Revista

Volumen 1, nº 1

Revista semestral de calculo

05/12/2013 Autor: Gabriel José González Marín Coordenadas polares.

Revista semestral de calculo

Volumen 1, nº 1 05/12/2013

Autor: Gabriel José González Marín

Coordenadas polares.

Puntos de interés especial:  Sistema de coordenadas polares  Grafica de una ecuación polar.  Intersección de graficas en coordenadas polares.

Para definir las coordenadas polares, lo primero que arreglemos un O origen (llamado el polo) y una radiografía inicial de O (Figura 1). Luego, cada punto P se puede localizar mediante el nombramiento de una coordenada polar pareja en la que R da la distancia dirigida de O a P y da la dirigida ángulo del rayo inicial para OP .

 Calculo del área en coordenadas polares.

Sistema de coordenadas polares

Contenido: Como elaborar una grafica de una ecuación polar.

3

Ecuación polar de rosa de n pétalos definida por el seno.

3

Ecuación polar de rosa de n pétalos definida por el coseno.

3

Ecuación de cardiodes que se obtienen con la función seno.

4

Ecuación de cardiodes que se obtienen con la función coseno.

4

Ecuación de la espiral de Arquíme- 4 des.

Ecuación de la espiral logarítmica.

5

Intersección de graficas en coorde- 5 nadas polares , mediante superposición de graficas Intersección de graficas en coorde- 5 nadas polares mediante la igualación de expresiones Calculo de áreas en coordenadas polares

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Pasa tiempo

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Libros de referenciales

8

Tablas y formulas trigonométricas

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El propósito de la presente publicación, es el de servir de marco referencial introductorio al conocimiento de lo que son las coordenadas polares. Para todos aquellos interesados en el manejo y dominio de las coordenadas polares.

Cuando se desea ubicar un punto en el plano cartesiano, normalmente se recurre al uso de las coordenadas (x,y). Otra manera de hacer referencia a dicha coordenada lo constituye el uso de las coordenadas polares, donde se tendrán como valores respectivos, el radio ( R ) “Distancia de el origen hasta el punto”, y el ángulo (θ) radial de ubicación del punto en cuestión. Tal como se indica en la figura 1.

Como se puede apreciar claramente cualquier punto en el P (x,y) plano cartesiano, puede ser representado mediante su representación en coordenadas polares (R,θ).

En este caso se tiene que R no es mas que la hipotenusa de un rectángulo. Cuya coordenada en el eje de las abscisas es x y en eje de las ordenadas es y.

R

θ

0

Figura 1. coordenada Polar

En consecuencia, desde el punto de vista matemático haciendo uso del teorema de Pitágoras se tiene:

Y adicionalmente , se tiene que:

Grafica de una ecuación polar Ciertamente, en principio la representación de un punto P(x,y) haciendo uso de las coordenadas polares, nos resulta un tanto poco familiar. Pero una vez que se comprende se hace de habito natural su utilización.

Cuando se tiene una sucesión

de puntos obtenidos de ecuaciones polares, su representación resulta ser bastante elemental.

Mediante el uso, del Excel en esta revista, se mostrara de manera sencilla, las diversas formas que se obtienen, al gra-

ficar una ecuación polar. Dichas graficas nos resultan bastante familiares, ya que constantemente nos las encontramos en la naturaleza que nos rodea. Se ilustrara de manera didáctica la metodología que se sigue en la obtención de las graficas correspondientes.

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Como elaborar una grafica de una ecuación polar.

Cuando se tiene que construir la grafica de una ecuación polar, se hace uso de una hoja para graficar en coordenadas polares. Similar a la que se ilustra en la figura 2.

Figura 2.– Hoja para graficar en coordenadas polares

Como podemos observar claramente, dicha hoja esta constituida por la división angular de los cuatro cuadrantes del plano cartesiano; con una serie de círculos concéntricos de color rojo (en estos se hará corresponder el radio de la ecuación polar dada) .

Cuando el valor, del radio fuese negativo, su magnitud se ubicara en un ángulo que será 180° mas al correspondiente dado θ.

Si por ejemplo: tuviésemos que para θ =30°, el valor de R calculado nos da –5; con una magnitud de 5 y un ángulo de 210°, colocaremos el punto que corresponde a la coordenada polar de (-5, 30°), cuya representación efectiva será el punto de coordenada polar ( 5, 210°).

Ecuación polar de rosa de n pétalos definida por el seno.

Figura 3.– Gráfica de la rosa de 3 pétalos generada con la función seno

Las ecuaciones polares de la forma R=a sen(nθ) corresponde a una rosa de n pétalos si n es impar. Pero cuando n es par corresponde a una rosa de 2n pétalos. Tal como se puede apreciar claramente, en la figura 3 se obtiene una rosa de 3 pétalos, ya que para este caso el valor de n definido fue de 3; en este caso el valor de a, definirá el máximo radio que se obtendrá para el pétalo.

Para la construcción de dicha grafica se elabora una tabla cuyos valores angulares serán desde 0° hasta los 360°, al cual le corresponderá su respectivo valor del radio.

Ecuación polar de rosa de n pétalos definida por el coseno.

Las ecuaciones polares de la forma R=a cos(nθ) corresponde a una rosa de n pétalos si n es impar. Pero cuando n es par corresponde a una rosa de 2n pétalos. Tal como se puede apreciar claramente, en la figura 3 se obtiene una rosa de 3 pétalos, ya que para este caso el valor de n definido fue de Figura 4.– Gráfica de la rosa de 3 3; en este caso el valor de a, pétalos generada con la función coseno

definirá el máximo radio que se obtendrá para el pétalo.

Para la construcción de dicha grafica se elabora una tabla cuyos valores angulares serán desde 0° hasta los 360°, al cual le corresponderá su respectivo valor del radio.

Como puede evidenciarse claramente, ambas se diferencian

en el echo de que uno de los lóbulos se asienta claramente sobre el eje correspondiente, a la función que lo ha generado tal como se observa en las figuras 3 y 4 respectivamente.

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Ecuación de cardiodes que se obtienen con la función seno. “el arte de graficar es innato del ser humano , y por muy torcidas que las líneas queden, darán siempre una idea de un buen concepto escondido”

Consideremos las ecuaciones de la forma R= a+b sen(θ). Donde a y be son coeficientes cualesquiera. Que pertenezcan al conjunto de los números reales.

la figura 5.

A las graficas correspondientes se les llama limacons, con los casos particulares cuando en modulo a=b se les lama cardioides. Debido a que asemejan a un corazón.

Tal como se puede apreciar en

Figura 5.– Gráfica de cardioide generada con la función seno

Ecuación de cardiodes que se obtienen con la función coseno.

Consideremos las ecuaciones de la forma R= a+b cos(θ). Donde a y be son coeficientes cualesquiera. Que pertenezcan al conjunto de los números reales.

Figura 6.– Gráfica de cardioide generada con la función coseno

Tal como se puede apreciar en la figura 6.

A las graficas correspondientes se les llama limacons, con los casos particulares cuando en modulo a=b se les lama cardioides. Debido a que asemejan a un corazón.

Ecuación de la espiral de Arquímedes.

La grafica de R=a θ, es una espiral de Arquímedes.

Tal como se puede apreciar en la figura 7.

Figura 7.– Gráfica de espiral de Arquímedes

Circunstancialmente, esta figura se encuentra ampliamente documentada en diversos escritos de las culturas antiguas, y también se le encontraba en el interior de los sistemas de

relojes de cuerda, y aun hoy en día se les encuentra también en los muelles de los temporizadores de cuerda de sistemas semi automáticos.

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Ecuación de la espiral logarítmica.

La espiral logarítmica viene dada por la expresión: R= a e bθ.

Tal como se observa en la Figura 8.

Si se observa detenidamente y se compara con la espiral de Arquímedes, la espiral logarítmica crece de manera exponencial, de manera bastante acelerada. Este tipo de espiral suele encontrarse presente en algunas especies de caracoles terrestres y marinos.

-40

40 30 20 10 0 -20 -10 0 -20 -30 -40

20

40

60

Figura 8. Gráfica espiral logarítmica

Intersección de graficas en coordenadas polares , mediante superposición de graficas Cuando se requiere intersectar dos graficas las cuales se han desarrollado en coordenadas polares, basta con reemplazar la expresión del radio de una de ellas, en la otra y determinar el valor angular θi, que hace posible que ambas expresiones sean iguales.

bas graficas sobre una misma hoja de graficas polares.

Tal como se ilustra en la Figura 9.

Desde el punto de vista grafico esta puedes ser realizada, mediante la superposición de amFigura 9. Gráfica intersección de rosa de cinco pétalos con cardioide

Intersección de graficas en coordenadas polares mediante la igualación de expresiones

Dadas las siguientes expresiones, determine la intersección.: R= cos(θ) ; R=1-cos(θ) Al igualar se tiene: Cos(θ)=1-Cos(θ) 2Cos(θ)=1 Cos(θ)=1/2 → θ =cos-1(1/2) Θ=1/3π ; Θ=5/6π

Figura 10. Gráfica intersección de circunferencia con cardioide.

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Calculo de áreas en coordenadas polares La expresión dada para el calculo del área para el lóbulo interior en su parte inferior del limacon, viene dada por la expresión

Resolviendo se tiene:

En consecuencia:

Nota en caso de dudas de las operaciones de transformación, refiérase a la pagina N° 10 de la presente revista.

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Pasa tiempos Busque y numere en una lista las palabras claves mencionadas en la revistas presentes en esta sopa de letras.

V C F C C C G V D Y A D V Ñ O G F Q E

V C X S Z F H H F T Y D B U Y O W H R

S F V S C G H H S V Y D F V Ñ E B A W

B E D R F G S I S T E M A F E B V H V

E G A S V T V Y F F T T U R E U V R G

A L O R G E G F C F N G N E S E J D U

O V C O R A Z O N F Y T O E D D G H W

E T A L O S U T F F Y R I F E Ñ M H T

S P R T K L U G T T O R C N F V D J G

P T D I O K R A D I O F A E T R F O S

I L I M A C O N F F T O U W Q E D J E

R P O P N O S E N O F R C W N V G O M

A O I A G S A R Q U I M E D E S R R L

L S D R U E T T T R G A N A G

O I R E L N C T T T U Ñ E N A V A F L O A Q

O T A S O O T T H Y R R Ñ P T V I K L

D I S S O A Y Y Y T A Ñ G N I C C L R

F V P R O P O S I T O D F V V M A L W

Y O D T R F A H N H Y Y J N O D K L Ñ

H E T R H E A J J U S Ñ Ñ N V F L P Q

N Y U X E Q U E J N Ñ L L O I S L K P

G G H E U E U N N U I M N P L O M M P

G X X U J U J L O I O O U U A L L Z M

U U Y I P O M Ñ O N T G O O P P R W B

Identifique por su nombre a las siguientes graficas polares y especifique su potencial ecuación

15

10

5

0 -5

0

-5

-10

-15

5

10

15

20

25

Libros referenciales disponibles en la Web

En la siguiente direcci贸n tendr谩n a disposici贸n, una amplia biblioteca de libros para ser descargados de diversas materias y temas.

En este recuadro se escribe el nombre del libro que re requiere

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Coordenadas polares.

Adjunta a la presente revista, el autor obsequiara a la persona interesada una pequeña aplicación desarrollada en Excel , con Email: gabigonzalez1995@gmail.com

comunicarse al email del autor del presente articulo de la revista, para que visualice las graficas de coordenadas polares características con tan solo suministrarle los datos solicitados.

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