La geometría Euclidiana fue postulada por Euclides en su obra “Los elementos”, escrita hacia el año 300 a.C y es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional, es por esto que también es considerada como geometría plana.
Esta rama de la geometría (de las matemáticas) se presenta en forma axiomática, es decir, se entrega una cantidad de postulados que son considerados verdaderos presenta una verdad evidente. Euclides planteó 6 postulados, y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados donde se los cuales fueron:
1. Dados dos puntos se puede trazar una única recta que los une. 2. Cualquier segmento se puede prolongar indefinidamente. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Si una recta al cortar a otras dos forman ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este postulado es nombrado como el de las paralelas y es considerado uno de los más conocidos, ya que garantiza que al cortar dos rectas existe un punto en común. Además se utiliza una frase condicional que la identifica, “... si un hecho sucede entonces otro echo debe suceder...” insinúa que mas bien era un teorema y que se podía demostrar a partir de los otros cuatro postulados.
La geometría es una de las ciencias más antiguas. Se encarga del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o en el espacio como son:
puntos, rectas, planos y poli topos. La geometría ha sido desde los principios de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida,pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas. En este trabajo se busca destacar y lograr reconocer los usos de la geometría en teoría y aplicación. Las aplicaciones de la geometría en diversos campos son innumerables. En arte, arquitectura, ingeniería, física entre otras, se recurre frecuentemente a la geometría. Una interesante aplicación es su uso para poder ubicar puntos en la tierra y poder orientarnos.
Conceptos Básicos de la Geometría Euclidiana 8.1.1 EL ANGULO: El ángulo es una figura formada por 2 semirrectas que tienen el mismo punto inicial.
8.1.2 EL SEGMENTO: El segmento es una parte de una recta, comprendido entre dos puntos y todos los puntos que están entre ellos.
8.1.3 LA SEMIRRECTA O RAYO: La semirrecta es una porción de una recta que contiene un punto A y todos los puntos que estén del mismo lado de A, la semirrecta empieza en un punto A y sigue infinitamente.
8.1.4 PUNTOS COLINEALES: Los puntos colineales son lo puntos que estรกn sobre una misma recta.
8.1.5 PUNTOS COPLANARES: Son todos los puntos que estรกn en un mismo plano.
CONCEPTOS NO DEFINIDOS.- son llamados conceptos fundamentales que corresponden a términos tales como: PUNTO, LINEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN, fácilmente comprensibles y que no se DEFINEN. Hay definiciones que son proposiciones que exponente con claridad y precisión los caracteres de una cosa. Una característica de la geometría moderna es que evita la conceptualización de aspectos primarios que tienen poco o ningún sentido de ser definidos; así por ejemplo, las definiciones de Euclides: a) “punto es lo que no tiene partes” únicamente indica “posición” y carece de “dimensiones”. b) “línea o recta es un longitud sin anchura”, carece de limites, desconociéndose su primero y ultimo elemento. CUERPO FISICO Y CUERPO GEOMETRICO.- Son cuerpo físicos las cosas que nos rodean como: cuadernos, sillas, plumas, escuadras, etc.…. Tienen forma, color, peso, dureza, ocupan un lugar en el espacio. De estos cuerpos físicos la geometría considera solamente su forma y dimensiones, llamándolos cuerpos geométricos o sólidos, por ejemplo: los conos, las esferas, los prismas, los cilindros, etc. Los sólidos tienen tres dimensiones, que son: a) largo o longitud b) ancho c) alto o fondo
SUPERFICIE.- Son los limites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea, es decir, no tienen “GROSOR” solamente largo y ancho. Un ejemplo de superficie es la sombra que proyecta un árbol, un poste, etc... También la cara de un cuerpo geométrico. (Representaciones graficas). CONCEPTO DE PUNTO.- Un punto geométrico es imaginario tan pequeño que carece de dimensiones; lo anterior es tan solo una idea abstracta ya que una definición satisfactoria de punto, no ha sido posible anunciarla, por lo que “punto” es un termino no definido. Su representación es la siguiente:
LINEA.-La línea es un conjunto de puntos continuos y que nos permiten distinguir dos clases de líneas que son: La línea recta y lalínea curva. a) LINEA RECTA.- es aquella que tiene sus puntos en una misma dirección. Una imagen de este conjunto es un reyo luminoso, el borde de una regla, un cordón bien tirante, etc. Una recta geométrica se prolonga indefinidamente en dos sentidos, es decir, no comienza ni termina. PROPIEDADES DE LA RECTA: 1. La distancia mas corta entre dos puntos, es la recta. 2. Por dos puntos pasa una recta y solamente una. 3. Por un punto pueden pasar una infinidad de rectas. 4. Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común. NOTACION DE LA RECTA: la recta generalmente se representa por dos de sus puntos con el símbolo encima de las literales de los puntos(AB), también se representa por rayas y se denominada por letras minúsculas. b) LINEA CURVA.- es la que está generada por una continuidad de puntos que cambian de dirección frecuentemente; también se dice que es aquella que no tiene una sola parte recta.
c) LINEA MIXTA.- es aquella que esta formada por una parte recta y otra parte curva. EXISTEN OTROS TIPOS DE LINEAS…. LINEA QUEBRADA O POLIGONAL.- línea compuesta de segmentos continuos que siguen deferentes direcciones. LINEA CURVA SIMPLE CERRADA,- es aquella que al trazarse, empieza y termina en el mismo punto (elipse y circunferencia). LINEA POLIGONAL SIMPLE CERRADA.- es aquella que al trazarse con líneas quebradas empieza y termina en el mismo punto. (Polígonos) CONCEPTO DE PLANO.- una superficie como una pared, el piso, la cubierta de una mesa, los espejos, forman un plano; en geometría, el plano no tiene limites para su extensión, aunque para representarlo se hace a través de un paralelogramo que muestre su posición; con frecuencia se emplean letras minúsculas para designar un plano. DOS PROPIEDADES IMPORTANTES DE LOS PLANOS SON: 1. “Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno”. 2. “Dados dos puntos cualesquiera de un plano, la recta que los une esta contenida en el plano”. ALGUNAS PROPIEDADES DE PUNTOS, LINEAS Y PLANOS. (Dibujos) a) Los puntos A, B y C son colineales si se encuentran sobre una misma recta. b) Los puntos A, B y C son coplanares si se encuentran en un mismo plano. c) Dos líneas rectas diferentes solo pueden cortarse en un punto común. d) Situados dos puntos en un plano, la recta que pasa por estos queda contenida en el plano. e) Por tres puntos no colineales pasa un único plano. f) La intersección de dos planos es una recta; es decir; dos planos diferentes solo pueden cortarse en una recta común.
LA GEOMETRIADESCRIPTIVA: La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas geométricas que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional. Por tanto, mediante «lectura» adecuada posibilita resolver problemas espaciales en dos dimensiones de modo que se garantiza la reversibilidad del proceso. En la época actual se reconocen dos modelos, en los cuales se les considera: 1) «lenguaje» de representación y de sus aplicaciones; 2) tratado de geometría. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha estado relacionado con el de la Geometría proyectiva. En la Geometría descriptiva, toda disciplina que requiera representación de elementos en superficies planas (papel) puede encontrar una gran aliada. Por ello a esta área del conocimiento se le incluye en todos los planes de estudios de Ingeniería, Arquitectura, Diseño, Topografía, entre otros. En una de sus ramas se estudia Proyección acotada, en la cual se basan los planos topográficos y de obras públicas, normalmente trazados e interpretados por topógrafos. Como asignatura de estudio obligatorio en las escuelas de ingeniería y de arquitectura de todo el mundo, mediante el estudio de la Geometría descriptiva se procura desarrollo intelectual del estudiante en dos campos distintos, complementarios: *Comprensión del espacio tridimensional que rodea al individuo. *Desarrollo de una estructura de pensamiento lógica. DIBUJO TECNICO: El dibujo técnico es un sistema de representación gráfica de diversos tipos de objetos, con el propósito de proporcionar información suficiente para facilitar su análisis, ayudar a elaborar su diseño y posibilitar su futura construcción y mantenimiento. Suele realizarse con el auxilio de medios informatizados o, directamente, sobre el papel u otros soportes planos. Es la representación gráfica de un objeto o una idea práctica. Esta representación se guía por normas fijas y preestablecidas para poder describir de forma exacta y clara, dimensiones, formas, características y la construcción de lo que se quiere reproducir. Los objetos, piezas, máquinas, edificios, planes urbanos, entre otros. IMPORTANCIA DEL DIBUJO TECNICO El Dibujo Técnico busca representar de una manera exacta y precisa un objeto, sus dimensiones y características específicas y notables. Es un idioma universal, por eso todo ingeniero administrativo debe saber realizar e interpretar estas representaciones
Los Elementos de Euclides. Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín. Durante el reinado del faraón helenista Tolomeo I Soter (323-285 a. C.) quien, deseando modernizar los tratados de geometría existentes, encomendó a Euclides escribir una compilación o refundición completa. El resultado fue los "Elementos", en trece volúmenes, a los que posteriormente se añadieron dos más, atribuidos a Hipsicles de Alejandría. Se cuenta que Ptolomeo pregunto a Euclides si no hay una manera más simple de aprender Geometría que estudiar los "Elementos", a lo que el autor respondió " No existe un camino real hacia la Geometría". Al comienzo de cada uno de los libros que componen los Elementos, Euclides presenta unas definiciones y unas Nociones Comunes relativas a los temas desarrollados.
Tomos de los Elementos.
El libro I de los "Elementos" trata sobre rectas paralelas, perpendiculares, y las propiedades de los lados y ángulos de los triángulos. El II desarrolla el álgebra geométrica. El III estudia las propiedades del círculo y de la circunferencia. El IV los polígonos inscritos y circunscritos. El V la teoría de las proporciones de Eudoxio. En el VI aplica dicha teoría a la semejanza de triángulos y otros problemas. Los libros VII, VIII. IX y X están dedicados a la aritmética. El XI estudia la perpendicularidad y el paralelismo de rectas y planos, ángulos diedros y poliedros, etc. El XII aplica el método exhaustivo de Eudoxio a diversos problemas geométricos, como la equivalencia de pirámides y la semejanza de conos y cilindros. El XIII estudia los poliedros regulares.
Los axiomas son:
Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. Si cantidades partes.iguales se suman a cantidades iguales, las sumas son iguales. Si cantidades iguales se restan de cantidades iguales, las diferencias son iguales. Dos figuras que coinciden son iguales entre sí. El todo es mayor que cualquiera de sus
Los postulados son:
Es posible trazar una línea recta entre dos puntos cualesquiera. Todo segmento puede extenderse indefinidamente en línea recta. Un círculo puede tener cualquier centro y cualquier radio. Todos los ángulos rectos son iguales. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por ese lado. Otra forma equivalente, más conocida de expresar el quinto postulado es: "Por un punto exterior a una recta no puede trazarse más que una paralela a ella" Algunas proposiciones equivalentes al postulado de las paralelas (postulado 5) son: Playfair: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una. Proclo: Dos rectas paralelas están entre si a una distancia finita. Legendre: Existe un triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos vale dos rectos. Saccheri y Laplace: Existen dos triángulos no congruentes, con los ángulos de uno respectivamente iguales a los del otro. Legendre y Lorente: Por un punto cualquiera interior a un ángulo menor que dos tercios de rectos pasa una recta que corta a ambos lados del ángulo. Gauss: Si k es un entero cualquiera, siempre existe un triángulo cuya área es mayor que k. Bolilla: Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia.
Durante mucho tiempo, los geómetras lucharon por demostrarlo a partir de los otros cuatro y de los cinco axiomas, sin conseguirlo. A partir del siglo XIX surgieron nuevas geometrías no euclidianas que niegan este postulado y lo sustituyen por otros diferentes. Los "Elementos" de Euclides tuvieron una influencia enorme sobre los matemáticos árabes y occidentales, prácticamente hasta nuestros días. También se le atribuyen otras obras como "Óptica", "Datos" "Sobre las divisiones" "Fenómenos" (sobre Geometría esférica) y "Elementos de la Música".