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Vec-thor Diviértete con la sopa de letras… ¿Qué esperas?

No te lo puedes perder!! Tips Para 100 puntos en tu parcial

Sé como un vector, dale sentido a tu vida

Descubre el misterio del vector

Resuelve la matriz escondida y gana EDICIÓN LIMITADA

Sumario

Edición

Limitada

Febrero

2014

a Geometría y álgebra de vectores Vectores en el plano Nuevos vectores a partir de otros Vectores en R3 Vectores en Rn Combinaciones lineales y coordenadas Longitud y ángulo: el producto punto El producto punto Longitud Distancia Producto Cruz Ecuaciones lineales Métodos directos para resolver sistemas lineales Matrices y forma escalonada Eliminación gaussiana El teorema del Rank Eliminación de Gauss-Jordan

Vec-Thor

Sistemas homogéneos

Revista otraSecciones

Juega y Aprende!

Sopa de letras

Geometría y ålgebra de vectores 

¿QuÊ es un vector? Un vector es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B. El vector de A hacia B se denota → , donde

Vectores en el plano coordenadas, por ejemplo →= [3,2]. �

Las coordenadas individuales se llaman componentes del vector. 

ÂżPueden ser dos vectores iguales? Dos vectores son iguales si y solo si sus componentes correspondientes son iguales.



ÂżQuĂŠ es la notaciĂłn vectorial? La notaciĂłn vectorial es una forma de escribir un vector, esta puede ser en đ?‘Ľ forma de columna [đ?‘Ś] o de renglĂłn [đ?‘Ľ, đ?‘Ś].

đ??´đ??ľ

el punto A se conoce como su punto inicial u origen y el punto B se conoce como punto terminal o punta. Un vector se puede escribir con una letra minúscula en negrilla v, o con una flecha sobre ella →. �



ÂżCĂłmo se escribe un vector? Un vector se puede escribir utilizando

Nuevos vectores a partir de otros

E

ntre las operaciones båsicas entre vectores se encuentra la suma. Si se sigue → por →, el desplazamiento total �

�

se puede visualizar como un tercer vector, de modo que → + →=→ donde [đ?‘‹đ?‘Ł, đ?‘Œđ?‘Ł ] + đ?‘Ł

�

�

[đ?‘‹đ?‘˘. đ?‘Œđ?‘˘] = [đ?‘‹đ?‘Ł + đ?‘‹đ?‘˘, đ?‘Œđ?‘Ł + đ?‘Œđ?‘˘] . De forma geomĂŠtrica, se suman los vectores uniendo cara con cola, donde se posiciona la cola del vector sumado en la punta de flecha del vector anterior.

La regla punta a origen. Dados los vectores u y v en â„?2 , traslade v de modo que su origen coincida con la punta de u. La suma u + v de u

Vectores en â„?3 El conjunto de todas las ternas ordenadas de nĂşmeros reales es â„?3 . Estos se localizan usando tres ejes ordenados ortogonales entre sĂ­.

Vectores en â„?đ?‘›

y v es el vector desde el origen de u hasta la punta de v.

La regla del paralelogramo. Dados los vectores u y v en â„?2 (en posiciĂłn estĂĄndar), la suma u + v es el vector en posiciĂłn estĂĄndar a lo largo de la diagonal del paralelogramo determinado por u y v.

La segunda operaciĂłn vectorial bĂĄscia es la multiplicaciĂłn escalar. Dado un vector v y un nĂşmero real c, el mĂşltipo escalar cv es el vector que se obtiene al multiplicar cada componente de v por c. đ?‘? [đ?‘‹đ?‘Ł, đ?‘Œđ?‘Ł ] = [cđ?‘‹đ?‘Ł, cđ?‘Œđ?‘Ł].

GeomĂŠtricamente, cv es una versiĂłn escalada de v.

�� es el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales escritos como vectores renglón o columna. Entonces un vector v en �� es de la forma [v1,v2,‌,vn] Cada entrada individual son las componentes i-Êsima del vector. Así mismo, la suma y multiplicación de vectores se transfiere a n componentes.

Para 100 puntos en tu parcial •

Entre los vectores importantes se encuentra el vector →= [0,0] el cual es llamado vector 0

•

cero, el cual se dirige desde el origen hacia sí mismo.

El conjunto de todos los vectores con dos componentes se denota ℝ2 donde ℝ denota el conjunto de números reales de donde se eligen los componentes de los vectores en ℝ2 .

•

Dos vectores son equivalentes si tienen misma magnitud, dirección y sentido, siendo independiente el punto de origen y el punto terminal.

Un vector está en posición estándar cuando el punto inicial se encuentra en el origen; debido a esto, todo vector puede dibujarse en posición estándar, y así mismo, un vector en esta posición puede ser dibujado por traslación de modo que su origen esté en cualquier punto del plano.

Al realizar la multiplicación existen varias transformaciones que sufre el vector v Transformaciones del vector: Vector

V

Constante

C

c>1 1>c>0 C=0 0>c>-1 -1>c

Condición Misma dirección Misma dirección n/a Dirección contraria Dirección contraria

Dirección Mayor Menor 0 Menor Mayor

Tamaño

Combinaciones coordenadas

lineales

y

Un vector v es un combinación lineal de vectores si existen escalares tales que la sumatoria de distintos vectores multiplicado cada uno por un escalar es igual al vector inicial.

Vectores binarios y aritmética modular Un vector binario son vectores cuyos componentes son 0 o un 1. Las diferencias entre estos vectores es que 1+1=0 ya que se

trabaja por medio de la aplicación de residuos, donde el resultado en operaciones decimales se divide entre 2 y se extrae el residuo, el cual es 0 o 1. Se denota mediante ℤ2 y se llama el conjunto de enteros módulo 2. En este módulo, no existe la resta y división, solamente se utiliza la suma y la multiplicación.

Así mismo, si se realizan operaciones en ℤ3 se utilizan los números 0, 1 y 2 donde se repite el proceso; se realizan las operaciones suma y multiplicación y se divide entre 3, extrayendo el residuo.

Longitud y ĂĄngulo: el producto punto

Longitud

El producto punto

al cuadrado de cada vector. ‖→‖

El producto punto entre dos vectores u y v es un nĂşmero obtenido al sumar la multiplicaciĂłn de componentes de dos vectores tal que se multiplican entre sĂ­ las componentes i-ĂŠsimas de cada vector.

= √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2.

La longitud de un vector v es igual a la raĂ­z cuadrada de la sumatoria de las componentes đ?‘Ł

Un vector unitario en la misma direcciĂłn de un vector es aquel que tiene magnitud 1 y misma direcciĂłn. Esto se conoce como normalizar un vector.

La distancia d(u, v) entre dos vectores u y v se define como ‖→ − đ?‘˘

→‖. �

Para identificar el ĂĄngulo entre dos vectores u y v distintos de cero se utiliza la fĂłrmula cos(đ?œ•) =

�� ‖�‖‖�‖

Una proyecciĂłn es la sombra de un vector sobre otro, donde este se identifica por la đ?’–đ?’—

ecuaciĂłn đ?’—đ?’– = (đ?’–đ?’–) đ?’–

Producto cruz El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores.

El producto cruz se realiza de la siguiente manera:

funciones de las variables, las cuales solo aparecen a la primera potencia y pueden ser multiplicados por solamente constantes.

Los conjuntos de ecuaciones lineales, los cuales son finitos, son llamados sistemas, y en estos sistemas cada ecuación lineal tiene las mismas variables. Una solución a un sistema de ecuaciones lineales es un vector que es la respuesta a todas las ecuaciones lineales al mismo tiempo. La solución de un sistema de ecuaciones lineales se hace al encontrar el conjunto solución.

Un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales puede tener:

Ecuaciones lineales Es una ecuación que puede ser escrita de la siguiente forma:

Donde los coeficientes de a y el termino b son constantes. Las ecuaciones lineales no tienen productos, recíprocos u otras

  

Una única solución. Se le llama un sistema consistente.

Infinitas soluciones. Es al igual un sistema consistente.

Ninguna solución. Es un sistema inconsistente.

T ¡Dale magnitud y sentido a tu vida!

E H A R Á S E N T

Vectorízate

i R

Vectorízate

B I E N

1.3 Rectas y planos Rectas en đ?‘…2 y đ?‘…3 La forma general de la ecuaciĂłn de un recta en un plano xy es ax + by = c. Si đ?‘? ≠0 , entonces la ecuaciĂłn puede reescribirse como đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘˜ , en donde m es la pendiente de la recta y el punto con coordenada (0,k) es su ordenada al origen.

El vector normal es un vector perpendicular a la recta y por lo tanto ortogonal a cualquier vector x que sea paralelo a la recta.

La forma normal de la ecuaciĂłn de la recta se escribe como đ?‘› ∙ đ?‘Ľ = đ?‘› ∙ đ?‘?, en donde n es el vector normal, x representa un punto general (x,y) y p es un punto conocido sobre la recta.

El vector director es un vector particular paralelo a la recta. Se puede escribir la ecuaciĂłn como đ?‘Ľ = đ?‘? + đ?‘Ąđ?’…, esta es la forma vectorial de la ecuaciĂłn a la recta. Las ecuaciones que corresponden a los componentes de la forma vectorial de la ecuaciĂłn se llaman ecuaciones paramĂŠtricas.

Planos en đ?‘…3 Todo plano đ?’Ť en đ?‘…3 puede determinarse al especificar un punto p sobre đ?’Ť y un vector distinto de cero n normal a đ?’Ť. Si x representa un punto arbitrario sobre đ?’Ť entonces se tiene que la forma normal de la ecuaciĂłn de un plano es đ?‘› ∙ đ?‘Ľ = đ?‘› ∙ đ?‘? y la forma general del plano es ax + by + cz = d (donde đ?‘‘ = đ?‘› ∙ đ?‘?).

Las ecuaciones correspondientes a los componentes de la forma vectorial de la ecuaciĂłn se llaman ecuaciones paramĂŠtricas de đ?’Ť.

Ejemplo: Encuentre las formas normal y general de la ecuaciĂłn del plano que contiene el punto P = (8,2,0) y tiene un vector normal n = [1,2,3] SoluciĂłn Forma normal

Forma general đ?‘› ∙ đ?‘? = 1 â‹… 8 + 2 â‹… 2 + 0 â‹… 3 = 12 x + 2y + 3z = 12 1.4 Aplicaciones Vectores fuerza Cuando mĂşltiples fuerzas actĂşan sobre un objeto el resultado neto de todas las fuerzas que actĂşan en conjunto es una sola fuerza llamada resultante, que es la suma vectorial de las fuerzas individuales. Es posible que la fuerza resultante sea cero, en este caso el objeto no se mueve en alguna direcciĂłn y se dice que esta en equilibrio.

Ejemplo: Pedro y Carlos se encuentran jugando baseball. Pedro lanza la pelota con una fuerza de 30 N en direcciĂłn hacia el sur y Carlos la batea con una fuerza de 60 N en direcciĂłn al oeste. ÂżCuĂĄl es la fuerza resultante sobre la pelota?

SoluciĂłn âˆĽ đ?‘&#x; âˆĽ= √302 + 602 = √4,500 ≈ đ?&#x;”đ?&#x;•. đ?&#x;Žđ?&#x;– đ?‘ľ

Vectores cĂłdigo La gente ha transmitido informaciĂłn usando cĂłdigos. La aplicaciĂłn de cĂłdigos en vectores se concentra en los cĂłdigos que se usan cuando deben transmitirse datos de manera electrĂłnica.

Un cĂłdigo binario es un conjunto de vectores binarios (de la misma longitud) llamados vectores cĂłdigo.

El proceso de convertir un mensaje en vectores cĂłdigo se llama codificaciĂłn, y el proceso inverso se llama decodificaciĂłn.

Se pueden detectar errores por medio de un cĂłdigo de detecciĂłn de error. Un cĂłdigo simple de detecciĂłn de errores es un cĂłdigo de control de paridad, que se crea al agregar un componente adicional, llamado digito de control, a cada vector para que la paridad sea par.

Ejemplo: Suponga que el mensaje por enviar es el vector binario [1,0,0,1,0,1], que tiene una cantidad impar de nĂşmeros 1, por lo que el digito de control serĂĄ 1 y el vector cĂłdigo serĂĄ [1,0,0,1,0,1,1].

Se detectara un solo error que causara que la paridad del vector cĂłdigo cambie de par a impar.

Vector binario đ?‘? = [đ?‘?1 , đ?‘?2 , ‌ , đ?‘?đ?‘› ] en ℤđ?‘›2 vector cĂłdigo de control de paridad đ?‘Ł = [đ?‘?1 , đ?‘?2 , ‌ , đ?‘?đ?‘› , đ?‘‘] en ℤđ?‘›+1 2 El cĂłdigo de control d se elige de modo que đ?‘?1 , đ?‘?2 , ‌ , đ?‘?đ?‘› , đ?‘‘ = 0 en ℤ2 =1∙đ?‘Ł = 0

donde 1 = [1,1, ‌ ,1] , es un vector cuyos componentes son todos los nĂşmeros 1. El vector 1 se llama vector de control. Si el vector v’ se escribe 1 ∙ đ?‘Łâ€˛ = 1 , entonces ocurriĂł un error.

Los cĂłdigos de control de paridad son un caso especial de los mas generales cĂłdigos de digito de control, que se consideran despuĂŠs de entender primero las ideas precedentes a escenarios mas generales. Los cĂłdigos que usan vectores m-arios se llaman cĂłdigos m-arios.

Métodos directos para resolver sistemas lineales

Matrices y forma escalonada Existen dos importantes matrices asociadas con un sistema lineal. La matriz de coeficientes contiene los coeficientes de las variables, y la matriz aumentada (es la matriz coeficiente aumentada por una columna adicional que contiene los términos constantes).

Al resolver un sistema lineal, no siempre será posible reducir la matriz de coeficientes a la forma triangular. Sin embargo, siempre se puede lograr un patrón en escalera en las entradas distintas de cero de la matriz final.

Una matriz está en forma escalonada por renglones si satisface las siguientes propiedades: 1. Cualquier renglón que consiste completamente de ceros está en la parte baja.

2. En cada renglón distinto de cero, el primer elemento distinto de cero (llamado elemento pivote) está en una columna a la izquierda de cualquier elemento pivote bajo él.

Ejemplo :

Forma escalonada con renglones.

Las siguientes operaciones elementales con renglones pueden realizarse sobre una matriz:

1.

Intercambiar dos renglones.

2.

Multiplicar un rengl贸n por una constante distinta de cero.

3.

Sumar un m煤ltiplo de un rengl贸n a otro rengl贸n.

Ejemplo: Reducir la siguiente matriz a forma escalonada

Las matrices A y B son equivalentes por renglones si existe secuencia de operaciones elementales con renglones que convierta A en B. O si si pueden reducirse a la misma forma escalonada por renglones.

Eliminación gaussiana 1. Escribir la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.

2. Usar operaciones elementales con renglones para reducir la matriz aumentada a una forma escalonada por renglones.

3. Con sustitución hacia atrás, resolver el sistema equivalente que corresponda a la matriz reducida por renglones.

El teorema del Rank Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales con n variables. Si el sistema es consistente, entonces: Número de variables = n – rank(A) El rank de una matriz es el número de renglones distintos de cero su forma escalonada por renglones.

Eliminación de Gauss-Jordan Una modificación de la eliminación gaussiana simplifica enormemente la fase de sustitución hacia atrás y es

particularmente útil cuando se hacen cálculos a mano en un sistema con un número infinito de soluciones. Esta variante, conocida como eliminación de Gauss-Jordan, se apoya en reducir aún más la matriz aumentada.

1. Escribir la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.

2. Usar operaciones elementales con renglones para reducir la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por renglones.

3. Si el sistema resultante es consistente, resolver para las variables pivote en términos de cualquier variable libre restante.

Sistemas homogéneos Un sistema de ecuaciones lineales se denomina homogéneo si el termino constante en cada ecuación es cero.

Conjuntos generadores e independencia lineal Conjuntos generadores de vectores Si S = {v1 , v2 , . . . , vn } es un conjunto de vectores en Rn, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de v 1, v2, . . . , vk se llama el generador de v1,v2,...,vk y se denota mediante gen (v 1,v2,...,vk) o gen(S). Si gen(S)= Rn, entonces S se llama conjunto generador de Rn.

Independencia lineal Un conjunto de vectores v1, v2, . . . , vk es linealmente dependiente si existen escalares c1, c2, . . . , ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que c1v1 +c2v2 + ... + ckvk = 0 Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se llama linealmente independiente.

Ejemplo: Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independiente:

La forma escalonada reducida por renglones es

ÂĄJuega & Aprende! a

ÂżTe atreves a resolverla?

Sopa de

Integrantes del grupo

 Jimena Escobar 13209  Kevin García 13177  Giovanna Guarino 13244  Kimberly Samayoa 13417  William Orr 13414

Álgebra Lineal Sección 10