Medidas De Tendencia Central Media, Mediana, Moda.
Como su nombre indica, una medida de tendencia central es la que describe un valor central para ubicar la localizaci贸n del conjunto de datos.
MEDIA La media de un conjunto de datos numĂŠrico es el valor que se obtiene al sumar los valores observados (obtenidos) y al dividir la suma entre el nĂşmero total de observaciones. Si las observaciones provienen de una muestra se llama media muestral; si proceden de toda la poblaciĂłn, recibe el nombre de media poblacional.
Ejemplo: Determinar a partir de una muestra de 14 fósiles, la altura promedio de un hueso frontal. Para cada fósil en la muestra, Xi, con i igual al número de la observación, se mide el hueso en milímetros (mm) y se obtienen los datos siguientes.
X X X X X X X X X X X X X X 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
42 27 25 40 33 31 42 34 35 25 29 30 29 35
Una desventaja de la media es que puede resultar muy afectada cuando existen datos inusualmente grandes o muy pequeños con relación al resto dentro de un conjunto. Como se ha señalado, este tipo de datos se llaman atípicos.
Ejemplo: Un alumno universitario acaba de comprar sus libros y observa la cantidad de páginas que tienen: 247, 312, 198, 780, 175, 286, 293, 258.
¿Cuál es el promedio de páginas que tienen sus libros? ¿Es esta una buena aproximación para todos sus libros?
MEDIANA La mediana es el valor que estĂĄ justo en medio de los datos una vez que han sido ordenados de forma ascendente. Cuando la muestra tiene un nĂşmero impar de datos solo hay un valor en medio, pero si el nĂşmero de datos es par existen dos; en este caso la media de ambos es la mediana.
La mediana de una muestra se obtiene al ordenar los datos de menor a mayor, incluidos los valores que se repiten, de manera que todos aparezcan en la lista ordenada. Por tanto:
Mediana=
Valor en medio si el nĂşmero de datos es impar. Promedio de los valores de en medio si el nĂşmero de datos es par.
Ejemplo: Calcular la mediana para los datos del ejemplo anterior:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25
25
27
29
29
30
31
33
34
35
35
40
42
42
MODA La moda es el valor más frecuente dentro del conjunto de datos, es decir, el que tiene mayor frecuencia. En muchas ocasiones la moda no es única, pues puede existir más de un valor con la misma frecuencia dentro del conjunto de observaciones (datos).
Ejemplo: Calcular la moda a partir de los siguientes datos obtenidos en el grupo de tercer semestre de la licenciatura en educaci贸n preescolar con relaci贸n a la edad:
22 18 19 18 18 20 19 19 21 19
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON DATOS AGRUPADOS
Media de un conjunto de datos agrupados La media de un conjunto de datos agrupados se calcula al usar las marcas de clase y las frecuencias relativas asociadas. Si las marcas de clase son X1, ‌, Xn y las frecuencias que corresponden f1, ‌, fn entonces la media es un promedio de las marcas ponderando por las frecuencias; se calcula como sigue.
Ejemplo: Calcular la media de una muestra que presenta datos agrupados. Un grupo de 45 alumnos presentan un examen para ingresar a una universidad. Las calificaciones se han agrupado como se muestra en el siguiente cuadro.
Intervalo de calificaciones
NĂşmero de personas
[0,10)
2
[10,30)
5
[30,50)
8
[50,60)
9
[60,75)
10
[75,90)
9
[90,100)
2
Intervalo de Calificaciones
Marca de clase Xi
NĂşmero de personas fi
Xi * fi
[0,10)
5
2
10
[10,30)
20
5
100
[30,50)
40
8
320
[50,60)
55
9
495
[60,75)
67.5
10
675
[75,90)
82.5
9
742.5
[90,100)
95
2
190
Xi * fi 10 100 320 495 675 742.5 190
Total:
Mediana de un conjunto de datos agrupados La mediana para datos agrupados se ubica en el intervalo donde la frecuencia acumulada relativa alcanza al menos 50%; este intervalo se llama clase mediana y se obtiene por medio de interpolaci贸n. Sea, Li el limite inferior del intervalo en el que se alcanza al menos 50% de los datos; ai, la longitud de dicho intervalo; Fi-1 la frecuencia acumulada del intervalo anterior, y fi la frecuencia del intervalo que se considera.
Ejemplo: Calcular la mediana de un conjunto de datos agrupados. Determinar la mediana de los datos del ejemplo anterior. Intervalo de NĂşmero de calificaciones personas
[0,10) [10,30) [30,50) [50,60) [60,75) [75,90) [90,100)
2 5 8 9 10 9 2
Intervalo de Calificaciones
NĂşmero de personas fi
Frecuencia acumulada
[0,10)
2
2
[10,30)
5
7
[30,50)
8
15
[50,60)
9
24
[60,75)
10
34
[75,90)
9
43
[90,100)
2
45
Moda de un conjunto de datos agrupados
La moda es el valor mรกs frecuente en el conjunto de datos, se encuentra en el intervalo de mรกxima frecuencia que se llama clase modal.
L1= limite inferior de la clase modal. Ai= longitud de la clase modal. Fi= frecuencia de la clase modal. Fi-1= frecuencia de la clase anterior a la clase modal. fi-+1= frecuencia de la clase siguiente a la modal. Ejemplo:
Calcular la moda de un conjunto de datos agrupados. Determinar la moda del conjunto de datos del ejemplo pasado.
Intervalo de calificaciones
NĂşmero de personas
[0,10)
2
[10,30)
5
[30,50)
8
[50,60)
9
[60,75)
10
[75,90)
9
[90,100)
2