de Pitágoras. Para adquirir a habilidade de resolver problemas envolvendo as relações métricas dos triângulos retângulos, revise este conteúdo com os estudantes, mostrando a eles como podemos utilizar conhecimentos anteriores para confirmar e explicar novos conhecimentos.

Desafio Uma questão bastante semelhante a esta foi apresentada na 6ª OBMEP 2010, 1ª fase, nível 2. 1) Veja o quadrado abaixo. Em seguida, marque os pontos médios das laterais e o ponto central.

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Una os pontos médios das laterais, forme outro quadrado e, em seguida, una os pontos das laterais opostas, passando pelo centro.

Conte o número de triângulos retângulos formados.

Comentário Lembrando do jogo proposto no início do encontro, tente visualizar a possibilidade de montar triângulos unindo estes pontos. Como no desafio a proposta é observar triângulos retângulos, procure visualizar retas perpendiculares, ângulos retos.

Solução Observando por seções: Contamos 4 triângulos retângulos pequenos nesta parte externa.

Contamos 4 triângulos retângulos pequenos nesta parte interna.

Contamos 4 triângulos grandes nesta parte.

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Solução Somando os triângulos contados em cada parte, temos o total de 12. Observe esta questão apresentada na 6ª OBMEP 2010, 1ª fase, nível 1. 2) A figura mostra um quadrado dividido em 16 quadradinhos iguais. A área sombreada corresponde a que fração da área do quadrado?

Comentário Para resolver este desafio, partimos da seguinte observação: quando dividimos um quadrado por uma de suas diagonais, formamos dois triângulos retângulos.

Solução A partir desta observação, feita acima, podemos dizer que, para cada dois triângulos retângulos, teremos a área de um quadradinho. Como, na figura, temos oito triângulos retângulos sombreados, isto significa que esta área sombreada corresponde à área de quatro quadradinhos. Como a área total é de 16 quadradinhos dos quais quatro são pretos, montando uma regra de três (assunto já visto no 2º encontro), temos a nossa resposta.

Resposta 16 = 4

1 x

―› x = 4 = 1 da área do quadrado grande 16 4

Observe abaixo este desafio, semelhante a uma das questões do ‘banco de dados’ da OBMEP 2012, nível 1. 3) José Carlos, funcionário de uma usina, duas vezes em cada turno, observa todos os painéis nas faces laterais que circulam as três turbinas e anota vários dados para que sejam analisados pela equipe de segurança. Sabendo que as turbinas têm o mesmo tamanho, observe no desenho das três turbinas e responda: Trabalhando dois turnos, quantos metros, no mínimo, José Carlos se desloca por dia para realizar o seu trabalho?

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área interna do quadrado = 16 m2 em todas as turbinas

a distância d entre cada turbina é de 10 m, mesma distância da turbina 1 até a mesa do José Carlos

mesa onde o José Carlos digita os dados recolhidos

este lado do triângulo (igual em todas as turbinas) é um pronlogamento com o mesmo tamanho do lado do quadrado este lado interno do triângulo (igual em todas as turbinas) em tamanho igual a 3/4 do lado do quadrado

Comentário Neste desafio, temos que traçar, inicialmente, o menor caminho percorrido por José Carlos e, a partir deste, calcular o caminho total percorrido em dois turnos. Usaremos o teorema de Pitágoras para calcular a parte do trajeto correspondente ao lado desconhecido do trajeto que forma um triângulo retângulo.

Solução Primeiro passo Calcular o menor caminho percorrido por José Carlos (de maneira que não repita nenhuma das partes):

Segundo passo Calculando as distâncias em cada face do painel que circula a turbina.

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• Como a área do quadrado é 16m², cada lado deste quadrado terá 4 metros. (utilizando ℓ = √ 16 = 4m).

• Conhecendo o lado do quadrado, já sabemos a medida de dois lados do triângulo que serão respectivamente: b = 4m (igual ao lado do quadrado) e c = 3m (3/4 do lado do quadrado).

• Conhecendo o tamanho dos dois lados do triângulo (dois catetos), calculamos o terceiro (a hipotenusa).

h² = 3² + 4² ―› h² = 25 ―› h = 5 km Terceiro passo Reunir, assim, todas as medidas necessárias para calcular o deslocamento completo. Veja:

Em cada face do painel, José Carlos se desloca 4 metros (o primeiro lado do triângulo), + 1 metro (1/3 do lado do quadrado) + 5 metros (o lado maior do triângulo) e observando que, para cada painel completo, ele repete este movimento 4 vezes, temos, para cada painel, o valor de 4(4 + 1 + 5) = 40 metros.

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Resposta Conforme demonstramos no primeiro passo, é possível percorrer o painel completo sem repetir nenhum dos seus lados, ou seja, como são três painéis, temos um total de 120 metros a serem percorridos, no mínimo. Também de acordo com o desenho realizado no primeiro passo, vimos que, entre cada painel; e entre o primeiro deles e o computador onde José Carlos digita os dados recolhidos; existe um deslocamento de 60 metros. Desta forma, em um turno, José Carlos percorre 180 metros. Como são dois turnos, ele percorre, no mínimo, 360 metros. por dia no seu trabalho.

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5º ENCONTRO

Áreas de figuras planas

Primeiras palavras Professor(a), por mais antigo que seja o estudo da geometria, pela observação e a compreensão das formas, ele é imprescindível em nossa vida hoje. A proposta deste encontro é apresentar alguns aspectos da evolução do pensamento geométrico, importantes para resolver cálculos ou a estimativa de problemas que envolvam o perímetro e a área de figuras planas desenhadas em malhas quadriculadas. Também se faz útil para identificar formas geométricas tridimensionais, como esferas, cones, cilindros, cubos, pirâmides, paralelepípedos, sem o uso obrigatório de terminologia convencional; e resolver problemas que envolvam o cálculo de áreas das principais figuras planas (quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio, triângulo); o cálculo de áreas por decomposição de polígonos e a planificação de cubos e pirâmides.

Perímetro e área das figuras planas em malha quadriculada ou não Apresentação do assunto Neste momento, vamos trabalhar com medidas de diferentes figuras planas. Mostre aos estudantes que esta noção de medir figuras planas nasceu da necessidade de medir caminhos para deslocamentos e de medir terrenos para cultivo ou construções. Mostre que muitas formas que podem nos parecer estranhas em um primeiro momento, na verdade, são agrupamentos ou divisão de figuras conhecidas e, portanto, possíveis de serem medidas a partir destas fundamentais. A malha quadriculada já era utilizada pelos antigos, de forma prática, para medir um terreno. Há séculos, já se sabia que não bastava medir apenas a frente ou um lado para se ter a exatidão de seu tamanho. Para medir os lados, se contavam os nós equidistantes de uma

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corda. O espaço entre os lados poderia ser medido pela contagem do número de quadrados de um mesmo tamanho, que preencheriam este espaço limitado pelas laterais. Veja um exemplo interessante de como era feita a observação para saber qual dos terrenos é maior, o acima do rio (a) ou o abaixo do rio (b).

rio b

Apenas observando, podemos confundir. Usaremos, assim, uma malha quadriculada para resolver a questão.

rio b

Tomando o mesmo quadrado como referência, vimos que, dentro do terreno a conseguimos colocar 18 quadrados; e dentro do terreno b, 20 quadrados. Isso quer dizer que, na malha quadriculada, o terreno b é dois quadrados maior do que o terreno a.

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Jogo - Criando caminhos Descrição Este é um jogo de percepção visual onde se trabalha a observação da posição e do tamanho de uma peça em relação ao tabuleiro e ao lugar ocupado pelas outras peças do jogo. Para jogar, usamos um tabuleiro comum de xadrez (com 64 casas). No lugar dos tradicionais peões, usamos três tipos de fichas como as apresentadas a seguir. Veja: Ficha com tamanho de duas casas do tabuleiro Ficha com tamanho de três casas do tabuleiro Ficha com tamanho de quatro casas do tabuleiro Usamos dois times de fichas: as pretas e as brancas. Cada time terá, inicialmente, uma ficha com tamanho 4; cinco fichas com tamanho 3; e seis fichas com tamanho 2. Observação: estas fichas podem ser feitas com papel cortado no tamanho das casas do tabuleiro disponível. O objetivo do jogo é que cada time construa, com estas fichas em sequência, um caminho. Este caminho inicia na última fileira de um lado e deve chegar à última fileira do outro lado, atravessando todo o tabuleiro.

Regras 1. Sorteado o iniciante, as jogadas seguem alternadas (como no xadrez). 2. Na sequência de fichas para formar o caminho até o outro lado do tabuleiro, o mesmo time deve sempre continuar sua jogada de forma que pelo menos uma das arestas junte-se, completamente, a uma arestaanterior (como no dominó). 3. Nenhum caminho novo pode passar por uma casa já ocupada (e isso possibilita dois tipos de observação: traçar o seu caminho e tentar imaginar e interditar o caminho do adversário).

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Exemplo de jogadas Imagine uma partida com a seguinte sequência: O lado amarelo inicia jogando a ficha de 4. O lado azul bloqueia o caminho, evitando que o amarelo, que já andou quatro casas, ande outras quatro e vença o jogo logo na segunda rodada.

O amarelo joga uma ficha de 3.

O lado azul joga uma ficha de 4 e assim por diante.

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Do jogo à matemática Usando o jogo realizado, conte os quadrados preenchidos no final da partida. Mostre aos estudantes que, embora em linha reta os lados opostos deste tabuleiro fiquem distantes em oito casas; dependendo do caminho percorrido, elas podem ficar bem mais afastadas. Somando o número de quadradinhos, podemos ter uma noção de quantas casas cada time percorreu. Fazendo uma transposição desta ideia para o conceito matemático, mostre que perímetro é o caminho percorrido, ou seja, o deslocamento linear feito ao redor de uma figura.

Você lembra? Estes conteúdos são encontrados na aula 14 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental): As coisas têm área, volume e forma. Neste momento, trabalhamos com os conteúdos básicos para resolver problemas envolvendo o cálculo do perímetro e as áreas das figuras planas.

Desafio Veja este desafio apresentado na 8ª OBMEP 2012, 2ª fase, nível 1. 1) Pedro brinca com um tabuleiro quadriculado 4 x 6 e com peças dos tipos A, B e C. Ele tenta cobrir inteiramente o tabuleiro com as peças, encaixando-as sem que nenhuma fique sobre outra. Por exemplo, usando somente peças do tipo C, ele consegue cobrir o tabuleiro, como indicado na figura. A

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Mostre como Pedro pode cobrir o tabuleiro usando somente peças do tipo A.

faça seu rascunho aqui

coloque sua resposta aqui

Mostre como Pedro pode cobrir o tabuleiro com peças dos tipos A e B, usando uma ou mais peças do tipo B.

faça seu rascunho aqui

coloque sua resposta aqui

Explique por que não é possível cobrir o tabuleiro usando somente peças do tipo B.

Comentário A questão é dividida em três partes, sendo que as duas primeiras (letras a e b) estão diretamente ligadas à observação das formas, de como elas se encaixam e de como, ao se juntarem, elas se transformam. Na 3ª parte da questão (letra c), estamos trabalhando com informações a partir da sistematização destas observações.

Solução da letra a Existem muitas formas de se resolver esta questão. Uma das mais simples parte da observação de que a forma A, ao se juntar com outra forma igual a ela, se transforma em um retângulo (como mostra o exemplo dado na prova, que utiliza a figura C). Veja:

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A partir desta observação, basta preencher o tabuleiro retangular com estes retângulos menores.

Solução da letra b Usando o mesmo tipo de observação (e apenas observação), mostramos uma das muitas soluções possíveis para preencher o tabuleiro. Montamos um retângulo unindo as peças a e b e preenchemos o retângulo maior com este menor.

Solução da letra c Já em relação à letra c, além da observação em si, devemos recorrer a um assunto desenvolvido na aula 21 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) e no 1º encontro .

• Observações necessárias:

O tabuleiro é formado por 24 quadrados. A peça B é formada por cinco quadrados. Trabalhar o conceito de números múltiplos.

Resposta Observando que a forma B é formada por cinco quadrados, o ajuntamento desta criará sempre outras cujos tamanhos serão múltiplos de cinco. Como o tabuleiro possui 24 quadrados e 24 não é um número múltiplo de cinco, torna-se impossível preencher o tabuleiro com formas a partir de cinco quadrados.

Observação Note que, nas letras a e b, os retângulos eram feitos sempre com um número de quadrados configurados por divisores de 24.

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Veja agora outra questão proposta na 8ª OBMEP 2012, 1ª fase, nível 1. 2) O retângulo ao lado, que foi recortado de uma folha de papel quadriculado, mede quatro centímetros de largura por cinco centímetros de altura. Qual é a área da região cinzenta?

Comentário Inicialmente, devemos perceber as duas figuras montadas sobre o papel quadriculado (malha quadriculada). Isso nos ajuda a ter uma noção do real formato de cada uma e, assim, torna-se possível calcular sua área. Para facilitar a explicação, chamamos de Tb a área total branca do desenho, e de Tc a área total cinza do terreno. Sabemos também que, se os lados da malha quadriculada medem quatro e cinco centímetros, a área total da malha mede 20 centímetros quadrados. Ou seja, as duas figuras juntas (Tb + Tc) = 20cm².

Solução Conseguindo relacionar mais uma vez a área cinza com a área branca, poderemos montar uma equação do primeiro grau (aula 62: Equações do 1º grau do livro do aluno do Telecurso - Ensino Fundamental) e presente no terceiro encontro do Percurso Livre de Matemática. Vamos novamente voltar a figura inicial, observado as relações entre a área cinza e a área branca. Primeiro passo Podemos traçar duas linhas perpendiculares aos lados menores do retângulo, usando como referência as pontas da figura formada. Pelo fato de a figura estar inserida em uma malha quadrada, podemos garantir que estas duas retas são perpendiculares aos lados menores. Veja esta representação no desenho. Pelo mesmo fato de estarmos em uma malha quadriculada, podemos garantir que as áreas dos triângulos formados a partir do traçado destas perpendiculares são idênticas, ou seja, a área branca (Tb) é igual à área cinza (Tc).

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Segundo passo Agora, observando outra parte da mesma figura, também podemos deduzir que estes novos triângulos também são idênticos (e com tamanho de dois quadrados cada). Tb

Terceiro passo Tc

E, na última parte formada da figura, também observamos que os triângulos são idênticos. Juntando estas observações, podemos deduzir que a área total cinza é igual à àrea total branca. Tb = Tc

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Temos, agora, os dois termos para formar a nossa equação.

Tb = Tc Tb + Tc = 20cm².

Resposta Montando a equação, temos: 2Tb = 20cm² Tb + Tc = 10cm² 3) Antônio tem um pequeno terreno à beira de uma estrada. Veja a planta de seu terreno em um papel quadriculado, onde cada quadrado representa quatro metros quadrados de área.

estrada

ﬁgura 1

terreno 1

Por questões urbanísticas da região, uma nova via projetada cortou uma parte do terreno de Antônio. Veja como ficou o terreno depois do corte. estrada nova

estrada

ﬁgura 2

terreno 2

terreno cortado

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Qual a área do terreno de Antônio que foi cortada?

Comentário Este problema se desenvolve de forma semelhante a um exercício apresentado na aula 14 do livro do aluno do Telecurso - Ensino Fundamental (Mudando a forma de uma figura). A solução se baseia no cálculo da área da figura 1 de onde será tirada a área do terreno cortado, formando a figura 2.

Solução Primeiro passo Se cada quadrado tem quatro metros quadrados de área, podemos encontrar a medida dos lados deste quadrado, pois, como vimos anteriormente, a área do quadrado é o produto de suas dimensões, ou seja, lado x lado. Assim: aplicando raiz quadrada em ambos os lados 4 = a² a² = 4, fatorando 4 temos que 4 = 2 x 2 = 2², assim: a=2 a² = 2² Segundo passo Sabendo o valor de a, medimos a área do retângulo do terreno 1. Como a = 2, e o desenho está sobre uma malha quadriculada, podemos dizer que o terreno 1 mede, respectivamente, 16 metros de frente com 12 metros de profundidade. Calculando a área = f (frente) x l(lateral), temos 16 x 12 = 192m² = a. Considerando, novamente, que a planta do terreno está feita sobre um papel quadriculado, podemos criar outro retângulo dento deste, determinado pelos pontos onde o terreno foi cortado. Veja:

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Já conhecendo a medida a, a área deste novo retângulo poderá ser obtida tomando as medidas dos lados: 6 x 8 = 48m².

Resposta Como a nova estrada corta este novo retângulo exatamente ao meio, a área cortada, então, corresponde à metade desta encontrada acima. Portanto, a resposta ao nosso desafio é: 48 ÷ 2 = 24m².

Identificando formas geométricas tridimensionais Apresentação do assunto A grande importância deste assunto, professor(a), é que estas são as formas e as figuras que realmente vemos. Nosso mundo é tridimensional. Este é um assunto fascinante que deu origem ao estudo da ótica, da fotografia e do cinema, se ampliando hoje para a reprodução da imagem tridimensional de figuras em diferentes tipos de suportes (TV, celulares, computadores, projeções visuais etc).

Jogo - Adereços giratórios Este jogo tem como principal objetivo permitir, aos estudantes, a manipulação direta de materiais para a construção de formas geométricas tridimensionais. A partir da observação do espaço preenchido pelo giro de uma figura plana, temos a exata noção de como se representa, em uma superfície plana, as figuras tridimensionais. Nesta sugestão, professor(a), apresentaremos apenas ideias básicas para o desenvolvimento do conceito matemático. Havendo possibilidades, esta é uma dica que pode ser explorada esteticamente e se transformar em um interessante trabalho artístico. Havendo tempo, veja com os estudantes um interessante site que aborda este assunto: http://www.youtube.com/watch?v=TN0sAaQmSqk

Descrição Inicialmente, peça aos estudantes para que recolham caixas grandes de papelão. Supermercados, farmácias, lojas de eletrodomésticos e demais lugares que recebem muita carga embalada são os ideais para se conseguir este material. Com o papelão, peça que recortem formas básicas: quadrados, retângulos, círculos (usem como molde um prato, um LP antigo, uma tampa de panelas etc.) e triângulos (triângulos de todos os tipos: equiláteros, isósceles, retângulos etc.).

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Nestas formas recortadas, cole um barbante (passando pelo meio da forma), de fora a fora, como nos desenhos abaixo.

Depois de fixo o barbante, professor, peças aos estudantes que trabalhem em dupla. Um deles segura o barbante esticado, o outro gira a forma observando o espaço ocupado pela forma ao girar. Peça que eles verbalizem uma explicação do movimento e descrevam o espaço ocupado durante o giro. Aproveitando, ainda, o papelão, professor(a), construa, com os estudantes, três formas tridimensionais básicas que não são obtidas pelo giro e, sim, pela utilização destas formas, unidas por uma ou várias das suas laterais. Peça que eles verbalizem cada ação realizada (qual lado foi colado com qual lado etc.). Use quatro triângulos equiláteros iguais e forme este objeto:

Use seis quadrados iguais e construa este outro objeto:

Use dois quadrados e quatro retângulos, nesta proporção, e construa mais um objeto:

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Peça para quem eles pendurem estes objetos pela sala. A observação dos movimentos das formas girando ao vento pode trazer informações importantíssimas para o nosso estudo.

Do jogo à matemática Depois de observados os deslocamentos; depois de verbalizados os movimentos e visualizada a ocupação do espaço em cada deslocamente; depois de descrita cada ação para a junção dos lados das formas, professor(a), apresente as figuras tridimensionais surgidas pelo movimento sobre um eixo de cada figura plana, ou pela união das laterais destas figuras planas. Reconhecer figuras tridimensionais se torna muito mais fácil se o estudante percebe e visualiza, na prática, o movimento ocorrido com a figura plana para que ela ganhe volume. Ou seja, a melhor maneira para apresentar os estudantes a estas figuras é construindo-as junto com eles. A partir desta visualização apresente os nomes das figuras tridimensionais obtidas (esfera pelo giro do círculo, cone pelo giro do triângulo, cilindro, pelo giro do quadrado e do retângulo – o cilindro será mais grosso ou mais fino, dependendo da posição do retângulo), pirâmide, cubo etc.

Você lembra? A primeira observação interessante a respeito deste assunto, professor(a), é mostrar para os estudantes que as figuras planas, normalmente, podem ser decompostas em retângulos e triângulos. Se os estudantes ainda apresentarem dificuldades em visualizar esta possibilidade de decomposição, trabalhe bastante com o Tangram, por exemplo. Esta percepção visual é fundamental para resolver problemas que envolvam o cálculo de áreas das principais figuras planas -

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quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio, triângulo - e o cálculo de áreas por decomposição de polígonos e planificação de cubos e pirâmides. Este assunto é apresentado nas aulas 28 e 52 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Aproveite para recordar o assunto e, no momento de seu planejamento, tente relacioná-lo, pois, na prática, eles quase sempre caminham juntos.

Desafio 1) João Pedreiro foi contratado por Dona Elvira como encarregado da construção de paredes especiais para sua sauna, com tamanho total de seis metros de comprimento, por dois metros de altura. Antes de iniciar a construção, ele apresentou um orçamento, levando em conta o custo do material e o custo da sua mão de obra, em função do tempo necessário para realizar o serviço. Veja a relação abaixo. Diária do pedreiro com ajudante: R$150,00

tijolo A = 24 x 8 cm cada tijolo deste custa R$1,20

tijolo B = 8 x 8 cm cada tijolo deste custa R$0,25

Usando o tijolo A, João consegue construir 6m² por dia. Usando o tijolo B, João consegue construir 4m² por dia. Sabendo que Dona Elvira é conhecida por ser econômica, qual deve ter sido a opção por ela escolhida?

Solução Primeiramente, calculamos a área total da parede = 6 x 2 = 12m² Calculamos a quantidade de tijolos usados (cada tipo), utilizando a decomposição de polígonos e obtemos:

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TIPO A 25 tijolos para o comprimento 25 tijolos para a altura 625 tijolos tipo A Custo = R$750,00 TIPO B 75 tijolos para o comprimento 25 tijolos para a altura 1875 tijolos tipo B Custo = R$478,75 Tempo de serviço Tijolo A = 12m² ÷ 6m² = 2 dias Tijolo B = 12m² ÷ 4m² = 4 dias

custo total de diárias R$300,00 custo total de diárias R$450,00

Custo total da obra com tijolo A = R$300,00 + R$750,00 = R$1.050,00 Custo total da obra com tijolo B = R$450,00 + R$478,75 = R$928,75

Resposta Certamente, mesmo demorando um dia a mais, a Dona Elvira, por ser econômica, preferiu os tijolos tipo B. Veja uma questão da 8ª OBMEP 2012, 1ª fase, nível 2. 2) Um cubo foi montado a partir da planificação mostrada na figura. Qual é o produto dos números das faces desse cubo que tem uma aresta comum com a face de número 1? 6 2

4 5

Comentário Para resolver este desafio, trabalhamos com ‘planificação de cubos’. Depois de realizada esta ação, faremos o cálculo do produto presente no 1º encontro do Percurso Livre de Matemática.

Solução A primeira parte da solução consiste em perceber que, em um cubo, uma das faces é sempre oposta à outra e vizinha de outras quatro. Observando a figura planificada, vemos que a face 3 é vizinha da face 2, da face 6, da face 4 e da face 5 (assim que dobrada – já que estas tem um ponto em comum).

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Isso quer dizer que a face 1 será oposta a face 3, portanto, serão vizinhas desta face todas as outras quatro.

Resposta O produto, então, será calculado por: 2 x 4 x 5 x 6 = 240 Veja esta outra questão, apresentada na 6ª OBMEP 2010, 1ª fase, nível 2. 3) Um quadrado de papel de 20 centímetros de lado, com a frente branca e o verso cinza, foi dobrado ao longo das linhas pontilhadas, como na figura. Qual é a área da parte branca que ficou visível? 20 cm

6 cm 8 cm

Comentários Nesta questão, trabalhamos com a resolução de problemas que envolvam o cálculo de áreas de figuras planas para chegar ao resultado. Inicialmente, vamos decompor o quadrado em partes, definidas pelas dobras, para visualizar melhor a figura determinada (parte branca) e poder calcular a sua área.

Solução Primeiro dado importante a ser observado é que a figura é um quadrado. Ou seja, todos os seus lados são iguais. A partir desta observação, determinamos um dado que não está explícito na figura inicial, mas é de fundamental importância para a resolução do problema. Veja: 20 cm

este lado mede: 20 cm - 6 cm = 14 cm

6 cm

8 cm

este lado mede: 20 cm - 8 cm = 16 cm

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Após a primeira dobra, teremos:

8 cm

6 cm 8 cm este lado continua com 20 cm

Após a segunda dobra, teremos:

8 cm

4 cm

Resposta A partir da observação desta figura, teremos, então, aplicando a fórmula já conhecida, a área do retângulo (A = b x c) definida por 8 x 4 = 32 cm. 4) Um treinador da equipe de natação, antes de iniciar o treino dos atletas dentro da água, pediu que fizessem um aquecimento correndo ao redor da piscina. Porém, como esta não era uma piscina oficial, teve antes que calcular a sua medida exata, para definir o número de voltas que deveriam dar: o suficiente para o aquecimento e não o bastante para que ficassem cansados e não conseguissem prosseguir com o treino. No entanto, ele não tinha fita métrica para realizar a medida. A saída foi procurar o zelador do clube, que tentou ajudar dando uma única informação. “Não sei o tamanho, não, mas todos os dias eu cubro a piscina com duas lonas, para evitar que folhas caiam na piscina. Está escrito nelas: lona quadrada de de área 16 metros quadrados." Calcule o perímetro da piscina para ajudar o treinador a definir o número de voltas a serem dadas pelos atletas.

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Comentário Este desafio requer dois momentos: resolver problemas que envolvam o cálculo ou a estimativa dos problemas que envolvem perímetro; e resolver questões acerca do cálculo de áreas de figuras planas. O mesmo processo de organização de pensamento para calcular o um perímetro é também usado para o cálculo de uma área. O perímetro de uma figura geométrica é definido pela soma das semirretas que formam seus lados. Por exemplo, o perímetro de um quadrado P (q) é calculado pela soma de seus lados: a + a + a + a (já que os quatro lados do quadrado são iguais). No caso de um retângulo, o perímetro também é dado pela soma dos quatro lados. Como estes são iguais dois a dois, podemos escrever: ou, colocando o fator comum em evidência (aula 22: Trabalhando com múltiplos do livro do aluno do Telecurso - Ensino Fundamental). Relembrando, o perímetro é medido em unidades lineares, pois é calculado pela soma destes lados (a multiplicação aqui é usada apenas para encurtar caminhos). As áreas são medidas por unidades ao quadrado.

Solução A primeira observação é a de que, se duas lonas quadradas cobrem a piscina, esta tem a forma de um retângulo formado pela associação destes dois quadrados. Se a área do quadrado mede 16 metros quadrados, podemos concluir que cada lado deste quadrado mede 4m (lineares). Neste caso, fica fácil deduzir que o retângulo formado tem dois lados com quatro metros metros e outros dois com oito metros. Usando esta medidas, teremos: P(r) = 2(8 + 4) = 24cm P(r) = 2(a + b) Isso quer dizer que, a cada volta ao redor da piscina, os atletas correram vinte e quatro metros. Veja a solução ilustrada. lona 16 m2

lona 16 m2

4m 4m

total de 32 m2

32 ÷ 4 = 8 m2

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Resposta O perímetro é de 12 metros, distância percorrida pelos atletas a cada volta realizada. Questão semelhante foi apresentada na 9ª OBMEP 2012 – 1ª fase, nível 1. 5) Esta parte da cidade, representada abaixo, era bem planejada e os quarteirões eram igualmente divididos, formando uma malha de retângulos iguais. Três amigos saíram de um shopping onde lanchavam e foram para a escola, porém, cada qual, por vários motivos, usou um caminho diferente. Veja o mapa com o percurso de cada um:

amigo 1

amigo 2

amigo 3

Sabendo que os dois primeiros percorreram respectivamente 290 e 230 metros do shopping à escola, qual a distância percorrida pelo terceiro?

Comentários Importante observar, por este desenho, que os três percorreram o mesmo número de segmentos horizontais. Portanto, a diferença de deslocamento linear acontece nos diferentes deslocamentos verticais realizados por cada um. Este assunto está abordado na aula 14: As coisas têm área, volume e forma do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Importante aqui, professor(a), mostrar aos estudantes que as medidas realizadas em metros lineares são adicionadas, somadas, para se conseguir um resultado, quando trabalhamos com a noção de perímetro. Isso acontece tanto nos problemas que envolvem o cálculo; quando na estimativa dos problemas que envolvem perímetro da área de figuras planas, desenhada em malhas quadriculadas. Já quando estamos trabalhando com a noção de área, as medidas realizadas em metros quadrados são multiplicadas.

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Solução Primeiro passo Observando o caminho percorrido por cada amigo 1. Observando o mapa, constatamos que o primeiro percorreu quatro segmentos horizontais e três verticais. 2. o segundo percorreu quatro horizontais e uma vertical 3. o terceiro percorreu quatro horizontais e dois verticais Segundo passo Sabendo a distância percorrida pelos amigos 1 e 2, e sabendo que estes percorreram o mesmo número de segmentos horizontais, concluímos que a diferença de deslocamento aconteceu, exatamente, por causa causa dos dois segmentos verticais de diferença. Então, em metros isso significou 290 – 230 = 60 metros. Ou seja, cada segmento vertical tem 30 metros. Terceiro passo Como o terceiro percorreu apenas um segmento vertical, concluímos que o comprimento total do seu deslocamento foi de três segmentos horizontais (igual aos outros) = 200m + 30m (segmento vertical) = 230m. 6) Joana, para fazer uma escultura, precisou cortar uma lâmina retangular transformando-a em um trapézio. O custo da lâmina inteira é de R$1.800,00. Por se tratar de um revestimento caro, Joana pagou apenas a parte utilizada, pois as sobras foram reaproveitadas pela loja. Observando a figura, calcule o custo do material utilizado por Joana. Forma original da lâmina - um retângulo

tamanho (área) 320 cm x 80 cm

Corte realizado por Joana - formou-se um trapézio com as seguintes medidas: 160 cm 80 cm 320 cm

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Sabe-se que, para realizar o corte, Joana dividiu o retângulo inicial em quatro partes iguais, rfazendo como no desenho abaixo.

Comentário Podemos trabalhar com a resolução de problemas que envolvam o cálculo de áreas de figuras planas, decompondo o trapézio formado nas quatro partes descritas: dois triângulos e dois quadrados.

Solução Como sabemos que a divisão foi feita em quatro quadrados, concluímos que cada quadrado tenha, como medida, 80 cm x 80 cm. Como os triângulos foram determinados pela diagonal traçada nos dois quadrados das laterais, já podemos afirmar que cada triângulo cortado tem o tamanho de meio quadrado.

Como são dois, deduzimos que o pedaço cortado tem o tamanho de um quadrado. Ou seja, o tamanho (área) do trapézio formado é igual ao tamanho (área) de três quadrados. Sabendo o custo da área completa, de quatro quadrados e aplicando os conhecimentos adquiridos nas aulas 46 e 50 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental), que foram revisadas no nosso 2º encontro, montamos uma proporção e constatamos que o material custou (1800 ÷ 4) x 3 = R$1.350,00

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FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO Percurso Livre Matemática Ensino Fundamental - Fortalecendo Cálculos SUPERVISÃO GERAL Vilma Guimarães COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA Célia Farias Maria de Fátima Gabriel Tereza Farias EQUIPE DE CONTEÚDO Sandra Portugal (Coord.) José Henrique de Oliveira SUGESTÕES E REVISÃO DE CONTEÚDO Maria Emília Rodrigues Renan Carlos da Silva EQUIPE DE MATERIAIS Helena Jacobina (Coord.) Anne Rocha Jacqueline Barbosa Paula Reis

REDAÇÃO Joaquim de Paula EDIÇÃO Sapoti Projetos Culturais REVISÃO Sol Mendonça PROJETO GRÁFICO Grande Circular ILUSTRAÇÕES Grande Circular