Funtsezko trazatuak planoan Helburua: Marrazketa geometrikoaren oinarriez ondo jabetzea, soluzio grafikoak argi eta zehatz adierazi ahal izateko.
1. Oinarrizko elementu geometrikoak 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Puntua Lerro zuzena Lerro kurbatua Zuzenerdia Zuzenkia Planoa
1.1 Puntua Kokaleku bat da, ez du neurririk. Bi zuzenek, edo bi arkuk, edo zuzen batek eta arku batek elkar ebakitzen dutenean, puntu bat osatzen da. ď‚— Letra larri batez edo zenbaki batez izendatzen da. ď‚—
Adibideak: A
1
C
1.2 Lerroak eta planoa ď‚—
Lerro zuzena: norabide berean doazen puntuen sekuentzia. Letra txiki batez izendatzen da. a
ď‚—
Lerro kurbatua: norabide berean ez dauden puntuen sekuentzia. Letra txiki batez izendatzen da. c
ď‚—
Planoa: puntu multzo batez osatutako gainazala. Bi zuzenek elkar ebakitzen dutenean, edo hiru puntu lerro banatan daudenean osatzen da. Letra greko batez izendatzen da. s
r
A
C B
ď‚—
Oinarrizko sinbolo geometrikoak
II COD NM
O r d RS I
-rekiko paraleloa -rekiko perpendikularra COD angelua NM arkua triangelua/ hirukia laukia diametroa erradioa diametroa RS zuzenkia luzera baino txikiagoa baino handiagoa berdina edo txikiagoa
Oinarrizko trazatuak 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Zuzenkien batuketa egin. Zuzenkien kenketa egin. Erdibitzailea trazatu. Kanpoko puntu batetik lerro zuzenarekiko perpendikularra trazatu. Lerro zuzenaren puntu batetik perpendikularra trazatu. Zuzenerdiaren ertzeko puntutik perpendikularra trazatu. Lerro batekiko paraleloak trazatu distantzia jakin batean. Zuzen paraleloak eskuairaz eta kartaboiaz trazatu. Zuzenki bat neurri bereko hainbat zatitan banatu.
1.3 Zuzenerdia, zuzenkia ď‚—
Zuzenerdia: ertz batean mugaturiko lerro zuzena. Ertzeko puntua letra larri batez izendatzen da, eta lerroa letra txiki r batez. O
ď‚—
Zuzenkia: Lerro zuzenaren zatia. Izendatzeko bi ertzetan letra larria ipintzen da. A
B
1. Zuzenkien batuketa a+b zuzenkien batuketa egiteko prozedura: •Lerro zuzena marraztu. •Konpasa erabiliz, a zuzenkiaren neurria hartu ete lerro zuzenean zehaztu. •Gauza bera egin b zuzenkiarekin. Konpasa erabiliz, neurria hartu eta, gero, zehaztutako a zuzenkiaren jarraian kokatu, c zuzenkia izateko.
2. Zuzenkien kenketa a-b=c Lerro zuzena marraztu. Konpasa erabiliz, a zuzenkiaren neurria hartu eta lerro zuzenean zehaztu. b zuzenkiaren neurria hartu eta a zuzenkiaren ertz batetik b zuzenkiaren neurria zehaztu. Geratzen den zatia c zuzenkia izango da, hau da, a eta b zuzenkien arteko kenketa. a b b
c
a
3. Zuzenki baten erdibitzailea ď‚—
Zuzenkiaren erdi-erditik pasatzen den lerro zuzena da. Zuzenkiarekiko perpendikularra da, hau da, erdibitzaileak eta zuzenkiak angelu zuzen bat osatzen dute.
Nola trazatu ď‚— Konpasa hartuko dugu. A puntuan kokatuz, bi arku marraztuko ditugu, bata gorantz eta
bestea beherantz. Horretarako erabiliko dugun erradioaren neurria zuzenkiaren erdia baino luzeagoa izango da. ď‚— Ondoren, gauza bera egingo dugu B puntuan, irekidura bera erabiliz.
ď‚— Arkuek elkar ebakitzen duten lekuetan bi puntu ditugu: M eta N. Bi puntu horiek lotuz,
erdibitzailea izango dugu.
Erdibitzailea leku geometrikoa da ď‚—
Erdibitzailearen edozein puntu hartzen badugu eta zuzenkiaren muturrekin lotzen badugu, bi zuzenki lortuko ditugu, eta biak beti neurri berekoak izango dira.
ď‚—
Ondorioa: A eta B puntuetatik pasatzen diren zirkunferentzia guztien zentroak erdibitzailean kokatzen dira.
Lerrokaturik ez dauden hiru puntu lotzen dituen zirkunferentzia marraztu ď‚—
Demagun A, B eta C puntuak ditugula eta haietatik pasatzen den zirkunferentzia bilatu behar dugula. Honako hau egin behar dugu:
ď‚—
Emandako puntuekin bi zuzenki marraztu, nahi dugun moduan; adibidez, AB eta AC.
ď‚—
Marraztutako zuzenkien erdibitzaileak egin. Lortutako erdibitzaileek elkar ebakiko duten puntua zirkunferentziaren zentroa izango da.
4. Kanpoko puntu batetik perpendikularra marraztu
lerro
zuzenareriko
Konpasa hartuko dugu. M puntuan kokatuz,
arku bat marraztuko dugu. Horretarako erabiliko dugun erradioaren neurria M puntutik lerroraino dagoen distantzia baino luzeagoa izango da. Arkuak eta zuzenkiak
elkar ebakitzen duten bi puntu ditugu: A eta B. AM zuzenkia eta BM zuzenkia neurri berekoak direnez, M puntua AB zuzenkiaren erdibitzailean dago kokatuta. Orduan, zuzenarekiko perpendikularra marrazteko, AB
zuzenkiaren erdibitzailea osatuko dugu. Konpasa hartuko dugu. A puntuan kokatuz, arku bat
marraztuko dugu, beherantz. Horretarako erabiliko dugun erradioaren neurria AB zuzenkiaren erdia baino luzeagoa izango da. Ondoren, gauza bera egingo dugu B puntutik, irekidura
berberarekin. Arkuek
elkar ebakitzen duten lekuan puntu berri bat izango dugu. M eta 1 puntuak lotuz, erdibitzailea izango dugu, edo M puntutik lerro zuzenariko perpendikularra.
1
5.Lerro zuzenaren puntu perpendikularra marraztu
batetik
Demagun P puntua eta r lerroa ditugula, eta P puntutik r lerro zuzenarekiko perpendikularra marraztu behar dugula. Honako hau egin behar dugu: P puntutik edozein neurri hartuta, arku bat marraztu; eta AB zuzenkia osatuko dugu. P puntua AB-ren erdibitzailean dago kokatuta. Horrexegatik, perpendikularra marrazteko, erdibitzailearen beste puntu bat bilatu behar dugu. Beti bezala, jarraitu honako prozedura: ď‚—Konpasa hartuko dugu. A puntuan kokatuz, arku bat
marraztuko dugu, beherantz. Horretarako erabiliko dugun erradioaren neurria AB zuzenkiaren erdia baino luzeagoa izango da. ď‚—Ondoren, gauza bera egingo dugu B puntutik, irekidura
berberarekin. Arkuek elkar ebakitzen duten lekuan 1 puntua dugu. P eta 1 puntuak lotuz, erdibitzailea izango dugu, edo P puntutik lerro zuzenariko perpendikularra.
zuzenareriko
Zuzenerdiarekiko perpendikularra P ertzetik trazatu
Hori azaldu baino lehen, zirkunferentzia batean inskribatutako hexagonoa egiten jakin behar dugu O zentroa eta r erradioa dituen zirkunferentzia marraztu behar dugu, Erradioa korda gisa hartu eta zirkunferentzian neurria markatuko dugu; A, B, C, D, E eta F puntuak zehazteko. Puntu horiek hurrunez hurren elkartuta itxuratuko dugu hexagonoa.
A
F
B
E
Ondorioz: 360ยบ/6= 60ยบ Erradioa korda gisa eramanez, zirkunferentziaren 60ยบ neurtzen dugu.
C
D
6. Zuzenerdiarekiko perpendikularra P ertzetik trazatu P puntutik edozein neurri hartuta, arku bat marraztuko dugu. Arkuak eta r lerro zuzenak elkar ebakitzen dute, eta A puntua osatzen da. A puntua zentrotzat hartuta, beste arku bat trazatuko dugu irekidura berarekin, hau da, arkuaren erradioa erabiliko dugu, eta, 60 graduko angelua marraztuz, B puntua lortuko dugu. B puntua zentrotzat hartu eta irekidura berarekin C puntua lortuko dugu.
P puntutik perpendikularra marrazteko 90 graduko angelua behar dugu. Horretarako, CPB angeluaren erdikaria behar dugunez, hauxe egingo dugu: ď‚— C eta B puntuak zentrotzat hartu eta irekidura edo erradio berarekin bi arku marraztuko ditugu. Bi arku horiek elkar ebakiko dute, eta M puntua sortuko dugu. ď‚— M eta P puntuak lotuz, zuzenerdiarekiko perpendikularra izango dugu.
Distantzia jakin batean lerro batekiko paraleloak trazatu
Demagun r lerroa eta d zuzenkia ditgula. Hauxe egingo dugu; r lerro zuzenaren edozein bi puntu bereizi: 1 eta 2. 1 eta puntuetatik zuzenarekiko perpendikularrak marraztu. Konpasa hartuta, d neurria marraztutako perpendikularretan zehaztu, 3 eta 4 puntuak lortzeko. 3 eta 4 puntuak elkartuz, s zuzena eta r zuzenaren paraleloa lortuko ditugu.
Kanpoko puntu batetik zuzenarekiko paraleloa marraztu Demagun P puntua eta r zuzena ditugula. Hauxe egingo dugu: ď‚—
P puntuan konpasa kokatuta, arku bat marraztu. Horretarako, arkuak AP puntutik r zuzeneraino dagoen distantzia baino luzeagoa izan behar du.
ď‚—
Irekidura berarekin, 1 puntua zentrotzat hartuta, beste arku bat marraztuko dugu, 2 puntua zehazteko.
ď‚—
Konpasa erabiliz, 2 eta P puntuen arteko distantzia neurtuko dugu. Gero, 1 puntua zentrotzat hartuta, lehen marraztutako arkuaren neurri bera zehaztuko dugu, eta 3 puntua lortuko dugu.
ď‚—
P eta 3 puntuak lotuz, r zuzenarekiko paraleloa marraztuko dugu.
Zuzen paraleloak eta perpendikularrak eskuairaz eta kartaboiaz trazatu Zuzen paraleloak txantiloiez egingo ditugu. Honela: Eskuaira r zuzenarekin lerrokatu ondoren, eskuairak dituen aldeetako batean kartaboia kokatu behar dugu, ondo lerrokatuta.
Zuzenarekiko perpendikularrak txantiloiez egingo ditugu. Honela: Eskuaira biratu egindo dugu, eta r-rekiko perpendikularra marraztuko dugu, eta, gero, gainerako lerroak.
Kartaboia tinko mantenduz, eskuaira mugitu ahal izango dugu, eta horrela lerro zuzenarekiko paraleloak diren nahi beste lerro marraztu ahal izango ditugu.
Zuzenki bat neurri bereko hainbat zatitan banatu Adibidea: Demagun AB zuzenkia dugula eta zazpi zati berdinetan banatu behar dugula. Hauxe egin behar dugu: ď‚— A puntutik zuzen bat edozein norabiderekin trazatu; esate baterako, r zuzena. ď‚— Konpasaren edozein irekidura aukeratu eta, A puntutik hasita, zazpi aldiz eraman aukeratutako zatia r zuzenaren gainean. ď‚— 7 puntua B puntuarekin lotu, 7B zuzenkia lortzeko. ď‚— 6, 5, 4, 3, 2, eta 1 puntuetatik 7B zuzenkiarekiko paraleoak egin. Paralelo horiei esker, AB zuzenkia zazpi zati berdinetan zatitu ahal izango dugu.
Angeluak
a
Jatorri bera duten bi zuzenerdiren arteko eremu zatia. Angeluen aldeak zuzenerdiak dira, eta haien jatorrizko puntua angeluaren erpina da. Idazkera: 1. Erpina: letra larriz izendatzen da; adibidez, B. 2. Angelua: letra greko xehez izendatzen da: a (alfa), b (beta)... Hiru puntuz: erdikoa (B) erpina da, eta beste biak (A eta C) aldeetan daude. Horrela idatziko genuke angelua: ABC.
Angeluak gradutan neurtzen dira. Gradu bakoitzak 60 minutu ditu, minutu bakoitzak 60 segundo. Erlojuaren orratzen kontrako norabidean neurtzen direnean, positiboak dira, eta, norabide berean neurtzen direnean, negatiboak.
Kokapenaren araberako sailkapena Auzokideak
edo ondoz ondokoak: alde komun bat eta erpin bera dute. Betegarriak: bien artean laurogei eta hamar graduko angelua osatzen dute. Osagarriak: bien artean laurogei eta hamar graduko angekua osatzen dute. Bi lerro zuzenek elkar ebakitzen dutenean, lau angelu osatzen dituzte. Binaka harturik, hauxe gertatzen da: o Elkarren kontra daudenak erpinez
aurkakoak dira. Balio berekoak dira. o Elkarren alboan daudenak auzokideak dira. Bien artean ehun eta laurogei graduko angelua osatzen dute, hau da, elkarren
Neurriaren araberako sailkapena
Angelu hutsa edo nulua: bi aldeek bat egiten dute a = 0º Angelu zorrotza: laurogeita hamar gradukoa baino neurri txikiagokoa da. Angelu zuzena: laurogeita hamar graduko neurria du. Angelu kamutsa: laurogeita hamar gradukoak baino irekidura handiagoa du, baina ehun eta laurogei gradukoak baino txikiagoa. Angelu laua: ehun eta laurogei graduko neurria du. Angelu ahurra: ehun eta laurogei gradukoa baino handiagoa da. Ganbila: ehun eta laurogei gradukoa baino txikiagoa da. Angelu betea: hirurehun eta hirurogei graduko neurria du.
Angeluen arteko eragiketak 1.
angelu baten angelu berdina egitea
2.
angeluen batuketa
3.
angeluen kenketa
4.
angelu baten erdikaria
5.
angelu baten erdikaria, erpina marrazki-paperetik kanpo dagoenean
6.
erdikariaren ezaugarriak
7.
konpasa erabiliz, angeluak egitea
1. Emandako angelua marraztea BVA angelua berriro marrazteko, honako hau egin behar dugu: Zuzenerdi bat marraztu eta ertz batean letra larriz izendatu; adibidez, O. Emandako angeluan V erpina zentrotzat hartuta, arku bat marraztu edozein erradiorekin.
Arkuak eta angeluaren bi aldeek elkar ebakitzen duten lekuetan bi puntu ditugu: A eta B.
Marraztutako zuzenerdian hauxe egin:
O puntua zentrotzat hartu eta erradio berbera duen r arkua marraztu. Arkuak eta zuzenerdiak elkar ebakitzen duten lekuan puntu bat dugu: M puntua. Konpasa erabiliz, AB neurria hartu. Egindako arku berrian irekidura hori zehaztu eta N puntua seinalatu. O puntua N puntuarekin lotuz, emandako angelua marraztea lortuko dugu.
Ondorioa: Angelu garraioa (angelu berdina eraikitzea) arkuen eta angeluen arteko proportzionaltasunean oinarritzen da: erradio bereko arkuek neurri bereko kordak dituzte.
2.Angeluen batuketa a+b= d Honako hau egin behar dugu: a angelua kopiatu, aurreko
atalean azaldu dugun bezala.
Lerro etena dagoen a-ren aldetik b angelua kopiatu , lehen
eskainitako pausoen arabera.
=
d
3. Angeluen kenketa a-b= d Honako hau egin behar dugu: a angelua kopiatu, lehen egin
dugun bezala.
Gorri dagoen a-ren aldetik b angelua kopiatu, lehen eskainitako pausoen arabera.
4. Angelu baten erdikaria Erdikaria: angelua bi zati berdinetan zatitzen duen lerro zuzena.
ď‚— Trazaketa: Demagun BVA erdibitu nahi dugula. Bi era dauzkagu erdikaria aurkitzeko:
a) Lehena V erpina zentrotzat hartuta, edozein erradio izango duen arkuaren bidez, B eta C puntuak lortuko ditugu. Gero, lortutako puntuak zentrotzat hartu eta edozein erradio erabiliz (biak berdinak) bi arku marraztuko ditugu. Arku horiek elkar ebakitzen duten lekuan P puntua izango dugu. V erpina P puntuarekin lotuz, angeluaren erdikaria izango dugu.
b) Bigarrena
•
V erpina zetrotzat hartuta, bi arku marraztuko ditugu, eta B, A, C, D puntuak lortuko ditugu.
•
B puntua C puntuarekin lotuko dugu.
•
A puntua D puntuarekin lotuko dugu.
•
Marraztutako zuzenkiek elkar ebakitzen duten lekuan P puntua izango dugu.
•
V eta P puntua lotuz, angeluaren erdikaria izango dugu.
6. Angelu baten erdikaria egin, erpina marrazki-paperetik kanpo dagoenean Demagun r eta s lerroak ditugula eta euren erdikaria trazatu behar dugula. Honako hau egin
behar dugu: ď‚—
Edozein norabide duen lerro zuzen bat (t adibidez) marraztu. Marraztutako lerro zuzen horrek, r lerroak, eta s lerroak elkar ebaki behar dute. Horrela, lau angelu sortzen zaizkigu.
ď‚—
Lau angeluen erdikariak trazatu.
ď‚—
Lortutako erdikariek binaka elkar ebakitzen dute M eta N puntuetan. Bi puntuak lotuz lortuko dugu r eta s zuzenen arteko angeluaren arteko erdikaria. r t 2 1 A 3
M
N 6
4 B
5
s
6. Erdikariaren ezaugarriak ď‚— Erdikariaren edozein puntu hartzen badugu, P puntua, adibidez, eta puntu honetatik
angeluaren bi aldeekiko perpendikulak marrazten baditugu, lortutako zuzenkiak neurri berekoak izango dira.
ď‚— Ondorioa:
Angeluaren aldeekiko tangenteak diren zirkunferentzia guztien zentroak erdikarian kokatzen dira.
konpasa erabiliz, angeluak egin 60ยบ-koa: O erpina zentrotzat hartuta, edozein neurriko arku bat marraztuko dugu. Horrela, A puntua lortuko dugu.A puntutik erradio berberaz egindako arkuan B puntua zehaztuko dugu.
30ยบ -koa: aurrekoari erdikaria eginez, 30ยบ-ko angelua marraztuko dugu.
15ยบ-koa: 30ยบ-koaren erdikariarekin.
90ºkoa: P puntutik, edozein neurri hartuta, arku bat marraztuko dugu. Arkuak eta r lerro zuzenak elkar ebakiko dute, eta A puntua osatuko da. A puntua zentrotzat hartuta, irekidura bera duen beste arku bat trazatuko dugu, hau da, arkuaren erradioa erabiliko dugu, eta, horrela, 60º graduko angelua marraztuko dugu eta B puntua lortuko. B puntua zentrotzat hartu eta irekidura berarekin C puntua lortuko dugu. P puntutik perpendikularra marrazteko, 90º graduko angelua beharko dugu.
Horretarako, CPB angeluaren erdikaria behar dugunez, honela jokatuko dugu: C eta B puntuak zentrotzat hartu eta irekidura edo erradio berarekin bi arku
marraztuko ditugu. Bi arku horiek elkar ebakiko dute, eta M puntua sortuko da. M eta P puntuak lotuz,zuzenerdiarekiko perpendikularra izango dugu.
45º-koa: angelu zuzenaren (90º) erdikariaz.
22º 30´-koa: aurrekoaren erdia
75º-koa: 60º-koa +15º-koa izanik, haren osagarriaren (30º-koa) erdikariarekin B-C arkua daukagu.
37º 30´-koa: goikoaren erdia.
Logika horri jarraituz, marraz itzazue 150º, 165º eta 52º 30´-ko angeluak
O
O
O 150º-koa=
165º-koa=
52º30´-koa=
Kartaboia eta eskuaira erabiliz, angeluak marraztea Beren geometriari esker, 30º, 60º, 45º eta 90º-ko angeluak marraz ditzakegu,
eta, gainera, txantiloi hauen bidez, 15º, 75º, 120º, 135º, eta 150º-ko angeluak lor ditzakegu, irudian agertzen den bezala.
Distantziak ď‚— Bi punturen arteko distantziarik
laburrena: lotzen duen lerro zuzena. ď‚— P puntuaren eta lerro zuzenaren arteko distantziarik laburrena: P puntutik lerro zuzenarekiko perpendikularra. ď‚— Bi lerro paraleloren arteko distantziarik laburrena: lerro paraleloekiko perpendikularra. ď‚— P puntuaren eta zirkunferentzia baten arteko distantzirik laburrena: P puntua zirkunferntziaren zentroarekin lotu behar dugu, Lerro zuzen horrek eta zirkunferentziak elkar ebakitzen duten lekuan C puntua dugu. PC zuzenkia da distantziarik laburrena.
ď‚—Lerro zuzenaren eta zirkunferentzia
baten arteko distantziarik laburrena: zirkunferentziaren zentrotik lerro zuzenarekiko perpendikularra marraztu behar dugu. Perpendikular horrek, zirkunferentziak eta lerro zuzenak elkar ebakitzen duten lekuetan C eta P puntuak ditugu. CP zuzenkia izango da lerro zuzenaren eta zirkunferentzia baten arteko distantziarik laburrena. ď‚—Bi zirkunferentziaren arteko distantziarik laburrena: lerro zuzen bat marraztuko dugu, bi zirkunferentzien zentroak lotuz. Marraztutako lerroak eta bi zirkunferentziek elkar ebakitzen duten lekuetan A eta B puntuak izango ditugu. AB zuzenkia izango da distantziarik laburrena. ď‚—Bi barne zirkunferentziaren arteko diztantziarik laburrena: lerro zuzenaren bidez bi zirkunferentzien zentroak lotu eta lerro hori zirkunferentziarik handieneraino luzatuz, haien arteko distantziarik laburrena lortuko dugu: AB zuzenkia.