Matematica iii by gabriel quiroz

Nombre: Curso: Liceo:

I.S.B.N.: 978-956-12-1964-9. 1ª edición: enero de 2009. Número de ejemplares: 249.385 © 2008 por Empresa Editora Zig-Zag, S.A. Inscripción Nº 175.789. Santiago de Chile. Derechos exclusivos de edición reservados por Empresa Editora Zig-Zag, S.A. Editado por Empresa Editora Zig-Zag, S.A. Los Conquistadores 1700. Piso 10. Providencia. Teléfono 8107400. Fax 8107455. E-mail: zigzag@zigzag.cl Santiago de Chile. El presente libro no puede ser reproducido ni en todo ni en parte, ni archivado ni transmitido por ningún medio mecánico, ni electrónico, de grabación, CD-Rom, fotocopia, microfilmación u otra forma de reproducción, sin la autorización escrita de su editor. Impreso por RR Donnelley. Antonio Escobar Williams 590. Cerrillos. Santiago de Chile.

MATEMÁTICA III MEDIO Un proyecto de Empresa Editora Zig-Zag S.A. Gerencia General

Ramón Olaciregui Autor

Roberto Hojman Jorge Yutronic Dirección Editorial

Mirta Jara Edición

Miguel Ángel Viejo Corrección de estilo

José Luis Brito Director de Arte

Juan Manuel Neira Jefe de Producción

Franco Giordano Equipo de diseño

Pamela Buben Daniel Brown José Luis Grez Claudio Silva Eduardo Álvarez Ilustraciones

Archivo editorial Fotografías

Archivo editorial

Matemática ROBERTO HOJMAN DOCTOR EN FÍSICA, UNIVERSIDAD DE TRIESTE, ITALIA, 1980. MAGÍSTER EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN FÍSICA, UNIVERSIDAD DE CHILE, 1975.

JORGE YUTRONIC FERNÁNDEZ INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA, UNIVERSIDAD DE CHILE, 1976.

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

Estructura gráfica Número de la Unidad

Título de la Unidad

En estas dos páginas se muestran los principales recursos gráficos que identifican los contenidos, las secciones y partes destacables que se reiteran a lo largo del texto.

Folio explicativo

Actividad de aprendizaje

Introducción a los temas y objetivos de la Unidad

Actividades

Distancias en la carretera

Ejercicios resueltos

2. El campeonato de fútbol Toma la tabla de posiciones final del campeonato de fútbol profesional de Chile más reciente y analiza los resultados posibles para los clubes en función de su posición. Representa estos resultados (campeón, subcampeón, derecho a participar directamente en Copa Libertadores de América, descenso automático, obligación de definir permanencia en Serie A mediante competencia con representantes de serie B, etc.) a través de desigualdades. Expresa intervalos de puntajes para representar los resultados.

Ejercicios resueltos 1. Un vehículo está en un punto P de la carretera que se encuentra a 80 km de la ciudad de Antofagasta. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer a través de la carretera para encontrarse a menos de 10 km de tal ciudad? Observa que esto puede ocurrir ya sea que el vehículo se esté acercando o alejando de la ciudad una vez que haya pasado por ella.

Solución Si llamamos x a la distancia que debe recorrer el vehículo, tendremos que el problema planteado se sintetiza en: 80 – x < 10 Resolviendo: x – 80 < 10 –10 < x – 80 < 10 70 < x < 90

Antofagasta

Posición original P –80

Gráfico de las funciones trigonométricas

Vehículo A

Ahora estamos en condiciones de tabular y graficar las funciones trigonométricas, dado que las hemos definido para todos los valores reales de x, con la salvedad de las advertencias ya mencionadas en el caso de la función tangente.

Contenido Tabla con información de datos

2º cuadrante

x(°)

sen x

x(°)

3º cuadrante

sen x

x(°)

sen x

x(°)

sen x

0,00

1,00

180

0,00

270

–1,00

0,17

100

0,98

190

–0,17

280

–0,98

0,34

110

0,94

200

–0,34

290

–0,94

0,50

0,87

210

–0,50

300

–0,87

0,64

0,77

220

–0,64

310

–0,77

0,77

140

0,64

230

–0,77

320

–0,64

0,87

150

0,50

240

–0,87

330

–0,50

0,94

160

0,34

250

–0,94

340

–0,34

0,98

170

0,17

260

–0,98

350

–0,17

1,00

180

0,00

270

–1,00

360

0,00

120

1 r sen x r 0

–1 b sen x b 0

1,0

0,5

sen x

Gráfico

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

distancia (km)

-45

0,0

ángulo x (*) 45

135

180

225

270

315

360

-0,5

-1,0

Notemos que también podemos apreciar aquí que la función sen x está acotada entre –1 y 1, es decir –1 b sen x b 1, cualquiera que sea el valor de x. Para construir el gráfico en la región x 0 se hizo uso de la propiedad sen (-x) = sen x.

18 km

Talca

12 km

Vehículo B

Dado que ambos vehículos se desplazan a la misma velocidad, en un cierto tiempo recorrerán la misma distancia x. Para el vehículo A:

4º cuadrante

130

Solución

En el caso de sen xx, con ayuda de una planilla de cálculo MS Excel¡ y sus herramientas gráficas, se ha tabulado y trazado la función en el intervalo 0 b x b 360°.. Por simplicidad en la tabla se ha redonredon deado a las centésimas los valores de sen x.

Para el vehículo B: 1º cuadrante

–10

2. Dos vehículos se aproximan a Talca, uno por el norte y otro por el sur. En un cierto momento, el vehículo del norte está a 18 km de la ciudad y el del sur a 12 km de la ciudad. Considerando que ambos se desplazan a la máxima velocidad permitida, ¿qué distancia deberían recorrer para encontrarse cada uno de ellos a 5 km de Talca o menos?

113

Ix – 18I b 5 –5 b x – 18 < 5 13 b x b 23 Ix – 12I b 5 –5 b x – 12 b 5 7 b x b 17

Entonces, gráficamente:

UNIDAD 2

Es decir, el vehículo debe recorrer entre 70 km y 90 km para encontrarse a menos de 10 km de Antofagasta. Observa que si recorre más de 80 km, entonces el vehículo se alejará de la ciudad. Representando:

INECUACIONES

Diagramas explicativos

distancia vehículo A

distancia vehículo B

Luego, la distancia que han de recorrer para encontrarse ambos vehículos a 5 km de Talca o menos, es entre 13 y 17 kilómetros.

UNIDAD 3

DAD 2a UNIDAD

Realiza el siguiente análisis a partir de información sobre tus compañeros(as) de curso. Pídeles que te informen sus pesos en forma confiable, pero reservada (en un papel sin su nombre). Pon esta información en una tabla o histograma separando en clases diferentes cada 5 kg y cuenta al número de compañeros(as) que tienen pesos comprendidos en cada una de ellas. Consulta en una enciclopedia, con el(la) profesor(a) de Educación Física o de Biología, o con un(a) médico, cuáles son los pesos normales para sus edades, cuáles pesos significan sobrepeso (tendencia a obesidad) y cuáles significan subpeso. Representa los resultados usando desigualdades.

169 TRIÁNGULOS

NECUACIONES INECUAC

1. Pesando al curso

Imagen de apoyo al contenido

del texto Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos 1. En un triángulo rectángulo dos de sus lados miden 9 cm y 12 cm respectivamente. Encuentra las medidas posibles del tercer lado. 2. Una cuchara está apoyada en un tazón cilíndrico, cuyo diámetro es 8 cm y su altura 12 cm. Si la longitud de la cuchara es 16 cm, calcula la longitud mínima de la parte de la cuchara que puede asomar fuera del tazón.

3. Las dimensiones de la caja cerrada de un camión de carga son 10 m, 3 m y 4 m. Calcula la máxima longitud que puede tener un tubo rígido de modo que quepa dentro de ella.

Figura geométrica para apoyar contenidos

4. El polígono ABCDEF es un hexágono regular de lado 4 cm. Calcula la longitud de las diagonales AC y AD.

UNIDAD 3

Ilustración relacionada con el tema

Computación simbólica

Tríos pitagóricos Es conocido el hecho de que los números 3, 4 y 5 constituyen lo que se llama un trío pitagórico. Tal denominación se debe a que satisfacen entre ellos, la misma relación que satisfacen los catetos (a, b)) y la hipotenusa (c) de un triángulo rectángulo, vale decir, la definida por el teorema de Pitágoras:

Computación simbólica C

Calcula, haciendo uso de un programa de mani manipulación algebraica, el área del triángulo escaleno de la figura, considerando que las longitudes de los lados se miden en cm.

a2 + b2 = c2 En este caso 32 + 42 = 52 , ya que 9 + 16 = 25, efectivamente.

El trío 3, 4, 5 y la construcción de ángulos rectos

Desarrollo de contenido específico

TRIÁNGULOS

amarran a la estaca una lienza que tiene nudos a intervalos regulares pero arbitrarios (ver figura) y la mantienen tensa en la dirección de uno de los muros que quieren levantar. En la posición del cuarto nudo entierran otra estaca B.

Existen varias maneras de definir un triángulo, dependiendo de los datos con los cuales se cuenta. Una de ellas, que conviene en el caso que estamos analizando, es determinar en un sistema de coordenadas las ecuaciones de las rectas que lo describen.

B L2

Trabajaremos el ejercicio en Maple®.

C 10

70º

30º

176

Método 1 Si escogemos un sistema de coordenadas como el de la figura, en que el vértice A se ha elegido como origen del sistema y el eje de las abscisas de modo que el lado AB descanse sobre él, entonces el triángulo ABC queda descrito por tres rectas L1, L2 y L3, caracterizadas como se indica:

UNIDAD 3

Recíprocamente, si los lados de un triángulo rectángulo miden 3, 4 y 5 (en unidades arbitrarias), entonces el triángulo en cuestión es rectángulo y el ángulo recto es el que forman los lados de longitudes 3 y 4.

70º

30º

Solución

s L2 es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es tan 30°, de modo que su 30P ) x (se ha tenido cuidado de expresar los 30° en radianes que ecuación es y = tan ( 180 es la unidad que acepta Maple®, para lo cual basta multiplicar el ángulo en cuestión por P y dividirlo por 180°). 180°

s L1 es el eje de las abscisas cuya ecuación es y = 0.

sus L3 es una recta cuya inclinación con respecto al eje de las abscisas es de 110° (= su70°) y que pasa por B cuyas coordenadas son y = 0, x = AB (por determinar plemento de 70° en función de los datos). La ecuación de L3 está dada por: y = –(tan 70°) s x + 10 s (tan 70°) s (cos 30°) + 10 s sen 30° Para efectos de no distraernos de nuestro propósito, el cálculo que conduce al resultado anterior se ha trasladado al final de este ejercicio. En la pantalla de la página siguiente están definidas las tres rectas que definen el triángulo que nos interesa. La sintaxis es: s LINE INDICA QUE SE TRATA DE UNA RECTA

Contenidos destacados

Autoevaluación

120m2

2. Haciendo uso de alguno de los métodos estudiados, estima 150 y calcula el error porcentual de tu estimación comparada con el resultado que obtienes con una calculadora de bolsillo.

3. Una fábrica produce cajones de madera de 30 lt y 60 lt y tales que sus dimensiones correspondientes son proporcionales. Encuentra la relación que debe existir entre los precios de venta de los dos tipos de cajones para que en ambos casos la razón precio : costo sea la misma. Supón que el costo solo depende de la cantidad de madera utilizada en la fabricación.

4. Con un tubo de 12 m se quiere fabricar un arco como el que se ilustra en la figura. ¿Qué altura debe tener el arco para que el área del rectángulo ABCD sea la mayor posible?

5. Para darle mayor estabilidad a una estructura como la que se muestra en el dibujo se le va a soldar una diagonal BC como se indica. La condición que debe cumplirse es que la magnitud AB debe ser el doble que la magnitud de CD. a ¿Cuánto debe medir CD para que la barra BC tenga la menor longitud posible? b. ¿Cuál es esa longitud? a A

6. Encuentra una ecuación cuadrática cuyas raíces sean el triple de las raíces de la ecuación x2 – 2xx – 3 =0.

79 EVALUACIÓN

1. Dispones de 120 m2 de carpeta de pasto y te han encargado que hagas un campo polideportivo cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado más grande que puedes empastar?

UNIDAD 1

Autoevaluación

Soluciones a ejercicios escogidos

s $ENTRO DEL PARÏNTESIS APARECE EL NOMBRE QUE SE LE HA DADO A LA RECTA L1, en el primer caso.

Bibliografías

Índice temático Unidad 1 Las funciones raíz cuadrada y cuadrática

UNIDAD 1

La raíz cuadrada de un número

ÍNDICE

Oscilando entre una y otra alternativa 12 La ampliación del campo deportivo 13 Extracción de raíz cuadrada 14 Cálculo aproximado de la raíz de un número 15 Propiedades de la raíz cuadrada 16 La raíz cuadrada como potencia fraccionaria 17 Comparación de fracciones con denominadores radicales 18 Racionalización del denominador de una fracción 18 Raíz cúbica 26 Sistema de coordenadas cartesianas 30 La función raíz cuadrada 32 Una igualdad aproximada 34 Otra forma de calcular una raíz a mano 36 ¿Para qué sirven las ecuaciones de segundo grado? 40 Funciones lineales y cuadráticas 40 Situaciones reales y ecuación de segundo grado 41

La función cuadrática

Forma estandar de la función cuadrática Representación gráfica de la función cuadrática

42 42 43

Caso 1: parábolas que pasan por el origen del sistema de coordenadas Caso 2: desplazamiento vertical de la parábola Caso 3: desplazamiento horizontal de la parábola Caso 4: recapitulación Intersección de curvas Intersección de dos rectas Intersección de una parábola con el eje de las abscisas Generalización Vértice y eje de simetría de una parábola Resolución de ecuaciones cuadráticas Propiedades de las raíces de las ecuaciones de 2º grado Generalización

Síntesis de la Unidad Más ejercicios propuestos Autoevaluación Soluciones

43 46 48 49 49 50 51 52 53 56 65 65

71 74 79 262

Índice temático Unidad 2

Los estados del agua Ingresos de las personas Juegos de números Rentas e impuestos Tiempo de transporte Un teorema importante Rendimiento y plazos Calificaciones: resultados y proyecciones Cubriendo superficies Margen comercial Geometrías variables

Solución de inecuaciones lineales Inecuaciones simples

84 85 87 89 92 94 97

99 101 103 104

106

Sistemas de inecuaciones lineales Soluciones de inecuaciones lineales con valores absolutos Distancias en la carretera

Estudio de desigualdades literales

108 110 113

116

Geometría dinámica Juegos literales Intervalos en sucesiones Composiciones

116 118 119 120

Síntesis de la Unidad Más ejercicios propuestos Autoevaluación Soluciones

124 126 131 266

ÍNDICE

El mundo que percibimos y el que construimos

7 UNIDAD 2

Inecuaciones lineales

Índice temático Unidad 3 Más sobre triángulos rectángulos

UNIDAD 3

Medición de ángulos

ÍNDICE

134

Unidades de medida de ángulos Triángulos rectángulos El teorema de Pitágoras El teorema de Fermat Semejanza de triángulos

134 138 139 146 148

Triángulos rectángulos y trigonometría

154

La trigonometría como geometría de cálculo ¿Qué se puede hacer con la trigonometría? Razones trigonométricas y funciones trigonométricas

154 154 155

Las razones trigonométricas de ciertos ángulos especiales Razones trigonométricas inversas El círculo unitario y las funciones trigonométricas Funciones trigonométricas del complemento de un ángulo

Síntesis de la Unidad Más ejercicios propuestos Autoevaluación Soluciones

132

156 161 162 168

180 183 186 271

Índice temático Unidad 4

190

La historia continúa La probabilidad en la vida cotidiana Azar Experimento aleatorio Espacio muestral Frecuencia absoluta y frecuencia relativa Equiprobabilidad Sucesos de un experimento aleatorio

190 191 191 192 192

Probabilidades y probabilidades

203

Probabilidad clásica Regla de Laplace Probabilidad experimental Determinación de las probabilidades Probabilidad experimental y probabilidad teórica Probabilidad subjetiva Variable aleatoria

194 198 200 203 203 205 208 212 217 218

Información estadística y probabilidades Probabilidad de sucesos compuestos Relaciones entre sucesos Probabilidad condicionada Probabilidad con reemplazo y sin reemplazo Probabilidades de diversos sucesos

Combinatoria básica

219 220 222 234 234 238

243

Permutaciones Variaciones Combinaciones

246 249 251

Síntesis de la Unidad Más ejercicios propuestos Autoevaluación Soluciones

254 257 261 274

ÍNDICE

Nociones de probabilidad

190

9 UNIDAD 4

El estudio de las probabilidades

Unidad

Las funciones

raíz cuadrada y cuadrática

El famoso profesor británico John Haldane, genetista, biólogo y divulgador de la ciencia, uno de los científicos más influyentes del siglo XX, realizó (entre otros numerosos aportes) estudios acerca de la relación entre diferentes disciplinas y problemas, incluyendo la aplicación de la Matemática y la Estadística al estudio de la Biología. Es de su autoría la frase que dice: “Si estás enfrentado a una dificultad o a una controversia en ciencia, una onza de Álgebra vale más que una tonelada de argumentos verbales”. La metáfora reproduce con mucha fidelidad el poder del Álgebra, tanto en su capacidad de síntesis y generalización, como en la potencia de sus procedimientos para abordar y resolver problemas de gran envergadura, en los más variados ámbitos de la ciencia, la tecnología, la ingeniería y el diseño, por mencionar algunos. Apenas comienzan los primeros balbuceos

con las operaciones algebraicas más simples, como la suma, el producto o la extracción de raíz, afloran de un modo muy natural y espontáneo, el interés y la necesidad de estudiar el comportamiento general de tales operaciones. Llama la atención, por ejemplo, que el cuadrado de 2 sea mayor que 2, pero que el cuadrado de 0,5 sea menor que 0,5. ¿Cuándo un número es mayor que su cuadrado? ¿Cuándo es menor? Es posible elaborar las respuestas a tales preguntas al estudiar la función cuadrática, pero su estudio nos conduce más lejos. Aparecen interesantes propiedades que caracterizan a tales funciones que tienen aplicaciones tecnológicas de relevancia. Antenas parabólicas, hornos solares, focos de vehículos y para iluminación teatral, son algunos de los subproductos de la comprensión de la función cuadrática. Vale la pena tener a mano una onza de Álgebra.

Contenidos de la Unidad La raíz cuadrada de un número

La función cuadrática

• Extracción de raíz cuadrada: la operación inversa de elevar al cuadrado • Propiedades de la raíz cuadrada • La raíz cuadrada como potencia fraccionaria • Comparación de fracciones con denominadores radicales • Racionalización del denominador de una fracción • Raíz cúbica • Sistema de coordenadas cartesianas • La función raíz cuadrada • Una igualdad aproximada • ¿Se puede calcular una raíz “a mano”?

• ¿Para qué sirven las ecuaciones de segundo grado? • Funciones lineales y cuadráticas • Situaciones reales y ecuación de segundo grado • La función cuadrática • Forma estándar de la función cuadrática • Representación gráﬁca de la función cuadrática • Caso 1: parábolas que pasan por el origen del sistema de coordenadas • Caso 2: desplazamiento vertical de la parábola • Caso 3: desplazamiento horizontal de la parábola • Caso 4: recapitulación • Intersección de curvas • Intersección de dos rectas • Intersección de una parábola con el eje de las abscisas • Generalización • Vértice y eje de simetría de una parábola • Resolución de ecuaciones cuadráticas • Propiedades de las raíces de las ecuaciones de segundo grado • Generalización

Aprendizajes esperados • Conocerás y utilizarás procedimientos de cálculo algebraico con expresiones en las que intervienen raíces cuadradas y cúbicas. • Plantearás y resolverás problemas que involucran ecuaciones de segundo grado; explicarás tus procedimientos de solución y analizarás la existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas. • Analizarás la función cuadrática y la función raíz cuadrada en el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos, con las correspondientes restricciones en los valores de la variable;

reconocerás limitaciones de estos modelos y su capacidad de predicción. • Conocerás la parábola, que es la representación gráfica de la función cuadrática; identificarás algunas de sus propiedades y aplicaciones en diversos ámbitos de la tecnología. • Reconocerás el potencial de las funciones estudiadas para reflejar distintos tipos de crecimiento y modelar diversos fenómenos.

La raíz cuadrada de un número LAS FUNCIONES

Oscilando entre una y otra alternativa

UNIDAD 1

Para coordinar una complicada y peligrosa pirueta con dos trapecios, se requiere que el tiempo que tarda uno de los trapecios en completar una oscilación completa (de ida y vuelta a un mismo punto) sea el doble de lo que tarda el otro. Mario, el trapecista, afirmaba que él había visto hacer la acrobacia en un circo extranjero y que las cuerdas de un trapecio doblaban en magnitud a las del otro. Para asegurarse, decidieron preguntarle a Raúl, hermano menor de Mario que estaba terminando el colegio y conocido por su dedicación al estudio, lo que ya le había rendido frutos. Tamaña responsabilidad la de Raúl, que, afortunadamente recordaba que el tiempo que tarda el trapecio en describir una oscilación completa sólo puede depender de la longitud L de sus cuerdas y de la aceleración de gravedad g. Por consideraciones meramente dimensionales reproduce un resultado que alguna vez había estudiado. Raúl piensa así: El largo L de la cuerda se expresa en unidades de longitud (por ejemplo: en metros) y la aceleración de gravedad g en unidades de longitud dividida por unidades de tiempo al cuadrado (por ejemplo m/s2). La única manera de combinar L y g para formar una magnitud que sea un tiempo, es hacer L/g y extraer la raíz cuadrada, porque en ese caso, metros = metros / (segundo)2

m = m / s2

s2 = s

Es decir, debe cumplirse que el periodo de osciL , es decir, lación T debe ser proporcional a g L T=k g

Entonces, para uno de los trapecios debe cumplirse que T1= k L1 y para el otro T2= k L2 . g

La razón entre ambos períodos de oscilación será en ese caso T1 = L1 T2

Como se desea que uno de los tiempos sea el doble del otro, se tendrá que L1 = 2 ⇒ L1 = 4 ∴ L = 4L 1 2 L2 L2

T1 = 2 2T2 ⇒ T1 = T2

Es decir, la longitud de las cuerdas de un trapecio debe ser …¡cuatro veces la longitud de las cuerdas del otro!, y no dos veces como erróneamente había adelantado Mario. ¿Cómo habrían estado relacionados los tiempos si se hubieran seguido los recuerdos de Mario? Como T1 = T2

L1 y L = 2L , 1 1 L2

se tendrá que T1 = T2

L1 L2

2L2 = L2

¿Cuál es el valor de 2 ? Veremos, más adelante, cómo puede calcularse “a mano”. Por el momento podemos decir que el valor que nos entrega una calculadora de bolsillo es 2 = 1,4142136. Ello quiere decir que 1,41421362 = 2. Vale decir que si se hubiera construido los trapecios de acuerdo a las afirmaciones de Mario, el tiempo de oscilación del más lento de los trapecios sólo hubiera sido un 41% mayor que el más rápido (y no el doble, que era lo que se intentaba lograr). Raúl termina diciendo: “El resultado que acabamos de obtener es sólo aproximado y teórico, es una simplificación de la realidad. No hemos considerado el efecto del aire, por ejemplo; y las expresiones que utilicé son sólo para oscilaciones no muy amplias. De modo que hay que utilizarlo como un punto de partida, pero será necesario corregir de acuerdo a lo que pase cuando experimenten con ello.”

La ampliación del campo deportivo

Dado que los padres quieren estimular el deporte en sus hijos, el centro de padres de Educación Media reúne fondos y decide donar pasto y aportar trabajo de manera de duplicar la superficie de la cancha, manteniendo sus proporciones, para crear de esa manera un espacio polideportivo. El directorio del centro de padres de Educación Básica decide hacer lo propio y propone que ellos colocan la misma cantidad de pasto (y de trabajo), de manera de triplicar las dimensiones de la cancha. “Fácil”, dice don Félix, uno de los miembros del directorio. “Hagámoslo por etapas: este verano duplicamos la superficie, para lo cual basta con duplicar la medida de los lados de la cancha, y el próximo verano la llevamos a su dimensión final.” “Claro”, dice don Hugo, otro de los padres entusiastas, “y el verano del próximo año los lados serán el triple de lo que son hoy.” Alfonso, un alumno de tercero medio, representante de los estudiantes, dice: “En mi opinión, don Félix, ambos están cometiendo un error, porque en la actualidad la cancha tiene una superficie de 30 m • 50 m = 1.500 m2 y de seguir sus instrucciones, la cancha tendría después de la primera etapa 60 m de ancho por 100 m de largo, lo cual significa que tendría una superficie de 60 m • 100 m = 6.000 m2 que es el cuádruplo de la superficie actual.” “Además don Hugo”, agrega Alfonso, “en la segunda etapa tendría 90 m de ancho y 150 m de largo, lo que constituiría una superficie de

“¡Tienes toda la razón!”, reconocen al unísono don Félix y don Hugo. “Efectivamente”, dice Ximena, que además de ser una gran deportista había tenido una destacada participación en las olimpiadas de matemática, “para duplicar su área y mantener la proporción de los lados, debemos multiplicarlos (ambos lados) por un mismo factor k, de manera que si en la actualidad los lados miden a y b, respectivamente, después de la primera ampliación medirán ka y kb, respectivamente.” “Al día de hoy el área es s = ab”, continúa diciendo Ximena, “y después será S = ka • kb = k2 ab”. Haciendo gala de sus habilidades matemáticas Ximena prosiguió su razonamiento, esta vez utilizando la pizarra: “Como queremos que S = 2s, se tendrá que k2 ab = 2ab, o sea que k2 = 2, lo cual significa que k= 2 . Es decir, después de la primera etapa los lados medirán respectivamente 30 m • 1,41 = 42,3 m y 50 m • 1,41 = 70,5 m aproximadamente. De esa manera, el área de la cancha será en ese momento 42,3 m • 70,5 m = 2 981 m2, que es un valor muy cercano a los 3.000 m2 que se habían propuesto originalmente.” Razona análogamente para mostrar que las longitudes de los lados para la tercera etapa deberían ser las longitudes actuales multiplicadas por 3 . De esa forma los lados medirán aproximadamente 52 m y 86,5 m. ¿Cuál será la superficie del nuevo campo en ese caso? ¿Cumple con los requisitos planteados por los padres?

UNIDAD 1

Lo practican en una cancha pequeña, pero bien montada, de pasto, con arcos profesionales, redes y correctamente demarcada. La cancha es un rectángulo de 30 m de ancho por 50 m de largo.

90 m • 150 m = 13 500 m2 que es… ¡Nueve veces la superficie actual! Y no el triple, que es lo que se pretende.”

13 LAS FUNCIONES

En el colegio de Praderas, una localidad del sur del país, tanto los equipos masculinos como los femeninos han tenido un destacado desempeño en las competencias regionales de fútbol.

LAS FUNCIONES

Extracción de raíz cuadrada: la operación inversa de elevar al cuadrado

UNIDAD 1

Para muchas operaciones matemáticas se puede definir, de un modo inequívoco, su operación inversa. En términos coloquiales, la inversa de una operación matemática es aquella que “deshace” la acción de esta última. Por ejemplo, la resta es la operación inversa de la suma y la división es la operación inversa de la multiplicación. La operación elevar al cuadrado también tiene una operación inversa y es lo que hemos llamado extracción de raíz cuadrada. Definición La raíz cuadrada de un número positivo a, es un número positivo b tal que b2 = a. Adoptamos como notación b = a , que leemos “raíz cuadrada de a”. Número entero

Cuadrado perfecto

Cuadrados perfectos Consideremos un número n. Por definición, el cuadrado de n (que denotamos por n2 y leemos “ene cuadrado”) es lo que resulta de multiplicar n por sí mismo, es decir, n2 = n • n. Por ejemplo: 32 = 3 • 3. Se llaman cuadrados perfectos a los cuadrados de los números enteros. Presentamos a continuación una tabla con los primeros diez cuadrados perfectos. Observando esa tabla, se puede construir una tabla equivalente, que nos proporciona las raíces cuadradas de los primeros diez cuadrados perfectos. Cópiala y complétala.

porque

12 = 1

porque

22 = 4

porque

32 = 9

16 =

25 =

36 =

49 =

64 =

81 =

100

100 = 10

y así sucesivamente.

Ejercicio resuelto Encuentra los dos cuadrados perfectos consecutivos entre los que se ubica el número 10. Basándote en el resultado anterior, ¿qué puedes decir de la raíz cuadrada de 10?

Solución En lenguaje algebraico, lo que se nos pide encontrar son dos enteros consecutivos a y a + 1, tales que: a2 < 10 < (a + 1)2 Observando la tabla construida anteriormente, 32 = 9 y 42 = 16, de donde 32 < 10 < 42. Por lo expresado anteriormente 10 debe ser un número mayor que 3, pero menor que 4, lo cual también puede escribirse 3 < 10 < 4.

UNIDAD 1

Este resultado nos proporciona una primera aproximación (muy gruesa por lo demás) para estimar la raíz cuadrada de 10, es decir, podemos aﬁrmar que 10 está entre 3 y 4. ¿Estamos en condiciones de encontrar un resultado más preciso?

Obtendremos aquí una expresión que nos permitirá calcular “a mano”, de un modo relativamente simple, una aproximación a la raíz cuadrada de cualquier número natural con bastante precisión. Para aproximarnos a una forma general, examinemos primero un caso especial, continuando con lo que vimos en el problema resuelto anterior. Como hemos visto, la raíz cuadrada de 10 es un número que está entre 3 y 4. Consideremos como una aproximación preliminar que la raíz de 10 está exactamente al medio de esos dos números, y denominémosla R1(10), es decir R1(10)= 3+4 = 3,5 . 2

R2= 10/3,5

R1= 3,5

R = (R1 + R2) / 2 ∼ 3,18

cometiendo, elevemos al cuadrado esta primera aproximación: 3,52 =¡12,25!. Estamos bastante lejos de 10, ya que el número obtenido es un 22,5% mayor que 10. Ello quiere decir que en la recta numérica 3,5 está a la derecha de la raíz cuadrada de 10. En ese caso el número 10 debe estar a la izquierda de 10 3,5 (¿te das cuenta por qué debe ser así?). Llamemos R2(10) a este número. Usando una calculadora se obtiene que R2(10)= 10 ≈2,8571429. 3,5 Elevando al cuadrado el número obtenido, resulta R22(10) ≈ 8,1632653. ¡Nuevamente estamos lejos de 10! Esta vez el valor obtenido es aproximadamente un 28% menor que 10. ¿Y qué sucede si como tercer intento consideramos el promedio de R1 y R2 que denotaremos R? Sea

Como veremos, se trata de una aproximación muy burda. Para dimensionar el error que estamos

R (10) = R1(10) + R2(10) = 1

= 3+4 + 10

3+4

[

3+4 + 10 2 2 3+4 2 = 7 + 10 4 7

] [

]

15 LAS FUNCIONES

Cálculo aproximado de la raíz de un número

R(10) = 49+40 = 89 ≈ 3,1785714

convenzas de que la expresión anterior generaliza ese método.)

Elevando al cuadrado, R2(10)= 10,103316.

Calculemos 123 haciendo uso de la expresión obtenida. Se puede ver que 123 está entre 11 y 12 (ya que 112 =121 y 122 = 144). Entonces,

¡Esta vez sí estamos más cerca de 10! El resultado solo difiere de 10 en algo más de 1%.

LAS FUNCIONES

Utilizando una calculadora se obtiene que 10 ≈ 3,1622777, de manera que la aproximación R(10) supera solo en un 0,5% al valor que proporciona una calculadora. Lo que hemos descrito es el cálculo aproximado de la raíz cuadrada de 10 con un proceso que se inicia ubicándola entre dos números naturales, puede ser generalizado para calcular aproximadamente la raíz de cualquier número natural. Supongamos que la raíz de cierto número dado N está entre a y b. entonces N puede aproximarse por R(N) dado por la expresión R(N) = a+b + N 4

R(123) = 11+12 + 123

11+12 R(123) = 23 + 123 ≈ 11,097826 4 23 4

que difiere aproximadamente un 0,066% del valor 11,090537 obtenido con una calculadora de bolsillo. La aproximación puede ser sucesivamente mejorada. El hecho que se obtenga un valor progresivamente más cercano a la raíz del número está basado en consideraciones de fracciones continuas que escapan del propósito del presente texto. ¿Qué sucede si para este cálculo usamos a = 10 y b = 13?

a+b

(Reemplaza los valores que usamos para el cálculo aproximado de la raíz cuadrada de 10 para que te

¿Y si usamos a = 10 y b = 12? Comenta tus resultados.

16 UNIDAD 1

Ejercicio propuesto Veriﬁca que 3,16 > 10 .

Propiedades de la raíz cuadrada Raíz cuadrada de un producto Consideremos los siguientes ejemplos numéricos. a) Como puede verificarse directamente 36 = 6, ya que 62 = 36. También podemos ver que 36 = 4 • 9. Como 4

•

4 = 2 y 9 = 3, entonces 9=2•3=6

Por lo tanto: 36 = 4 • 9 = 2 • 3 = 6, es decir 4•9 = 4 • 9. b) Del mismo modo, 225 = 15 Pero 225 puede escribirse como 225 = 9 • 25 Como 9 = 3 y

25 = 5, entonces

9 • 25 = 3 • 5 = 15

La expresión algebraica de la afirmación anterior es: a•b = a • b Por el momento se trata solo de una conjetura, ya que aún no ha sido demostrada en forma general. Demostraremos que efectivamente la relación anterior es una propiedad general de la operación extracción de raíz cuadrada.

Respecto al primer miembro de la relación anterior, sabemos que, por definición de raíz cuadrada:

( a b )2 = a b •

•

En cuanto al segundo miembro, podemos afirmar de nuestros conocimientos de potencias adquiridos anteriormente, que el cuadrado de un producto de números es igual al producto de los números al cuadrado, de modo que:

( a

•

b) =( a) ( b) =a•b 2

Comparando los segundos miembros de las dos últimas relaciones, podemos establecer que efectivamente: a•b = a • b,

Demostración Supongamos que a y b son números reales positivos, es decir a > 0 y b > 0.

Esto demuestra nuestra conjetura.

Entonces su producto ab también es un número positivo.

De un modo enteramente análogo puede demostrarse que la raíz cuadrada del cociente de dos números es igual al cociente de las raíces cuadradas de los respectivos números.

La expresión a • b es, por definición, un número positivo, al igual que a y b . Si efectivamente, se cumple que a b = a b , entonces al elevar ambos miembros al cuadrado la igualdad debiera mantenerse, es decir: •

( a b ) =( a •

•

Raíz cuadrada de un cociente

En lenguaje algebraico, si a y b son números positivos, entonces: a = b

a , b

a>0 , b>0

La raíz cuadrada como potencia fraccionaria Recordemos que una de las propiedades demostradas para potencias enteras de igual base es:

¿Qué valor debe tener m para que se satisfaga la ecuación amam = a?

aman = am + n

Como se puede ver, en general m no va a ser un número entero.

Analicemos la siguiente pregunta:

UNIDAD 1

Los resultados numéricos obtenidos en a) y b), parecen sugerir una ley general: que la raíz cuadrada de un producto de números es igual al producto de las raíces cuadradas de dichos números.

(Lo que estamos diciendo es que si p = q, entonces p2 = q2.)

17 LAS FUNCIONES

Comparando ambos resultados podemos apreciar que: 9 • 25 = 9 • 25

Si generalizamos para números cualesquiera la propiedad recientemente enunciada para números enteros, tendremos que: amam = a2m Comparando los segundos miembros de las dos últimas ecuaciones se puede apreciar que, dado que deben ser iguales, estamos en presencia de una ecuación entre potencias de igual base: a2m = a

(am)2 = a Pero, por definición de raíz cuadrada, si b2 = a, entonces b = a , la ecuación anterior nos indica que: am = a Como anteriormente habíamos aventurado que, 1 en la situación que estamos analizando am = a 2 , 1 podemos concluir que a 2 es una forma alternativa de escribir a , es decir: 1

Debe cumplirse entonces, que los exponentes deben ser iguales entre sí, es decir: o

Por otro lado, dado que:

De lo que sabemos, es relativamente fácil ordenar en la recta numérica el conjunto:

UNIDAD 1

LAS FUNCIONES

2m=1

m= 1 2

amam = (am)2 Entonces, la ecuación original toma la forma

a2 = a Como veremos posteriormente, en algunos casos resulta más conveniente, desde el punto de vista operacional, utilizar la notación recientemente introducida para el operador raíz cuadrada y generalizar para números cualesquiera las propiedades conocidas de la operación potencia con exponentes enteros.

Comparación de fracciones con denominadores radicales

3 ,

5 ,

Dado que 2 = 4 , se tendría que: 2 < 3 <2< 5 1 1+ 3 Igualmente, comparar con no es 3 3 complicado, ya que a igualdad de denominadores, son los numeradores los que prevalecen al momento de establecer comparaciones y en el caso

1+ 3 , puesto que 1 < 1 + 3 propuesto 1 < 3 3

Algo más complicado es, por ejemplo, comparar 1 + 2 con 1 + 3 . 3 2 Una manera de poder establecer la posición relativa en la recta numérica de fracciones como las anteriores es racionalizar sus denominadores antes de proceder a la comparación, es decir, amplificarlas por un factor apropiado que elimine las cantidades radicales (es decir, que contienen raíces) del denominador.

Racionalización del denominador de una fracción Racionalizar el denominador irracional de una fracción significa transformar la fracción dada en otra equivalente cuyo denominador no contenga raíces. Aunque parezca absurdo, para lograr tal propósito se multiplica la fracción dada por 1, pero escrito de una manera adecuada que conduzca a la forma deseada.

En otras palabras, hay que amplificar la fracción dada por un número apropiado que elimine las raíces del denominador. Dicho factor de amplificación se conoce con el nombre de factor de racionalización o factor racionalizador.

Ejercicios resueltos 1. Racionaliza las siguientes expresiones: b) 2

a) 1

d) 6

3 2 5

1 a

Soluciones

a) En este caso escogemos escribir 1 ≡ 2 , es decir ampliﬁcamos la fracción por 2 (el 2 factor de racionalización) Entonces, 2 1 = 1 •1= 1 • 2 = = 2 2 2

1 = 2

2 = 3

• • •

2 3

2 2 3 = 3 3

2 3 3 = ( 3 )2 3

•

; el factor racionalizador es 3

5 3 5 3 5 = 2 • 5 = 10 5

•

• • •

3 3 5 2 5 = 10

¿Cuál es el factor racionalizador en este caso? d)

6 = 3

6 3

•

3 = 6 3 3 3

1 = a

1 a

•

a a

• • •

6 = 2 3 3

• • •

1 = a

5 2 3

Soluciones a)

5 2 3

= 15 2

2 3 2 3

•

2 3

15 2

•

3 = 15 • 2 3 2•3 3

5 2 3

=5•

3 =5• 2

3 • 2

3 3 5

•

5 = 3

2 3

•

5 3

= 5 6

5 2 3

• • •

3 3 5

c ab

2 3 5 2 3

• • •

2 2

b c

a•

5 7 2 3

5•

También podríamos haber procedido así:

1 2

2•

3 3 5

a a

2. Racionaliza las siguientes expresiones:

UNIDAD 1

3 3 • • •

3 3 2 5 = 2 5

( 2)

2 , con lo que hemos logrado el propósito. 2

b) Aquí escogemos 1 ≡

= 5 6 2

LAS FUNCIONES

o sea

1 2

2• 5 7

b c

a•

c ab

2•

5 7

b c

•

1 2

•

= 2

•

a b c

7 = 5

2 2

a•

• • •

7 5

•

b c

•

c ab

2 5 = 2 5

2 7 2 5 2•5

70 5

ab a c

LAS FUNCIONES

donde a, b, c son positivos, ya que de otra forma a b =/ a b , además de que no hay raíces negativas en el conjunto de los números reales.

Ejercicios propuestos 1. Elimina los radicales de los denominadores de las siguientes expresiones: a)

11 11

b) 6 – 3 3

c) 4 2 8

10 12

e) a a 5a

2. Racionaliza las siguientes expresiones:

UNIDAD 1

8 5 2

7 2 7

7 7 2

2 3 5 8

a c 2c a

Denominadores binomiales En algunos casos el denominador es la suma o la diferencia de dos términos, de los cuales al menos uno es una raíz cuadrada, como los casos siguientes: 1 2+1 ,

3 3 5– 3 ,

2 7+ 2

En estos casos, el factor racionalizador se construye con la suma o la diferencia de los dos términos del denominador, de acuerdo a si el denominador es respectivamente la diferencia o la suma de dichos términos. Para mayor precisión, en los ejemplos dados los factores racionalizadores son respectivamente: 2 – 1, 5 + 3 , 7 – 2 , de modo que las fracciones se multiplican por: 2–1 , 2–1

5+ 3 y 5+ 3

7– 2 7– 2

respectivamente.

Las razones para que ello sea así provienen de la igualdad conocida como suma por diferencia, que expresa que el producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos términos. En lenguaje algebraico, si los términos considerados son a y b, entonces: (a + b) (a – b) = a2 – b2 Esto puede demostrarse desarrollando el producto de los paréntesis del primer miembro y reduciendo términos semejantes. Más claridad sobre el procedimiento señalado se obtiene al resolver algunos ejercicios.

Ejercicios resueltos 1. Racionaliza las siguientes fracciones:

Soluciones

1 un factor racionalizador es 2+1

a) En el caso de 1 = 2+1

1 2+1

3 3 = 5– 3

2 7+ 2

3 3 5– 3

2 – 1, de modo que:

2–1 2–1

• • •

1 = 2+1

�

5–3

2 = 7+ 2

3 3 = 5– 3

3 15 + 9 2

2 7+ 2

7 – 2 = 2( 7 – 2 ) 7– 2 7–2

•

�

4 = –1 + 5

4 5–1

4 ( 5 + 1) = 4 ( 5 + 1) ( 5 – 1) ( 5 + 1) 5–1

4 = –1 + 5

• • •

�

5 +1

2. Racionaliza las siguientes fracciones algebraicas: a)

a a+1

b b + 2b

y (x – y) x≠y x– y ,

u– v 3u + 5v

Soluciones a)

2 = 2( 7 – 2 ) 7+ 2 5

• • •

2 –1

5+ 3 = 3 3 (2 5 + 3)2 5+ 3 ( 5) –( 3)

•

= 3 3 ( 5 + 3) • • •

d) –1 + 5

2–1 2–1 = 2–1 ( 2 + 1) ( 2 – 1)

•

2–1 = ( 2 )2 – 12

3 3 5– 3

UNIDAD 1

1 2+1

a = a+1

a • a+1

a – 1 = a( a – 1) a–1 ( a )2 – 12

• • •

a = a+1

a( a – 1) a–1

�

LAS FUNCIONES

b = b + 2b

b b + 2b

b b (1 – 2 ) b b (1 – 2 ) = b – 2b –b b b + 2b

LAS FUNCIONES

• • •

y (x – y) x– y

b – 2b = b b2 (1 – 2 2) b – 2b ( b ) – ( 2b)

•

= ( 2 – 1) b

y (x – y) x– y

• • •

y (x – y) = x– y

xy + y , x ≠ y

u+ v = 3u + 5v

u+ v • 3u + 5v

3u – 5v = 3u – 5v

22 UNIDAD 1

�

x+ y = x+ y

•

y (x – y) ( x + y ) (x – y)

( u + v ) ( 3u – 5v) = 3u – 5v

3 u – 5uv + 3 uv – 5 v 3u – 5v

Ejercicios propuestos Racionaliza y reduce a su mínima expresión las siguientes fracciones: a)

5 3– 2 3

d) 5 3 – 2 5 g) i)

x , x≠0 2x + x (z – y)

z y –

y z

, y≠z

2 3+1

6 5+ 2

7 7 3 7–7

k k+2

2p + 3q , p ≠ 3q . Aplicar al caso p = 3q 2 2p – 3q

Denominadores trinomiales Resolvamos algunos ejercicios para darnos cuenta de cuál es una de las estrategias posibles para abordar estos casos.

Ya analizamos las situaciones en que el denominador es un monomio o un binomio con radicales. No es complicado idear un procedimiento basado en los anteriores cuando el denominador es un trinomio en el que al menos uno de ellos es un radical, es decir, fracciones de la forma: 2 2+ 3+1

k r+s+t

Ejercicios resueltos 1. Racionaliza la fracción:

Solución

2 2+ 3+1

2 ( 2+ 3)+1

•

( 2+ 3)–1 ( 2+ 3)–1

Llamamos la atención acerca de las expresiones que hemos encerrado entre paréntesis para enfatizar el hecho de que aplicamos la igualdad (suma por diferencia) a ellas, es decir que:

[( 2 + 3 ) + 1] [( 2 + 3 ) – 1] = ( 2 + 3 ) – 1 2

Entonces, desarrollando el cuadrado del binomio y reduciendo términos semejantes:

[( 2 + 3 ) + 1] [( 2 + 3 ) – 1] = 2 + 2 2 3 + 3 – 1 = 4 + 2 6 = 2 (2 + 6 ) De esa forma la fracción se reduce a: = 2 [( 2 + 3 ) – 1] = 2+ 3+1 2[2+ 6] 2

2+ 3–1 6+2

Pero, seguimos manteniendo un radical en el denominador, por lo cual aplicamos nuevamente la técnica conocida: 2 = 2+ 3+1

2+ 3–1 6+2

•

6 – 2 = ( 2 + 3 – 1) ( 6 – 2) 6–2 6–4

= 2 3–2 2+3 2–2 3– 6+2 2

2– 6+2 2

23 LAS FUNCIONES

2 2+ 3+1

UNIDAD 1

Conviene, en este caso, adoptar la misma técnica utilizada en los ejercicios resueltos anteriormente, pero como veremos, será necesario aplicarla dos veces.

Notemos que podríamos haber agrupado el trinomio del denominador de una forma diferente, como lo indicamos con los paréntesis en el siguiente desarrollo: 2 = 2+ 3+1

2 2 + ( 3 + 1)

2 – ( 3 + 1) = 2 – ( 3 + 1)

•

= = 2 ( 2 – 3 – 1) 2 2 – ( 3 + 1)

2 ( 2 – 3 – 1) 2 – (3 + 2 3 + 1)

= 2 ( 2 – 3 – 1) = ( 3 – 2 + 1) • –2 ( 3 + 1)

3+1

3–1 3–1

= ( 3 – 2 + 1) ( 3 – 1)

LAS FUNCIONES

2– 6+ 2 2

Este es el mismo resultado obtenido anteriormente, como era de esperar. 1 r+s+t

2. Elimina los radicales del denominador de

Solución Realmente, en este caso, a pesar de tratarse de un denominador trinomial, aparece sólo un término radical, de modo que la racionalización es más directa. 1 = r+s+t

UNIDAD 1

= 3– 3– 6+ 2+ 3–1

∴

1 • r + (s + t)

r – (s + t) r – (s + t)

1 = ( r – s – t)2 r+s+t r – (s + t)

Ejercicios propuestos Racionaliza las fracciones siguientes: a)

2 2+ 3–1

1 2+ 3+ 5

1 2 3+3 5+ 7

1 p + 2q – p + 2q

Ahora estamos en condiciones de resolver con propiedad las situaciones relativas a comparar fracciones con denominadores radicales planteadas con anterioridad.

Para familiarizarnos con el procedimiento, resolvamos algunos ejercicios.

Ejercicio resuelto Compara los números a = 1 + 2 2

y b= 1+ 3 . 3

Solución Método 1 En primer lugar, racionalicemos ambas fracciones. a= 1 + 2 = 1 + 2 •

2 = 2

2+2 2

b= 1 + 3 = 1 + 3 •

3 = 3

3+3 3

2+2 = 2

2+2 • 2

3 3

= 3( 2 + 2) = 3 2 + 6

3+3 = 3

3+3 3

2 2

= 2( 3 + 3) = 2 3 + 6

Ahora basta comparar los numeradores de a y b. Más aún, basta con comparar 3 2 con 2 3 . Como se trata de números positivos, la relación de orden es la misma que mantienen sus cuadrados. El cuadrado de 3 2 es (3 2 )2 = 18, mientras que el cuadrado de 2 3 es (2 3 )2 = 12, de manera que 3 2 > 2 3 por lo que el numerador de a es mayor que el numerador de b, lo cual quiere decir que a > b, o sea: 1+ 2 1+ 3 > 2 3

Método 2 Formemos el cociente a

y veamos cómo se compara con 1.

a b

1+ 2 2 1+ 3 3

= 1+ 2 2

•

3 = 1+ 3

3 (1 + 2 ) = 2 (1 + 3 )

3+ 6 2+ 6

El numerador es mayor que el denominador, lo cual quiere decir que la fracción considerada es mayor que 1, entonces, 1+ 2 > 1+ 3 3 2

Es decir a > b, resultado que coincide con el obtenido haciendo uso del método 1, como era de esperar.

25 LAS FUNCIONES

•

UNIDAD 1

Expresemos ahora a y b de modo que tengan un denominador común. Para ello ampliﬁcamos a por 3 y b por 2 respectivamente, de modo que ambas fracciones tengan denominador 6.

Raíz cúbica ¿Por qué la raíz cúbica? Una fábrica de envases dispone de cajones de madera con diferentes capacidades medidas en litros (lt): 5 lt, 10 lt, 15 lt, etc.

LAS FUNCIONES

Las dimensiones de los cajones de 40 lt son: 40 cm de ancho, 40 cm de profundidad y 25 cm de altura.

UNIDAD 1

Recuerda que la capacidad de un envase cuya forma es un paralelepípedo recto rectangular cuyas dimensiones son a, b, c es C = abc. En este caso C = 0,4 m • 0,4 m • 0,25 m = 0,04 m3. Como 1 m3 = 1.000 lt, entonces C = 0,04 • 1.000 lt = 40 lt. Para exportar sus productos, la empresa BerryJuice, uno de los clientes que atiende la ingeniero Robles, necesita cajones que mantengan las proporciones de los cajones descritos, pero cuya capacidad sea 80 lt. La señora Robles quiere saber cuáles serían las dimensiones que debe tener el cajón requerido y ver si los tiene en su inventario o si está en condiciones de producirlos. Para ello conversa con el señor Pino, jefe de producción, y le dice: “La capacidad que BerryJuice requiere ahora (Cnueva) son cajones del doble de capacidad de los que usaba hasta el momento (Cantigua), es decir…” Y anota en la pizarra: Cnueva = 2 Cantigua El jefe de producción razona así: “Digamos que las dimensiones de los cajones de ahora son a, b y c y su capacidad Cantigua = abc. Como hay que mantener las proporciones, las dimensiones de los nuevos cajones serán ka, kb y kc y su capacidad sería Cnueva = (ka)(kb)(kc) = k3 abc” La señora Robles, gerente de ventas, prosigue: “Como Cnueva = 2 Cantigua, tendremos que k3 abc = 3 2abc, es decir, k3 = 2, de modo tal que k= 2 ” “Efectivamente”, dice el señor Pino. “Y como la raíz cúbica de 2 es aproximadamente 1,26 enton-

ces las dimensiones de los nuevos cajones serán ancho = profundidad = 40 cm • 1,26 = 50,4 cm; altura = 25 cm • 1,26 = 31,5 cm” El señor Pino reflexiona en voz alta: “Los cajones de 60 lt que producimos nosotros son de 50 cm • 50 cm • 32 cm”. “Habría que ver si les sirven”, acota la gerente de ventas. “Si no fuera así, hacemos las modificaciones que sean del caso para satisfacer las necesidades de nuestro cliente”.

Definición Sean a y b dos números reales. Diremos que b es la raíz cúbica de a si y solo si b3 = a. 3

Como notación adoptaremos b = a y se debe cumplir, de acuerdo a la definición de raíz cúbica, que b • b • b = b3 = a. Ejemplos 3

a) 8 = 2, porque 2 • 2 • 2 = 23 = 8 3

b) 27 = 3, dado que 3 • 3 • 3 = 33 = 27 3

c) 1.000 = 10, ya que 10 • 10 • 10 = 1.000

Una diferencia entre la raíz cuadrada y la raíz cúbica Como habíamos observado, la raíz cuadrada de un número negativo, no es un número real. Para ilustrar este punto, lo que queremos decir es que no existe número real alguno que sea igual a –4 . Sin embargo, ese no es el caso para la raíz cúbica. Ejemplo 3

–8 = –2 ya que (–2) • (–2) • (–2) = (–2)3 = –8

Al igual como procedimos en el caso de la raíz cuadrada, encontremos el valor que debe tener el exponente m para que se cumpla que:

am • am • am = a3m Comparando las dos últimas ecuaciones podemos afirmar que: a3m = a

a =an

De esta forma, todas las propiedades de las potencias son transferibles a las raíces. A modo de ilustración:

( a) =(a ) =a = a 5

1 5

3 5

Y en general: n

3m = 1 ⇒ m= 1

1 n

m n

Igualmente, dado que 3 a5 =

1 5 , recurriendo a3

a las propiedades de las potencias enteras pode-

mos afirmar que:

Es decir, en este caso:

1 = a– 53 , es decir 1 = a– 53 5 3 5 a a3

am = a 3 Por otro lado, dadas las propiedades de las potencias de igual base, podemos escribir, a

( a) =(a ) =a = a

De donde se deduce que:

a =a7 ,

Y en general:

am • am • am = a De nuestros conocimientos de potencias de igual base sabemos que:

= (a )

m 3

Se tiene entonces que: (am)3 = a Pero, por definición la raíz cúbica de a es un número b tal que b3 = a, de manera que:

Operaciones con raíces y notación exponencial Supongamos que queremos encontrar una ex3 presión más compacta para 2 • 2 operando directamente con las raíces. En tal caso debemos buscar un índice común para ambas (que es el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces) y cambiar consistentemente las cantidades subradicales.

am = a Como habíamos encontrado formalmente por 1 otra parte que am = a 3 , podemos advertir que es consistente establecer la convención: 3

a =a3

En el caso de la raíz cuadrada y de la raíz cúbica, el índice común es 6. En tal caso la transformación que corresponde es 6 2 = 23 , porque si elevamos ambos miembros a la potencia 6, tenemos por un lado que:

UNIDAD 1

Queremos mostrar una notación alternativa a para la raíz cúbica de un número.

Esta forma de escribir las raíces como exponentes fraccionarios es factible de ser directamente generalizada a todos los índices radicales, de modo que, por ejemplo:

27 LAS FUNCIONES

La raíz cúbica como una potencia fraccionaria

( 2) =( 2) ( 2) ( 2) =2 2 2=2 2

•

Y por otro lado que:

( 2 ) =2 6

3 6

2 =

La eficiencia de la opción de calcular con exponentes fraccionarios se hace aún más evidente cuando las expresiones que se quiere simplificar involucran una variedad de índices radicales y exponentes enteros como, por ejemplo, es el caso de:

Análogamente: 6

Este es el mismo resultado obtenido anteriormente, como era de esperar, pero esta vez se obtuvo en forma más directa.

De manera que:

LAS FUNCIONES

UNIDAD 1

•

2 =

3 • 6

2 = 2

3 •

2 = 2

3 • 3 3 • 95 = 3 2 • 3 3 • (32)5 = 3 6 • 310 = 3 5 1 5 27 • 3 35 32 • 33 (33) 2 • 3 3

Si por el contrario, optamos por trabajar con exponentes fraccionarios, tendremos que:

46 6 • 10 = 3 193 = 3 6 = 37 • 3 3 36

1 + 1 1 1 5 3+2 3 6 2 • 2 = 2 2 • 2 3 = 2( 2 3 ) = 2( 3 ) = 2 6 = 25

Ejercicios propuestos 1. Reduce la expresión

2 • 4 3 • 32 3

8 • 9 • 23

2. Encuentra una expresión más compacta para

2•3•5

5 • 23 • 32 3. Expresa 2

1 3 •

1 6 •

3 2

4 como una raíz de una potencia entera de 2.

Racionalización de fracciones con raíces cúbicas

do sus segundos miembros y reduciendo términos semejantes.

Para efectos de racionalizar algunas fracciones cuyo denominador contiene raíces cúbicas conviene recordar un par de identidades algebraicas de las que haremos uso. Ellas son:

Veamos, a través de un ejercicio, cuál es su utilidad.

(a3 – b3) = (a – b) (a2 + ab + b2) (a3 + b3) = (a + b) (a2 – ab + b2) que pueden ser fácilmente verificadas desarrollan-

Racionalicemos por ejemplo, la fracción: 3

1 3 5 – 2

¿Cómo se relacionan las identidades anteriores con este ejercicio? 3 3 3 3 En virtud de las identidades aludidas, ( 5 ) – ( 2 )

mos un denominador sin raíces. La fracción que debemos racionalizar puede escribirse:

puede escribirse como:

( 5 )3 – ( 2 )3 = 3

( 5 – 2 ) [ ( 5 )2 + 5 3

•

2 +( 2)

]

1 = 3 5 – 2

( 5) + 5• 2+( 2) = 1 • 3 ( 3 5 – 2 ) ( 3 5 )2 + 3 5 • 3 5 + ( 3 2 )2 3

Notemos que el primer factor del 2° miembro es exactamente el denominador de la fracción que queremos racionalizar. 3

( 3 5 )2 + 3 5 3 2 + ( 3 2 )2 •

5–2

Pero, ( 5 ) – ( 2 ) = 5 – 2 = 3, es decir no contiene radicales. 3

1 = ( 5 ) + 10 + ( 2 ) 3 ( 5 – 32)

∴ 3

que, como vemos, no contiene raíces en el denominador.

Entonces, si amplificamos la fracción por el factor que está entre paréntesis de corchete obtendre-

Ejercicios propuestos 1. Racionaliza las fracciones siguientes: 1 2

2 8

2 3

5 3

8 7+ 3

2 3 5+ 3

26 + 14 13 + 7

12 + 8 3+ 2

1 5

1 1– 2

3 5–2

8 7– 3

2 3 5– 3

26 – 14 13 – 7

12 – 8 3+ 2

12 – 8 3– 2

2. Ordena: a) de menor a mayor las fracciones de cada ﬁla del ejercicio anterior; b) de menor a mayor las fracciones de cada columna del ejercicio anterior. 3. Racionaliza: a) c) e)

1 9

1 3 2– 2

1 3 10 + –8

UNIDAD 1

LAS FUNCIONES

1 7 – 33 1 2 – 32

3 3

k +

k –

r r

Nota: 2 = 8 , k≠r

Sistema de coordenadas cartesianas

LAS FUNCIONES

Dos coleccionistas de sellos postales que se están conociendo en un congreso internacional, intercambian sus direcciones para enviarse correspondencia de sus respectivos países: - ¿Cuál es tu dirección? - Bolívar 86, Cali, Colombia. ¿Y la tuya? - Las Américas, 2381, departamento 36, Guayaquil, Ecuador.

Un extranjero solicitando información: - ¿Dónde queda el Palacio de Gobierno? - Siguiendo por esta vereda, en la esquina doble a la izquierda y a mitad de cuadra está la puerta principal que conduce al patio de los naranjos.

- ¿Sabes?, cuando éramos niños solíamos esconder en el patio de la abuela una llave que abría la despensa en la que guardaba las galletas. Contábamos 5 pasos hacia la palmera y después 8 pasos a la derecha. Y así, de vez en cuando comíamos más de lo permitido. - Pero, ¿de dónde partían contando? - Partíamos de la primera columna de la galería. Capaz que todavía esté allí. Claro que ahora está un poco complicado saber dónde está con tanta maleza. Frecuentemente vamos a estar interesados en visualizar funciones a través de sus gráficos.

Un cartel en la carretera dice así: Posada y restaurante “El Solar del Arlequín”. Kilómetro 328, Ruta 77.

Para ello es indispensable introducir algunas definiciones y adoptar ciertas convenciones de modo de no incurrir en confusiones por la ausencia de un lenguaje común.

Una muchacha indicando en un planisferio la ubicación de Hanga Roa: - Hanga Roa, la capital de Isla de Pascua, se encuentra ubicada aproximadamente en el paralelo 27° de latitud sur y a 109° de longitud oeste.

Preocupémonos, entonces, de establecer tales consideraciones para aplicarlas al estudio de la función raíz cuadrada.

30 UNIDAD 1

números y alguna referencia. También depende de la precisión que se requiera en cada caso.

En un laboratorio se está perforando una plancha para montar un instrumento: - Dr. Salpeter, ¿dónde hay que hacer el agujero? - A 32 mm del borde inferior y a 46 mm del borde izquierdo.

Existen diferentes formas de ubicar un lugar en el espacio y las diferencias dependen del contexto en el cual se está desarrollando la acción. Vemos que normalmente basta con saber unos pocos datos: algunos nombres, algunos

Ejes coordenados Para definir un sistema de coordenadas cartesianas sobre un plano, se elige arbitrariamente un punto de dicho plano que denotaremos por O y al que llamaremos origen del sistema de coordenadas. Se traza por O una recta cualquiera OX y una recta ortogonal a ella OY y se define en cada una de esas rectas un sentido que señalamos con una flecha. La recta definida por O y X se denomina eje de las abscisas o eje coordenado X. Diremos que el rayo OX es el semi eje positivo del eje coordenado X. La recta definida por O e Y se denomina eje de las ordenadas, o eje coordenado Y.

Y S

yR O

90º

De aquí en adelante, para enfatizar el hecho que los semiejes positivos y negativos de las abscisas y las ordenadas se extienden infinitamente, lo señalaremos con flechas en ambos sentidos.

Tracemos por R una recta perpendicular al eje coordenado X que lo intersecta en Q. Designemos por xR a la distancia OQ (se adopta la convención que si Q está sobre el semi eje positivo del eje X, entonces xR es positivo; si Q coincide con O, entonces xR = 0; en los demás casos xR es negativo). Tracemos ahora por R una recta perpendicular al eje Y que lo intersecta en S. Designemos por yR a la distancia OS.

Un sistema de coordenadas cartesianas en un plano genera cuatro regiones conocidas con el nombre de cuadrantes y que se numeran I, II, III y IV. El cuadrante I es la región delimitada por los semi ejes positivos de los ejes coordenados (es decir es el conjunto de puntos R definidos por xR > 0 e yR > 0). En la figura siguiente se puede apreciar los cuadrantes y su denominación.

Diremos que xR e yR son las coordenadas cartesianas del punto R.

Notemos que, en virtud del teorema de Pitágoras, OQ2 + OS2 = OR2 que también puede escribirse como,

Cuadrante II

Cuadrante I

x2R + y2R = OR2 X

Cuadrante III

Cuadrante IV

UNIDAD 1

Sea R un punto cualquiera del plano.

Cuadrantes

31 LAS FUNCIONES

Coordenadas cartesianas de un punto

La función raíz cuadrada de x entre 0 y 10, haciendo uso de una planilla MS Excel® y las facilidades gráficas del mismo software (en caso de que no dispongamos de él podemos usar una calculadora de bolsillo y papel cuadriculado o milimetrado).

Consideremos la función: f(x) = x cuando x ≥ 0

LAS FUNCIONES

Para graficarla, elaboramos una tabla con los valores que asume f(x) para los enteros positivos

UNIDAD 1

f(x)

0,000

1,000

3,5

1,414

1,732

2,000

2,236

2,449

2,646

2,828

3,000

3,162

3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0

Nota: hemos redondeado a las milésimas el valor de f(x). Frecuentemente usaremos aproximaciones.

Ejercicio resuelto Compara x con x para todos los valores positivos de x.

Solución Antes de intentar hacer un desarrollo analítico, graﬁcaremos con más detalle la función raíz cuadrada, porque de esa forma tendremos algunas señales para orientar mejor nuestros esfuerzos. De la tabla que ya se elaboró, podemos apreciar que x y x son iguales en x = 0 y en x = 1, y además que 2 > 2 , 3 > 3 y así sucesivamente cuando x > 1. ¿Pero qué sucede cuando x está entre 0 y 1? Para averiguarlo hagamos una tabla y un gráﬁco más detallado de x para 0 < x < 1 a intervalos de 0,1.

0,00

0,000

0,10

0,316

1,2

0,20

0,447

1,0

0,30

0,548

0,8

0,40

0,632

0,50

0,707

0,60

0,775

0,70

0,837

0,80

0,894

0,90

0,949

1,00

1,000

0,6 0,4 0,2

0,0 0,0

0,5

1,0

Examinemos en estos casos cómo se comparan x y x . De la tabla anterior podemos ver que 0,2 < 0,2 y que 0,3 < 0,3 y que lo mismo sucede para todos los valores de x en el intervalo que estamos analizando. Ello se puede ver con mayor claridad si trazamos en la misma ﬁgura la función que estamos estudiando (que llamaremos y1) y la función y2 = f(x) = x que representa una recta por el origen y que forma un ángulo de 45º con el eje X. Esta última función representa los puntos en los cuales y es igual a x, de modo que los puntos que están sobre ella satisfacen la propiedad y > x, mientras que en los puntos que están bajo ella y < x. y y2 = x

2,0

1,5

y1 = x

1,0

0,5

0,0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

y1 = x

y2 = x

0,00

0,000

0,00

0,20

0,447

0,20

0,40

0,632

0,40

0,60

0,775

0,60

0,80

0,894

0,80

1,00

1,000

1,00

1,20

1,095

1,20

1,40

1,183

1,40

1,60

1,265

1,60

1,80

1,342

1,80

2,00

1,414

2,00

UNIDAD 1

f(x) = x

33 LAS FUNCIONES

Lo que hemos indagado hasta aquí pareciera indicar que: x < x si 0 < x < 1

x = x si x = 0 ó x = 1

x > x si x > 1

Hasta ahora solo se trata de una suposición, puesto que lo hemos veriﬁcado para algunos casos, pero no lo hemos demostrado formalmente para todos los casos posibles.

LAS FUNCIONES

Una igualdad aproximada

UNIDAD 1

Este título parece no tener sentido: “¿Cómo algo puede ser aproximadamente igual a otra cosa?” Matemáticamente hablando, dos números o bien son iguales entre sí o bien son distintos. En el lenguaje cotidiano, ser aproximadamente igual es una expresión habitual. Por ejemplo, uno puede repartir en una fiesta pedazos de torta aproximadamente iguales entre sí; o bien, las superficies de dos terrenos pueden ser aproximadamente iguales. Pero, ¿es posible asignarle un sentido matemático a la expresión “aproximadamente igual”? Por ejemplo, ¿es 2 aproximadamente igual a 100? En general uno respondería que 2 y 100 NO son aproximadamente iguales. Y, ¿es 2 aproximadamente igual a 2,1? En este caso uno estaría más propenso a decir que sí lo son. O, ¿es 2 aproximadamente igual a 2,001? A este nivel ya pocos tendrían dudas de que ambos números son aproximadamente iguales.

Depende del contexto Pero en realidad, que haya consenso respecto a decidir si dos números son aproximadamente iguales entre sí depende del contexto. Ponderar 755 o 753 puntos en el puntaje de ingreso a la universidad (hay aproximadamente un 0,3% de diferencia entre ambos números), puede ser decisivo para entrar a la carrera deseada. Pero si estamos determinando la antigüedad de una vasija indígena no hace gran diferencia si tiene 755 o 753 años (realmente en casos como este quizás nos bastaría con saber que tiene entre 700 y 800 años de antigüedad).

De igual modo, si vamos a comprar 2 kilogramos de pan y nos venden 30 gramos más o 30 gramos menos no hace gran diferencia (a pesar de que en este caso se trata de un 1,5 % de variación, es decir 3 veces mayor que en el ejemplo anterior). De hecho, las balanzas de algunas panaderías no son suficientemente precisas como para establecer una diferencia de 30 gramos.

Notación Cuando queremos expresar que dos números a y b son aproximadamente iguales, adoptaremos la notación: a ≈ b , que se lee “a es aproximadamente igual a b”. Hagamos un análisis más cuantitativo. Para muchos efectos, dos cantidades se consideran aproximadamente iguales si, por ejemplo, difieren en un 1% o en casos más exigentes en un 0,1%, o más aún, en un 0,002%. Es decir, como se vio en los ejemplos anteriores, la igualdad aproximada de dos valores depende de la situación que se esté analizando.

¿Qué es mayor: a o a 2? Consideremos un número menor que 1. (Para ser más concretos pensemos en el número 0,7). Si lo elevamos al cuadrado, el resultado también es menor que 1, pero además es un número menor que el número inicial. [En el ejemplo que estamos considerando: (0,7)2 = 0,49 < 0,7 < 1)] En lenguaje algebraico, lo que estamos afirmando es que: Si ε < 1 entonces ε2 < ε

Ejercicios resueltos 1. Para tener una percepción más real de la aﬁrmación anterior: a) Elabora una tabla para los números 0,9 – 0,8 . . . 0,1 ; 0,09 – 0,08 – . . . 0,01 y sus cuadrados. b) Calcula la diferencia porcentual entre los números dados y sus respectivos cuadrados. c) Comenta los resultados.

x – x2 x

0.9

0.81000

10,0 %

0,09

0,00810

91,0 %

0,8

0,64000

20,0 %

0,08

0,00640

92,0 %

0,7

0,49000

30,0 %

0,07

0,00490

93,0 %

0,6

0,36000

40,0 %

0,06

0,00360

94,0 %

0,5

0,25000

50,0 %

0,05

0,00250

95,0 %

0,4

0,16000

60,0 %

0,04

0,00160

96,0 %

0,3

0,09000

70,0 %

0,03

0,00090

97,0 %

0,2

0,04000

80,0 %

0,02

0,00040

98,0 %

0,1

0,01000

90,0 %

0,01

0,00010

99,0 %

35 1 = 10 % 10

Solución

Si 0 < ε < 1, entonces se puede encontrar un número δ > 0 de modo que: ε + δ = 1 (Por ejemplo, si ε = 0,7 entonces δ = 0,3.) Multiplicando ambos miembros de la igualdad por ε, se obtiene la siguiente igualdad: �ε2 + δε = ε Como δ > 0 y ε > 0, entonces δε > 0 Es decir, a ε2 hay que sumarle un número positivo δε para que iguale a ε, lo cual quiere decir que ε2 < ε, efectivamente. Por el contrario, si ε > 1 entonces a ε hay que restarle un número positivo δ para que iguale a 1: ε– δ=1 Multiplicando ambos números de la igualdad por ε se obtiene:

ε2 – δε = ε ⇒ ε2 = ε + δε Como δ > 0 y ε > 0, entonces δε > 0, es decir, ε2 > ε, cuando ε > 1. ¿Cómo se relacionan estos resultados con la conjetura del inicio de la página anterior?

LAS FUNCIONES

2. Demuestra (ahora en forma general) que si ε < 1 entonces ε2 < ε.

Nota Recuerda que

UNIDAD 1

Solución

LAS FUNCIONES

Otra forma de calcular una raíz a mano

UNIDAD 1

En la actualidad, prácticamente cualquier calculadora de bolsillo tiene una tecla que permite calcular la raíz cuadrada de un número con varias cifras significativas. Si hacemos uso de una de ellas, al calcular 6 el resultado que nos entrega será 2,4494897 y en este caso se trata de un resultado aproximado. En algunos casos el resultado es exacto, como por ejemplo cuando se calcula 4 = 2 ó 10,7584 = 3,28. Al inicio de este capítulo mostramos un método para calcular en forma aproximada la raíz de un número. Otra forma de hacerlo utiliza una igualdad aproximada, que vamos a deducir a continuación. Para ello, consideremos la siguiente identidad:

ε = ( 1 + ε2 ) – ε4 2

(Esto lo puedes verificar desarrollando el cuadrado del binomio del segundo miembro y reduciendo enseguida términos semejantes.) Haciendo uso de una planilla MS Excel® y con el propósito de comparar sus valores, tabulemos

1+ , 1+ ε

ε(

) , ε4 en el intervalo 0 ≤ ε ≤ 1. 2

εε

1,00

2,00

0,90

De la identidad se puede despejar:

ε2 = (1 + ε )2 – ( 1 + ε) 2

En otras palabras, 1 + ε

) y (1 + ε) difieren 2

(

ε2 . Para apreciar cuán importante es esta 4

diferencia es necesario compararla con algo que tenga sentido, en este caso con el valor 1 +

ε.

Precisamente, en la columna “error”, lo que se ha tabulado es el cociente porcentaje.

ε2 4

(1 + ε)

expresado en

ε2

Entonces, cuando 4 es pequeño en comparación con (1 + ), podemos decir que:

(1 + ) ≈ 1 + ε

ε (

) 2

εε (1+ ε2 )

ε2

error

2,25

0,25

12,5 %

1,90

2,10

0,20

10,7 %

0,80

1,80

1,96

0,16

8,9 %

0,70

1,70

1,82

0,12

7,2 %

0,60

1,60

1,69

0,09

5,6 %

P1 = $ 480

0,50

1,50

1,56

0,06

4,2 %

P2 = $ 520

0,40

1,40

1,44

0,04

2,9 %

0,30

1,30

1,32

0,02

1,7 %

0,20

1,20

1,21

0,01

0,8 %

0,10

1,10

0,00

0,2 %

0,00

1,00

0,00

0,0 %

Advertencia

En la columna correspondiente a ε se 2

ha considerado el valor redondeado a las centésimas.

El cálculo es semejante al que hacemos cuando queremos calcular el alza de un precio de 1 kg de pan: calculamos la diferencia de precio y la dividimos por el precio original. Ejemplo:

∆P = P2 – P1 = $ 520 – $ 480 = $ 40 Alza del pan: 40 = 1 ≈ 8,3 % 480

Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros de la igualdad aproximada anterior, se obtiene:

En otras palabras, la igualdad aproximada

1+ε ≈1+ ε ,

1+ε ≈1+ ε

Una observación a tener en cuenta es que, dado que: 2 2 1+ ε –(1+ )≡ ε

(

entonces si

)

ε ≠ 0, se tendrá que:

nos proporciona un método para calcular (en forma aproximada) la raíz cuadrada de un número cualquiera y el valor aproximado que se obtenga, siempre será mayor que el valor exacto. Tanto el método como esta última consideración los ilustraremos en los siguientes ejercicios resueltos.

(1 + ε2 ) – (1 + ε) > 0 2

o lo que es equivalente a:

(1 + ε2 ) > ( 1 + ε) 2

Ejercicios resueltos 1. Usando la aproximación recientemente deducida, encuentra un valor aproximado para 5 .

Solución

Descomponemos el número 5 como 5 = 4 + 1, de modo que: 5 = 4+1 =

4 (1 + 1 ) = 4 4

1+ 1 4

Pero, 4 = 2. De acuerdo a la igualdad aproximada que dedujimos, colocando en este caso 1 1 1 1+ 4 ≈1+ 2 • 4 =1+ 1 = 9 8

De esta manera:

ε = 14 :

5 ≈ 2 • 9 = 9 = 2,25 8

Podemos afirmar entonces que: 5 ≈ 2,25 Este resultado difiere de 5 ≈ 2,236067977 obtenido con una calculadora de bolsillo, en un 0,63% aproximadamente. Si elevamos al cuadrado el resultado obtenido con el método estudiado, obtenemos que difiere de 5 (el resultado que querríamos haber obtenido) en un 1,25%. Vale la pena comentar que también podríamos haber elegido descomponer el número 5 de otra forma, como por ejemplo: 5 = 3 + 2 y entonces: 5 = 3+2 =

(

)

3 1+ 2 = 3 3

UNIDAD 1

ε > 1+ε

1+ 2 3

Pero en este caso nos topamos con la diﬁcultad de que desconocemos el valor de 3 lo que nos impide seguir adelante con el procedimiento que hemos aprendido.

LAS FUNCIONES

2. Calcula 100 , con el mismo método empleado en el ejercicio anterior.

Solución En este caso es obvio que el resultado exacto es 10, pero queremos ensayar la bondad y posibilidades del método. En primer lugar, descomponemos 100 como la suma de un cuadrado perfecto más algo (que fue la estrategia utilizada en el ejercicio 1): 100 = 92 + 19 = 81 + 19 Entonces,

LAS FUNCIONES

100 = 81 + 19 =

UNIDAD 1

81 (1 + 19 ) = 81

1 + 19

Pero, 81 = 9 De acuerdo a la igualdad aproximada que dedujimos, 1 + ε ≈ 1 + ε , esta vez con 2 = 19 :

1 + 19 ≈ 1 + 1 • 19 = 1 + 19 = 181 81

162

De manera que: 100 ≈ 9 • 181 = 10,05 162

El procedimiento de cálculo que estamos utilizando nos permite aﬁrmar que 100 ≈ 10,05. ¿Cuál es el error cometido en este cálculo aproximado? Como el resultado exacto es 10, se puede aﬁrmar que el número obtenido con la aproximación es un 0,5 % superior a ese valor.

Ejercicios propuestos 1. Repite los cálculos anteriores para encontrar 100 , pero esta vez con la descomposición 100 = 121 – 21. Discute si el valor aproximado para 100 obtenido de esta forma es más o menos preciso que el valor encontrado en el anterior ejercicio resuelto. 2. Calcula 150 , usando la aproximación 1 + ε ≈ 1 + ε . 2

Compara tu resultado con el obtenido con una calculadora o una planilla de cálculo.

Computación simbólica Utilizando un software de procesamiento simbólico, racionaliza las siguientes expresiones: a)

2+ 3– 5 2+ 3+ 5

3+ 5+ 7 2+ 3+ 7

p– q– p+q p+ q+ p+q

Solución Para resolver los ejercicios anteriores, haremos uso del programa Maple®. Escribimos, en primer lugar, la expresión correspondiente a la fracción que se nos pide racionalizar seguido de un punto y coma (;) en la forma:

La acción del símbolo “;” permite obtener en notación algebraica, después de pulsar Enter, la expresión recientemente escrita. Enseguida, escribimos la instrucción de racionalizar, que en el caso de Maple® se escribe: rationalize(%); donde el símbolo % se reﬁere a que se le está pidiendo al programa que opere sobre la última expresión que ha aparecido en pantalla. Los otros casos se resolvieron en forma análoga y la observación de las pantallas es suﬁciente para entender el procedimiento detallado.

39 LAS FUNCIONES

sqrt es la abreviación de square root, la expresión inglesa para raíz cuadrada, de modo que sqrt(2) signiﬁca 2 .

UNIDAD 1

(sqrt(2) + sqrt(3) – sqrt(5)) / (sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5));

LAS FUNCIONES

La función cuadrática

UNIDAD 1

El estudio de una función consiste, entre otras cosas, en determinar los valores para los cuales está definida y los valores que asume, en analizar los puntos en los que puede tener un comportamiento especial, en definir su representación gráfica, en estudiar las propiedades de la curva que la representa, sus extremos (máximos y mínimos), sus intersecciones con los ejes coordenados.

En el caso de la función cuadrática, al estudiar las intersecciones con los ejes coordenados nos veremos enfrentados al problema de las soluciones (también llamadas raíces) de lo que se conoce con el nombre de ecuación cuadrática o de segundo grado, que como mostraremos, son de particular relevancia en diversos ámbitos científicos y tecnológicos.

¿Para qué sirven las ecuaciones de segundo grado? No es que las ecuaciones de segundo grado (también llamadas ecuaciones cuadráticas) se nos aparezcan con demasiada frecuencia en nuestra vida cotidiana. Sin embargo, hay algunas oportunidades en que las ecuaciones de segundo grado sí pueden resultar de utilidad, como ya veremos. Pero los motivos para analizarlas, encontrar métodos para resolverlas y deducir las propiedades de sus soluciones, trascienden el mero afán utilitario inmediato que más de alguno podría esperar de la Matemática asociada a ellas.

Hay motivos históricos, metodológicos, formativos e incluso lúdicos que justifican su estudio. Más aún, en algunos casos las ecuaciones cuadráticas aparecen ineludiblemente al abordar ciertos problemas de otras disciplinas, como es el caso de la Física, de la Electrónica, de la Informática o de la Ingeniería. Hasta el momento habíamos tenido oportunidad de estudiar ecuaciones de primer grado (conocidas con el nombre de ecuaciones lineales) con una incógnita y su correlato geométrico, que son las líneas rectas.

Funciones lineales y cuadráticas El estudio de las ecuaciones lineales nos llevó a considerar funciones de la forma f(x) = mx + n, a encontrar su representación gráfica, a interesarnos por sus intersecciones con los ejes coordenados y a descubrir otras propiedades. Lo que caracteriza a las funciones de primer grado es que la variable (x) aparece elevada a la potencia 1.

Es legítimo preguntarse: ¿cuál es el siguiente grado de complejidad que se puede introducir a las funciones? Y, en la misma actitud, si consideramos que las rectas son las “curvas” más simples, también uno puede preguntarse: ¿cuáles son las curvas que les siguen en complejidad?

Una propuesta bastante natural es considerar funciones que incorporen potencias superiores de x, en cuyo caso la elección más sencilla es estudiar funciones de la forma f(x) = Ax2 + Bx + C.

Pero como mejor se aprecia el aporte de las funciones cuadráticas y de las ecuaciones de segundo grado es estudiando algunas situaciones específicas que requieren de su utilización.

En alguna oportunidad puedes haber visto que una curva “suave” cualquiera podía representarse, al menos para ciertos propósitos, como una sucesión de segmentos rectilíneos. En otros casos resulta particularmente apropiado representar algunas partes de ciertas curvas como funciones cuadráticas y eso nos proporciona un elemento adicional para entender algunos problemas.

Para resolver las tres situaciones que se presentan a continuación se hace necesario plantear en cada caso una ecuación de segundo grado. Una vez que conozcamos los métodos de resolución de las ecuaciones cuadráticas, hacia el final de esta sección, serán abordadas y resueltas.

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180.000 m2

900 m

Situación 2 Normalmente los terrenos destinados a uso agrícola o vivienda tienen formas irregulares. Cuando se quieren subdividir no siempre es fácil lograr soluciones que satisfagan todos los gustos. En el caso que proponemos, se trata de dividir un terreno con forma de trapecio en dos partes de igual superficie, mediante una recta paralela a sus bases, como puede apreciarse en las figuras adjuntas.

LAS FUNCIONES

Una señora lega a una institución de beneficencia un terreno de 60 m de frente por 100 m de fondo, estableciendo que debe ser destinado fundamentalmente a áreas verdes. Agrega que, para levantar una construcción, solo puede utilizarse un terreno cuadrado cuya superficie sea a lo sumo la quinta parte de lo que se destinará a parque. ¿Cuál es el área máxima que se puede ocupar para edificar?

100 m

60 m

Situación 1

UNIDAD 1

Situaciones reales y ecuación de segundo grado

180.000 m2

300 m

Situación 3

LAS FUNCIONES

Un remero tarda cierto tiempo en recorrer, contra la corriente de un río, los 3 km que separan a las boyas A y B. Cuando retorna (con la corriente a favor), tarda 15 minutos menos. Sabe que cuando el río está calmo, él se desplaza a una velocidad uniforme de 15 km/h. a) ¿Cuál es la velocidad del torrente del río? b) ¿Cuánto tardó en ir río arriba? ¿Qué tienen en común los planteamientos anteriores?

Realmente, lo que sucede es que todos ellos pueden ser resueltos encontrando y analizando las soluciones de una ecuación de segundo grado. Pero, lo que es aún más poderoso, es que todos ellos pueden ser descritos y analizados genéricamente mediante funciones cuadráticas, lo cual permite extraer conclusiones generales aplicables a familias de problemas y no solo a casos particulares. Ello, entre otras cosas, justifica el que abordemos el estudio de la función cuadrática.

UNIDAD 1

La función cuadrática La forma general que tiene una función cuadrática es: f(x) = Ax2 + Bx + C

En esta función x es la variable, A es un coeficiente real distinto de 0, y B y C son coeficientes reales arbitrarios.

Forma estándar de la función cuadrática Para efectos interpretativos conviene escribir de un modo diferente la expresión anterior. Como A es distinto de 0, podemos factorizar por A los dos primeros términos del segundo miembro y entonces f(x) deviene en: f(x) = A

[

x + B x A 2

]+C

A continuación, podemos escribir la expresión entre paréntesis como un cuadrado perfecto, restándole lo que corresponda para no alterar el valor de f(x), de modo que:

[

B +C ] – 4A 2A

f(x) = A x + B

Vamos a definir tres constantes a, h y c de acuerdo a las relaciones siguientes,

a≡A

h≡– B

c≡C– B

de manera que f(x) adopta la siguiente expresión: f(x) = a(x – h)2 + c que diremos que es la forma estándar de la función cuadrática.

Para entender con claridad el papel que juega cada uno de los coeficientes en la expresión de la función cuadrática, adoptaremos un abordaje inductivo, considerando situaciones muy simples que iremos complejizando progresivamente. La tabla adjunta resume los casos que estudiaremos con el propósito de interpretar los coeficientes aludidos y las propiedades geométricas de la función cuadrática.

Item

Caso 1

1.1

1.2

1.3

≠0

Caso 2 2.1

≠0

2.2

= –1

≠0

Caso 3 3.1

≠0

3.2

= –1

≠0

Caso 4

arbitrario

≠0

Caso 1: parábolas que pasan por el origen del sistema de coordenadas De acuerdo a la tabla que hemos confeccionado, en este caso corresponde considerar h = 0 y c = 0, es decir, todas las parábolas que estudiaremos en el Caso 1 son de la forma y = ax2. Cualquiera sea el valor de a, cuando x = 0, tendremos que f(x) = 0, es decir, todas las curvas consideradas pasan por el punto (0,0), es decir, por el origen del sistema de coordenadas cartesianas.

Caso 1.1 Para simplificar aún más el estudio, nos remitiremos a considerar a = 1, es decir, estudiaremos en primer lugar la función y = x2. Tabulemos y grafiquemos la función anterior para valores enteros de x entre –4 y +4. Observamos que la gráfica de la función considerada tiene forma de una U. Además, como se puede apreciar, la curva pasa por el punto (0,0), x

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

16 9 4 1 0 1 4 9 –1016

es decir, por el origen del sistema de coordenadas. También es posible observar una simetría, que llamaremos de reflexión o especular, por el hecho que si imaginamos el eje y como un espejo, la rama derecha de la curva (en rojo) se refleja en el eje generando la rama izquierda (en verde) o viceversa.

y 20 15 10 5 –5

43 LAS FUNCIONES

La definición de los coeficientes a, h y c que hemos introducido en la sección anterior, no es una elección caprichosa, sino que responde a la intención de asignar un significado geométrico claro a cada uno de ellos.

UNIDAD 1

Representación gráfica de la función cuadrática

Caso 1.2 Consideremos en conjunto, para efectos de comparación, los siguientes casos:

a = 0,5

a=1

a=2

a=3

a=4

y = 4x2

–4

Podemos apreciar que estos casos son de la forma y = ax2 con a > 0, que es lo que nos habíamos propuesto estudiar. Tabulemos y tracemos en un mismo gráfico las funciones consideradas (las figuras de colores en la tabla están asociadas a las curvas del gráfico.)

–3

4,5

–2

–1

0,5

4,5

y = x2

y = 2x2

y = 3x2

LAS FUNCIONES

y = 0,5x2

70 60

UNIDAD 1

30 20 10 –4

–3

–2

–1

Como queda de manifiesto en los gráficos exhibidos, las curvas presentan algunas características comunes: todas tienen forma de U, son simétricas respecto al eje de las ordenadas y pasan por el origen. Lo que las diferencia es que unas son más “abiertas” que otras. Mientras menor es el coeficiente que acompaña a x, más “achatada” (es decir más abierta) es la curva. Tratemos de buscar una explicación general a los hechos que hemos observado.

El “achatamiento” depende de a Para fijar ideas, consideremos el valor x = 1. En ese caso, mientras mayor sea el valor de a, mayor va a ser el valor de f(x) (ver la fila destacada en la tabla anterior). Lo mismo se repite para cualquier otro valor de x positivo. Ello significa que mientras mayor sea a, mayor es f(x) para un mismo valor de x, lo que explica que hay curvas que crecen más rápido que otras cuando x crece.

Simetría especular de la parábola Se puede ver cómo aparece la simetría si consideramos la función f evaluada en x y en –x: f(x) = ax2

⇒

f(–x) = a(–x)2 = ax2 ,

es decir: f(x) = f(–x),

¿Y qué sucede si el coeficiente a < 0? Consideremos nuevamente en conjunto, para efectos de comparación, los siguientes casos de la forma y = ax2, pero en esta ocasión a es negativo: y = –0,5x y = –3x2

y = –x

y = –2x

y = –4x2

–4

–3

–2

–1

0 –10 –20 –30 –40 –50 –60 –70

a = –0,5

a = –1

a = –2

a = –3

a = –4

–4

–8

–16

–32

–48

–64

–3

–4,5

–9

–18

–27

–36

–2

–4

–8

–12

–16

–1

–0,5

–1

–2

–3

–4

–0,5

–1

–2

–3

–4

–2

–4

–8

–12

–16

–4,5

–9

–18

–27

–36

–8

–16

–32

–48

–64

45 LAS FUNCIONES

Caso 1.3

UNIDAD 1

Esta es justamente la propiedad que define la simetría de reflexión (o especular).

Con propiedad podemos establecer entonces la siguiente afirmación respecto a la función f(x) = ax2: 1. Representa una curva que denominaremos parábola, cuya forma es similar a una letra U cuando a es positivo y a una letra U invertida ( ) cuando a es negativo. U

Como se observa en los gráficos exhibidos, las curvas presentan algunas características comunes: todas tienen forma de U invertida ( ), al igual que en el caso en que a es positivo, son simétricas respecto al eje de las ordenadas y pasan por el origen. Del mismo modo que en el caso anterior, lo que las diferencia es que unas son más “abiertas” que otras. Mientras menor en valor absoluto (es decir mientras mayor) es el coeficiente que acompaña a x, más “achatada” (o sea, más abierta) es la curva.

2. Pasa por el origen O del sistema de coordenadas. 3. Posee simetría especular con respecto al eje y, es decir f(x) = f(–x).

LAS FUNCIONES

Caso 2: desplazamiento vertical de la parábola

UNIDAD 1

Caso 2.1 Nos corresponde considerar ahora estudiar el caso h = 0, c ≠ 0. Es decir, la forma estándar de la función cuadrática asume la forma: y = ax2 + c A este punto vale la pena hacer una analogía con un hecho que conocemos de nuestro estudio de la recta. La representación gráfica de una función de la forma f(x) = mx es una recta que pasa por el origen, mientras que la función f(x) = mx + n, queda representada por una recta paralela a la anterior, pero desplazada verticalmente en n: dicho de otra manera, se trata de una recta que ya no pasa por el origen, sino que corta al eje de las ordenadas a una distancia n del origen (estrictamente hablando a una distancia |n| del origen, por sobre o bajo el eje x dependiendo si n > 0 ó n < 0 respectivamente). ¿Sucederá algo similar en este caso?, es decir si consideramos la función f(x) = ax2 + c ¿se producirá un desplazamiento paralelo vertical de f(x) = ax?

Caso 2.2 Remitámonos, en primer, lugar al caso en que: a=1 , h=0 , c≠0 Vamos a considerar la función f(x) = x2 + c, simultáneamente para varios valores de c (nulo, positivo y negativo) para realizar un análisis comparativo entre las diferentes representaciones gráficas que obtengamos.

c = –3

c=0

c = 2,5

c=4

c=8

–4

18,5

–3

11,5

–2

6,5

–1

–2

3,5

–3

2,5

–2

3,5

6,5

11,5

18,5

UNIDAD 1

Para ello, tabulemos la función para los valores de c consignados en la tabla siguiente:

30 25

47 LAS FUNCIONES

20 15 10 5 –5

–4

–3

–2

–1

-5

Efectivamente entonces, el efecto del coeficiente c es desplazar verticalmente la parábola; y como se puede apreciar en el gráfico se desplaza en |c| unidades hacia arriba o hacia abajo dependiendo de si c es positivo o negativo, respectivamente.

Caso 3: desplazamiento horizontal de la parábola Para h ≠ 0 , c = 0 la forma estándar de la función cuadrática deviene en este caso en:

y = a(x – h)2

–10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

42,25

30,25

20,25

6,25

2,25

0,25

2,25

6,25

12,25

20,25

30,25

Caso 3.1

LAS FUNCIONES

Analizaremos, en primer lugar, el caso a = 1 y veremos que la generalización a valores arbitrarios de a ≠ 0, es inmediata una vez estudiados los casos anteriores.

UNIDAD 1

Como ya lo hemos hecho en otras oportunidades semejantes, grafiquemos la función simultáneamente para varios valores de h (positivos y negativos) de modo de poder visualizar el efecto que la variación de h produce. Al observar el gráfico podemos notar que el efecto de h en y = (x – h)2 es desplazar la parábola y = x2 hacia la izquierda o hacia la derecha, dependiendo de si h es negativo o positivo respectivamente, de modo que y = (x + 3)2 que representa la parábola del extremo izquierdo en el gráfico, es idéntica a la parábola y = x2, sólo que está desplazada 3 unidades hacia la izquierda. De un modo análogo, y = (x – 5,5)2 también es una parábola idéntica a y = x2, pero que está desplazada en 5,5 unidades hacia la derecha.

h = –3 h = –2 h = –1

5 6

42,25

50 40 30 20 10 –10

–5

h = 4 h = 5,5

Ejercicios propuestos 1. ¿Por qué crees que la tabla del análisis anterior se construyó de manera aparentemente antojadiza, con tantos casilleros vacíos? 2. Realiza el análisis anterior para valores de a ≠ 1 (positivos y negativos).

Caso 4: recapitulación

Como se había adelantado, los coeficientes a, h y c poseen significado geométrico claro. El signo del coeficiente a indica si la parábola está abierta hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0), mientras que su magnitud es una medida de su abertura: mientras mayor es IaI, más cerrada es la parábola. Por su parte, h determina el desplazamiento horizontal de la parábola, entendiendo que cuando h = 0, el eje de simetría especular de la parábola es el eje OY. Si h > 0 (h < 0) el eje de simetría se desplaza hacia la izquierda (derecha). Finalmente, el coeficiente c es el responsable del

Valor absoluto El valor absoluto de un número real a se denota por IaI y por definición: IaI =

a si a ≥ 0 –a si a < 0

Por ejemplo, I0,8I = 0,8 mientras que: – = I I Entonces, para todo número real a: 2 3

2 3

IaI ≥ 0

Intersección de curvas Consideremos dos funciones cualesquiera y1 = f(x) e y2 = g(x) como las que se representan en la figura siguiente. Y

Por definición de intersección, P, Q y R son puntos que pertenecen a ambas curvas, es decir son puntos en los cuales ambas funciones adoptan el mismo valor. Por ejemplo, en el punto P se cumple que y1 = y2 , es decir: f(xP ) = g(xP )

R y1 = f(x) y2 = g(x) P O

Q X

En el ejemplo escogido, las curvas se intersectan en tres puntos (P, Q, R) del intervalo considerado.

UNIDAD 1

f(x) = a(x – h)2 + c

desplazamiento vertical de la parábola; cuando c = 0, el vértice de la parábola “roza” al eje OX (es decir el eje OX es tangente a la parábola en su vértice). El signo de c indica si la parábola se desplaza hacia arriba (c > 0 ) o hacia abajo (c < 0).

Relaciones análogas se pueden escribir para los puntos Q y R. En principio, la ecuación anterior nos permitiría determinar xP (la abscisa del punto de intersección P). Una vez calculado xP, su valor se introduce en la ecuación de cualquiera de las curvas para determinar la ordenada yP del punto de intersección. El punto de intersección P queda así determinado por sus coordenadas (xP , yP) del modo que se indicó.

49 LAS FUNCIONES

En virtud del análisis de los diferentes casos, es posible entender con mayor claridad la decisión de escribir la función cuadrática en la forma:

Intersección de dos rectas ecuación de cualquiera de las rectas se determinaba la ordenada y. Para recordar el procedimiento, resolvamos un ejercicio.

Cuando buscábamos la intersección de dos rectas definidas por y1 = m1x + n1 e y2 = m2x + n2 respectivamente, imponíamos la condición y1 = y2, lo que proporcionaba una ecuación para determinar la abscisa x e introduciendo el resultado en la

Ejercicios resueltos 1. Determina las coordenadas del punto de intersección de las rectas: y1 = 1 x – 2

LAS FUNCIONES

UNIDAD 1

y2 = – 1 x + 3 3

Solución Llamemos Q ( xQ , yQ ) al punto de intersección. En tales circunstancias se tendrá que: y1(xQ ) = y2(xQ ) ⇒ 1 xQ – 2 = – 1 xQ + 3 ⇒ 5 xQ = 5 3

∴ xQ = 6

Introduciendo el valor encontrado para xQ en la expresión para cualquiera de las rectas se encuentra que yQ = 1. Es decir, las coordenadas del punto de intersección Q son (6,1). En lo sucesivo, cuando no haya posibilidades de confusión y para no recargar la notación, omitiremos los subíndices asociados a los puntos de intersección. 2. Graﬁca la situación descrita en el ejercicio anterior.

Solución: y2 = – 1 x + 3 3

5 4

y1 = 1 x – 2

0 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

Ejercicios propuestos 1. La recta L1 intersecta al eje y en el punto A de coordenadas (0,3) y a la recta L2 en el punto Q(2,5). A su vez L2 intersecta al semieje positivo OX a una distancia 1 del origen. Determina las ecuaciones de L1 y L2. 2. Encuentra el punto de intersección de las rectas descritas por las ecuaciones y = 6x + 2, 1 y – 3x – 4 = 0. 2 Interpreta el resultado obtenido. x

UNIDAD 1

30 min

a) ¿a qué distancia de O el vehículo B alcanza al vehículo A?

b) ¿cuánto tarda B en alcanzar a A? Nota: en un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad v, si x es la distancia recorrida y t es el tiempo que tarda el móvil en recorrerla, entonces x = vt.

Intersección de una parábola con el eje de las abscisas Ejercicio resuelto Considera la parábola y = 4x2 – 1. Encuentra en qué punto(s) la curva dada intersecta al eje OX.

Solución El eje OX es una recta que está deﬁnida por la ecuación y = 0. Lo que estamos buscando entonces es la intersección de las “curvas” y1 = 4x2 – 1 e y2 = 0 f(x)

g(x)

LAS FUNCIONES

3. El gráﬁco adjunto representa el movimiento uniforme (es decir con velocidad constante y rectilíneo) de dos vehículos que parten desde un mismo punto, que hemos elegido como el origen de coordenadas, pero en que el más veloz (B) parte 30 minutos más tarde que el más lento (A). Si las velocidades son respectivamente 120 km/h y 80 km/h encuentra:

Como vimos recientemente, el(los) punto(s) de intersección se encuentra(n) imponiendo y1 = y2. En este caso la ecuación anterior se traduce en: 4x2 – 1 = 0, de donde 4x2 = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ 4

x1 = 12 x2 = – 12

⇒ y1 = y2 = 0

Hemos encontrado, entonces, dos puntos de intersección P y Q, cuyas coordenadas son P( 12 , 0) y Q( – 12 , 0).

LAS FUNCIONES

Gráﬁcamente la situación planteada queda descrita, con lo que hasta aquí hemos descubierto, como sigue:

UNIDAD 1

1 2

Discusión De lo que habíamos aprendido en las secciones anteriores, es posible deducir, sin tabular ni graficar, algunas características de la parábola estudiada en el ejercicio resuelto anterior. a) La parábola y = 4x2 – 1 ya está escrita en la forma estándar y = a(x – h)2 + c, con a = 4; h = 0 y c = –1.

b) a = 4 > 0 ⇒ la parábola es abierta hacia arriba (U). c) Como h = 0, el eje de simetría es OY. d) Como además c = –1, la parábola intersecta al eje y en el punto (0, –1).

Generalización Análisis gráfico

Encontremos ahora la intersección de la parábola y1 = a(x – h)2 + c con el eje OX (es decir, con la recta y2 = 0). Analicemos en forma gráfica cuáles son las alternativas que pueden surgir.

a>0 c<0

a>0 c=0

a>0 c>0

(h,c) (h,0)

(h,c)

a<0 c>0

a<0 c=0

a<0 c<0

(h,0)

(h,c)

a) que la parábola intersecte al eje x en dos puntos diferentes. b) que la parábola intersecte al eje x solo en un punto (en otras palabras, que el eje x sea tangente a la parábola en el vértice de ella). c) que no exista intersección entre la parábola y el eje x.

Análisis algebraico Vamos a darle una expresión algebraica a los resultados gráficos de la sección anterior. Para ello imponemos y1 = y2, que en este caso, dado que el eje OX está descrito por la ecuación y2 = 0, quiere decir y1 = 0, lo que implica a(x – h)2 + c = 0, de donde se puede deducir que:

Analicemos las cantidades subradicales que aparecen en las expresiones para x1 y x2. a) Si x1 ≠ x2 y además – ca > 0 (lo cual quiere decir que

c a

está definida en

), entonces,

la parábola intersecta al eje OX en los puntos de coordenadas (x1 , 0) y (x2 , 0) con x1 y x2 dados por las expresiones en el paréntesis de llave. b) Si c = 0 es fácil comprobar, observando las expresiones para x1 y x2 , que x1 = x2 = h, es decir, existe solo un punto de intersección (el eje OX es tangente a la parábola en el vértice de ella). c no está definida c) Si – ca < 0 entonces a en , lo cual significa que:

x1 y x2 no son números reales y que en consecuencia la parábola no intersecta al eje x. Tal situación ocurre cuando a y c tienen el mismo signo, es decir ya sea que (a > 0 y c > 0), o bien que (a < 0 y c < 0).

(x – h)2 = – c ⇒ – c ⇒ a

x1 = h + x2 = h –

– ca – ca

Vértice y eje de simetría de una parábola Como estudiamos anteriormente, el eje de simetría especular de una parábola descrita en su forma estándar por la ecuación y1 = a(x – h)2 + c, es una recta paralela al eje y definida por la ecuación x = h. El vértice A de la parábola se encuentra sobre dicho eje de simetría y es el valor extremo que adopta cualquier función cuadrática, que en algunos casos se trata de un máximo (cuando a < 0) o de un mínimo (cuando a > 0). Para encontrar las coordenadas de tal punto vamos a describir dos métodos alternativos.

x=h eje de simetría especular

O h

LAS FUNCIONES

(x – h) = ±

UNIDAD 1

De acuerdo al diagrama anterior, podemos observar que existen tres alternativas, tanto para el caso en que la parábola sea abierta hacia arriba (U) como hacia abajo ( ). Ellas son:

Método 1 En este caso vamos a encontrar la intersección de la parábola y1 = a(x – h)2 + c con la recta x = h. Reemplazando x = h en la ecuación de la parábola, se encuentra que y1 = a(h – h)2 + c ⇒ y1 = c (compara este resultado con la intersección de parábolas de la forma y1 = ax2 + c con el eje OY), de modo que las coordenadas del punto A que se buscaban son (h,c).

Método 2

LAS FUNCIONES

Consideremos una parábola que intersecta el eje x en dos puntos diferentes: x1 y x2.

x2 – x1 O

UNIDAD 1

Dada la simetría especular de las parábolas y con la información de la figura adjunta, se observa que: xA = x1 +

x2 – x1 x +x = 1 2 2 2

Pero como:

x1 = h + – ca x2 = h – – ca

Entonces:

xA =

(h + - ca ) + (h – - ca ) = h ⇒ 2

yA = c Esto coincide con el resultado encontrado anteriormente, como era de esperar. Esta última alternativa de cálculo es particularmente útil cuando la parábola no está escrita en la forma estándar, de modo que no contamos con una expresión explícita para h, pero sin embargo la coordenada da xA del vértice de una parábola y = f(x) se sigue calculando como: xA =

x1 + x2 2

donde x1 y x2 son las soluciones de la ecuación cuadrática f(x) = 0. Las coordenadas del vértice de la parábola pueden determinarse con cualquiera de los métodos descritos, aun cuando la parábola no intersecta el eje x.

Ejercicios propuestos 1. Escribe las siguientes funciones cuadráticas en la forma estándar y1 = a(x – h)2 + c. Encuentra a, h y c. a) y = 5x2

b) y = –6x2

c) y = 4x2 + 2x

d) y = –2x2 + x

e) y = x2 + 3

f) y = – 14 x2 + 1

g) y = – 12 x2 + 12 x – 1 h) y – 2x2 + 4x – 3 = 0

2. En los ejercicios anteriores: a) Encuentra las coordenadas: • del punto de intersección de la parábola con el eje y. • del (de los) punto(s) de intersección de la parábola con el eje x. b) Tabula y graﬁca la función, indicando en cada gráﬁco los puntos de intersección encontrados en la parte a).

Ejercicio resuelto El piloto de un avión deja caer bultos con ayuda humanitaria en una zona de catástrofe de difícil acceso por tierra. Para lograr su objetivo, debe considerar la trayectoria parabólica que sigue el paquete una vez que lo deja caer y que (despreciando la resistencia del aire) está dada por: g y = H – 2 x2 (ver diagrama) 2u

g = 10 m/s2

360 km/h

H es la altura desde la cual se deja caer el paquete, u es la velocidad del avión y g es la aceleración de gravedad, que para efectos de este problema aproximaremos a 10 m/s2. Si H = 100 m y u = 360 km/h, calcula qué distancia horizontal D recorre el paquete antes de llegar a tierra.

Solución Vamos a convertir todas las unidades al Sistema Internacional: u = 360 km = 360 1 000 m = 100 m 3 600 s

Introduciendo los datos en la expresión dada y = H – g 2 x2 para la trayectoria del paquete 2u después de ser soltado: y(m) = 100m –

10 m s2

m2 2 • (100)2 s2

x2 (m2)

Simpliﬁcando las unidades (x e y expresados en metros): y = 100 –

10 x 2 2(100)2

El punto en el cual cae el paquete está deﬁnido por y = 0, x = D 10

⇒ 0 = 100 – 2(100)2 D 2 ⇒ D 2 = 2 • 105 m2 ⇒ D =

2 • 105 m

∴ D ≈ 447 m El paquete cae aproximadamente a 450 metros más adelante del lugar desde el cual se dejó caer.

55 LAS FUNCIONES

UNIDAD 1

100 m

LAS FUNCIONES

Resolución de ecuaciones cuadráticas

UNIDAD 1

Resolver una ecuación significa encontrar el valor (o los valores) de la variable que la satisface (o la satisfacen).

las circunstancias y de las habilidades adquiridas en este proceso de aprendizaje.

En el caso de las ecuaciones de segundo grado (que llamaremos indistintamente ecuaciones cuadráticas) veremos que hay tres posibilidades:

Método 1: Resolución por factorización

a) no existen números reales que la satisfagan, como es por ejemplo el caso de la ecuación x2 = –1.

Ciertas ecuaciones cuadráticas, cuyas raíces son números enteros “pequeños”, se prestan para ser resueltas con facilidad mediante el método llamado resolución por factorización.

b) existe sólo un número real que la satisface, como por ejemplo en el caso de la ecuación x2 – 2x + 1 = 0 cuya única solución es x = 1. c) existen dos números reales que satisfacen la ecuación, que es el caso que más atención nos demandará.

El método está basado en el hecho que toda ecuación cuadrática de la forma x2 + bx + c = 0 puede reescribirse, como demostraremos más adelante, como un producto de dos binomios en la forma (x – α1 ) (x – α2 ) = 0. El razonamiento continúa haciendo uso del hecho de que si el producto de dos números es 0, entonces al menos uno de ellos debe ser igual a 0.

Si bien es cierto que existe una fórmula general que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, resulta inconveniente en una primera intención deducirla para aplicarla sin más. Ello es así, porque otros métodos de abordaje más inductivos nos proporcionan un entendimiento más cabal del problema y por otra parte exigen el desarrollo de destrezas más elaboradas para su utilización.

En el caso que estamos considerando resulta entonces que o bien (x – α1 ) = 0 o bien (x – α2 ) = 0, de manera que la ecuación se satisface ya sea que x = α1 o que x = α2. Si logramos factorizar la ecuación de la forma prescrita, entonces α1 y α2 serán las soluciones buscadas.

Nos remitiremos a desarrollar tres métodos de resolución y los dos últimos nos conducirán naturalmente a la obtención de la mencionada fórmula general. Cuándo se aplique cada uno, depende de

Algunos ejemplos nos ayudarán a ilustrar las afirmaciones anteriores, a familiarizarnos con el método propuesto y a ser más específicos respecto a lo que entendemos por “pequeño”.

Ejercicios resueltos Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas haciendo uso del método recién establecido. Discute los aspectos que te parezcan especiales. a) x2 – 7x + 10 = 0

b) x2 + x – 12 = 0

c) x2 + 9x + 14 = 0

d) 6x2 – 7x + 2 = 0

e) x2 – 13 x + 1 = 0

f) x2 – 23x + 518 = 0

Soluciones a) x2 – 7x + 10 = 0 Estamos buscando factorizar el miembro izquierdo de la ecuación dada, de modo que se pueda reescribir como: (x – α1 ) (x – α2 ) = 0 Expandiendo el producto y reagrupando los términos semejantes se reencuentra que: x2 – (α1 + α2 )x + α1 • α2 = 0 Comparando esta última ecuación con la original, observamos que ambas coinciden si: (α1 + α2 ) = 7

α1 • α2 = 10

Los únicos productos de números enteros que dan como resultado 10 son 10 • 1 y 5 • 2. Pero la suma del primer par es 11 ( = 10 + 1), que no satisface la otra condición, que sí la satisface el segundo par cuya suma es efectivamente 7 ( = 5 + 2). La ecuación factorizada se escribe entonces como: (x – 5) (x – 2) = 0,

UNIDAD 1

Es decir, estamos buscando dos números cuya suma sea 7 y su producto sea igual a 10.

lo cual quiere decir que los valores α1 = 5 y α2 = 2 son las soluciones buscadas.

57 Como en el caso anterior, buscamos dos números α1 y α2 tales que: α1 + α2 = – 1 (el coeﬁciente de x con el signo opuesto) α1 • α2 = – 12 (el término libre) Veamos, ayudándonos con una tabla, cuáles son las alternativas posibles de los números enteros α1 y α2 que satisfacen las condiciones dadas:

α1

α2

α1 • α2

α1 + α2

–1

– 12

–2

– 12

–3

– 12

–

– 12

–

– 12

– 11

La opción destacada en la tabla es la única que satisface ambas condiciones. (Este proceso de inspección, una vez que se ha adquirido cierta destreza, es elaborado en forma mental, sin necesidad de recurrir a un proceso sistemático, sino más bien intuitivo.) La ecuación factorizada tomaría en este caso la forma:

– 12

– 11

(x + 4) (x – 3) = 0

y las soluciones de la ecuación son entonces: α1 = – 4 y α2 = 3

LAS FUNCIONES

b) x2 + x – 12 = 0

c) x2 + 9x + 14 = 0 En este caso, los números buscados son –7 y –2, ya que: (–7) + (–2) = –9 y (–7)(–2) = 14 La ecuación factorizada sería: (x + 7) (x + 2) = 0 y las soluciones α1 = – 7 y α2 = – 2, como ya se dijo.

LAS FUNCIONES

d) 6x2 – 7x + 2 = 0

UNIDAD 1

Esta ecuación no está dentro de la categoría que habíamos analizado, dado que el coeficiente de x2 es distinto de 1. No obstante lo anterior, igualmente se puede encontrar la factorización del miembro izquierdo de la ecuación, pero hace falta una dosis de intuición mayor que en los casos anteriores. Tal factorización se desarrolla a continuación y se ha esbozado el razonamiento que fue conduciendo al resultado final. Necesitamos producir un término 6x2, que se puede lograr (pensando siempre en coeficientes enteros) como 6x por x, pero también como 3x por 2x. Vamos a optar por esta última alternativa y te proponemos que posteriormente hagas la otra elección para que veas adónde te conduce. Entonces, (6x2 – 7x + 2) = ( 3x + ?) (2x + ??) En la posición de ? y de ?? deben ir números enteros tales que su producto sea +2. Los signos de ? y de ?? deben ser iguales entre sí para que su producto sea un número positivo y en este caso ambos signos deben ser negativos para producir el signo negativo que precede a 7x. La factorización resulta ser 6x2 – 7x + 2 = ( 3x – 2) (2x – 1), lo cual quiere decir que: ( 3x – 2) (2x – 1) = 0 que a su vez significa que,

{

3x – 2 = 0 ⇒ x = 2 3

2x – 1 = 0 ⇒ x = 1 2

Las raíces son en este caso, α1 = 2 3

y α2 = 1 2

e) x2 – 13 x + 1 = 0 6

En este caso, el método nos indicaría que debemos encontrar dos números cuyo producto sea 1 y cuya suma sea 13 , lo cual no parece tan directo y demuestra las limitaciones del 6 método. Una alternativa sería multiplicar la ecuación por 6, obteniendo: 6x2 – 13x + 6 = 0 y buscar una factorización como en el caso anterior, la que resulta ser: 6x2 – 13x + 6 = (3x – 2) (2x – 3) Se sigue entonces que las soluciones provienen de igualar a 0 cada uno de los paréntesis de la expresión anterior lo que conduce a que α1 = 2 y α2 = 3 . 3 2 Como se puede veriﬁcar, (α1 + α2 ) = 2 + 3 = 4 + 9 = 13 2 α1 • α2 = 2 3

En este caso la factorización, aunque posible, se torna francamente complicada: se trata de encontrar dos números enteros que multiplicados den 518 como resultado y sumados, 23.

•

3 =1 2

Resultados que coinciden con nuestra búsqueda inicial, como era de esperar.

Los números requeridos son 37 y – 14, pero su búsqueda dista de ser directa y es aconsejable seguir procedimientos alternativos. Aun así, podemos afirmar que la ecuación factorizada se escribe: (x – 37) (x + 14) = 0 Este ejemplo ilustra que cuando aparecen números “grandes” como coeficientes de la ecuación, el método de resolución por factorización se vuelve ineficiente. Obviamente “grande” y “pequeño” en este contexto, dependen de las habilidades que tenga quien se proponga resolver la ecuación. Afortunadamente, también hay otros procedimientos de resolución que son más sistemáticos y que requieren llevar adelante ciertas operaciones algebraicas de forma más bien mecánica, como veremos en las secciones siguientes. Advertencia Bastan pequeñas variaciones en los coeficientes de la ecuación para que la factorización en términos de números enteros ya no sea posible. Por ejemplo, si en lugar de la primera ecuación de los ejercicios precedentes, vale decir x2 – 7x + 10 = 0, consideramos el caso x2 – 8x + 10 = 0, podemos comprobar que no existen números enteros α1 y α2 tales que: (α1 + α2 ) = 8 y α1 • α2 = 10

LAS FUNCIONES

f) x2 – 23x + 518 = 0

UNIDAD 1

LAS FUNCIONES

Método 2: Suma por diferencia

UNIDAD 1

Como por otro lado x = y – 1, entonces quiere decir que

Consideremos la ecuación x2 + 2x – 1 = 0

x1 = 2 – 1

En este caso, la factorización del miembro izquierdo de la ecuación no es directa, pues no existen dos números enteros tales que su suma sea –2 y su producto –1.

x2 = – 2 – 1

Entonces, exhibiremos a continuación un procedimiento para resolver la ecuación dada que hace uso de la propiedad conocida como suma por diferencia, que es una forma abreviada de recordar un resultado que establece que el producto de la suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos monomios; en términos algebraicos, si a y b son dichos monomios, entonces: (a + b) (a – b) = (a2 – b2) Para ello, factoricemos x en los dos primeros términos de la ecuación que nos interesa: x (x + 2) – 1 = 0, ecuación que es equivalente a x (x + 2) = 1 Definamos la variable auxiliar y a través de la relación x+1=y

son las raíces de la ecuación original. Verificación Verifiquemos que x1 = 2 – 1 es efectivamente solución de la ecuación originalmente propuesta x2 + 2x – 1 = 0. Para ello, introduzcamos en el primer miembro de la ecuación el valor encontrado:

( 2 – 1) + 2 ( 2 – 1) – 1 = (2 – 2 2 + 1) + (2 2 – 2) – 1= 0 2

•

efectivamente Te dejamos la tarea de verificar que x2 = – 2 – 1 también es solución de la ecuación que nos interesa. Generalización Si consideramos una ecuación de segundo grado de la forma: x2 + bx + c = 0

En tal caso, x = y – 1 de donde se puede deducir que:

Entonces, de acuerdo a la experiencia recién adquirida, la podemos reescribir como

x+2=y+1

x (x + b) + c = 0

En términos de la nueva variable y la ecuación original puede reescribirse en la forma: ( y – 1) ( y + 1) = 1

o bien, x (x + b) = – c La variable auxiliar y la elegimos de modo que x + b = y, 2

Es decir, ( y – 1) = 1 2

razón por la cual: x=y– b 2

Lo que a su vez es lo mismo que: y2 = 2 ⇒ y = ± 2

y además, x+b=y+ b 2

En tales condiciones, la ecuación x2 + bx + c = 0 reescrita en términos de la variable auxiliar es:

( y – b2 ) ( y + b2 ) = – c

Sin necesidad de seguir adelante, lo que nos enseña esta generalización es que la elección de la variable auxiliar sigue un patrón perfectamente bien definido.

Desarrollando el producto (suma por diferencia)

( b2 ) = – c 2

Lo que nos permite despejar: y2 =

Para adquirir mayor familiaridad, practicaremos este procedimiento en los ejercicios que se desarrollan a continuación.

( b2 ) – c , 2

Ejercicios resueltos

a) x2 – 5x + 2 = 0

b) x2 – 2 x – 3 = 0

c) – x2 + 2x + 8 = 0

d) 3 x2 – 2x – 1 = 0

LAS FUNCIONES

Deﬁne en cada uno de los casos que se plantean en lo que sigue la variable auxiliar que permitiría reescribir la ecuación dada como el producto de una suma por diferencia igual a una constante.

UNIDAD 1

y2 –

y en este punto, para encontrar x basta extraer raíz cuadrada en la última expresión y recuperar la relación entre x e y.

Soluciones a) x2 – 5x + 2 = x (x – 5) + 2 ⇒ y = x – 5 2

(

b) x2 + 2 x – 3 = x x + 2 7

) – 3 ⇒ y = x + 17

c) – x2 + 2x + 8 = –x (x – 2) + 8 ⇒ y = x – 1

(

d) 3x2 – 2x – 1 = 3x x – 2 3

) – 1 ⇒ y = x – 13

Ejercicios propuestos Haciendo uso de la variable auxiliar encontrada en cada caso en los anteriores ejercicios resueltos, 1. Resuelve las respectivas ecuaciones. 2. Veriﬁca que las soluciones efectivamente satisfacen dichas ecuaciones.

Método 3: Completando el cuadrado Como veremos, la expresión completando el cuadrado es una forma apocopada para denominar a una manipulación algebraica que se realiza a una ecuación de segundo grado con el propósito de obtener su solución. Para aclarar el significado de lo que se acaba de expresar, resolveremos un ejercicio.

Ejercicios resueltos Resuelve la ecuación x2 + 8x – 5 = 0

LAS FUNCIONES

Solución En este caso no es directo encontrar dos números cuya suma sea 8 y su producto sea –5. Expresemos x2 + 8x – 5 como el cuadrado de un binomio (que contenga a la variable x) más un número (que no contenga x). Dado que (x + 4)2 = x2 + 8x + 16, entonces, x2 + 8x = (x + 4)2 – 16, por lo que x2 + 8x – 5 = (x + 4)2 - 21. De manera que la ecuación original puede rescribirse como (x + 4)2 – 21 = 0 Lo cual quiere decir que (x + 4) = ± 21, de donde ﬁnalmente, x1 = 4 + 21, x2 = 4 – 21

UNIDAD 1

¡Difícilmente hubiéramos encontrado las soluciones por factorización! Veriﬁca que efectivamente la suma de las soluciones es –8 y su producto es –5.

Ejercicios propuestos Resuelve, completando el cuadrado, las siguientes ecuaciones de segundo grado. 1. x2 + 6x 3 = 0

4. x2 + 3x 2 = 0

7. x2 + 1 x + 1 = 0

2. x2 10x + 2 = 0

5. x2 5x + 5 = 0

8. x2 + 3 x + 1 = 0

3. x2 2x 5 = 0

6. x2 1 x + 2 = 0

9. 3x2 + 2x + 1 = 0

Ejercicios resueltos

es el área máxima de edificación 2. Normalmente los terrenos destinados a uso agrícola o vivienda tienen formas irregulares. Cuando se quieren subdividir no siempre es fácil lograr soluciones que satisfagan todos los gustos. En el caso que proponemos, se trata de dividir un terreno con forma de trapecio en dos partes de igual superficie, mediante una recta paralela a sus bases, como puede apreciarse en la figura adjunta. Solución D

100 m 180.000 m2

300 m x

60 m

500 m

180.000 m2

A 900 m

Solución Llamemos x al lado del cuadrado cuya magnitud se desea calcular. El área de dicho cuadrado es x2. El área restante S se calcula como el área del total del terreno menos el área del cuadrado y en consecuencia está dada por: S = 60 •100 – x2 (m2) Como la condición del legado establecía que el área del cuadrado no podía exceder la quinta parte de lo que quedaría como parque, la situación extrema queda definida por la ecuación siguiente: x2= 1 (60 • 100 – x2) 5

Reordenando los términos de la ecuación se obtiene:

Tracemos una línea auxiliar DG paralela al lado AB que corta a EF en H y adoptemos la siguiente notación: AB = DG = h; BC = a; AD = EH = BG = b; HF = y; AE = DH = x a-b F C y D

E A

UNIDAD 1

1. Una señora lega a una institución de beneficencia un terreno de 60m de frente por 100m de fondo, estableciendo que debe ser destinado fundamentalmente a áreas verdes. Agrega que, para levantar una construcción, solo puede utilizarse un paño cuadrado cuya superficie sea a lo sumo la quinta parte de lo que se destinará a parque. ¿Cuál es el área máxima que se puede ocupar para edificar?

6x2 = 60 • 100 ∴ x2 = 1.000 m2

De la figura y dado que GC // HF, aplicando el Teorema de Tales relativo a trazos proporcionales entre rectas paralelas al ∆ DGC, podemos establecer que:

LAS FUNCIONES

En la introducción de esta sección se plantearon algunas situaciones de la vida real cuya resolución requería de ciertos conocimientos relativos a ecuaciones de segundo grado. Dado que ya los hemos adquirido, estamos en condiciones de resolverlas.

a-b = y

x1 ~ 505,4 m x2 ~ -3.205,4 m

h x

lo que se traduce en que: y = (a-b) x

(*)

Por otra parte, la condición de igualdad de áreas de los trapecios AEFD y EBCF, que resulta ser equivalente a afirmar que la superficie de cada trapecio es igual a la mitad de la superficie del trapecio original, puede expresarse como:

LAS FUNCIONES

1 [(b+y)+b] x = 1 [a+b] h , 4 2

UNIDAD 1

[2b+y] x = 1 [a+b] h ,(**) 2

Combinando las ecuaciones (*) y (**) se encuentra que: x] x = 1 [a+b] h ,(**) [2b+ (a-b) 2 h Ordenando la última ecuación se concluye que la ecuación que define x es:

Como se puede observar, existen dos soluciones matemáticamente posibles: una de ellas es positiva y la otra negativa. Sin embargo, debemos elegir aquella que es positiva, que es la única que tiene sentido físico, puesto estamos tratando de encontrar la longitud de un trazo, es decir: x ~ 505,4 m 3. Un remero tarda cierto tiempo en recorrer, contra la corriente de un río, los 3 km que separan a las boyas A y B. Cuando retorna (con la corriente a favor), tarda 15 minutos menos. Sabe que cuando el río está calmo, él se desplaza a una velocidad uniforme de v = 15km/h. a) ¿Cuál es la velocidad r del torrente del río? b) ¿Cuánto tardó en ir río arriba?

3km

r(km/h) B

2(a-b)x2 + 4bhx- (a+b)h2 = 0, que efectivamente es una ecuación cuadrática para x. Aplicación numérica Volvamos al caso específico que inspiró este desarrollo. a = 500 m;

b = 300 m;

h = 900 m

Solución Si llamamos s a la distancia que separa a A y B; T al tiempo que tarda en recorrerla contra la corriente, tendremos que: s v–r Cuando rema a favor de la corriente, si llamamos ε al ahorro de tiempo, tendremos que: (v – r) T = s ⇒ T =

(v + r)(T – ε) = s

Reemplacemos los valores consignados en la ecuación cuadrática obtenida:

Combinando ambas ecuaciones,

2•(500 - 300) x2 + 4 • 300 • 900x – (500 + 300) • 9002 = 0,

(v + r)

Efectuando las sumas y restas:

Desarrollando los productos, reordenando la ecuación y reduciendo términos semejantes,

2 • 200x2 + 4 • 300 • 900x - 800 • 900 • 900 = 0, x2 + 3 • 900 x – 2 • 9002 = 0 Las soluciones de la ecuación cuadrática resultante son:

( v s– r – ε) = s ⇒ (v + r) [ s-ε(v – r)] = s (v – r) s [(v + r) – (v – r)] = ε (v2 – r2) ε (v2 – r2) – 2rs = εr2 + 2sr – εv2= 0

de modo que r satisface una ecuación de segundo grado. Reemplacemos ahora la información numérica:

1 ε = 5 min = 12 h

v = 15 km h

2 2 r= –72 ± 72 +30 km = -72 ± 78 km

s=3km

De esta forma, la ecuación que satisfacer es: 2 1 2 r + 6r – 1 15 =0 12 12

Debemos elegir la solución positiva de modo que: r= –72 +78 km = 6 km = 3 km h

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 12 se obtiene: r2 + 72r–152=0

Es decir, la velocidad del torrente es r= 3 km , h de lo cual se puede deducir que T=

Resolviendo la ecuación cuadrática para r

3 h = 1 h = 15 min 4 15–3

Ejercicios propuestos Resuelve, completando el cuadrado, las siguientes ecuaciones de segundo grado.

d) x2 – 3 x – 1 = 0

e) 5x2 – 8x – 2 = 0

c) x2 – 1 x – 2 = 0 2

Propiedades de las raíces de las ecuaciones de 2° grado Consideremos la ecuación x2 – 8x + 15 = 0 El primer miembro de la ecuación analizada puede ser factorizado de un modo simple: x2 – 8x + 15 = (x – 3) (x – 5) de modo que (x – 3) (x – 5) = 0 lo que nos indica, como ya aprendimos, que las soluciones de la ecuación son α1 = 3 y α2 = 5 Procedamos a hacer el proceso inverso y expan-

damos el producto que resulta de la factorización del miembro izquierdo de la ecuación: (x – 3) (x – 5) = 0 ⇒ x – (3 + 5)x + 3 • 5 = 0 ⇒ x2 – 8x + 15 = 0 2

Notemos en el ejemplo desarrollado que la suma de las raíces (3 + 5) es igual al coeficiente de x en la ecuación original, salvo que existe una diferencia de signo. Por otro lado el producto 3 • 5 de las raíces es igual al término libre de la ecuación original.

Generalización Llamemos α1 y α2 a las raíces de la ecuación cuadrática x2 + bx + c = 0, es decir, es posible factorizar el primer miembro de tal ecuación de modo que: x2 – bx + c = (x – α1 ) (x – α2 ) x2 – bx + c = x2 – (α1 + α2 ) x + α1 • α2 ⇒

(α1 + α2 ) = – b α1 • α2 = c

Lo anterior es la generalización del resultado que habíamos percibido en el ejemplo específico que estudiamos. Y, ¿qué sucede cuando la ecuación es de la forma ax2 + bx + c = 0? Realmente, este caso puede reducirse al ya estudiado dividiendo la ecuación anterior por a (que es distinto de 0 puesto que de otro modo la ecuación no sería cuadrática) con lo cual se obtiene:

UNIDAD 1

b) x2 + 3x – 2 = 0

65 LAS FUNCIONES

a) x2 – 10x + 2 = 0

x2 + b x + c = 0

α1 • α2 = c

Aplicando el mismo procedimiento anterior, encontraremos que:

Como veremos, estas propiedades pueden resultar útiles en algunas situaciones que discutiremos más adelante.

(α1 + α2 ) = – b a

Ejercicios resueltos Los siguientes pares de números son soluciones de ecuaciones cuadráticas. Encuentra, en cada caso, dichas ecuaciones. a) 1 ; 2 b) 1 ; – 2 c) 5; 5 d) – 2 ; – 3

o alternativamente,

Como se aprecia en este último procedimiento, no es posible determinar los coeﬁcientes a, b y c, sino

UNIDAD 1

LAS FUNCIONES

Soluciones a) En este caso α1 = 1 y α2 = 2 (x – 1) (x – 2) = 0 ⇒ x2 – 3x + 2 = 0 (α1 + α2) = – b ⇒ 3 = – b a

α1 • α2 = c ⇒ 2 = c a

que los cocientes a y c , de modo que α1 = 1 y α2 = 2 son soluciones de una familia inﬁnita de a ecuaciones cuadráticas, puesto que la ecuación que obtuvimos puede ser multiplicada por un factor arbitrario distinto de cero, sin alterar sus raíces. En otras palabras, una ecuación posible cuyas soluciones son α1 = 1 y α2 = 2 es la que se genera al expandir (x – 1) (x – 2) = 0 pero también son las soluciones de 5(x – 1) (x – 2) = 0, es decir de 5x2 – 15x + 10 = 0 o de cualquier otra ecuación proveniente de desarrollar un producto de la forma k(x – 1) (x – 2) = 0, donde k ≠ 0, pero arbitrario. b) α1 = 1 ; α2 = – 2 ⇒

(α1 + α2) = – 1 α1 • α2 = – 2

⇒ x2 + x – 2 = 0

c) α1 = α2 = 5

(α1 + α2) = 10 α1 • α2 = 25

⇒ x2 –10x + 25 = 0

Al factorizar el miembro izquierdo de esta ecuación, x2 – 10x + 25 = (x – 5 ) (x – 5) = (x – 5)2 = 0 vemos que se trata del cuadrado de un binomio que es igual a 0, lo que indica que realmente la ecuación tiene solo una raíz (que llamamos doble). d) α1 = – 2 ; α2 = – 3 ⇒ (α1 + α2) = – 5 α1 • α2 = 6

⇒ x2 + 5x + 6 = 0

Computación simbólica Para ilustrar el uso de Maple® en este ámbito, resolveremos algunos ejercicios relativos a ecuaciones y funciones cuadráticas. 1. a) Resuelve la ecuación x2 – 5x + 3 = 0 b) Graﬁca la función y = f(x) = x2 – 5x + 3

Solución a) Llamaremos f(x) al trinomio x2 – 5x + 3 y eso en Maple® se hace escribiendo:

f(x):=x^2–5*x+3; Observa que en vez de colocar simplemente un signo = , hemos escrito :=, que signiﬁca que a la expresión del miembro izquierdo se le asigna el valor de la expresión que está en el miembro derecho. El signo = está reservado en Maple® para las ecuaciones.

UNIDAD 1

El signo “;” al ﬁnal de la igualdad indica que después de pulsar Enter, Maple® va a escribir en notación algebraica usual lo que introdujimos en forma más rudimentaria haciendo uso de los símbolos disponibles en el teclado. Aparece entonces en pantalla la expresión:

Como nos interesa resolver (to solve,, en inglés) la ecuación x2 – 5x + 3 = 0, lo que hacemos a continuación es escribir: solve(%) ; Luego, se pulsa Enter, donde el símbolo % se reﬁere a la última expresión aparecida en pantalla, donde el programa subentiende que debe igualar dicha expresión a 0, salvo que se indique lo contrario. Como se aprecia en la pantalla reproducida, las soluciones calculadas por el programa para la ecuación cuadrática estudiada son: x1 = 5 + 13 2

x2 = 5 – 13 2

b) Para graficar (to plot, en inglés) una función en Maple®, debemos especificar el intervalo de valores de x en el cual estamos interesados (Maple® exige tal especificación). Si además queremos acotar el gráfico dentro de un intervalo de valores que puede adoptar la ordenada y, también podemos hacerlo, pero en este caso se trata de una condición opcional y no obligatoria. Escribimos entonces:

plot(f(x),x = –3..8, y = –4..10) ;

LAS FUNCIONES

f(x):= x2 – 5x + 3

LAS FUNCIONES

Lo anterior nos está indicando que el intervalo de valores de x es [–3 , 8] sometido a la condición que y no exceda el valor 10 y no sea menor que –4. El signo ; seguido de Enter, le indica a Maple® que proceda a graﬁcar lo solicitado y aparece un gráﬁco como el reproducido.

UNIDAD 1

2. Resuelve las ecuaciones cuadráticas: a) 4x2 + 4kx + (k + p)(k – p) = 0 b) (m + n)x2 + mnx – (m3 + n3) = 0

Solución a) Deﬁnimos en primer lugar:

y:= 4*x^2+4*k*x+(k+p) * (k–p) ; Para resolver la ecuación que nos interesa, debemos especiﬁcar que debe igualarse a 0 y enseguida, tenemos que ser cuidadosos y especiﬁcar cuál es la incógnita, puesto que el programa no tiene cómo decidir si la incógnita es x, k ó p. Por las razones aducidas escribimos:

solve (y,x) ; De esa forma, al pulsar Enter, obtenemos las dos raíces para la ecuación considerada: x1 = – k + p 2

x2 = – k – p 2

b) En este caso se procede en forma enteramente análoga al caso anterior y se puede ver el poder de manejo simbólico del programa, al obtener en forma rápida las raíces de la ecuación que son algebraicamente complejas.

3. Para efectos de comparación, graﬁca las funciones cuadráticas: a) –5x2

b) –3x2

c) x2

d) 3x2

e) 5x2

([–5*x^2,-3*x^2,x^2,3*x^2,5*x^2],x=–2..2,y=–15..15,linestyle=[1,1,1,1,1], color[red,blue,orange,yellow,green]); Al pulsar Enter, Maple® vuelve a escribir las expresiones de las funciones cuadráticas en lenguaje algebraico:

[–5x2,–3x2,x2,3x2,5x2], x = –2..2, y = –15..15, linestyle = [1,1,1,1,1], color = [red, blue, orange, yellow, green]

69 LAS FUNCIONES

Para efectos de comparar todas las curvas, las trazaremos en el mismo gráfico y a cada línea le asignaremos un color diferente. Hemos elegido los colores rojo (red), azul (blue), naranja (orange), amarillo (yellow) y verde (green) para las curvas que representan a las funciones a, b, c, d y e, respectivamente. Hemos especificado el rango de valores de la variable para los cuales nos interesa graficar, pero además hemos restringido los valores que puede tomar la ordenada. Esta ultima condición prima sobre la primera, de modo que solo en algunos casos x varía en todo el intervalo previsto. En todos los casos hemos elegido el mismo estilo de línea (linestyle). La instrucción para definir cada una de las curvas, los intervalos que variaron de x e y, el tipo de línea (llena, segmentada, punteada u otra) y el color es:

UNIDAD 1

Solución

Para trazar las curvas simplemente escribimos:

plot(%) ;

LAS FUNCIONES

Recuerda que el símbolo % hace referencia a la última expresión aparecida en pantalla.

4. Compara gráﬁcamente las funciones x , x, x2, x3.

Solución Deﬁnimos las funciones que nos interesan y elegimos el intervalo de variación de x entre –2 y 2, y el de variación de y entre –3 y 3. Escogemos los colores azul, rojo, verde y naranja para las curvas x , x, x2, x3 respectivamente. Finalmente escribimos la instrucción plot(%):

UNIDAD 1

En el gráfico es posible apreciar la forma de las curvas, los puntos de intersección y su relación de orden en los distintos intervalos. Las cuatro curvas consideradas se intersectan en los puntos (0,0) y (1,1). Además, se puede apreciar que las curvas de orden impar, es decir x y x3, se intersectan en (–1,–1). Observemos también que x es la única función de las consideradas que no está definida para x < 0. ¿Qué otras características puedes descubrir en el gráfico?

Síntesis de la Unidad La raíz cuadrada de un número

Raíz cuadrada de un producto a•b =

a2 = a Raíces cuadradas de cuadrados perfectos

a • b , a > 0, b > 0

Raíz cuadrada de un cociente a = b

La raíz cuadrada como Potencia Fraccionaria

a , a>0 , b>0 b

1=1

4=2

9=3

16 = 4

25 = 5

36 = 6

49 = 7

64 = 8

81 = 9

100 = 10

71 LAS FUNCIONES

La función raíz cuadrada f(x) =

x , x≥0

Representación gráfica

3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0

UNIDAD 1

Definición Sean a y b dos números reales. Se dice que b es la raíz cuadrada de a si y solo si b2 = a.

Relación de orden entre x y

Para calcular una raíz “a mano”

1+ε≈ 1+

x< x

si 0 < x < 1

x= x

si x = 0 ó x = 1

x> x

si x > 1

Raíz cúbica Definición Sean a y b dos números reales. Se dice que b es la raíz cúbica de a si y sólo si b3 = a.

Una diferencia entre la raíz cuadrada y la raíz cúbica • La raíz cuadrada de un número negativo, no es un número real. • La raíz cúbica de un número negativo, sí es un número real.

72 UNIDAD 1

a = a3

a = an

Generalización 3

Racionalización de fracciones con raíces cúbicas

(a3 – b3) = (a – b) (a2 + ab + b2) (a3 + b3) = (a + b) (a2 – ab + b2)

La función cuadrática Representación gráfica La representación gráfica de la función cuadrática f(x) = Ax2 + Bx + C es una parábola. Forma estándar • La forma estándar de la función cuadrática es: f(x) = a(x – h) + c 2

• La relación entre A, B y C con a, h y c está dada por: a≡A

h≡– B

c≡C– B

Significado geométrico de los coeficientes • La parábola f(x) = ax2 pasa por el origen del sistema de coordenadas. • Si a > 0 la parábola es abierta hacia arriba: U. • Si a < 0 la parábola es abierta hacia abajo: . U

LAS FUNCIONES

Notación

La raíz cúbica como una potencia fraccionaria

• c es la ordenada de la intersección de la parábola con el eje Y. • h es una medida del desplazamiento horizontal de la parábola. Simetría especular • La parábola f(x) = a(x – h)2 + c es simétrica respecto a la recta paralela al eje Y definida por la ecuación x = h. Vértice (extremo) • El vértice V de la parábola se encuentra sobre el eje de simetría y es el valor extremo (máximo o mínimo) que adopta la función cuadrática. • Si a < 0 es un máximo. • Si a > 0 es un mínimo. • Las coordenadas de V son (h , c).

x=h eje de simetría especular

x O h

Método 1: Resolución por Factorización Toda ecuación cuadrática de la forma x2 + bx + c = 0 puede reescribirse (x – α1 ) (x – α2 ) = 0. Las soluciones de la ecuación son x = α1 y x = α2.

cuadrada y enseguida x = y – b 2

Método 3: Completando el cuadrado La ecuación x2 + 5x – 4 = 0 se reescribe como: (x + 3)2 – 9 – 4 = 0

[

(x + 3)2 = 13

El método es apropiado para algunas ecuaciones cuadráticas, cuyas raíces son números enteros “pequeños”. Método 2: Suma por diferencia

]

(x + 3) = ± 13 ⇒

x1 = – 3 + 13 x2 = – 3 – 13

Para resolver la ecuación x2 + bx + c = 0 escoge-

Método 4: Solución general Las soluciones de la ecuación cuadrática:

mos la variable auxiliar y = x + b , de modo que

Ax2 + Bx + C = 0

(

) (y + b2 ) = – c es decir y – ( b ) = c por lo que y = ( b ) – c. 2 2

la ecuación se reescribe y – b 2

están dadas por la expresión

–B±

Se calcula la variable auxiliar y extrayendo raíz

B2 – 4AC 2A

Propiedades de las raíces de las ecuaciones de 2° grado Las raíces α1 y α2 de la ecuación Ax2 + Bx + C = 0 satisfacen las relaciones: (α1 + α2) = – B A

α1 • α2 = C A

73 LAS FUNCIONES

Resolver una ecuación significa encontrar el valor (los valores) de la variable que la satisface (satisfacen).

UNIDAD 1

Más ejercicios propuestos 1. Determina la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos: a) 144

b) 256

c) 289

d) 225

e) 324

f) 169

g) 121

h) 196

i) 400

j) 361

Verifica tus resultados elevando al cuadrado los números obtenidos.

EVALUACIÓN

2. Determina la raíz cuadrada de:

UNIDAD 1

a) 100

b) 400

c) 900

d) 1.600

e) 2.500

f) 3.600

g) 4.900

h) 6.400

i) 8.100

j) 10.000

¿Qué puedes comentar acerca de los resultados obtenidos? 3. Calcula la raíz cuadrada de: a) 4 • 49

b) 25 • 64

c) 16 • 81

d) 36 • 9 • 64

e) 25 • 9

f) 225 • 324

g) 256 36 4 •

289 100 • 400 • 900 i) 1.600 • 2.500 • 3.600

4 • 36 • 4 324 h) 9 • 81 • 256

•

9 • 81

4. Calcula la raíz cuadrada de: a) 36 + 64

b) 81 + 144

c) 25 + 144

d) 225 + 64

5. Calcula: a) 36 + 64

b) 81 + 144

c) 25 + 144

d) 225 + 64 Compara los resultados con los obtenidos en el ejercicio anterior y comenta. ≈1+ 1

6. Usando la aproximación

a) 144

b) 1.000

ε , calcula la raíz cuadrada de:

Estima en cada caso el error porcentual cometido. 7. Determina la raíz cúbica de los siguientes cubos perfectos: a) 8

b) 27

c) 64

d) 125

f) 343

g) 512

h) 729

i) 1.000

e) 216

8. Reduce a la forma ap (a entero, p racional) las siguientes expresiones: a)

b) 8 • 2 2

2 2

•

e) 5

2 3•

•

c) 3

1 2 •

d) 32 4

3 3 •

•

125

•

5 5 •

f) 8 •

3 g) 3 • 27 3 • 33

–4

2 2 •

1 2

7 3 • 7 • 73 1

–2

7 4 • ( 7)

•

9. Reduce a la forma ap y bq (a y b enteros, p y q racionales) las siguientes expresiones: 2

a) 32 • 6 • 23 2 3

d) 3 2 • 9 • 15 • 25

[

–

15 3 • 33 • 5 3 5

3 • 5–1

]

2 • 35 12 • 6–4

•

8–2 • 24

10. Haciendo uso de la aproximación 1 + ≈ 1 + 1 2 del diámetro AB de la circunferencia de la figura.

9 cm

ε , calcula la longitud

UNIDAD 1

– 2

e) 5 3 • 35 • ( 53 ) • 52 • 73 2

75 4 cm

EVALUACIÓN

c) 2 • 14 • 7

b) 5 • 10 3 • 2 • 2

11. Salvador no recuerda el área de su terreno rectangular, pero sabe que sus lados están en la razón 2 : 3. D

Para resolver su duda mide la diagonal AC del terreno, que resulta ser 140 m. a) ¿Cuál es la longitud de los lados del terreno? b) ¿Cuál es su área?

12. a) ¿Cuál de las siguientes curvas representa con más fidelidad la función x ? b) Argumenta en cada uno de los otros casos para descartarlo como representación de x .

EVALUACIÓN

UNIDAD 1

13. Grafica las siguientes funciones: b) g(x) = x + 2

a) f(x) = x – 2

c) h(x) = 5x

d) k(x) = 4x – 3

Define en cada caso el dominio y el recorrido de la función. 14. Encuentra, en cada caso, qué expresiones son iguales entre sí: a) 2 , 3 2 + 1

8 + 2 , 5 2 – 4

8 – 2

18 ,

12 + 3 3

20 , 4 5 + 1 , – 4 5 + 3 2 10

c) 2 6 , 3 3 + 6 , 3

15. Sin usar calculadora, encuentra en cada caso la menor de las expresiones: b) 3 + 2 ,

c) 3 + 2 ,

20 – 2 ,

23 – 3

21 – 2

d) 5 + 7 , 56 – 7 , 57 – 7

e) 3 + 8 , 3 6 – 8 16. Una nave abastece de diferentes tipos de productos a varios poblados en ambas orillas de un mismo curso de agua y en las islas entre ellos. El lunes va de A a B y enseguida a C,, mientras que el martes viaja de C a D para finalmente atracar en E. 4 km

5 km

6 km

4 km

3 km

a) ¿Qué distancia recorrió cada día? b) ¿En cuál de los trayectos recorre una distancia mayor? 17. Grafica q(x) = 3 – x y determina el valor de q(– 6). 18. Si g(x) = x2 – 3x,, calcula el valor de la expresión g(x + a) – g(x) , a ≠ 0 a

UNIDAD 1

5 – 2

77 EVALUACIÓN

a) 3 + 2 ,

19. Considera la función cuadrática y = x2 – 2x – 3. Determina las coordenadas: a) de los ceros de la función; b) del vértice de la parábola que representa; c) de la intersección de la parábola con el eje de las ordenadas. 20. De la función cuadrática x2 – 3x + 2 se dice que:

su vértice está localizado en el punto 3 , –1

II.

sus ceros se encuentran en x = 1 y en x = 0

)

III. su intersección con el eje Y es el punto (0,2) De las afirmaciones anteriores, son válidas:

EVALUACIÓN

a) Solo I

UNIDAD 1

b) Solo II

c) Solo III

d) I, III

e) Todas

21. Considera la parábola f(x) = x2 – 4x – 12 y determina: a) sus ceros. b) su intersección con el eje Y. c) su eje de simetría. 22. Resuelve, completando el cuadrado, las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x2 + 6x – 3 = 0

b) x2 – 2x – 5 = 0

d) x2 + 2 x – 1 = 0

e) 3x2 + 2x – 1 = 0

c) x2 – 5x + 5 = 0

23. Haciendo uso de la variable auxiliar indicada en cada caso, que permite reescribir la ecuación dada como el producto de una suma por diferencia igual a una constante: i. resuelve las respectivas ecuaciones. ii. verifica que las soluciones efectivamente satisfacen dichas ecuaciones. a) x2 – 5x + 2 = 0

y=x– 5

b) x2 + 2 x – 3 = 0

y=x+ 1

c) –x2 + 2x + 3 = 0

y=x–1

d) 3x2 – 2x – 1 = 0

y=x– 1

2 7

120m2

2. Haciendo uso de alguno de los métodos estudiados, estima 150 y calcula el error porcentual de tu estimación comparada con el resultado que obtienes con una calculadora de bolsillo.

4. Con un tubo de 12 m se quiere fabricar un arco como el que se ilustra en la figura. ¿Qué altura debe tener el arco para que el área del rectángulo ABCD sea la mayor posible?

6. Encuentra una ecuación cuadrática cuyas raíces sean el triple de las raíces de la ecuación x2 – 2xx – 3 =0.

79 EVALUACIÓN

1. Dispones de 120 m2 de carpeta de pasto y te han encargado que hagas un campo polideportivo cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado más grande que puedes empastar?

UNIDAD 1

Autoevaluación

Unidad

Inecuaciones

lineales

Con los significativos avances de la Física, a comienzos del siglo XX se produjo una gran expectativa sobre la capacidad del ser humano para conocer y medir los fenómenos a escala más pequeña que la del átomo. ¿Será posible conocer con exactitud y en todo momento la posición, velocidad y otras propiedades de una partícula subatómica? Con el advenimiento de la Física Cuántica quedó en evidencia que esto no era posible. Existen límites para el conocimiento de la materia. En efecto, si logramos aumentar la exactitud con que se mide la posición de una partícula, entonces menor es la exactitud con que se puede medir su velocidad. Este hecho quedó representado en el conocido principio de incertidumbre de Heisenberg: variación posición • variación velocidad ≥ constante En general, ∆x • ∆v ≥ k. Esta es una de las desigualdades más importantes de la ciencia moderna. Pero es una más en la serie de desigualdades que la Humanidad ha ido reconociendo a través del tiempo. Hay muchas otras, algunas de ellas muy antiguas.

Por ejemplo, aquella que señala que la suma de dos lados de un triángulo es siempre superior al tercer lado. Las desigualdades dan curso a las inecuaciones cuando aparecen involucradas incógnitas, es decir, variables cuyos valores desconocemos y queremos determinar. Las inecuaciones, por consiguiente, pueden representar muchos procesos y fenómenos físicos, biológicos y sociales que se originan en las desigualdades. Por ejemplo, en el problema de la dieta alimentaria. Queremos que nuestra alimentación tenga al menos una cierta cantidad de nutrientes, que no tenga exceso de componentes que consideramos indeseables, que su sabor sea al menos agradable y que su costo sea menor que nuestra capacidad de pagarlo. He aquí varias inecuaciones para definir la dieta. Su solución nos plantea las opciones viables que tenemos para alimentarnos. Las inecuaciones y las desigualdades constituyen herramientas matemáticas fundamentales para ahondar el conocimiento de lo existente y nuestra capacidad de acción sobre ello.

Contenidos de la Unidad Solución de inecuaciones lineales

El mundo que percibimos y el que construimos • Los estados del agua • Ingresos de las personas • Juegos de números • Rentas e impuestos • Tiempo de transporte • Un teorema importante • Rendimientos y plazos • Caliﬁcaciones: resultados y proyecciones • Cubriendo superﬁcies • Margen comercial • Geometrías variables

• Inecuacioners simples • Sistemas de inecuaciones lineales • Soluciones de inecuaciones lineales con valores absolutos • Distancias en la carretera Estudio de desigualdades literales • Geometría dinámica • Juegos literales • Intervalos en sucesiones • Composiciones

Aprendizajes esperados • Representarás situaciones de la vida que se pueden abordar mediante desigualdades e inecuaciones lineales.

• Plantearás y resolverás problemas que involucran inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

• Efectuarás planteamientos matemáticos utilizando intervalos de números reales, desigualdades e inecuaciones lineales.

• Analizarás e interpretarás la existencia y característica de las soluciones de inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

• Conocerás y aplicarás procedimientos para resolver inecuaciones lineales o sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

• Distinguirás las ecuaciones e inecuaciones en relación a los fenómenos y procesos que representan.

El mundo que percibimos y el que construimos ¿Qué significa que una persona sea alta? ¿Cuándo decimos que el agua en que nos bañamos está fría? ¿Cuándo afirmamos que un neumático está desinflado? ¿Cuándo decimos que una persona es rica? En estos y otros casos, estamos afirmando que una propiedad o atributo presenta valores superiores o inferiores a un cierto valor crítico o umbral. Veamos.

¿Alto o bajo? 82

Si una persona adulta tiene una estatura de 1,80 m, diremos que es alta; también, si mide 1,90 m. Pero, si mide 1,50 m diremos que no es alta. La estatura depende del tipo de población. Por ejemplo, los zulúes (de África) y los finlandeses (de Europa) son pueblos más altos que el promedio mundial. ¿Qué ocurre con la estatura de la población en Chile? La estatura también varía entre hombres y mujeres. Una mujer alta puede ser de la misma estatura que un hombre que no es considerado alto. En una población como la chilena, podemos decir que un varón es alto si su estatura supera 1,75 m. Es decir, si a > 1,75 m (a: ( : estatura medida en m). (a

La percepción del frío La temperatura del agua del mar (tm ) respecto de la temperatura de nuestro cuerpo nos da la sensación de frialdad cuando nos bañamos. Si la diferencia es pequeña, decimos que el agua no está fría, pero si la diferencia es grande, decimos que el agua está fría o muy fría. Por ejemplo, si la temperatura del agua es 20º C, 12º C, 8º C, diremos que el agua está agradable (no fría), fría y muy fría, respectivamente. Es decir, nuestra percepción

de frío depende del valor de la temperatura del agua. En general, afirmamos que el agua está fría cada vez que tm < 16º C, ya que a 16 º C la mayoría de las personas siente frio.

Presión baja Un neumático es inflado mediante la inyección de aire a presión. Mientras mayor es la masa de aire al interior del neumático, mayor es la presión. Cada tipo de neumático tiene una presión característica de uso (PC ). Si la presión es inferior a esta en más de una cierta cantidad perceptible (por ejemplo, 5%), entonces sentiremos y diremos que el neumático está desinflado. Es decir, cuando P < PC – 5% • PC, o lo que es lo mismo cuando, P < 0,95 • PC.

El umbral de la riqueza Que una persona sea rica o no, depende de lo que en una determinada sociedad se considere riqueza económica. Una persona considerada rica en Asunción no lo es necesariamente en Washington o París. ¿Cómo se mide la riqueza económica? Una forma es el patrimonio total de una persona expresado en valor de dinero. En Chile, podemos decir que una persona que tiene un patrimonio líquido de 1.000 millones de pesos es rica; con mayor fundamento, una persona que tiene un patrimonio de 17.000 millones de pesos. ¿A partir de cuánto consideramos que alguien es rico en Chile? Aunque la respuesta es arbitraria, supongamos que el patrimonio líquido (P) a partir del cual se es considerado rico es de 735 millones de pesos. Es decir, cuando P > 735.

Desigualdades Peso: muy liviano < liviano < normal < pesado < muy pesado Por lo visto, podemos afirmar que el uso de las desigualdades está arraigado en las conductas humanas y, muy en particular, en el lenguaje oral. De aquí, entonces, la conveniencia de abordar su tratamiento sistemático tanto en el lenguaje oral como escrito. Es lo que haremos a continuación.

Tamaño: muy pequeño < pequeño < normal < grande < muy grande

Números reales En el conjunto de los números reales, que denotamos por , se deﬁnen dos operaciones, la suma y el producto, que combinan dos números reales de modo que su resultado también es un número real. La suma de a y b se denota por a + b y el producto de a y b se denota por ab. Además, la suma y el producto satisfacen, por deﬁnición, las siguientes reglas básicas: Suma Conmutatividad de la suma Para todo a, b en ; a+b=b+a Asociatividad de la suma Para todo a, b, c en : (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro aditivo Para todo a en : a+0=a Elemento inverso aditivo Para todo a en , existe un número –a también en (llamado inverso aditivo de a) tal que: a + (–a) = 0

Producto Conmutatividad del producto Para todo a, b en : ab = ba Asociatividad del producto Para todo a, b, c en : (ab)c = a(bc) Elemento neutro multiplicativo Para todo a en : a1 = a Elemento inverso multiplicativo Si a está en y a no es igual a 0, entonces existe un número b en (llamado inverso multiplicativo de a) tal que: ba = 1 (Usualmente b se denota como 1/a) Distributividad del producto respecto de la suma Para todo a, b, c en : a(b + c) = ab + ac

UNIDAD 2

Antes de examinar con más profundidad algunos casos de la vida cotidiana y de concentrarnos en el estudio de las desigualdades, conviene consignar a modo de “ayuda memoria”, algunas definiciones y propiedades de los números reales.

83 INECUACIONES

En todos estos ejemplos hemos visto que la realidad que percibimos la representamos por atributos o propiedades (alturas, temperaturas, presiones, patrimonios) cuyos valores nos determinan nuestras apreciaciones (alto, frío, desinflado, rico). Es decir, el mundo que nos rodea y nuestro propio cuerpo son percibidos por nuestra mente a través de atributos o propiedades cuyos comportamientos pueden ser representados por desigualdades. Nuestro lenguaje habitual está pleno de representaciones que muestran nuestra percepción del mundo en función de desigualdades. Por ejemplo:

Relaciones de orden en IR Es usual representar los números reales como una recta horizontal en la que arbitrariamente se marca un punto y se define como 0 (elemento neutro de la suma) y un punto a la derecha del 0 que representa al número 1 (elemento neutro del producto).

INECUACIONES

Esta elección, induce una relación de orden en . Si a y b son dos puntos de la recta numérica, de modo que a está a la derecha de b, decimos que a es mayor que b y denotamos este hecho como a > b. También en este caso, podemos escribir b < a, cuando nos resulte más conveniente. Es decir, a > b y b < a son expresiones equivalentes. La expresión b < a la leemos “b es menor que a”.

Hay una serie de propiedades relativas al orden de los números reales. Indicamos algunas a continuación de manera que podamos referirnos a ellas más adelante.

Propiedades de las relaciones de orden 1. Para cualquier número real a, una y solo una de las siguientes afirmaciones es verdadera: (i) a > 0

(ii) a = 0

(iii) a < 0

2. Si a, b están en a + b > 0.

y, si a > 0 y b > 0, entonces,

3. Si a, b están en ab > 0.

y, si a > 0 y b > 0, entonces,

Los estados del agua

UNIDAD 2

En tu vida diaria has visto los diferentes estados en que se presenta el agua en la naturaleza: agua líquida, agua sólida (hielo, nieve), agua gaseosa (vapor). Intuitivamente sabes que el agua cambia de un estado a otro en función de su temperatura. Si haces un experimento simple, consistente en tomar agua destilada (sin otros elementos), calentarla y luego enfriarla a presión atmosférica normal; medir la temperatura cuando sube, cuando baja y observar el estado que presenta, obtendrás un resultado como el de la tabla adjunta. Así, podemos escribir que el estado del agua depende de su temperatura (Ta ) según las siguientes desigualdades (las temperaturas están expresadas en ºC) sólido

Ta < 0

líquido

0 < Ta < 100

gas

Ta > 100

Temperatura (°C)

Estado

–20

sólido (hielo)

–10

sólido (hielo)

sólido (hielo) – líquido

líquido

100

líquido – vapor

110

gas (vapor)

120

gas (vapor)

Una forma gráfica de representar estas desigualdades es:

Vapor 100

¿Qué ocurre en los puntos de cambio de estado (0º C y 100º C)? En esos puntos se produce una transición de un estado a otro. Por ello, coexisten el hielo y el agua líquida en torno a 0º C y el vapor con el agua líquida en torno a 100º C. Debido a las condiciones del entorno, a las impurezas del agua y a la precisión de los instrumentos de medida, es difícil asegurar que la transición ocurre exactamente en esos puntos. Puede ser en fracciones de ºC más o menos en torno a tales

Temperatura (ºC)

valores. No obstante, se acostumbra representar matemáticamente como que la transición ocurre en esos valores. El caso de los estados del agua muestra una situación bastante común en los fenómenos naturales: que las transiciones de estado de la materia, de cualquier tipo, se pueden representar mediante desigualdades. Pero esto también ocurre en los fenómenos sociales. Analicemos un caso.

Ingresos de las personas Estudios sobre los oficios, profesiones y trabajos diversos que realizan las personas muestran la gran dependencia que existe entre el nivel de ingresos de ellas y su nivel de educación (medido en años de escolaridad). La siguiente tabla muestra la situación de una cierta población de trabajadores chilenos según un análisis promedio. Años de escolaridad

Ingreso promedio

(E)

mensual ($)

E. Básica

130.000

5-8

E. Básica

190.000

9 - 12

E. Media

280.000

13 - 15

E. Superior

580.000

16 - 18

E. Superior

930.000

> 18

Posgrado

1 250.000

De aquí se puede deducir que mientras mayor es el nivel de educación de una persona (medida en años de escolaridad), mayor es el ingreso que recibirá en el trabajo que llegue a desempeñar. Esto significa que las oportunidades mejor remuneradas son más accesibles para personas más educadas. Naturalmente, estas desigualdades representan solo valores y no determinan necesariamente la condición de cada persona. Todos conocemos personas que con poco han logrado mucho desarrollo y otras personas que con muchos ingresos no logran mantenerse bien. No obstante, está claro que mayor educación significa mayores ingresos y mejor calidad de vida. Las desigualdades nos permiten representar y estudiar este tipo de procesos sociales.

UNIDAD 2

Agua líquida

85 INECUACIONES

Hielo

Actividades

INECUACIONES

1. Pesando al curso

2a UNIDAD

Realiza el siguiente análisis a partir de información sobre tus compañeros(as) de curso. Pídeles que te informen sus pesos en forma confiable, pero reservada (en un papel sin su nombre). Pon esta información en una tabla o histograma separando en clases diferentes cada 5 kg y cuenta al número de compañeros(as) que tienen pesos comprendidos en cada una de ellas. Consulta en una enciclopedia, con el(la) profesor(a) de Educación Física o de Biología, o con un(a) médico, cuáles son los pesos normales para sus edades, cuáles pesos significan sobrepeso (tendencia a obesidad) y cuáles significan subpeso. Representa los resultados usando desigualdades.

2. El campeonato de fútbol Toma la tabla de posiciones ﬁnal del campeonato de fútbol profesional de Chile más reciente y analiza los resultados posibles para los clubes en función de su posición. Representa estos resultados (campeón, subcampeón, derecho a participar directamente en Copa Libertadores de América, descenso automático, obligación de deﬁnir permanencia en Serie A mediante competencia con representantes de serie B, etc.) a través de desigualdades. Expresa intervalos de puntajes para representar los resultados.

Juegos de números Las desigualdades en Matemática se originan al comparar números. Esta es una antigua labor que se impuso el ser humano, un proceso mental. ¿Cuántas veces, a través del desarrollo de la Humanidad, las personas se habrán hecho las mismas preguntas? ¿Hay más estrellas en el Universo que granos de arena en la faz de la Tierra? ¿Hay más cabellos en la cabeza de un niño que hojas en la copa de un árbol? ¿Qué animales tienen vida más corta o más larga que

la de un ser humano? ¿Cuál es el trayecto más corto entre dos puntos? Todas estas y otras preguntas empezaron a ser respondidas cuando avanzó el conocimiento en cálculo, álgebra y aritmética y, en particular, en la capacidad de comparar números. Por ello, es interesante desarrollar y profundizar esta capacidad. Empecemos por lo más simple, comparemos y representemos números.

Considera el siguiente conjunto de números reales:

-3

-2,5

250

Advertencia La ilustración no es una representación a escala de la recta numérica; solo cualitativa. Hay muchos otros intervalos que contienen a A. Por ejemplo: [–4; 257]. También, hay muchos intervalos que no contienen a A. Por ejemplo: [–8, –5]. Si consideras ahora el intervalo de números reales [–10; 1]. ¿Qué elementos comunes tiene con A? Veamos. -10

-3

250

Puedes observar que en el gráfico lineal coinciden todos los elementos que están en el intervalo [–3, 1]. Algebraicamente: –3 ≤ x ≤ 250 ⇒ –3 ≤ x ≤ 1 –10 < x ≤ 1 También es posible concebir intervalos que contengan un solo elemento de A. Por ejemplo: [0 , 0] , [π , 5] , [1,5 ; 4]

Ejercicios propuestos 1. Considera los siguientes números: 4, –16, 2 + 5 , 14. Determina intervalos que contengan todos estos números, que contengan sólo tres, solo dos, sólo uno y ninguno. 2. Considera los intervalos [3, 5] y (2, 14). Determina los elementos comunes entre cada uno de estos intervalos y el intervalo que comprende todos los números del ejercicio anterior.

87 INECUACIONES

entonces podrás apreciar que: ∀x ∈ A: –3 ≤ x ≤ 250, lo que se puede escribir como: x ∈ [–3, 250], en que [–3, 250] es el intervalo de la recta numérica comprendido entre –3 y 250.

UNIDAD 2

A = { 8 , –2,5 , π , 250 , 2 , 0 , 1 , –3 }

Ejercicio resuelto Este tipo de análisis que hemos aplicado a la recta numérica lo podemos extender al plano. Consideremos las siguientes ecuaciones de dos variables: L1 :

y = 2x – 5

L2 :

y = –x + 1

Estudia qué ocurre con la variable y cuando la variable x está en el intervalo [0, 3], es decir, 0 ≤ x ≤ 3. Solución: Graﬁquemos L1 y L2.

INECUACIONES

2 1 -3

-2

-1

-1 -2

88 UNIDAD 2

-3 -4 -5

Como se puede apreciar en el gráﬁco, en el intervalo de x considerado, y satisface en L1 : –5 ≤ y ≤ 1 y en L2 : –2 ≤ y ≤ 1. Vemos que el mayor valor que alcanza y es 1, tanto en L1 como en L2, cuando x está en el intervalo [0, 3]. El valor mínimo de y es –5 en L1 (x = 0) y es –2 en L2 (con x = 3). Considerando simultáneamente las dos rectas, tenemos que el intervalo [–2, 1] de y es común para ellos. (ver líneas punteadas en el gráﬁco) y -5

-2

Hagamos ahora una comparación de distancias. Considera el intervalo de x: [1, 2]. Calculemos las distancias entre los respectivos valores mínimo y máximo de y en L1 y L2.

En L1, el intervalo resultante en el eje y es: [–3, –1]; la distancia es d1 = –1 – (–3) = 2

En L2, el intervalo resultante en el eje y es: [0, –1]; la distancia es d2 = –1 – 0 = 1 Entonces tenemos que d1 > d2, es decir, en la recta L1 se recorre un mayor tramo que en L2 para el intervalo de x considerado. ¿Ocurre lo mismo para otros intervalos de x?

Ejercicios propuestos 1. Considera las siguientes rectas: L1: y = 4x – 6

L2: y = –2x + 3

a) Calcula los intervalos resultantes para y en L1 y L2 cuando x está en el intervalo [–1, 2]. b) Calcula valores mínimos y máximos para y en cada caso. c) Calcula las distancias recorridas en y en cada caso y compáralas. 2. Considera la recta L: y = 2x + 1, grafícala y representa la zona deﬁnida por los puntos del plano que cumplen –1 ≤ x < 2 , y ≤ 2x + 1 , y ≥ –1.

financiar sus actividades y obras. Estos impuestos son diferentes en magnitud para los diversos valores de ingresos de las personas: quien gana más debe pagar más. En el cuadro siguiente puedes apreciar la tabla de impuestos definida por el S.I.I. (Servicio de Impuestos Internos de Chile).

Nueva estructura impositiva Impuesto único a los trabajadores y global complementario mensual, para noviembre de 2008. Monto de la renta imponible Desde

Hasta

Factor

Cantidad a rebajar

0,00

503.766,00

0,00

503.766,01

1.119.480,00

0,05

25.188,30

1.119.480,01

1.865.800,00

0,10

81.162,30

1.865.800,01

2.612.120,00

0,15

174.452,30

2.612.120,01

3.358.440,00

0,25

435.664,30

3.358.440,01

4.477.920,00

0,32

670.755,10

4.447.920,01

5.597.400,00

0,37

894.651,10

5.597.400,01

y más

0,40

1.062.573,10

89 INECUACIONES

Las personas trabajan en diferentes oficios y profesiones, en diferentes ámbitos de la economía y con diferentes grados de calidad y productividad. Así, sus remuneraciones e ingresos son también diferentes. Todas las personas están sujetas al impuesto a la renta que establece el Estado para

UNIDAD 2

Rentas e impuestos

Considera como R la renta o ingreso de la persona e I el impuesto a pagar, entonces puedes representar los valores del cuadro anterior mediante: Si

0 ≤ R ≤ $ 503.766,00

resulta I = 0

$ 503.766,01 < R ≤ $ 1.119.480,00 resulta I = 0,05 • R – 25.188,30

Si $ 1.119.480,01 < R ≤ $ 1.865.800,00 resulta I = 0,10 • R – 81.162,30 Si $ 1.865.800,01 < R ≤ $ 2.612.120,00 resulta I = 0,15 • R – 174.452,30 Si $ 2.612.120,01 < R ≤ $ 3.358.440,00 resulta I = 0,25 • R – 435.664,30 Si $ 3.358.440,01 < R ≤ $ 4.477.920,00 resulta I = 0,32 • R – 670.755,10 Si $ 4.447.920,01 < R ≤ $ 5.597.400,00 resulta I = 0,37 • R – 894.651,10

INECUACIONES

Si $ 5.597.400,01 < R

UNIDAD 2

resulta I = 0,40 • R – 1.062.573,10

Puedes graficar todas estas ecuaciones lineales asociadas a cada desigualdad (rangos de rentas R), según se muestra en la figura siguiente. Observa que en los límites de los intervalos de rentas cambia la ecuación del impuesto.

Por ejemplo, cuando R = 503.766, la ecuación cambia desde I = 0 a I = 0,05 • R – 25.188. Si la renta R aumenta algo por sobre ese valor, también aumenta el impuesto, pero en forma diferente.

I (miles $)

503.766,01

1.119.766,01

30.786

1.865.800,01

105.418

2.612.120,01

217.366

200

3.358.440,01

403.946

100

4.447.920,01

762.179

5.597.400,01

1.173.387

600 500 400 300

4 R (millones $)

Ejercicios resueltos Veamos algunos análisis de situaciones que ocurren en la vida cotidiana. 1. Pedro gana $ 850.000 mensuales. ¿Cuánto impuesto debe pagar?

Solución Dado que esta renta está en el intervalo (503.766, 1.119.480), el impuesto está dado por: I = 0,05 • R – 25.188 ⇒ I = 0,05 • 850.000 – 25.188 ∴ I = 17.312

2. Si en la situación del problema anterior Pedro recibe un bono adicional por su buen desempeño laboral y este bono es de $ 140.000, ¿cuánto impuesto debe pagar ahora? ¿Cuánto es el aumento de impuestos respecto de la situación anterior?

Solución La nueva renta es R = 850.000 + 140.000 = 990.000 Esta renta está en el intervalo (503.766, 1.199.480] Luego, el impuesto resultante está dado por: I = 0,05 • R – 25.188 ⇒ I = 0,05 • 990.000 – 25.188 ⇒ I = 24.312 Entonces, el aumento de impuesto es de 24.312 – 17.312 = 700. Luego, el aumento de 7.000 impuesto es 17.312 = 40,4% con respecto al valor inicial. Ahora bien, la renta de ese mes

3. Magdalena pagó un cierto mes la cantidad de $ 143.200 en impuestos. ¿Cuál fue la renta total que ganó ese mes?

Solución Puedes observar en el gráﬁco que tal valor de impuestos se produce en el intervalo de impuestos (105.468, 217.366] que corresponde al rango de rentas (1.865.800, 2.612.120]. En ese intervalo, la ecuación para el impuesto es: I = 0,15 • R – 174.452 Luego: 143.200 = 0,15 • R – 174.452 de donde: 0,15 • R = 143.200 + 174.452 = 317.652 resultando: R = 317.652 = 2.117.680 0,15 Por lo tanto, Magdalena ganó $ 2.117.680 ese mes. 4. Dos programadores de computadores, Elena y Juan, trabajan para una empresa con remuneraciones brutas de $ 610.000 y $ 480.000 respectivamente. La empresa decide repartir un bono de $ 200.000 entre ambos por su trabajo eﬁciente en equipo. Analiza cuáles son los impactos en los impuestos y en las rentas líquidas si el bono se reparte: a) en partes iguales b) en proporción a las rentas

Soluciones Aplicando las ecuaciones respectivas a las remuneraciones sin bono de ambas personas, tenemos que: Impuesto de Elena:

I = 0,05 • 610.000 – 25.188 = 5.312

Impuesto de Juan:

I=0

91 INECUACIONES

Entonces, ocurre que un cierto aumento porcentual en la renta produce un aumento porcentual mayor en el impuesto. Este es uno de los propósitos que buscan los legisladores y las autoridades para redistribuir los ingresos de las personas.

UNIDAD 2

subió solo en $ 140.000, es decir, 140.000 850.000 = 16,5%.

a) Si el bono se reparte en partes iguales ($ 100.000 a cada uno), los nuevos impuestos serán: Impuesto de Elena: I = 0,05 • (610.000 + 100.000) – 25.188 = 10.312 Impuesto de Juan:

I = 0,05 • (480.000 + 100 000) – 25.188 = 3.812

Observa que el impuesto total pagado es 10.312 + 3.812 = 14.124 b) Si el bono se reparte proporcional a las rentas, entonces: 610.000 • 200.000 = $ 111.927 Elena recibe 610.000 + 480.000 480.000 • 200.000 = $ 88.073 Juan recibe 610.000 + 480.000

INECUACIONES

En este caso, los nuevos impuestos serán: Impuesto de Elena:

I = 0,05 (610.000 + 111.926) – 25.188 = 10.908

Impuesto de Juan:

I = 0,05 (480.000 + 88.073) – 25.188 = 3.216

Observa que el impuesto total pagado es 10.908 + 3.216 = 14.124, igual que en el caso anterior. ¿Es siempre así?

Ejercicios propuestos

UNIDAD 2

92 1. Una persona tiene ingresos variables mes a mes. En un mes gana $ 780.000, en el segundo mes gana $ 1.250.000 y el tercer mes gana $ 160.000. Calcula los impuestos que debe pagar cada vez. Calcula el promedio de las rentas mensuales y calcula el impuesto que le habría correspondido pagar si hubiera ganado ese valor todos los meses. Compara los impuestos resultantes para el período de tres meses en cada caso. Interpreta los resultados. 2. Una empresa efectúa una reorganización de su personal. En ese contexto, despide a un ingeniero experimentado que gana $ 2.400.000 por mes y contrata dos ingenieros a los cuales paga $ 1.200.000 a cada uno. Calcula los impuestos a pagar en cada caso. Interpreta.

Tiempo de transporte La distancia medida entre el domicilio de cierta persona y la ubicación de la empresa donde trabaja es de 6.800 metros medidos por la trayectoria más corta. En condiciones normales de tránsito,

su vehículo desarrolla una velocidad promedio de 48 km/h (incluyendo tiempos de detención). En condiciones de congestión vehicular, su vehículo alcanza velocidades promedio de hasta 20 km/h.

Analicemos el impacto en los tiempos de transporte. El tiempo mínimo de transporte se logra a mayor velocidad:

6,8 km = 0,34 h = 20,40 min. tmáx = 20 km/h

Por consiguiente, el tiempo de transporte está en el intervalo [9,75 ; 14,63]. Graficando se tendrá:

Por consiguiente, el tiempo de transporte (t) está en el intervalo [ tmín , tmáx ] = [8,50 ; 20,40].

d (km)

Esta persona dispone de una trayectoria alternativa, que aunque tiene una mayor distancia casa-trabajo (7.800 m) es menos congestionada. La velocidad promedio que alcanza en períodos de congestión vehicular es de 32 km/h. En este caso, los tiempos límites serán:

Congestión media Trayectoria alternativa

Trayectoria regular

7 6 5 4

Alta congestión

3 2

Sin congestión

Tiempo mínimo:

7,8 km = 0,1625 h = 9,75 min. t mín = 48 km/h

t (min)

8 10 12 14 16 18 20 22

En un eje lineal, tendrás que los intervalos de tiempo son:

Trayectoria regular 8,50 9,75

14,63

UNIDAD 2

El tiempo máximo de transporte se logra a menor velocidad:

7,8 km ≈ 0,2438 h = 14,63 min. t máx = 32 km/h

20,40

t (min)

Trayectoria alternativa

Observa que el intervalo de tiempo correspondiente a la trayectoria regular contiene completamente al intervalo de la trayectoria alternativa. Los tiempos de tránsito en la trayectoria regular pueden ser menores, iguales o mayores que los de la trayectoria alternativa. Eso significa que su dispersión es mayor.

Ejercicios propuestos 1. Dos vehículos se desplazan por dos trayectorias diferentes (A y B), cubriendo distancias de 12,0 km y 8,4 km, respectivamente. La trayectoria B está congestionada y posibilita velocidades entre 18,0 km/h y 20,0 km/h. La trayectoria A está menos congestionada y posibilita velocidades entre 24,0 km/h y 30 km/h. Analiza los intervalos de tiempo de recorrido y compáralos para ambos vehículos en sus respectivas trayectorias. 2. En el mismo ejercicio anterior, la trayectoria B se descongestiona debido a la eliminación de la causa que provocaba la congestión. Ahora, posibilita velocidades entre 24,0 km/h y 42,0 km/h. Analiza los intervalos de tiempo de recorrido y compáralos.

INECUACIONES

6,8 km = 0,1416 h = 8,50 min. tmín = 48 km/h

Tiempo máximo:

Un teorema importante

INECUACIONES

Demostraremos a continuación un teorema relativamente simple, que –a su vez– nos facilitará probar algunas propiedades de las desigualdades imprescindibles para su mejor comprensión. Pero, sobre todo, nos permitirá contar con algunas herramientas operacionales apropiadas para procesar la información contenida en las desigualdades, de manera que se ajusten a nuestras necesidades específicas, como lo veremos más adelante.

UNIDAD 2

Teorema Consideremos dos números reales a y b que satisfacen la desigualdad a < b. En tal caso, existe un número ε > 0 tal que a + ε = b. Demostración Sea ε = (b – a). Como a a, entonces ε > 0. Por otra parte a + ε = a + (b – a) = b, efectivamente.

Si a ambos miembros de la igualdad le sumamos c, la igualdad se mantiene, de manera que: a+ε+c=b+c Reordenando la igualdad anterior y agrupando los términos como se indica: (a + c) + ε = (b + c) Lo cual quiere decir (dado que ε > 0) que: a+c<b+c que es la propiedad enunciada. Notemos que la cantidad sumada puede ser positiva o negativa. Gráficamente ello se puede representar de la manera siguiente:

Veamos un ejemplo numérico para visualizar lo que afirma el teorema anterior. Sea a = 4,8 y b = 5. En este caso se cumple que a < b, puesto que 4,8 < 5. Entonces,

ε = 5 – 4,8 = 0,2 Es directo verificar que a + ε = b, dado que

4,8 + 0,2 = 5, efectivamente.

Propiedades de las desigualdades 1. Si a < b entonces a + c < b + c Si a ambos miembros de una desigualdad le sumamos la misma cantidad, la relación de orden entre los miembros de la desigualdad se mantiene. Demostración En virtud del teorema demostrado en el título anterior, sabemos que si a 0 tal que: a+ε=b

a+c

b+c

2. Multiplicación por un número k > 0. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, la relación de orden de los miembros de la desigualdad se mantiene, es decir si a 0 entonces ak < bk. Demostración Sea a 0 tal que a+ε=b Si multiplicamos la igualdad anterior por k > 0, obtenemos: ak + εk = bk

Como ε > 0 y k > 0 entonces se cumple que:

Del mismo modo es posible demostrar que:

εk > 0

a ≤ b ⇒ –a ≥ –b

De donde:

a > b ⇒ –a < –b

ak > bk

a ≥ b ⇒ –a ≤ –b

que es lo que se quería probar.

Gráficamente esta propiedad se puede visualizar mediante los siguientes diagramas.

3. Multiplicación por –1 Al multiplicar ambos miembros de una desigualdad por –1, la relación de orden entre los miembros de la desigualdad se revierte, es decir, si a –b.

–b

–a

–b

–a

UNIDAD 2

Demostración Como ya sabemos, si a 0 tal que: a+ε=b

Sumando ε a ambos miembros de la igualdad: –a = –b + ε

Nota que en ambos diagramas a < b, pero que –b < –a. ¿Se te ocurren otras situaciones que sea necesario analizar?

Lo cual quiere decir que: –a > –b Que es lo que se pretendía demostrar.

Ejercicios resueltos Sean a, b, c y d números reales. Demostrar que: 1. Si a < 0 y b < 0 entonces ab > 0.

Solución a < 0 ⇒ –a > 0

(dado que al multiplicar una desigualdad por –1 la relación de orden entre los miembros de la desigualdad se revierte)

b < 0 ⇒ –b > 0

(por la misma razón recién citada)

Como el producto de dos números positivos es positivo: (–a)(–b) > 0

∴ ab > 0

95 INECUACIONES

Si multiplicamos la última igualdad por –1 se obtiene: –a – ε = –b

2. Si a < b y b < c, entonces a < c.

Solución Como: a<b, Entonces se cumple que: b–a>0 Y dado que: b<c Ello implica que:

INECUACIONES

c–b>0 De ese modo: (c – b) + (b – a) > 0 Resolviendo los paréntesis y reduciendo términos semejantes: c–b+b–a>0⇒ c–a>0

96 UNIDAD 2

∴a<c

Ejercicios propuestos Sean a y b números reales. Demostrar que: 1. Si a > 1 entonces a2 > a. 2. Si 0 < a < 1 entonces a2 < a. 3. Si 0 ≤ a < b entonces a2 < b2. 4. Si 0 ≤ a, 0 ≤ b, y a2 < b2 entonces a < b.

Rendimientos y plazos

Llamemos x e y al tiempo que las máquinas A y B respectivamente deben trabajar para lograr pavimentar los 50 km. Entonces, se tendrá:

Al examinar la información disponible, obtendrás lo siguiente:

0,20x + 0,16y = 50 km (1)

Máquina A trabajando 150 días produce:

Donde se debe cumplir que:

0,20 km/día • 150 días = 30 km Máquina B trabajando 150 días produce: 0,16 km/día • 150 días = 24 km

x ≤ 150 días

(2)

y ≤ 150 días

(3)

Despejando y de la ecuación (1), se obtiene: y = 50 – 0,20x 0,16

UNIDAD 2

Este es un problema típico en el esfuerzo humano por construir: ¿cómo se deben combinar los medios para lograr los fines buscados?

Ambas máquinas trabajando simultáneamente, en diferentes localizaciones del camino, durante 150 días, producen 30 km + 24 km = 54 km. Esta cifra es mayor que la longitud del camino, por lo que este problema tiene solución. ¿Qué habría ocurrido si el rendimiento máximo de las máquinas es de solo 0,1 km/día? Calcula y verás que en ese caso no podrías lograr pavimentar los 50 km en 150 días.

97 INECUACIONES

Imagínate que estás a cargo de pavimentar un camino de 50 km de longitud y tienes un plazo máximo de 150 días corridos para hacerlo. Considera que tienes personal, maquinarias y materiales en calidad y cantidad suficientes. En particular, dispones de dos máquinas. Una de ellas (A), permite pavimentar hasta 0,20 km/día y otra (B) que permite pavimentar hasta 0,16 km/día. ¿Cuántos días deberás trabajar con cada máquina en forma continuada para cumplir la meta?

¿Qué ocurre si la máquina A tiene un desperfecto y su reparación toma 4 días?

Reemplazando en (3), se tendrá: 50 – 0,20x 0,16

≤ 150

En este caso:

50 – 0,20 x ≤ 24

x ≤ 150 – 4 ⇒ x ≤ 146

50 – 24 ≤ 0,20 x

Desarrollando la ecuación (1), calculando y para el máximo valor de x (146 días), tendrás el valor mínimo de y: y = 50 – 0,20 • 146 = 130

26 ≤ 0,20 x

0,16

130 ≤ x

Luego, ahora resulta: 130 ≤ y ≤ 150 Combinando con (2), resulta:

Es decir, la máquina B debe ahora trabajar entre 130 y 150 días.

INECUACIONES

130 ≤ x ≤ 150

UNIDAD 2

Es decir, la máquina A debe trabajar entre 130 y 150 días. Desarrollando en forma similar para la máquina B, tendrás que: 125 ≤ y ≤ 150 Naturalmente, mientras más días trabaje una máquina, la otra necesita trabajar menos días. La combinación de cantidad de días que debe trabajar cada una está dada por la ecuación (1) que puede ser reescrita como y = 312,5 – 1,25x. Gráficamente

Generalización Supongamos que los rendimientos de las máquinas A y B son a(km/día) y b(km/día), la longitud del camino es d y el plazo de tiempo disponible es t. Entonces, tendrás: ax + by = d x≤t y≤t Desarrollando la ecuación de distancia, reemplazando en la desigualdad de tiempo y desarrollando el tratamiento anterior, resultará: d – bt ≤ x ≤ t a d – at ≤ y ≤ t b

y (días) 350,0 300,0

De las desigualdades anteriores se puede deducir que:

250,0

at + bt = (a + b)t ≥ d

200,0

para que el problema tenga solución.

y = 312,5 – 1,25x

El tiempo mínimo de ejecución será

150,0 125,0 100,0 50,0 0,0

100

150 130

200

250

300

x (días)

d . a+b

Ejercicios propuestos 1. Supón que tienes las máquinas de pavimentación A y B de rendimientos 0,20 km/día y 0,16 km/día respectivamente. Después de 10 días de trabajo de ambas máquinas, la B se daña y es reemplazada por una máquina C de rendimiento 0,18 km/día. Determina los tiempos que deben trabajar las máquinas A y C para cumplir la meta de 50 km en menos de 150 días.

Imaginemos que Nicole ha obtenido las siguientes calificaciones en las tres primeras pruebas de Matemática: 6,0 – 4,4 – 6,2. Todavía debe rendir dos pruebas más. ¿Cuáles son las calificaciones mínimas que debe obtener para alcanzar un promedio simple de al menos 6,0? Este es un problema característico al que se ven enfrentados los(as) estudiantes cuando se fijan determinados propósitos y deben hacer proyecciones para lograrlos. Llamemos x e y a las calificaciones que obtendrá en las próximas dos pruebas. Entonces, el promedio resultante N será: N = 6,0 + 4,4 + 6,2 + x + y 5 El objetivo propuesto es N ≥ 6,0 es decir: 6,0 + 4,4 + 6,2 + x + y ≥ 6,0 5

16,6 + x + y ≥ 30,0

De aquí: que equivale a:

x + y ≥ 13,4

Es decir,

6,4 ≤ x ≤ 7,0 13,4 – x ≤ y ≤ 7,0

Posibles resultados se pueden ver en la siguiente tabla: x

6,4

7,0

6,5

6,9

6,6

6,8

6,7

Generalización Supongamos que las calificaciones ya obtenidas son p1 , p2 ,..., pk y restan por realizar (n – k) pruebas y que se pretende obtener un promedio final p. Entonces, se verifica que: p1 + p2 +…+ pk + xk + 1 +…+ xn ≥p n

Dado que la escala de notas va de 1,0 a 7,0

donde, xk + 1, ... , xn son las calificaciones de las pruebas por realizar.

1 ≤ x ≤ 7 , 1 ≤ y ≤ 7, obtendremos que:

El promedio de las calificaciones ya obtenidas es:

x ≥ 13,4 – 7,0 = 6,4 y ≥ 13,4 – 7,0 = 6,4

p1 +…+ pk k

99 INECUACIONES

Calificaciones: resultados y proyecciones

UNIDAD 2

2. El plazo para realizar la obra disminuye a 120 días. Observa que no es posible lograr la meta haciendo trabajar solo dos máquinas A y B (o A y C, o B y C). Calcula las máximas longitudes pavimentadas que puedes obtener en cada caso. Para cumplir la meta es necesario incorporar otra máquina D con un rendimiento mayor. ¿Cuál es el mínimo rendimiento de la máquina D si trabaja con la máquina A? ¿Y si trabaja con la máquina B?

El promedio proyectado de las calificaciones a las pruebas por realizar es: X=

xk + 1 +…+ xn n–k

Entonces, ahora tenemos: n = 9, k = 2, p = 6,5 y

X≥ np–kP 9 • 6,5 – 2 • 6,25 9–2

Luego, en este caso es posible alcanzar el resultado esperado. Si ahora tomamos en consideración que una de las tareas será sobre un tema difícil y complejo y Renato sólo espera obtener en ella una calificación 4,0, ¿podrá todavía alcanzar el promedio de calificación final 6,5?

de donde

INECUACIONES

X≥

X ≥ 6,57

(n – k)X ≥ np – kP

UNIDAD 2

n–k

k • P + (n – k)X ≥ p n

k • P + (n – k)X ≥ np

100

X ≥ np–kP n–k

Apliquemos esta desigualdad a algunos casos de interés.

Veamos:

X ≥ 6,57 …

⇒ X1 + + X7 ≥ 6,57

Por ejemplo, veamos el caso en que Renato tiene 10 tareas de las cuales ha realizado tres con calificaciones 2,8 – 5,6 y 6,9. Tiene la intención de obtener un promedio 6,5. ¿Cuáles calificaciones debe obtener Renato en las tareas restantes?

Sea x1 = 4,0 , entonces:

En este caso:

De donde:

n = 10, k = 3, p = 6,5 y P = 2,8 + 5,6 + 6,9 = 5,1 3

Entonces:

X ≥

De donde:

Reemplazando estas expresiones en la inecuación anterior, se tendrá:

Desarrollando

P = 5,6 + 6,9 = 6,25

np–kP n–k

• • ≥ 10 6,5 – 3 5,1

10 – 3

≥ 65,0 – 15,3 7

≥ 49,7 7

∴ X ≥ 7,1 Este resultado es imposible de obtener, dado que las calificaciones no pueden ser mayores a 7,0 en el sistema escolar chileno ( X ≤ 7,0). Veamos una modificación de este caso. Es frecuente que los(as) profesores(as) autoricen eliminar la menor calificación y calculen el promedio con las mejores. Considerando que la menor calificación obtenida en las tareas es 2,8 y suponiendo que en las próximas tareas no obtendrá calificación menor a esta, entonces podemos eliminarla.

4,0 + X2 +…+ X7 ≥ 6,57 7

X2 + ...+ X7 ≥ 7 • 6,57 – 4,0

⇒ X2 + ... + X7 ≥ 41,99 Obteniendo el promedio de estas seis calificaciones: X2 +…+ X7 ≥ 6,99 6

Por lo tanto, todavía es posible alcanzar el resultado deseado.

Ejercicios propuestos 1. Has obtenido las siguientes calificaciones en una asignatura: 3,6 – 5,4 – 5,8. Deseas obtener un resultado final de al menos 6,0. Puedes eliminar la calificación menor y tienes la posibilidad de realizar dos pruebas adicionales. a) ¿Cuáles son las menores calificaciones que has de obtener para lograr tu propósito? b) ¿Cuál es el máximo resultado que puedes obtener? 2. En el mismo ejercicio anterior, considera ahora que la última prueba es un examen final, que no se puede eliminar y que tiene una ponderación equivalente a dos pruebas simples. Calcula cuáles son las calificaciones mínimas que debes obtener para lograr un resultado final de al menos 6,0.

Rendimiento El concepto de rendimiento aparece en múltiples situaciones de la vida. Por ejemplo, el rendimiento de un auto se mide por el número de kilómetros que logra alcanzar con 1 litro de combustible. Así escuchamos decir que cierto modelo “da” 14 kilómetros por litro, lo que se escribe 14 km/L. Que el rendimiento de una pintura (en cierto tipo de muro) sea de 18 m2/L significa que con 1 litro se pueden cubrir 18 metros cuadrados de muro. Imagina que has decidido pintar las paredes de tu casa, las cuales son de dos tipos: muy porosas (A) y poco porosas (B). Para ello utilizas un cierto tipo de pintura cuyo rendimiento es de 10 m2/L en pared tipo A y de 20 m2/L en pared tipo B. Las

paredes tienen una altura de 2,40 m y la suma de todas sus longitudes es de 64 m, siendo 20 m del tipo A y 44 m del tipo B. ¿Cuántos litros de pintura se requieren? El área del muro A es 2,40 m • 20 m de manera que en las paredes de tipo A la cantidad de pintura que se requiere es: 2,40 m • 20 m = 4,8 L 10 m2/L

Análogamente, en las paredes tipo B: 2,4 m • 44 m 20 m2/L

= 5,28 L

En total: 4,8 L + 5,28 L = 10,08 L

Ejercicios resueltos 64,0 m 20,0 m 2,4 m

En la situación antes descrita supongamos que sólo disponemos de 8 litros de pintura. ¿Cuánta área de tipo A y B puedes cubrir?

44,0 m

Pared tipo A

Pared tipo B

101 INECUACIONES

Cubriendo superficies

UNIDAD 2

3. Realiza los ejercicios anteriores considerando que el reglamento permite reemplazar la peor caliﬁcación por el promedio de las otras caliﬁcaciones.

Solución Designemos por x e y a las longitudes de las paredes A y B que pintas. Entonces, los consumos de pintura son: 2,4 • x en pared tipo A 10

2,4 • y 20

en pared tipo B

El consumo total no podrá superar el volumen de pintura disponible, esto es: 2,4 • x + 2,4 • y ≤ 8 20 10

Con las restricciones de longitudes de las paredes: 0 ≤ x ≤ 20

0 ≤ y ≤ 44

UNIDAD 2

102

• 2,4 y = 8 – 2,4 x 20 10

2,4 y = 160 – 4,8 x y = 66,6 – 2 x Reemplazando en la desigualdad de y, 0 ≤ 66,6 – 2x ≤ 44, de donde: 0 ≤ 66,6 – 2x y 66,6 – 2x ≤ 44 Entonces:

2x ≤ 66,6

2x ≥ 66,6 – 44

x ≤ 33,3

2x ≥ 22,6 ⇒ x ≥ 11,3

11,3 ≤ x ≤ 33,3

Es decir:

Pero como x ≤ 20 , resulta 11,3 ≤ x ≤ 20 Siguiendo el mismo razonamiento para la pared tipo B, tendrás: 26,6 ≤ y ≤ 44 Entonces, con esos 8 litros de pintura se podrán pintar entre 11,3 m2 y 20,0 m2 de pared tipo A y entre 26,6 m2 y 44,0 m2 de pared tipo B. Veamos ahora una consideración especíﬁca. El guardapolvo de la pared, que mide 0,06 m de altura, no deberá ser pintado con esta pintura. ¿Cómo afecta esto la cantidad de superﬁcie de pared a pintarse? Veamos. Ahora, la altura será 2,34 m, con lo que el consumo total de pintura da: 2,34 x + 2,34 y = 8 10

2,34 m

INECUACIONES

Consumiendo toda la pintura, se tiene que:

Pared tipo A

Pared tipo B

Efectuando el mismo desarrollo anterior, obtendrás: y = 68,38 – 2x

12,19 ≤ x ≤ 20

28,38 ≤ y ≤ 44

Ejercicio propuesto Desarrolla el mismo ejercicio anterior, considerando que los rendimientos de la pintura en las paredes A y B son de 12 m2/L y 15 m2/L respectivamente y dispones de 10 L de pintura.

Margen comercial El comercio es una actividad muy antigua y ha sido determinante en el desarrollo de las civilizaciones. Se sustenta en el afán que tienen las personas de satisfacer sus necesidades con productos generados por otros. El comerciante hace la intermediación entre productores y clientes, agregando

los valores de la accesibilidad y disponibilidad. Esto causa el margen de comercialización que frecuentemente apreciamos como un mayor valor sobre el costo. Veamos un caso característico.

Un comerciante compra por grandes cantidades bebidas embotelladas en diversos volúmenes a los productores y luego las vende por unidad a sus clientes locales. En particular, compra cajas de 12 botellas de 2 litros por $ 6.000 y luego vende a $ 750 cada botella. Así tendremos que el precio total de venta (p) es de 12 • $ 750 = $ 9.000. Dado que el costo (c) ha sido $ 6.000, el margen (m) es:

⇒ m = 9.000 – 6.000 = 3.000, es decir,

103

$ 3 000 por caja o $ 250 por botella, lo cual representa un 33,3% del precio. La utilidad del comercio se obtiene descontando del margen los costos necesarios para hacer la operación comercial: gastos del local, sueldo del personal, impuestos, costos de equipamiento, gastos generales. Supongamos que todos estos costos representen $ 1.200.000 por mes. ¿Cuál es la menor cantidad de botellas que debe vender el comerciante para que no pierda dinero?

Solución La utilidad (u) será entonces relacionada directamente con la cantidad de botellas vendidas (n) y el costo ﬁjo total (CF ): u≥0

u = n • m – CF , n≥

CF m

implica n • m – CF ≥ 0 es decir,

⇒ n ≥ 1.200.000 = 4.800 botellas 250

Si el comerciante desea obtener una utilidad de al menos el 10% sobre lo vendido, entonces tendremos lo siguiente: u ≥ 0,10 • n • p

⇒ u ≥ 0,10 n 750 ⇒ u ≥ 75 n •

•

y dado que u = n • m – CF = n • 250 – 1.200.000 resulta que n • 250 – 1.200.000 ≥ 75 • n ⇒ 175 n ≥ 1.200.000 ⇒ n ≥ 1.200.000 175

∴ n ≥ 6 857,14 botellas

INECUACIONES

m=p–c

UNIDAD 2

Ejercicio resuelto

Observa que obtener un 10% de utilidad (sobre las ventas) signiﬁca vender 42,85% más que en el caso de equilibrio cuando la utilidad es nula (6 857,14 botellas con respecto a 4.800 botellas). Generalización Generalicemos algo el ejercicio recientemente resuelto para representar un problema característico del comercio. ¿Cuánto se debe vender de un producto (n) a un precio p, que tiene un costo unitario c para producir una utilidad de al menos u0 en un negocio que tiene un costo fijo CF? Ya hemos visto que: u = n • (p – c) – CF Como se desea que u ≥ u0, entonces n • (p – c) – CF ≥ u0 n≥

INECUACIONES

De donde:

UNIDAD 2

104

u0+ CF p–c

Observa que mientras mayor es el precio p, menor es la cantidad necesaria de ventas n. Naturalmente, subir el precio tiene un límite pues, si es muy alto, los clientes preferirán comprar a otro comerciante que venda más barato. Luego, tenemos otra desigualdad importante a considerar: p ≤ p l Donde pl es el precio límite a partir del cual los clientes buscarán otro proveedor de productos.

Ejercicios propuestos 1. Un comerciante vende cuadernos que compra en paquetes de 100 unidades al costo total de $ 30.000 el paquete. Luego, vende los cuadernos unitariamente. Sus costos ﬁjos son de $ 900.000 por mes. Desea una utilidad de al menos un 15% sobre el precio de lo vendido. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadernos n que debe vender por mes al precio de $ 500 la unidad? 2. Realiza el mismo ejercicio anterior, pero considerando además el siguiente hecho: que el 20% de lo que venda lo hará al precio de $ 400 por cuaderno como una forma de neutralizar la liquidación que anunciará un supermercado a ﬁnes del mes.

Geometrías variables Un juego que apasionaba a pensadores en la Antigüedad era calcular qué área se podía englobar con una cuerda de largo y cuál era la máxima área posible. a

Consideremos, por ejemplo, un triángulo equilátero, un cuadrado, un rectángulo y una circunferencia, cuyos perímetros, en todos los casos es y corresponde al largo de la cuerda.

a b

Así tendremos: Perímetro Triángulo equilátero Cuadrado Rectángulo Circunferencia

Área

l = 3a l = 4a l = 2a + 2b l=2πr

At =

2 3 a2 = l

1 4

12 3

AC = a = l16

Ar = ab = a

( l – a) 2

A =πr = l 4π 2

¿Cuáles áreas son mayores que otras? Fácilmente, podrás apreciar que el área mayor es la de la circunferencia y la menor la del triángulo, esto es: At < Ac < A

UNIDAD 2

El área del rectángulo es siempre menor o, a lo sumo, igual que la del cuadrado. No obstante, puede ser mayor o menor que la del triángulo equilátero. Esto se debe a que el rectángulo no es un polígono regular. Si consideramos solo los polígonos regulares de n lados y llamamos An al área englobada por un perímetro L, entonces tendremos que: A3 < A4 < A5 < A6 < . . . < A

Ejercicios propuestos

105 INECUACIONES

1. Comprueba que el área de un pentágono regular es mayor que el de un cuadrado y menor que el de un hexágono regular, considerando que todas las ﬁguras tienen el mismo perímetro. 2. Considera que el área de un triángulo equilátero, un cuadrado y una circunferencia son iguales (A). Calcula los perímetros respectivos de cada polígono y compáralos.

Abordemos ahora un problema característico. Supongamos que necesitamos que el área del triángulo equilátero sea mayor que la del cuadrado y ambas sean mayores que la de la circunferencia. ¿En cuánto deberán crecer las longitudes de la cuerda para tales fines?

Llamemos t , c , o a las longitudes de las cuerdas que aplicaremos a los polígonos, para que se produzca que: At ≥ Ac ≥ A Es decir:

12 3

≥

4π

Entonces:

lc ≥ π4 l 2

, y considerando que positivos, resulta que c ≥ 2 2

π l

lc y l son

lt ≥ 343 lc , de donde resulta que lt ≥ 2

3 3 2

Luego, a partir de lo anterior obtendrás que:

lt ≥

3 3 2

lc ≥

3 3 π

Solución de inecuaciones lineales Inecuaciones simples Formular y resolver inecuaciones lineales es una labor intuitivamente fácil, ya que corresponde a procesos mentales a los cuales estamos cada vez más acostumbrados por las actividades cotidianas. Mientras las ecuaciones lineales tienen una sola solución, las inecuaciones lineales tienen muchas soluciones (intervalos de números).

Resolución de inecuaciones Una forma de resolver una inecuación es manipularla algebraicamente de modo de aislar la variable

en uno de los miembros dejando todo el resto en el otro miembro. Por ejemplo, si la variable es x y el resto lo representamos por a, la forma final de la inecuación va a ser de una de los siguientes formas: x≥a

x>a

x<a

Algunas desigualdades pueden contener polinomios. Para resolverlas, usualmente las manipulamos de modo que uno de los miembros sea 0.

Ejercicios resueltos

106

1. Resolver 2x – 5 < 12

Solución Sumando 5 a ambos miembros de la desigualdad: (2x – 5) + 5 < 12 + 5 De donde, 2x < 17

(2)

Dividiendo ambos miembros de la desigualdad por 2: 1 2x < 1 17 Lo cual es equivalente a: x < 17 El conjunto solución de la desigualdad es: {x ∈

: x < 17 } que se lee “el conjunto de todos los x tales que x es menor que 17 ”. 2 2

2. Resuelve 13 – 3x ≥ 10

Solución Restando 13 a ambos miembros de la desigualdad: –3x ≥ 10 – 13 ⇒ –3x ≥ –3 Dividiendo la desigualdad por –3 y notando que en tal caso la relación de orden se invierte: 3x) ≤ (– 1 )(–3) (– 13 )(––3x 3 De modo que:

x≤1

El conjunto solución es {x ∈

: x ≤ 1}

x≤a

3. Resolver 14(x – 2) ≤ 132 – 281x

Solución 14(x – 2) ≤ 132 – 281x 14x – 28 ≤ 132 – 281x

Desarrollando el paréntesis:

14x ≤ 160 – 281x

Sumando 28 a ambos miembros de la desigualdad: 295x ≤ 160

Sumando 281x a ambos miembros,

Dividiendo la desigualdad por 295 y enseguida simpliﬁcando:

{

El conjunto solución es x ∈

⇒

x ≤ 160 295

x ≤ 32 59

}

: x ≤ 32 . 59

4. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales. b)

x– 1 ≥1

d) 3(2x – 3) + 5 ≥ 4x + 15

3 – 1 (x + 2) ≤ 1 x – 8

1 –x≤1 2

UNIDAD 2

a) 2x – 3 ≥ 3x + 8

Soluciones

⇒ – 3 – 8 ≥ 3x – 2x

∴ (reuniendo y aislando incógnitas en un miembro) –11 ≥ x

107

x ≤ –11

x –11

b) x – 1 ≥ 1 2

⇒

∴x≥ 3

x≥1+ 1

1 –x≤1⇒ 1 –1≤x 2 2

3 2

∴– 1 ≤xóx≥– 1

1 2

d) 3(2x – 3) + 5 ≥ 4x + 15 ⇒ 6x – 9 + 5 ≥ 4x + 15 ⇒ 6x – 4x ≥ 15 + 9 – 5 (aislando y reuniendo la incógnita en un miembro) 2x ≥ 19 ∴ x ≥ 19 2

19 2

e) 3 – 1 (x + 2) ≤ 1 x – 8 ⇒ 3 – 1 x – 2 ≤ 1 x – 8 ⇒ 3 – 1 + 8 ≤ 1 x + 1 x ⇒ 10 ≤ 3 x ⇒ 2

⇒ 10

•

4 ≤ 3 • 4 x 3 3 4

∴

40 ≤ x 3

x ≥ 40 3

x 40 3

INECUACIONES

a) 2x – 3 ≥ 3x + 8

Ejercicios propuestos 1. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales: a) 8 – 2x ≥ x – 3

c) 0,5x – 2 (3 – x) ≤ 3 – x

b) 3 (x + 4) > –x + 8

2. Calcula el valor de a en la siguiente inecuación lineal para que x ≥ 0. 3x + 3a – 8 > x + 7

Sistemas de inecuaciones lineales

INECUACIONES

Es común la existencia simultánea de inecuaciones lineales, como pu-

Ejercicios resueltos 1. Encuentra la solución de:

108

2x – 1 ≥ 3

2. Resuelve el sistema: –x + 1 > 16

3x + 4 ≥ 8

2x – 3 ≤ 3x

Solución

Solución UNIDAD 2

dimos apreciar en las actividades 1 y 2 de esta Unidad.

Para resolver el sistema, es suﬁciente resolver cada inecuación por separado y luego integrar los resultados de ambas. Entonces: Primera inecuación: 2x – 1 ≥ 3 ⇒ 2x ≥ 4 ⇒ x ≥ 2

Primera inecuación: –x + 1 > 16 ⇒ –16 + 1 > x ⇒ –15 > x

x < –15

Segunda inecuación: 2x – 3 ≤ 3x ⇒ –3 ≤ 3x – 2x

Segunda inecuación: 3x + 4 ≥ 8 ⇒ 3x ≥ 4 ⇒ x ≥ 4

–3 ≤ x

x ≥ –3

Integrando ambos resultados:

Representando en la recta:

Representando en la recta: x

x 2

4 3

x≥2 x≥ 4 3

–15

x < –15

⇒ x≥2

x ≥ –3

–3

⇒ no existe solución

El conjunto solución es el conjunto vacío. El conjunto solución es entonces {x ∈ R : x ≥ 2}

6y – 3 ≥ 2y + 5

3. Encuentra el intervalo de soluciones de:

2y – 4 ≤ 6 Primera inecuación:

6y – 2y ≥ 5 + 3 ⇒ 4y ≥ 8 ⇒ y ≥ 2

Segunda inecuación:

2y – 4 ≤ 6 ⇒ 2y ≤ 10 ⇒ y ≤ 5

Integrando ambos resultados:

y≥2 y≤5

⇒ 2≤y≤5

Representando:

es el intervalo de soluciones.

y 2

(Observa que esto corresponde a una representación diferente de dos inecuaciones lineales.) –4 – 6 ≤ 2x ≤ 18 – 6 ⇒ –10 ≤ 2x ≤ 12 ⇒ – 10 ≤ x < 12 2

⇒ –5 ≤ x ≤ 6

es el intervalo de soluciones.

Representando:

x –5

109

INECUACIONES

Solución

5. Resuelve el sistema de inecuaciones: 2x – 1 ≥ x + 2 3–x≤1 3x – 6 ≥ x – 4

Solución Primera inecuación: 2x – 1 ≥ x + 2 ⇒ 2x – x ≥ 2 + 1 ⇒ x ≥ 3 Segunda inecuación:

3–x≤1 ⇒ 3–1≤x ⇒

Tercera inecuación:

3x – 6 ≥ x – 4 ⇒ 3x – x ≥ 6 – 4 ⇒ 2x ≥ 2 ⇒

Integrando los tres resultados:

2≤x

x≥2 x≥1

x≥3 x≥2

⇒ x≥3

x≥1

es el intervalo de soluciones.

Representando gráﬁcamente:

x 1

UNIDAD 2

–4 ≤ 6 + 2x ≤ 18

4. Resuelve la inecuación:

Ejercicios propuestos Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales: 1.

6x – 2 (x + 8) ≥ 3

1 – 1 x<1 4 2

x – (3 – 2x) ≥ 9

2 (x – 3) + 3 (2 – x) ≥ x

x–2≥6

x– 1 >1

8 ≤ 3 + 2x ≤ 27

–2 ≤ 3 – x ≤ 16

1 < 1 –x< 3 2 4 2

x + 1 ≤ 2x – 1 ≤ 8

Soluciones de inecuaciones lineales con valores absolutos

UNIDAD 2

En cierto tipo de inecuaciones lineales aparecen valores absolutos, como por ejemplo, cuando se trata de la distancia entre dos puntos. Cuando las desigualdades contienen valores absolutos, hay que ser muy cuidadosos con el uso de las palabras “y” y “o”, puesto que producen resultados muy diferentes.

|x| < a

–a < x < a

–a < x

x<a

|x| ≤ a

–a ≤ x ≤ a

–a ≤ x

x≤a

|x| > a

(x<–a) v (x > a)

x<–a ó x > a

|x| ≥ a (x ≥–a) v (x ≥ a)

x ≥–a ó x ≥ a

Veamos qué es lo que queremos decir con ello. Cuando tenemos valores absolutos la condición “y” se aplica cuando tenemos signos < ó ≤ y la condición “o” se aplica cuando tenemos signos > ó ≥. Analicemos cada caso para entender por qué.

–a

110

INECUACIONES

Veamos algunos ejemplos:

Ejercicios resueltos – 9 < x< 3

1. IxI ≤ 5

Solución

–x si x < 0

4. 3x – 1 ≥ 2 ⇒

–x ≤ 5 si x < 0

Solución

I3x – 1I =

x ≥ – 5 si x < 0 La desigualdad IxI ≤ 5 se cumple cuando x está en el intervalo [–5, 5], es decir: –5 ≤ x ≤ 5 Representando gráﬁcamente: x –5

–(3x – 1) si 3x – 1 < 0

Entonces, la desigualdad se traduce en: 3x – 1 ≥ 2

si 3x – 1 ≥ 0

–(3x – 1) ≥ 2

si 3x – 1 < 0

3x – 1 ≤ –2

si 3x – 1 < 0

3x – 1 ≥ 2

Solución Un análisis análogo al del caso anterior conduce a que esta desigualdad se cumpla si: x ≤ –2

Representando, resulta la unión de dos intervalos: (–∞ , –2] y [2 , +∞) x 2

111

Entonces, esta desigualdad se cumple si:

2. IxI ≥ 2

–2

si 3x – 1 ≥ 0

3x – 1

INECUACIONES

Multiplicando la segunda desigualdad por –1:

UNIDAD 2

3 2

x ≤ 5 si x ≥ 0

)

9 2

De manera que IxI ≤ 5 signiﬁca:

x≥2

Representando gráﬁcamente:

x si x ≥ 0

IxI =

(

x∈ – 9 , 3

Es decir:

Recuerda que por deﬁnición de valor absoluto:

3x – 1 ≤ –2.

En la primera inecuación: 3x – 1 ≥ 2 ⇒ 3x ≥ 3 ⇒ x ≥ 1 En la segunda inecuación: 3x – 1 ≤ –2 ⇒ 3x ≤ –1 ⇒ x ≤ – 1 3

Entonces, la solución es la unión de los intervalos (–∞, – 1 ] y [1, ∞). 3

3. I2x + 3I < 6

Representando:

Solución

–6 < 2x + 3 < 6 –9 < 2x < 3

1 3

5. Resuelve la desigualdad 2x + 3 ≤ 1. Expresa las soluciones como un conjunto y grafícalo en la recta numérica.

6. Resuelve 5 – 4x > 2. Expresa las soluciones como un conjunto y grafícalo en la recta numérica.

Solución

La desigualdad 5 – 4x > 2 signiﬁca que,

La desigualdad:

5 – 4x < –2 ó 5 –4x > 2

I2x + 3I ≤ 1

De allí obtenemos:

es equivalente a:

–4x < –7 ó –4x > –3

–1 ≤ 2x + 3 < 1

INECUACIONES

Lo cual implica que:

UNIDAD 2

112

Sumemos –3 a cada miembro de la desigualdad y obtendremos:

x> 7 ó x< 3 4

–4 ≤ 2x ≤ –2

El conjunto solución es:

{x ∈ I-R : x > 74 } U {x ∈I-R : x < 34 }

Multipliquemos la desigualdad por 1 2

–2 ≤ x ≤ –1

En la recta numérica:

Entonces, el conjunto solución es:

{x ∈ I-R : –2 ≤ x ≤ –1}

3 4

7 4

En la recta numérica: –2

–1

Ejercicios propuestos Resuelve las siguientes inecuaciones:

I I I

2. 2x – 3 ≤ 4 + x

1. x – 8 < 20

4. 4x ≤ x + 4

5. x + 2 < 4 2x + 1 < 6

3. 3 – x ≥ 6

Distancias en la carretera Ejercicios resueltos 1. Un vehículo está en un punto P de la carretera que se encuentra a 80 km de la ciudad de Antofagasta. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer a través de la carretera para encontrarse a menos de 10 km de tal ciudad? Observa que esto puede ocurrir ya sea que el vehículo se esté acercando o alejando de la ciudad una vez que haya pasado por ella.

Solución Si llamamos x a la distancia que debe recorrer el vehículo, tendremos que el problema planteado se sintetiza en: 80 – x < 10 Resolviendo: x – 80 < 10 ⇒ –10 < x – 80 < 10 ⇒ 70 < x < 90

Posición original P –80

–10

distancia (km)

18 km

Talca

12 km

Vehículo B

Solución Dado que ambos vehículos se desplazan a la misma velocidad, en un cierto tiempo recorrerán la misma distancia x. Para el vehículo A: Para el vehículo B:

Ix – 18I ≤ 5 ⇒ –5 ≤ x – 18 < 5 ⇒ 13 ≤ x ≤ 23 Ix – 12I ≤ 5 ⇒ –5 ≤ x – 12 ≤ 5 ⇒ 7 ≤ x ≤ 17

Entonces, gráﬁcamente:

distancia vehículo A

distancia vehículo B

Luego, la distancia que han de recorrer para encontrarse ambos vehículos a 5 km de Talca o menos, es entre 13 y 17 kilómetros.

UNIDAD 2

113 INECUACIONES

Ejercicios propuestos

INECUACIONES

1. Dos vehículos se acercan a La Serena, uno por el norte (A) y otro por el sur (B), encontrándose a 20 km y 15 km respectivamente de la ciudad. A se desplaza a 90 km/h y B a 80 km/h. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que ambos vehículos se encuentren a menos de 2 km de la ciudad?

UNIDAD 2

114

2. Cuatro vehículos se aproximan a una intersección semaforizada en una ciudad a través de cuatro ejes longitudinales perpendiculares respectivamente. En un cierto momento se encuentran a 100 m, 90 m, 80 m y 70 m de la intersección. Si todos se desplazan a la misma velocidad, ¿qué distancia s deberán recorrer para encontrarse todos ellos a menos de 25 m de la intersección?

Las inecuaciones lineales pueden aplicarse para resolver inecuaciones más complejas que las lineales. Veremos algunos ejemplos como extensiones de los casos que hemos estudiado anteriormente.

Ejercicios avanzados 1. Calcula cuáles son los valores de x que hacen que el siguiente polinomio cuadrático sea positivo: x2 – 3x + 2 ≥ 0

Solución Dado que las raíces del polinomio dado son 1 y 2, tenemos que: (x – 1) (x – 2) ≥ 0 Analizando los términos del miembro izquierdo de la inecuación tendremos que la desigualdad se cumple si los términos son ambos positivos o ambos negativos. Es decir: (x – 1) (x – 2) ≥ 0 �⇒

(x – 1) ≥ 0

(x – 1) ≤ 0

⇒ (x – 2) ≤ 0 ⇒

(x – 2) ≥ 0

x≥1 y x≥2 ⇒x≥2 ó x≤1 y x≤2 ⇒ x≤1

La primera solución es x ≥ 2 y la segunda solución es x ≤ 1. x 1

Luego, la solución es la unión de ambos intervalos: ( –∞ , 1 ] U [ 2 , ∞ )

2. Resuelve la inecuación siguiente en que aparece un polinomio cúbico: x3 – 2x2 – x + 2 ≤ 0

Solución

Las raíces del polinomio son: 1, –1, 2. Entonces: (x – 1) (x + 1) (x – 2) ≤ 0 Para que el producto de los tres términos sea negativo, es necesario que un número impar de términos sea negativo. Así tendremos que: (x – 1) ≤ 0 (x – 1) ≤ 0 (x – 1) ≥ 0 (x – 1) ≥ 0

(x – 1) (x + 1) (x – 2) ≤ 0

(x + 1) ≤ 0 (x + 1) ≥ 0 (x + 1) ≥ 0 (x + 1) ≤ 0

(x – 2) ≤ 0 (x – 2) ≥ 0 (x – 2) ≤ 0 (x – 2) ≤ 0

: Situación I : Situación II : Situación III : Situación IV

La situación I da lugar a: x – 1 ≤ 0 , x + 1 ≤ 0 , x – 2 ≤ 0 ⇒ x ≤ 1 , x ≤ – 1 , x ≤ 2 ⇒ x ≤ –1 , es decir x ∈ (–∞ , –1] Gráﬁcamente:

x – 1 ≤ 0 , x + 1 ≥ 0 , x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≤ 1 , x ≥ –1 , x ≥ 2 Es decir, no hay solución, ya que es vacía la intersección entre los intervalos [–1 , ∞] [2 , ∞] gráﬁcamente: (–∞ , 1] –1

x 1

De similar forma, desarrolla las situaciones III y IV. El resultado de la inecuación polinómica será, entonces, la unión de las soluciones de las situaciones I, II, III y IV. 3. Abordando el problema en forma similar a los polinomios, resolver la inecuación racional. 2x – 4 ≥ 0 x+2

Solución Para que sea positiva esta fracción, es necesario que ambos términos, numerador y denominador, sean del mismo signo, pero el denominador nunca nulo. Entonces: 2x – 4 ≥ 0 ⇒ x+2

2x – 4 ≥ 0 y x + 2 > 0 ⇒ x ≥ 2 y x > –2 ⇒ x ≥ 2 2x – 4 ≤ 0 y x + 2 < 0 ⇒ x ≤ 2 y x < –2 ⇒ x < –2

Por lo tanto la solución es: x ≥ 2 –1

o 0

x < –2. En intervalos: ( –∞ , –2 ) U [ 2 , ∞ ). x 1

Ejercicios propuestos Resuelve las siguientes inecuaciones: a. x2 ≥ x

b. x2 + 1 ≥ 2x

c. 3x2 – 2x + 7 ≤ 2x2 – 7x – 1

d. x + 4 > 0 2x – 3

e. 5 – 2x ≤ 3x

115 INECUACIONES

–1

La situación II da lugar a:

UNIDAD 2

Estudio de desigualdades literales Como hemos visto, las desigualdades nos permiten modelar procesos diversos y hacer operaciones con ellos. Algebraicamente hablando, es posible y habitual utilizar términos literales para representar propiedades y atributos específicos. Por ello, es interesante y útil trabajar con desigualdades literales. Veamos algunos casos.

Geometría dinámica

116

Ya hemos visto en un ejercicio anterior las relaciones entre el perímetro y el área de un polígono. Profundicemos algo más este análisis. Considera un rectángulo de lados a (m) y b (m), de área 1 (m2) y en que queremos analizar los efectos de los valores posibles de los lados en el perímetro .

El área es A = a • b = 1 de donde b = 1 a

(

Luego, = 2 a + a

)

b = 1a

l = 2(a + )

0,5

5 — 6, 6

0,5 — 0, 3

0,25

8,5

1 a

Se puede observar que a medida que un lado aumenta, el otro disminuye. También es posible apreciar que el perímetro siempre es mayor o igual a 4. Es decir,

El perímetro es = 2a + 2b = 2 (a + b)

Tabulando, tendrás:

l = 2 (a + 1a ) ≥ 4 , o sea

a+ 1 ≥2 a

¿Es posible demostrar esto algebraicamente? Efectivamente. Veamos el ejercicio de la próxima página.

Ejercicio resuelto Demuestra que para cualquier a > 0, a + 1 ≥ 2 a

Solución Siempre una expresión al cuadrado es positiva (o nula). Sea entonces el cuadrado de (a – 1). (a – 1)2 ≥ 0 Desarrollando: a2 – 2a + 1 ≥ 0 Dividiendo por a (recuerda que a > 0), resulta: a–2+ 1 ≥0 a

Despejando:

a+ 1 ≥2 a

Esta desigualdad da lugar a muchas otras del mismo tipo. Por ejemplo, si consideras: entonces

a=c

entonces

a= c

entonces

c2 + 12 ≥ 2

c c + 13 ≥ 2 c c + 1 ≥2 c 3

117

Ejercicios propuestos 1. Demuestra que si a > b > 0, entonces a2 > b2. 2. Demuestra que si a > b > 0, entonces 1 < 1 . a

3. Demuestra que si a > b, entonces –a < –b. 4. Demuestra que si a > b > 0 y n es entero positivo, entonces an > bn.

INECUACIONES

a = c2

UNIDAD 2

Con esto, queda demostrado.

Juegos literales Siguiendo el tipo de razonamientos expresados en el ejercicio resuelto anterior, es posible obtener muchas desigualdades de frecuente aparición.

Ejercicios resueltos 1. Si a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces a + b ≥ ab . 2

(El promedio aritmético de dos números es mayor que su promedio geométrico.)

Solución Para demostrar esto, basta considerar la siguiente desigualdad:

( a – b ) ≥0 INECUACIONES

UNIDAD 2

118

Desarrollando:

( a ) – 2 ab + ( b ) ≥ 0 2

⇒ a + b ≥ 2 ab ∴ a + b ≥ ab 2

2. Demuestra que a2 + b2 ≥ 2

(

a+b 2

) para todo a, b. 2

Solución Como (a – b)2 ≥ 0, resulta que a2 + b2 ≥ 2ab. 2 2 Dividiendo por 4 ambos miembros de la desigualdad: a + b ≥ ab

2 4 a2 + b2 Sumando el término 4 a ambos miembros de la desigualdad se obtiene: a2 + b2 + a2 + b2 ≥ ab + a2 + b2 4 4 4 2

Reduciendo términos semejantes: a2 + b2 ≥ a2 + 2 ab + b2 = (a + b)2 2 4 4

De donde resulta:

a2 + b2 ≥ 2

( a +2 b )

3. Demuestra que para todo a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2) (c2 + d2)

Solución Para esto considera que:

(ad – bc)2 ≥ 0 ,

de donde

a2d2 + b2c2 ≥ 2 adbc

Sumando a ambos miembros:

a2c2 + b2d2 ,

tendrás:

a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2 adbc

Factorizando:

a2(c2 + d2)+ b2(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2,

obtenemos:

(a2 + b2) (c2 + d2) ≥ (ac + bd)2

Ejercicios propuestos 1. Si a < b < c, demuestra que:

a < 1 (a + b + c) < c

2. Si a ≥ 0 y b ≥ 0, demuestra que:

ab (a + b) ≤ a3 + b3

a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

3. Para todo valor de a, b y c, demuestra que se cumple: 4. Demuestra que a + b ≥ 2, para cualquier a, b > 0. a

Gráficamente,

n+1 n

–1

1,5

–2

0,5

1,3

–3

0,6

1,25

–4

0,75

1,2

–5

0,80

...

–6

...

n+1 n

2 1

–5

–4

–3

–2

–1

Luego, si n es entero positivo, se tendrá que:

Esto se puede también deducir algebraicamente dado que: n+1 = n + 1 =1+ 1 n n n n

Es decir n + 1 ∈ ( 1 , 2 ] , n ≥ 1 n

Cuando n es entero negativo, ocurre que:

1< n+1 ≤2 n

119 INECUACIONES

Situaciones características de desigualdades se producen al considerar sucesiones de números. Por ejemplo, considera la expresión algebraica n+1 n , con n entero distinto de cero. A medida que se consideran valores de n más y más grandes y valores de n más y más pequeños, ¿a qué valores tiende? ¿Cuáles son los intervalos en que se desarrolla? Para adquirir una noción de su comportamiento efectuemos primero una tabulación de n +n 1 para n entero.

UNIDAD 2

Intervalos en sucesiones

0≤ n+1 <1 Es decir:

n + 1 ∈ [ 0 , 1 ) , n ≤ –1 n

En síntesis: n+1 ∈[0,1)U(1,2] n

Representando ambos casos en la recta numérica

Luego:

para n entero positivo o negativo, en intervalos posibles para n +n 1 :

a< an+b ≤a+b

si n ≥ 1

a–b≤ an+b <a

si n ≤ –1

n+1 n

Aumentemos algo la complejidad de esta sucesión y consideremos: a n + b con n entero distinto de cero. n

En síntesis an + b ∈ [ a – b , a ) U ( a , a + b ] n

Representando en la recta numérica:

INECUACIONES

¿A qué tiende? ¿Cuáles son sus intervalos?

UNIDAD 2

120

a–b

an + b n

a+b

Siguiendo el mismo razonamiento anterior, tendrás: an+b = a+ b n n

Composiciones Los análisis de desigualdades pueden llevar a composiciones cada vez más complejas. Veamos algunos casos. an

Observa que otras variantes de esta desigualdad son: 1 1 a–n + an ≤ 2

a) Verifiquemos que 1 + a2n ≤ 2 para cualquier valor de a con n entero positivo. Si consideras que siempre se debe cumplir que: (an – 1)2 ≥ 0

a–n + an ≥ 2

Esto se obtiene simplemente al dividir por an el numerador y denominador de la fracción. b) Verifiquemos que:

( + ) ≥ 2 para a, b > 0, n entero positivo. a b

Tendrás que: a2n – 2 • an + 1 ≥ 0 De donde:

b a

En efecto, como ya sabes que el cuadrado de cualquier número es siempre positivo, considera entonces:

( ba –

1 + a2n ≥ 2 an Dado que 1 + a2n > 0, es posible dividir por este término, resultando que: 2an

1 ≥ 1 + a2n Dividiendo ambos miembros de la desigualdad por 2 obtendrás finalmente que: an ≤ 1 + a2n

1 2

si a > 0

b a

) ≥0 2

De donde:

( ba ) – 2 2

a b

•

b + a

Resultando: a + b ≥2 b a

( ba ) ≥ 0 2

Y ya que n es entero positivo:

( ba – ba ) ≥ 2 n

c) Verifiquemos que:

Si consideras que:

( ba – bc ) ≥ 0 2

Entonces, al desarrollar:

Resulta:

•

b + b2 ≥ 0 c2 c

a2 + b2 ≥ 2 a c c2 b2

Esta desigualdad se puede extender a potencias mayores, por ejemplo, si la elevas al cuadrado, tendrás: a4 + 2 a2 • b2 + b4 ≥ 4 a2 b4 b2 c2 c4 c2 a4 + 2 a2 + b4 ≥ 4 a2 b4 c4 c2 c2 a4 + b4 ≥ 2 a2 b4 c4 c2

Si vuelves a elevar al cuadrado, obtendrás: a8 + 2 a4 • b4 + b8 ≥ 4 a4 b4 c4 c8 b8 c4

De donde: a8 + b8 ≥ 2 a4 b8 c8 c4

Así podrás tener: a16 + b16 ≥ 2 a8 c8 c16 b16

En general: a2n + b2n ≥ 2 an , para n positivo. c2n b2n cn

Tabula para diferentes valores de a. a

1 a2

a2 + a12

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 2 3 4 5

100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0,25 0,16 0,09 0,04 0,01 0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 1 4 9 16 25

0,01 0,01 0,02 0,02 0,03 0,04 0,06 0,11 0,25 1,00 4,00 6,25 11,11 25,00 100,00 100,00 25,00 11,11 6,25 4,00 1,00 0,25 0,11 0,06 0,04

100,01 81,01 64,02 49,02 36,03 25,04 16,06 9,11 4,25 2,00 4,25 6,41 11,20 25,04 100,01 100,01 25,04 11,20 6,41 4,25 2,00 4,25 9,11 16,06 25,04

a2 + 12 a 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

UNIDAD 2

con b, c ≠ 0

121 INECUACIONES

a2 + b2 ≥ 2 a c b2 c2

a2 – 2 a b b2

d) Las planillas de MS Excel® permiten analizar desigualdades literales. Por ejemplo, consideremos el caso: a2 + 12 ≥ 2

Puedes observar que para los valores de a tabulados, resulta que: a2 + 12 ≥ 2. a

e) También, mediante las planillas MS Excel® se pueden analizar inecuaciones. Por ejemplo, considera el caso 2x – 1 ≥ x + 4. Tabulando ambos miembros para diferentes valores de x tendrás:

y 14

INECUACIONES

12 10 8 y=x+4

6 4

y = 2x – 1

122 UNIDAD 2

–2

–1

2x – 1

x+4

–2

–5

–1

–3

–1

–2 –4 –6

Puedes observar que cuando x = 5 ocurre que ambos miembros se igualan y que, por consiguiente, con x ≥ 5 se cumple la desigualdad señalada en la inecuación (la recta verde “sobrepasa” a la recta azul).

Ejercicios propuestos 1. Si a1, a2,..., an son reales positivos, demuestra que: a12 + a22 + ... + an2 ≥ (a1a2 + a1a3 +...+ an–1an) • 2. Demuestra que: 1 + 12 + 14 ≥ 1 + 12 + 13 n

2 n–1

Computación simbólica 1. Haciendo uso de un software de procesamiento algebraico, resuelve las siguientes inecuaciones: a) x + 1 ≤ 5

Ix – 3 I

b) 2x + 5 – I7 – xI > 3

I3x – 2I – 7 ≤ 1 I5x – 1I

Escribimos la inecuación considerada, tomando en cuenta que |a| (módulo de a o valor absoluto de a) se escribe en Maple® como abs(a), terminando la instrucción con “;” de modo que al pulsar Enter se genere la desigualdad en notación algebraica. A continuación resolvemos la inecuación con la instrucción solve(%), señalando con el símbolo % que lo que debe resolverse es la última expresión aparecida en pantalla.

Nota que Maple restó 3 en ambos miembros.

UNIDAD 2

Solución

Las soluciones obtenidas del modo descrito son respectivamente:

(

)

a) –∞, 7 U (4, +∞) 3

( 53 , +∞)

2. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 5x < 4 1≤ 2–x

3x + 1

Solución Escribimos ambas inecuaciones entre paréntesis de llaves separadas por una coma y agregamos el signo ; al ﬁnal de la instrucción para generar la versión del sistema de inecuaciones en notación algebraica. Resolvemos el sistema con la instrucción solve(%), seguido de ; como se aprecia en pantalla. El intervalo que resuelve el sistema de inecuaciones está dado por (– 13 , 1 ]. 4

( 274 , 376 ) U ( 10 , 8 ) 43 33

INECUACIONES

123

Síntesis de la Unidad EVALUACIÓN

Relaciones de orden en IR

UNIDAD 2

124

• Los números reales se pueden representar como una recta horizontal en la que arbitrariamente se marca un punto y se deﬁne como 0 (elemento neutro de la suma) y un punto a la derecha del 0 que representa al número 1 (elemento neutro del producto). 0

• Si a y b son dos puntos de la recta numérica, de modo que a está a la derecha de b, decimos que a es mayor que b y denotamos este hecho como a > b. a > b y b < a son expresiones equivalentes

Propiedades de las relaciones de orden • Para cualquier número real a, una y solo una de las siguientes aﬁrmaciones es verdadera: (i)

a>0

(ii)

a=0

(iii)

a<0

• Si a, b están en

y, si a > 0 y b > 0, entonces: a+b>0

• Si a, b están en

y, si a > 0 y b > 0, entonces: ab > 0

Desigualdades Propiedades de las desigualdades • Si a ambos miembros de una desigualdad le sumamos la misma cantidad, la relación de orden entre los miembros de la desigualdad se mantiene. Es decir,

• Al multiplicar ambos miembros de una desigualdad por –1, la relación de orden entre los miembros de la desigualdad se revierte, es decir, si a –b.

si a 0 entonces ak < bk

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Resolución de inecuaciones • Para resolver una inecuación, aislar la variable (x) en uno de los miembros dejando todo el resto (a) en el otro miembro.

• Algunas desigualdades pueden contener polinomios. Para resolverlas, usualmente las manipulamos de modo que uno de los miembros sea 0.

• La forma ﬁnal de la inecuación va a ser una de las siguientes: x>a

x≥a

x<a

x≤a

Inecuaciones con valores absolutos

x≤a

–a

125

x>a

–a

x≥a

–a

• Gráﬁcamente, |x| < a

–a < x < a

–a < x

x<a

|x| ≤ a

–a ≤ x ≤ a

–a ≤ x

|x| > a

(x < –a) v (x > a)

x < –a

|x| ≥ a

(x ≤ –a) v (x ≥ a)

x ≤ –a

SÍNTESIS

–a

UNIDAD 2

• Cuando se trata inecuaciones con valores absolutos la condición “y” se aplica cuando tenemos signos < ó ≤ y la condición “o” se aplica cuando tenemos signos > ó ≥.

Más ejercicios propuestos Desigualdades

EVALUACIÓN

1. Se quiere dividir el cuadrado de lado a de la figura mediante una paralela a uno de sus lados (como se indica), de manera que el área de la región A sea al menos, el triple del área de B. ¿Cuál es, en ese caso, la desigualdad que relaciona a con x?

UNIDAD 2

126

2. Determina la condición que debe cumplir x para que el terreno cuadrado de la figura quede dividido por el trazo rojo, en 2 regiones de manera tal que la superficie de la región triangular sea a lo sumo la mitad del área de la otra región. x x a

3. Considera el cuadrado ABCD de la figura y la familia de triángulos ABQ, donde Q se sitúa sobre cualquier punto del lado CD del mismo cuadrado. a) Demuestra que el perímetro P de dicha familia de triángulos satisface la condición: (1 + 5 )a ≤ P ≤ (2 + 2 )a donde a es la longitud del lado del cuadrado. b) ¿Qué puedes decir del área de dichos triángulos?

UNIDAD 2

127 EVALUACIÓN

4. Para evitar embotellamientos de tránsito, se decide abrir una calle que corta a un parque rectangular como el que se aprecia en la figura.

A X A

¿Cuál es la condición que debe cumplir el ancho x de la nueva calle para que el área ocupada por ella sea a lo sumo un 2% del área total del parque actual? (Para efectos de cálculo, el trazado de la calle puede considerarse como dos arcos de circunferencia con centro en el vértice del cuadrado.) 5. Max tiene un teléfono celular con un plan de $ 23.500 mensual que le permite hacer llamadas por hasta 300 minutos mensuales. La cuenta la paga a través del sistema PAC (Pago Automático de Cuentas) haciendo uso de su cuenta corriente bancaria. Si se pasa de los 300 minutos pactados, su cuenta sube en proporción al tiempo que se ha excedido del plan, pero como una medida de control ha autorizado a su banco para que pague la cuenta sólo si es inferior a 3 UF UF.

EVALUACIÓN

Si el pago mensual de su cuenta telefónica mediante el PAC es P, expresa la desigualdad que satiface P.

UNIDAD 2

128

6. En cierta localidad la “bajada de bandera” de los taxis es $ 500, valor que cubre los primeros 800 metros recorridos. Enseguida el taxímetro registra $ 300 cada 200 metros adicionales. Renata no recuerda exactamente cuánto pagó desde el aeropuerto a la empresa que fue a asesorar, pero sí recuerda que pagó con un billete de $ 5.000 y recibió vuelto. a) Si n es el número de veces que cambió el valor que indicaba el taxímetro durante el trayecto, ¿qué se puede afirmar de n? b) Si s es la distancia entre el aeropuerto y la empresa, ¿qué se puede afirmar de s?

Inecuaciones 1. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 3 < x – 7

b) 3x > 8

c) –7x + 5 < x + 1

d) 3 + 2(–3x + 1) > –5(x + 2) + 3

e) –2(–1,6 + 5,2x) > – 0,5x

f) –2x – 3x < –5

g) –5x – 3x + 1 < – 5

h) x + 7 – 2x > –5 – 2 – 8x

2. Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones, grafica la solución en la recta real y expresa la solución en notación de intervalos. b) –11 ≤ 3(x – 1) – 2 ≤ 16

a) 2x – 5 < 3 c) 1 < 3 – 2x ≤ 7

d) |3 – 2x| < 9

e) |3x – 1| > 11

f) 2 < |x – 1| < 5

g) (x + 3)(x – 4) ≥ 0

h) 3x2 – 2x – 6 < 2x2 – 6x – 1

i) x – 2 > 0

2x + 5

2x < 0 x2 + 5

3. Considera las siguientes inecuaciones y analiza los argumentos que en cada caso se entregan para resolverlas. Para cada inecuación determina cuál(es) argumento(s) es(son) verdadero(s) y cuál(es) falso(s) y encuentra la solución correcta. a) |x – 6| > 6. i. La desigualdad dada es equivalente a x – 6 < –6 ó x – 6 > 6. ii. Sumando 6 en todos los miembros de la cadena de desigualdades, x < 0 ó x > 12. b) |x – 5| < 8. i. La desigualdad equivale a afirmar que: –8 < x – 5 < 8. ii. “Moviendo” el término –5 a la derecha, –8 < x < 3.

i. Esta desigualdad es equivalente a: x – 8 ≥ 4. ii. “Pasando” el –8 a la derecha, x ≥ –4. d) |x – 6| ≥ 3. i. La desigualdad es equivalente a la condición: –3 ≥ x – 6 ≥ 3. ii. “Pasando” el –6 a los otros miembros, –9 ≤ x ≤ –3.

i. La desigualdad es equivalente a: –2 > x – 7 > 2. i.i. Sumando 7 a todos los miembros de la cadena de desigualdades, –9 > x > –5.

Desigualdades literales 1. Demuestra que si a > 0: a) a + 4 ≥ 4 a

(

)

b) a2 + 12 ≥ 2 a + 1 – 2

(

)

c) a2 + 12 ≥ 4 a + 1 – 6 a

d) Si a ≥ 1 entonces a + 3 – 12 ≥ 3 a

2. Demuestra que para números reales cualesquiera b y c, se cumple que b2 + c2 + 2 ≥ 2(b + c). Indicación: desarrolla (b – 1)2 + (c – 1)2

EVALUACIÓN

129

e) |x – 7| > 2.

UNIDAD 2

c) |x – 8| ≤ 4.

3. Un proyectil sigue una trayectoria parabólica dada por y = 5x – 4x2 y debe superar un obstáculo de altura h ubicado a una distancia a del punto de lanzamiento. Deduce la relación que deben satisfacer a y h para que se cumpla tal condición. y

EVALUACIÓN

UNIDAD 2

130

4. A Lorena le encargaron construir una bodega rectangular de 80 m2 de superficie con muros exteriores de ladrillo. La condición que le impusieron es que el costo no podía exceder cierta suma, lo que técnicamente se tradujo en que el perímetro del rectángulo no debía ser mayor que 40 m. Si a y b son los lados del rectángulo, ¿cuáles son las restricciones a las que están sometidos a y b por las condiciones dadas?

≤ N ≤ 5,54 entonces N se aproxima a 5,5. Alejandro obtuvo un 5,1 en el primer control y un 6,2 en el segundo. Encuentra el intervalo para la nota que debe obtener en el tercer control de modo de obtener un 5,5 de promedio.

2. Quieres invertir $ 3.000.000. Una parte de ello lo invertirás en una cuenta de ahorro estable con 5% de interés anual fijo.

4. Cierta aleación necesita contener entre un 46% y un 50% de cobre. Encuentra la menor y la mayor cantidad de aleación al 60% de cobre que debe mezclarse con una aleación al 40% de cobre para obtener 30 kg de la aleación que contenga la proporción adecuada de cobre.

El resto lo pondrás en el negocio familiar que se compromete a entregarte un 7% de interés anual. El monto obtenido anualmente lo vas a destinar a ayudar a un hogar de niños. Calcula la menor cantidad de dinero que debes invertir en el negocio familiar para obtener al menos $ 190.000 de interés.

3. En una carrera universitaria, para eximirse en biología es necesario que el promedio simple N = C1+C2+C3 3

de los tres controles (C1,C2,C3) del semestre sea igual o superior a 5,5. Como de costumbre, si 5,45

5. Resuelve: 3(x – 2) + 4 > 2(2x – 3)

6. Un DVD cuesta $ 6.500 y un CD $ 4.000. Una persona cuenta con $ 40.000. Escribe una desigualdad que indique cuántos CDs puede comprar si debe comprar un DVD. Encuentra el número máximo de CDs que puede comprar dadas esas condiciones.

131 EVALUACIÓN

1. La velocidad en metros por segundo (m/s) de un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba está dada por v = 80 – 32 t,, donde t se mide en segundos. ¿En qué intervalo de tiempo la velocidad estará entre 32 m/s y 64 m/s?

UNIDAD 2

Autoevaluación

Unidad

132

Más sobre

triángulos rectángulos

En una primera percepción, no puede ser sino sorprendente, que el legado intelectual de pensadores que vivieron hace decenas de siglos, como Euclides, Pitágoras de Samos y Tales de Mileto, siga aún vigente. Pero si se analiza con algo más de cuidado, las razones para que ello acontezca, son desbordantes. En el caso de Pitágoras, aunque la historia de su vida está plagada de misterio, lo que sí parece ser una certeza, es que hace más de 2.500 años fue el responsable de la primera edad de oro de la Matemática. Creó una hermandad secreta, en la que se estableció un culto por la Matemática, en particular por los números. Tal era la lealtad que le debían a la hermandad, que los miembros de la escuela estaban comprometidos, bajo juramento, a no divulgar al mundo exterior sus descubrimientos matemáticos. Los aportes de Pitágoras a la comprensión del mundo físico y del mundo abstracto fue amplia y profunda, pero es fundamentalmente gracias al teorema que lleva su nombre por lo cual ha alcanzado su fama.

Si bien es cierto que el teorema era utilizado por los chinos y los babilonios mil años antes, estas culturas solo habían logrado establecer la relación que verificaban los lados de los triángulos rectángulos en los cuales la ensayaban, pero no sabían que se trataba de una propiedad general de todo triángulo rectángulo. En este caso, la grandeza de Pitágoras radica en que lo demostró como un hecho de validez universal. Dado que el teorema de Pitágoras nos proporciona una relación que es válida para todos los triángulos rectángulos, se constituye por ello en la definición del ángulo recto. A su vez, el ángulo recto define la perpendicular y la perpendicular define las tres dimensiones (largo, ancho y alto) del espacio en el cual vivimos. Prolongando esta línea de razonamiento, puede afirmarse que la Matemática define, a través del triángulo rectángulo, la estructura íntima de nuestro mundo tridimensional.

Contenidos de la Unidad Triángulos rectángulos y trigonometría

Medición de ángulos • Unidades de medida de ángulos • Triángulos rectángulos • El teorema de Pitágoras • El teorema de Fermat • Semejanza de triángulos

• La trigonometría como geometría de cálculo • ¿Qué se puede hacer con la trigonometría? • Razones trigonométricas y funciones trigonométricas • Las funciones trigonométricas de ciertos ángulos especiales • Funciones trigonométricas inversas • El círculo unitario • Funciones trigonométricas del complemento de un ángulo

Aprendizajes esperados • Reconocerás que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes. • Harás conjeturas sobre propiedades geométricas en triángulos rectángulos semejantes y las demostrarás utilizando diversos recursos argumentativos.

• Resolverás problemas que involucran propiedades de triángulos rectángulos; analizarás las soluciones que se obtienen y su pertinencia. • Reconocerás el sentido y la necesidad de la demostración en Matemática y, en particular, conocerás la historia del teorema de Fermat-Wiles y los tríos pitagóricos.

133

Medición de ángulos Unidades de medida de ángulos El concepto de ángulo es central en Geometría y con frecuencia se utilizan los conceptos de igualdad, suma y diferencia de ángulos. Trataremos con cierto detalle los dos sistemas de medición de ángulos de uso más frecuente: los grados sexagesimales y los radianes.

Grados sexagesimales

134

El sistema de medición más familiar es el de los grados sexagesimales, y por tal razón les llamamos simplemente grados (aunque también existen los grados centesimales). Su definición operacional, en contraste con lo que podría ser una definición conceptual, consiste en dividir un círculo mediante sucesivos radios, en 360 partes iguales (a modo de delgados trozos de pizza). Cada uno de esos sectores circulares subtiende, por definición, un ángulo de 1 grado sexagesimal, que denotamos como 1°.

Ampliación

1º

Tamaño normal

90º

Por el momento, solo consideraremos ángulos entre 0° y 360°, aunque en las secciones dedicadas a funciones trigonométricas, usaremos ángulos mayores que 360° y también ángulos negativos. Minutos y segundos Los grados pueden a su vez subdividirse en minutos y los minutos en segundos. Cada vez es más inusual esta subdivisión y la tendencia actual es a usar grados y fracciones decimales de ellos. En todo caso, vale la pena tener presente que las equivalencias están dadas por: 1 grado = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos En notación simbólica: 1° = 60´ 1´ = 60´´ Entonces, a modo de ejemplo, un ángulo podría medir 8 grados con 24 minutos y 32 segundos, lo que se acostumbra a escribir simbólicamente como: 8°24´32´´. Sin embargo, como decíamos, es cada vez más universal trabajar con grados y décimas, centésimas, milésimas, etc. de grado, de tal manera que 9°30´ en notación tradicional, hoy se escribiría 9,5°. Como 1° = 60’ y 1’ = 60’’, entonces:

( 601 )° ’ ° 1” = ( 1 ) = ( 1 ) 60 3.600 1’ =

Entonces, lo que llamamos ángulo recto, es decir, el ángulo subtendido por un sector circular de un cuarto del círculo, mide 90° (la cuarta parte de 360º).

Ejercicios resueltos 1. Expresa en grados, minutos y segundos: a) 14,8°

b) 45,9°

c) 121,28°

d) 2,533°

Solución

a) Como 1° = 60’, entonces 0,8° = 0,8 • 60’ = 48’ ⇒ 14,8° = 14°48’ b) 0,9° = 0,9 • 60’ = 54’ ⇒ 45,9° = 45°54’

c) 121,28° = 121° + 0,28 • 60’ = 121° + 16,8’ = 121° + 16’ + 0,8 • 60’’ = 121° + 16’ + 48’’ ⇒ 121,28° = 121°16’48’’ d) 2,533° = 2° + 0,533 • 60’ = 2° + 31,98’ = 2° + 31’ + 0,98 • 60’’ = 2° + 31’ + 58,8’’ = 2°31’58,8’’ 2. Expresa en grados:

Solución

a) Como 1° = 60’ ⇒ 1’ =

c) 23°6’42’’

d) 57°14’21,3’’

( 601 )° ⇒ 20’ = 20 ( 601 )°, entonces 20’ = ( 13 )° = 0,3°

∴ 308°20’ = 308,3°

( 3360 )° = 0,55° ⇒ 142°33’ = 142,55°. c) Como 1’ = ( 1 )° ⇒ 6’ = ( 6 )°= ( 1 )°�= 0,1°. 60 10 60 1” = ( 1 )’ = ( 1 )° ⇒ 42” = ( 42 )° = 0,01016° ⇒ 23°6’42” = 23,11016° 3.600 3.600 60 b) Como 1° = 60’ ⇒ 33’ =

d) 57º14’21,3” = 57º + 14’ + 21,3” 14’ =

21,3 °= 0,005916º ( 1460 )°= 0,23º 21,3” = ( 3.600 )

Entonces, 57º14’21,3” = 57º + 0,23º + 0,005916º = 57,23925º

Ejercicios propuestos 1. Escribe en grados (con sus respectivas cifras decimales) los siguientes valores de ángulos dados en grados, minutos y segundos: a) 22°22’22” b) 46°39’59” c) 78°23’35,28” d) 3°7’12” 2. Transforma a grados, minutos y segundos los valores de los siguientes ángulos expresados en grados: a) 44,5° b) 44,55° d) 44,05° c) 44,5° 3. Calcula en grados, minutos y segundos el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 12:15. ¡Cuidado!, el resultado no es 90°, porque cuando el minutero ha avanzado 15 minutos, el horario también se ha desplazado algo. 4. ¿A qué hora entre las 6 y las 7, las manecillas del reloj forman un ángulo de 45°?

UNIDAD 3

b) 142°33’

135 TRIÁNGULOS

a) 308°20’

Radianes Así como arbitrariamente se decidió que un ángulo completo mide 360° sexagesimales, se define otra unidad de medida de ángulo, el radián, imponiendo que el ángulo completo mide 2π radianes. Esta elección parece aún más caprichosa que la anterior; sin embargo, como veremos, en algún sentido es más natural que los grados sexagesimales.

s Q

TRIÁNGULOS

Por otro lado, la longitud del arco subtendido por un ángulo de 0° es nula. Podemos entonces tabular y graficar la situación que hemos descrito:

136 UNIDAD 3

Proporcionalidad entre el ángulo del centro y el arco subtendido Como es posible deducir de la figura adjunta, si un ángulo del centro θ subtiende un arco de circunferencia s, entonces 2θ (es decir el doble del ángulo) subtiende un arco 2s. Del mismo modo, un ángulo 4θ subtenderá 4s y un ángulo 3 θ subtenderá un arco 3 s. 4

y Ángulo del centro

s arco subtendido

1 2θ

1 s 2

2θ

3θ

4θ

5θ

6θ

6s 5s 4s 3s 2s 1s

1 2s

1 1Q 2Q

El razonamiento anterior nos induce a afirmar que existe una proporcionalidad directa entre un ángulo del centro (θ) y el arco (s) que subtiende, es decir:

θ = ks Donde k es una constante de proporcionalidad.

¿Cuál es la longitud del arco que subtiende el ángulo completo? La respuesta es directa: es la longitud de la circunferencia. Si la circunferencia tiene radio R, entonces el arco subtendido por el ángulo completo es 2π R. Y ¿cuánto mide el ángulo completo? Depende de las unidades que se empleen. Si se trata de radianes, por definición el ángulo completo mide 2π rad. En este caso la relación de proporcionalidad se escribe: 2π = k • 2π • R ⇒ k = 1

En otras palabras

θ= s

o bien, s=Rθ Como puedes ver, si el ángulo del centro se expresa en radianes, la relación entre tal ángulo y el arco subtendido adopta una expresión particularmente simple, que solo contiene al ángulo del centro (θ), el arco (s) subtendido por θ y el radio (R) de la circunferencia considerada.

Solución

En general s = Rθ , siempre que θ esté expresado en radianes. Como debemos imponer en la expresión anterior que s = R, entonces se deduce que θ = 1 rad.

En otras palabras, 1 radián es el ángulo que subtiende un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

1 ra

Equivalencia entre grados y radianes La conversión de unidades entre grados sexagesimales y radianes, proviene de escribir en ambas unidades el ángulo completo, es decir: 360° = 2π rad ∴ 1 rad = 360º ≈ 57,3° 2π

Grados sexagesimales

Radianes

A la derecha elaboramos una tabla de equivalencias para algunos valores de ángulos especiales.

Frecuentemente, si no hay posibilidades de confusión, cuando un ángulo se expresa en radianes se omite la unidad, de modo que, por ejemplo, en vez de escribir π6 rad se escribe simplemente π6 .

120

π π

2 2π 3

180

270

3π 2

360

2π

137 TRIÁNGULOS

Considera una circunferencia de radio R. Encuentra la medida en radianes del ángulo del centro θ que subtiende un arco s igual al radio R de la circunferencia.

UNIDAD 3

Ejercicio resuelto

Ejercicios propuestos 1. Escribe en radianes los siguientes ángulos: a) 32º

b) 68,3º

c) 121º 40’

d) 18º 2’ 40”

2. Escribe en grados los siguientes ángulos expresados en radianes: a) 0,4

b) 3,28

c) 5,02

d) 0,26

TRIÁNGULOS

Triángulos rectángulos Propiedades de los triángulos rectángulos

Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos mide 90° (= π2 ).

Enunciaremos a continuación, algunas propiedades de los triángulos rectángulos, seleccionadas en virtud de la utilidad que nos prestarán en desarrollos sucesivos. Cuando su validez no es obvia, se consigna su demostración completa o se entregan algunas sugerencias que orientan su demostración.

Los lados de un triángulo rectángulo que son perpendiculares entre sí se llaman catetos. El tercer lado (opuesto al ángulo recto) se denomina hipotenusa.

UNIDAD 3

138

Descripción de un triángulo rectángulo

• Los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo son necesariamente agudos (La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. En consecuencia, la suma de los ángulos no rectos debe ser 90°).

C 90º

hipotenusa h

• El área A de un triángulo rectángulo se puede expresar como el semi producto de sus catetos c1 y c2, es decir: A = 1 c1 • c2 2

•

ACB = 90°

• BC y AC son los catetos c1 y c2 respectivamente; c1 ⊥ c2 • AB es la hipotenusa h

• Los lados de un triángulo rectángulo satisfacen la siguiente relación: c12 + c22 = h2 Esta relación es conocida como el teorema de Pitágoras, que analizaremos en la próxima sección.

• Cualquier ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto, de modo que el triángulo definido por el ángulo recto y el diámetro que subscribe es un triángulo rectángulo. En la figura los triángulos ABC y ABC’ son rectángulos en C y C’ respectivamente. • Recíprocamente, al inscribir un triángulo rectángulo en una circunferencia, el diámetro subtendido por el ángulo recto es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

C Cʼ

Simbólicamente, si a y b son las magnitudes de los catetos y c la magnitud de la hipotenusa, entonces: a2 + b2 = c2 Se le puede atribuir un significado geométrico a la relación anterior. Observando la figura adjunta, se puede apreciar que a2, b2 y c2, representan respectivamente las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados a, b y c.

Demostración 1 Consideremos el ∆ACB rectángulo en C (∆ verde en la figura) y situemos una copia de él ∆A´C´B´ (∆ amarillo en la figura) de modo que su cateto menor se alínee con el cateto mayor del ∆ACB y que A’ coincida con B (B ≡ A’) (en otras palabras, coloquemos el cateto b de la réplica de ∆ACB a continuación del cateto a del triángulo original). Tracemos la recta AB’. Queda definido así un trapecio ACC’B’ (porque AC // B’C’).

139 Cʼ

Aʼ B c

c A

Bʼ

Como ABC + B’A’C’ = 90° (¿por qué?), entonces ABB’ = 90°, es decir el ∆ABB’ es rectángulo. Calculemos el área S del trapecio ACC’B’ de dos maneras diferentes.

Demostraciones del teorema de Pitágoras Existen numerosas demostraciones de este teorema, que se ha convertido en un ícono de la geometría euclidiana y hay libros enteros dedicados a ellas.

S = Área del trapecio ACC’B’ = semi–suma de las bases por la altura: S = (a + b) • (a + b) 2

2 2 • S = a + b + 2a b

TRIÁNGULOS

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las magnitudes de los catetos es igual al cuadrado de la magnitud de la hipotenusa.

UNIDAD 3

El teorema de Pitágoras

Por otro lado, S = área ∆ACB + área ∆A’B’C’ + área ∆ABB’ y recordemos que el área de un triángulo rectángulo se puede calcular como la semi–suma del producto de sus catetos. Entonces: S= 1 a•b+ 1 a•b+ 1 c•c 2

S=a•b+ c

El triángulo BFC así construido es congruente con el triángulo ABE, ya que tienen dos lados correspondientes iguales (AB = BC = c y AE = BF = b por construcción) y el ángulo comprendido EAB = FBC = α, lo que demuestra que ∆ABE ≅ ∆BCF y en consecuencia el triángulo BCF es rectángulo en F.

Igualando las dos expresiones alternativas para S 2

•

⇒ a + b + 2a b = 2a b + c 2

•

b–a

•

TRIÁNGULOS

∴ a2 + b2 = c2

UNIDAD 3

140

Esto es lo que demuestra el teorema. Demostración 2 Sean a, b los catetos y c la hipotenusa del triángulo rectángulo que vamos a considerar. Construyamos un cuadrado ABCD de lado c como el de la figura. D

En forma análoga se completa la figura exhibida. Ahora vamos a hacer un poco de álgebra. El área del cuadrado ABCD es c2 y, por otro lado, es igual al área de los cuatro triángulos rectángulos congruentes que se han construido de acuerdo al procedimiento indicado, más el área del pequeño cuadrado EFGH que se forma al centro (de color blanco en la figura). El área de cada triángulo es a • b (semi producto 2 de sus catetos).

a + b + 2a b = a • b + c 2 2 2

AB = BC = CD = DA = c Sobre AB como hipotenusa construyamos el triángulo rectángulo original ABE.

El lado del cuadrado central es (b – a), por lo que su área es (b – a)2. Entonces, c2 = 4 a • b + (b – a)2 2

⇒ c2 = 2a b + b2 – 2a b + a2 •

Notemos que α + β = 90°, de modo que EBC = α. Prolonguemos ahora BE hasta F, de manera que BF sea igual a b y tracemos el segmento FC.

•

∴ c2 = a2 + b2 Esto es precisamente lo que se quería demostrar.

Ejercicio resuelto Calcula la distancia D a la que se encuentra el horizonte para un observador a una altura h. Obtén resultados numéricos para diferentes valores de h que digan relación con alturas de observación habituales (altura de un niño, de un adulto, de una torre, de un cerro).

Solución Tracemos la tangente desde V (el ojo del observador) a la circunferencia (que representa un corte diametral de la Tierra). Llamemos H al punto de tangencia; el triángulo OVH es rectángulo (¿por qué?) y su hipotenusa es OV; OP = OH = R es el radio de la Tierra. La magnitud D del cateto VH representa la distancia a la cual se encuentra el horizonte para el observador en V. V

En virtud del teorema de Pitágoras:

(VH)2 + (OH)2 = (OV)2 H

⇒ D2 + R2 = (R + h)2

⇒ D2 + R2 = R2 + 2Rh + h2

⇒ D2 = 2Rh + h2

∴ D = 2Rh + h2

La última expresión para D es exacta, sin embargo como veriﬁcaremos enseguida, en la cantidad subradical, el aporte de h2 puede ser, al menos para cierto rango de valores de h, despreciado frente al valor de 2Rh, de manera que la expresión que conviene utilizar para ﬁnes prácticos es: D ≈ 2 Rh = 2R h R es el radio de la Tierra y es aproximadamente 6.378 km (en el Ecuador) es decir 6,378 • 106 (m) de modo que: D ≈ 2 • 6,378 • 106 •

h (m)

D = 12,756 • 103 h (m) ≈ 3,57 • 103 h (m) En esta última expresión si expresamos h en metros, obtendremos D en metros. Si queremos expresar D en kilómetros, debemos dividir el resultado por 103, de manera que: D ≈ 3,57 ¡Siempre que h lo expresemos en metros!

h (km) ,

UNIDAD 3

141 TRIÁNGULOS

Para mostrar la ventaja de usar la expresión aproximada hagamos una tabla para algunos de los valores de h que podemos considerar interesantes desde el punto de vista de las aplicaciones que nos interesan. Consideremos los distintos valores que asumen los términos involucrados en la expresión de D para h variando entre 1m (la altura de un niño) hasta 100 m (la altura de un ediﬁcio de 30 pisos, aproximadamente). Hemos incluido el cálculo para h = 1.000 m (la altura de una cumbre montañosa), pues, como se verá, recién para valores como ese pueden detectarse algunas diferencias menores entre los resultados entregados por la fórmula exacta y la otra aproximada.

TRIÁNGULOS

Como dijimos usaremos R = 6.378 km y expresaremos D hasta las milésimas

UNIDAD 3

142

D (exacto)

D (aproximado)

h (m)

2Rh (m2)

h2 (m2)

(2Rh+h2)1/2 (km)

(2Rh)1/2 (km)

12.756.000

3,572

3.572

25.512.000

5,051

5.051

63.780.000

7,986

7.986

127.560.000

100

11,294

11.294

255.120.000

400

15,972

15.972

382.680.000

900

19,562

19.562

510.240.000

1.600

22,589

22.588

637.800.000

2.500

25,255

25.255

100

1.275.600.000

10.000

35,716

35.716

1.000

12.756.000.000

1.000.000

112,947

112,942

Podemos observar, que para todos los ﬁnes prácticos, es suﬁciente (y conveniente) utilizar, para calcular la distancia al horizonte, la expresión: D ≈ 3,6

h (km)

en la cual h, la altura del observador sobre el nivel de la Tierra, debe expresarse en metros.

3. Las dimensiones de la caja cerrada de un camión de carga son 10 m, 3 m y 4 m. Calcula la máxima longitud que puede tener un tubo rígido de modo que quepa dentro de ella. D

4. El polígono ABCDEF es un hexágono regular de lado 4 cm. Calcula la longitud de las diagonales AC y AD.

UNIDAD 3

Tríos pitagóricos Es conocido el hecho de que los números 3, 4 y 5 constituyen lo que se llama un trío pitagórico. Tal denominación se debe a que satisfacen entre ellos, la misma relación que satisfacen los catetos (a, b) y la hipotenusa (c) de un triángulo rectángulo, vale decir, la definida por el teorema de Pitágoras:

Esta propiedad es frecuentemente utilizada por los trabajadores de construcción, de una manera muy simple pero ingeniosa, para definir los ángulos rectos que normalmente deben formar dos muros que se encuentran.

90º

a2 + b2 = c2 En este caso 32 + 42 = 52 , ya que 9 + 16 = 25, efectivamente.

El trío 3, 4, 5 y la construcción de ángulos rectos Recíprocamente, si los lados de un triángulo rectángulo miden 3, 4 y 5 (en unidades arbitrarias), entonces el triángulo en cuestión es rectángulo y el ángulo recto es el que forman los lados de longitudes 3 y 4.

Uno de los procedimientos es el siguiente: En el lugar (A) donde los muros se van a encontrar clavan una estaca en el suelo y ese punto define el vértice del ángulo recto. A continuación amarran a la estaca una lienza que tiene nudos a intervalos regulares pero arbitrarios (ver figura) y la mantienen tensa en la dirección de uno de los muros que quieren levantar. En la posición del cuarto nudo entierran otra estaca B.

TRIÁNGULOS

143

Enseguida, tensan la cuerda («a ojo») en una dirección aproximadamente perpendicular a la elegida en el paso anterior y colocan una estaca C en el tercer nudo. B

Si por el contrario, el quinto nudo sobrepasa a B, el ángulo CAB es menor que 90° y la estaca C se debe alejar de B (como indica la flecha roja). 6

< 90º

1 3 2

2 1

C 3

TRIÁNGULOS

4 5 6

Tensan ahora la cuerda entre B y C. Si el quinto nudo coincide con B, entonces el ángulo CAB es recto. A

UNIDAD 3

144

90º

62 + 82 = 36 + 64 = 100

102 = 100

De modo que efectivamente 62 + 82 = 102 lo que muestra que el trío 6, 8, 10 es pitagórico.

2 1

Si el quinto nudo no alcanza a llegar a B, el ángulo CAB es mayor que 90° y es necesario corregir la posición de la estaca C (como indica la flecha roja). B

A > 90º

5 4 3 2

1 C

Otros tríos pitagóricos Es fácil darse cuenta de que si multiplicamos cada número del trío pitagórico 3, 4, 5 por un mismo número entero k cualquiera, el resultado será otro trío pitagórico. Por ejemplo, si los multiplicamos por 2, obtenemos el trío 6, 8, 10 que podemos verificar si es pitagórico o no:

La propiedad anterior se puede demostrar en general y es lo que haremos en el ejercicio siguiente.

Ejercicio resuelto Demuestra que si multiplicamos por cualquier factor entero k los números del trío pitagórico 3, 4, 5 se obtiene otro trío pitagórico.

Solución Los números enteros 3, 4, 5 constituyen un trío pitagórico porque: 32 + 42 = 52 Consideremos entonces el trío 3k, 4k, 5k. Si este trío efectivamente es pitagórico, entonces debe cumplirse que: (3k)2 + (4k)2 = (5k)2 Desarrollemos el primer miembro de la última igualdad: (3k)2 + (4k)2 = 32k2 + 42k2 = (32 + 42)k2 Pero, 32 + 42 = 52 De modo que: (32 + 42)k2 = 52k2 o sea que, (3k)2 + (4k)2 = (5k)2

De manera análoga al procedimiento del ejercicio anterior se puede demostrar que si a, b, c son tres enteros que forman un trío pitagórico, es decir si: a2 + b2 = c2, entonces ka, kb y kc también constituyen un trío pitagórico, es decir (ka)2 + (kb)2 = (kc)2. Demostración Desarrollemos (ka)2 + (kb)2:

Otras familias de tríos pitagóricos Pero ¿es la de la tabla la única familia de tríos pitagóricos? No, realmente existen infinitas familias de tríos pitagóricos. Por ejemplo, no es difícil demostrar que si x > y > 0 son números naturales, entonces los números a, b y c definidos por: a = x2 – y2

(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2 (a2 + b2)

b = 2xy c = x2 + y2

pero, a2 + b2 = c2 ⇒ (ka)2 + (kb)2 = k2c2 (ka)2 + (kb)2 = (kc)2 lo que demuestra que ka, kb y kc constituyen un trío pitagórico. Lo que se ha mostrado es que cada trío pitagórico da origen a una familia infinita de tríos pitagóricos. La familia pitagórica del trío 3, 4, 5 aparece en la tabla que sigue: k

forman un trío pitagórico. Analicemos el caso en que x = 4 e y = 1 En ese caso: a = 42 – 12 = 15 b=2•4•1=8 c = 42 + 12 = 17 152 = 225 82 = 64

⇒ 152 + 82 = 225 + 64 = 289

172 = 289 Vemos entonces que efectivamente 15, 8, 17 es un trío pitagórico.

145 TRIÁNGULOS

Familias de tríos pitagóricos

UNIDAD 3

Lo que demuestra que efectivamente 3k, 4k, 5k es un trío pitagórico.

El teorema de Fermat

TRIÁNGULOS

Problemas de joven

UNIDAD 3

146

En 1963, cuando Andrew Wiles tenía 10 años, ya había desarrollado su fascinación por la Matemática y frecuentaba la pequeña biblioteca de su barrio, en busca de libros con numerosos problemas de ingenio y puzzles matemáticos, que (normalmente) traían las soluciones al final. En una ocasión, Andrew se interesó por un libro que contenía sólo un problema, pero que esta vez no traía su solución, ni siquiera indicaciones para llegar a ella. El libro se llamaba El Último Problema y su autor era Eric Temple Bell. El problema en cuestión databa de la antigüedad griega, pero su formulación había alcanzado la madurez sólo durante el siglo XVII, cuando el matemático francés Pierre de Fermat lo planteó, inadvertidamente, como un desafío para el mundo matemático.

Fácil de entender, difícil de probar Se trataba, como pocas veces suele acontecer, de un problema aún sin resolver, pero que podía ser planteado en términos muy simples, tan simples como para ser comprendido a cabalidad por un muchacho de diez años. Así como existen los tríos pitagóricos, es decir tres números enteros a, b, c tales que a2 + b2 = c2, uno puede preguntarse si existen tres números enteros p, q, r tales que p3 + q3 = r3. Y más aún, puede preguntarse qué sucede para exponentes enteros mayores que 3, como 4, 5, 6, etc. O, planteado en términos generales, la pregunta que uno se formula es si existen números enteros x, y, z tales que xn + yn = zn para algún exponente entero n.

¿Juez o matemático? Pierre de Fermat nació el 20 de Agosto de 1601 al sudoeste de Francia y debido principalmente a presiones familiares, dedicó su vida al servicio público, siendo designado en 1631, consejero del Parlamento de Toulouse, labor que incluía entre otras tareas la de interceder en disputas judiciales. Dedicaba todo su tiempo libre a la Matemática,

pero era tan brillante que se le conocía como el “Príncipe de los Aficionados”, título que realmente subestima su genio, comparable, en todos los aspectos, al de cualquier profesional talentoso de la disciplina. Las publicaciones y el reconocimiento no tePierre de Fermat nían importancia para Fermat, quien quedaba satisfecho con crear nuevos teoremas sin ser perturbado. Mientras estudiaba el Libro 2 del clásico Arithmetica de Diofanto, elaboró una serie de observaciones, problemas y soluciones relativas al teorema de Pitágoras y a los tríos pitagóricos. Súbitamente en un momento de genialidad que lo inmortalizaría, creó una ecuación, similar a la de Pitágoras, pero que no tenía soluciones.

Un mensaje enigmático que genera 350 años de estudio Al margen de la obra que estaba leyendo escribió en latín, lo que se traduce a continuación: Es imposible escribir un cubo como la suma de dos cubos o una potencia cuarta como la suma de dos potencias cuartas, o en general, cualquier potencia superior a la segunda escribirla como la suma de dos potencias del mismo orden. Tengo una demostración realmente maravillosa de esta proposición, pero este margen es demasiado angosto como para contenerla. Una demostración más del desdén y la indolencia con que Fermat trataba estas materias: no se tomó la molestia de comentar la demostración con otras personas, ni de dejar el manuscrito en el cual supuestamente la desarrolló. Esta conjetura sería posteriormente llamada el “Último Teorema de Fermat” y mantuvo la atención y preocupación, por más de 350 años, de numerosos y destacadísimos matemáticos.

Matemáticos de izquierda a derecha: Leonhard Euler, Friedrich Gauss y Pierre de Fermat.

Un momento histórico Todo lo anterior condujo a que Andrew Wiles expusiera el 23 de Junio de 1993, en Cambridge, la que ha sido considerada la conferencia de Matemática más importante del siglo XX. Asistían 200 matemáticos, pero solo la cuarta parte de ellos entendía a cabalidad la forma y el fondo de la densidad de las expresiones desplegadas en el pizarrón. Después de siete años de intensa labor y de treinta años de soñar con encontrar la solución, Wiles estaba en condiciones de mostrarle al mundo su demostración. Fue una serie de tres conferencias, con un título tan vago que no permitía sospechar de qué se trataba,

El arbitraje Los resultados de una investigación científica no son aceptados plenamente, sino hasta que son publicados en revistas especializadas, una vez que han sido sometidos al escrutinio de un panel de árbitros. Posteriormente los trabajos publicados quedan expuestos a la crítica de la comunidad científica que le adjudica el sello de calidad definitivo, cuando corresponde. La demostración de Wiles, extensa y compleja, suscitó una serie de dudas a los árbitros, quienes solicitaron al autor las correspondientes aclaraciones, que fueron satisfechas una a una. Pero, una de las preguntas que parecía sencilla, se convirtió en un serio obstáculo que parecía insalvable y echaba por tierra la demostración. Tal dificultad produjo una demora en la publicación, lo que a nivel de la comunidad científica fue interpretado –justamente– como que se habían detectado errores. Abatido y después de desesperados y reiterados intentos por resolver la falla de la demostración, Wiles retomó una estrategia que había abandonado hacía algunos años a favor de otra que le había parecido más confiable. Fue gracias a ella, que finalmente pudo reparar los errores lo que condujo a que la demostración apareciera, ahora sin errores, en mayo de 1995 en la revista Annals of Mathematics.

UNIDAD 3

Para una persona promedio, el hecho de que los más grandes matemáticos contemporáneos hayan acometido sin éxito la tarea de demostrar la conjetura de Fermat, sería razón suficiente para no emprenderla. No era el caso de Wiles, que decidió aprender de los logros y los errores de sus brillantes colegas y al mismo tiempo adiestrarse en las técnicas más sofisticadas de la Matemática del siglo XX, para abordar una empresa gigantesca. Wiles armó una elaborada combinación de lo que había aprendido en su trabajo de tesis de graduación sobre ecuaciones elípticas, el estudio de formas modulares y de la crucial conjetura de Taniyama y Shimura, las estrategias elaboradas siglos atrás por Evariste Galois y sus descubrimientos sobre teoría de grupos, el método de Kovalgyn-Flach, los éxitos y errores cometidos por famosos matemáticos que incursionaron en el tema con distinta intensidad y en diferentes épocas, tales como Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Sophie Germain, Gabriel Lamé, Augustin Cauchy, Ernst Kummer, entre otros.

aunque los rumores se iban haciendo cada vez más persistentes. En la última de ellas la sala estaba atestada de gente y algunos habían quedado en los pasillos. Estaba la prensa y los colegas de Wiles con cámaras fotográficas, esperando lo que podía convertirse en un momento histórico. Cuando finalmente, después de llenar tres grandes pizarras, Andrew Wiles estableció la demostración del teorema de Fermat y dijo «pienso que me voy a Andrew Wiles detener aquí», se produjo un silencio profundo y ceremonioso y enseguida un estruendoso aplauso. Rápidamente la noticia se esparció por el mundo a través del correo electrónico y al día siguiente ya fue objeto de la prensa escrita, la radio y la televisión.

147 TRIÁNGULOS

Hacia la demostración

Semejanza de triángulos Definición

C F

Dos triángulos se dicen semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados correspondientes proporcionales. En lenguaje simbólico: A

∆ABC ~ ∆ DEF Se cumplen, entonces, todas las condiciones siguientes:

TRIÁNGULOS

1º

A= D B= E C= F

2º

AB = BC = CA DE EF FD F

148 UNIDAD 3

Como C = F, entonces las rectas AC y DF son paralelas, lo cual a su vez quiere decir A = D (ángulos correspondientes entre paralelas). Vemos entonces que todas las condiciones 1º son satisfechas. De acuerdo al teorema de Tales relativo a la proporcionalidad de trazos en dos transversales atravesadas por rectas paralelas, los lados de ambos triángulos son proporcionales. En consecuencia, también se cumplen las condiciones 2º, lo que demuestra que los triángulos son semejantes. Teorema LLL (Lado Lado Lado) Dos triángulos que tienen los tres lados correspondientes proporcionales son semejantes.

B=E

Teoremas de semejanza

Demostración

Teorema AA (Ángulo Ángulo) Dos triángulos que tienen dos de sus ángulos correspondientes iguales son semejantes. Demostración

En este caso tenemos que, llamando k a la razón en que se encuentran los lados correspondientes:

Traslademos rígidamente el triángulo DEF de forma tal que coincidan los lados del ángulo B con los lados del ángulo E.

AB = BC = CA = k DE EF FD

Copiemos sobre AB el lado DE del triángulo DEF y tracemos por E una paralela al lado CB que intersecta a AC en G (ver la figura en página siguiente).

Traslademos rígidamente el ∆DEF de modo que el D coincida con el A, como se indica en la figura.

C G

C F

En tal caso, E = B y G = C (correspondientes entre paralelas), de modo que, en virtud del Teorema AA, ∆AEG ~ ∆ABC. Entonces los lados correspondientes son proporcionales y, como por construcción:

A=D

Puesto que AB = CA = k , DE FD

Entonces,

F= C

E= B

En consecuencia, en virtud del Teorema AA, los triángulos ABC y DEF son semejantes.

BC = CA = k , EG GD

Lo cual indica que EG = EF y que GA = FA.

Los teoremas de Euclides

En otras palabras, ∆DEG ≅ ∆DEF, por lo cual los triángulos ABC y DEF son semejantes. Teorema LAL (Lado Ángulo Lado) Dos triángulos que tienen un ángulo correspondiente igual y los lados del ángulo son correspondientemente proporcionales, son semejantes.

Consideremos el triángulo ABC rectángulo en C y llamemos α y β los ángulos en A y B respectivamente. Dado que el triángulo ABC es rectángulo, entonces β = 90° – α. Tracemos la altura h desde el vértice C al lado AB = c determinando sobre AB el punto M. C

Demostración En este caso, A = D

B b

AB = CA = k DE FD F

D C

A A a

BB q

M c

Podemos afirmar que ACM = CBM = β dado que son ángulos de lados respectivamente ortogonales: • AC ⊥ BC (porque ∆ABC es rectángulo en C) • CM ⊥ BM (porque CM es altura)

Análogamente

CAM =

BCM = α

UNIDAD 3

De acuerdo al teorema de Tales, FE y CB deben ser paralelos, de modo que:

AB = k DE

149 TRIÁNGULOS

A=D

Los triángulos ABC, AMC y MBC son todos rectángulos y en cada caso los otros dos ángulos son α y β. Es decir, los tres triángulos considerados tienen sus ángulos correspondientes iguales. Consecuentemente, los tres triángulos son semejantes entre sí: ∆ ABC ~ ∆ AMC ~ ∆ MBC

El teorema de Euclides y la construcción de 2 Usando el teorema de Euclides, que establece que h2 = p • q, es posible construir trazos cuya longitud es 2 veces la longitud de cualquier otro trazo. Consideremos un trazo AM de longitud 1 en unidades arbitrarias. 1

TRIÁNGULOS

La correspondencia entre los lados se exhibe en la siguiente tabla:

UNIDAD 3

150

Lado

∆ ABC

∆ AMC

∆ MBC

Cateto mayor

Cateto menor

Hipotenusa

Extendamos el trazo AM hasta Q, de modo que MQ tenga longitud 2 en las mismas unidades. Esto se puede hacer extendiendo el trazo AM más allá de M y con un compás construimos una circunferencia con centro en M y radio 1 que determina sobre la extensión un punto Q.

Observando la tabla, se pueden establecer entonces las siguientes proporciones: a = q = h b h p

b = h = p c a b

Hemos destacado con color las relaciones que corresponden a los teoremas de Euclides relativos a las proporcionalidades en los triángulos rectángulos. La primera expresión destacada es: q = h ∴ h2 = p • q h

a = q = h c a b

Por construcción AM = MQ = 1. Repetimos el proceso, esta vez con centro en Q, determinando el punto B, es decir MQ = QM = 1, de modo que AB = 3.

∴

a2 = q • c

Con centro en O (punto medio de AB), tracemos una semicircunferencia de radio OA = 1,5 (es decir, que pasa por A y por B).

Si combinamos la segunda y tercera expresión destacadas en azul, podemos obtener una demostración alternativa del teorema de Pitágoras. En efecto: a2 = q • c b2 = p • c

b2 = p • c

Y la tercera es: a = q c a

La segunda proporción es: b = p c b

⇒

a2 + b2 = q • c + p • c = (q + p) • c ∴ a2 + b2 = c2

1,5 A

Levantemos en M una perpendicular a AB que intersecta a la circunferencia en C y adoptemos la siguiente notación: C AM = q MB = p MC = h A

M 1

O 2

Dibujemos el triángulo ABC, que resulta ser rectángulo pues el ABC es inscrito en una semicircunferencia.

Por construcción, en este caso p = 2 y q = 1. De acuerdo a uno de los teoremas de Euclides h2 = p • q; en este caso h2 = 2 • 1 ⇒ h = 2 , es decir, la magnitud de h es 2 veces la magnitud del trazo inicial AM. ¿Y qué se puede decir de los catetos AC y BC? En virtud de los otros teoremas enunciados:

Generalización En general si en un triángulo rectángulo q = 1 y p arbitrario, entonces: h= p

a = p2 + p

1+p

C 1+p

a2 = q • c ⇒ a2 = 1 • 3 ∴ a = 3

b =p•c⇒b =2•3∴b= 6 2

p2 + p

p O

UNIDAD 3

Ejercicios resueltos 1. Construir un trazo de 5 cm de longitud. D

Solución Dibujemos un trazo AB (que denotamos por q) de 1 cm de longitud y a continuación el trazo BC (que denotamos por p) de 5 cm de longitud como indica la ﬁgura. Con centro en O, punto medio de AC, tracemos la semicircunferencia de radio AC .

151 h = 5 cm

q = 1 cm

p = 5 cm

Levantemos en B una perpendicular a AC que intersecta a la semicircunferencia en D. El triángulo ACD es rectángulo en D y AC (el diámetro de la circunferencia) es su hipotenusa. BD = h es una altura del triángulo considerado. En virtud del teorema de Euclides que establece que h2 = p • q, podemos aﬁrmar en este caso que h2 = 5 • 1 cm2, de lo cual se deduce que h = 5 cm, que era lo que se buscaba construir. 2. Un triángulo tiene lados cuyas magnitudes en centímetros son 5, 12 y 13. Encuentra la magnitud de C la altura perpendicular al lado mayor.

Solución

b = 12 cm

En primer lugar, observamos que el triángulo dado es rectángulo, ya que 5, 12 y 13 son un trío pitagórico, puesto que: A

Es decir, 52 + 122 = 132

52 + 122 = 25 + 144 = 169

p c = 13 cm

Dado que el triángulo considerado es rectángulo, podemos usar los teoremas de Euclides: a2 = p • c ⇒ p = a

b2 = q • c ⇒ q = b

2 h2 = p • q = a 2b ⇒ h = a • b

• h = 5 12 cm ∴ h ≈ 4,62 cm

2 •

a = 5 cm

TRIÁNGULOS

Diseño de rampas de acceso a edificios

TRIÁNGULOS

Hace algunos años se implantó en Chile la normativa respecto de que los edificios públicos deben disponer en sus accesos de medios apropiados para los discapacitados. Por ello, se tomó la decisión de instalar rampas de acceso, como alternativa a las escaleras. Para que estas rampas sean útiles es necesario que el ángulo respecto del piso sea suficientemente pequeño para que facilite subir. Un joven emprendedor decidió fabricar tales rampas para edificios, y procedió a calcular el largo de las rampas para diferentes alturas, considerando que el ángulo que forma la base y el lado de la altura es recto.

Diseño de envases Un tipo de envase usado para líquidos (leche, jugos y otros) es el de una pirámide. Diseñemos un envase piramidal de base triangular que tenga todos sus lados iguales (c) como el que se muestra en la figura. Esto es un tetraedro. c c c

c h

Sean:

152 h: altura del acceso a un cierto edificio.

UNIDAD 3

Realiza los mismos cálculos ahora para un ángulo de 10º. ¿Cómo se modifican los valores de longitud de la rampa y elespacio que ocupa en la vereda? ¿Qué debe hacerse cuando d es muy grande y obstaculiza el tránsito de los peatones en la vereda?

d: espacio de la vereda a ocupar por la rampa. c: longitud de la rampa Entonces, considerando la razón trigonométrica d= h senα = h d senα Aplicando Pitágoras:

60o

60o 60o

60o

60o 60o

60o

c2 = h2+d2

Considerando un ángulo de 15º característico para estos fines y usando una calculadora electrónica tendremos: sen 15º = 0,2588 Usando las formulas señaladas anteriormente tendrás los resultados que se muestran en la tabla siguiente: Altura h (cm.)

Si separamos cada lado de la pirámide y lo proyectamos en un plano obtendremos la siguiente figura (por simplicidad, no mostramos las lengüetas de unión) c c

Espacio acceso d (cm.)

Longitud rampa c (cm.)

115,9

119,7

154,5

159,6

193,2

199,6

231,8

239,5

Tenemos entonces un triángulo equilátero de lado 2c que incluye cuatro triángulos equiláteros equivalentes de lado c. ¿Cuál es la superficie A de cartón necesaria para producir el envase? A = 1 (2c) h

Calculemos el área A:

h 2c c

c 2c

La altura h del triángulo equilátero resulta de aplicar Pitágoras a uno de los triángulos rectángulos internos: (2c)2 = c2 + h2 h= 3c

Entonces, con la lámina de cartón ¿cuántos litros de líquido se puede envasar? Para calcularlo, expresemos el volumen de un envase piramidal en función de su lado. c

A = 1 (2c) • 3 c 2

∴ A=

3 c2

El cartón es vendido en láminas de a centímetros de ancho por b centímetros de largo. ¿Cuántas envases piramidales de lado c (tetraedros) se pueden obtener con una lámina?: Representemos cada base (triángulo de lado 2c) en la lámina ab en la siguiente figura: b 2c 2c

2c 2 3c

2 3c

El número de bases triangulares de lado 2c que caben en el ancho a de la lámina es a y en el 2c largo es b . 2 3c Sea n el número de bases de área A que caben en la lámina (ocupando las longitudes a’ y b’ respectivamente). Entonces el área ocupada de la lámina de cartón será: Ao = nA Ao = n 3 c2 La superficie de cartón desaprovechada será: Ap = ab – n 3 c2 ¿Qué pasa cuando a y b son múltiplos exactos de 2c y de 2 3 c respectivamente ?

H c Ab

c 1 (área de la base) (altura) V= 3

3 Aplicando Pitágoras a una cara de la pirámide tendrás que el área de la base es: Ab =

3 c2 4

153

Asimismo, aplicando el teorema de Pitágoras obtendrás la altura H de la pirámide, lo que será: H=

2 c 3

Entonces, el volumen será: V = 1 3

UNIDAD 3

Entonces el área es:

3 c2 4

2 c 3

2 c3 12

Entonces el volumen total posible de envasar en la lámina es de: Vt = nV = 2 nc3 12

Observa que el volumen total posible de envasar es mayor en la medida que c es mayor. ¿A que se debe esto? A que los envases más grandes ocupan menos material por volumen envasado. Compruébalo.

TRIÁNGULOS

de donde resulta:

Estos envases están concebidos para el consumo personal. Por consiguiente, los volúmenes son pequeños, por ejemplo 200 cm3. Llamemos V al volumen del líquido contenido en un envase y considerémoslo aproximadamente igual al volumen de la pirámide.

Triángulos rectángulos

y trigonometría

La trigonometría como geometría de cálculo La trigonometría se inició como la herramienta de cálculo de la geometría. A modo de ejemplo, la geometría establece que un triángulo queda definido si se conocen un lado y dos ángulos. La trigonometría provee los métodos para calcular los otros dos lados.

¿Qué se puede hacer con la trigonometría?

154

Históricamente, la trigonometría se desarrolló como una herramienta de la Astronomía y de la Geografía, pero durante siglos, ha sido usada por científicos e ingenieros para variados propósitos. Dentro de la Matemática, se utiliza con frecuencia en Cálculo, pero también en Álgebra Lineal (el estudio de los vectores) y Estadística. Dado que las disciplinas aludidas tienen aplicaciones tanto en las Ciencias Naturales como en las Ciencias Sociales, puedes darte cuenta que conviene adquirir alguna destreza y familiaridad con la trigonometría.

evolucionado, la trigonometría sigue siendo útil en ese campo. Como la Tierra también es prácticamente esférica, la trigonometría ha tenido aplicaciones en geografía y navegación. Ptolomeo (100 – 178) utilizó la trigonometría en su obra Geografía y usó tablas trigonométricas en sus trabajos de investigación. El propio Cristóbal Colón, llevaba consigo en sus viajes al Nuevo Mundo una copia de la obra Ephemerides Astronomicae Astronomicae, de Regiomontano para hacer uso de ella.

La trigonometría en la Astronomía y la Geografía

La trigonometría en la Ingeniería y la Física

Durante dos mil años, se elaboraron tablas trigonométricas cada vez más completas y precisas con el propósito de hacer cálculos en Astronomía. Como antiguamente se pensaba que las estrellas estaban fijas en una esfera de cristal de gran tamaño (solo los planetas, el Sol y la Luna tenían movimiento) se utilizaba una trigonometría adecuada para entender las posiciones de las estrellas sobre una esfera, que se llamó Trigonometría esférica. A pesar que los conceptos en Astronomía han

Aunque originalmente la trigonometría se aplicó a las esferas, ha tenido aplicaciones fundamentales en espacios planos. Los agrimensores han hecho uso de ella durante siglos, como también los ingenieros tanto civiles como militares. Los requerimientos de la Física son frecuentes, tanto a nivel de Física clásica, como es el caso de Óptica, Estática y Dinámica, como en investigaciones contemporáneas en Relatividad General o Materia Condensada.

Razones trigonométricas y Funciones trigonométricas

Propiedades de las funciones trigonométricas

1. De las definiciones anteriores, es directo comprobar que:

Dado que vamos a centrar nuestra atención en el ángulo α, al lado AC lo llamaremos cateto adyacente y al lado CB cateto opuesto y los designaremos por cA y cO respectivamente. La hipotenusa AB la designaremos por h. Las razones trigonométricas corresponden a razones entre los lados de un triangulo rectángulo. Las funciones trigonométricas corresponden a extensiones de las razones trigonométricas para valores de ángulos en un dominio más amplio que los de un triangulo (los valores en el dominio de una función trigonométrica puede ser cualquier número real, medido en radianes).

Seno de un ángulo Definiremos el seno del ángulo α en el triángulo rectángulo ABC y lo denotaremos por sen α, al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir: c sen α = O h

Coseno de un ángulo En forma análoga, definimos el coseno de α (que denotaremos cos α ) al cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

cos α =

cO cA

tan α =

cA h

Tangente de un ángulo Finalmente, definiremos la tangente de α, para la cual adoptamos la notación tan α (en ocasiones

tan α = sen α

cos α

cO c ya que sen α = h = O = tan α cA cA cos α h

2. El teorema de Pitágoras establece que: cO2 + cA2 = h2 Dividiendo ambos miembros de esta igualdad por h. cO2 cA2 + =1⇒ h2 h2

(

cO h

) +( 2

cA h

) =1

UNIDAD 3

Consideremos el triángulo ABC rectángulo en C y el ángulo α = CAB. AC y CB son los catetos del ∆ABC y AB, su hipotenusa.

aparece como tg α ), como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

155

∴ (sen α )2 + (cos α )2 = 1 Abusando de la notación, suele escribirse sen2α y cos2α en lugar de (sen α)2 y de (cos α)2, respectivamente, de forma tal que la igualdad encontrada se reescribe como: sen2α + cos2α = 1 Esta última igualdad es válida para todo ángulo α, es decir no se trata de una ecuación que permite determinar el ángulo α. Las igualdades entre funciones de una variable que son válidas para cualquier valor de la variable se llaman identidades y para realzar este carácter se suele sustituir el signo = por el signo ≡. La identidad sen2α + cos2α ≡ 1 es fundamental en el estudio de la trigonometría y, por la forma como se dedujo, puede observarse que se trata de una manifestación del teorema de Pitágoras.

TRIÁNGULOS

Notación

Las razones trigonométricas de ciertos ángulos especiales Hay ciertos ángulos que aparecen con frecuencia en nuestras construcciones geométricas. Para tener alguna vivencia del significado de las funciones trigonométricas, evaluaremos el valor numérico de ellas cuando el ángulo adopta esos valores especiales. Los ángulos con aparición recurrente son 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, además de sumas y múltiplos de ellos.

Apliquemos el teorema de Pitágoras al ∆ABC para calcular la longitud de la diagonal AC. (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 ⇒ (AC)2 = a2 + a2

⇒ (AC)2 = 2a2, de donde AC =

Siendo AB y BC respectivamente el cateto adyacente y el cateto opuesto del ángulo de 45° señalado en la figura, podemos aplicar la definición de las funciones trigonométricas:

TRIÁNGULOS

⇒ sen 45° = 1 = 1 2

∴ sen 45° =

2 2

•

2 2

a 2a

cos 45° = AB = AC

⇒ cos 45° = 1 = 1 2

•

Análogamente:

156 UNIDAD 3

a 2a

sen 45° = BC =

Razones trigonométricas de 45° Consideremos un cuadrado ABCD de lado a como el de la figura y tracemos su diagonal AC. El ∆ABC es rectángulo en B. La diagonal AC es la hipotenusa del triángulo rectángulo considerado. Además BAC = 45º, ¿puedes explicar por qué?

∴ cos 45° =

2 2

Finalmente: A

45º

tan 45° = AB = a ∴ tan 45° = 1 BC

Ejercicio resuelto Veriﬁca que sen2 45° + cos2 45° = 1

Solución sen2 45° + cos2 45° =

( 22 ) + ( 22 ) = 24 + 24 = 12 + 12 2

∴ sen2 45° + cos2 45° = 1 Esto era de esperar, ya que como se demostró, la relación sen2α + cos2α = 1 es válida para cualquier ángulo α.

Razones trigonométricas de 30° y 60° Consideremos ahora un triángulo equilátero ABC de lado a como el de la figura y tracemos la altura CM desde el vértice C al lado AB.

60 60º

30 30º

M a

Apliquemos ahora el teorema de Pitágoras al triángulo AMC:

( 2a ) + h = a ⇒ h = 34 a ⇒ h = 23 a 2

De acuerdo a las definiciones de las razones trigonométricas podemos escribir: 3

a CM h sen 60° = AC = a = 2 a 1

2 a AM cos 60° = AC = a 3

2 a tan 60° = CM = 1h = 1 AM a a 2 2

∴ tan 60° = 3

Verifiquemos que se satisface la identidad trigonométrica fundamental: sen2 60° + cos2 60° =

( 23 ) + ( 12 ) = 34 + 14 ∴ sen 60° + cos 60° = 1 2

Ejercicio resuelto Encuentra las razones trigonométricas de 30°.

Solución Observando el triángulo equilátero de la ﬁgura al inicio de la página vemos que: sen 30° = AM = AC

1 a 2

∴ sen 30° = 1 2

2 a cos 30° = CM = h = ∴ cos 30° = 3 a AC a 2 1 1 2 a 1 2 a AM tan 30° = = = = ∴ tan 30° = 3 CM 3 3 3 a h 2

Ejercicio propuesto Con los valores encontrados recientemente para las razones trigonométricas de 30°, veriﬁca que: sen2 30° + cos2 30° = 1

Para calcular las razones trigonométricas de otros ángulos haremos uso de una calculadora científica de bolsillo, de una planilla de cálculo u otro software apropiado para ello.

UNIDAD 3

∴ cos 60° = 2

157 TRIÁNGULOS

En forma similar,

∴ sen 60° = 2

Ejercicio resuelto ¿Qué longitud tendría una rampa diseñada para conducir hasta una pasarela a 4 m de altura, si el ángulo de inclinación es 20°? ¿Qué sucede para ángulos menores?

h=4m

B = 20º

Solución Si llamamos D a la longitud desconocida de la rampa, de la ﬁgura puede decirse que: sen20° = h

h ⇒ D = sen20º

Haciendo uso de una calculadora cientíﬁca: sen20º ≈ 0,342 de donde: D ≈

4 m ≈ 11,7 m 0,342

Si el ángulo de inclinación fuera menor que 20°, entonces la rampa sería aún más larga. Por ejemplo, si

TRIÁNGULOS

UNIDAD 3

158

el ángulo fuera de 10° entonces, D = sen10º ∴ D ≈

4 m ≈ 23 m 0,174

(Se hizo uso de una calculadora cientíﬁca). Haciendo uso de Maple® graﬁcamos la longitud de la rampa (long) en términos del ángulo (x), en el intervalo 5° ≤ x ≤ 20° que en radianes se expresa como: 5•π 180

≤ x ≤ 20 • π 180

La lectura del gráﬁco nos indica que en ese intervalo de inclinaciones la longitud D de la rampa varía en el intervalo 46 m ≥ D ≥ 12 m, aproximadamente.

Ejercicios propuestos 1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y sen α = 2 . 5 9m Encuentra la medida de los catetos a y b. A 2. En un triángulo rectángulo β = 55°30’ y uno de A los catetos b = 6,05 cm. Haciendo uso de una calculadora cientíﬁca encuentra el otro cateto y la hipotenusa.

A 9m B

3. Considera la construcción de la ﬁgura. Encuentra α y el ancho de la techumbre AD. 4. Una escalera está dispuesta como en la ﬁgura. Encuentra su ángulo de inclinación β y la distancia D entre el muro y su peldaño inferior.

15 m

12 m

B D

5. Calcula en cada caso la longitud x del cateto. Las longitudes están expresadas en cm. a)

x 30º

40º

d) 70º

Ejercicio resuelto Una avioneta inicia su descenso cuando pasa por sobre la torre de control al inicio de la cancha de aterrizaje, formando un ángulo constante de 13° con la horizontal. Se posa sobre la pista cuando ha recorrido 2.000 metros. Calcula la distancia entre la torre de control y el punto de aterrizaje.

Solución D = 2.000 m

De la ﬁgura:

P = cos β ⇒ P = D • cos β D

Introduciendo en la expresión anterior los datos del problema: P = 2.000 (m) • cos 13° Con la ayuda de una calculadora cientíﬁca encontramos que: cos 13° ≈ 0,974 de donde, P ≈ 2.000 • 0,974 (m) Finalmente podemos decir que la distancia P entre la torre de control y el punto de aterrizaje es, aproximadamente. P ≈ 1.949 (m)

UNIDAD 3

25º

159 TRIÁNGULOS

E j e r c i c i o s p r o p u e s t oA s 2,25 cm

1. Si cos α = 0,15 determina a y c.

2,25 cm

TRIÁNGULOS

12 cm

20º

30º

12 cm c a 3. Si en un triángulo rectángulo de catetos a y b, b = 6,4 cm y la hipotenusa c = 7,8 cm determina 6 a y cos α. x

4. Si en un triángulo rectángulo α = 33,2º a y b. 10 y laAhipotenusa c = 12,75 cm, determina los catetos B c 30º 60º 5. Calcula en cada caso la longitud x del cateto. Las longitudes están 20expresadas en cm. x 20º

160

UNIDAD 3

B 10

2. Si cos β = 1 , determina a y c. 3

20º

30º

60º

10º

E j e r c i c i o r e s u e l t6o

30º

Cuando los rayos del sol forman un ángulo de 60º 56° con la horizontal, la sombra de un asta vertical x mide 6 m, ¿cuál es la altura del asta? x

Solución

60º

10º

x Si h es la altura del 10º asta y s es la longitud de la sombra que proyecta, entonces: 12

56° 6m

h = tan 56° ⇒ h = s • tan 56° ⇒ h = 6 (m) • tan 56° ≈ 6 (m) • 1,48 ∴ h ≈ 8,89 (m) s

La altura del asta es prácticamente de 8,9 metros.

10º

Ejercicio propuesto Calcula en cada caso la longitud x del cateto. Las longitudes están expresadas en cm. a)

60º

6 30º

20º

d) 12

UNIDAD 3

58º

Razones trigonométricas inversas

161

Arcoseno

Arcocoseno

La razón inversa del seno se llama arcoseno y se denota por arcsen.

La razón inversa del coseno se llama arcocoseno y se denota por arcos.

El valor de arcsen(x) es el ángulo cuyo seno es x. Por ejemplo, arcsen sen 30° = 12 .

( ) 1 2

= 30°, porque

El valor de arcos(x) es el ángulo cuyo coseno es x. Por ejemplo arcos 45° = 22 .

( 22 ) = 45°, puesto que cos

Si sabemos que cos β = 0,54 ; entonces:

En las calculadoras aparece como una tecla sen–1 o más frecuentemente como la combinación de dos teclas: Inv (por inverso) y sen.

β = arcos (0,54) ≈ 57,3°

Si, por ejemplo, sabemos que sen α = 0,23 , usando una calculadora digitamos 0,23 y en seguida Inv y sen, obtenemos:

La razón inversa de la tangente se llama arcotangente y se denota por arctan.

α = arcsen (0,23) ≈ 13,297° Es decir α ≈ 13,3° es el ángulo cuyo seno es 0,23 o sen 13,3° ≈ 0,23.

Arcotangente

El valor de arctan(x) es el ángulo cuya tangente es x. Por ejemplo arctan tan 60° = 3 .

( 3 ) = 60°, ya que

Si sabemos que tan γ = 4,3 ; entonces, haciendo uso de una calculadora obtenemos: γ = arctan (4,3) ≈ 76,9°

TRIÁNGULOS

El círculo unitario y las funciones trigonométricas Nos interesa ahora extender el concepto de razón trigonométrica al de función trigonométrica, que tiene aún más utilización. Consideremos un círculo con centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas y de radio 1, como en la figura. B Q A

TRIÁNGULOS

UNIDAD 3

∴ sen θ = BC Es decir, el seno del ángulo θ es simplemente la ordenada del punto B (que es el punto de intersección de uno de los lados del ángulo que nos preocupa, con el círculo unitario). Por otro lado:

162

sen θ = BC ⇒ sen θ = BC

cos θ = OC ⇒ cos θ = OC OB

∴ cos θ = OC Nuevamente es fácil darse cuenta de que el coseno del ángulo θ corresponde a la abscisa del punto B.

Como veremos, el círculo así definido, que llamaremos círculo unitario, es una herramienta de apoyo que nos va a permitir, por una parte, visualizar las funciones trigonométricas y por otra, generalizar las definiciones de las funciones trigonométricas para el ángulo recto, para ángulos mayores que 90° y para ángulos negativos. Nos preocuparemos de las funciones trigonométricas del ángulo θ = AOB de la figura. Como el radio del círculo es 1, entonces OA = OB = 1. Para visualizar en el círculo unitario las funciones trigonométricas, tracemos la perpendicular desde B al eje OA y denotemos por C al punto de intersección de tal perpendicular con el eje de las abscisas. B 1 O

Como originalmente la definición del seno y del coseno de un ángulo se basaba en consideraciones hechas sobre un triángulo rectángulo, solamente nos habíamos preocupado de tales funciones para ángulos agudos. Sin embargo, las identificaciones que acabamos de hacer: sen θ ↔ ordenada de B cos θ ↔ abscisa de B nos permite inmediatamente generalizar las definiciones del seno y del coseno para ángulos mayores que 90°(equivalente a π2 radianes) Consideremos por ejemplo, el ángulo θ de la figura siguiente:

Q C

Funciones trigonométricas de ángulos mayores que 90°

B Q

1 C

Para encontrar el seno y el coseno del ángulo θ analicemos el triángulo rectángulo OCB. Por definición:

Generalizando el análisis hecho anteriormente, definimos el seno del ángulo θ como la ordenada CB del punto B. Y lo mismo se aplica para los ángulos que se exhiben a continuación:

Seno de 90°y sus múltiplos (π) El sen 90° (equivalente a 2 radianes) no es más que un caso particular de lo que se ha visto hasta aquí. Como se puede ver en la figura, la magnitud de la ordenada del punto B es 1, de modo que sen 90° = 1.

Q C

90º

180º C

270º

Q D

sen 270° = –1 y,

UNIDAD 3

sen 360° = sen 0° = 0.

163

En la misma figura es posible apreciar que: B

Observemos que en los dos casos anteriores el seno de los ángulos considerados es negativo.

sen 180° = 0,

Ejercicios resueltos Calcula: a) sen 120°

b) sen 135°

c) sen 240°

d) sen 100°

e) sen (–30°)

f) sen (–120°)

Soluciones a)

B 1 C Figura 1

120º O

D 60º E

Figura 2

De la figura 1 y en virtud de la generalización de la definición de seno, sen 120° = CB. Dibujemos en la figura 2 el radio OD de modo tal que AOD = 60°.

TRIÁNGULOS

En ese caso se tendrá que: ∆OBC ≅ ∆ODA, ya que: OB = OD = 1 COB = EOD = 60° OCB = OED = 90°

(radios del círculo unitario) (por construcción) (por construcción)

En consecuencia, CB = ED, es decir, sen 120° = sen 60° Pero,

sen 60° = 3 2

∴ sen 120° = 3 2

TRIÁNGULOS

b) La misma argumentación que la usada en la parte a) es válida en este caso (ver la ﬁgura adjunta), de modo que se puede aﬁrmar que:

UNIDAD 3

164

sen 45° = 2 2

D 135º O

∴ sen 135° = 2 2

c) Como se aprecia en la figura, en este caso el seno es negativo, pero, dado que ∆OBC ≅ ∆ODA, en valor absoluto, el seno de 240° es igual al seno de 60°.

45º E

Se cumple entonces que:

240º

60º O

sen 240° = –sen 60° B

∴ sen 240° = – 3 2

d) Aplicando los mismos argumentos que en los casos anteriores, es posible mostrar que: sen 100° = sen 80°. Haciendo uso de una calculadora de bolsillo, se encuentra que: sen 80° ≈ 0,985

∴ sen 100° ≈ 0,985

Aunque en este caso, si se contemplaba la posibilidad de usar una calculadora, se podría haber calculado directamente sen 100°, obteniendo (como era de esperarse) el mismo resultado. e) Consideramos que un ángulo es negativo cuando se mide en el sentido de movimiento de las manecillas de un reloj, es decir en la dirección: De modo que es posible establecer que: sen (–30°) = sen 330° = –sen 30°

∴ sen (–30°) = – 1 2

f) En la misma línea de razonamiento de la parte e), se puede deducir que: sen (–120°) = –sen 60°

∴ sen (–120°) = – 3 2

Coseno de ángulos mayores que 90° En forma análoga, definimos el coseno de un ángulo θ con vértice en O y uno de cuyos lados coincide con el semieje positivo de OX, como la abscisa del punto en el cual el otro lado intersecta al círculo unitario. Así por ejemplo, en el caso de la figura adjunta, cos θ = OC < 0.

Coseno de 90° y sus múltiplos El cos 90° (equivalente a π2 radianes) no es más que un caso particular de lo que se ha visto hasta aquí. Como se puede ver en la figura, la magnitud de la abscisa del punto B es 0, de modo que cos 90° = 0. B 1

90º

180º

270º A

En la misma figura es posible apreciar que, cos 180° = –1, cos 270° = 0 y, que cos 360° = cos 0° = 1.

Regla nemotécnica Para las funciones trigonométricas de ángulos especiales: 30°

45°

60°

90°

seno

0 2

1 2

2 2

3 2

4 2

coseno

4 2

3 2

2 2

1 2

0 2

165 TRIÁNGULOS

0°

Ejercicios resueltos Calcula: a) cos 120°

b) cos 135°

c) cos 240°

d) cos 100°

e) cos (–30°)

f) cos (–120°)

Soluciones a)

B 1 C

120º O

Figura 1

120º

D 60º

UNIDAD 3

Figura 2 9

De la ﬁgura 1 y en virtud de la deﬁnición generalizada de la función coseno, cos 120° = OC.

Dibujemos en la ﬁgura el radio OD de modo tal que AOD = 60°. En ese caso se tendrá (como ya habíamos visto en los ejercicios resueltos anteriormente) que: ∆OBC ≅ ∆ODE, de modo que OC = OE, es decir, el coseno de 120° es igual en magnitud al coseno E de 60°, solo que hay que tener presente que el coseno de ángulos en el segundo cuadrante es negativo. Por ello: cos 120° = – cos 60° Pero, ∴ cos 120° = – 1 cos 60° = 1 2

b) La misma argumentación que la usada en la parte a) es válida en este caso (ver la ﬁgura adjunta), de modo que se puede aﬁrmar que: cos 45° = 2

TRIÁNGULOS

135º

∴ cos 135° = – 2

c) Como se aprecia en la ﬁgura, en este caso el coseno de 240º es negativo, pero, dado que ∆OBC ≅ ∆ODE, en valor absoluto, el coseno de 240° es igual al coseno de 60°.

240º

Se cumple entonces que:

UNIDAD 3

45º

166

cos 240° = –cos 60°

∴ cos 240° = – 1 2

60º O

d) Aplicando los mismos argumentos que en los casos anteriores, es posible mostrar que: cos 100° = –cos 80°. Haciendo uso de una calculadora de bolsillo, se encuentra que: cos 80° ≈ 0,174

∴ cos 100° ≈ –0,174

En este caso, si se contemplaba la posibilidad de usar una calculadora, se podría haber calculado directamente cos 100°, obteniendo (como era de esperarse) el mismo resultado. e) Como ya vimos anteriormente, consideramos que un ángulo es negativo cuando se mide en el sentido de movimiento de las manecillas de un reloj, es decir en la dirección . De modo que es posible establecer que: cos (–30°) = cos (330°)

∴ cos (–30°) = 3 2

f) En la misma línea de razonamiento de la parte e), se puede deducir que: cos (–120°) = – cos (60°)

∴ cos (–120°) = – 1 2

Generalización de la definición de tangente de un ángulo

tan θ = AD 1

∴ tan θ = AD

B 1 Q

De esta forma, podemos generalizar la definición de la tangente como la ordenada del punto D, que es el punto de intersección de uno de los lados del ángulo considerado, con la tangente al círculo unitario que es perpendicular al otro lado del ángulo.

Ejercicio resuelto

UNIDAD 3

Para generalizar la definición de la tagente para cualquier ángulo, vamos a trazar en el círculo unitario una recta auxiliar, que sea tangente al círculo en el punto A, tal como está indicado en la figura adjunta. Como sabemos, la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. La prolongación del lado OB del ángulo θ que estamos considerando, intersecta a la recta auxiliar en el punto D. Entonces, el triángulo OAD es rectángulo en A. Por definición: tan θ = AD ⇒

167

Encuentra tan 120°.

Tracemos el ángulo auxiliar de 60° AOF. El lado OF intersecta a la tangente auxiliar en el punto G. Es posible demostrar que: ∆OAD ≅ ∆OAG

B 1 C

120º

60º

TRIÁNGULOS

Solución G

Dado que: • OA es lado común • OAD = OAG = 90° (la recta DG es tangente a la circunferencia en A) • DOA = GOA = 60° (por construcción)

En consecuencia, la magnitud de AD es igual a la magnitud de AG, pero hay que tener presente que la tangente de un ángulo del segundo cuadrante es negativa. Por lo tanto: tan 120° = –tan 60°

∴ tan 120° = – 3

Advertencia Si se considera ángulos que varían entre 0° y 90°, puede verse en el diagrama que la tangente de dichos ángulos aumenta a medida que los ángulos crecen.

C B A

TRIÁNGULOS

Contrariamente a lo que sucede con la función seno y con la función coseno cuyos valores están acotados entre –1 y 1, la tangente puede crecer sin límite. Dado que la interpretación geométrica de la tangente como la ordenada del punto de intersección de uno de los lados del ángulo con la recta tangente al círculo unitario que es perpendicular al otro lado, cuando se trata de calcular la tangente de 90° uno de los lados del ángulo se torna paralelo a la recta tangente y en consecuencia no se intersectan. Se dice entonces que tan 90° no está deﬁnida o que cuando θ → 90° (se lee “θ tiende a 90o”), por “abajo” (es decir 89,9º; 89,99º…), entonces tan θ → ∞ y que cuando θ → 90º, por “arriba” (es decir 90,1º; 90,01º; 90,001º…) entonces tan θ → –∞, como se podrá apreciar en el gráﬁco de tan θ, más adelante en este capítulo. Algo similar sucede para todos los múltiplos impares de 90° (270°, 450°, etc.).

UNIDAD 3

168

Funciones trigonométricas del complemento de un ángulo Dos ángulos α y β se dicen complementarios si:

α + β = 90°

90º

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son entonces complementarios, es decir, si uno de ellos es α, el otro es 90 – α.

sen α = a

;

sen (90 – α) = b

cos α = b

;

cos (90 – α) = a

∴

sen α = cos (90 – α) cos α = sin (90 – α)

90º– A

A c

Gráfico de las funciones trigonométricas

1º cuadrante

2º cuadrante

3º cuadrante

4º cuadrante

x(°)

sen x

x(°)

sen x

x(°)

sen x

x(°)

sen x

0,00

1,00

180

0,00

270

–1,00

0,17

100

0,98

190

–0,17

280

–0,98

0,34

110

0,94

200

–0,34

290

–0,94

0,50

120

0,87

210

–0,50

300

–0,87

0,64

130

0,77

220

–0,64

310

–0,77

0,77

140

0,64

230

–0,77

320

–0,64

0,87

150

0,50

240

–0,87

330

–0,50

0,94

160

0,34

250

–0,94

340

–0,34

0,98

170

0,17

260

–0,98

350

–0,17

1,00

180

0,00

270

–1,00

360

0,00

1 ≥ sen x ≥ 0

–1 ≤ sen x ≤ 0

1,0

–1 ≤ sen x ≤ 0

sen x

0,5

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0,0

ángulo x o 45

135

180

225

270

315

360

-0,5

-1,0

Notemos que también podemos apreciar aquí que la función sen x está acotada entre –1 y 1, es decir –1 ≤ sen x ≤ 1, cualquiera que sea el valor de x. Para construir el gráfico en la región x 0 se hizo uso de la propiedad sen (-x) = sen x.

UNIDAD 3

En el caso de sen x, con ayuda de una planilla de cálculo MS Excel y sus herramientas gráficas, se ha tabulado y trazado la función en el intervalo 0 ≤ x ≤ 360°. Por simplicidad en la tabla se ha redondeado a las centésimas los valores de sen x.

169 TRIÁNGULOS

Ejercicios propuestos 1. Haciendo uso de una hoja de cálculo o de una calculadora científica, tabula y grafica cos x para 0 ≤ x ≤ 360°. Compara con el gráfico de sen x. 2. En la figura siguiente se ha trazado el gráfico de la función tangente. Observa y explica el comportamiento de la función cuando x asume los valores 90° y 270°. tan x

15,00

10,00

TRIÁNGULOS

5,00

-360

-270

-180

0,00

180

270

360

–5,00

–10,00

170 UNIDAD 3

-90

ángulo x o

–15,00

Ejercicios resueltos 1. Determina la ecuación de la recta del gráﬁco siguiente y generaliza el resultado para un ángulo arbitrario.

Y R

P(x,y)

40º O

Solución Si consideramos el triángulo OPQ rectángulo en Q, en virtud de la deﬁnición de la función tangente podemos decir que: y

tan 40° = PQ = x ⇒ y = (tan 40º) • x OQ

∴ y ≈ 0,84 • x (La tangente de un ángulo es en general un número irracional; en este caso se ha adoptado la aproximación tan 40° ≈ 0,84.) Generalización De acuerdo a lo aprendido en la primera parte de este ejercicio, la ecuación general de una recta que pasa por el origen O del sistema de coordenadas y que forma un ángulo � con el semieje positivo de las abscisas estará dada por la expresión: y = (tan θ) • x y = (tan θ) • x + n 2. Calcula la altura H de una torre si se conoce la distancia D entre la torre y el punto de observación y el ángulo de elevación β del extremo superior. Aplica al caso D = 50 m y β = 30°.

Solución tan β = H ⇒ H = D • tan β D

Aplicación H = D • tan β = 50 • tan 30° (m) = 50 • 3 (m) 3

∴ H ≈ 28,9 (m)

H = tan β ⇒ D = H 1 D tan β1 H = tan β ⇒ D + d = H 2 D+d tan β2

TRIÁNGULOS

171

Por deﬁnición de la función tangente:

3. Determina la altura H de una antena de telecomunicaciones situada al medio de un bosque de difícil acceso, si se conocen los ángulos de elevación β1 y β2 del extremo superior observado desde dos puntos O1 y O2 que distan d entre ellos. (Observa que es complicado medir la distancia D entre el observador y la antena debido al obstáculo que representa el bosque.)

UNIDAD 3

Si se trata de una recta que intersecta al eje OY en el punto (0, n), su ecuación será:

Restando miembro a miembro la primera ecuación de la segunda se obtiene. H – H =H tan β2 tan β1

∴H=

β – tan β [ tan1 β – tan1 β ] = H [ tan tan β tan β ] 1

•

tan β tan β d [ tan β – tan β ] 1

•

Aplicación Caso a β1 = 60° , β2 = 50° , d = 15 m tan β tan β d = [ tan 60º tan 50º ] 15 m ⇒ [ tan β – tan β ] tan 60º – tan 50º H = [ 1,7 1,2 ] 15 m = [ 2,04 ] 15 m ≈ 4,08 15 m ⇒ H ≈ 61 m 1,7 – 1,2 0,5

•

TRIÁNGULOS UNIDAD 3

•

172

•

Si usamos, en cambio, dos cifras decimales para el valor de las tangentes: H=

1,73 1,19 15 m = [ 2,06 ] 15 m ≈ 3,81 15 m [ 1,73 – 1,19 ] 0,54 •

•

∴ H ≈ 57 m

Notemos que al comparar ambos resultados, el más exacto es aproximadamente 7 % menor que el que calculamos primero. Caso b β1 = 60° , β2 = 58° , d = 15 m tan β tan β d = [ tan 60º tan 58º ] 15 m ⇒ [ tan β – tan β ] tan 60º – tan 58º H = [ 1,7 1,6 ] 15 m = [ 2,72 ] 15 m ≈ 27,2 15 m ⇒ H ≈ 408 m 1,7 – 1,6 0,1

•

Si, en cambio, usamos los valores de las tangentes de los ángulos dados con dos cifras decimales: H=

1,73 1,60 15 m = [ 2,77 ] 15 m ≈ 21,3 15 m [ 1,73 – 1,60 ] 0,13 •

•

∴ H ≈ 319 m

En este caso el resultado, que es más preciso que el anterior, es aproximadamente un 28 % menor que aquel. Tal diferencia proviene del hecho que β1 y β2 son bastante cercanos entre sí, por lo que tan β1 es bastante cercana a tan β2 o, puesto de otra manera el denominador en la expresión es bastante pequeño comparado con el numerador. Notemos que el numerador varía entre el primer y el segundo cálculo desde 2,72 a 2,77 (es decir aumenta un 1,8 %) aproximadamente mientras que el denominador aumenta desde 0,1 a 0,13, es decir, varía un 30 %. Utilicemos ahora los valores de las tangentes de los ángulos considerados con tres cifras decimales: H=

1,732 1,600 15 m = [ 2,7712 ] 15 m ≈ 20,994 15 m [ 1,732 – 1,600 ] 0,132 •

•

Lo que produce un resultado bastante similar al anterior.

•

∴ H ≈ 315 m

Encuentro en el espacio marítimo Dos jóvenes que gustan del buceo practican cómo encontrarse en un punto del suelo marino a partir de diferentes posiciones en que se hallan en un determinado momento en el mar. ¿Cuáles son las trayectorias que deben seguir cada uno de modo que la distancia recorrida sea la misma para ambos?

Si queremos que cada uno de ellos nade la misma longitud, entonces xj = xm Despejando se tiene: cj = c + hm – hj 2c 2

cm = c + hj – hm 2c 2

Nivel del agua

Mariela

αm h

de cj Lugar encuentro

cm Base marina

¿En que direcciones deben nadar Juan y Mariela? Calculemos los ángulos respectivos. El ángulo αm (entre xm y hm) está dado por la razón trigonométrica tangente: tan αm= cm hm

∴ αm = arctan

( hc ) m

En forma similar para Juan: Llamemos hj y hm a las alturas que Juan y Mariela están sobre el nivel del piso marino (que en esa zona es plano) y la distancia inicial entre ellos es d. Aplicando Pitágoras, tenemos que la distancia proyectada en el fondo marino es c: d2 = c2 + (hj – hm)2 de donde: c=

d2 – (hj –hm)2

La distancia a recorrer por Juan está dada por: x j2 = h j2 + c j2 Y para Mariela: xm2 = hm2 + cm2 Siendo: c = cj + cm

tan αj = c1 h1

( )

∴ αj = arctan c1 h1

Abastecimiento en zona de catástrofe Ha ocurrido un terremoto que ha devastado una amplia zona del territorio. Los caminos y carreteras de acceso a varios pueblos están destruidos. Por ello, el abastecimiento de víveres, medicinas y otros medios de subsistencia se pueden efectuar sólo por vía aérea. Un avión debe abastecer a tres pueblos A, B y C y tiene suﬁciente autonomía como para hacerlo en un solo vuelo. No obstante, debe hacerlo en el menor tiempo posible para volver al aeropuerto, volver a cargar y reiniciar su proceso de abastecimiento. ¿Cuál es la trayectoria que minimiza el tiempo de vuelo (suponiendo que siempre se desplaza a la misma velocidad)? Para ello bastará comparar las distancias recorridas en diferentes vuelos.

UNIDAD 3

αj

173 TRIÁNGULOS

Juan

Pueblo A

cos2α + sen2α = 1

Ya que se tiene: dA

d2AB = d2A + d2B – 2dAdB cos

Pueblo B

dAB = d2 + d2 – 2d d cosα A B B C

dB α

Pueblo C

dBC = d2 + d2 – 2d d cosβ B C B C

TRIÁNGULOS

Las distancias desde el aeropuerto a los pueblos, A, B y C son dA, dB y dC respectivamente. Las secuencias de trayectos posibles son seis, pero sus distancias son iguales de a pares, por lo que solo resultan tres trayectorias con distancias diferentes.

UNIDAD 3

174

I: II: III: IV: V: VI:

d1 = dA + dAB + dBC + dC d2 = dA + dAC + dBC + dB d3 = dB + dAB + dAC + dC d4 = dB + dBC + dAC + dA = d2 d5 = dC + dAC + dAB + dB = d3 d6 = dC + dBC + dAB + dA = d1

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Calculemos la distancia dAB a partir de las distancias dA y dB y del ángulo α entre ellos. Representemos en el triángulo siguiente: A dA

dAC = d2 +d2 –2d d cos(α+β) A C A C Las distancias de los pueblos A, B, C al aeropuerto son: dA= 60 km, dB = 45 km, dC = 90 km, Además α = 30º, β = 15º Entonces las distancias (medidas en km.) entre pueblos son: dAB =

dBC =

948,6 = 30,8

452 + 902 – 2 • 45 • 90 cos15º =

10 125 – 8 100 • 0,966

2 300,4 = 48,0

602 + 902 – 2 • 60 • 90 cos (30º+15º) =

11 700 – 10 800 • 0,707 =

dAB

602 + 452 – 2 • 60 • 45 cos 30º =

5 625 – 5 400 • 0,866 =

dAC =

z y

De la misma forma:

4 064,4 = 63,8

Finalmente, las distancias en km. a recorrer en cada trayectoria son: B

Entonces, aplicando las razones trigonométricas: y = dA cosα x = dB – y = dB – dA cosα z = dA senα Aplicando Pitágoras: d2AB = z2 + x2 = (dA senα)2 + (dB – dA cosα)2 d2AB = d2A sen2 α + d2B – 2dAdB cos α + d2A cos2α d2AB = d2A (sen2 α + cos2 α) + d2B – 2 dAdB cos α

d1= dA+dAB+dBC+dC = 60+30,8+48,0+90 = 228,8 km d2= dA+dAC+dBC+dB= 60+63,8+48,0+45 = 216,8 km d3= dB+dAB+dAC+dC =45+30,8+63,8+90 = 229,6 km Entonces

d3 > d1 > d2

Compara esta estrategia de viaje con otra; por ejemplo: que el avión abastezca solo a un pueblo a la vez.

Ejercicio propuesto En el ejercicio resuelto 3 en la página 171, determina la distancia D entre la torre y el observador.

Ejercicios resueltos 1. a) Calcula el área de un triángulo isósceles si se conocen la base c y el ángulo del vértice γ. b) Aplica el resultado encontrado en la parte a) si γ = 45° y c = 4 cm.

Solución

El área S del triángulo es: S = 1 c • h

UNIDAD 3

Pero h no lo conocemos y debemos determinarlo en términos de los datos c y γ. Observemos el triángulo AMC.

Por deﬁnición: c

tan γ = AM es decir tan γ = 2 ⇒ h = 2

De modo que

S= 1 c• 2

∴S=

c 2

tan γ

2 tan 2 •

M c

2 • tan 2

c2 4 • tan γ

Aplicación En este caso:

γ = 45° c = 4 cm S=

2 2 c2 4 = 4 cm ≈ cm2 γ 0,4142 45º • 4 tan 4 • tan

∴ S ≈ 9,7 cm

Se usó el resultado tan 22,5° ≈ 0,4142 obtenido con una calculadora de bolsillo.

G 2

175 TRIÁNGULOS

Computación simbólica C

Calcula, haciendo uso de un programa de manipulación algebraica, el área del triángulo escaleno de la ﬁgura, considerando que las longitudes de los lados se miden en cm.

70º

30º

Solución

TRIÁNGULOS UNIDAD 3

176

Existen varias maneras de deﬁnir un triángulo, dependiendo de los datos con los cuales se cuenta. Una de ellas, que conviene en el caso que estamos analizando, es determinar en un sistema de coordenadas las ecuaciones de las rectas que lo describen.

Trabajaremos el ejercicio en Maple®.

C 10

30º

70º B

Método 1 Si escogemos un sistema de coordenadas como el de la figura, en que el vértice A se ha elegido como origen del sistema y el eje de las abscisas de modo que el lado AB descanse sobre él, entonces el triángulo ABC queda descrito por tres rectas L1, L2 y L3, caracterizadas como se indica: • L1 es el eje de las abscisas cuya ecuación es y = 0. • L2 es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es tan 30°, de modo que su 30π ) x (se ha tenido cuidado de expresar los 30° en radianes que ecuación es y = tan ( 180 es la unidad que acepta Maple®, para lo cual basta multiplicar el ángulo en cuestión por π y dividirlo por 180°). • L3 es una recta cuya inclinación con respecto al eje de las abscisas es de 110° (= suplemento de 70°) y que pasa por B cuyas coordenadas son y = 0, x = AB (por determinar en función de los datos). La ecuación de L3 está dada por: y = –(tan 70°) • x + 10 • (tan 70°) • (cos 30°) + 10 • sen 30° Para efectos de no distraernos de nuestro propósito, el cálculo que conduce al resultado anterior se ha trasladado al final de este ejercicio. En la pantalla de la página siguiente están definidas las tres rectas que definen el triángulo que nos interesa. La sintaxis es: • line: indica que se trata de una recta. • Dentro del paréntesis aparece el nombre que se le ha dado a la recta L1, en el primer caso.

• Separada por una coma se coloca la ecuación de la recta. • Finalmente, después de una coma y entre paréntesis de corchete se deﬁne el nombre de los ejes coordenados. • El signo ; seguido de Enter, le indica al programa que escriba la instrucción en lenguaje algebraico.

UNIDAD 3

Una vez que se han definido las rectas que determinan al triángulo, se define el triángulo mismo, asignándole un nombre (T5 en este caso) y especificando, dentro de paréntesis de corchete, los nombres de las rectas que lo limitan separadas por comas. La instrucción draw(T5); produce el trazado del triángulo que hemos definido.

En la pantalla siguiente, hemos dado la instrucción area (T5); que entrega el resultado del área (en este caso en cm2, ya que las longitudes de los lados estaban dadas en cm). Notemos que Maple® entrega un resultado “algebraico”, en el sentido de que es una expresión exacta en la que no se han evaluado las funciones trigonométricas involucradas. Para obtener un número, escribimos la instrucción evalf (%); que evalúa la última expresión aparecida en pantalla. El área resulta ser aproximadamente 26,2 cm2.

TRIÁNGULOS

177

Método 2 Como lo que nos interesa es calcular el área del triángulo dado, no tiene relevancia su orientación en el espacio y como veremos, existe una elección de los ejes coordenados que facilita la introducción de los datos en el programa. En este caso hemos deﬁnido tres rectas K, L y M que deﬁnen el triángulo T 7 (geométricamente idéntico al anterior), en donde hemos elegido situar el vértice B en el origen de coordenadas y el lado AB sobre el eje OY. De esa forma, uno de los otros dos lados es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente conocemos y del tercer lado también conocemos su pendiente y su intersección con el eje OY.

TRIÁNGULOS

Como era de suponer, el resultado obtenido para el área del triángulo coincide con el obtenido con el primer método.

UNIDAD 3

178

Determinación de la ecuación de la recta L3: AB = AM + MB AM = cos 30° AC CM = tan 70° MB

∴ AM = AC • cos 30º = 10 • cos 30°

∴ MB = AC • sen 30º = 10 • sen 30º

= sen 30º ⇒ MB AC

tan 70º

CM = sen 30° AC

tan 70º

30º M

UNIDAD 3

10 70º 110º B X

La ecuación de L3 es de la forma:

179

y = mx + n

TRIÁNGULOS

Donde m es la pendiente de L3 y por lo tanto: m = tan 110° = –tan 70° Para calcular n, imponemos que y = 0, de manera que x = AB. 0 = m • AB + n ⇒ n = –m • AB

⇒ y = mx – m AB = mx – m (AM + MB) •

•

Reemplazando los valores de m, AM y MB obtenidos anteriormente:

[

y = –(tan 70°) • x + (tan 70°) • 10 • cos 30° + 10 • sen 30º tan 70º

De donde: y = –(tan 70°) • x + 10 • (tan 70°) • (cos 30°) + 10 • sin 30° Que es la ecuación de la recta L3 que se había adelantado.

]

Síntesis de la Unidad Las notables propiedades de los triángulos rectángulos Unidades de medida de ángulos

Equivalencias entre grados y radianes para algunos valores de ángulos especiales

TRIÁNGULOS

Ángulo completo 360

Radianes

2 2π

Grados sexagesimales

Radianes

Equivalencias 1° = 60´

1rad rad = 360º ≈ 57,3º 2π

1´ = 60´´

4 3

Proporcionalidad entre el ángulo del centro y el arco subtendido

120

270

π 3π

360

2π

180

UNIDAD 3

180

Grados sexagesimales

s O

s = rθ (θ en radianes)

Triángulos rectángulos Descripción

Catetos C

• Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos mide 90° = π2 .

(

)

• Catetos: lados perpendiculares entre sí.

90º c1

• Hipotenusa: lado opuesto al ángulo recto. A

A Hipotenusa h

Propiedades • α+ β = 90º

• Recíprocamente, al inscribir un triángulo rectángulo en una circunferencia, el diámetro subtendido por el ángulo recto es la hipotenusa del triángulo rectángulo. C

• Área A: A = 1 c1 • c2 2

• Teorema de Pitágoras: c12 + c22 = h2

C’

• Cualquier ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto, de modo que el triángulo definido por el ángulo recto y el diámetro que suscribe es un triángulo rectángulo.

Definición Dos triángulos ABC y A’B’C’ se dicen semejantes (∆ ABC ∼ ∆ A’B’C’) si tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

UNIDAD 3

Semejanza de triángulos

C’ G’ a’

b’

C a

A’

B’

A’ c’

B’

{

α = α’ β = β’ 1) γ = γ’

2) a = b = c a’ b’ c’

Teoremas de semejanza Teorema AA (Ángulo–Ángulo) Dos triángulos que tienen dos de sus ángulos correspondientes iguales, son semejantes. Teorema LLL (Lado–Lado–Lado) Dos triángulos que tienen los tres lados correspondientes proporcionales, son semejantes.

Teorema LAL (Lado–Ángulo–Lado) Dos triángulos que tienen un ángulo correspondiente igual y los lados del ángulo son correspondientemente proporcionales, son semejantes.

TRIÁNGULOS

181

Teoremas de Euclides Si ∆ABC rectángulo en C y h altura desde C, que determina p y q sobre la hipotenusa entonces: q = h h p

∴ h2 = p • q

b = p c b

∴ b2 = p • c

a = q c a

∴ a2 = q • c

TRIÁNGULOS

Triángulos rectángulos y trigonometría Funciones trigonométricas de un ángulo Seno

sen θ =

co h

Coseno

cos θ =

Tangente

cA h

co cA

sen θ = BC cos θ = OC tan θ = AD

D B 1

182 UNIDAD 3

tan θ =

El Círculo unitario

O H

Propiedades de las funciones trigonométricas tan θ = sen θ cos θ sen θ + cos θ = 1 2

Funciones trigonométricas de ciertos ángulos especiales

0° 30° 45° 60° 90°

seno

coseno

0 2 1 2 2 2 3 2 4 2

4 2 3 2 2 2 1 2 0 2

Funciones trigonométricas del complemento de un ángulo sen (90 – α) = cos α

cos (90 – α) = sen α

Más ejercicios propuestos Medición de ángulos 1. Expresa en grados, minutos y segundos: a) 17,6°

b) 35,7°

c) 183,52°

d) 22,222°

b) 22,66°

c) 22,6º

d) 22,06º

c) 25°9´26´´

d) 68°15´34,5´´

3. Expresa en grados: a) 38°42´

b) 192°24´

4. Escribe en radianes (con sus respectivas cifras decimales) los siguientes valores de ángulos dados en grados, minutos y segundos: a) 33°33´33´´

b) 56°23´57´´

c) 98°55´29,12´´

183

d) 1°2´3´´

5. Si se define que un ángulo recto tiene 100 grados centesimales, ¿cuál es la equivalencia entre grados centesimales y grados sexagesimales? 6. Calcula en grados, minutos y segundos el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 2 : 30. 7. ¿A qué hora entre la 1 y las 2, las manecillas del reloj forman un ángulo de 70°? 8. Calcula la distancia a la que se encuentra el horizonte para un observador a 15 metros de altura. 9. Verifica que los números 7, 24 y 25 constituyen un trío pitagórico y muestra que pertenecen a la misma familia que el trío 48, 14 y 50. 10. En un triángulo rectángulo dos de sus lados miden 5 cm y 12 cm respectivamente. Encuentra las medidas posibles del tercer lado. 11. Las dimensiones interiores de un baúl con forma de paralelepípedo recto rectangular son 1 m ; 0,7 m y 0,5 m. Calcula la máxima longitud que puede tener un paraguas, de modo que quepa dentro de él.

TRIÁNGULOS

a) 22,6°

UNIDAD 3

2. Transforma a grados, minutos y segundos los valores de los siguientes ángulos expresados en grados:

12. El polígono ABCDEFGH es un octágono regular de lado 5 cm. Calcula la longitud de las diagonales AC, AD y AE. F

TRIÁNGULOS

UNIDAD 3

184

13. Construye trazos de 6 cm y 7 cm de longitud. 14. Un triángulo tiene lados cuyas magnitudes en centímetros son 20, 21 y 29. Encuentra la magnitud de la altura perpendicular al lado mayor.

Trigonometría 1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 25 cm y sen α = 15 . Encuentra la medida de los catetos a y b (α es el ángulo opuesto al cateto a). 2. En un triángulo rectángulo β = 44°20´ y el lado opuesto b = 7,2 cm. Encuentra a y c. 3. Uno de los extremos de una escalera de 3 m de longitud está apoyado sobre el piso y el otro a 2 m de altura sobre un muro perpendicular a él. Encuentra el ángulo de inclinación de la escalera y la distancia entre el muro y el extremo inferior de ella. 4. En un triángulo rectángulo b = 15 cm y cos β = 13 , determina a y c. 5. En un triángulo rectángulo b = 6,4 cm y c = 7,8 cm. Determina a y cos α. 6. En un triángulo rectángulo α = 33,2º y c = 12,75 cm. Determina a y b. 7. Un automóvil sube por un camino cordillerano que tiene una inclinación de 5°. ¿Cuántos metros debe recorrer por el camino para que la altura del auto haya aumentado 10 m? 8. Si cos α = 0,8 a) Evalúa sen α. b) ¿Cuál es la medida de α?

9. Si sen α = 0,8 a) Evalúa cos α. b) ¿Cuál es la medida de α? 10. Determina la ecuación de una recta que pasa por el origen y forma un ángulo de 30º con la horizontal. 11. Cuando los rayos del sol forman un ángulo de 30° con la horizontal, la sombra de un joven erguido mide 3 m. ¿Cuál es la altura del joven? 12. Calcula la altura de un pino, si la distancia entre la base del árbol y el punto de observación es 40 m y el ángulo de elevación β del extremo superior de la araucaria es 30°.

14. Traza el gráfico de f(x) = sen x + cos x para valores de x entre –180° y 180°. a) Estima el valor máximo que asume f(x). b) Estima el valor mínimo que asume f(x). c) ¿Para qué valores de x se alcanzan tales extremos?

UNIDAD 3

13. Calcula el área de un triángulo isósceles si se sabe que la longitud de la base es 10 cm y el ángulo del vértice mide 30º.

Nota: Salvo que explícitamente se señale otra cosa, en esta Unidad se ha adoptado la convención de que en un triángulo rectángulo a, b y c son los catetos y la hipotenusa respectivamente, mientras que α y β son los ángulos opuestos a a y b como indica la ﬁgura. C A

B C

TRIÁNGULOS

185

Autoevaluación TRIÁNGULOS

1. Un ciclista parte desde su casa y viaja 10 km en dirección hacia el norte. Enseguida vira y recorre 7 km hacia el este. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra del punto de partida?

UNIDAD 3

186

2. Una persona se aleja de un poste de luz cuyo foco está a 6 m de altura. Si la persona mide 2 m, calcula a qué distancia se encuentra del poste cuando su sombra tiene 5 m de longitud.

3. Una varilla de bambú de 3 m de altura se quiebra de modo que su extremo superior queda tocando el suelo a 1 m de la base. Calcula la altura a la que se produjo el quiebre.

1m 4. Un asta de bandera se asegura con dos vientos de cable diametralmente opuestos, cada uno de los cuales es 5 m más largo que el asta. La distancia entre los puntos donde los cables están anclados al suelo es igual a la longitud de uno de los cables. Calcula la altura del asta.

Horizonte

Montaña 87º

o di

t ne

Línea de visión

187 TRIÁNGULOS

6. Un astronauta determina con un altímetro que la montaña sobre la que está en el planeta desconocido sobre el cual posó su nave, tiene una altura de 6.000 m. Con un instrumento de precisión mide el ángulo al horizonte y encuentra que es 87º. ¿Cuál es el radio del planeta?

UNIDAD 3

5. Un estanque tiene forma de cono invertido. Su diámetro es 1 m y su altura 1,25 m. El estanque, inicialmente vacío, está siendo llenado con agua. En un cierto instante el agua ha alcanzado una altura de 35 cm. Determina en ese momento el radio de la parte superior del agua en el estanque.

Unidad

El estudio de las

Probabilidades Desde los juegos de azar a la teoría matemática

188

Antoine Gombaud, Caballero De Meré, un miembro de la nobleza francesa, apasionado por los juegos de azar y las apuestas, enfrentó una aparente contradicción relativa a un popular juego de dados. El juego consistía en lanzar 24 veces un par de dados y el problema era decidir si apostar o no a la ocurrencia de un doble 6 en los 24 lanzamientos. Una regla supuestamente bien establecida del juego llevó a pensar a De Meré que era provechoso apostar al doble 6, pero sin embargo sus propios cálculos y su experiencia en el juego indicaban justamente lo opuesto.

En 1654, De Meré llamó la atención del filósofo y matemático Blaise Pascal haciéndole notar esta aparente contradicción y otros problemas similares, lo que indujo a Pascal a establecer un intercambio epistolar sobre estos tópicos con su amigo Pierre de Fermat, sentándose de esta forma las bases de la teoría matemática de la probabilidad.

Contenidos de la Unidad Nociones de probabilidad • La historia continúa • La probabilidad en la vida cotidiana • Azar • Experimento aleatorio • Espacio muestral • Frecuencia absoluta y frecuencia relativa • Equiprobabilidad • Sucesos de un experimento aleatorio Probabilidades y probabilidades • Probabilidad clásica • Regla de Laplace • Probabilidad experimental • Ley de los grandes números • Simulación de experimentos aleatorios • Generación de números aleatorios • Probabilidad experimental y probabilidad teórica

• Probabilidad subjetiva • Variable aleatoria • Información estadística y probabilidades • Probabilidad de sucesos compuestos • Relaciones entre sucesos • Probabilidad condicionada • Probabilidad con reemplazo y sin reemplazo Combinatoria básica • Permutaciones • Variaciones • Combinaciones

189

Aprendizajes esperados • Reconocerás variables aleatorias y las podrás interpretar de acuerdo a los contextos en que se presentan. • Conocerás la “Ley de los grandes números” y relacionarás la frecuencia relativa con la probabilidad de un suceso.

• Distinguirás entre sucesos equiprobables y no equiprobables. • Resolverás problemas que requieran el cálculo de probabilidad condicionada en situaciones sencillas.

Nociones de probabilidad La historia continúa

190

Con anterioridad a los descubrimientos de Pascal y Fermat aludidos en la Introducción de esta Unidad, algunos problemas puntuales relativos a juegos de fortuna habían sido tratados y resueltos por matemáticos italianos durante los siglos XV y XVI, pero no se había desarrollado teoría general alguna. El científico holandés Christian Huygens, un profesor del célebre matemático Gottfried Wilhelm Leibniz (quien junto con Sir Isaac Newton fue uno de los creadores del cálculo diferencial), tuvo conocimiento de la correspondencia y en 1657 publicó el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, que era un tratado de problemas asociados a juegos de apuestas. A partir de la formulación de la teoría de probabilidad realizada por Pascal y Fermat muchos matemáticos se dedicaron a su estudio, dado que esta teoría requería de un marco teórico más adecuado para su desarrollo, el que más tarde se alcanza gracias a los avances logrados en otras áreas de la Matemática. Al construir este marco, se logra entre otras cosas, liberar a la teoría de su mero papel de instrumento, convirtiéndola en una rama plenamente reconocida de la Matemática. Los mayores aportes al tema durante ese período fueron de Jakob Bernoulli (que en 1713 publicó la obra El Arte de la Conjetura donde estudia la distribución binominal y su célebre teoría) y de Abraham De Moivre (en su obra La doctrina de las probabilidades aparecen las primeras indicaciones sobre la distribución normal de probabilidades).

En 1812 Pierre de Laplace (1749-1827) publica su famosa Theorié Analytique des Probabilités, donde introduce una gran cantidad de nuevas ideas y técnicas matemáticas, y presenta numerosas aplicaciones de la teoría de la probabilidad a muchas cuestiones científicas y prácticas. Como muchas otras ramas de la Matemática, el desarrollo de la teoría de probabilidades se vio estimulado por la variedad de sus aplicaciones, lo que a su vez provocó la extensión de sus campos de aplicación, que recorren la estadística, la genética, la psicología, la economía, la ingeniería, la física subatómica, la mecánica estadística y la predicción del tiempo, por mencionar algunos. Muchos han contribuido al desarrollo de la disciplina desde la época de Laplace y entre los más destacados podemos citar a Chebyshev, Markov, Von Mises y Kolmogorov. Una de las dificultades para desarrollar una teoría matemática de la probabilidad reside en lograr una definición de probabilidad suficientemente precisa para su uso en Matemática, pero que mantenga un grado de amplitud suficiente como para ser aplicada a una vasta gama de fenómenos. La búsqueda de tal definición tomó alrededor de tres siglos, caracterizados por la controversia, que fue finalmente resuelta en una monografía del matemático ruso Andrei Nicolaevich Kolmogorov, que en al año 1931 publica Fundamentación AxioProbabilidades mática de la Teoría de Probabilidades. Desde entonces las ideas han sido refinadas y la teoría de probabilidades es parte de una disciplina más amplia conocida como teoría de la medida.

Pierre Simón de Laplace

Una actividad que los seres humanos realizamos cotidianamente, es la toma de decisiones; tan frecuente es, que muchas veces ni siquiera nos percatamos de estar haciéndolo. A qué hora programar el reloj despertador; salir con o sin paraguas; qué carrera vamos a cursar; qué libros vamos a leer durante estas vacaciones, son algunos ejemplos de ello. Lo que sucede en el terreno personal y familiar también se proyecta, en otras dimensiones y con otra relevancia, al ámbito comunitario, regional, nacional, continental y planetario, donde muchas decisiones dependen de factores difíciles de predecir con precisión y con frecuencia debemos buscar algún criterio para asignarle una probabilidad de que se verifiquen.

Contar con métodos y técnicas que permitan calcular la probabilidad de ocurrencia de ciertos fenómenos naturales (tales como la intensidad y duración de las lluvias, inundaciones, sequías, heladas, dirección y velocidad de los vientos, erupciones volcánicas y movimientos telúricos); biológicos (la extinción de ciertas especies o la eficacia de una vacuna) y sociales (como las epidemias, los resultados de una elección presidencial o la tasa de crecimiento de la economía), cobra vital importancia en la toma de decisiones orientadas a salvaguardar la vida humana, preservar el medio ambiente o mejorar la calidad de vida de las personas.

Azar Coloquialmente usamos la palabra azar y nos referimos con ello a acontecimientos fortuitos, imprevisibles, casuales; seguramente conoces los juegos de azar y sabes que más que una estrategia, lo que se necesita para ganar es “suerte”. La lotería, las ruletas, los juegos con naipes y lanzar los dados son algunos ejemplos de juegos de azar.

Azar viene del vocablo árabe zahr, que en castellano decimos azahar, la aromática flor del naranjo, que se solía pintar en una de las caras de un dado. La palabra aleatorio, deriva del latín alea, juegos de azar, y la usaremos en este texto como sinónimo de azar.

191 PROBABILIDADES

La probabilidad en la vida cotidiana

UNIDAD 4

“La teoría de las probabilidades, en el fondo no es otra cosa que el buen sentido reducido al cálculo”. Laplace publicó en 1812 un gran tratado, titulado Théorie Analytique des Probabilités. Este tratado contiene una exposición completa y sistemática de la teoría matemática de los juegos de azar, además de una gran cantidad de aplicaciones de la teoría de la probabilidad a muchas cuestiones cientíﬁcas y prácticas. Laplace no se limita solo a estudiar problemas de probabilidades discontinuas que corresponden a juegos de azar, sino que también estudia problemas de probabilidades continuas.

Experimento aleatorio

PROBABILIDADES

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado, al ser repetido tantas veces como se desee en condiciones similares, no puede ser predicho con certeza. Por ejemplo, cuando se lanza una moneda al aire, los resultados posibles son que la moneda caiga con la cara hacia arriba (resultado que llamamos cara) o con la cara hacia abajo (resultado que llamamos sello), pero no sabemos de antemano cuál de ellos va a salir. O bien, al hacer rodar un dado de seis caras

UNIDAD 4

192

(identificadas por el número de puntos grabados en ellas), el resultado puede ser que cualesquiera de las caras quede apuntando hacia arriba, pero no se tiene certeza sobre cuál de ellas será. Un experimento no aleatorio podría ser el siguiente: se deja caer una pequeña esfera de acero desde una altura de 5 m sobre el suelo y con un cronómetro se mide el tiempo de caída. Si repetimos el experimento 10 veces en condiciones similares, el tiempo de caída siempre será 1,01 s. Es decir, el resultado del experimento es predecible.

Espacio muestral Se denomina espacio muestral E al conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el caso del lanzamiento de una moneda el espacio muestral es E = {cara, sello}, mientras que cuando hacemos rodar un dado de seis caras es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Ejercicios resueltos 1. Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar tres veces una moneda al aire, y registrar cada vez el resultado obtenido. Encuentra el espacio muestral registrando los resultados posibles utilizando un diagrama del árbol.

Solución Si llamamos C a obtener cara y S a obtener sello tenemos: 1er lanzamiento

2do lanzamiento

3er lanzamiento

Al observar el diagrama del árbol que hemos construido se puede deducir que el espacio muestral está deﬁnido por: E = {(CCC), (CCS), (CSC), (CSS), (SCC), (SCS), (SSC), (SSS)} 2. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en extraer dos bolitas de una caja que contiene 4 bolitas verdes y 3 rojas. Encuentra el espacio muestral.

Solución

UNIDAD 4

Para registrar todos los resultados posibles utilizaremos la tabla siguiente:

E = {VV, VR, RV, RR}

Ejercicios propuestos Describe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: 1. Sacar al azar una ﬁcha de una caja que contiene 9 ﬁchas numeradas del 1 al 9. 2. Hacer rodar dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. 3. Responder al azar dos preguntas cuyas respuestas posibles son verdadero o falso.

PROBABILIDADES

193 Si llamamos V a “extraer una bolita verde” y R a “extraer una bolita roja”, el espacio muestral es:

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

PROBABILIDADES

Registro de resultados

UNIDAD 4

194

Los resultados de un experimento se pueden registrar y el experimento se puede repetir bajo las mismas condiciones todas las veces que se desee. Cuando el experimento aleatorio se repite muchas veces, el recuento y registro de los resultados suele hacerse en una tabla de frecuencias. La frecuencia absoluta de un resultado es el número de veces que ocurre ese resultado. La frecuencia relativa de un resultado es el cociente entre su frecuencia absoluta y el total de resultados observados. Por ejemplo, si se hace rodar 500 veces un dado y en 37 ocasiones se obtiene 4, entonces la frecuencia absoluta de 4 es f = 37 y la frecuencia relativa de 4 es:

Usualmente, la frecuencia relativa también se puede expresar como frecuencia relativa porcentual, es decir como porcentaje, de modo que en el ejemplo anterior fr = 7,4 % Recuerda que el símbolo % (cuando está a continuación de un número, se lee por ciento) es una 1 , es decir, forma abreviada de escribir 100 1 1%= 100

De manera que: 0,074 = 0,074 • 100 = 0,074 • 100 • 1

fr = 37 = 0,074

100

0,074 = 7,4 %

500

Como la frecuencia absoluta de un resultado solo puede ser menor o a lo sumo igual que el número de resultados observados, la frecuencia relativa es un número comprendido entre 0 y 1, es decir: 0 ≤ fr ≤ 1

Ejercicios resueltos En un curso universitario al que asisten 10 estudiantes, la primera evaluación arrojó las siguientes notas: 5 – 3 – 7 – 2 – 5 – 4 – 4 – 6 – 6 – 6. a) Confecciona una tabla de frecuencias. b) ¿Cuántos estudiantes han obtenido una nota igual a 6? c) ¿Cuál es la frecuencia relativa de esa nota? d) Expresa en porcentaje la frecuencia relativa encontrada en c). e) Construye un gráﬁco de barras, ubicando en el eje x las notas obtenidas por los(as) alumnos(as) y en el eje y los valores de la frecuencia relativa.

⇒

Nota

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

0 10

1 10

2 10

3 10

1 10

Total

b) Hemos destacado en la tabla la fila correspondiente a la calificación 6. En la segunda columna observamos el valor de la frecuencia absoluta, que nos indica que 3 estudiantes obtuvieron dicha nota. c) La tercera columna de la misma fila nos enseña que la frecuencia relativa de la nota 3 = 0,3. que estamos analizando es 10

0,3 = 0,3 • 100 • 1

100

⇒ 0,3

∴ 30 %

Primera evaluación

Frecuencia relativa

0,3

0,2

0,1

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0 Notas

5,0

6,0

7,0

195 PROBABILIDADES

d) Para expresar la frecuencia relativa en porcentaje procedemos como sigue:

UNIDAD 4

Soluciones

Ejercicios propuestos 1. Lanza una moneda al aire 50 veces y completa la siguiente tabla de frecuencia:

Resultados posibles

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

cara sello

PROBABILIDADES

total

UNIDAD 4

196

2. Se reunieron 10 estudiantes y cada uno(a) hizo 50 lanzamientos de una moneda y el experimento consistía en registrar el número de veces en las que cada uno obtenía “cara”. La tabla resume los resultados obtenidos.

Alumnos(as)

Frecuencia absoluta de caras

Frecuencia acumulada de caras

Nº de lanzamientos acumulados

Frecuencia relativa acumulada de caras

0,620

100

0,550

150

0,567

107

200

0,535

127

250

0,508

155

300

0,517

185

350

0,529

211

400

0,528

231

450

0,513

252

500

0,504

a) ¿Cómo se obtienen los valores de la tercera, cuarta y quinta columna? b) ¿Cuántos lanzamientos se hicieron en total? c) Explica a qué corresponde el valor 0,504 en la última línea. d) Graﬁca la frecuencia relativa acumulada en función del número de lanzamientos acumulados. e) Comenta la forma de la gráﬁca al unir los puntos obtenidos.

¿Cuáles son nuestras preferencias?

Tipo de Música Estudio Rock Romántica Pop Otras Ninguna Total

10 10 12 2 6 40

Situaciones Descanso Compartir con amigos(as) 9 12 8 8 3 40

15 7 4 12 2 40

A partir de esta tabla, las frecuencias relativas porcentuales resultantes son las siguientes: Tipo de Música

Situaciones Estudio

Descanso Compartir con amigos(as)

Rock

25,0%

22,5%

37,5%

Romántica

25,0%

30,0%

17,5%

Pop

30,0%

20,0%

10,0%

Otras

5,0%

20,0%

30,0%

Ninguna

15,0%

7,5%

5,0%

Total

100,0%

A partir de esta tabla se puede concluir que: • La música preferida por los(as) estudiantes mientras comparten con los amigos(as) es el rock (37,5%). • Cuando descansan, la música preferida es la romántica (30,0%). • Mientras estudian, los(as) estudiantes prefieren, en primer lugar, escuchar música pop (30,0%).

¿Es conveniente escuchar música mientras se estudia? Para que el aprendizaje sea efectivo, es conveniente que no existan distracciones y que la persona se concentre. Ciertos tipos de música distraen y otros crean condiciones favorables para el estudio. A través de Internet, busca información para resolver este interrogante.

UNIDAD 4

Motivados por el impacto de la matemática en la vida de las personas, un grupo de

alumnos quiere estudiar las tendencias en los gustos musicales de los(as) jóvenes. Para probar su método hicieron una encuesta en su curso (40 alumnos(as)). Preguntaron a sus compañeros(as) las preferencias de música para diferentes situaciones (estudio, descanso, compartir con amigos(as)). Los resultados que obtuvieron fueron los siguientes:

197 PROBABILIDADES

En la vida cotidiana nos enfrentamos a preguntas frecuentes sobre las preferencias de las personas en todo tipo de actuaciones. La Matemática ayuda a entenderlas y a tomar buenas decisiones. Veamos un caso:

¿Se pueden proyectar directamente estos resultados a otros cursos? No necesariamente, pues puede cambiar la composición de los grupos (sexo, edad y otros factores), lo cual influye en los gustos musicales.

PROBABILIDADES

Preferencias del deporte

UNIDAD 4

198

Organiza un grupo de tres compañeros(as) para estudiar las tendencias del curso en sus preferencias deportivas. Selecciona los siguientes deportes: fútbol, básquetbol, ping pong. Considera las siguientes posibilidades de ámbitos donde practicar tales deportes: en el liceo como parte de las actividades deportivas, en los recreos, en los barrios donde viven los(as) estudiantes.

Formulen una encuesta con esas preguntas y tabulen los resultados para mujeres, para varones y para el total de los(as) estudiantes. Analicen los siguientes temas: • ¿En qué ámbito los varones tienen más inclinación por el fútbol? • ¿En qué deporte las mujeres tienen más preferencias que los hombres y en qué ámbitos? • ¿Cuál es el deporte preferido por los varones en los recreos? ¿Y por las mujeres? • ¿Se pueden proyectar estos resultados a otros cursos? ¿A otras ciudades?

Equiprobabilidad Cuando se realiza un experimento aleatorio es importante distinguir si los resultados son equiprobables o si no lo son. Si al realizar un experimento se verifica que las frecuencias relativas tienden a estabilizarse en valores parecidos para los diferentes resultados posibles de obtener, se puede concluir con cierto grado de certeza que los resultados son equiprobables. Es el caso de lanzar una moneda, hacer rodar un dado o dejar caer una bolita en una ruleta (dividida en partes iguales) que gira, en la medida que los objetos aludidos estén funcionando normalmente.

Por el contrario, si las frecuencias relativas de los diferentes resultados posibles tienden a estabilizarse en valores notoriamente diferentes entre ellas, se dirá que los resultados son no equiprobables. Es el caso de un dado trucado (o cargado), una moneda defectuosa o una ruleta dividida en partes de diferentes áreas.

Ejercicios resueltos Decide, en cada uno de los siguientes experimentos aleatorios, si los resultados son equiprobables: 1. Se extrae una bolita al azar de una bolsa que contiene 50 bolitas negras, 50 blancas y 50 grises todas del mismo tamaño e indistinguibles al tacto.

Solución Al haber la misma cantidad de bolitas de cada color y dada la imposibilidad de distinguirlas por medio del tacto, se puede conﬁrmar que los resultados son equiprobables, es decir, existe la misma probabilidad de sacar una bolita negra, blanca o gris. 2. En una bolsa hay 50 bolitas negras, 25 blancas y 10 grises de la cual se saca una bolita al azar.

3. Se selecciona al azar una carta de una baraja española y se registra si la carta es numerada o es ﬁgura (sota, caballo o rey), sin importar la pinta.

Solución La baraja española tiene 40 cartas: 10 de cada pinta (oro, espada, basto y copa) y cada pinta tiene 7 cartas numeradas (del 1 al 7) y 3 figuras (sota, caballo y rey). En consecuencia, el total de cartas numeradas es 28 y las cartas con figuras son 12. De este modo, la probabilidad de seleccionar una carta numerada es mayor que la de obtener una figura. Por lo tanto los resultados de esta experiencia son no equiprobables.

Ejercicios propuestos Decide en qué caso(s) los resultados de cada experimento son equiprobables. Justiﬁca tus respuestas. 1. Se elige un(a) estudiante al azar y se anota su sexo, en un colegio donde hay 750 estudiantes matriculados, de los cuales 500 son del sexo femenino. 2. Se lanzan dos dados (no trucados) y se registra la suma que se obtiene al sumar sus puntos. 3. Se abre la guía telefónica residencial en una página al azar y se registra la letra inicial de los apellidos de las personas que aparecen en la página.

199 PROBABILIDADES

Dada la distribución de bolitas dentro de la bolsa, existe mayor probabilidad de extraer una bolita del color más abundante. En este caso, es mayor la probabilidad de extraer una bolita negra que una gris, por lo que los resultados son no equiprobables.

UNIDAD 4

Solución

PROBABILIDADES

Sucesos de un experimento aleatorio

UNIDAD 4

200

Suceso elemental

Suceso compuesto

Como hemos dicho, el conjunto de todos los resultados posibles al realizar un experimento aleatorio se denomina espacio muestral. Cada uno de estos resultados recibe el nombre de suceso elemental. Así, por ejemplo, al lanzar una moneda normal al aire, el espacio muestral es E = {cara, sello}.

En algunas ocasiones, el evento que interesa registrar no corresponde a uno de los resultados individuales, sino que es un conjunto de resultados del espacio muestral.

Cada uno de los dos resultados cara y sello corresponde a un suceso elemental.

En el caso de hacer rodar un dado de seis caras, el espacio muestral es: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} Cada uno de los seis resultados 1, 2, 3, 4, 5, 6 corresponde a un suceso elemental.

Por ejemplo, cuando al hacer rodar un dado lo que nos interesa conocer es la probabilidad de obtener un resultado menor que 3 (en otras palabras calcular la probabilidad de ocurrencia de 1 ó 2. Diremos que “obtener 1 ó 2” es un suceso compuesto. Entonces, suceso de un experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Normalmente se designan con letras mayúsculas y sus elementos se encierran entre paréntesis de llaves, separados por comas. Ilustremos este punto con un ejemplo. Lanzamos un dado de seis caras y estamos interesados en el suceso “que salga un número par”. Como ya sabemos, el espacio muestral en este caso es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el suceso “que salga un número par” que denotamos por A, queda definido por A = {2, 4, 6} En este ejemplo, el suceso A ocurre cada vez que el resultado del experimento sea 2, 4 ó 6.

Advertencia Hemos establecido una diferencia entre suceso y resultado. En el ejemplo anterior A = {2, 4, 6}. Si al lanzar el dado el resultado es 2, signiﬁca que el suceso A ocurre, mientras que si al lanzar el dado el resultado es 3, signiﬁca que el suceso A no ocurre.

Ejercicios resueltos 1. Un estudiante responde al azar a dos preguntas cuyas alternativas de respuesta son verdadero o falso. a) Encuentra el espacio muestral. b) Escribe el suceso “responder verdadero a la primera pregunta”.

Soluciones a) Para facilitar el cálculo del espacio muestral construimos una tabla: V

(V,V)

(V,F)

(F,V)

(F,F)

2. Un turista recorre una ciudad doblando a la izquierda o doblando a la derecha al azar, cada dos esquinas. Después de completar cuatro virajes, se detiene a sacar fotografías. a) Escribe el espacio muestral de uno de estos episodios. b) Escribe el suceso “doblar a la izquierda sólo en una oportunidad” c) Escribe el suceso “doblar a la derecha al menos en 3 oportunidades”

Soluciones a) Llamando I al suceso elemental “doblar a la izquierda” y D al suceso elemental “doblar a la derecha”, el espacio muestral E queda deﬁnido por: E = { (I, I, I, I), (I, I, I, D), (I, I, D, I), (I, D. I. I) (D, I, I, I), (I, I, D, D), (I, D, I, D), ( I, D, D, I) (D, I, I, D), (D, I, D, I), (D, D, I, I), ( I, D, D, D) (D, I, D, D), (D, D, I, D), (D, D, D, I), (D, D, D, D) } b) El suceso C “doblar a la izquierda sólo en una oportunidad” está descrito por: C = { (D, D, D, I), (D, D, I, D), (D, I, D, D), (I, D, D, D) } c) El suceso K, “doblar a la derecha al menos en 3 oportunidades” está dado por: K = { (D, D, D, I), (D, D, I, D), (D, I, D, D), (I, D, D, D), (D, D, D, D) }

201 PROBABILIDADES

b) El suceso “responder verdadero a la primera pregunta” será el subconjunto B del espacio muestral formado por todos los sucesos elementales en que la primera pregunta se responde como verdadero y en tal caso es: B = {(V,V) , (V, F)}.

UNIDAD 4

Entonces, el espacio muestral de este experimento es: E = {(V, V), (V, F), (F, V) (F, F)}

Definiciones Suceso imposible: Es un suceso sin resultados, es decir un suceso con probabilidad de ocurrencia nula. Ejemplo: “Obtener 7” al hacer rodar un dado normal de seis caras. Suceso seguro: Es un suceso con probabilidad 1. Ejemplo: “Obtener cara o sello” al lanzar una moneda al aire.

PROBABILIDADES

Suceso elemental: Hace referencia a cada uno de los resultados que conforman el espacio muestral. Ejemplo: “Obtener 3” al hacer rodar un dado de seis caras.

UNIDAD 4

202

Suceso compuesto: Es un subconjunto del espacio muestral, formado por sucesos elementales. Ejemplo: “Obtener un número impar” al hacer girar la manecilla de una ruleta con números del 1 al 30.

Ejercicios propuestos 1. En un experimento que consiste en hacer rodar dos dados de seis caras y registrar la suma de los puntos obtenidos se han definido los sucesos A, B, C, D y E. Escribe el conjunto de resultados que define a cada uno de ellos y anota qué tipo de suceso se trata. • A: “la suma es igual a 2” • B: “la suma es igual a 1” • C: “la suma es número primo” • D: “la suma es un número entre 2 y 12” • E: “la suma es menor o igual que 9” 2. Se extrae una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas con los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20. Define en este experimento un suceso: a) seguro b) imposible c) elemental d) compuesto

En este capítulo mostraremos diferentes definiciones de probabilidad, que sin ser incompatibles entre ellas, sino más bien complementarias, encuentran sus espacios de aplicación en contextos también diferentes. Probabilidad teórica, probabilidad experimental y probabilidad subjetiva son tres interpretaciones y modalidades de evaluación de un mismo concepto, que debe tener la adaptabilidad suficiente como para aplicarse en situaciones de muy diversa índole.

Probabilidad clásica La probabilidad clásica se basa en la idea de que, bajo ciertas condiciones, es posible calcular la posibilidad de ocurrencia de un determinado

resultado antes de realizar el experimento (a priori). La forma teórica de obtener una probabilidad se calcula aplicando la Regla de Laplace.

Regla de Laplace Si un experimento aleatorio tiene un número finito Para aplicar la Regla de Laplace el experimento n de resultados y todos ellos son equiprobables, aleatorio debe cumplir algunas condiciones: entonces: a) El número de resultados posibles (sucesos ele• La probabilidad de ocurrencia de uno de tales mentales) tiene que ser finito y debe ser conocido. resultados es: 1n • La probabilidad de ocurrencia P(A) de un suceso b) Todos los resultados (sucesos elementales) tieA que consta de k de dichos resultados es: nen que tener la misma probabilidad de ocurrencia (equiprobables). P(A) = k n

Analicemos, desde el punto de vista del cálculo de Dicho de otra forma, la Regla de Laplace define la probabilidades, algunos experimentos aleatorios. probabilidad P(A) de un suceso A como: P(A) = Nº de casos favorables Nº de casos posibles

203 PROBABILIDADES

Probabilidad es un concepto que usamos coloquialmente a diario en nuestras conversaciones para mostrar nuestra percepción acerca de la ocurrencia o no ocurrencia de algún evento. La predicción del tiempo, la anticipación del resultado de un partido de fútbol o de un juego al azar están asociados al concepto de probabilidad. Por otro lado, el uso formal de este concepto está muy extendido en la ciencia, por ejemplo, en Biología, Ciencias Sociales e Ingeniería. El cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadística inductiva o inferencial.

UNIDAD 4

Probabilidades y probabilidades

Lanzamiento de un dado de seis caras Los dados más tradicionales son cúbicos, por lo que tienen seis caras, y en cada una de ellas tiene puntos grabados que representan los números del 1 al 6. Cuando se lanza un dado la probabilidad de que la cara “2”, quede apuntando hacia arriba una vez que el dado se detiene es, de acuerdo a la Regla de Laplace:

PROBABILIDADES

P= 1 6

UNIDAD 4

204

El dado tiene sólo una cara que representa al 2 El lanzamiento de un dado tiene seis resultados posibles equiprobables

“sello”, es:

P= 1 2

→ La moneda tiene solo un lado sello → El lanzamiento de una moneda tiene dos resultados posibles equiprobables.

Entonces, al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener sello es 1 . 2

Jugar a la lotería Se compra solo un número de la lotería y se sabe que el total de boletos impresos es 90.000, la probabilidad P de ganar el premio mayor, si hay solo uno es:

1 90.000

Entonces, cuando un dado rueda, la probabilidad de obtener 2 es 1 .

Se tiene sólo un número de lotería La lotería tiene 90.000 números posibles equiprobables

Lanzamiento de una moneda al aire Una moneda tiene solo dos lados: cara y sello. La probabilidad de obtener una de ellas, digamos

Ejercicios resueltos Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado de 8 caras numeradas del 1 al 8, se obtenga: a) el número 6 b) un número par

Soluciones a) Llamemos A al suceso “obtener el número 6”. El número de casos favorables es sólo 1, puesto que el dado tiene una sola cara con 6 puntos. El número de casos posibles es 8 ya que se trata de un dado de 8 caras. Luego, P (A) = Nº de casos favorables = 1 = 0,125 = 12,5 % Nº de casos posibles

b) Llamemos B al suceso “obtener un número par”, entonces se tiene: N° de casos favorables = 4, porque el dado tiene cuatro números pares: 2, 4, 6 y 8 N° de casos posibles = 8, porque el dado tiene 8 caras Por lo tanto,

P (B) = Nº de casos favorables = 4 = 0,5 = 50 % Nº de casos posibles

Ejercicios propuestos 1. Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número “menor que 5”. 2. Si una bolsa contiene 5 bolitas azules y 3 rojas, indistinguibles al tacto, calcula la probabilidad de extraer una bolita roja. 3. Calcula la probabilidad de “sacar un as” al extraer una carta al azar de la baraja española (40 cartas). 4. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado “salga un número primo”? 5. Calcula la probabilidad de comprar el único número ganador de una lotería, si se han impreso 30.000 boletos, cada uno con un número diferente a todo el resto.

¿Es siempre posible definir a priori el número de casos favorables en un experimento aleatorio? Consideremos el experimento aleatorio consistente en elegir al azar una ampolleta dentro de un lote de 2.000 ampolletas aparentemente idénticas. ¿Cuál es la probabilidad del suceso “elegir una ampolleta defectuosa”? ¿Es posible conocer el número de ampolletas defectuosas que hay entre las 2.000 sin probarlas? En este caso la regla de Laplace resulta inaplicable. No podemos asignar un valor a la probabilidad de elegir una ampolleta defectuosa sin efectuar el experimento, en contraste con los casos anteriores en los cuales podíamos predecir la probabilidad de ocurrencia de un suceso en virtud de las simetrías del experimento.

debe estar seguro de que todos esos resultados posibles (sucesos elementales) tienen la misma probabilidad de ocurrencia. En un experimento aleatorio en el que no se cumplen estas dos condiciones, resulta inaplicable la definición clásica de probabilidad. Un dado trucado de seis caras es uno que ha experimentado la alteración de una o varias de las simetrías propias de un cubo. Ello puede ocurrir al limar una de sus aristas o uno de sus vértices, o al contener en su interior un peso desequilibrante (como un trozo de plomo cercano a alguna de sus caras).

Estudio de un dado trucado Como ya se mencionó, según el enfoque clásico, para calcular la probabilidad de un suceso se necesitan dos requisitos: a) Exhaustividad y b) Equiprobabilidad El primero, significa que se deben conocer todos los resultados posibles del experimento aleatorio que se va a realizar y el segundo, que se

¿Cuál es la probabilidad de que salga la cara “5” al lanzar un dado cargado? Cuando el dado está cargado hace que, por ejemplo, el cinco tenga mayores probabilidades de salir que el tres, en cuyo caso no se cumple el requisito de equiprobabilidad y corresponde aplicar la noción de probabilidad experimental.

205 PROBABILIDADES

Probabilidad experimental

UNIDAD 4

6. Determina la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtengan tres sellos.

La probabilidad experimental se evalúa realizando numerosas veces el experimento en cuestión, registrando cada uno de sus resultados. La frecuencia relativa de cada resultado establece una forma de valorar la probabilidad de que ese resultado se verifique, razón por la cual también se denomina probabilidad frecuencial. La probabilidad experimental se define como el cociente entre el número de los casos favorables y el número de casos observados. Nº de casos de ocurrencia de A Nº de resultados observados

P(A) =

PROBABILIDADES

Para ilustrar la definición anterior consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado 20 veces. Los resultados registrados fueron los siguientes:

UNIDAD 4

206

Resultados

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1 20

3 20

2 20

1 20

12 20

1 20

Sabemos que al lanzar un dado equilibrado la probabilidad teórica de obtener cualquiera de los seis resultados es 16 . Al comparar en la tabla el valor de la frecuencia absoluta de “5” con las frecuencias absolutas de las otras caras, es fácil darse cuenta de que el dado utilizado presentaba algún defecto, es decir se trata de un dado trucado. De acuerdo a la definición de probabilidad experimental, la probabilidad de ocurrencia de “obtener 5” está dada por: P = Nº de veces que salió 5 = 12 Nº de lanzamientos

Vale la pena hacer a este punto tres comentarios: a) Es imposible, en el caso de un dado trucado, calcular una probabilidad teórica, puesto que no contamos con elemento alguno que nos permita hacer alguna suposición

respecto de la frecuencia de ocurrencia de sus caras. b) Si el experimento se hubiera realizado un número diferente de veces (por ejemplo 10 veces o 55 veces) el valor de la probabilidad experimental seguramente habría sido diferente. c) Como la suma de las probabilidades de ocurrencia de todos los sucesos posibles debe ser 1, si la probabilidad de un suceso elemental crece notablemente respecto a lo que sería si los resultados fueran equiprobables, lo hace en desmedro de las probabilidades de ocurrencia de los demás sucesos elementales. En el ejemplo anterior, la probabilidad de ocurrencia de la cara 5 resultó ser mucho mayor que 16 , es decir mayor que la probabilidad que le correspondería si el dado no estuviera trucado, mientras que la probabilidad de ocurrencia de las otras caras es menor que 1 . 6

Ejercicios resueltos Se tiene una caja que contiene aproximadamente 8.000 bolitas rojas y azules, indistinguibles al tacto. Se saca una bolita al azar y se devuelve. Al realizar el experimento 100 veces, se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Calcula la probabilidad de:

Si llamamos R al suceso “extraer una bolita roja” y P(R) a su probabilidad de ocurrencia se tendrá que: P(R) = 21 = 0,21 = 21% 100

b) N° de casos favorables = 79 (porque se extrajeron 79 bolitas azules)

a) extraer una bolita roja; b) extraer una bolita azul.

Soluciones a) N° de casos favorables = 21 (porque en el experimento se extrajeron 21 bolitas rojas)

Si llamamos A al suceso “extraer una bolita azul” y P(A) a su probabilidad de ocurrencia se tendrá que:

N° de casos observados = 100 (porque el experimento se realizó 100 veces)

P(A) = 79 = 0,79 = 79% 100

Ejercicios propuestos

207

PROBABILIDADES

1. Observa cada una de las cajas.

UNIDAD 4

N° de casos observados = 100 (porque el experimento se realizó 100 veces)

Determina en cuál de las cajas: a) es equiprobable sacar una bolita azul o una roja. b) es más probable sacar una bolita roja que sacar una azul. c) es más probable sacar una bolita azul que sacar una roja. 2. La tabla muestra los resultados obtenidos al lanzar un dado 345 veces: Resultados

Frecuencia absoluta

a) ¿Consideras estos resultados dentro de lo esperado? ¿O piensas que el dado tiene algún defecto? b) Calcula la frecuencia relativa de cada resultado. c) Calcula la probabilidad de ocurrencia de cada resultado.

3. Calcula la probabilidad experimental en los siguientes experimentos aleatorios: a) se lanzó una moneda al aire 100 veces y los resultados que se obtuvieron fueron 70 veces “cara” y 30 veces “sello”. Compara la frecuencia relativa de cada resultado con la probabilidad teórica. b) al lanzar 240 veces un dado de ocho caras iguales (octaedro) numeradas de 1 al 8, los resultados obtenidos fueron los siguientes: Cara

Frecuencia absoluta

PROBABILIDADES

Compara la frecuencia relativa con la probabilidad teórica.

Determinación de las probabilidades

Resultados

UNIDAD 4

208 Experimentos

Sucesos

Frecuencia relativa

Probabilidades

Espacio muestral Ley de los grandes números

Probabilidad de existencia de gustos

• La probabilidad de que un(a) estudiante escuche música romántica mientras descansa es 30,0%

En el tema abordado en la página 197, podemos establecer las probabilidades de existencia de ciertas preferencias personales. Por ejemplo:

• La probabilidad de que un(a) estudiante escuche música pop mientras comparte con sus amigos(a) es de 10,0%.

• La probabilidad de que un(a) estudiante de ese curso escuche rock mientras estudia es de 25,0%

• La probabilidad de que un(a) estudiante escuche rock en diferentes situaciones está en el rango de 25,5% a 37,5%

Probabilidades en la salud humana

el riesgo de la operación y buscan superarla con éxito para disponer de una vida más larga y de mejor calidad.

A. Usar medicamentos, lo que da una expectativa estimada de vida de 6 meses más para ese paciente.

Probabilidades en la producción regulada

B. Realizar un trasplante de corazón, operación que se estima tiene una probabilidad de éxito de 30% para ese paciente con los métodos vigentes, y con una expectativa de vida estimada en 10 años si supera la operación. Este caso plantea preguntas difíciles para el paciente, sus familiares y los médicos. No todos razonan de la misma forma. Por ejemplo, algunos pacientes prefieren la opción A (tratamientos con medicamentos) pues se aseguran de compartir con sus seres queridos aunque sea por poco tiempo más (y no corren el riesgo de morir en la operación). Esta puede ser también la preferencia de algunos familiares. Otros pacientes, en cambio, prefieren correr Año

Total días Días de producción por año normal

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 * Año bisiesto

365 365 365 366* 365 365 365

360 359 361 358 356 329 355

Este caso ilustra como las probabilidades percibidas de los sucesos afectan nuestras decisiones con implicaciones de diversa índole.

Una empresa produce acero, el cual es ampliamente usado en todo tipo de construcciones (casas, edificios, carreteras, represas, plantas industriales, etc.). El proceso productivo que utiliza la empresa, la fundición, emite gases al ambiente, algunos de cuyos componentes son contaminantes. Algunos días al año estos superan los umbrales establecidos en las normas ambientales, por lo que la empresa debe suspender la producción cuando ello ocurre. En la tabla siguiente se muestran los resultados obtenidos para 7 años sucesivos.

Días de producción suspendida 5 6 4 8 9 6 10

Frecuencia relativa porcentual de producción suspendida 1,37% 1,64% 1,10% 2,19% 2,47% 1,64% 2,74%

UNIDAD 4

Consideremos el caso siguiente que ocurre con cierta frecuencia debido al aumento de las enfermedades cardiovasculares. Una persona tiene una enfermedad grave al corazón. Las opciones de tratamiento son:

En otra circunstancia, aquellos que optaron por A pueden cambiar radicalmente su decisión si la probabilidad de éxito de la operación de trasplante aumenta. Por ejemplo, si un nuevo método de operación se pone en práctica y hace posible subir la probabilidad de éxito al 90%, entonces la mayoría, o quizás todos, preferirá la opción B (hacer el trasplante).

209 PROBABILIDADES

En la vida de las personas ocurren muchas situaciones sobre su salud que son afectadas por las probabilidades de éxito de sus decisiones. Estas decisiones tienen implicaciones vitales, éticas y económicas.

Del análisis de esta información se puede obtener lo siguiente: • la probabilidad de suspender la producción se puede representar por la frecuencia relativa porcentual. • la probabilidad de que la empresa no produzca debido a restricciones ambientales alcanzó su mayor valor en el año 2007

(2,74%) y su menor valor en el año 2003 (1,10%). • ¿Qué pasaría si las condiciones empeoraran y el número de días con producción suspendida sube a 20 días? • Analiza el impacto económico de la restricción de producción.

Probabilidad de ganar y perder en el deporte PROBABILIDADES

Un equipo de fútbol obtuvo los siguientes resultados en el campeonato del año 2007: Partidos

Total

Local

PJ: Jugados PG: Ganados PE: Empatados PP: Perdidos

3417 1811 95 71

17 7 4 6

Visita

210 UNIDAD 4

Del análisis de esta información se obtienen las siguientes frecuencias relativas porcentuales: Partidos

Total

Local

Visita

PJ: Jugados PG: Ganados PE: Empatados PP: Perdidos

100% 52,9% 26,5% 20,6%

100% 64,7% 29,4% 5,9%

100% 41,2% 23,5% 35,3%

Estas frecuencias relativas se pueden interpretar como probabilidades de ocurrencia de ciertos sucesos. Por ejemplo, la probabilidad de ese equipo de ganar como local en el campeonato es de un 64,5%, pero de un 41,2% jugando de visita. ¿Se pueden proyec-

tar estas probabilidades para el campeonato del año 2008? En general, no lo son pues los equipos suelen cambiar algunos jugadores y a veces su director técnico entre un campeonato y otro, y ello altera las condiciones de la competencia.

Si multiplicamos ALEATORIO ( ) por 2, generaremos un número (real) aleatorio mayor o igual a 0 y menor que 2. Es lo que aparece en la segunda columna de la tabla siguiente. La función ENTERO redondea un número hasta el entero inferior más próximo (por ejemplo, 1,85 lo redondea a 1).

Si tomamos la parte entera de ALEATORIO( )*2 es decir escribimos: ENTERO (ALEATORIO( )*2) obtendremos la parte entera de un número que es mayor o igual a 0 y menor que 2, es decir los únicos resultados posibles son 0 y 1, que es lo que aparece en la tercera columna de la tabla. Simulación de 10 lanzamientos de una moneda:

Aleatorio()*2

Entero(Aleatorio()*2)

0,37976602

0,75953204

0,64010917

1,28021834

0,72349601

1,44699201

0,66559645

1,3311929

0,03407457

0,06814915

0,8577115

1,715423

0,79594422

1,59188843

0,17947939

0,35895878

0,87839943

1,75679886

0,97211775

1,9442355

UNIDAD 4

Aleatorio()

211

Si adoptamos la convención que 0 significa cara y 1 significa sello, podemos simular con este mecanismo, el lanzamiento de una moneda. Podemos copiar la fórmula tantas veces como estimemos conveniente de modo de simular la repetición del experimento.

Simulación del lanzamiento de un dado de 6 caras Para simular los resultados del experimento aleatorio de hacer rodar un dado, necesitamos producir al azar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. La expresión ENTERO(ALEATORIO( )*6) permite generar al azar los seis números 0, 1, 2, 3, 4, 5, que es casi lo que queremos, pero no exactamente lo que nos habíamos propuesto. Introduciendo un pequeño cambio podemos lograr nuestro cometido, utilizando la expresión: ENTERO(ALEATORIO( )*6 + 1)

A continuación exhibimos una tabla que registra la simulación de 50 lanzamientos de un dado de seis caras realizada en Excel con la instrucción anterior. 3

PROBABILIDADES

Simulación del lanzamiento de una moneda utilizando MS Excel ®

Probabilidad experimental y probabilidad teórica Gracias a la herramienta computacional que hemos diseñado, estamos en condiciones de simular experimentos aleatorios para entender más nitidamente los conceptos que hemos introducido.

PROBABILIDADES

A continuación analizaremos un experimento en el que es posible establecer la probabilidad teórica de ocurrencia de los resultados y la compararemos con la probabilidad experimental, calculada a partir de los resultados obtenidos al realizar numerosas veces el experimento.

nición de probabilidad experimental. ¿Qué ocurriría en el caso de obtener “sello” en un experimento que se realiza solo una vez? En este caso, la probabilidad experimental de obtener “cara” es 0, puesto que no salió “cara” en oportunidad alguna y en este caso la probabilidad experimental dista mucho de la probabilidad teórica.

Resultados equiprobables

Se trata de un caso extremo, que ilustra en forma muy burda, que pocos resultados experimentales son insuficientes para tener una estimación confiable de la probabilidad de ocurrencia de un suceso.

El experimento a analizar es el lanzamiento de una moneda, caso en el cual ya sabemos –sin necesidad de realizar el experimento– que la probabilidad teórica de obtener “cara” es 0,5, pero justamente lo que queremos ensayar es la bondad de la defi-

La tabla muestra el registro de las veces que resultó “cara” en un total de 10.000 lanzamientos de la moneda haciendo uso del simulador. En cada celda se registra el número de veces que resultó “cara” por cada 100 lanzamientos:

UNIDAD 4

212 48

Notemos que solo tres celdas de la tabla anterior registran exactamente 50 caras. Como cada celda representa 100 lanzamientos,

entonces solo en 300 de los 10.000 lanzamientos se obtuvo exactamente el valor de la probabilidad teórica (0,5).

Frec. relativa Número de acumulada lanzamientos

Frecuencia acumulada

Frec. relativa Número de acumulada lanzamientos

Frecuencia acumulada

Frec. relativa acumulada

100

0,480

3.400

1.700

0,500

6.700

3.358

0,501

200

0,485

3.500

1.757

0,502

6.800

3.410

0,502

300

154

0,513

3.600

1.809

0,503

6.900

3.461

0,502

400

200

0,500

3.700

1.862

0,503

7.000

3.508

0,501

500

251

0,502

3.800

1.915

0,504

7.100

3.560

0,501

600

296

0,493

3.900

1.971

0,505

7.200

3.610

0,501

700

344

0,491

4.000

2.021

0,505

7.300

3.664

0,502

800

396

0,495

4.100

2.071

0,505

7.400

3.713

0,502

900

443

0,492

4.200

2.115

0,504

7.500

3.767

0,502

1.000

494

0,494

4.300

2.163

0,503

7.600

3.823

0,503

1.100

543

0,494

4.400

2.215

0,503

7.700

3.877

0,504

1.200

597

0,498

4.500

2.263

0,503

7.800

3.934

0,504

1.300

646

0,497

4.600

2.312

0,503

7.900

3.982

0,504

1.400

698

0,499

4.700

2.361

0,502

8.000

4.030

0,504

1.500

747

0,498

4.800

2.408

0,502

8.100

4.074

0,503

1.600

801

0,501

4.900

2.457

0,501

8.200

4.122

0,503

1.700

855

0,503

5.000

2.508

0,502

8.300

4.175

0,503

1.800

903

0,502

5.100

2.561

0,502

8.400

4.227

0,503

1.900

956

0,503

5.200

2.609

0,502

8.500

4.276

0,503

2.000

1.003

0,502

5.300

2.661

0,502

8.600

4.323

0,503

2.100

1.054

0,502

5.400

2.717

0,503

8.700

4.370

0,502

2.200

1.101

0,501

5.500

2.766

0,503

8.800

4.424

0,503

2.300

1.154

0,502

5.600

2.819

0,503

8.900

4.479

0,503

2.400

1.201

0,500

5.700

2.870

0,504

9.000

4.535

0,504

2.500

1.255

0,502

5.800

2.917

0,503

9.100

4.587

0,504

2.600

1.303

0,501

5.900

2.971

0,504

9.200

4.640

0,504

2.700

1.350

0,500

6.000

3.020

0,503

9.300

4.687

0,504

2.800

1.395

0,498

6.100

3.066

0,503

9.400

4.741

0,504

2.900

1.443

0,498

6.200

3.119

0,503

9.500

4.786

0,504

3.000

1.497

0,499

6.300

3.166

0,503

9.600

4.841

0,504

3.100

1.541

0,497

6.400

3.211

0,502

9.700

4.890

0,504

3.200

1.597

0,499

6.500

3.264

0,502

9.800

4.937

0,504

3.300

1.651

0,500

6.600

3.311

0,502

9.900

4.988

0,504

10.000

5.041

0,504

UNIDAD 4

Frecuencia acumulada

213 PROBABILIDADES

Número de lanzamientos

Los valores más alejados de 50 son 44 y 57, lo que indicaría una probabilidad del 44% y del 57% respectivamente de obtener “cara”. A pesar de que estos valores difieren de la probabilidad teórica (50%), vamos a procesar la información anterior con la ayuda de una planilla Excel, para mostrar cómo, en la medida que se consideran más y más resultados, los valores

de la probabilidad experimental se estabilizan, acercándose a los valores teóricos. El gráfico obtenido a partir de la tabla anterior ilustra la frecuencia relativa acumulativa desde 100 hasta 9.100 lanzamientos y en él se aprecia la estabilización en un valor apenas por debajo de 0,505. La línea roja indica la probabilidad teórica (0,5).

0,505 0,500 0,495 0,490 0,485 0,480

9.100

8.100

7.100

6.100

5.100

4.100

3.100

0,470 100

2.100

0,475

1.100

UNIDAD 4

214

0,510

Frecuencia relativa acumulada

PROBABILIDADES

0,515

Nº de lanzamientos

Calculando la probabilidad P(C) de obtener “cara” a partir de los datos registrados tenemos:

simulación del lanzamiento de una moneda normal, experimento aleatorio con resultados (sucesos elementales) equiprobables.

5.041 P = Nº de veces que sale cara =

Resultados no equiprobables

= 0,541 = 50,41 %

¿Qué sucede cuando los resultados (sucesos elementales) son no equiprobables?

El resultado así obtenido difiere en un 0,82 % (¿cómo se obtiene este número?), es decir en menos de un 1%, del resultado teórico, lo cual no debe sorprendernos, ya que se trata de la

El siguiente ejercicio resuelto simula un experimento aleatorio cuyos resultados no son equiprobables.

Nº de lanzamiento

10.000

Ejercicios resueltos

Total de lanzamientos

1°

300

2°

300

3°

300

4°

300

5°

300

6°

300

7°

300

8°

300

9°

300

10°

300

11°

300

12°

300

13°

300

14°

300

15°

300

16°

300

17°

300

18°

300

19°

300

20°

300

Total

807

855

905

865

1687

881

6.000

13,45% 14,25% 15,08% 14,42% 28,12% 14,68%

a) Interpreta la tabla. b) Determina si los resultados posibles (sucesos elementales) son equiprobables. c) Graﬁca para cada suceso elemental la frecuencia relativa acumulada. Discute tus resultados.

Soluciones a) Puesto que mostrar el resultado de todos los lanzamientos es poco práctico, los resultados se agruparon en grupos de 300 lanzamientos. La tabla entonces nos indica que en los primeros 300 lanzamientos (ver la primera ﬁla de la tabla) se obtuvo: • 47 veces 1 • 48 veces 2 • 41 veces 3 • 50 veces 4 • 78 veces 5 • 36 veces 6 Después de haber completado los 6.000 lanzamientos, se obtuvo (ver ﬁla total) 807 veces 1, lo que equivale a un 13,45% del total; se obtuvo 855 veces 2, lo que corresponde a un 14,25% de los 6.000 lanzamientos y así sucesivamente.

215 PROBABILIDADES

Nº del grupo de 300 lanzamientos

UNIDAD 4

Se ha simulado el experimento aleatorio de hacer rodar 6.000 veces un dado de seis caras y los resultados obtenidos se registran en la siguiente tabla resumen.

b) Al analizar la última ﬁla de la tabla se observa que las caras 1, 2, 3, 4 y 6 tienen un comportamiento bastante similar entre ellas, pero que diﬁeren de la cara 5, que aparece aproximadamente el doble de veces que cada una de las otras caras, lo que haría pensar que el dado está “cargado al 5”.

PROBABILIDADES

c) Elaboremos una tabla especial para la cara 1, de modo de observar cómo varía su frecuencia relativa de aparición a medida que se consideran más y más lanzamientos.

UNIDAD 4

216

Grupo

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta N° de lanzamientos Frecuencia acumulada acumulados relativa acumulada

1°

300

15,67 %

2°

600

14,00 %

3°

122

900

13,56 %

4°

167

1.200

13,92 %

5°

211

1.500

14,07 %

6°

259

1.800

14,39 %

7°

289

2.100

13,76 %

8°

331

2.400

13,79 %

9°

364

2.700

13,48 %

10°

405

3.000

13,50 %

11°

449

3.300

13,61 %

12°

489

3.600

13,58 %

13°

522

3.900

13,38 %

14°

553

4.200

13,17 %

15°

606

4.500

13,47 %

16°

640

4.800

13,33 %

17°

675

5.100

13,24 %

18°

717

5.400

13,28 %

19°

765

5.700

13,42 %

20°

807

6.000

13,45 %

Una tabla análoga se puede elaborar para las demás caras. Para efectos de simplificar, hemos graficado exclusivamente lo que sucede con las caras 1, 2 (comportamiento normal) y la cara 5 (comportamiento anómalo). El comportamiento de la frecuencia relativa acumulada para las caras 3, 4 y 6 es muy similar al de las caras 1 y 2. Vemos en el gráfico de la página siguiente, que en los dos primeros casos (caras 1 y 2) hay una tendencia a estabilizar el valor de la frecuencia relativa en torno al 14 %, mientras que en el caso de la cara de comportamiento diferente (la cara 5), el valor de la frecuencia relativa se estabiliza alrededor del 28 % aproximadamente.

Frecuencia relativa acumulada 30,0 %

Cara 1

Cara 2

Cara 3

28,0 % 26,0 % 24,0 % 22,0 % 20,0 % 18,0 % 16,0 %

0 60 0 90 1. 0 20 1. 0 50 0 1. 80 0 2. 10 2. 0 40 2. 0 70 3. 0 00 0 3. 30 0 3. 60 3. 0 90 0 4. 20 4. 0 50 4. 0 80 0 5. 10 5. 0 40 5. 0 70 0 6. 00 0

10,0 %

Este ejemplo, refleja en toda su dimensión lo que la ley de los grandes números establece, en términos de que a medida que aumenta el número de veces que se repite un experimento, las frecuencias relativas de los resultados se irán estabilizando en algún valor.

Probabilidad subjetiva La noción de probabilidad experimental o frecuencial es útil cuando el proceso en el cual estamos interesados puede repetirse muchas veces bajo condiciones similares, como en el caso del lanzamiento de una moneda.

Un análisis similar se podría hacer en el caso de querer predecir el resultado de un partido de básquetbol entre dos equipos que se van a enfrentar sólo una vez durante la temporada que nos interesa.

Pero en ocasiones queremos tratar con la probabilidad de ocurrencia de procesos que ocurren una única vez. Por ejemplo, uno podría estar interesado en la probabilidad de sacarse un 6 final (o más) en Biología.

¿Qué hacemos en estos casos para evaluar las probabilidades de ocurrencia de algún suceso? Normalmente lo que hacemos es asignarle a la ocurrencia del suceso un valor numérico que refleja nuestra propia percepción, nuestra propia creencia respecto a la factibilidad del mismo. Por ejemplo, si me está yendo muy bien en Biología, probablemente estoy bastante seguro de alcanzar la meta y le asigno el valor 1 a la probabilidad de ocurrencia.

Pero realmente el curso de Biología de tercero medio sólo lo vamos a cursar una vez. Incluso si por algún traspié se diera la posibilidad de cursarlo por segunda vez, las condiciones ya no serían las mismas que en la actualidad: porque cambió el(as) docente, o porque se va a usar otro texto, o bien porque las condiciones de trabajo pueden haber variado.

Por otra parte, si mi promedio actual en la disciplina es muy bajo, consideraré que es imposible lograr alcanzar el 6 final, en cuyo caso le asignaré el valor 0 a la probabilidad de ocurrencia.

217 PROBABILIDADES

Número de lanzamientos

12,0 %

UNIDAD 4

14,0 %

Si estoy en una situación intermedia, entonces podría decir cosas tales como “tengo un 60% de probabilidades de terminar con un 6 o más en Biología” La probabilidad subjetiva, así como la hemos descrito, varía de persona en persona y por

eso acontece que una persona puede afirmar –basada en su opinión– que el candidato A va a sacar un 65% de los votos en la próxima elección parlamentaria, mientras que otra puede decir (de acuerdo a su propio análisis) que el mismo candidato A no va a alcanzar ni siquiera el 30% en la misma votación.

Variable aleatoria

PROBABILIDADES

Una variable aleatoria es una función que le asocia un valor numérico único a cada uno de los resultados del espacio muestral.

UNIDAD 4

218

Típicamente usamos para designarlas, letras mayúsculas del final del alfabeto: X, Y, Z. El valor que asume la variable (que lo designamos genéricamente por las letras minúsculas respectivas x, y, z) variará de ensayo en ensayo cuando el experimento se repite. Por ejemplo, si el experimento aleatorio consiste en hacer rodar dos dados y registrar su suma, la variable aleatoria toma todos los valores enteros entre 2 y 12. El resultado de un experimento aleatorio no es necesariamente un número, como puede ser el caso del lanzamiento de una moneda, cuyos resultados posibles son “cara” y “sello”. Sin embargo, en ocasiones estamos interesados en asignarle un valor numérico a dichos resultados. Mostraremos un poco más adelante en este texto, cómo es posible diseñar mecanismos que permiten asociar de un modo inequívoco un número real a los elementos no numéricos del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Aquellas variables que solo pueden tomar ciertos valores en el intervalo considerado y no admiten valores intermedios, se denominan variables discretas. Por ejemplo, el número de estudiantes de un colegio es una variable discreta. Puede haber 643 estudiantes o 328, pero no puede haber 722,3 estudiantes.

Variable aleatoria asociada a resultados no numéricos Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas al aire. En tal caso el espacio muestral es: E = {(CCC), (CCS), (CSC), (SCC), (CSS), (SCS), (SSC), (SSS)} Vamos a definir la variable aleatoria X a través de la siguiente prescripción: a cada elemento del espacio muestral E le asignamos un número real tal que corresponde al número de caras, entonces se tiene: Suceso

P(X = x)

(CCC)

→

1 8

Variables continuas y discretas

(CCS), (CSC), (SCC)

→

3 8

Una variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado se dice que es una variable continua.

(CSS), (SCS), (SSC)

→

3 8

(SSS)

→

1 8

El tiempo que tardo en ir de mi trabajo a mi casa es una variable continua. Puedo demorar 28 minutos, 32,5 minutos, etc.

Ejercicios propuestos 1. Indica la variable aleatoria en cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a)

elegir al azar una semana y contabilizar los minutos de espera del microbús durante esa semana.

b) extraer al azar una carta de la baraja inglesa (52 cartas, 4 pintas) y registrar su valor. c)

registrar el color de ojos de las personas que entran a una farmacia durante una mañana.

d) lanzar 100 veces una moneda al aire y registrar las veces que cayó sello.

2. Describe cuál es el experimento aleatorio que determina el valor de cada una de las siguientes variables aleatorias: a)

la suma de los puntos que muestran las caras de tres dados (de seis caras) que se lanzan al azar.

b) el número de patentes de vehículos terminadas en 5 que pasan por la calle mientras esperas el microbús. c)

el número de compañeros y compañeras que faltaron a clases durante un mes.

d) el número de accidentes de tránsito ocurridos durante los ﬁnes de semana de un año. e)

el número de veces que un vaso plástico cae boca arriba cuando se deja caer desde una mesa hasta el suelo.

Información estadística y probabilidades Como se comentó al inicio de la Unidad, recoger información, organizarla e interpretarla es de vital importancia para la toma de decisiones en diversos ámbitos. El Instituto Nacional de Estadísticas (INE) (www.ine.cl) es una institución chilena cuya finalidad es la recopilación y análisis de información

nacional que constituye la base de datos oficial para la toma de decisiones en los diferentes ámbitos del quehacer nacional. En el ejercicio siguiente analizaremos información estadística recolectada con propósitos bien definidos, para mostrar cómo es posible calcular ciertas probabilidades a partir de ella.

UNIDAD 4

registrar en una tabla los milímetros de agua caída en tu ciudad durante los meses de invierno de los últimos 5 años.

219 PROBABILIDADES

PROBABILIDADES

Ejercicio resuelto Pueblo originario

Hombre

Mujer

Total

Mapuche

470.730

457.330

928.060

Aimara

24.898

23.579

48.477

Rapanui

9.358

12.490

21.848

No pertenece a pueblos originarios

6.942.709

7.175.341

14.118.050

Total

7.447.695

7.668.740

15.116.435

Basándote en la información estadística del cuadro, calcula la probabilidad de que al elegir al azar un habitante de nuestro país, este sea: a) Mapuche b) Mujer aimara c) Hombre rapanui

Soluciones a) Como en este caso la variable de interés es el pueblo originario y no el sexo, entonces consideramos el total de habitantes mapuches. Deﬁnimos el suceso A como “ser mapuche”. Sabemos por la tabla que la población total de mapuches es 928.060 y el total de habitantes del país es 15.116.435. Por lo tanto, podemos expresar P(A) como: P(A) = 928.060 = 0,0613 = 6,13 % 15.116.435

UNIDAD 4

220

b) Para los casos b) y c) se procede en forma análoga y se obtiene que la probabilidad que el habitante escogido sea una mujer aimara es: 23.579 P(B) = 15.116.435 ≈ 0,00156 ≈ 0,16 % c) Y la probabilidad que sea un hombre rapanui es: 9.358 P(C) =

15.116.435

≈ 0,00062 = 0,062 %

Probabilidad de sucesos compuestos Como ya hemos establecido, si lanzamos un dado de ocho caras cada resultado o suceso elemental del espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} tiene probabilidad de ocurrencia 18 . Pero también podemos preguntarnos por la probabilidad de ocurrencia de un suceso no elemental o mejor dicho, de un suceso compuesto, como por ejemplo: ¿qué probabilidad de ocurrencia tiene el suceso “obtener un número par”? En otras palabras, si definimos el suceso A = {2, 4, 6, 8}, ¿cuánto vale P(A)?

Una manera de abordar esta pregunta es considerar que es igualmente probable obtener un número par (2, 4, 6, 8), que obtener un número impar (1, 3, 5, 7), es decir: P(A) = P(B) Hemos llamado B al suceso “obtener un número impar”, es decir B = {1, 3, 5, 7} y P(B) a su probabilidad de ocurrencia. Como además la suma de estas probabilidades debe ser 1, entonces: P(A) + P(B) = 1

Combinando las dos últimas ecuaciones:

Vemos entonces que la probabilidad de un suceso compuesto se calcula sumando las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen, es decir si A es un suceso compuesto del tipo:

P(A) = P(B) = 1 2

De modo que:

A = {a1, a2, a3, ... an} ⊆ E

P {2, 4, 6, 8} = P {1, 3, 5, 7} = 1

donde a1, a2, a3, ... an representan resultados (sucesos elementales), entonces:

Pero también existe otra forma de razonamiento que nos va a ayudar a establecer una expresión general para el cálculo de probabilidad de sucesos compuestos.

P(A) = P(a1 ) + P(a2 ) + ... + P(an )

Complemento de un suceso

Entonces, puede considerarse que la probabilidad de obtener el suceso compuesto “obtener un número mayor que 3” es decir, obtener alguno de los números 4, 5, 6, 7 u 8 será:

A modo de ejemplo, en el caso del dado de 8 caras que estábamos analizando, si consideramos el suceso C = {4, 5, 6, 7, 8}, el complemento de C (que denotamos C) está compuesto por todos los elementos de E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} que no están en C, es decir, C = {1, 2, 3}.

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 = 0,625 = 62,5 % 8 8 8 8 8 8

Ejercicio resuelto Un experimento aleatorio consiste en extraer una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 palos: oro, copa, espada y basto). Deﬁnimos el suceso A como “sacar oro”. Calcula: a) P(A)

b) La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro”.

Soluciones a) La baraja de naipe español tiene 40 cartas: 10 oros, 10 bastos, 10 espadas y 10 copas, el experimento tiene 40 resultados posibles y el suceso “sacar oro” se puede producir de 10 maneras diferentes. P(A) = 10 = 1 = 0,25 = 25 % 40

b) “Sacar una carta que no sea oro” es el suceso complementario de A “sacar una carta que sea oro” es decir, se trata de A. El total de maneras posibles de ocurrencia del suceso A es 30, puesto que la baraja tiene 40 cartas en total y 10 de ellas son oro, por lo tanto, 30 no lo son, así es que: P(A) = 30 = 3 = 0,75 = 75 % 40

Vemos entonces que P(A) + P(A) = 1 + 3 = 1 = 100 % 4

221 PROBABILIDADES

En este caso, C = {4, 5, 6, 7, 8}.

UNIDAD 4

Por definición, el complemento de un suceso A es el conjunto de todos los elementos del espacio muestral E, que no están incluidos en el suceso A. El complemento del suceso A se representa por A, que leeremos complemento de A o A barra.

Supongamos que la pregunta que nos formulamos es: ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia del suceso C “obtener un número mayor que 3”?

En general, si A es el suceso complemento de A, entonces, P(A) + P(A) = 1 O lo que es equivalente:

Esta expresión, como veremos, resulta muy útil para simplificar algunos cálculos de probabilidad de ocurrencia de sucesos compuestos.

P(A) = 1 – P(A)

Ejercicios propuestos 1. Se extrae una carta al azar de la baraja española y se deﬁne el suceso A: “sacar una ﬁgura” (sota, caballo o rey). a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A?

PROBABILIDADES

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso complementario al suceso A? c) ¿Cuál es el signiﬁcado de tal suceso? 2. Al lanzar tres monedas al aire se deﬁnen los siguientes sucesos: • A: “que se obtengan tres caras” • B: “que se obtengan dos caras y un sello” Determina la probabilidad de ocurrencia de: a) A

b) el complemento de A

c) B

d) el complemento de B

UNIDAD 4

222

Relaciones entre sucesos Sucesos compatibles y sucesos mutuamente excluyentes Consideremos el experimento aleatorio que consiste en sacar al azar una carta de la baraja española. Si la carta extraída es un 6 de oro podríamos definir varios sucesos que estarían ocurriendo simultáneamente, entre otros, • “salir un oro” • “salir un 6” • “salir un número par” • “salir un número menor que 7” • “salir un múltiplo de 3” Por el contrario, no habrán ocurrido otros muchos sucesos, tales como: • “salir una espada”

• “salir una copa” • “salir un basto” • “salir un múltiplo de 5” • “salir un número impar” Algunos sucesos pueden ocurrir simultáneamente (en cuyo caso se habla de sucesos compatibles), mientras que en otros casos, la ocurrencia de un suceso excluye la ocurrencia de otros (en tal caso se habla de sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes). A través de algunos ejemplos exhibiremos algunas de las relaciones que se pueden verificar entre los sucesos definidos para un determinado experimento.

Ejercicios resueltos Consideremos el experimento aleatorio de hacer rodar un dado de seis caras. Definamos los siguientes sucesos: • A: “Obtener 4” • B: “Obtener un múltiplo de 2” • C: “Obtener un número par” • D: “Obtener un número menor que 4” • F: “Obtener 6” a) Encuentra los conjuntos que definen el espacio muestral E y los sucesos A, B, C, D, F. b) Analiza las relaciones de compatibilidad y exclusión entre los diferentes sucesos definidos.

Solución a) El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

UNIDAD 4

• A = {4} • B = {2, 4, 6} • C = {2, 4, 6} • D = {1, 2, 3} • F = {6}

Ejercicios propuestos 1. Se hace rodar un dado y se deﬁnen los siguientes sucesos: • A: “obtener el número 5” • B: “obtener un número impar” • C: “obtener un número menor que 6” Determina: a) el espacio muestral

b) el suceso A

c) el suceso B

d) el suceso C

e) la relación que existe entre los sucesos A y B

f) el(los) resultado(s) que permite(n) asegurar que ocurran A y B simultáneamente

223 PROBABILIDADES

b) Algunas de las relaciones que es posible establecer entre los sucesos definidos son: •B=C • A ⊂ B: es decir, cada vez que ocurra el suceso A ocurrirá el suceso B, pero si ocurre B no necesariamente ocurrirá A. Por ejemplo, si sale 4 se verifica tanto el suceso A como el suceso B. Sin embargo, si sale 2, ocurre al suceso B, pero no el suceso A. • F ⊂ B y son válidos los mismos comentarios del caso anterior. • el suceso D es incompatible con A y con F, puesto que D no tiene elementos comunes con ninguno de ellos y en consecuencia D no se puede verificar al mismo tiempo que A o que F.

2. Se extrae al azar una carta de una baraja española de naipes y se deﬁnen los siguientes sucesos: • A: “Sacar un rey” • B: “Sacar un oro” • C: “Sacar una copa” Determina: a) el número de resultados posibles de cada suceso b) los sucesos que ocurren si se extrae un rey de copas

PROBABILIDADES

c) los sucesos mutuamente excluyentes

UNIDAD 4

224

3. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se deﬁnen los siguientes sucesos: • A: “obtener un número primo mayor que 2” • B: “obtener un número par” Determina: a) el espacio muestral b) el suceso A c) el suceso B d) la relación entre los sucesos A y B 4. De una baraja inglesa se extrae al azar una carta. Considera los siguientes sucesos: • A: “sacar un corazón” • B: “sacar un trébol” • C: “sacar un as” Determina: a) el espacio muestral b) el suceso A c) el suceso B d) el(los) suceso(s) que ocurre(n) si se extrae un as de trébol e) las relaciones que existen entre estos sucesos

Probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes Consideremos el experimento aleatorio de hacer rodar un dado de 8 caras. ¿Cuál es la probabilidad del suceso “obtener un número menor o igual que dos o un número mayor que 4”?

Si se tratara de dos sucesos compatibles, como por ejemplo A = {1, 2} y C = {2, 3, 4}, tendríamos que: P(A) = 2 = 1 = 25 %

Definamos los sucesos A y B de la siguiente forma:

P(C) = 3 = 37,5 %

• A: “obtener un número menor o igual que 2” ⇒

Pero, la probabilidad de ocurrencia de A o C es la probabilidad de ocurrencia de {1, 2, 3, 4}, es decir: P(A o C) = 4 = 1 = 0,5 = 50 %

A = {1, 2} • B: “obtener un número mayor que 4” ⇒ B = {5, 6, 7, 8}

que es distinto que: P(A) + P(C) = 2 + 3 = 5 = 0,625 = 62,5 % 8

De lo que aprendimos de sucesos compuestos,

Entonces, sólo para el caso de sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes) el cálculo de la probabilidad de que ocurra uno de los dos sucesos es:

P(A) = 2 = 1 = 25 %

P(A o B) = P(A) + P(B)

P(B) = 8 = 1 = 50 % 2

De donde: P(A o B) = P(A) + P(B) = 1 + 1 = 3 = 0,75 = 75 % 4

Ejercicios resueltos Consideremos esta vez un experimento consistente en sacar una bola de una urna que contiene 1 bola roja, 3 bolas azules y 6 bolas blancas. Se debe calcular la probabilidad de que ocurra cada uno de los siguientes sucesos: a) R: “Que salga una bola roja”. b) A: “Que salga una bola azul”. c) B: “Que salga una bola blanca”. d) “Que salga una bola roja o blanca”. e) “Que salga una bola azul o blanca”. f) “Que salga una bola que no sea roja”.

UNIDAD 4

225 PROBABILIDADES

Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes, ya que si realizamos el experimento una sola vez, si ocurre el suceso “obtener un número menor o igual que dos”, es imposible que ocurra el suceso “obtener un número mayor que 4”.

Soluciones Para calcular la probabilidad de un suceso se calcula el cociente entre los casos favorables y el total de casos posibles, entonces: a) P(R) = 1

, porque hay solo una bola roja de un total de 10

b) P(A) = 3

, porque hay 3 bolas azules de un total de 10

c) P(B) = 6

, porque hay 6 bolas blancas de un total de 10

10 10

Como se aprecia de su deﬁnición, R, A y B son sucesos mutuamente excluyentes, consideración que utilizaremos en los cálculos siguientes.

e) Análogamente, la probabilidad del suceso “que salga una bola azul o blanca” está dada por: P(A o B) = P(A) + P(B) = 3 + 6 = 9

226

P(R) = 1 – P(R) = 1 – 1

UNIDAD 4

PROBABILIDADES

d) La probabilidad del suceso “que salga una bola roja o blanca” se calcula como sigue: P(R o B) = P(R) + P(B) = 1 + 6 = 7 10

f) El suceso “que salga una bola que no sea roja” corresponde al suceso complementario R de “que salga una bola roja”, por lo cual podemos decir que: 10

∴ P(R) = 9

Otra forma de calcular la probabilidad del suceso “que salga una bola que no sea roja” proviene del hecho de que si la bola no puede ser roja, entonces tal condición es necesariamente equivalente al suceso “que salga una bola azul o blanca”, en cuyo caso: P(R) = P(A o B) = P(A) + P(B) = 3 + 6 10

∴ P(R) = 9

Es el mismo resultado ya obtenido, como era de esperar.

Sucesos independientes Por definición, dos sucesos A y B son independientes, si la ocurrencia de A no afecta la probabilidad de ocurrencia de B y viceversa. Consideremos un cajón de un clóset que contiene 5 pares de calcetines de diferentes colores: blanco, negro, café, rojo, y azul. Sacamos sin mirar un par de calcetines y resulta ser el rojo, que no era el que necesitábamos, de modo que lo devolvemos al cajón y escogemos otro par, nuevamente sin

mirar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos veces el par rojo, en las condiciones descritas? Conviene hacer algunas precisiones respecto del problema planteado. Escoger dos pares de calcetines es un suceso compuesto. Como repusimos el primer par antes de sacar el segundo, el haber escogido el par rojo en el primer intento no tiene efecto alguno en la probabilidad de elegir el par rojo en el segundo intento. En consecuencia, estos sucesos son independientes.

Probabilidad de sucesos independientes

Retomando el experimento de los calcetines y recordando que había 5 pares de ellos vemos que: P(rojo) = 1

Para encontrar la probabilidad de dos sucesos independientes que ocurren en secuencia, encontramos las probabilidades de ocurrencia separada de cada uno de los sucesos y multiplicamos los valores obtenidos.

P(rojo y rojo) = 1 • 1 = 1 5

Después de estas consideraciones, estamos preparados para resolver un ejercicio más complejo que va a mostrar la plausibilidad de la expresión que relaciona P(A y B) con P(A) y P(B).

Simbólicamente lo expresamos así: P(A y B) = P(A) • P(B)

Ejercicios resueltos

UNIDAD 4

1. Una ruleta está dividida en seis sectores de igual tamaño numerados del 1 al 6, dos verdes (opuestos por el vértice, numerados 2 y 5) y cuatro amarillos. Consideremos el experimento aleatorio de hacer girar la ruleta dos veces consecutivas y registrar los colores de los sectores que indica la ﬂecha al detenerse.

b) Calcula las probabilidades de ocurrencia de los siguientes sucesos: i. ii. iii. iv. v.

caer en verde las dos tiradas. caer en amarillo las dos tiradas. caer en verde en la 1a tirada y en amarillo en la 2a tirada. caer en amarillo en la 1a tirada y en verde en la 2a tirada. caer una vez en verde y otra vez en amarillo.

Soluciones a) Al analizar este tipo de experimentos es recomendable utilizar una tabla para registrar ordenadamente todos los resultados posibles:

segunda tirada

primera tirada 1

227 PROBABILIDADES

a) Compara el total de resultados posibles de este experimento con el total de resultados posibles cuando hacemos girar la ruleta solo una vez.

Es claro que al hacer girar la ruleta una vez, los resultados posibles son sólo 6, mientras que al hacer girar la ruleta dos veces seguidas, se pueden obtener 36 resultados posibles, es decir 62 resultados. b) Analicemos los resultados registrados en la tabla. De los 36 casos posibles la ﬂecha indica las dos veces amarillo en 16 de los casos (destacados en amarillo claro) e indica las dos veces verde en 4 casos (destacados en verde claro). Los casos en que la ﬂecha señaló una vez verde y otra vez amarillo son 16. i.

P(VV) = 4 = 1 36

PROBABILIDADES

Porque existen 4 casos en los cuales la ﬂecha puede señalar ambas veces verde de un total de 36 casos posibles. ii.

UNIDAD 4

Porque existen 16 casos en los cuales la ﬂecha puede señalar ambas veces amarillo de un total de 36 casos posibles. iii.

P(VA) = 8 = 2 36

iv. P(AV) = 8 = 2 36

228

P(AA) = 16 = 4

P(una vez en verde y otra vez en amarillo) P(VA) + P(AV) = 8 + 8 = 16 = 4 36

Las probabilidades fueron calculadas en este ejemplo observando los casos registrados en la tabla. Adoptemos ahora la aproximación más abstracta al problema de la siguiente manera. Las probabilidades de ocurrencia de los colores verde y amarillo al hacer girar la ruleta solo una vez son respectivamente: P(V) = 2

(porque hay 2 sectores verdes de un total de 6 sectores)

P(A) = 4

(porque hay 4 sectores amarillos de un total de 6 sectores)

6 6

Como los sucesos V y A son independientes, entonces podemos aplicar la relación P(A y B) = P(A) • P(B) para sucesos independientes A y B. i.

P(V V) = P(V y V) = P(V) • P(V) ⇒

⇒ P(V V) = 26

•

2 6

⇒

∴ P(V V) = 4 = 1 36

ii.

P(AA) = P(A y A) = P(A) • P(A) ⇒

⇒ P(AA) = 46

•

4 6

∴ P(AA) = 16 = 4 36

⇒

iii.

P(AV) = P(A y V) = P(A) • P(V)

⇒ P(AV) = 46

2 6

•

8 ∴ P(AV) = 36 = 2 9

P(VA) = P(V y A) = P(V) • P(A) ⇒

iv.

P(VA) = 6 8

•

⇒

4 6 2

P(VA) = 36 = 9

Hombre

Mujer

Total

Mapuche

200.863

208.216

409.079

Aimara

6.451

5.857

12.308

Rapanui

5.003

6.645

11.648

Resto de chilenos

2.724.876

2.903.274

5.628.150

Total

2.937.193

3.123.992

6.061.185

Fuente: Censo 1992, INE Se elige al azar un habitante de la RM. Calcula la probabilidad de que la persona seleccionada sea mapuche o aimara.

Solución Deﬁnimos los sucesos A: “Ser mapuche” y B: “Ser aimara”. Del cuadro: P(A) = 409.079 6.061.185

P(B) =

12.308 6.061.185

Entonces: 12.308 P(A o B) = P(A) + P(B) = 409.079 + 6.061.185 6.061.185

∴ P(A o B) = 0,069 = 6,9% 3. Un experimento aleatorio consiste en extraer al azar dos bolas consecutivamente de una urna que contiene 4 bolas rojas y 3 bolas verdes. Compara la situación en la que primero el experimento se hace con sustitución con aquella en la cual se hace sin sustitución.

229 PROBABILIDADES

Perteneciente a

UNIDAD 4

2. El siguiente cuadro muestra la población de la Región Metropolitana (RM) según el grupo étnico al que pertenece.

Solución Deﬁnamos los sucesos R y V como: R: “Extraer una bola roja”

V: “Extraer una bola verde”

Entonces, por lo que hemos analizado anteriormente, P(R) = 4 y P(V) = 3 7

PROBABILIDADES

Analicemos ahora el experimento compuesto, es decir, extraer al azar dos bolas, una después de la otra, para lo cual resulta primordial precisar si después de la primera extracción se devolverá o no la bola extraída a la urna, en otras palabras, si el experimento se realizará con o sin reposición (reemplazo de la bola sacada).

UNIDAD 4

230

Con reposición Consideremos en primera instancia el experimento con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas verdes? Utilizaremos el diagrama del árbol para representar este experimento:

4 7

3 7

4 7

3 7

Al observar el diagrama del árbol se veriﬁca que la probabilidad de extraer una bola verde la primera vez es: P (sacar bola verde en la 1ª extracción) = P1(V) = 3 , porque hay 3 bolas verdes de un 7 total de 7. La probabilidad de extraer una bola verde la segunda vez es: 3

P (sacar bola verde en la 2ª extracción) = P2(V) = P1(V) = 7 porque al devolver la 1ª bola extraída sigue habiendo 3 bolas verdes de un total de 7. ∴ Pc/reposición (V y V) = P1(V) • P2(V) = 3 • 3 = 9 ≈ 18,4 % 7

Sin reposición Consideremos ahora el experimento sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas verdes?

No se repone 3 6

4 7

3 6

3 7

4 6

2 6

No se repone

P (sacar bola verde en la 1ª extracción) = P1(V) = 3 porque hay 3 bolas verdes de un 7 total de 7. La probabilidad de extraer nuevamente una bola verde en la 2ª extracción es: P (sacar bola verde en la 2ª extracción) = P2 (V) = 2 porque quedan sólo 2 bolas verdes de 6 un total de 6. Entonces, la probabilidad de sacar dos bolas verdes es: Ps/reposición (V y V) = P1(V) • P2(V) = 3 • 2 = 6 = 1 ≈ 14,3 % < Pc/reposición (V y V) 6

4. Observa la tabla estadística que muestra la ocurrencia de incendios forestales según regiones de nuestro país. INCENDIOS FORESTALES 1993–1998 Regiones de Chile

231

Frecuencia Absoluta

III de Atacama

IV de Coquimbo

158

V de Valparaíso

3.851

VI del Libertador General Bernardo O’Higgins

1.388

VII del Maule

1.931

VIII del Bío-Bío

9.131

IX de La Araucanía

4.124

X de Los Lagos

2.420

XI Aisén

168

XII Magallanes y Antártica

111

Región Metropolitana

2.110

TOTAL

25.488

Fuente: Corporación Nacional Forestal, CONAF / Carabineros de Chile, 1999.

PROBABILIDADES

UNIDAD 4

Según nuestro diagrama la probabilidad de sacar una bola verde durante la 1ª extracción es:

De mantenerse una distribución similar para los incendios forestales que se producían en el país durante este año: a) ¿en cuál de las regiones es mayor la probabilidad de ocurrencia de un incendio forestal? b) ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia durante este año de un incendio forestal en Santiago y en Valparaíso? c) ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia durante este año de un incendio forestal en la VIII o IX Región?

Soluciones

PROBABILIDADES

Las respuestas a preguntas como las formuladas, más allá de constituir un ejercicio matemático, es lo que le conﬁere importancia social a la teoría de probabilidades, ayudando a planiﬁcar campañas de prevención y planes de acción frente a una posible catástrofe (disponibilidad de personal y equipamiento especializado, capacitación, etc.).

UNIDAD 4

232

a) La frecuencia absoluta señala el número de veces que ocurre un suceso y una estimación de la probabilidad de ocurrencia la obtenemos a partir del cálculo de la frecuencia relativa. Regiones de Chile

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

III de Atacama

0,4

IV de Coquimbo

158

0,6

V de Valparaíso

3.851

15,1

VI del Libertador Gral Bernardo O’Higgins

1.388

5,4

VII del Maule

1.931

7,6

VIII del Bío-Bío

9.131

35,8

IX de La Araucanía

4.124

16,2

X de Los Lagos

2.420

9,5

XI Aisén

168

0,7

XII Magallanes y Antártica

111

0,4

Región Metropolitana

2.110

8,3

TOTAL

25.488

100

Al observar la tercera columna de la tabla anterior, vemos que la región que presenta la mayor frecuencia absoluta de incendios forestales es la VIII y que: 9.131 ≈ 35,8% fr (VIII región) = 25.488

Si deﬁnimos el suceso VIII: “Incendio forestal en la VIII Región”. P(VIII) = 9.131 ≈ 35,8% 25.488

Es decir, el 35,8% de los incendios del período considerado se produjo en la VIII Región. b) Adoptando una notación análoga a la de la parte a) y que los incendios forestales en la Región Metropolitana y en la V Región son sucesos independientes, tendremos que: P(RM y V) = P(RM) • P(V) = 2.110

25.488

•

3.851 ≈ 0,083 • 0,151 = 1,25% 25.488

P(VIII o IX) = P(VIII) + P(IX) = 9.131 + 4.124 ≈ 35,8% + 16,2% = 52% 25.488

25.488

Ejercicios propuestos 1. Se sabe que el 65% de las mujeres mayores de 30 años están casadas y de ellas, un 80 % tienen más de un hijo. Calcula la probabilidad de que una mujer mayor de 30 años esté casada y tenga más de un hijo. 2. En un liceo el 65% de los(as) alumnos(as) practica algún deporte y de los(as) alumnos(as) que practican algún deporte un 35 % tiene promedio en Matemática sobre 6,0. Calcula la probabilidad de que un(a) alumno(a) sea deportista y tenga promedio en Matemática sobre 6,0. 3. Determina la probabilidad de que: a) al sacar una carta de una baraja española de 40 naipes, resulte copa o espada.

4. De una urna con 9 bolas numeradas de 1 al 9, se saca una bola, se anota su número y se devuelve a la urna. Deﬁnimos los sucesos: • A: “Que salga un número primo” • B: “Que salga un cuadrado perfecto” Calcula la probabilidad de P(A o B).

UNIDAD 4

b) al sacar una carta, reponerla en la baraja española de 40 cartas, y sacar otra, resulte copa y espada.

Probabilidad y servicios profesionales Una contadora y su familia desean instalar una solución computacional en casa para prestar servicios contables a través de Internet. La solución computacional está compuesta por un computador y la conexión a Internet. Para prestar esos servicios ella requiere que la solución computacional no falle más de un 10% por año. ¿Cuántas horas en promedio al día, a la semana, al mes y al año significa una probabilidad de falla de 10%? Calcula.

Computador

Internet

Funciona

Falla

El fabricante informa que la probabilidad media de falla del computador (Pc) es de 3%. El proveedor de servicios de Internet señala que la probabilidad media de falla de su servicio (Pi) es de un 7%. ¿Cuál es la probabilidad de falla del sistema computacional (P)?

ciona o falla) y las combinaciones entre ellos. Así, la probabilidad de falla del sistema es la suma de las probabilidades de los sucesos independientes:

En el siguiente esquema, se presenta los estados en que puede estar el computador e Internet (fun-

Entonces:

P= PC (1-Pi ) + (1-PC) Pi + PCPi P= PC + Pi – PCPi P = 3% + 7% – 3% • 7% = 9,79%

PROBABILIDADES

233

Por lo tanto, resulta que P < 10% y se cumple el requisito establecido por la contadora. En caso que ella necesite una solución más exigente, por ejemplo con una probabilidad de falla menor a 8%, ¿cuáles son las opciones

para disminuir la probabilidad de falla del sistema? • Cambiar los equipos o el servicio Internet por otros de mejor calidad. • Tener un computador de respaldo.

Probabilidad condicionada Supongamos que tienes que adivinar cuál es la pinta de una carta (corazón, diamante, espada o trébol) que se ha sacado al azar de un mazo de 52 cartas inglesas. Puesto que hay 4 pintas posibles, la probabilidad de acertar es 1 .

PROBABILIDADES

UNIDAD 4

234

Pero, supongamos que agregamos información y te decimos que la pinta de la carta es roja. En tal 1 caso la probabilidad de acertar es 2 porque se redujo el número alternativas para elegir: la carta extraída solo puede ser corazón o diamante. Vemos en el ejemplo, que el uso de información adicional restringe el espacio de resultados posibles. Es un hecho interesante: el valor que le asignamos a la probabilidad de ocurrencia de un suceso, depende del grado de información que tengamos de tal suceso.

Si definimos los sucesos: • A: la pinta de la carta extraída es corazón • B: la pinta de la carta extraída es roja Podemos afirmar que la probabilidad de ocurrencia de A es: P(A) = 14 . Pero la probabilidad de ocurrencia de A sabiendo que la pinta es roja, es ahora 12 . Esta última probabilidad la denotamos por P(A/B): A es el suceso cuya probabilidad estamos interesados en calcular, mientras que B es la condición bajo la cual queremos calcularla. La expresión P(A/B) la leemos: probabilidad de ocurrencia A dada la ocurrencia de B y es lo que llamamos la probabilidad de A condicionada a B.

Probabilidad con reemplazo y sin reemplazo Ejercicios resueltos 1. Consideremos una urna que contiene 5 bolas: 3 bolas rojas y 2 azules. Se extrae, sin mirar, una bola. a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero una bola roja, devolverla y en seguida sacar una bola azul? b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero una bola roja, no devolverla y en seguida sacar una bola azul?

Soluciones Deﬁnamos los sucesos: • R: “Extraer una bola roja” • A: “Extraer una bola azul” La probabilidad de cada uno de los sucesos deﬁnidos es:

P(R) = 3 5

P(A) = 2 5

Con reemplazo Si en la primera extracción se saca una bola roja y la devolvemos a la urna, la probabilidad de ocurrencia del suceso R sigue siendo 3 y la del suceso A también mantiene su valor 2 , para la segunda extrac5 5 ción. Entonces, la posibilidad de extraer una bola roja, devolverla a la urna y en seguida extraer una bola azul, será: P(A/R) = P(R) • P(A) = 3 • 2 = 6 5

La probabilidad de extraer la primera vez una bola roja era P(R) = 35 y de extraer una bola azul era P(A) = 25 , pero al no devolver la bola extraída, cambia el valor de la probabilidad de cada suceso, siendo en esta ocasión: P(R) = 2 4

P(A) = 2 ,

Para la segunda extracción, la probabilidad de “obtener bola roja” se redujo y la probabilidad de “obtener bola azul” aumentó.

235

Entonces, la probabilidad de extraer una bola roja, no devolverla a la urna y en seguida extraer una bola azul, será:

PROBABILIDADES

dado que en la primera extracción se sacó una bola roja.

UNIDAD 4

Sin reemplazo Si realizamos el mismo proceso sin devolver la primera bola extraída (sin reemplazo), sabiendo que en la primera extracción salió una bola roja, la probabilidad de extraer, por ejemplo, una bola azul en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.

P(A/R) = P(R) • P(A) = 3 • 2 = 6 5

Como se veriﬁca en este ejemplo, el hecho de saber si las extracciones se realizan con o sin reemplazo (es decir, con o sin devolución de la bola extraída) cambia la probabilidad del suceso.

Sucesos dependientes y sucesos independientes Si A y B son dos sucesos y P(A) = P(A/B) o bien, P(B) = P(B/A) se dice que los sucesos son independientes. Si por el contrario, o bien,

P(A) ≠ P(A/B)

P(B) ≠ P(B/A) los sucesos se dicen dependientes. Definición Sean A y B dos sucesos tales que P(A) ≠ 0. Se llama probabilidad de B condicionada a A que denotamos por P(A/B), a la probabilidad de que ocurra el suceso B dado que ha ocurrido el suceso A y se cumple que: P(A/B) = P(A y B) P(B)

Ejercicios resueltos 1. Seleccionamos al azar una carta de la baraja española. Se deﬁnen los sucesos: • A: “Sacar una ﬁgura”

• B: “Sacar oro”

¿Cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea ﬁgura sabiendo que salió un oro?

Solución La baraja española consta de 40 cartas, 10 de cada pinta, de las cuales 3 son ﬁguras, entonces tenemos: P(A) = 12 = 30%, porque hay 12 ﬁguras del total de 40 cartas 40

P(B) = 10 = 25%, porque hay 10 oros del total de 40 cartas

PROBABILIDADES

UNIDAD 4

236

La probabilidad del suceso A “sacar figura”, sin más antecedentes, es 30 %, pero si sabemos que la carta extraída fue oro ya no consideramos el total de 40 cartas ni las 12 figuras de la baraja. Solo consideramos el total de oros de la baraja y los casos favorables serán las 3 cartas con figura que tiene esta pinta. De esta forma tenemos:

P(A/B) = 3 = 30% 10

En este caso, P(A/B) = P(A), es decir el hecho de contar con mayor información (dado que ocurrió B) no cambió el valor de la probabilidad del suceso A, de lo cual se puede concluir que los sucesos A y B son independientes. Análogamente se puede demostrar que P(B/A) = P(B). ¿Cuál es la interpretación de esta igualdad? 2. Hacemos rodar un dado de seis caras y queremos calcular la probabilidad del suceso “obtener 2” sabiendo que ha salido un número par.

Solución Deﬁnimos los sucesos • A: “salir número par”

• B: “obtener 2”

Lo que nos interesa calcular es P(B/A). Si no contáramos con información adicional, la probabilidad del suceso B “obtener 2” es: P(B) = 1 6

Como sabemos que ha salido un número par, el valor de la probabilidad del suceso B “obtener 2” cambia, puesto que como el dado tiene solo tres números pares (2, 4, 6) el total de resultados posibles ahora es 3. Entonces la probabilidad de ocurrencia del suceso B sabiendo que ocurrió A es: P(B/A) = 1 3

Como se observa,

P(B) ≠ P(B/A)

Nuevamente vemos que la probabilidad de ocurrencia del suceso B “obtener 2” cambió al saber que había ocurrido el suceso A “salir número par”, es decir la probabilidad del suceso B depende de la ocurrencia del suceso A. 3. Se extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución. Calcula la probabilidad que la segunda carta sea un rey dado que la primera carta fue rey de bastos. Comenta acerca de la relación entre A y B.

Solución Deﬁnimos los sucesos: • A: “Sacar un rey” • B: “Sacar un rey bastos” La baraja española tiene 4 cartas con un rey de un total de 40 naipes entonces, P(A) = 4 = 10% La probabilidad de sacar un rey en la 2ª extracción sabiendo que en la 1ª extracción salió el rey de bastos cambia el espacio muestral, ya que en vez de las 40 cartas iniciales solo quedan 39 cartas posibles de seleccionar. Pero también cambia el número de casos favorables ya que de los 4 reyes que había originalmente solo quedan 3.

UNIDAD 4

P(A/B) = 3 ≈ 7,7% 39

En esta oportunidad se observa que: P(A) =/ P(A/B) Es posible concluir entonces, que los sucesos A y B son dependientes, es decir, la ocurrencia del primero afectó la probabilidad de ocurrencia del segundo. 4. Se eligen al azar estudiantes de un liceo, recogiendo información sobre su sexo y el uso de transporte colectivo para llegar de su casa al liceo, elaborando la tabla siguiente. Hombres (H)

Mujeres (M)

Usa transporte

No usa transporte

a) Calcula la probabilidad de que el(la) estudiante elegido(a) sea hombre dado que usa transporte colectivo. b) Calcula la probabilidad de que el(la) estudiante elegido(a) sea mujer dado que usa transporte colectivo.

PROBABILIDADES

237

Entonces:

Solución Deﬁnimos los sucesos: • H: “Ser hombre” • M: “Ser mujer” • T: “Usar transporte” Calculemos en primer lugar las probabilidades P(H) y P(M) sin que existan condiciones. Elección sin condiciones: P(H) = 100 = 50% 200

P(M) = 100 = 50% 200

PROBABILIDADES

Elección con condiciones: P(H/T) = 60 = 75%, porque 60 hombres usan transporte de un total de 80 estu80 diantes que lo usan. 20

P(M/T) = 80 = 25 %, porque 20 mujeres usan transporte de un total de 80 estudiantes que lo usan.

Probabilidades de diversos sucesos

238 UNIDAD 4

Probabilidad de un suceso simple

Probabilidad

Probabilidad de un suceso compuesto P (A ) = P (a1) + P (a2) + …

Probabilidad de un complemento — P ( A ) = 1 – P (A)

Probabilidad de varios sucesos P (A o B) = P (A) + P (B) – P (A y B)

Probabilidad de sucesos independientes P (A y B) = P (A) • P (B)

Probabilidad condicionada P (A y B) P (A / B) = P (B)

Probabilidad y buenas decisiones de salud Para neutralizar el dolor de cabeza (cefalea) se acostumbra utilizar analgésicos. Pero, estos pueden producir algunos efectos colaterales negativos en las personas (por ejemplo, dolores estomacales). Se estudió cuatro tipos diferentes de analgésicos, para los cuales se obtuvieron las respectivas probabilidades de éxito (para mitigar el dolor) y las respectivas probabilidades de efectos colaterales (que generan otros malestares). En la siguiente tabla se presentan los resultados obtenidos:

A B C D

Probabilidad de efecto colateral negativo

90% 95% 96% 85%

5% 8% 5% 1%

Del análisis de esta información se puede obtener: •El analgésico con mayor probabilidad de éxito es el C (96%). •El analgésico que tiene la menor probabilidad de efectos colaterales es el D (1%), pero tiene la menor probabilidad de éxito (85%). •El analgésico B es el que tiene mayor probabilidad de efectos colaterales negativos (8%). Ahora bien, podemos preguntarnos: ¿cuál es la probabilidad de que una persona se recupere del dolor de cabeza y no le duela el estómago? Para el analgésico A, esta probabilidad es del 90% • (100% - 5%) = 85,5% Existen situaciones diferentes para cada analgésico. Si hacemos los cálculos para cada uno de ellos, se obtiene lo siguiente: Suceso I Tipo de Probabilidad de analgésico sanarse del dolor de cabeza y no provocar dolor estomacal

Suceso II Probabilidad de sanarse del dolor de cabeza y provocar dolor estomacal

Suceso III

Suceso IV

Probabilidad de no Probabilidad de no sanarse del dolor de sanarse del dolor de cabeza y no provocar cabeza y provocar dolor estomacal un dolor estomacal

85,50%

4,50%

9,50%

0,50%

B C D

87,40% 91,20% 84,15%

7,60% 4,80% 0,85%

4,60% 3,80% 14,85%

0,40% 0,20% 0,15%

¿Cuál es el mejor analgésico para una persona en particular? Si la persona puede tolerar los eventuales efectos en su estómago, entonces para ello el analgésico C es el mejor (91,20% en suceso I y 4,80% en suceso II). Por el contrario, si el daño estomacal es severo, entonces es mejor que consuma el analgésico D aunque su probabilidad de éxito analgésico sea menor que todos los otros (84,15% en suceso I y sólo 0,85% en suceso II).

UNIDAD 4

Probabilidades de éxito

239 PROBABILIDADES

Tipos de analgésicos

Observa que la probabilidad de continuar con cefalea es relevante (situación III) y que exista una probabilidad mayor que 0% de empeorar (entre 0,15% y 0,50% dependiente del tipo de analgésico)

PROBABILIDADES

Probabilidades en los emprendimientos

UNIDAD 4

240

Unos jóvenes chilenos organizaron una empresa para exportar a China. La probabilidad de éxito de este emprendimiento (P) depende de los factores fundamentales: la probabilidad de éxito de la comercialización en el mercado chino (Pm) y la probabilidad de producir exitosamente los bienes a exportar (Pp).

sideramos un PC, este fallará unas cuantas veces en un año y las fallas durarán un cierto tiempo hasta ser reparadas. Si llamamos: TMEF: tiempo medio entre cada falla TDF: tiempo medio que dura la falla antes de ser reparado el equipo Entonces, en el eje del tiempo tendremos: TMEF

TDF TMEF

Considerando diferentes valores para Pm y Pp se obtienen los siguientes resultados:

TDF TDF + TMEF

Asimismo la probabilidad de que el equipo esté funcionando bien (denominada disponibilidad) es: D= 1 – P =

50% 50% 50% 70% 70% 70% 90% 90% 90%

50% 60% 70% 50% 60% 70% 50% 60% 70%

25% 30% 35% 35% 42% 49% 45% 54% 63%

Observa lo siguiente: • Un 50% de probabilidad de éxito en la producción local y un 50% de éxito en la comercialización en China sólo da un 25% de probabilidad de éxito en el emprendimiento. • Para aumentar la probabilidad de éxito global del emprendimiento es conveniente subir en forma balanceada la producción y la comercialización.

Fallas en los equipos Todo equipo o sistema creado por el ser humano falla de cuando en cuando. Por ejemplo, si con-

TMEF

Por lo tanto, la probabilidad de que un equipo esté fallado en cierto instante es:

La probabilidad de éxito de este emprendimiento se puede representar por: P= Pm • Pp

TDF

TMEF TDF + TMEF

En la tabla siguiente, se muestran valores de probabilidades de falla y de disponibilidades para diferentes tiempos medios entre falla y de duración de falla: TMEF (horas)

TDF (horas)

P(%)

d (%)

1.000 1.000 2.000 2.000 3.000 3.000 4.000 4.000

1 2 1 2 1 2 1 2

0,18% 0,28% 0,05% 0,10% 0,03% 0,07% 0,02% 0,05%

99,90% 99,80% 99,95% 99,90% 99,97% 99,93% 99,98% 99,95%

Observa que: • La probabilidad de que el equipo esté fallado aumenta cuando el tiempo medido entre fallas es menor. Por consiguiente, es conveniente adquirir equipos con TMEF alto. • La probabilidad de que el equipo está fallado aumenta cuando el tiempo de duración de falla

aumenta. Por ello, conviene que los equipos sean fáciles de reparar. • ¿Qué pasaría con la disponibilidad si TDF

fuera 10 horas o 30 horas (por ejemplo, si el repuesto no está disponible)?

Ejercicios propuestos 1. Considera el experimento aleatorio que consiste en elegir una carta al azar de la baraja inglesa. Se deﬁnen los sucesos: • A: “Sacar ﬁgura” • B: “Sacar diamante” Calcula: a) la probabilidad de cada evento.

Básquetbol

Vóleibol

Inglés

Francés

Observa la tabla y responde. a) ¿cuántos(as) estudiantes eligieron inglés? b) si se elige un(a) estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido inglés? c) si se elige un(a) estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido francés? d) ¿cuántos(as) estudiantes eligieron básquetbol? e) ¿cuál es la probabilidad de que al elegir un(a) estudiante al azar, este(esta) haya elegido inglés y vóleibol? f) calcula la probabilidad de “elegir francés habiendo elegido vóleibol”. g) calcula la probabilidad de “elegir inglés habiendo elegido básquetbol”. 3. Se hace rodar un dado de seis caras y se deﬁnen los sucesos: • A: “Que salga un número par” • B: “Que salga un número mayor que 2”

241 PROBABILIDADES

2. Los estudiantes de un curso debían elegir un idioma entre inglés y francés, y un deporte entre básquetbol y vóleibol. La elección de los(as) jóvenes fue registrada en la siguiente tabla:

UNIDAD 4

b) la probabilidad de que la carta seleccionada sea diamante sabiendo que fue ﬁgura.

Calcula: a) la probabilidad de cada evento. b) la probabilidad de obtener un número par, sabiendo que salió un número mayor que 2. c) la probabilidad de obtener un número par, sabiendo que salió un número menor que 4. d) los sucesos A y B, ¿son dependientes o independientes?

PROBABILIDADES

4. Considera el experimento de hacer rodar un dado. Calcula la probabilidad de obtener un 3, sabiendo que ha salido un número impar.

UNIDAD 4

242

5. Se hacen rodar dos dados de seis caras. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b) Si la suma de los puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los dos dados haya sido un 4? 6. Un(a) profesor(a) universitario(a) de cálculo toma las dos primeras pruebas del semestre y un 25% de los estudiantes tuvo nota de aprobación (mínimo 4) en ambas, mientras que un 42% igualó o superó el 4 en la primera prueba. ¿Qué porcentaje de los(as) estudiantes que aprobaron la primera prueba (suceso A) también aprobaron la segunda (suceso B)?

En tales casos es conveniente adquirir conocimiento de algunos métodos estándar y desarro-

llar algunas habilidades en su aplicación para salvar exitosamente la situación enfrentada. Ilustraremos con un primer ejercicio, cómo una situación razonablemente simple, cuando se trata con un número relativamente pequeño de elementos, puede tornarse compleja por el solo hecho de aumentar el número de elementos involucrados.

Ejercicios resueltos a) Un experimento consiste en seleccionar dos fichas al azar de una caja que contiene 5 fichas numeradas de 1 a 5. Determina la probabilidad de que ambas fichas extraídas tengan números: i. pares. ii. impares b) Repite el experimento con una caja con 100 fichas numeradas del 1 al 100.

Soluciones a) En primer lugar, determinaremos el espacio muestral E, es decir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento, para lo cual recurriremos al uso de una tabla. Fichas 1 2 3 4 5

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(3, 4)

(3, 5) (4, 5)

243 PROBABILIDADES

En algunos experimentos aleatorios pueden surgir ciertas dificultades al intentar contar todos los resultados posibles, sea porque las alternativas son muy numerosas o porque las condiciones tienen cierto nivel de complejidad.

UNIDAD 4

Combinatoria básica

Como se puede observar, no se ha registrado el total de combinaciones posibles. La razón para ello es que por tratarse de solo 5 ﬁchas, es imposible que al extraer dos, ambas tengan el mismo número. En otras palabras, las combinaciones (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) y (5, 5), no forman parte del espacio muestral (correspondientes a la diagonal de la tabla anterior, destacada en color). Por otro lado, las combinaciones (1, 2) y (2, 1) son consideradas como el mismo suceso, razón por la cual las casillas bajo la diagonal se han dejado vacías.

PROBABILIDADES

De acuerdo a esas consideraciones, E tiene 10 elementos (sucesos elementales) y está deﬁnido por: E = {(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)}

UNIDAD 4

244

i. Deﬁnimos el suceso A como «extraer dos ﬁchas con número par», es decir, revisando la tabla (o el espacio muestral) vemos que existe sólo un suceso con tales condiciones, de modo que: A = {(2, 4)} Luego, la probabilidad P(A) de ocurrencia de A es: P(A) = 1 = 0,1 = 10 % 10

ii. Llamemos B al suceso extraer dos ﬁchas con número impar, de modo que el conjunto B tiene tres elementos y está descrito por: B = {(1, 3) (1, 5) (3, 5)} Entonces: P(B) = 3 = 0,3 = 30 % 10

b) En la parte A fue relativamente sencillo determinar el espacio muestral y la cantidad de elementos que contenía, dato necesario para conocer el denominador de nuestra expresión para el cálculo de las probabilidades requeridas. También, determinar los sucesos A y B fue una tarea menor, dada la experiencia que ya hemos adquirido en este tipo de problemas. Sin embargo, en este caso no resulta sencillo ni práctico hacer una tabla de 100 columnas • 100 filas (es decir de 10.000 celdas) para encontrar todos los resultados posibles. La situación sería aún más crítica, si en lugar de extraer pares de fichas, estuviéramos interesados en extraer tríos: por de pronto el uso de tablas, como a la que se apeló en la resolución del ejercicio anterior, ya no sería tan directamente practicable. Conviene, entonces, refinar nuestra forma de pensar, para ser capaces de enfrentar situaciones como las descritas.

529 • 9.000 = 4.761.000. Analicemos otra situación:

Una de las preguntas que deberíamos responder es cuántos elementos tiene el espacio muestral o formulado de otra manera, cuántos grupos de dos números pueden formarse con 100 números distintos.

Eduardo ha elegido su ropa de trabajo y de fin de semana de manera que cualquier elección que haga entre sus 2 pares de zapatos, 3 pantalones, 3 chaquetas, 5 corbatas y 4 camisas le satisface estética y funcionalmente. ¿Cuántas tenidas diferentes puede lucir?

La respuesta no es directa y tenemos que pasar por algunas definiciones y cálculos previos.

El resultado es simplemente el producto de los números consignados:

Regla del producto

N° de tenidas diferentes = 2 • 3 • 3 • 5 • 4 = 360,

Analicemos las placas patentes de los automóviles en nuestro país. En la actualidad una patente tiene una combinación de 2 letras y de 4 números (salvo los vehículos más nuevos).

de manera que puede usar una tenida diferente prácticamente todos los días del año.

Supongamos que se usan 23 letras del abecedario (se excluyen la I, la Ñ, la O y la W). Entonces la primera letra se puede escoger de 23 maneras y la segunda letra también. Existirían en ese caso 23 • 23 combinaciones de letras, lo que da un total de 529 pares de letras.

Si hay que disponer elementos en dos posiciones y se dispone de n elementos para la primera posición y de m elementos para la segunda posición, el total de parejas que se puede formar es n • m.

La parte numérica tiene cuatro dígitos, pero el primero es siempre distinto de 0, por lo cual el primero se puede elegir de 9 maneras diferentes y los otros tres de 10 maneras cada uno, lo que indica que hay 9 • 10 • 10 • 10 = 9.000 números posibles.

Entonces, generalizando:

De los ejemplos que analizamos, es directo observar que la regla anterior puede generalizarse a cualquier número de posiciones, de modo si hay n elementos para la primera, m para la segunda y r para la tercera, el total de tríos que se puede formar es n • m • r. Y así sucesivamente.

Ejercicios propuestos 1. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden escribir con los números del 1 al 5? 2. Se quiere pintar la fachada de una casa de 3 colores diferentes elegidos de una paleta de 7 colores que combinan entre sí. ¿Cuántas alternativas de elección de colores existen? 3. Sabiendo que las actuales patentes de automóviles tienen cuatro letras (excluidas las vocales) y dos dígitos del 1 al 9, calcula el número de combinaciones posibles.

UNIDAD 4

En la parte b) del ejercicio anterior nos topamos con algunas complicaciones que dificultan la aplicación del método con el que habíamos resuelto la parte a) del mismo ejercicio.

Con tales condiciones, el número total de patentes que se puede confeccionar sería:

245 PROBABILIDADES

Definición del problema

Permutaciones Ejercicio resuelto ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en línea tres libros (uno azul, uno rojo y uno verde) en un estante?

Solución Se ilustran a continuación las 6 formas posibles de ordenar los tres libros en el estante.

PROBABILIDADES

Caso 1 El azul en 1er lugar

UNIDAD 4

246

Caso 2 El rojo en 1er lugar

Caso 3 El verde en 1er lugar

¿Cómo podríamos haber llegado al resultado anterior sin exhibir explícitamente todas las posibilidades? Cuando vamos a colocar el primero de ellos, tenemos tres alternativas: podemos elegir el azul (caso 1), el rojo (caso 2) o el verde (caso 3). Pero una vez que escogemos el que irá en primer lugar, para colocar el segundo libro solo podemos escoger entre los dos que aún no hemos colocado. Y una vez hecha esta elección, para el tercero sólo nos queda la alternativa de colocar el que aún no ha sido ordenado. Aplicando la regla del producto recientemente introducida, podemos deducir que hay 3 • 2 • 1 = 6 maneras de acomodarlos. Técnicamente se dice que hay 6 permutaciones posibles de los tres libros, que son las indicadas en las ﬁguras de más arriba.

La ventaja de razonar de esta manera, es que resulta fácilmente generalizable a cualquier número de objetos (en esta ocasión libros, en otra oportunidad podrían ser números naturales, pero también personas en los cargos de una mesa directiva, por citar algunos ejemplos). Veamos un ejemplo que ilustre esta ventaja, simplemente aumentando el número de libros considerados. Si tenemos que acomodar 8 libros en un anaquel, el primero podemos escogerlo entre 8 alternativas, el segundo entre 7, el tercero entre 6 y así sucesivamente, de manera que el total de permutaciones posibles será:

Las calculadoras científicas tienen una tecla (usualmente etiquetada con el símbolo n!) para calcular el factorial de un número natural. Por razones de capacidad de cálculo, memoria y pantalla, las calculadoras sólo admiten calcular el factorial de números menores que algún número específico definido por cada fabricante, pero suficientemente grande como para realizar todos los cálculos que nos interesan. En la planilla de cálculo MS Excel para calcular el factorial de un número se emplea la función FACT( ), de modo que para calcular 10! debemos escribir FACT(10).

Hubiera sido impracticable llegar a este resultado con el método pictórico que utilizamos en el primer caso.

Factorial de n Para abreviar los productos de la forma:

Definición Consideremos un conjunto cualquiera de n elementos. Llamaremos permutación a una lista ordenada de esos n elementos, en la cual no están permitidas las repeticiones.

En el caso de los tres libros que estudiamos al comienzo de esta sección, n = 3 y cada uno de los ordenamientos es una permutación.

8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1, Se ha adoptado la notación 8! (el número seguido de un signo de exclamación) y se lee ocho factorial o factorial de ocho, es decir: 8! = 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 De un modo más general, el factorial de un número natural cualquiera N (que denotaremos N!) se define como el producto de todos los naturales desde 1 hasta N, es decir: N! = N • (N – 1) • (N – 2) … 2 • 1

El número de permutaciones posibles de n objetos se denota por Pn. Por ejemplo, en el caso de los 8 libros, el número de permutaciones posibles se denota por P8 y de acuerdo a lo que acabamos de analizar, P8 = 8! = 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40.320 En general, cuando se consideran n objetos, el número de permutaciones posibles está dado por: Pn = n! = n • (n – 1) • (n – 2) … 2 • 1

247 PROBABILIDADES

Es decir, ¡existen 40.320 formas diferentes de distribuir 8 libros en línea en un anaquel!

UNIDAD 4

8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40.320

PROBABILIDADES

La manera de razonar para llegar a este resultado es la misma que se usó en los casos particulares que analizamos:

UNIDAD 4

248

El 1er lugar en la lista se puede elegir de

maneras

El 2° lugar en la lista se puede elegir de

n–1

maneras

El 3er lugar en la lista se puede elegir de

n–2

maneras

El penúltimo lugar en la lista se puede elegir de

maneras

El último (n-ésimo) lugar en la lista se puede elegir de

manera

Todas las listas posibles son entonces el producto de todas las maneras en que se pueden elegir cada una de sus posiciones: Pn = n • (n – 1) • (n – 2) … 2 • 1 = n! Exhibimos a continuación el factorial de los diez primeros números naturales para adquirir mayor familiaridad con esta nueva simbología: 1! = 1 2! = 2 • 1 = 2 3! = 3 • 2 • 1 = 6 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 6! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 7! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5.040 8! = 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40.320 9! = 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 362.880 10! = 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 3.628.800

Ejercicios propuestos 1. Se quiere distinguir a 5 estudiantes del liceo en virtud a sus méritos, para lo cual se cuenta con 5 premios distintos. ¿De cuántas maneras diferentes es posible asignarlos? 2. El jefe de una repartición decide enviar a 6 funcionarios a visitar 6 localidades para difundir un programa de ayuda social. Cada uno debe visitar una localidad. ¿De cuántas maneras es posible asignar las destinaciones? Las permutaciones aparecen cuando hay que ordenar n elementos en n lugares. Pero, en ocasiones, hay más elementos que lugares y en ese caso el total de posibles ordenamientos es diferente que en el caso que acabamos de analizar y aparece el concepto de variaciones.

Variaciones

UNIDAD 4

Para su cumpleaños, Alejandra invitó a sus amigas a tomar helados. En la heladería había 4 sabores frutales: piña, frutilla, mora y damasco. La celebrada ofreció a todas sus invitadas helados de dos sabores (que eran servidos uno sobre el otro), en todos los ordenamientos posibles y no hubo dos combinaciones iguales. ¿Cuántas personas había?

Definición Consideremos un conjunto cualquiera de n elementos. Llamaremos variación a una lista ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones.

Había entonces 12 personas. El número de alternativas podríamos haberlo calculado de un modo más abstracto de la siguiente forma. Hay 4 maneras de escoger el primer copo y 3 maneras de escoger el segundo, de modo que hay en total 12 alternativas diferentes.

El método para contar el número de variaciones Vn,r de n elementos en r lugares es análogo al utilizado para las permutaciones.

El 1er lugar en la lista se puede elegir de

maneras

El 2° lugar en la lista se puede elegir de

n–1

maneras

El 3er lugar en la lista se puede elegir de

n–2

maneras

n–r+1

maneras

El último (r-ésimo) lugar en la lista se puede elegir de

PROBABILIDADES

249

Hemos ordenado los helados en 4 grupos de 3 helados cada uno, dependiendo si el copo de abajo es de piña, frutilla, mora o damasco. Para cada una de estas disposiciones había 3 elecciones posibles del copo superior.

Observa que hay r posiciones y que habrá en consecuencia r factores en el producto.

Variación con repetición

Todas las listas posibles son, entonces, el producto de todas las maneras en que se pueden elegir cada una de sus posiciones:

Definición Consideremos un conjunto cualquiera de n elementos. Llamaremos variación con repetición a una lista ordenada de r elementos de esos n, en la cual cada elemento puede repetirse tantas veces como se quiera.

Vn,r = n • (n – 1) • (n – 2) … (n – r + 1)

PROBABILIDADES

La última expresión puede manipularse algebraicamente para obtener una forma más compacta, multiplicándola y dividiéndola por un mismo número, en este caso (n – r)!

UNIDAD 4

250

Vn,r = n • (n – 1) • (n – 2)…(n – r + 1) • (n – r)!

Dado que para la elección de cada lugar hay n posibilidades y hay r lugares, el número de variaciones con repetición VRn,r es:

(n – r)!

VRn,r = nr

Es decir, Vn,r = n • (n – 1) • (n – 2)…(n – r + 1)(n – r) • (n – r – 1)…1 (n – r)!

Como es posible apreciar, la expresión para Vn,r deviene en: Vn,r =

n! (n – r)!

Ejercicios propuestos 1. Calcula cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, de acuerdo a las siguientes condiciones: a) si no se permiten dígitos repetidos dentro de un número. b) si se permiten dígitos repetidos dentro de un número. 2. En un curso de 25 estudiantes se van rotando los 4 cargos directivos (presidente, vicepresidente, secretario y tesorero) de modo de compartir responsabilidades y experiencias. ¿Cuántas directivas distintas es posible formar?

Combinaciones Ejercicio resuelto Alex tiene la convicción de que se mantiene en forma gracias a que todos los días su colación consiste en tres frutas diferentes y cada día el surtido cambia respecto al del día anterior. Además, tiene la fortuna de abastecerse de ellas en su propia huerta, de la que recolecta naranjas, manzanas, peras, ciruelas y duraznos. Calcula el número de colaciones distintas que puede formar.

Solución Como vemos, Alex cuenta con la posibilidad de disponer cada día de 5 frutas distintas y cada día elige tres de ellas para su colación. La primera fruta la puede elegir de 5 maneras diferentes; la segunda fruta solo de 4 maneras diferentes y la tercera de 3 maneras diferentes. Tiene entonces 5 • 4 • 3 = 60 maneras diferentes de escoger su merienda. Es decir se trata de las variaciones de 5 objetos en grupos de 3. Como sabemos, el producto 5 • 4 • 3 también se puede escribir así: 5•4•3•2•1 2•1

5! (5 - 3)!

251

Pero no hemos sido suﬁcientemente cuidadosos haciéndolo de esta forma, en el sentido de que estamos considerando que la merienda (naranja–manzana–pera), es diferente de la merienda (naranja–pera–manzana) y de la merienda (pera–naranja–manzana) etc. En otras palabras, una vez elegidas las tres frutas, las permutaciones entre ellas no constituyen meriendas diferentes, de modo que el resultado que obtuvimos debemos dividirlo por 3! = 6: el número de permutaciones que se pueden construir con tres elementos. De esta forma el número de colaciones diferentes es: C5,3 =

Definición Consideremos un conjunto cualquiera de n elementos. Llamaremos combinación a una lista no ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones.

5! = 10 3!(5 - 3)!

Generalizando el resultado obtenido en el ejemplo, el número de maneras en que se puede elegir un grupo de r elementos dentro de un conjunto de n elementos, sin que importe el orden, es: n!

Cn,r = r!(n – r)! y se suele escribir Cn,r = se lee ene sobre erre.

( nr ), sin línea de fracción, y

PROBABILIDADES

5•4•3=

UNIDAD 4

Razonemos como lo hicimos en el ejercicio resuelto anteriormente.

Ejercicio resuelto Calcula el número de grupos de 5 cartas que se puede formar con una baraja española de 40 cartas sin que importe el orden en que se elige los componentes.

Solución 40!

40!

C40,5 = 5! • (40 – 5)! = 5! • 35! =

40 • 39 • 38 • 37 • 36 • 35! 40 • 39 • 38 • 37 • 36 = 5! • 35! 5•4•3•2•1

⇒

C40,5 = 78.960.960 = 658.008

PROBABILIDADES

120

UNIDAD 4

252

Ejercicios propuestos 1. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir con los dígitos 3, 4, 5, y 6? 2. Se tiene 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca. Se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos, entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno. 3. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar turnos. ¿Cuántas ternas diferentes se podrían formar? 4. Calcula el número de posiciones que pueden adoptar 10 personas alrededor de una mesa, si los puestos son indistinguibles unos de otros. 5. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 7 personas en una ﬁla? 6. ¿De cuántas maneras puede dividirse un grupo de 10 personas en dos grupos de 7 y 3? 7. ¿Cuántas comisiones de 2 hombres y 3 mujeres pueden formarse, si se cuenta con 6 hombres y 5 mujeres? 8. ¿De cuántas maneras pueden elegirse 6 problemas para una prueba si se cuenta con un total de 10? 9. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 3 personas en un sofá si hay 6 personas dispuestas a ocuparlo? 10. Se sacan 3 cartas de una baraja inglesa. Calcula la probabilidad de que: a) dos sean ases y una un rey

b) todas sean diamantes

c) todas sean de una sola pinta

d) al menos 2 sean ﬁguras

Las redes están jugando un rol relevante en esta época de desarrollo de la Humanidad. Esto lo vemos a diario en casos como Internet, Facebook, redes de amigos que dialogan por medios de comunicación, organización de grupos de interés en música, artes, política, ciencia, negocios, asistencia social y muchos otros ámbitos. ¿Por qué se produce esta explosión de las redes? Porque las redes significan valor para las perso-

2 personas 1 enlace

3 personas 3 enlaces

nas. Para explicar esto nos sirve el concepto de las combinatorias. Veamos, por ejemplo, el caso de las comunicaciones telefónicas (alámbricas e inalámbricas). Una persona se comunica con otra porque tiene un valor para ella. Llamemos V a este valor. Cuando hay dos personas hay un enlace, cuando hay tres personas hay tres enlaces, cuando hay cuatro personas hay seis enlaces, y así sucesivamente. El siguiente esquema ilustra esta progresión:

4 personas 6 enlaces

n personas n(n-1) enlaces 2

UNIDAD 4

El valor de la red

Entonces el valor total de la red es proporcional a n (n – 1) = 1 (n2 – n) 2

Donde n es el número de personas (o de nodos en la red). Es decir, el valor de la red crece con el cuadrado de nodos.

PROBABILIDADES

253

Síntesis de la Unidad PROBABILIDADES

Nociones de probabilidad

UNIDAD 4

254

Experimento aleatorio Es aquel cuyos resultados, al ser repetido tantas veces como se desee en condiciones similares, no pueden ser predichos con certeza. Espacio muestral Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa • Cuando un experimento aleatorio se repite muchas veces, el recuento y registro de los resultados suele hacerse en una tabla de frecuencias. • La frecuencia absoluta de un resultado, es el número de veces que ocurre ese resultado. • La frecuencia relativa de un resultado es el cuociente entre su frecuencia absoluta y el total de resultados observados. Equiprobabilidad • Cuando las frecuencias relativas de los diferentes resultados posibles de un experimento aleatorio tienden a estabilizarse en valores parecidos entre sí, se dice que dichos resultados son equiprobables. • Si las frecuencias relativas de los diferentes resultados posibles tienden a estabilizarse en valores notoriamente diferentes entre ellos, los resultados son no equiprobables.

Sucesos de un experimento aleatorio • Suceso elemental: es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. • Suceso compuesto: es un subconjunto del espacio muestral, formado por sucesos elementales. • Suceso imposible: es un suceso con probabilidad de ocurrencia nula. • Suceso seguro: es un suceso con probabilidad 1. Probabilidad clásica Bajo ciertas condiciones, es posible calcular la posibilidad de ocurrencia de un determinado resultado antes de realizar el experimento (a priori). La forma teórica de obtener una probabilidad es aplicando la regla de Laplace. Regla de Laplace Si un experimento aleatorio tiene un número finito n de resultados y todos ellos son equiprobables, entonces: • la probabilidad de ocurrencia de uno de tales resultados es 1 . n

• la probabilidad de ocurrencia P(A) de un suceso A que consta de k de dichos resultados es P(A) = k . n

• probabilidad clásica: P(A) = Nº de casos favorables Nº de casos posibles

• probabilidad experimental: P(A) = Nº de casos de ocurrencia de A Nº de resultados observados

• Variable cuantitativa: son las que toman valores numéricos. • Variable cualitativa: son variables que no tienen una representación numérica. Se expresan por una cualidad. • Variables continuas: pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. • Variables discretas: solo pueden tomar ciertos valores en el intervalo considerado y no admiten valores intermedios. Probabilidad de un suceso compuesto Si A es un suceso compuesto: A = {a1, a2, a3,..,an} donde a1, a2, a3,..,an representan resultados (sucesos elementales), entonces: P(A) = P(a1 ) + P(a2 ) + P(a3 ) + ... + P(an ) Complemento de un suceso A Es el conjunto de todos los elementos del espacio muestral que no están incluidos en el suceso A. Se denota por A. Probabilidad del complemento de un suceso Si A es el suceso complemento de A, entonces: P(A) + P( A ) = 1 P( A ) = 1 – P(A)

• Sucesos mutuamente excluyentes (o incompatibles): dos sucesos se dicen mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia del otro. • Sucesos independientes: A y B son independientes si la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B y recíprocamente. • Probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) • Probabilidad de sucesos independientes: P(A y B) = P(A) • P(B) Probabilidad condicionada • Sean A y B dos sucesos tales que P(A) ≠ 0. Se llama probabilidad de B condicionada a A que denotamos por P(B/A), a la probabilidad de que ocurra el suceso B dado que ha ocurrido el suceso A y se cumple que: P (A/B) = P (A y B) P (B)

Sucesos dependientes y sucesos independientes • Si A y B son dos sucesos y P(A) = P(A/B) o bien, P(B) = P(B/A) se dice que los sucesos son independientes. • Si A y B son dos sucesos y P(A) ≠ P(A/B) o bien, P(B) ≠ P(B/A) los sucesos se dicen dependientes.

UNIDAD 4

Variables • Variable aleatoria: es una función que le asocia un valor numérico único a cada uno de los resultados del espacio muestral.

Relaciones entre sucesos • Sucesos compatibles: son sucesos de un experimento aleatorio que pueden ocurrir simultáneamente.

255 PROBABILIDADES

Ley de los grandes números Cuando un experimento aleatorio se realiza muchas veces, la frecuencia relativa de los resultados de dicho experimento, tiende a estabilizarse en cierto valor, que es precisamente la probabilidad.

Combinatoria básica Regla del producto Para disponer elementos en dos posiciones y se cuenta con n elementos para la primera posición y con m elementos para la segunda posición, el total de parejas que se puede formar es n • m. Factorial de N:

N! = N • (N – 1) • (N – 2) … 2 • 1

PROBABILIDADES

Permutación de n objetos Sea un conjunto cualquiera de n elementos. Permutación es una lista ordenada de esos n elementos, en la cual no están permitidas las repeticiones. El número de permutaciones de n elementos es Pn = n! = n • (n – 1) • (n – 2) … 2 • 1.

UNIDAD 4

256

Nº de objetos

Nº de permutaciones posibles

1! = 1

2! = 2 • 1 = 2

3! = 3 • 2 • 1 = 6

4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24

5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

6! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

7! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5.040

8! = 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40.320

9! = 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 362.880

10! = 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 3.628.800

Variaciones Sea un conjunto cualquiera de n elementos. Variación es una lista ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones. El número de van! riaciones de r elementos elegidos de un conjunto de n elementos es Vn,r = (n – r)! . Variaciones con repetición Sea un conjunto cualquiera de n elementos. Variación con repetición es una lista ordenada de r elementos de esos n, en la cual cada elemento puede repetirse tantas veces como se quiera. El número de variaciones de r elementos con repetición elegidos de un conjunto de n elementos es VRn,r = nr. Combinaciones Sea un conjunto cualquiera de n elementos. Combinación es una lista no ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones. El número de combinaciones de r elementos elegidos de un conjunto de n elementos n! . es Cn,r = r! (n – r)!

Más ejercicios propuestos Nociones de probabilidad 1. Describe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:

a) ¿cuántos lanzamientos se hicieron en total? b) completa la tabla siguiente: Estudiante

Frecuencia absoluta

Frecuencia acumulada

Nº de lanzamientos acumulados

Frecuencia relativa acumulada

c) grafica la frecuencia relativa acumulada en función del número de lanzamientos acumulados. Comenta la forma de la gráfica al unir los puntos obtenidos. 3. Un experimento aleatorio consiste en hacer rodar dos dados: uno de 8 caras y otro de 6 caras y se registra la suma de los puntos obtenidos. Se definen los sucesos A, B, C, D y F: • A: “La suma es igual a 2” • B: “La suma es igual a 15” • C: “La suma es número primo” • D: “La suma es un número entre 2 y 14” • F: “La suma es menor o igual que 10” Escribe el conjunto de resultados que define a cada uno de ellos y anota de qué tipo de suceso se trata.

257 EVALUACIÓN

2. Se reunieron 5 estudiantes y cada uno(a) hizo 100 lanzamientos de una moneda y el experimento consistía en registrar el número de veces en las que cada uno(a) obtenía “cara”. La tabla resume resultados obtenidos.

UNIDAD 4

a) sacar al azar una bola de una caja que contiene 15 bolas numeradas del 1 al 15. b) hacer rodar dos dados de ocho caras (1 al 8) y anotar la suma de los puntos obtenidos. c) responder al azar dos preguntas de una encuesta cuyas respuestas posibles son: siempre, frecuentemente, nunca.

4. Se extrae una bola de una urna que contiene diez fichas numeradas con los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 y 19. Encuentra en este experimento un ejemplo para cada uno de estos sucesos: a) seguro c) elemental

b) imposible d) compuesto

5. Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado de 8 caras salga un número “menor que 5”. 6. Si una bolsa contiene 6 bolitas azules, 4 rojas y 2 verdes, indistinguibles al tacto, calcula la probabilidad de extraer una bolita roja.

EVALUACIÓN

7. Calcula la probabilidad de que al extraer una ficha al azar de un juego de dominó salga un “chancho” (el 0 – 0, el 1 – 1, el 2 – 2, hasta el 6 – 6). 8. Determina la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtengan 2 caras y un sello.

Probabilidades y probabilidades 1. Observa cada una de las cajas de la figura adjunta.

UNIDAD 4

258

Determina en cuál de las cajas: a) es equiprobable sacar una bolita azul. b) es más probable sacar una bolita roja. c) es más probable sacar una bolita verde. 2. Calcula la probabilidad experimental en los siguientes experimentos aleatorios: a) se lanzó una moneda al aire 1.000 veces y los resultados que se obtuvieron fueron 682 veces “cara” y 318 veces “sello”. Compara la frecuencia relativa de cada resultado con la probabilidad teórica. b) al lanzar 240 veces un dado de seis caras numeradas del 1 al 6, los resultados obtenidos fueron los siguientes: Cara

Frecuencia absoluta

Compara la frecuencia relativa con la probabilidad teórica.

3. Se extrae una carta al azar de la baraja española y se define el suceso A: “Sacar una carta menor o igual a 4”. a) ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A? b) ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso complementario al suceso A? c) ¿cuál es el significado de tal suceso? 4. Al lanzar tres monedas al aire se definen los siguientes sucesos: • A:: “Que se obtengan tres caras o tres sellos” • B:: “Que se obtengan dos caras y un sello o una cara y dos sellos”

Determina: a) el número de resultados posibles de cada suceso. b) los sucesos que ocurren si se extrae un 6 de copas. c) los sucesos mutuamente excluyentes. 6. Se extrae una ficha de una bolsa que contiene 8 fichas numeradas: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Se definen los siguientes sucesos: • A: “Obtener un número primo” • B: “Obtener un número par” • C: “Obtener un número impar” Determina a) el espacio muestral. b) el suceso A. c) el suceso B. d) la relación entre los sucesos A y B. 7. En un liceo el 55% de los estudiantes vive a más de 20 cuadras del establecimiento y de entre ellos(as) el 24 % ha llegado atrasado(a) alguna vez. Calcula la probabilidad de que un(a) estudiante viva a más de 20 cuadras y haya llegado atrasado(a) alguna vez. 8. De una caja con 16 bolas numeradas de 2 al 17, se saca una bola, se anota su número y se devuelve a la caja. Definimos los sucesos: • A: “Que salga un número par” • B:: “Que salga un cuadrado perfecto” Calcula la probabilidad de P(A o B).

259 EVALUACIÓN

5. Se extrae al azar una carta de una baraja española de naipes y se definen los siguientes sucesos: • A: “Sacar una carta par” • B: “Sacar un oro o una copa” • C:: “Sacar una copa o un basto o una espada”

UNIDAD 4

Determina la probabilidad de ocurrencia de: a) A b) el complemento de A. c) B d) el complemento de B.

9. Considera el experimento aleatorio que consiste en elegir una carta al azar de la baraja inglesa. Se definen los sucesos: • A: “No sacar ﬁgura” • B: “No sacar corazón” Calcula: a) la probabilidad de cada evento. b) la probabilidad de que la carta seleccionada no sea corazón, sabiendo que no fue figura.

EVALUACIÓN

10. Se hace rodar un dado de seis caras y se definen los sucesos: • A: Que salga un número impar • B: Que salga un número menor que 4 Calcula: a) la probabilidad de cada evento. b) la probabilidad de obtener un número impar sabiendo que salió un número menor que 4. c) la probabilidad de obtener un número impar sabiendo que salió un número mayor que 2. d) los sucesos A y B, ¿son dependientes o independientes?

UNIDAD 4

260

11. Se hacen rodar dos dados, uno de ocho y el otro de seis caras. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 9? b) Si la suma de los puntos ha sido 9, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los dos dados haya sido un 5? 12. Se quiere forrar los 6 cojines de un dormitorio con géneros diferentes entre sí elegidos de un muestrario de 10 géneros distintos. ¿Cuántas alternativas de elección existen? 13. Calcula cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5: a) si no se permiten dígitos repetidos dentro de un número. b) si se permiten dígitos repetidos dentro de un número. 14. En un grupo de 18 jóvenes ocupados de ayuda comunitaria se van rotando las 6 tareas básicas (dirección general, finanzas, recepción de solicitudes, relaciones públicas, adquisiciones, e informática) de modo de compartir responsabilidades y experiencias. ¿Cuántas configuraciones distintas es posible formar? 15. Hay que ubicar 8 archivadores en un estante en el cual hay sólo 4 espacios disponibles. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar y ubicar 4 de los 8 archivadores suponiendo que no existan razones para preferir alguno? 16. Una empresa cuenta con 12 guardias con los cuales hay que formar parejas para realizar recorridos de vigilancia. ¿Cuántas parejas diferentes se pueden formar? 17. Calcula el número de posiciones que pueden adoptar 8 personas alrededor de una mesa si los puestos son indistinguibles unos de otros. 18. Hay 6 personas en una fila. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 6 personas en una fila?

Autoevaluación

3. La tabla muestra las calificaciones de 0% a 100% de una asignatura de matemática de 200 jóvenes universitarios. Calificaciones

1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

Nº de estudiantes

2 3 14 25 59 45 21 15 12 4

Encuentra cuántos estudiantes obtuvieron: a) más de 60% b) menos de 41% c) entre 31% y 70%

Masa (kg)

Nº de trozos

1,0 – 1,9

2,0 – 2,9

3,0 – 3,9

4,0 – 4,9

5,0 – 5,9

6,0 – 6,9

7,0 – 7,9

8,0 – 8,9

9,0 – 9,9

UNIDAD 4

2. Una investigación establece que en cierta localidad, en promedio llueve 3/5 de los días de julio. Se seleccionan arbitrariamente tres días. Calcula la probabilidad de que: a) llueva los tres días b) llueva exactamente en dos de ellos c) al menos en dos de ellos no llueva

4. Al clasificar la masa de una muestra de 100 trozos de roca provenientes de una explosión en una mina, se encuentra que:

261

a) Encuentra la frecuencia relativa de los trozos cuya masa está entre 5,0 kg y 5,9 kg. b) La frecuencia porcentual de los trozos cuya masa está entre 6,0 kg y 8,0 kg. 5. Dos de los diez mejores deportistas del colegio, representarán al establecimiento en las olimpiadas regionales. ¿Cuántas elecciones posibles existen? 6. De la siguiente tabla de calificaciones, determina: a) el promedio b) la mediana c) la moda

2 1 2 6 7 6 3 7 1 7

3 6 5 4 3 4 4 1 5 3

6 2 4 7 2 1 2 6 4 7

4 7 7 6 2 6 7 5 4 3

1 7 6 5 6 2 6 6 2 3

EVALUACIÓN

1. Un ramo de flores tiene tres rosas blancas, dos rojas y cuatro amarillas. Se toma una rosa al azar del ramo, por su tallo. Encuentra la probabilidad de que: a) sea roja o blanca b) sea roja o amarilla c) sea blanca o amarilla

Soluciones Unidad 1 página 16

c) 39 5 – 40 3 – 25 7 + 6 105 170

( p+

página 28 4 3

( )

∴ 3, 16 > 10

•

1 6

2 ((3, 1 16) 6) = 57 = 3.249 > 10 324 18 2

– 6

•

262

b) 2 3 – 1

c) 2

d) 5

3 3

5a 5 2 2

a) 8 10 5

b) 7

c) 2

d) 4 15 15

2 • a c 2

página 22 a) 5 ( 3 + 2 )

b) 3 – 1

c) 2 ( 5 – 2 )

d) 15 3 + 6 5 55 f) k( k – 2) k–4

e) 7(3 + 7 ) 2 g) h)

2x – x si x ≠ 2 ó 1 si x = 2 2 2–x 2p + 3q + 2 6pq 2p – 3q

página 24 a) b)

2+ 6–2 2 12 + 18 – 30 12

– 6

2 2 c) 5 5 e) 1 2

d) 2 15 3

g) – ((1 + 2 )

h) 6 + 3 5

i) 2 ( 7 – 3 )

j) 15 – 3

k) 2 ( 7 + 3 )

l) 15 + 3

m) 2

n) 2

o) 2.

b) 2 3 3

p) 10 – 4 6

a) c < a < b < d

g<e<f<h

j<i<l<k

p<o=m<n

b) e < a < m < i

j<b<f<n

g<c<o<k

p<d<l<h

si p = 3q, se reduce a 3 + 2 2 i)

•

página 29

a) 11

– 3

página 20 1.

2q + p + 2q ) 2pq 4 pq

81 9

( 3 7 )2+ 3 7 3 3 + ( 3 3 )2

( 8 + 2) [ 2 +

•

4 3 • ( 3 )2 c) 4 + 2 2 + 2 6 •

2• 2+ 4] 3

• 10 + ( 3 10) e) 4 + 2 2

• ( ) • r +2• k • ( r ) , k ≠ r f) k + r + 2 k k–r

página 38 1.

Los puntos de intersección con el eje X son:

100 ≈ 10,045. Es una mejor aproximación que la obtenida con 100 = 81 + 19.

( –B ± B2A– 4AC ,0). En el ejercicio anterior: 2

150 = 144 + 6 ≈ 12,25.

página 49

(0,0)

Para que todos los valores quedaran dentro del mismo rango.

(– 3 ,0) y ( 3 ,0)

Las parábolas se abren (cierran) cuando IaI < 1 (IaI > 1).

(–2,0) y (2,0)

No existe intersección

página 51

Las rectas son paralelas, por lo tanto, no se intersectan. a) 120 km

5x2

20 15

4x + 2x

10 5

b) 1,5 h

–2,0

página 54

–1,5

–1,0

–0,5

0,0 –5

0,5

1,0

1,5

2,0

–10

–2x2 + x

–6

–2

1 4 1 4

1 4 1 8

– 14

– 12

1 2

– 78

–

1 –1

–25

–6x

2x2 – 4x + 3

25 20

x2 – 3

2. a) Para la parábola y = Ax2 + Bx + C las coordenadas del punto de intersección con el eje Y son (0,C). En el ejercicio anterior:

-2

–

1 2 x +1 4

–

1 2 1 x + x–1 2 2

-1

0,0

-5

página 62 1.

263

–15 –20

UNIDAD 1

L1: y = x + 3 L2: y = 5x – 5

SOLUCIONES

a) 5 ± 17 2 2

b) 1 ± 2 37 7 7

c) 4 y –2

d) 1 y – 1 3

página 65

10.

100 – 3 cm ≈ 9,85 cm

b) – 3 ± 17 2 2 d) 3 ± 205 7 7

a) 5 ± 23 c) 1 ± 33 4 4 e) 4 ± 104 10 5

11.

SOLUCIONES

UNIDAD 1

264

12.

b) x no está definido para x < 0, lo que elimina las curvas C, D y E. La curva A representa un crecimiento cuadrático.

b) 16

c) 17

d) 15

e) 18

f) 13

g) 11

h) 14

i) 20

j) 19

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

f) 60

g) 70

h) 80

i) 90

j) 100

a) 2 • 7 = 14

b) 40

c) 36

d) 144

e) 15 2 h) 1 2

f) 270 17 i) 1 20

a) 36 + 64 = 100 = 10

b) 15

c) 13

d) 17

a) 36 + 64 = 6 + 8= 14

b) 21

c) 17

d) 23

página 77 13. y

b) 3

c) 4

d) 5

f) 7

g) 8

h) 9

i) 10

a) 2 e) 5

31 6

7 2

a) 2 • 3 d) 33 • 5

b) 2

15 2

1 – 2

f) 2 5 2 5 2

c) 33

d) 2 4

– 3

h) 7

35 6

7 3

g) 3

b) 2 • 5 e) 72 • 5

17 6

x+2

x–2

2 1

-4

14.

-2

0,0

a) 2 = 8 – 2 b) 18 = 8 + 2 = 5 2 – 4 c) 3 3 – 6 = 12 + 3 3

e) 6

d) 20 = –4 5 + 3 2 10 15.

página 75 5 2

4x – 3

a) 144 = 121 + 23 ∴ 144 ≈ 12,136

a) 2

b) 1000 = 900 + 100 ≈ 31,6 7.

a) Curva B

a) 12

g) 64 9 4.

a) AB ≈ 116,5 m; BC ≈ 77,7 m; b) S ≈ 9,052 m2

página 76

Más ejercicios propuestos página 74 1.

81 + 16 cm = 97 cm =

9 2

a) 5 – 2

b) 3 + 2

c) 20 – 2

d) 56 – 7

e) 3 6 – 8

271 60

c) 2 • 7 31

– 15

f) 2

•

16.

7 6 119 30

a) Lunes: AB + BC ≈ 13,3 km; Martes: CD + DE ≈ 12,8 km b) AB + BC > CD + DE

17.

N a+b + 4 a+b podemos escribir que: N≈

y 2,5

120 = 120 + 10+11 = 120 + 21 = 5,71 + 5,25 = 10,96

10+11

1,5

q(–6) = 3

El resultado entregado por una calculadora de bolsillo para 120 es 10,954451, de modo que la aproximación difiere alrededor de un 0,05% de 120

2x + a – 3

-3

-2

-1

0,0

página 78 19.

a) (–1,0) y (3,0)

b) (1, –4)

c) (0,–3) 20.

Alternativa d)

21.

a) x1 = –2 y x2 = 6

b) (0,–12)

c) x = 2 22.

a) –3 ± 2 3

b) 1 ± 6

c) 5 ± 5 2

d) –1 ± 10 3

e) –1 y 1 3 23.

a) 5 ± 17 2

b) –1 ± 147 7

c) –1 y 3

d) –1 y 1 3

Autoevaluación página 79 1. El área S de un cuadrado de lado a está dada por la expresión S = a2, de manera que en este caso a = 120 . Como 120 está entre a = 10 y b = 11, utilizando la aproximación encontrada al inicio de la Unidad.

150 = 144 + 6 = 144(1+ 6 ) = 12 (1+ 6 ) 144 144 = 12+ 1 = 12,25 4 El valor obtenido con la aproximación difiere en alrededor de 0,02% de 12,247449 obtenido con una calculadora de bolsillo. 3. Supongamos que las dimensiones de los cajones de 30 lt son a, b, y c. Su capacidad será entonces C60 = abc. Si los cajones de 60 lt tienen sus dimensiones correspondientes proporcionales, sus lados medirán ka, kb y kc respectivamente y su capacidad será C60 = k3abc. Como C60 = 2C30, se tendrá que k3 = 2, de manera que k = 3 2 . La cantidad de madera utilizada en los cajones es proporcional a su superficie. En el caso de los cajones más pequeños su superficie es 2(ab + bc + ca) y en el caso de los cajones más grandes será 2kk2(ab + bc + ca), de modo que la razón entre el material usado en los cajones de 60 lt será k2 veces el material usado en los cajones de 30 lt. Por lo tanto, para mantener la relación preciocosto, el precio de los cajones grandes será k2 veces el precio de los cajones chicos, es decir Precio cajones grandes / Precio cajones chicos = ( 3 2 )2 ≈ 1,59. 4. Llamemos L a la longitud del tubo y x a la altura del arco. En tal caso la longitud del travesaño DC 2x y el área S del rectángulo ABCD, será es L – 2x 2 x, x, es decir S(x) = – 2x 2x2 – xL, que S(x) = (L – 2x)

UNIDAD 1

0,5

18.

A modo de verificación elevamos al cuadrado el número obtenido: (10,96)2 ≈ 120,12

-4

265 SOLUCIONES

3–x

representa una parábola abierta hacia abajo y que pasa por el origen. La función S(x), es decir el área del rectángulo, alcanza su máximo en el punto medio entre las raíces de la ecuación S(x) = 0. Como S(x) = 0 en x = 0 y en x = L/2, entonces el máximo se encuentra en x = L/4. En tal caso, dado que L = 12m, la altura del arco será 3m y al ancho del arco 6m.

SOLUCIONES UNIDAD 1

página 87 1. Números: 4 , –16 , 2 + 5 , 14

5. Llamemos x a la longitud del segmento CD y a a la longitud de AD, entonces – de acuerdo a las condiciones del problema – la longitud de AB 2x. 2 será 2x.

Intervalos que los contienen a todos: [–16,14] , [–200,14], etc.

En consecuencia la longitud de BC será:

Intervalos que contienen solo dos números: [–16, 2 + 5 ] , [4,14], etc.

BC= (AB)2 + (AC)2 = (2 ((2x) 2x)2 +(a-x)2 = 2x)

266

Soluciones Unidad 2

5x2 -2ax+a2 5x

BC será un mínimo cuando la cantidad subradical f(x) = 5x 5x2 – 2ax + a2 lo sea. Como el coeficiente de x2 es positivo, entonces f(x) representa una parábola abierta hacia arriba; si calculamos el discriminante podemos ver que no corta al eje de las abscisas. La coordenada x del mínimo se encuentra como la semi-suma de las raíces. Por las propiedades de las raíces de una ecuación de 2° grado sabemos que la suma de las raíces es el coeficiente de x dividido por el coeficiente de x2 con signo menos, lo que en este /5 lo cual implica que f(a/5) = 4a2/5 por caso es a/5 lo cual BC =2 5 a 5 6. Por simple inspección, las raíces de la ecuación x2 – 2x 2 – 3 = 0 son 3 y –1 (para factorizarla hay que encontrar dos números cuya suma sea 2 y cuyo producto sea -3). En consecuencia, las raíces de la ecuación que estamos buscando son 9 y -3. La ecuación será entonces ((xx – 9)(x 9)(x + 3) = 0 ó bien, x2 – 6 6x – 27 = 0

Intervalos que contienen solo tres números: [–16,4] , [ 2 + 5 ,14] , etc.

Intervalos que contienen solo un número: [–16,–16] , [4,4] , etc. Intervalos que no contienen ninguno de tales números: [–18,16] , [15,25] , etc. 2. Los elementos comunes entre [3,5] y [–16,14] son los de [3,5]. Los elementos comunes entre [2,14] y [–16,14] son los de [2,14].

página 89 1. L1: y ∈ [–10,2] ⇒ el valor mínimo de y es –10 L2: y ∈ [–1,5] ⇒ el valor mínimo de y es –1 Las distancias recorridas son:

I I en L : d = I5 – (–1)I = 6

en L1: d1 = 2 – (–10) = 12 2

Luego, en L1, y recorre mayor distancia que en L2 2. A: –1 ≤ x < 2

B: y ≤ 2x + 1

C: y ≥ –1

Graficando:

y = 2x + 1

Representando en la recta numérica: Trayectoria B

página 92 1. Los impuestos son: mes 1: I = 19.182 mes 2: I = 61.142 mes 3: I = 0 El total de impuestos pagados en los tres meses es de $ 80.324. El promedio de las rentas mensuales es: 780.000 + 1.250.000 + 160.000 = $ 730.000 3

El impuesto correspondiente a este valor es de:

24,0

25,2

28,0 Trayectoria A

2. El tiempo mínimo de recorrido para B es de 12,0 min. El tiempo máximo de recorrido para B es de 21,0 min. Intervalo de tiempo para B: [12,0 min, 21,0 min] Representando en la recta numérica: Trayectoria B descongestionada

12,0

21,0 24,0

I = 0,05 • 730.000 – 19.818 = 16.682

Trayectoria B

25,2

28,0

30,0

Trayectoria A

página 99 1. La máquina C debe trabajar al menos 102,2 días y la máquina A, al menos 106 días.

2. El impuesto que corresponde al sueldo del ingeniero experimentado es $ 257.222. El impuesto a pagar por cada ingeniero contratado es $ 56.142. Por ambos ingenieros, el impuesto es $ 112.284. Por lo tanto, el impuesto pagado a los dos nuevos ingenieros es menor al caso del ingeniero experimentado.

2. A con B pavimentan 43,2 km A con C pavimentan 45,6 km B con C pavimentan 40,8 km

267

El rendimiento mínimo de la máquina D para que trabaje con la máquina A debe ser de 0,22 km/día. Sí la máquina D trabaja conjuntamente con la máquina B, el rendimiento debe ser mayor que 0,26 km/día.

SOLUCIONES

Si la persona hubiera ganado el promedio mensual de $ 730.000 durante tres meses, el impuesto total pagado en el periodo sería de 3 • 16.682 = $ 50.076 Este valor es menor al obtenido según las rentas variables ($ 80.324).

30,0

UNIDAD 2

Luego, la zona de intersección de las zonas A, B y C es el resultado (en que los tres achurados se superponen).

página 93

página 101

1. El tiempo mínimo de recorrido para A es 24,0 min. El tiempo máximo de recorrido para A es 30,0 min. Intervalo de tiempo en trayectoria A: [24,0 min, 30,0 min] El tiempo mínimo de recorrido para B es de 25,2 min. El tiempo máximo de recorrido para B es de 28,0 min. Intervalo de tiempo en trayectoria B: [25,2 min, 28,0 min]

1. a) Las notas posibles son x1 y x2. x1

7,0

5,8

6,9

5,9

6,8

6,0

6,7

6,1

6,6

6,2

6,5

6,3

6,4

b) El máximo resultado que puedes obtener es 6,3.

Los valores mínimos para obtener al menos un 6,0 son:

4,9

7,00

5,0

6,95

5,1

6,90

6,3

6,30

7,0

5,95

El perímetro en los tres polígonos es L, entonces: 1+ 2 A5= L2

A3= 43 a2

A4= b2

A0 = πr2

L3 = 3a

L4 = 4b

L0 = 2π r

página 108

SOLUCIONES

7,0

5,8

6,9

5,9

6,4

UNIDAD 2

5,8

7,0

página 104 1.

n ≥ 5.294 cuadernos por mes.

n ≥ 5.882 cuadernos por mes.

página 105 Áreas de los polígonos:

A5= 5a

1+ 2

b) x > –1

a>5

página 110

14,8 x ≤ 20

Pentágono

a) x ≤ 3

c) x ≤ 2,571…

página 103

A6 > A5 > A4

Valores mínimos:

268

A4L2 = C2 1

A6= L2

Hexágono

Cuadrado

A6= 3b2 23

A4 = C2

x> 3

x≥4

x ≤ 0 y x ≥ 8 ⇒ no hay solución

2 ≤ x ≤ 12

– 5 <x<– 1

2≤x≤ 9

–13 ≤ x ≤ 5

página 112 1.

–12 < x < 28

1 ≤x≤7 3

x ∈ (–∞,3) U (9,∞)

– 4 <x< 4

–6<x<2

página 114 1.

12 min < t < 12,75 min

75 m < s < 95 m

página 115

a) x ∈ (– ((–∞ ∞ ; 4)

b) x ∈ [–2 ; 7]

x ∈ [1 ; ∞)

x ∈ [–∞ ; ∞)

d) x ∈ [–3 ; 6] [ 3 ] e) x ∈ (––∞ ∞ ; 10 ) U (4 ; ∞) 3

x ∈ [–3 ; –2)

f) x ∈ (–4 ; –1) U (3 ; 6)

x ∈ (–∞ ; –4) U 3 ; ∞

g) x ∈ (– ((–∞ ∞ ; 3) U (4 ; ∞)

x ∈ [1 ; ∞)

h) x ∈ ((–1 ; 5)

c) x ∈ – 13 ; –1

)

(

j) x ∈ (– ((–∞ ∞ ; 0)

a<b⇒a+a<a+b a<c⇒a+a+a<a+b+c 3a < a + b + c

De igual modo: a + b + c < 3c Luego: 3a < a + b + c < 3c Dividiendo por 3: a < 1 (a + b + c) < c

ii)

Solución correcta

x > 12 ó x < 0

–3 < x < 13

4 ≤ x ≤ 12

[ ; ∞) x ∈ (–∞ ; 3) U [9

x ∈ (–∞ ; 5) U [9 [ ; ∞)

Más ejercicios propuestos página 126 2 a 3

x≤ a 4

a) Cuando Q ≡ D : P∆ = (2 + 2 )a. Cuando Q ≡ M, punto medio de DC: P∆ = (1 + 5 )a.

x≤

2 b) Área ∆ABQ = a ,∀ Q en DC. 2

páginas 127-128 4.

2 x – x2 ≤ 4 a a 25π

$ 23.500 ≤ P ≤ 63.000

a) n < 15

páginas 128-129 1.

a) x > 10 d) x < 12 g) x > 7 9

páginas 129-130 1.

Desarrolla: 2))2 ≥ 0 a) ((a – 2 1))2 (a b) ((a – 1 ( 2 + 1) ≥ 0 1))4 ≥ 0 c) ((a – 1 1))3 ≥ 0, para a ≥ 1 d) ((a – 1

5a – 4a2 ≥ h

20a – a2 ≥ 80 20b – b2 ≥ 80

Autoevaluación página 131

b) s < 3,8 km

b) x > 8 3 32 e) x < 99 h) x < 23 9

)

c) x > 1 2 f) x > 25 13

1. La condición para la velocidad es 32 < 80 – 32t < 64 Restando 80 a todos los miembros de la inecuación 32 – 80 < 80 – 80 – 32t < 64 – 80

UNIDAD 2

) (

i) x ∈ ––∞ ∞; 5 U 2;∞

página 119

269 SOLUCIONES

Es decir, –48 < –32t < –16 Dividiendo por –32 (lo cual invierte el orden de las desigualdades)

Es decir, necesitarás invertir al menos $2.000.000 en el negocio familiar para obtener un ingreso de $190.000 anuales en intereses. Como en el negocio con mayor riesgo quieres invertir el mínimo posible, deberás poner 2.000.000 en el negocio familiar al 7%.

–48/(–32) > –32t/(–32) > –16/(–32)

página 131

Lo que conduce a 1,5 > t > 0,5 que se puede reescribir como,

SOLUCIONES

0,5 < t < 1,5

UNIDAD 2

270

La respuesta sería entonces que la velocidad tendrá un valor comprendido entre 32m/s y 64m/s en el intervalo de tiempo comprendido entre 0,5s después del lanzamiento y 1,5s después del lanzamiento.

2. La fórmula para el interés simple es G = K i T , donde G es el interés, K es al capital inicial, i es la tasa de interés y T es el tiempo en años. Llamemos x a la cantidad que invertirás en el negocio familiar. Entonces te quedarán (3.000.000 – x) x para colocar en la cuenta de ahorro. El interés que te proporciona el negocio familiar después de un año, suponiendo que les va bien, será: x • 0,07×1 = 0,07 0,07x El interés en la cuenta de ahorro será: (3.000.000 – x) x • 0,05×1 = 150.000 – 0,05 0,05x Entonces el interés total que obtendrás con ambas inversiones será: 0,05x) 0,07x + (150.000 – 0,05 0,07x 0,05x xx)) = 0,02 0,02xx + 150.000 Como al menos necesitas $190.000, tendremos que: 0,02x + 150.000 > 190.000 ⇒ 0,02x 0,02x > 40.000 ∴ x > 2.000.000

3. Llamemos x a la nota del tercer control. El promedio N de los tres controles será entonces, C + C2 + C3 = 5,1 + 6,2 + x = 11,3 + x y debe N= 1 3 3 3 cumplirse que 5,45 ≤ N ≤ 5,54, lo que en este caso se traduce en 5,45 ≤ 11,3+x ≤ 5,45⇒16,35 3

≤ 11,3 + x ≤ 16,62⇒ 4,65 ≤ x ≤ 4,92, de manera que, aproximando a las décimas, se tendrá que 4,7 Alejandro debe sacarse una nota x tal que 4,7≤x≤ 4,9. Por supuesto, con cualquier nota superior a 4,7 se eximirá, pero en el intervalo encontrado, su nota de eximición será exactamente la mínima necesaria. 4. El razonamiento, que está esquematizado en la tabla siguiente es así: 30 de la aleación con las a. Para preparar los 30kg especificaciones dadas, utilizaremos x kg de la aleación al 60% de cobre. 0,6 b. Con ello, la mezcla final tendrá 0,6xkg de cobre proveniente de esa aleación. c. Para completar 30kg necesitamos entonces (30 – x)kg que provendrán de la otra aleación. d. De ese modo la aleación final tendrá 0,4(30 – x) kg de cobre provenientes de esta segunda aleación. 30 de la aleación resultante deben tener e. Los 30kg un mínimo de 0,46 • 30kg = 13,8kg de cobre y un máximo de 0,5 • 30kg = 15kg de cobre. Aleación Al 60% de Cu

kg x

% Cu 0,6

Al 40% de Cu

30 – x

0,4

Mezcla (46–50% de Cu)

Entre 0,46 y 0,5

kg de Cu 0,6x 0,4(30 – x) = 12 – 0,4x Entre 13,8 y 15

Por otro lado, la cantidad de cobre que tiene la aleación final es la suma del cobre aportado por

las aleaciones disponibles inicialmente 0,6x + (12 – 0,4x), por lo que 13,8 < 0,6x + (12 – 0,4x) < 15 Reduciendo términos semejantes,

Soluciones Unidad 3

13,8 < 0,2x + 12 < 15

página 135 1.

1,8 < 0,2x < 3 2.

9 < x < 15 Se necesita usar entre 9kg y 15kg de aleación al 60% de Cu.

6.500 + 4.000x < 40.000

x < 33.500/4.000

b) 44°33’

c) 44°33’20”

d) 44°3’20”

A las 6 h 24 min 32,7 seg y, a las 6 h 40 min 54,54 seg

a) ≈ 0,559 rad

b) ≈ 1,192 rad

c) ≈ 2,123 rad

d) ≈ 0,315 rad

a) ≈ 22,9°

b) ≈ 187,9°

c) ≈ 287,6°

d) ≈ 14,9°

Hipotenusa: 15 cm Cateto: 7,94 cm (aprox)

1,58 cm (aprox)

11,18 m (aprox)

AD = 8 cm AC = 6,93 cm

Es decir,

página 158

x < 8,375 Por lo que, a lo sumo, puede comprar el DVD y 8 CDs

a) 44°30’

página 143

4.000x < 33.500 Dividiendo ambos miembros por 4.000,

d) 3,12°

página 138 1.

Para encontrar el valor máximo que puede adoptar x,, restamos 6.500 a ambos miembros de la inecuación

c) 78,39°

3. 82,5° (En 15 min. el horario avanza 7,5°)

5. 3(x – 2) + 4 > 2(2x – 3) ⇒ 3x – 6 + 4 > 4x – 6 ∴ 4 > x ó bien x < 4

6. Si llamamos x al número de CDs que puede comprar, la desigualdad que restringe los valores de x es:

b) 46,67°

a = 6 , b ≈ 13,75

a ≈ 4,16 , c ≈ 7,34

α ≈ 41,81° , ancho ≈ 13,42 m

β ≈ 53,13° , D = 9 m

UNIDAD 3

Multiplicando por 5 la inecuación,

a) 22,37°

271 SOLUCIONES

Restando 12 a todos los miembros de la inecuación,

página 159 5.

b) ≈ 5,14 cm d) ≈ 2,96 cm

a) 5 cm c) ≈ 11,28 cm

página 160 1.

a ≈ 14,8 cm; c = 15 cm

a ≈ 4,24 cm; c ≈ 12,73 cm

a ≈ 4,46 cm; cos α ≈ 0,82 cm

a ≈ 6,98 cm

a) ≈ 9,39 cm c) 3 cm

SOLUCIONES

12.

AC ≈ 13,07; AD ≈ 12,07; AE ≈ 9,24

13. 7

b) ≈ 17,32 cm d) ≈ 11,82 cm

14.

h ≈ 14,48 cm

Trigonometría

b ≈ 10,67 cm 1.

a = 5 cm; b ≈ 24,5 cm

a ≈ 7,37 cm; c ≈ 10,30 cm

d ≈ 2,24 cm; θ ≈ 41,8º

a ≈ 5,66 cm; c ≈ 16,97 cm

a ≈ 4,46 cm; cos α ≈ 0,82 cm

a ≈ 6,98 cm; b ≈ 10,67 cm

d ≈ 114,7 cm

Más ejercicios propuestos página 183

α ≈ 37º

a) 17º36’ b) 35º42’ c) 183º31’12” d) 22º13’19,2”

α ≈ 53º

10.

y= 3 x

a) 22º36’ c) 22º40’

b) 22º39’36” d) 22º4’

11.

h ≈ 1,73 m

a) 38,7º c) 25,157º

b) 192,4º d) 68,259583º

12.

h = 40 • 3 m ≈ 23,1 m

13.

s ≈ 93,3 cm2

1© = 0,9º

14.

a) Máximo f(x) = 2 en x = 45º

105º

1h18’10,9”

página 161 a) ≈ 4,62 cm c) ≈ 1,46 cm

b) ≈ 10,39 cm d) ≈ 7,5 cm

página 175 Caso a: D ≈ 33 m; Caso b: D ≈ 33 m

272 UNIDAD 3

página 184

1. 2.

8. 9.

página 185

b) Mínimo f(x) = – 2 en x = –135º c) y 2,00

D ≈ 13,8 km

1,50

48, 14 y 50 se generan multiplicando 24, 7 y 25 por 2. Si el tercer lado es hipotenusa mide 13 cm. Si es cateto mide 10,9 aproximadamente.

–135

–90

1,32 m aproximadamente

sen x

0,50

cos x –45

0,0 –0,50 –1,00 –1,50

11.

sen x + cos x

1,00

–180

10.

135

180

AUTOEVALUACIÓN Unidad I Funciones Raíz cuadradas y cuadrática

página 186

página 187

1. Un ciclista parte desde su casa y viaja 10 km en dirección hacia el Norte. En seguida vira y recorre 7 km hacia el Este. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra del punto de partida? Solución: 149km ≈ 12,21km

5. Un estanque tiene forma de cono invertido. Su diámetro es 1 m y su altura 1,25 m. El estanque, inicialmente vacío, está siendo llenado con agua. En un cierto instante el agua ha alcanzado una altura de 35 cm. Determine en ese momento el radio de la parte superior del agua en el estanque. Solución: 0,28 m

2. Una persona se aleja de un poste de luz cuyo foco está a 6 m de altura. Si la persona mide 2 m,€calcula a qué distancia se encuentra del poste cuando su sombra tiene 5 m de longitud. Solución: 15 m

UNIDAD 3

(difiere en alrededor de 0,02% de 12,247449).

4. Un asta de bandera se asegura con dos vientos de cable diametralmente opuestos, cada uno de los cuales es 5 m más largo que el asta. La distancia entre los puntos donde los cables están anclados al suelo es igual a la longitud de uno de los cables. Calcula la altura del asta. Solución: 32,3 m

Horizonte

Montaña 87º

Radio planeta

Línea de visión

273 SOLUCIONES

3. Una varilla de bambú de 3 m de altura se quiebra de modo que su extremo superior queda tocando el suelo a 1 m de la base. Calcula la altura a la que se produjo el quiebre. Solución: 4 m 1,33 m 3

Soluciones Unidad 4

página 199 1. No equiprobables: es más probable encontrar un estudiante de sexo femenino. 2. No equiprobables. Espacio muestral

página 193 1.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

E = {V V, VF, FV, FF}

UNIDAD 4

274

2. a) Tercera Columna Casilla 1: Casilla 1 de 2ª columna Casilla 2: Casilla 1 de 3ª columna + Casilla 2 de 2ª columna Casilla 3: Casilla 2 de 3ª columna + Casilla 3 de 2ª columna, etc. Cuarta Columna Casilla 1: Nº de lanzamientos de A Casilla 2: Casilla 1 de 4ª columna + Nº de lanzamientos de B Casilla 3: Casilla 2 de 4ª columna + Nº de lanzamientos de C, etc. Quinta Columna Frecuencia frecuencia acumulada = relativa acumulada Nº lanzamientos acumulados

página 202 A = {2} suceso elemental

B = ∅ suceso imposible C = {2, 3, 5, 7, 11} suceso compuesto D = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Suceso seguro (es igual al espacio muestral) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} suceso compuesto 2.

a) Suceso seguro: “obtener una bola con un número par entre 2 y 20”. b) Suceso imposible: “obtener una bola con un número impar”.

estudiante

252 caras = fr (caras) 500 lanzamientos

c) 0,504 =

3. No equiprobables: es muy probable que en una página de la guía telefónica residencial todos los apellidos comiencen con la misma letra.

b) 50 lanzamientos • 10 estudiantes = 500 lanzamientos

Frecuencia relativa acumulada de caras

SOLUCIONES

página 196

c) Suceso elemental: “obtener una bola con número 4”.

d) Suceso compuesto: “obtener una bola con un número par entre 2 y 6”.

0,7 0,6 0,5

página 205

0,4 0,3 0,2

0,0

1. 4

2. 3

4. 1

0,1

100

150

200

250

300

350

x 400 450 Número de lanzamientos

1 30.000

1 10

6. 1 8

página 207 1. a) caja B

b) caja C

página 222

c) caja A

2. a) La frecuencia absoluta del 4 es mucho mayor que la de las otras caras: probablemente se trata de un dado trucado.

1. a) P(A) = 30 % b) P(A) P(A P(A A)) = 70 % c) No sacar una figura. 2. a) P(A) = 12,5 % b) P(A) P(A P(A A)) = 87,5 %

c) P(B) = 37,5 % d) P(B P( P(B) B)) = 62,5 % B

página 223

b) Frecuencia relativa

0,16

0,14

0,16

0,24

0,15

0,16

c) La probabilidad experimental de ocurrencia es la frecuencia relativa.

1. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} d) C = {1, 2, 3, 4, 5} b) A = {5} e) A ⊂ B c) B = {1, 3, 5} f) 5

página 224 2. a) #A = 4 b) A y C c) B y C

#B = 10

#C = 10

3. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c) B = {2, 4, 6, 8} b) A = {3, 3, 5, 7 7} d) A y B son mutuamente excluyentes 4. a) E = {cada una de las 52 cartas de la baraja inglesa de 4 pintas con 13 cartas por pinta}

página 208

b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K de corazones}

3. a) P(cara) = 0,7 > 0,5 P(sello) = 0,3 > 0,5

c) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K de trébol}

b) Resultados

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

0,121

0,117

0,129

0,125

0,138

0,133

0,125

0,113

Probabilidad teórica = 1 = 0,125 8

La probabilidad experimental (frecuencia relativa), en todos los casos está en el intervalo (1 ± 0,1). (1 ± 0,1) • Probabilidad teórica

d) B y C e) A y B son mutuamente excluyentes

página 233 1. 52 % 2. 22,75 %

3. a) 50 % b) 6,25 % 4. 66,6 %

página 241 1.

a) P(A) = 3 , P(B) = 1 13

b) P(B/A) = 1 = P(B) 4

a) NI = 35 7 b) P(I P(I) (I(I)I) = 9 2 c) P(F) = 9

d) N(B N(B) ( ) = 33 (B

e) P(I(I( y V) V = 7

45 5 f) P(F/V) V = V) 12 g) P(I/B P(I/B) ( ) = 28 (I/B 33

UNIDAD 4

Frecuencia absoluta

275 SOLUCIONES

Resultados

7. 6 5

páginas 241-242 1

3. a) P(A P(A) ( )= 2 P (A P(B) P(B ( )= 3 (B

c) C = {{1, 1, 2, 3} P(A/C P(A/C) (A/C) (A/C C) = 3

b) P(A/B P(A/B) (A/ ) = 2 (A/B

d) Son independientes.

4. a) C = {3},

  ⋅   = 150 2  3

B = {1, 3, 5},

P(A/B (A/ ) = 3 (A/B P(A/B)

€

8. 10

€

9. 6

10! = 2.520  =  6  6!⋅2!

d) Son independientes. 1

b) P(4/7) 7 = 1 7)

5. a) P(7) 7 = 6 7)

6. P(B/A P(B/A) (B/ ) ≈ 59,5 % (B/A

  ⋅ 3!= 120  3

página 245

SOLUCIONES

1. 125 2. Si el orden importa, V7,3 = 210 alternativas.

página 248 1. 5! = 120

UNIDAD 4

 4  ⋅ 4 24  2 a) P(2 ases y 1 rey) = = ≈ 0,11% 22.100 22.100

página 250 b) 216 números

2. V25,4 = 303.600

13   286  3 b) P(3 diamantes) = = ≈ 1,29% 22.100 22.100 €

página 252 3 1. 4 = 64

13   € 1.144  3 c) P(una pinta) = ⋅4= ≈ 5,18% 22.100 22.100

2.  7

7! = 35  =  3 3!⋅4!

3. 21

€ € €

€

21! = 1.330  =  3  3!⋅18!

d) P(2 o 3 figuras)

€ 12 12  +  286  2   3  66 + 220 = = = ≈ 1,29% 22.100 22.100 22.100

4. 9!= 362.880 5. 7!= 5.040 6. 10 10

10! = 120  = =  7   3  7!⋅3!

maneras posibles de sacar 3 cartas de una baraja inglesa de 52 cartas.

€

2. 6! = 720

1. a) 120 números

€

52  = 22.100  3

10. Existen 

Si el orden no importa, C7,3 = 35 alternativas

276

€

A medida que crece el número de lanzamientos la frecuencia relativa acumulada (probabilidad experimental) se acerca a la frecuencia relativa teórica.

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14, 15}

A = {(1, 1)} es un suceso simple

C = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 4), (2, 3), (4, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (2, 5), (1, 6)}

D = E: espacio muestral

c) E = {(S, S), (S,F), (S, N), (F, S), (F, F), (F, N), (N, S), ((N, F), (N, N)}

F está formado por los elementos coloreados de la tabla siguiente:

2. a) 500 b)

277

0,528

0,504

Nº de Frecuencia lanzamientos relativa acumulados acumulada

Estudiantes

Frecuencia absoluta

Frecuencia acumulada

100

0,550

107

200

0,535

155

300

0,517

211

400

252

500

página 258 y 0,550

a) Extraer una bola con número impar b) Extraer una bola con un número mayor que 19 c) Extraer una bola con un cuadrado perfecto > 1 d) Extraer una bola con un número de dos dígitos

1 2

1 3

7 28

3 8

0,540 0,530 0,520 0,510 0,500

150

200

250

300

350

400

450

UNIDAD 4

B = ∅ es un suceso imposible

SOLUCIONES

Más ejercicios propuestos página 257

Probabilidades y probabilidades 1. a) B

b) A

10. a) P(A) = 1 , P(B) = 1

b) P(A/B) = 2

c) P(A/>2) = 1

d) A y B son

independientes

13. a) 120 números

SOLUCIONES UNIDAD 4

Frecuencia absoluta

Frecuencia 0,158 0,163 0,179 0,171 0,146 0,183 relativa La frecuencia relativa experimental de

14. 13.366.080 configuraciones distintas 15. 1.680 maneras 16. 66 parejas 17. 7! = 5.040

ocurrencia de cada una de las 6 caras difiere a lo sumo en un 13 % de la frecuencia relativa teórica.

a) 40 %

c) Que salga una carta mayor que 4.

c) P (blanca ó amarilla) = 7

a) P(A) = 1 4

b) P(A P( P(A) A)) = 3 A 4

2. Sol.:

c) P(B) = 3

d) P(B P( P(B) B)) = 1 B

a) # A = 20

a) P (que llueva los 3 días) = 27

125

# B = 20

# C = 30

c) Entre A, B y C no hay sucesos mutuamente excluyentes. a) E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

b) A = E

c) B = { 2 }

d) B ⊂ A

13,2 %

125

c) P (en que al menos en dos de ellos no llueva) = 44 3. Sol.: a) 52

b) 44

c) 150

4. Sol.: a) Frecuencia relativa = 0,34 b) Frecuencia porcentual = 34% 5. Sol.:

( 13 ) = 45

página 260

b) P (que llueva exactamente dos de los 3 días) = 27

125

b) A, B y C

Autoevaluación página 262-263

b) P (roja ó amarilla) = 2

b) 60 %

18. 6! = 720 maneras diferentes

1. Sol.: a) P (roja ó blanca) = 5

página 259

b) 625 números

página 261 1

12. 210 alternativas

Cara

b) 1

11. a) 12,5 %

c) C

2. a) Probabilidad experimental de ocurrencia de cara = fr (cara) = 0,682 > 0,5 (probabilidad teórica) Probabilidad experimental de ocurrencia de sello = fr (sello) = 0,318 < 0,5 (probabilidad teórica)

278

9 16

a) P(A) = 10, P(B) = 3 13

b) P(B/A) = 3 4

6. Sol.: — a) N = 216 = 4,32 ≈ 4,3 b) Me = 4 + 4 = 4 50

c) Mo = 6

Bibliografía Álgebra Practical Algebra: A Self-Teaching Guide, Peter H. Selby y Steve Slavin, John Wiley & Sons, Inc., 2a Edición (1991). Precalculus, Ron Larson y Robert P. Hostetler, Houghton Mifflin College, 5ta edición (2000). Algebra 2, Ron Larson, Robert P. Hostetler , Houghton Mifflin College (2001). Algebra Unplugged, Kenn Amdahl, Jim Loats, Clearwater Publishing Co (1996). Elementary Algebra, Harold R. Jacobs, W H Freeman & Co (1979). Integrated Arithmetic and Basic Algebra, Bill E. Jordan, William P. Palow, Addison-Wesley Publishing, 2a edición (2000). Elementary and Intermediate Algebra: Concepts and Applications Combined Approach, Marvin L. Bittinger, David J. Ellenbogen, Barbara L. Johnson, Addison-Wesley Publishing, 3a edición (2001). Beginning and Intermediate Algebra, K. Elayn Martin-Gay Prentice Hall College Div., 2ª edición (2001). Elementary Statistics in Social Research (9th Edition), Jack Levin, James Alan Fox, Allyn & Bacon, 9ª edición (2002). Statistics and Data Analysis: From Elementary to Intermediate, Ajit C. Tamhane, Dorothy Dunlop, Prentice Hall, 1ª edición (1999).

Geometría College Geometry: A Problem Solving Approach with Applications, Gary L. Musser, Lynn Trimpe, Prentice Hall, 1a edición (1994). Geometry: Plane and Practical (Harcourt Brace Jovanovich College Outline Series), Bruce Stephan, International Thomson Publishing (1991).

College Geometry, Frank C. Denney, Prentice Hall College Div, 2ª edición (1991). Algebra and Trigonometry, Judith A. Beecher, Judith A. Penna, Marvin L. Bittinger, AddisonWesley Publishing (2001). College Algebra and Trigonometry, Richard N. Aufmann, Houghton Miffin Company (2002). Geometry and Trigonometry for Calculus, Peter Selby, John Wiley and Sons (1975).

Probabilidad Introduction to Probability, Harold J. Larson, Addison Wesley (1995). Probability Solver: A Complete Solution Guide to Any Textbook, Vance Berger et al, Research Education Association (1996).

Planillas de Cálculo y Computación Simbólica Microsoft Excel 2000: Step by Step, Inc. Catapult, Microsoft Press, 1ª edición (1999). MOUS Essentials: Excel 2000, Marianne B. Fox, Lawrence C. Metzelaar, Prentice Hall, Bk&Cd-Rom edición (2000). Maple: Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and Matlab, Walter Gander, J. Hrebicek, Springer Verlag, 3ª edición (1997). Computing with Maple, Francis Wright, CRC Press (2001).

Sitios en la Red http://www.math.com/ http://www.mathgoodies.com/ http://mathworld.wolfram.com/ http://mathforum.org/ http://library.thinkquest.org/2647/index.html

279

Libros

recomendados Álgebra

Geometría

Álgebra Elemental, Ángel, Allen R., Prentice Hall, 3a Edición (1994).

Álgebra y Geometría, Eugenio Hernández, Addison Wesley (2000).

Álgebra Elemental, Alfonse Gobran, Grupo editorial Iberoamericana (1990).

Matemáticas Básicas – Álgebra, Trigonometría y Geometría, John Peterson, Compañía Editora Continental (1999).

Álgebra Superior, Spiegel, M., Colección Schaum’s (1990).

280

Álgebra, Smith, Charles y otros, AddisonWesley Iberoamericana (1992).

Probabilidad

Preálgebra, O’daffer, Clemens, Charles, Addison-Wesley Iberoamericana (1992).

Estadística y Probabilidad – Secundaria, David Rayner, Oxford Educación (2000).

Antecedentes de Álgebra Elemental, Andrade, A.ET. AL, Trillas, México (1990).

Introducción a la Teoría de Probabilidades, William Feller, Limusa (1992).

Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales, Budnick, Frank S, McGraw-Hill, México, (3a ed.) (1996).

Introducción al Cálculo de Probabilidades, BV. Gnedenko, Eudeba (1998).

Cálculo y Geometría Analítica, Larson, Ronald E y Hostetler, Robert P., McGraw-Hill, México, 5ª edición (1995).