Revista Vektron

1a ed. cómo pensar en módulos. tips para encontrar lineas.

álgebra lineal

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¿cuál es el producto de dos vectores?

VECTORES RECTAS PLANOS ARITMÉTICA MODULAR ECUACIONES LINEALES

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p. 2 Definición Notación Representaciones Propiedades Operaciones Curiosidades Entretenimiento p. 16 Ecuaciones Distancias Ángulos p. 19 Descripción Operaciones Resolución de ecuaciones Aplicaciones p. 22

Definición Sistema de ecuaciones lineales Resolución de ecuaciones lineales Matrices Eliminación gaussiana Eliminación de Gauss-Jordan Espacio generado Conjunto generador

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Concepto y Características Un vector es un segmento de recta dirigido de un punto A a un punto B. Existe debido a la necesidad de explicar ciertos fenómenos físicos, que no pueden ser descritos con un simple valor. Las fuerzas, velocidades, aceleraciones etc. deben describirse dando más información.

Un vector posee: • Magnitud o módulo: determina el tamaño del vector.

• Dirección: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector.

• Sentido: determina hacia qué lado de la recta de acción apunta el vector.

• Punto de Aplicación: en el caso de una fuerza está siempre estará afectando al objeto en un lugar determinado. Pero existen también vectores libres, los cuales no tienen un punto de aplicación.

Notación Los vectores se representan gráficamente como una flecha con punto inicial (cola, origen…) y con punto final (cabeza, punta…).

En texto se representan de distintas maneras.

• Minúscula, cursiva y negrita. u • Flecha sobre letra de norma. !

• Flecha sobre letras de puntos a los que une. !"

Cuando se quiere representar solamente la magnitud se escribe: ∥ ! ∥

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Vector en posición estándar Un vector con su punto inicial en el origen de coordenadas está es posición estándar.

Cualquier punto en el espacio puede representarse con un vector en posición estándar.

Las coordenadas cartesianas son un sistema de referencia respecto de ejes perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano las coordenadas cartesianas x & y se denominan abscisa y ordenada respectivamente.

Se denominaron coordenadas cartesianas en honor a René Descartes, el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un «punto de partida» sobre el que edificar todo el conocimiento.

Debido a la precaria salud que padecía desde niño, Descartes, pasó muchas horas en cama, que aprovechaba para pensar en filosofía, matemáticas y demás. Un día, teniendo su vista perdida en el techo de la estancia, fue una mosca al cruzarse en su mirada la que hizo que se preguntase; si se podría determinar a cada instante la posición que tendría el insecto.

Mientras le daba vueltas esto en su cabeza, se levanto de la cama y tomando un trozo de papel dibujó sobre él dos rectas perpendiculares y allí nacieron las Coordenadas Cartesianas, y con ellas, la Geometría Analítica.

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Componentes de un vector La palabra componente se deriva de las palabras latinas co, que significan “junto con”, y ponere, que significa “poner”. Por tanto, un vector es “poner juntos” sus componentes. Un vector es dirigido desde un punto hasta otro, por eso, sus componentes pueden describirse como los espacios que hay que moverse (en n dimensiones) para llegar de un punto a otro. Un vector tendrá tantas componentes como dimensiones, es decir, si tiene 3 componentes es un vector en 3 dimensiones.

Al escribir un vector estás son representadas dentro de corchetes, asi: v = [v1, v2, v3…. Vn ] Vector renglón y vector columna Los vectores pueden representarse según sus componentes en renglones o columnas. La única diferencia entre una y otra forma es la manera se escriben, •

Renglón

•

Columna !! !! !!

v = [v1, v2, v3…. vn ]

Vector nulo (cero) El vector nulo es un vector especial. Este se escribe 0. La particularidad de este vector es que sus componentes son ceros: 0!= [01, 02, 03…. 0n ]. Este vector no tiene una representación gráfica.!

Igualdad de vectores Cuando dos vectores tiene la misma magnitud y la misma dirección se dice que son iguales o equivalentes. No importa que no tengan la misma posición en el espacio sino que cumplan con lo anterior.

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Suma de vectores 1. Forma gráfica •

Vectores colineales

Los vectores colineales son aquellos que comparten la misma dirección, pero no necesariamente el mismo sentido. En el dibujo puede observarse varios vectores.

Se tomarán como ejemplo sAB (azul) y sBC (verde) vectores colineales. Al sumarse darán origen a un nuevo vector (rojo) de igual dirección y sentido (horizontal derecha) y con módulo igual a la suma de sus módulos. Si los vectores v1 y v3 tuviesen diferente sentido el módulo del resultante sería la diferencia entre módulos, y su sentido sería determinado por aquel vector mayor (en este ejemplo, el verde).

•

Vectores no colineales

Para sumar dos vectores no colineales, se trasladan de tal forma que la cola de uno coincida con la punta del otro vector. Obtenemos la resultante desde la cola del primero hasta la punta del segundo.

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Otra forma es, representar gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, completando un paralelogramo con las paralelas a cada uno.

El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores hasta el punto de intersección de las paralelas trazadas.

2. Método Analítico Al poseer todos los vectores según su expresión analítica, para sumarlos, se reduce el problema a una simple suma numérica por componentes.

Se necesita sumar el vector u = [u1, u2] con el vector v = [v1, v2] escribimos: s = u + v = [u1, u2] + [v1, v2] = [(u1 + v), (u2 + v2)] Siendo la suma de los números entre paréntesis las componentes del nuevo vector.

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Diferencia de vectores 1. Método gráfico Para restar dos vectores libres u y v (u - v), se suma u con el opuesto de v. El proceso es simple y está representado en la figura a continuación. Además, se muestra la comparación de la suma con la resta, para evitar confusiones.

Aquí la resultante es el vector en verde y se observa que su origen está en el origen de u y su final en final de –v.

2. Método analítico Para hacer la diferencia de vectores analíticamente se sigue el mismo principio que al sumarlos. Al tener los vectores en su expresión analítica, para restarlos, se reduce el problema a una simple resta numérica por componentes.

Se necesita restar el vector u = [u1, u2] con el vector v = [v1, v2] escribimos: s = u - v = [u1, u2] - [v1, v2] = [(u1- v2), (u2- v2)] Siendo la resta de los números entre paréntesis las componentes del nuevo vector.

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Vectores paralelos Los vectores son paralelos si tienen la misma dirección. No importa si su sentido se a negativo o positivo. Cuando un vector es un múltiplo de otro vector, se puede decir q estos dos vectores son paralelos.

Deben cumplir esta propiedad:

! = !" !

k ….. Escalar V,U ….. Vector

Vectores en ℝ!

En general ℝ! se define como el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales escritos como vectores renglón o columna. Por ende, un vector ℝ! es de la forma [!! , !! , … , !! ]

ó

!! !! … !!

Representación como vectores: Un elemento de ℝ! es un punto de una recta, de un plano, de un espacio tridimensional o en general de un espacio n -dimensional determinado por sus componentes al ser tomadas como coordenadas respecto a un sistema de ! ejes perpendiculares.

Representación como vector: Un elemento de ℝ! es un vector, es decir, un segmento (o flecha) orientado con una dirección, un sentido y una longitud concretas. El vector [!! , !! , … , !! ] de ℝ! se puede representar como aquel que parte del origen y llega hasta el punto de ℝ! determinado por el mismo.

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Producto de un escalar por un vector Representaremos las variables escalares con una letra: e, r, p, etc., y los vectores en negritas, a, m, v etc.

El producto de un vector por un escalar (número), es un nuevo vector. Éste posee: • La misma dirección del vector original a.

• El módulo igual al producto del modulo de a y el escalar.

• El sentido que será el mismo que el de a, si el escalar es positivo y contrario se éste es negativo.

Nota si el escalar es cero el vector resultante será nulo.

Si el escalar es -1 el vector resultante será llamado opuesto del vector. –a es el opuesto de a Propiedades de vectores Las operaciones de suma entre vectores y producto de un escalar por un vector satisfacen las siguientes propiedades: •

Ley asociativa de la suma de vectores: ! + ! + ! = ! + (! + !)

•

Ley conmutativa de la suma de vectores: !+! =!+!

•

Vector cero:

•

Inversos aditivos:

•

Propiedad distributiva del producto sobre la suma: ! ! + ! = !" + !"

•

Propiedad distributiva de la suma se escalares sobre el producto: ! + ! ! = !" + !"

•

Propiedad asociativa del producto: !" ! = ! !" = !(!")

•

Propiedades generales:

!+0=0+! =! ! + −! = −! + ! = 0

1! = !!!!0! = 0

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Combinación lineal de vectores Se dice que un vector que sea una suma de múltiplos escalares de otros vectores es una combinación lineal de dichos vectores.

Un vector ! es una combinación linean de vectores !! , !! , … , !! si existen escalares !! , !! , … , !! tales que ! = !! !! + !! !! +. . +!!! !! . Los escalares !! , !! , … , !! se llaman coeficientes de la combinación lineal.

Producto punto y sus propiedades Los más importante a tomar en cuenta es que el producto punto da como resultado un escalar y no un vector. Por esto también se le conoce como producto escalar.

La definición del producto punto es la suma de los productos entre componentes homólogas.

Sean los vectores: u = [u1, u2] & v = [v1, v2] entonces el producto punto entre u y v es: u!v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = número real Las propiedades del producto escalar son: Para cualquier vector !+, !,!y ! en !! escalar ! se cumple.

1. Simetría

2. Aditividad

3. Homogeneidad

4. Positividad Además

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Magnitud de un vector La magnitud de un vector es la su longitud. Para poder sacar la longitud de un vector solo se necesita el teorema de Pitágoras. Es decir que las componentes del vector son los catetos y su longitud es la raíz cuadrada de los cuadrados de sus componentes.

! = ! (!!! + !!! + ! … + !!! ) Vectores unitarios estándar Un vector ! se dice vector unitario, o simplemente unitario si:

En R2 los vectores unitarios estándar son: e1 = [1,0]

e2 = [0,1]

Estos vectores sirven para localizar los ejes de coordenadas (positivos) por lo que el eje “x” se extiende de e1, y el eje “y” de e2 (para R2). En R3 se trabaja en tres ejes por lo que hay 3 vectores unitarios estándar, y son: e1 = [1,0,0]

e2 = [0,1,0]

e3 = [0,0,1]

El eje adicional en R3, z, se extiende de e3.

Ejemplo: Determine si los siguientes vectores son unitarios: ! = 1,2 !!!! = ( Solución: El vector (1,2) no es unitario debido a que: 1,2 Mientras que l vector (

! !

,−

! !

=

1 2

,−

1

) 2

1,2 · (1,2) = ! 1 + 4 ≠ 1

) si es unitario porque: 1 2

,−

1 2

=

1 1 + =1 2 2

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Normalizar un vector Normalizar un vector es encontrar un vector unitario, u, en dirección de el vector original, v.

Para esto se realiza la siguiente operación. u=

! ∥!∥

v

Al dividir v entre su magnitud, se asegura que ∥ ! ∥ = 1. Esto no modifica la dirección del vector original, solo su magnitud, por lo que el nuevo vector u tendrá la dirección de v.

Desigualdad de Cauchy Schwarz Teorema: Para cualquiera dos vectores !!!!!, en !! se cumple:

La igualdad se cumple si y solo si los vectores !!!!! son múltiplos escalares entre sí.

Desigualdad del triangulo Para cualquiera dos vectores !!!!! en !! se cumple:

Distancia entre dos vectores La distancia euclidiana entre los vectores !!!!! se define como:

Ejemplo: Determine la distancia entre el punto !(2,3,0) y el punto ! = (0,6, −1).

Solución: Directamente de la definición tenemos: !!,! = || <2,3,0> - <0,6,-1> || = || <2,-3,-1>|| = 2! + (−3)! + 1! = 14

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Ángulo entre dos vectores El ángulo entre vectores u y v, se define como el único número θ (0 ≤ θ ≤ π) que cumple:

Ejemplo: Determine el ángulo entre los vectores. ! = (1,2) y . ! = (1, −1) Solución: Como ! · ! != 1 − 2 = −1, ! = ! 5, ! = 2 De donde: cos ! =

!·! ! ·| ! |

=

−1 10

≈ −0.3162

Donde ! ≈ 1.8925 (En radianes), ! ≈ 108.43° Vectores ortogonales Dos vectores !!!!!, se dice que son vectores ortogonales, si

Ejemplo Determine si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales. !! = 2,3, −4 !!!!! = 1,2,3 !! = 2,3 !!!!! = −3, −4 !

Solución: Los vectores 2,3, −4 y 1,2,3 no son ortogonales debido a que 2,3, −4 · 1,2,3 = 2 · 1 + 3 2 + −4 3 = 4 ≠ 0 Los vectores 2,3 y −3,2 si son ortogonales debido a que: 2,3 · −3,2 = 2 · 3 + 3 2 = 0 Teorema de Pitágoras Los vectores !!!!! son ortogonales si y sólo si se cumple

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Proyección de un vector sobre otro Sean los vectores: u = [u1, u2] & v = [v1, v2] Al proyectar ortogonalmente el vector v sobre la dirección del vector u se obtiene un segmento p, se denomina: “proyección del vector v sobre la dirección del vector u”.

Producto cruz y sus propiedades El producto cruz surge como respuesta al problema de convertir la forma vectorial de un plano a su forma normal. El producto cruz toma dos vectores y provee un tercer vector ortogonal a ambos. La forma vectorial del plano tiene dos vectores directores y con el producto cruz se provee el vector normal al plano. Con eso el problema se simplifica. !! !! !! !! − ! !

El producto cruz de u = ! y v = ! está dado por u x v = !! !! − !! !! !! !! −

!! !! !! !! !! !!

Una forma sencilla de llevar a cabo el producto cruz es utilizar la siguiente técnica.

Las propiedades del producto cruz son: 1. u x 0 = 0 x u = 0 2. u x v = -(v x v) 3. (cu) x b = c(u x v) 4. u x (v + w) = (u x v) + (u x w) 5. u ∙ (u x v ) = v ∙ (u x v ) 6. u x v = 0, cuando son paralelos

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Era una fiesta de vectores y todos bailaban, pero un escalar estaba solo sentado en una esquina y le preguntan: ¿¡Porque esa cara tan triste!?

El responde: - Es que mi vida no tiene sentido ¿Qué es un vector jugando al hockey sobre hielo? -Un vector deslizante ¿Qué es un vector huraño, que rehúye contacto con los otros vectores? -Un vector unitario ¿Qué es un vector común y corriente, del montón? -Un vector normal ¿Cuál es el producto de 2 vectores? -Un vector bebé.

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Ecuaciones de una recta y plano en R2

Ecuaciones de una recta y plano en R3

Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto a una recta es la resta del vector del punto al punto de la recta y la proyección de dicho vector sobre la recta.

! !, ! = | ! − !"#$! ! |

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Distancia de un punto a un plano La!distancia!de!un!punto!a!un!plano!es!la!proyección!del!vector!de!un!punto!cualquiera!sobre!el! plano!al!punto!dado!sobre!la!!normal!del!plano.!! !

! !, P = | !"#$! !" |!! !

!

Distancia entre rectas paralelas

Para hall ar l a di stanci a ent r e dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

Distancia entre planos paralelos Se determina trazando una recta r perpendicular a ambos planos y hallando los puntos de intersección M y N de la misma con los planos dados. La distancia vendrá dada por el segmento comprendido entre dichos puntos.

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Ángulo de intersección entre rectas Se l lam a ángulo de dos re cta s al menor de los ángulos que form an éstas.

Se pueden obtener a partir de: 1 Sus v ectores dir ector es

2 Sus pendi entes

Ángulo de intersección entre planos El ángulo que forman dos planos está determinado por el ángulo entre las normales correspondientes a cada uno de los planos. Ángulo de intersección entre una recta y un plano Para calcular el ángulo que forman una recta y un plano, se debe determinar la intersección entre el plano y la recta. Luego de haber obtenido la intersección se traza un punto cualquiera de la recta perpendicular al plano y se determina la intersección entre ese esta recta y el plano. Los dos puntos obtenidos de las intersecciones definen una recta, y el ángulo entre estas es igual al ángulo que forman la recta y el plano.

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La aritmética modular surge de los códigos que la humanidad ha inventado, por ejemplo, para las computadoras, calculadoras, productos de mercado, etc. En ésta existen n módulos (Ζn), y los vectores del módulo tienen n componentes reales. Dichos vectores no tienen una representación gráfica sino que representan un tipo de código. Las operaciones posibles en aritmética modular sólo son suma y multiplicación. Al trabajar en módulos las propiedades aritméticas se mantienen, sólo los números deben ser analizados en el módulo en el que se trabaje.

5*4=20

3+(-4)= -1

(-8)+(-2)= -10

El módulo en el que se trabaja determina el conjunto de números «aceptables». Por ejemplo, en Z7 el conjunto de números es: {0,1,2,3,4,5,6}; en Z54 el conjunto es: {0,1,2,3,… 53}. Note que los números son enteros y van desde cero hasta un número menor que el del módulo.

Claro que, como los módulos son códigos, pueden haber excepciones como en el ISBN que se discutirá más adelante

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Adición en aritmética modular La suma o adición es una de las operaciones posibles en aritmética modular. El elemento neutro de la suma es el «0» (más tarde servirá para resolver ecuaciones). En ocasiones puede pasa que al sumar dos números el resultado, aparentemente, quede «fuera» del módulo. En el siguiente ejemplo se mostrará como proseguir en esa situación.

(8+1)+5 en Z12 • • •

(8+1)+5 (9) + 5 14

• • •

Ningún número es mayor que 11 porque se trabaja en Z12 Se mantienen las propiedades aritméticas El resultado queda «fuera» de Z12

Para este ejemplo se debe pensar en el módulo como si fuera un reloj de agujas con 12 horas (el número de horas depende del módulo), y determinar en que número está la aguja cuando son las 14 horas. Entonces, se ve que la aguja está en el número 2. Por lo tanto el resultado de la suma en Z12:!

(8+1)+5 = 2 en Z12 Sólo se debe tener cuidado de que en lugar del número que representa al módulo (en este caso 12) en el «reloj» habrá un 0. Esta idea se aplica para todo módulo, pero es una forma intuitiva de llegar a las respuesta.

De manera formal, para conocer cómo se representa un número en distintos módulos (Ζ2, Ζ10, Ζ36…) se debe pensar en los residuos. Aunque la división no es aceptable en aritmética modular si se puede usar el residuo para expresar un número en un módulo. Por ejemplo, 2013 en Ζ9 tiene un valor entre 9 posibles valores {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. La división 2013 / 9 es exacta por lo que tiene 0 como residuo, entonces: 2013 = 0 en Ζ9 Multiplicación La multiplicación es la otra operación posible en aritmética modular. El elemento neutro de la de la multiplicación es el «1» (más tarde servirá para resolver ecuaciones). La propiedades aritméticas de la multiplicación se mantienen, es decir, se multiplica igual que siempre. Sin embargo, se debe analizar los números desde el módulo en que se trabaje; verificar que no queden «fuera» del módulo y de ser así utilizar los residuos.

Por ejemplo: (3*7)*10 en Z20 • • • •

(3*7)*10 (21)*10 210 10

• • • •

Ningún número es mayor que 11 porque se trabaja en Z20 Se mantienen las propiedades aritméticas El resultado queda «fuera» de Z20 En Z20 (3*7)*10 = 10 (residuo de 210/20)

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Resolución de ecuaciones en Zn Para resolver las ecuaciones modulares (Zn) se debe pensar en el elemento neutro de cada operación. En la suma el elemento neutro es «0» y el multiplicación es «1». Por lo tanto, para simplificar una ecuación se debe llegar al elemento neutro que sea necesario. Por ejemplo al simplificar la siguiente ecuación en Z5: • • • • • •

2x + 1 = 3 3x + (1 +4) = (3 + 4) 3x + 0 = 2 3x = 2 x(3*2) = (3*2) x=1

• • • • • •

Se debe encontrar el número en Z5 que haga cero a +1 En Z5 (1+4) = 0 (residuo de 5/5), y (3+4) = 2 (residuo de 7/5) Ya se encontró el elemento neutro de +1 Se debe encontrar el valor de x que haga uno a 3x En Z5 (3*2) = 1 (residuo de 6/5), y (3*2) = 1 Se encontró el valor de x en Z5

Código Universal de Producto (UPC) Es un código asociado con los códigos de barra que se encuentran en muchos tipos de mercancía (excepto libros). Las barras negras y blancas que se escanean con un láser en un mostrador de verificación en una tienda, corresponden a un vector 10-ario u= [!! , !! , … , !!! , !] de longitud 12. Los !! primeros 11 componentes forman un vector en ℤ!" que brindan la información del fabricante y el producto; el ultimo componente d es un digito de control elegido de modo que c·u = 0 en!ℤ!" , donde el vector de control c es [3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1]. Esto es después de reordenar.

Ejemplo:

![7,0,1,0,1,5,2,1,3,1,8, !] ![3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1]

! · ! ! = 0!!"!ℤ!" !“Se eliminan los que sumados den 10 ya que diez en ℤ!" corresponde a 0” ! ·!! = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 + 5 + 6 + 1 + 9 + 1 + 4 + ! !!!!!!!!!!!!!!!3 + ! = 0 !!!!!!!!!!!!!!!3 + 7 + ! = 7 “Se sumo 7 ya que (7+3=10) y en ℤ!" es igual a cero” !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = !

Número Estándar Internacional de Libros (ISBN) El código de numero internacional normalizado de libros de 10 dígitos (ISBN-10) es otro código de digito control muy utilizado. Esta diseñado para detectar más tipos de errores que el código universal de productos y, en consecuencia, es ligeramente más complicado. !"

Aunque el principio básico es el mismo. El vector código es un vector en ℤ!! . Los primeros nueve componentes proporcionan el país, editor e información del libro, el decimo componente es el digito de control. La mayoría de libros también se identifican con un código ISBN de 13 dígitos. Se usa un esquema de dígito control similar al UPC. De madera !" específica, un código ISBN-13 es un vector en ℤ!" . Donde el último digito es el dígito control !" y el vector de control es [1,3,1,3…,3,1] en ℤ!" . El código ISBN-13 detectará todos los errores individuales, mas no todos los errores de transposición adyacentes.

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Las ecuaciones lineales son aquellas que sólo variables a la primera potencia y sólo se multiplican por constantes, no por otra función o variable. Estas pueden representar la ecuación general de una recta en R2 y la de un plano en R3. Además, estas tiene un vector solución que satisface la igualdad.

Recta: Plano: ax + by = c ax + by + cz = d Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales se conforma por varias ecuaciones lineales con variables comunes. El vector solución, en este caso, satisface todas las igualdades a la vez; todas las soluciones posibles de un sistema lineal se conocen como conjunto solución. A continuación se muestra un sistema de ecuaciones lineales. Note que no es necesario que tengan el mismo número de variables x- y- z = 2 y + 3z = 5 5z = 10 Cuando un sistema tiene al menos una solución se dice que es un sistema consistente, si no tiene ninguna solución es inconsistente.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales Para resolver un sistema de ecuaciones lineales se debe buscar la forma menos compleja y que tenga el mismo conjunto solución, es decir, que sea equivalente. Para esto se usan matrices, y sólo se toman los coeficientes del sistema. Una matriz se forma de la siguiente manera.

Dado el sistema: x- y- z = 2 y + 3z = 5 5z = 10 Se toman los coeficientes de las variables y se forma la matriz de coeficientes. Mientras que los términos constantes se colocan en forma de vector.

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Matriz de coeficientes (A)

Vector de términos constantes (b)

1 −1 −1 0 3 0 0 0 5

2 5 10

Cada columna representa los coeficientes El vector se representa en forma de asociados con cada variable (x, y, z), si falta columna. una variable en una ecuación su coeficiente es 0.

Luego se forma la matriz que representa al sistema, la matriz aumentada: 1 −1 −1 2 ! !! = 0 3 0 !5 0 0 5 10 donde la barra vertical sirve como el signo igual (=) en una ecuación.

Forma escalonada La forma escalonada es una forma equivalente y más sencilla de cualquier matriz. En ella se logra un patrón de escalera de la siguiente manera: 1 −1 −1 2 0 3 0 !5 0 0 5 10 Los coeficientes en amarillo forman una especie de escalera, junto con los coeficientes en gris. Los coeficientes sobre las ‹gradas› son los elementos pivotes, y si son distintos de cero se llaman entradas principales de las variables. Estos elementos sirven para llevar las matrices de su forma aumentada a su forma escalonada y viceversa.

Eliminación gaussiana El método de eliminación gaussiana para solución de ecuaciones lineales consiste en convertir mediante operaciones elementales conocidas como operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya solución se mucho más directa al aplicar la sustitución hacia atrás.

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¿Y cuáles son las operaciones elementales? Son 3 básicas: 1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante distinta de cero.

2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra ecuación.

3. El orden de los renglones es intercambiable.

Eliminación de Gauss- Jordan El método de Gauss-Jordan es una variante del método de Gauss. Cuando se elimina una incógnita en una ecuación, Gauss-Jordan elimina esa incógnita en el resto de las ecuaciones, tomando como base para la eliminación a la ecuación pivote. Además todos los renglones se normalizan cuando se toman como ecuación pivote. El resultado final de este tipo de eliminación genera una matriz identidad en vez de una escalonada como lo hace Gauss, por lo que no se usa la sustitución hacia atrás.

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Espacio Generado Sea V un espacio vectorial y !! , !! , … , !! vectores de V. El conjunto formado por todas las posibles combinaciones lineales de los vectores !! , !! , … , !! se llama espacio generado por !! , !! , … , !! .

Conjunto Generador Si ! = !! , !! , … , !! es un conjunto de vectores en ℝ! , entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de !! ,!!! ,…,!!! y se denota mediante !"#(!! , !! , … , !! ) o !"#(!). Si !"#(!) = ℝ! , entonces S se llama conjunto generador de ℝ! .

Linealmente Dependiente (l.d.)

Un conjunto de vectores !! , !!! ,…, !!! es linealmente dependiente si existen escalares !! ,!!! ,…,!!! , al menos uno de los cuales no es cero, tales que !! !! + ! !! !! +…,!!! !! = 0 Teoremas Los vectores !! ,!!! ,…,!!! en ℝ! son linealmente dependientes si y sólo si al menos uno de los vectores puede expresarse como una combinación lineal de otros.

Sean !! ,!!! ,…,!!! vectores(columna) en ℝ! y sea A la matriz de !×![!! !! … !! ] con dichos vectores como sus columnas. Entonces !! ,!!! ,…,!!! son linealmente dependientes si y solo si el sistema lineal homogéneo con matriz aumentada [!|0] tiene una solución trivial. !! !

Sean !! ,!!! ,…,!!! vectores (renglón) en ℝ y sea A la matriz de !×! con dichos ! … !! vectores como sus renglones. Entonces !! ,!!! ,…,!!! son linealmente dependientes si y sólo si rango(A)<k. !

Cualquier conjunto de k vectores en ℝ! es linealmente dependiente si k>n Linealmente Independiente (l.i.)

Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se llama linealmente independiente.

Revista Vektron. 1era edición. Febrero 2013.

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Poole, D. 2011. Álgebra Lineal: Una introducción moderna. 3ª ed, Cengage Learning. México, D.F. Anton, H. “Introducción al Álgebra lineal”.2º Edición. Limusa. México, 2000.

Nakos, G. y Joyner, D. “Álgebra lineal con aplicaciones”. Thomson editores. México, 1999.

Lay, D. “Álgebra lineal y sus aplicaciones”. 2º Edición. Addison Wesley Longman. México, 1999. http://www4.ujaen.es/ http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/Vectores http://fisicacom.host22.com/VECTORES

Revista Vektron. 1era edición. Febrero 2013.

Álgebra Lineal

vektron

Redacción: Diego Gudiel. Jonatán Lara. Andreas Papadopulo.

Edición: Byron García.