Teoría y aplicaciones de Graficas especiales y más
Elaborado por: Gabriela Salazar Silva
P รก g i n a 2 | 20
Índice Introducción……………...........................…. 4 Gráficas Euclidianas……………………....... 5 Gráficas Hamiltoneanas…………...........…. 8 Gráficas Planares………………………........ 11 Numero Cromático……………………………………..14 Teorema de los cuatro colores……………………………......……......16 Referencias………………………...……….....19
P á g i n a 3 | 20
Introducción: La teoría de graficas es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, estudia las propiedades de los grafos, estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos y el conjunto de aristas, líneas o lados que pueden ser orientados o no. Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en todas las áreas de Ingeniería. Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos. En este libro podrás encontrar conceptos como tipos de graficas especiales, teoremas de coloreado que van acompañados de ejemplos y algunos datos que no conocías sobre la teoría de gráficas, el contenido de esta obra te ayudara a repasar los temas y a conocer más sobre la historia de la teoría de gráficas.
P á g i n a 4 | 20
Gráficas Eulerianas ¿De qué trata este tema?....... Aquí podemos ver una breve explicación y algunos ejemplos de las gráficas eulerianas, así como la aplicación a problemas mayores. Definición: Se denomina gráfica Euleriana a un grafo que contiene un circuito euleriano Un circuito que contiene todas las aristas de G recibe el nombre de circuito euleriano. Un circuito euleriano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice y recorre cada arista exactamente una vez.
En la imagen, C={1,2,3,4,6,3,5,4,1} es un circuito euleriano, entonces es una gráfica euleriana.
¿Sabías que? El origen de la teoría de los ciclos eulerianos fue planteado y resuelto por el propio Leonhard Euler en 1736 en un problema que tiene el nombre de Siete puentes de la ciudad de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII y actualmente, Kaliningrado, provincia rusa) dando origen a la Teoría de los
P á g i n a 5 | 20
Existe un criterio preciso para saber cuándo un grafo admite un circuito euleriano, este criterio lo proporciona el siguiente teorema.
Teorema. Sea G un grafo. G contiene un circuito euleriano sí y sólo sí: • G es conexo. • Cada vértice de G es de grado par.
Problema de los puentes de Königsberg Un ejemplo más práctico de una gráfica euleriana es el Problema de los puentes de Königsberg. Dos islas en el río Pregel, en Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida? Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo sin repetir las líneas? Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento).
P á g i n a 6 | 20
“Conoce más a los creadores” Leonhard Euler (15 de abril de 1707 - 18 de septiembre de 1783) Leonhard Paul Euler nació en Basilea (Suiza), conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos. Euler trabajó prácticamente en todos los ámbitos de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Se cree que fue el que dio origen al pasatiempo Sudoku creando una serie de pautas para el cálculo de probabilidades. En 1736, Euler resolvió el problema conocido como problema de los puentes de Königsberg, esta solución se considera el primer teorema de teoría de grafos y de grafos planares. Euler también introdujo el concepto conocido como característica de Euler del espacio, y una fórmula que relacionaba el número de lados, vértices y caras de un polígono convexo con esta constante: el teorema de poliedros de Euler.
“Clasifica los temas" Tema
Características
Graficas Eulerianas
*Contiene un circuito euleriano, que inicia y termina en el mismo vértice y recorre cada arista una sola vez. *Puede repetir nodos.
P á g i n a 7 | 20
Gráficas Hamiltonianas ¿De qué trata este tema?...... Conoceremos la definición y algunos ejemplos de gráficas Hamiltonianas, así como también la aplicación a problemas mayores. Definición: Se llama grafica hamiltoniana a un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano. Un ciclo hamiltoniano es un camino hamiltoniano que empieza y termina en el mismo vértice y pasa por cada vértice una sola vez. Cualquier ciclo hamiltoniano puede ser convertido en un camino hamiltoniano si se elimina cualquiera de sus aristas, pero un camino hamiltoniano puede ser extendido en ciclo sólo si los vértices de los extremos son adyacentes.
¿Sabías que? Los caminos y ciclos hamiltonianos se llaman así en honor de William Rowan Hamilton, inventor de un juego que consistía en encontrar un ciclo hamiltoniano en las aristas de un grafo de un dodecaedro. Hamilton resolvió este problema usando cuaterniones, aunque su solución no era generalizable a todos los grafos.
P á g i n a 8 | 20
Aplicaciones de las gráficas Hamiltonianas El Problema del Agente Viajero El Problema del Agente Viajero (TSP por sus siglas en inglés) responde a la siguiente pregunta: Dada una lista de ciudades y las distancias entre cada par de ellas, ¿cuál es la ruta más corta posible que visita cada ciudad exactamente una vez y regresa a la ciudad origen? Este es un problema NP-duro dentro en la optimización combinatoria, muy importante en la investigación de operaciones y en la ciencia de la computación. Lo que se debe realizar en este problema: tenemos una lista de ciudades y costos, se debe encontrar el recorrido más corto posible para visitar todas las ciudades una sola vez.
El juego del dodecaedro Hamilton inventó (y patentó) un juego el cual consiste en hacer un recorrido por 20 ciudades (vértices) del mundo sin pasar por ninguna más de una vez. Las ciudades estaban unidas por 30 aristas, formando el grafo de un dodecaedro.
P á g i n a 9 | 20
“Conoce más a los creadores” William Rowan Hamilton (4 de agosto de 1805-2 de septiembre de 1865) William Rowan Hamilton fue un matemático, físico, y astrónomo irlandés, que hizo importantes contribuciones al desarrollo de la óptica, la dinámica, y el álgebra. Su descubrimiento del cuaternión junto con el trabajo de Hamilton en dinámica son sus trabajos más conocidos. Este último trabajo fue después decisivo en el desarrollo de la mecánica cuántica, donde un concepto fundamental llamado hamiltoniano lleva su nombre.
Aportaciones *Teorema de hodógrafa.
Hamilton
de
la
*Teorema de Cayley-Hamilton. *Camino hamiltoniano.
“Clasifica los temas" Tema
Características
Graficas Hamiltonianas
* Contiene un ciclo hamiltoniano, que inicia y termina en el mismo vértice y recorre cada nodo una sola vez. *Puede repetir aristas.
P á g i n a 10 | 20
Gráficas Planares ¿De qué trata este tema?......... Conoceremos la definición y algunos ejemplos de gráficas planares, así como algunas aplicaciones. Definición: En teoría de grafos, un grafo plano puede ser dibujado en el plano sin que ninguna arista se cruce (una definición más formal puede ser que este grafo pueda ser "incrustado" en un plano). Los grafos K5 y el K3, 3 son los grafos no planos míniales, lo cual nos permitirán caracterizar el resto de los grafos no planos (es decir que no son aplanables).
Una generalización de los grafos planos son grafos dibujados e incrustados sobre superficies de género arbitrario.
P á g i n a 11 | 20
Aplicaciones de las gráficas planares El problema consiste en determinar si es posible conectar tres casas con los números 1,2 y 3 a los servicios públicos de luz, agua y drenaje, de tal manera que no existan dos líneas de conexión de dichos servicios que se crucen una con otra. Establece si es posible resolver este problema modelándolo mediante un grafo aplanable.
Solución: Como se observa, el único resultado posible para dicho problema es el grafo bipartito K3,3, el cual no es aplanable.
¿Sabías que? El teorema de Kuratowski establece que: un grafo es plano si y solo si no contiene un subgrafo isomorfo a una subdivisión elemental de K5 (el grafo completo de 5 vértices) o K3,3 (el grafo bipartito completo de 6 vértices).
P á g i n a 12 | 20
“Conoce más a los creadores” Kazimierz Kuratowski (2 de febrero de 1896 - 18 de junio de 1980) Kazimierz Kuratowski nació en Varsovia, fue un matemático y lógico polaco, Kuratowski se hizo profesor de matemáticas en 1927 en el politécnico de Leópolis, desde 1934 pasó a enseñar en la Universidad de Varsovia. En 1945 se hizo miembro de la Academia Polaca de Ciencias. De 1948 a 1967 fue director del Instituto de Matemáticas en la Academia Polaca de Ciencias, así como presidente de la Unión Matemática Internacional. Es conocido por sus aportaciones en la caracterización de los grafos planares llamado teorema de Kuratowski.
“Clasifica los temas" Tema
Características
Graficas Planares
*Son dibujadas de forma que ninguna arista se cruce. *Los grafos K5, K3,3 no son aplanables .
P á g i n a 13 | 20
Número Cromático ¿De qué trata este tema?....... Conoceremos que es el número cromático así como las condiciones para el coloreado de grafos. El número cromático de una gráfica G es la menor cantidad de colores necesarios para colorear sus vértices sin que dos vértices que son adyacentes tengan el mismo color. O más formalmente, es el menor entero n tal que G es n-coloreable (o bien, tiene una coloración propia con n colores). A este número se le denota como X(G) es decir, X(G)=n. Un grafo con bucles no puede ser coloreado, y solo se consideran grafos simples. Una k-coloración: Se usan k colores diferentes para el coloreado de gráficas. Un n-coloreado: Es donde se utilizan tantos colores como vértices tiene la gráfica.
Tenemos una 3-coloración, el número cromático de esta gráfica es 3.
P á g i n a 14 | 20
Una coloración de vértices para el grafo de Petersen utilizando tres colores, el número mínimo posible.
¿Sabías que? Una de las mayores aplicaciones de la coloración de grafos es la asignación de registros en compiladores introducida en 1981.
“Clasifica los temas" Tema
Características
Numero Cromático
* Es la menor cantidad de colores necesarios para colorear sus vértices sin los vértices adyacentes tengan el mismo color. *Solo se consideran grafos simples. * Un grafo con bucles no puede ser coloreado * K-coloración: Se usan k colores diferentes para el coloreado de gráficas. * N-coloreado: Es donde se utilizan tantos colores como vértices tiene la gráfica.
P á g i n a 15 | 20
Teorema de los cuatro colores ¿De qué trata este tema?......... Conoceremos el teorema de los cuatro colores y en que consiste. El teorema de los cuatro colores consiste básicamente en que: Si G es un grafo plano, entonces X(G)<=4 Es decir, los vértices de cada grafo plano pueden ser coloreados con un máximo de cuatro colores distintos de modo que no existan vértices adyacentes con el mismo color. χ(G) corresponde al número cromático.
El problema del mapa de cuatro colores fue planteado, por primera vez, por el estudiante Francis Guthrie en 1852, lo que fue comunicado a Augustus de Morgan La conjetura se hizo famosa con la declaración de Arthur Cayley, en 1878, en el sentido de que la había abordado.
P á g i n a 16 | 20
Fue resuelto, a mediados de 1970, por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. Este problema afirma que bastan cuatro colores para colorear un mapa geopolítico plano, sin que dos países con frontera común tengan el mismo color. Un mapa es siempre conexo y cada una de sus regiones también lo es, es decir no se admite una figura como la de la derecha. Dos regiones no pueden tocarse en un único punto, y así, se pueden ignorar regiones con una única línea frontera.
¿Sabías que? El teorema de cuatro colores fue demostrado con la ayuda de un ordenador. Sin embargo, la demostración no es aceptada por todos los matemáticos dado que sería impracticable por su gran cantidad de detalles, de manera que una persona se vería imposibilitada para verificarlo manualmente.
P á g i n a 17 | 20
“Conoce más a los creadores” Francis Guthrie (22 de enero 1831 - 19 de octubre 1899) Francis Guthrie nació en Londres, fue un matemático y botánico sudafricano. Fue el primero en enunciar el teorema de los cuatro colores en 1852. En esa época, Guthrie era alumno de Augustus De Morgan en la University College de Londres. Cuando colorea una carta de los condados de Inglaterra, se da cuenta que necesita al menos cuatro colores para que dos regiones no tengan el mismo color serán necesarios a fin de que ninguna región tenga una frontera común del mismo color que otra. Postula que solo cuatro colores son suficientes para colorear una carta. Este problema fue conocido bajo el nombre de "teorema de los cuatro colores", siendo uno de los teoremas topológicos, sin resolución por más de un siglo, hasta ser finalmente demostrado en 1976 con la ayuda de una computadora.
“Clasifica los temas" Tema
Características
Teorema de los cuatro colores
Cualquier grafo plano puede colorearse con 4 colores mientras no existan vértices adyacentes con el mismo color. *El número cromático será 4.
P á g i n a 18 | 20
Referencias: Graficas Hamiltoneanas [Información] Recuperada 6 de Junio 2016 https://compdiscretas.wordpress.com/2012/11/19/tema3-ciclo-de-euler-y-de-hamilton/ http://campus.cva.itesm.mx/nazira/Tc1003/PDF/TODO/0 702_Tc1003_TODO_Euler_Hamilton.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Camino_hamiltoniano Graficas Eulerianas [Información] Recuperada 6 de Junio 2016 https://es.wikipedia.org/wiki/Ciclo_euleriano http://campus.cva.itesm.mx/nazira/Tc1003/PDF/TODO/0 702_Tc1003_TODO_Euler_Hamilton.pdf Graficas Planares [Información] Recuperada 6 de Junio 2016 https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_plano http://mate.cucei.udg.mx/matdis/5gra/5gra7.htm Numero Cromático [Información] Recuperada 6 de Junio 2016 https://es.wikipedia.org/wiki/Coloraci%C3%B3n_de_grafos http://www.matetam.com/glosario/definicion/numerocromatico Teorema de los cuatro colores [Información] Recuperada 6 de Junio 2016 http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Paseo0405.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_colores
P á g i n a 19 | 20
Biografías: William Rowan Hamilton [Biografía] Recuperada 6 de Junio 2016 https://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton Leonhard Euler [Biografía] Recuperada 6 de Junio 2016 https://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerç Kazimierz Kuratowski [Biografía] Recuperada 6 de Junio 2016 https://es.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Francis Guthrie [Biografía] Recuperada 6 de Junio 2016 https://es.wikipedia.org/wiki/Francis_Guthrie
P á g i n a 20 | 20