Tesis Modelación Matemática by Jorge Lopez

UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE MATEMÁTICAS

MODELACIÓN MATEMÁTICA EN LA ENSEÑANZA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TESIS

Para obtener el grado de

Maestro en Matemática Educativa PRESENTA:

JORGE IVÁN LÓPEZ GÓMEZ

DIRECTOR DE TESIS

Dr. ÁNGEL HOMERO FLORES SAMANIEGO

XALAPA, ENRÍQUEZ, VER.

DICIEMBRE 2012

Agradecimientos Dios, quien nunca me ha dejado a un lado y me ha llenado de inspiración. Nada podría haber hecho sin la valiosa cooperación y apoyo por parte de mi familia, para ellos no sólo mi agradecimiento, sino también la dedicación de éste trabajo. A Guille, mi esposa, la cual en las buenas y las malas, siempre ha estado a mi lado, inspirándome y dándome aliento para lograr finalizar todos nuestros proyectos, muchas gracias por siempre estar a mi lado. A Marelyn y Jorgito, mis hijos, que con sólo verlos me llenan de alegría y hacen que la vida tenga un propósito. A mis padres, Mayden y María de Jesús, que me enseñaron a respetar mi trabajo y siempre estar a mi lado apoyándome. Al Sr. Efrén, quien con su alegría y entusiasmo se ha encontrado presente en los momentos más difíciles de mi vida y sus consejos son invaluables. Dr. Ángel Homero Flores Samaniego mi asesor de tesis. Sus enseñanzas no sólo fueron teóricas, sino me enseño que el docente va más allá de un cumulo de conocimientos, en donde los alumnos son entes con sentimientos y características muy especiales, donde la labor del docente incluye la tolerancia, el respeto y el compromiso; muchas gracias por sus consejos y paciencia en la realización de este trabajo. No podría ser justo sin ofrecer mi agradecimiento por aquellos que son la fuente del esfuerzo en este trabajo, mis alumnos, que día a día buscan un mejor futuro a través del aprendizaje y me han permitido entrar en sus vidas a través de la docencia. Muchas gracias.

RESUMEN El Telebachillerato del Estado de Veracruz en México fue creado con el propósito fundamental de abatir el rezago educativo de la población estudiantil egresada de secundarias y ubicadas en zonas marginadas. A partir del año 2005 el Telebachillerato se incorpora a la Reforma Integral (Programa de Desarrollo Institucional, 2009). En México, la Reforma Integral se ha planteado para intentar cambiar las estrategias de enseñanza-aprendizaje en el aula. No obstante, muchos de los libros de texto de Matemáticas, se encuentran basados solo en ejercicios no contextualizados, sin representarles al estudiante un reto significativo, y en muchos de los casos las actividades propuestas no han sido profundamente estudiadas. Ejemplo de lo anterior es la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales presentados en el curso de Matemáticas 1 del Bachillerato. Dicho tema se presenta como algoritmos sin sentido para los alumnos, lo cual consideramos impide el desarrollo y la ampliación de la autonomía intelectual, el pensamiento crítico y la capacidad de problematización, aspectos deseados por la Reforma Integral de la Dirección General de Bachillerato en México. El trabajo de investigación se enfoca a realizar un estudio del papel que tiene la Modelación Matemática en el aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales dentro del contexto de enseñanza Aprender Matemática, Haciendo Matemática (Flores, 2007), que se fundamenta en las tesis de Brousseau (1999) y Vygotsky (1978); y en el cual se busca que el alumno desarrolle una Cultura Básica a partir de dos aspectos fundamentales: 

Competencias: que comprenden el desarrollo de un pensamiento matemático, la capacidad de resolver problemas y el uso de tecnología,



Cualidades Personales: que se desarrollan al fomentar las cualidades personales y los valores (tolerancia, respeto y cooperación) El trabajo tiene como finalidad dar a conocer los resultados de una investigación sobre el

papel que tiene la Modelación Matemática en el aprendizaje de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 y 3x3 en una escuela de Telebachillerato perteneciente al Estado de Veracruz.

CONTENIDO 1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 1 1.2 DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA ................................................................. 1 1.3 HISTORIA DEL TELEBACHILLERATO ..................................................................................... 2 1.4 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ........................................................................................ 4 1.5 OBJETIVO Y PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN .......................................................................... 5 2 ANTECEDENTES ........................................................................................................................ 6 2.1 MODELACIÓN MATEMÁTICA COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA ............................................. 6 2.2 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES .................................................................................. 10 3 MARCO TEÓRICO ................................................................................................................... 13 3.1 MARCO CONCEPTUAL ....................................................................................................... 13 3.1.1 Naturaleza del conocimiento ..................................................................................... 14 3.1.2 Enseñanza de la Matemáticas según Brousseau ......................................................... 15 3.1.3 Desarrollo de la cultura básica y las competencias. .................................................... 18 3.1.4 Actividades de Modelación ....................................................................................... 21 3.2 MARCO METODOLÓGICO................................................................................................... 24 3.2.1 Investigación cualitativa ............................................................................................ 25 3.2.2 Experimentos de Enseñanza ...................................................................................... 27 3.3.1 Instrumentos de Evaluación....................................................................................... 30 3.3.1.1 La evaluación. .................................................................................................... 30 3.3.1.2 Taxonomía de Bloom ......................................................................................... 32 3.3.1.3 Instrumentos de evaluación ................................................................................ 34 4 DESARROLLO EXPERIMENTAL ................................................................................................ 37 4.1 DESCRIPCIÓN DEL EXPERIMENTO ....................................................................................... 37 4.2 JUSTIFICACIÓN DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS. ............................................................ 40

iii

5 ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES ......................................................................... 43 5.1 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS.......................................................................................... 43 5.1.1 Actividad 1 ............................................................................................................... 43 5.1.2 Actividad 2 ............................................................................................................... 56 5.1.3 Actividad 3 ............................................................................................................... 68 5.1.4 Actividad 4 ............................................................................................................... 93 5.1.5 Actividad 5 ............................................................................................................. 106 5.1.6 Resultados finales ................................................................................................... 118 5.2 CONCLUSIONES ............................................................................................................... 118 6 TRABAJOS FUTUROS ............................................................................................................ 121 REFERENCIAS .......................................................................................................................... 122

1 INTRODUCCIÓN El estudio de la didáctica del álgebra ha sido abordado por varios investigadores tanto nacionales como internacionales, muestra de ello son entre otros, Bolea, Bosch, Gascón (2004), Socas, Camacho, Palaea, y Hernández, (1996); Ortiz, Rico y Castro (2008), Ursini, Escareño, Montes y Trigueros (2005) por mencionar algunos. Bolea, Bosch y Gascón (2004) señalan que en la enseñanza del álgebra predomina principalmente como “una aritmética generalizada”, lo cual implica la concepción del álgebra como simples cálculos aritmético y trabajo con números; esto no favorece la emergencia del álgebra como instrumento de modelación. En México, la Reforma Integral pretende hacer un cambio en la enseñanza del álgebra, sin embargo, muchos de los libros de texto están basados en ejercicios, los cuales no representan un reto a los estudiantes, y en muchos de los casos estas actividades no han sido profundamente estudiadas. Un caso en particular es la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales, los cuales se presentan como algoritmos sin sentido para los alumnos, impidiendo un desarrollo y profundización de la autonomía intelectual, el pensamiento crítico y la capacidad de problematización, aspectos deseados en la Reforma Integral de la Dirección General de Bachillerato en México. En el presente trabajo se propone realizar un estudio del papel que tiene la Modelación Matemática en el aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales dentro del contexto de enseñanza Aprender Matemática, Haciendo Matemática.

1.2 Dificultades del Aprendizaje del Álgebra En México, el estudio del álgebra se incluye en el segundo y tercer año de secundaria y en el primer semestre del bachillerato. Dentro de los temas a estudiarse se encuentra el tratamiento simbólico de expresiones algebraicas, la resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones lineales, así como el planteamiento y la resolución de problemas. Varios investigadores Filloy (1999), Alonso, et al (1993), Socas, et al, (1996) entre otros, han reportado dificultades en el aprendizaje de esta área de la matemática, los principales

problemas que destacan son: la utilización e interpretación de la(s) literales(s), las operaciones con símbolos y los convenios de notación. La resolución de los sistemas de ecuaciones lineales son presentados en el último bloque del libro o guía del alumno en el primer semestre de bachillerato perteneciente al Sistema Nacional de Bachillerato. El objetivo de este aprendizaje (según los planes de estudios), es darle las herramientas necesarias al alumno para poder resolver problemas matemáticos a los que se enfrenta, tanto en la vida diaria como en otros campos de la ciencia. Al respecto, Segura (2004) comenta: “Las dificultades en el aprendizaje de sistema de ecuaciones tienen orígenes diversos. Unos están ligados a la complejidad matemática de los elementos básicos que se utilizan en la adquisición del objeto sistema de ecuaciones lineales (números reales y funciones afines, ambos en vía de construcción), otros al concepto de sistema de ecuaciones lineales y su solución, y otros más a la ruptura entre el pensamiento aritmético y el algebraico”. (p.11) Los estudios realizados por Alonso et al.( 1993) destacan: “Su manejo (sistema de ecuaciones) permite enfrentar a una gama más amplia de situaciones, en contextos de todo tipo, relacionados con la vida cotidiana, con aplicaciones de las matemáticas a otros campos de conocimiento, o con el análisis y la resolución de problemas plantados desde otras partes de las propias matemáticas. Pero, para que sea efectivo ese aumento en la capacidad de resolver problemas que proporcionan los sistemas, es preciso que el que los utiliza sepa qué es un sistema de ecuaciones y qué significa su solución, así como que sea capaz de resolverlos con ciertas garantías de éxito”. (p. 109) Se pone de manifiesto, entonces, la importancia de la adquisición de ciertas habilidades por parte del alumno en la resolución de estos sistemas.

1.3 Historia del Telebachillerato La siguiente sección se basa en la publicación

Programa de Desarrollo Institucional

(2009). El Telebachillerato (Teba) del Estado de Veracruz fue creado en Enero de 1980, durante la Administración del Gobernador del Estado, el Licenciado Rafael Hernández Ochoa. El propósito

fundamental de la creación de esta modalidad fue abatir el rezago educativo de la población estudiantil egresadas de secundarias ubicadas en zonas marginadas (principalmente estudiantes de Telesecundaria). La formación del proyecto inicio en el año de 1979 y estuvo a cargo del maestro Tomás Rodríguez Pazos con la participación de los maestros Alberto Ruiz Quiroz y Vicente Suárez Ortiz, los cuales realizaron los estudios de factibilidad en las comunidades cercanas a la Capital del Estado. Los criterios fundamentales para la formación de un centro de estudio fueron: A.- Financiamiento de la escuela por parte de la comunidad (incluyendo el salario del docente). B.- Recepción de la señal del Canal 4 + XHGV C.- Existencia de una Telesecundaria, así como el compromiso de ésta de prestar sus instalaciones en la tarde. El 22 de Septiembre de 1980 se iniciaron las actividades de esta modalidad, contando con la participación de 40 centros y 1400 alumnos atendidos por 43 maestros y 16 trabajadores adscritos a oficinas centrales. La estructura orgánica consistía en una Coordinación General, dividida en las siguientes áreas: Administrativa, Servicios Académicos, Producción y Supervisión (1981-1984). Durante el periodo comprendido entre 1980 y 1986 su plan de estudios consistía de dos años. No fue hasta 1987, cuando la Dirección General de Educación Media Superior y Superior (DGEMSyS) realizó un cambio curricular dentro del Teba, pasando a ser de tres años y 58 asignaturas (Acuerdo Secretarial 71), donde su plan de estudio consistía en un tronco común, un área propedéutica y un área de capacitación para el trabajo. A partir de 1990 las teleclases no solamente eran transmitidas por el Canal del Estado (4 +), sino también se empieza a vender los videocasetes en formato VHS con la intención de que éstos pudieran ser reproducidos cuantas veces fuera necesario y no depender tan directamente de la transmisión televisiva. En 1992 la Coordinación General pasa a una Coordinación Central con zonas de supervisión, además, para este mismo año fue inaugurado un estudio televisivo propio de la modalidad, con lo cual la producción de las Teleclases quedó a cargo del Telebachillerato.

La modalidad se ha extendido a otras partes de la República Mexicana con la integración de los Estados de Chiapas, Oaxaca, Hidalgo, Tamaulipas, Tabasco y Michoacán (1994), como también en 1995 los Estados de Querétaro, Aguascalientes y Chihuahua. En 1996 se anexan Durango y Guanajuato. Para el año 2000 se realizó un acuerdo con el Estado de Puebla para que éste retomara los principios de Telebachillerato, pero como una modalidad abierta. En Fechas recientes, Jalisco, Baja California Sur y Zacatecas se integraron a la modalidad de Telebachillerato. La Coordinación Central pasó a ser Dirección General (Publicado en la Gaceta Oficial No. 186 en agosto del 2004), con lo cual pasa a ser independiente de la DGEMSyS. El último cambio dentro de la estructura de esta modalidad se dio en 2005, al incorporarse a la Reforma Integral (propuesta del Gobierno Federal) y cambia su denominación a Telebachillerato del Estado de Veracruz (TEBAEV). Países como Colombia, El Salvador, Costa Rica, Cuba, Panamá, Guatemala y República Dominicana se han interesado en conocer el modelo educativo del Telebachillerato del Estado de Veracruz y han establecido contacto con la Dirección del TEBAEV. Los servicios educativos que oferta el TEBAEV han crecido de manera muy importante, lo cual ha permitido que este sistema sea el mayor proveedor de Bachillerato en el Estado de Veracruz (aproximadamente el 60% de la matrícula en el Estado), contando de esta manera, para el ciclo escolar 2010-2011 con más de 1008 centros, una población estudiantil de más de 82 000 alumnos pertenecientes a los 212 municipios del Estado y con una plantilla docente de 4250 maestros.

1.4 Planteamiento del problema En el ciclo escolar 2009-2010, el sistema de Telebachillerato del Estado de Veracruz (TEBAEV) adoptó la Reforma Integral de la Educación Media Superior. Dentro de este contexto, los planes de estudio de Matemáticas I (Serie de programas de Estudio) contemplan el estudio de los números, las transformaciones algebraicas, así como la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones; el contenido se presenta en 10 bloques. En lo que respecta a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, éstos se abordan en los bloques VII y VIII, ambos presentan como unidades de competencias las siguientes: 4

 Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales, para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayuden a explicar y describir su realidad.  Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje algebraico. Un análisis más profundo del programa de estudio, señala como evidencia de aprendizaje el que el alumno:  Reconoce o describe, mediante lenguaje oral o escrito, situaciones que pueden modelarse mediante sistemas de ecuaciones lineales; 

Resuelve o formula problemas de su entorno, u otros ámbitos, que pueden representarse y solucionarse mediante un sistema de ecuaciones. Sin embargo, cabría preguntarse a qué se refiere con su vida escolar. De acuerdo con el

propio programa de estudio de la Reforma Integral en Educación Media Superior, la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe ser una herramienta para la solución de problemas presentes en otras áreas del conocimiento, ajenas, en un principio, al área de las matemáticas. La guía didáctica en el sistema de Telebachillerato no presenta modelos que desarrollen las actividades de aprendizaje antes mencionadas, y esto puede ser un motivo por el cual existen resultados bajos en las pruebas ENLACE, por tanto, se hace necesaria la búsqueda de Modelos Matemáticos que favorezcan dichos aprendizajes. La intención del presente trabajo es realizar un estudio del papel que tiene la Modelación Matemática en el aprendizaje de sistemas de ecuaciones lineales dentro del contexto de enseñanza Aprender Matemática, Haciendo Matemática.

1.5 Objetivo y pregunta de investigación Este estudio tiene como objetivo probar una propuesta didáctica para la enseñanza de resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y 3x3 basados en el modelo de enseñanza Aprender Matemática, Haciendo Matemática. Se busca dar respuesta a la siguiente pregunta de investigación.

¿Qué papel tiene la Modelación Matemática en el aprendizaje de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales en el contexto de Aprender Matemática, Haciendo Matemática?

2 ANTECEDENTES En esta sección, se describe parte de la investigación documental sobre los temas de Modelación Matemática como una herramienta didáctica y la enseñanza de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales; las referencias nos ayudarán a comprender los avances y las dificultades que han observado diversos investigadores sobre estos temas.

2.1 Modelación Matemática como herramienta didáctica Alsina, García, Gómez y Romero (2007) mencionan que el lenguaje matemático es universal para las ciencias, en donde por lo común no se hace referencia a cómo estas ciencias presentan sus conceptos de forma matemática, siendo necesario hacer una reflexión en cómo se enseñan. Parece razonable que las matemáticas en las ciencias deben ser un proceso de reflexión, donde se realizarán los planteamientos y las estrategias más convenientes para garantizar una formación matemática dentro del propio contexto social, económico y cultural del educando. Estos mismos autores recomiendan que se aborde la enseñanza de las matemáticas a través de la Modelación Matemática, dado que ésta se encuentra dentro de las corrientes didácticas donde el aprendizaje se refuerza con el trabajo cooperativo, la búsqueda de información y el uso de las nuevas tecnologías (competencias expresadas en el perfil del alumno de la Reforma Integral). Bolea, Bosch y Gascón (2004) han señalado que en la enseñanza del álgebra prevalecen principalmente 4 características:  Problemas de expresiones numérico-verbales con el uso de símbolos, los cuales sólo describen el uso de técnicas de cálculos aritméticos.  Manipulación de expresiones algebraicas de una forma muy simple.  Expresiones algebraicas donde las literales sólo representan números desconocidos.  Resolver sistemas de ecuaciones asignándoles un nombre a las cantidades desconocidas y evaluarlos numéricamente. Estos mismos autores señalan que “además de ver al álgebra como generalidades aritméticas, nosotros también podemos ver las actividades algebraicas como una herramienta esencial en la modelación matemática (en el sentido de Chevallard 1985). Para este caso, el

álgebra no es considerada como un contenido propio, pero (sic) como una herramienta para los sistemas de modelación matemática que llamamos proceso de algebrización de la organización matemática” (p. 126), lo anterior se basa en las siguientes características:  El álgebra debe servir para modelar sistemas matemáticos. Debe permitir el planteamiento y la resolución de problemas en aritmética, geometría, etcétera.  La modelación algebraica debe proporcionar respuesta a cuestiones relacionadas con el alcance, la confiabilidad y la justificación de la actividad matemática que se lleva a cabo en el sistema inicial. El modelo algebraico debe permitir la descripción, la generalización y la justificación de procesos de resolución de problemas, y unir técnicas y problemas que de entrada parecen no estar relacionadas.  La modelación algebraica debe llevar a la expansión progresiva de los estudios del sistema inicial y a su transformación, con la incorporación de nuevos tipos de problemas, nuevas técnicas, nuevas interpretaciones, nuevas clases de sistemas entre otros.  En el proceso de modelación algebraica, las expresiones deben incluir literales para designar magnitudes; y la manipulación de estas expresiones no requiere ninguna distinción preliminar entre cantidades conocidas y desconocidas.  El proceso de modelación facilita el estudio de las relaciones entre magnitudes de cualquier tipo (geométrico, físico, comercial) y evolucionar hacia una modelación práctica. Pero también Bolea et al. (2004) señalan que la incorporación del conocimiento matemático a una situación de enseñanza (transposición didáctica) implica ciertas restricciones genéricas:  Las que surgen de la necesidad de adaptar

las actividades matemáticas escolares a la

representación institucional del conocimiento matemático.  Las debidas a la necesidad de evaluar la actividad matemática que los estudiantes deben realizar y el conocimiento matemático relacionados con ellas. Esta necesidad tiende a conducir hacia una diferenciación interna del bloque de contenidos matemáticos y su independencia de los otros bloques (y hacia una mayor algoritmización de sus técnicas), y esto trae como resultado una pérdida del sentido funcional de la actividad matemática.  Las que surgen de la necesidad de que todo el conocimiento enseñado debe aparecer como definitivo e incuestionable. Esta necesidad entra en conflicto con la necesidad de la dinámica

de cualquier proceso de investigación de reconsiderar las estructuras matemáticas previas para mostrar sus limitaciones y contradicciones. Gómez (2002) García-Raffi (2004) y Sánchez et al. (1999) señalan que la Modelación Matemática se puede aplicar en el aula bajo un esquema relativamente sencillo. Así, se hace necesario partir de un problema real, que se plantea dentro de los términos de la ciencia, se realiza un proceso de simplificación basado en la ciencia a la cual se hace referencia (por ejemplo, Física, Química, Biología, etc.) y esto conduce al planteamiento del problema en términos matemáticos donde se culmina con la formulación del modelo (en términos de ecuaciones, formas geométricas, desigualdades, etcétera) el cual describe el problema presentado. El paso siguiente es la resolución del problema matemático, el más importante, donde su interpretación debe ser a través del modelo y comparado con la realidad, esto con el fin de validar la capacidad predictiva del mismo (Esquema 1). Alsina et al. (2007) plantean

Situación del mundo Real

básicamente dos puntos a favor de

Simplificación (1)

la implantación de la Modelación

Planteamiento del problema en términos técnicos

Traducción (2)

Matemática en el aula: 

MODELIZACIÓN: Proceso de formulación en términos matemáticos

tiene Comparación (4)

MODELO MATEMÁTICO: Expresión matemática que representa la situación

La Modelación Matemática como

característica

reforzamiento de un conocimiento multidisciplinario por medio de actividades que involucran tanto

Aplicación de métodos Matemáticos (3) Resolución

conceptos

como

métodos

diferentes ciencias, por lo cual, se debería reforzar un conocimiento Interpretación

significativo y duradero. Esquema 1: Proceso para la didáctica de la modelación matemática



La Modelación Matemática

se presenta como una actividad creativa, la cual implica evaluar habilidades que normalmente no se toman en cuenta; además, se desarrolla en el alumno un espíritu crítico, se trabaja en equipo, se hace uso de las tecnologías, así como también la búsqueda de información. 8

Sin embargo, estos mismos autores señalan que existen problemas a los cuales deben de enfrentarse al introducir la Modelación Matemática en el aula, estos son:  Existe escasez dentro del currículum para la realización de este tipo de actividades dentro del aula.  Poca capacitación hacia los profesores para enseñar a través de la Modelación Matemática.  Para el éxito de la Modelación Matemática debe considerarse el trabajo en equipo.  Los escasez de recursos materiales (como computadoras, calculadoras gráficas, internet) delimitan las actividades en la Modelación Matemática.  No existen foros adecuados en Modelación Matemática, donde se presenten nuevas ideas así como materiales o estrategias que permitan a los profesores poner en práctica la Modelación Matemática. Kaiser y Sriraman (2006, p. 304) señalan la existencia de una discusión internacional sobre modelación, lo cual demuestra que no existe un entendimiento homogéneo sobre su epistemología. Estos autores presentan una clasificación de las diversas teorías de la Modelación Matemática, la cual se resume en la Tabla 1. Nombre de perspectiva

Puntos centrales

Relación a las recientes perspectivas Pragmática, perspectiva de Pollak

Antecedentes

Mejoramiento de los procesos de información dirigidos al mejoramiento de los sistemas Perspectiva integrativa (Blum, Niss) y el futuro desarrollo de la aproximación científicohumanista

Problemas americanos resolviendo el debate de cómo deben ser las practicas escolares y la psicología de los laboratorios experimentales Teorías didácticas y teorías de aprendizaje

Realista o aplicación de la modelación

Utilización pragmática, por ejemplo solución de problemas del mundo real, entendimiento del mundo real, promoción de las competencias de modelación

Pragmático anglosajón y aplicación de las matemáticas

Modelación Contextual

Puntos de vista relacionados con el sujeto y la psicología, por ejemplo resolución de problemas del mundo

Modelación educacional; diferenciada en a) Modelación didáctica b) Modelación conceptual

Pedagógicas y del sujeto a) Estructuración de los procesos de aprendizaje y su promoción b) Introducción a conceptos y desarrollo

Modelación Social Crítico

Puntos de vista pedagógicos como una crítica al entendimiento del mundo global

Perspectiva Emancipadora

Social- Crítico, aproximaciones a la política social

Epistemología o Modelación teórica

Orientadas a teorías, por ejemplo, la promoción del desarrollo de teorías

Perspectiva científica humanística del reciente Freudenthal

Epistemología Romana

Modelo cognitivo

Puntos a analizar:

Psicología cognitiva

a) Análisis de los procesos cognitivos tomando lugar durante los procesos de modelación y el entendimiento de estos procesos cognitivos b) Promoción de los procesos de pensamiento matemático con el uso de modelos como las imágenes mentales o también las fotos mentales o por énfasis de la modelación como procesos mentales como una abstracción o generalización

Tabla 1. Clasificación de las perspectivas de Modelación Matemática según Kaiser y Sriraman

Los mismos autores describen las dos últimas clasificaciones de la tabla como una clase de meta perspectiva

2.2 Sistema de Ecuaciones Lineales Esta sección se encuentra basada en el trabajo de Boyer (1986), en donde se hace una descripción histórica sobre el desarrollo de los Sistemas de Ecuaciones Lineales. Según este autor, los primeros registros históricos del desarrollo del álgebra (en especial la resolución de ecuaciones lineales) datan del siglo XVII AC. En las culturas mesopotámica y babilónica, ya que podían resolver ecuaciones de primero y segundo grado, a las cuales al parecer no prestaron atención, quizás por considerarlas demasiadas elementales y trabajaron más en resolver algunos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. El mayor número de documentos comprende el periodo 600 aC. a 300 dC. En esa época aparecieron algunas ecuaciones como 5x=8, y en algunas tablas sexagesimal se tiene registrado que podían hallar el recíproco de cinco que era 12/60 y en

36  12  la tabla de multiplicar por 8 se encuentra que  8    1  . 60  60  Los egipcios (siglo XVI aC.) desarrollaron un álgebra muy elemental, la cual se orienta principalmente hacia problemas cotidianos como la repartición de víveres, cosechas y materiales. Esta cultura desarrolló un método para resolver ecuaciones de primer grado, llamado actualmente “Método de la falsa posición”, para ello utilizaban el jeroglífico hau, el cual quiere decir montón o pila, utilizado para designar la incógnita. Los griegos desarrollaron métodos para resolver algunos sistemas de ecuaciones, sin embargo sus técnicas se basan principalmente en el uso de la geometría. Thymaridas (400 aC.) encontró una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Un representante griego muy importante para el desarrollo de sistemas de ecuaciones líneas fue Diofanto de Alejandría, (250 dC.) el cual publicó Aritmética, donde por primera vez se trató a las ecuaciones de primer grado y segundo grado de un forma rigurosa, para ello introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un símbolo, la cual era la primera silaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas que plantearon ayudaron a preparar el terreno para el desarrollo de lo que, en siglos posteriores, se le denominó

“Teoría de ecuaciones”; por lo anteriormente expuesto, a Diofanto se le considera el precursor del álgebra lineal (ibídem, p. 3). Aproximadamente en el siglo I dC., matemáticos chinos (autores desconocidos) escribieron el libro Jiu zhang suan shu (El arte matemático), donde se plantean diversos métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como también sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, es importante mencionar que estos autores consideraron la existencia de los números positivos y negativos. Los hindúes (siglo VII) también desarrollaron estrategias para resolver sistemas de ecuaciones, sin embargo no llegaron a obtener métodos generales de resolución. El siglo IX y X dC el desarrollo del álgebra fue dominado por los musulmanes, destacando Al-Jwarizmi y Abu Kamil. Al- Jwarizmi desarrolló obras que fueron fundamentales para el desarrollo del álgebra, ya que investigó sobre los números, los métodos de cálculo y de procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones, su nombre fue latinizado lo que dio origen a la palabra algoritmo, su obra más importante llamado Al-jabr wal denota las reglas fundamentales del álgebra (Socas, et al., 1996). Abu Kamil, continuo los trabajos de Al Jwarizmi quien desarrollo técnicas para el álgebra que posteriormente fueron aprovechados por Fibonacci. Otro musulmán que vivió en el mismo siglo fue Abul Wafa al Bujzani, quien realizó comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ello, los europeos conocieron la obra Arithmetica de Diofanto. Leonardo de Pisa (posteriormente conocido como Fibonacci) después de viajar al norte de África y al Oriente, aprendió el manejo de la numeración indo arábigo y publico Liber Abaci (tratado del ábaco) cuya obra fue la fuente principal durante tres siglos para los estudiosos del álgebra y la aritmética. Nicolas Chuquet (siglo XV) matemático francés, introdujo el concepto de número negativo en Europa, además del desarrollo de una notación exponencial muy parecida a la actual.

Los símbolos que actualmente se utilizan para los números negativos y positivos (“-“, “+”) se le atribuye al alemán Johann Widmann d´Eger. Otro alemán, Christoph Rudolff introdujo también un símbolo muy importante, el cual en la actualidad todavía está en uso: la raíz cuadrada. Girolamo Cardano y Rafael Bombelli (1545-1560), ambos de origen italiano, descubrieron los números imaginarios, los cuales son indispensables para resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grados. Por esa misma época, el símbolo de la igualdad (=) fue introducido por Robert Recorde. El uso de las vocales como incógnitas y las consonantes como la representación de constantes, se le atribuye al francés Francois Viete (1591) René Descartes (1637), matemático francés fusionó la geometría y el álgebra, desarrollando la geometría analítica, además, a él se le atribuye el uso de las primeras letras del alfabeto (a, b, c…) para representar a las constantes y el uso de las últimas letras (x, y, z) para denotar a las variables o a las incógnitas. A Leibnitz (1693) se le atribuye el uso de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Un poco después, Cramer (1750) en su obra “Inducción al análisis de las curvas algebraicas” publica una regla el cual lleva su nombre, pese a que ésta fue descubierta por Colin Maclaurin (1729). Durante el siglo XIX, los problemas geométricos y algebraicos son abordados a través de las matrices y los determinantes y su desarrollo se deben principalmente a matemáticos como Cauchy, Hamilton, Cayley, Kronecker, Smith, Weierstrass, Silvester y Frobenius, sobre todo estos dos últimos, quienes establecieron el concepto de rango de una matriz así como el Teorema de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales. Por otro lado, Smith establece las condiciones necesarias para la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales diofánticas.

3 MARCO TEÓRICO Esta sección tiene como propósito presentar las referencias que norman tanto el discurso como las acciones a realizar en el presente trabajo. Por ello, se encuentra dividida en dos partes: un Marco Conceptual, donde se describen y se definen los conceptos a utilizar, y un Marco Metodológico, cuyo propósito es describir el desarrollo del experimento.

3.1 Marco Conceptual Esta investigación se encuentra inserto en el modelo de enseñanza Aprender Matemática, Haciendo Matemática (Flores, 2007), cuyo objetivo es fomentar una cultura

básica en el

estudiante, a partir de: a.- El desarrollo del pensamiento matemático. b.- Capacidad de resolver Problemas. c.- Uso de tecnología. d.- Fomento de las cualidades personales. e.- Fomento a los valores (tolerancia, respeto y cooperación). Para lograr los objetivos anteriormente señalados, el modelo de enseñanza Aprender Matemática, Haciendo Matemática parte de dos premisas: a) El estudiante debe ser el centro de todo el proceso de aprendizaje, por ello es él quien debe de realizar la matemática con el propósito de aplicar lo que ya conoce a situaciones nuevas y específicas. De esta forma, aprende la matemática al resolver nuevos problemas y establecer las nuevas relaciones entre conceptos. b) El estudiante se desempeña mejor en compañía de otros seres humanos por lo cual debe de relacionarse con ellos; se hace necesario que el alumno se sienta seguro y en confianza para aprender dentro de una comunidad de convivencia armónica. Dado que este modelo de enseñanza se encuentra centrado en el estudiante, se hace necesaria una empatía entre el profesor y los alumnos, donde el primero debe presentar una preocupación incondicional sobre el aprendizaje y los pensamientos críticos que desarrollarán sus alumnos. 13

3.1.1 Naturaleza del conocimiento En Aprender Matemática, Haciendo Matemática, se considera que el conocimiento depende de dos aspectos, el primero de tipo cognitivo, que es la forma en cómo un individuo incorpora los nuevos conocimientos a su acervo cultural; y en segundo término, un aspecto sociocultural que es tanto la fuente de información como la motivación para adquisición del conocimiento. Por lo tanto, el individuo no puede ser sustraído de su contexto socio-cultural (Vygotsky, 1978); por ello, consideramos que el conocimiento depende, entre otras cosas, del contexto en que éste se dé. Los trabajos realizados por Vygotsky son conocidos como la perspectiva socio-histórica, la cual plantea que los procesos psicológicos superiores, como la percepción, el razonamiento lógico, el pensamiento y la memoria, se encuentran mediados por instrumentos de carácter social, ya que son productos de la actividad humana a lo largo de su vida (Vygotsky 1932; 1934). Estas actividades se llevan a cabo dentro de un grupo de personas: comunidades o grupos sociales. Dentro de las tesis de Vygotsky se recalca que las actividades se desarrollan primero en los ámbitos sociales para después pasar al plano de lo personal. “… en el desarrollo cultural del niño, toda función aparece dos veces: primero, a nivel social, y más tarde, a nivel individual; primero entre personas (intersicológica), y después, en el interior del propio niño (intrasicologica)” (Vygotsky, 1932, p.94) Cuando hace referencia a “toda función” está mencionando los “procesos psicológicos superiores” y según este autor, estos procesos tienen su origen en la cultura y no en las personas. Vygotsky (1932) se apoya para validar esta concepción a través de nociones como herramientas, las cuales a su parecer conectan las actividades entre las personas. Las herramientas median la acción, y por lo consiguiente conectan a los humanos no solo con los objetos del medio, sino también con otras personas, a causa de ello, las actividades humanas van encaminadas a asimilar la experiencia de la humanidad (Wertsch, 1997, p. 184). Con ello se hace referencia a que el uso de una herramienta (por ejemplo un martillo), implica no sólo su aplicación, sino también lleva implícito una larga historia para su uso por

ejemplo, puede ser utilizada como arma mortal, como una fuente de amenaza o también para realizar otras acciones las cuales no son precisamente las propias. En el lenguaje ocurre una analogía semejante, ya que el uso de una palabra implica la existencia de toda una carga cultural detrás de ella, por ejemplo, la palabra “psicología” tiene un significado más profundo que la combinación de signos y no representa un objeto, va más allá, pues se transmite (a través de esta palabra) un contenido cultural. Wertsch (1997) se basa en lo anterior para argumentar la historicidad de ciertos contenidos para que un grupo pueda poner atención a ciertas formas de conocimiento y lenguaje y no en otras, las cuales limitan sus posibilidades a ciertos espacios, o que puedan elegir una entre tantas formas para comunicar cierto acontecimiento. 3.1.2 Enseñanza de la Matemáticas según Brousseau A mediados de los años 1970, surgió en Francia un grupo de investigadores (principalmente matemáticos) preocupados por la didáctica de las matemáticas al que se les denominó “escuela francesa de la didáctica de la Matemática”, sus trabajos van enfocados hacia el descubrimiento y la interpretación de los procesos por los cuales es posible tanto la adquisición como la transmisión de los conocimientos matemáticos. Este grupo de investigadores parte de dos premisas (Panizza, 2006): a.- La búsqueda de un marco teórico que explique los fenómenos de la adquisición de los conocimientos matemáticos, el cuál no se base en observaciones ni experiencias aisladas. b.- Dicho marco teórico debe ser específico para la adquisición del conocimiento matemático y no desarrollado a partir de otras áreas, como la psicología o la pedagogía. Guy Brousseau (1997) es un matemático perteneciente a la escuela francesa, desarrolla la teoría de las situaciones didácticas, la cual parte de que el conocimiento en esta área no se construye de manera espontánea, sino se ve influenciado por tres factores: el profesor, el alumno y el medio didáctico (millieu). El rol del profesor es la de facilitar los medios y las herramientas con los cuales el estudiante construye su conocimiento, mientras el medio didáctico se forma por todos aquellos elementos que influyen es esta relación, considerándose una dimensión activa. De esta forma la Situación Didáctica hace referencia a las interrelaciones entre el profesorestudiante-medio didáctico.

El concepto de Situación Didáctica lo define Brousseau como las interacciones dadas entre los estudiantes con los medios y los recursos que poseen, ayudándoles a alcanzar o conservar un estado favorable para la adquisición de conocimiento (Chavarría, 2006). Brousseau reconoce dos tipos de Situaciones Didácticas: a.- Aquellas en que se hace necesario el rescate de conocimientos y esquemas previos. b.- Situaciones en donde se ofrece al estudiante la posibilidad de adquirir un conocimiento nuevo. Desde esta perspectiva, la Situación Didáctica ofrece al alumno la posibilidad de construir un conocimiento, por lo cual le otorga un papel fundamental en la enseñanza; si bien la situación tiene una perspectiva fundamental, el rol principal la desempeña el alumno, siendo él la parte activa para la adquisición del conocimiento. El papel del docente, es entonces, proporcionar al alumno las situaciones que favorezcan la adquisición de dicho conocimiento matemático. (Chavarría, 2006). El marco teórico de las Situaciones Didácticas plantea la existencia de un contrato didáctico, estableciéndose ya sea de manera implícita o explícita, el comportamiento tanto del docente como del alumno; el docente espera del alumno cierto grado de compromiso, así como ciertas actitudes; mientras que el alumno, de manera análoga, espera del docente una serie de comportamientos y actitudes que ayuden a favorecer la adquisición del conocimiento que el docente desea enseñar. Con ello, la postura de Brousseau contradice los esquemas tradicionalistas, donde la parte activa es el profesor, y su deber es “depositar” los conocimientos en un recipiente vacío (alumnos) para capturar la información y reproducirlos. La teoría de las Situaciones didácticas ofrece la posibilidad de que el conocimiento adquirido durante el proceso de enseñanza aprendizaje posea cierto grado de validez y significado en los estudiantes, permitiéndoles aplicarlos en los momentos necesarios de su vida (Chavarría, 2006). Brousseau reconoce la situación a-didáctica como un momento en el cuál el alumno se enfrenta a situaciones en donde para resolverlas pone en práctica los conocimientos, saberes o habilidades que ha adquirido para formular hipótesis o conjeturas sobre el problema presentado. Las situaciones a-didácticas son problemas semejantes a lo que enfrentará el estudiante durante su vida, y es el mismo estudiante quien, sin la “intervención” del docente, toma las estrategias 16

que considera prudente para la resolución de estos problemas. Este concepto favorece que el alumno logre niveles cognitivos superiores y enlace saberes no sólo del campo de las matemáticas, sino también de otras áreas del conocimiento. La situación didáctica debe englobar en algún momento situaciones a-didácticas, es decir, existen momentos donde el docente participe en la resolución de un problema y otros momentos a donde no participe de manera tan activa. De acuerdo con Brousseau, (Chavarría, 2006) la situación a-didáctica debe presentar tres características: a.- El carácter de necesidad de los conocimientos: La creencia de algunos profesores de que para resolver cierto problema es necesario el dominio de un particular conocimiento no siempre es verdadera, en algunas ocasiones los alumnos pueden llegar a resolver el problema de manera satisfactoria utilizando vías alternas y no precisamente el conocimiento que se desea enseñar. b.- La Noción de Sanción: La idea es organizar la situación a-didáctica de tal manera que el alumno interactúe con un medio, el cual le ofrezca la información necesaria sobre su producción, es decir, tenga la posibilidad de llegar a un resultado satisfactorio por diferentes procedimientos, así como la capacidad de discernir sobre éstos y su preferencia personal sobre ellos. c.- La no intervención del maestro en relación con el saber: Da una referencia de la situación adidáctica como un momento de aprendizaje (y no de enseñanza), donde los alumnos deben encontrar por sí mismos relaciones entre sus elecciones y sus resultados. No se refiere al silencio del maestro, sino lo que puede hacer para alentar la resolución de un problema. Brousseau también incluye el concepto de transposición didáctica (introducido por Yves Chevallard) para explicar las transformaciones que sufren los objetos matemáticos al momento de ser enseñados, al respecto se menciona (Brousseau, 1997, p. 37) “El matemático no comunica sus resultados tal como los ha hallado; los reorganiza, les da la forma más general posible; realiza una “didáctica práctica” que consiste en dar al saber una forma comunicable, descontextualizada, despersonalizada, atemporal.

El docente realiza primero

el trabajo

inverso

al del científico,

una

recontextualización y repersonalización del saber; busca situaciones que den sentido a los conocimientos por enseñar. Pero, si la fase de personalización ha funcionado bien, cuando el alumno ha respondido a las situaciones propuestas no sabe que ha “producido” un conocimiento que podrá utilizar en otras ocasiones. Para transformar sus respuestas y sus conocimientos en saber deberá, con la ayuda del docente, redespersonalizar y redescontextualizar el saber que ha producido, para poder reconocer en lo que ha hecho algo que tenga carácter universal, un conocimiento cultural reutilizable.” La teoría de las situaciones didácticas distingue tres tipos de situaciones denominadas de acción, de formulación y de validación. Panizza (2006) define la situación de acción como aquella en donde el alumno debe interactuar con un medio (ya sean materiales o de tipo simbólico), en ello se requiere sólo conocimientos implícitos. La situación de formulación es donde el alumno o alumnos interactúan entre sí, y la situación de validación es donde los alumnos validan o refutan las afirmaciones propuestas, las cuales son sometidas a consideración de todo el grupo, es decir el grupo debe poseer la capacidad de aceptar, rechazar y pedir pruebas, para llegar a la resolución de un problema. 3.1.3 Desarrollo de la cultura básica y las competencias. Dentro del modelo de enseñanza Aprender Matemáticas, Haciendo Matemática (Flores, 2007), se considera la existencia de un acoplamiento entre los enfoques centrados en el aprendizaje en general y el aprendizaje individual. Para ello se basa en cuatro dominios los cuales son:  Metacognitivo y congitivo  Afectivo y motivacional  Social y de desarrollo  De factores de diferencias individuales Estos cuatro dominios, se engloban en las actividades de enseñanza y evaluación a partir de la creación de un ambiente de enseñanza-aprendizaje de cooperación.

Dentro del modelo de enseñanza Aprender Matemática, Haciendo Matemática (AMHM) se considera que un individuo posee una Cultura Básica en Matemática cuando:  El estudiante presenta un Pensamiento Matemático cuyas actividades principales sean que al enfrentarse a un problema matemático, encuentre patrones que le lleven a una generalización y argumente sus resultados en términos de sus descubrimientos.  El estudiante puede resolver problemas matemáticos ya sean dentro del mismo contexto matemático o fuera de él.  La capacidad de utilizar la tecnología como una herramienta para facilitarle la resolución de problemas matemáticos y la adquisición de nuevo conocimiento.  Presenta actitudes positivas cuando se enfrenta a tareas matemáticas, para ello debe argumentar sus soluciones ante sus compañeros; con ello, el alumno observa que las actividades realizadas son para beneficio propio así como para sus compañeros.  Valores humanos desarrollados a través de la convivencia con sus semejantes y su ambiente. Para que el alumno desarrolle una Cultura Básica en Matemática debe estar inmerso en un ambiente donde el estudiante se sienta responsable por la adquisición de su conocimiento, se fomenten conocimientos y competencias matemáticos básicas así como la promoción de actitudes y valores humanos. De esta forma, se divide la Cultura Básica en dos aspectos fundamentales: Competencias y Cualidades Personales. En el modelo de enseñanza AMHM, se entiende por competencia a la capacidad para el desarrollo de alguna cosa. Dentro de la Cultura Básica en Matemáticas, se consideran el Pensamiento Matemático, la Resolución de Problemas y el Uso de la Tecnología como promotores de competencias. Estos tres aspectos engloban la mayoría de las competencias matemáticas que define Niss (2003) y que fueron adoptadas por la OCDE en su evaluación PISA ( PISA, 2003).

En lo que referente a Cualidades Personales, hacemos referencia a una virtud o rasgo positivo que caracteriza a un individuo o grupo de personas, por ello, dentro de la Cultura Básica

Matemáticas

son

consideradas como Cualidades Personales

Cultura Básica en Matemáticas

las

Actitudes

Positivas hacia la matemática y Cualidades Personales

Competencia

los

Valores

Humanos

(Esquema 2). Pensamiento Matemático

Resolución de Problemas

Uso de tecnología

Actitud hacia las Matemáticas

Capacidad de Convivencia

Esquema 2. Componentes de una cultura básica en matemáticas

En AMHM, las competencias se desarrollan a través de las actividades de enseñanza y

evaluación, los cuales tienen una doble función: 

Utilizar la matemática que se conoce, y aprender la que se desconoce.



Evaluar el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Las actividades de enseñanza y aprendizaje las dividimos en tres:  Actividades de Exploración: su propósito es que el estudiante al plantearle una serie de preguntas debe realizar conjeturas, donde será validada ante sus compañeros y con ello pone en juego sus esquemas de argumentación  Actividades de Modelación: es aquí donde se utiliza la matemática de otros ámbitos del conocimiento. Definimos a la Modelación Matemática como los pasos a seguir para la obtención de un modelo matemático el cual reproduzca los datos del fenómeno, ya sea estos de tipo físico, social o de cualquier otra área de conocimiento. El modelo matemático es una expresión de tipo matemático como una ecuación, una función, una desigualdad o cualquiera de sus representaciones. Dentro de estas actividades, el alumno debe tomar decisiones sobre qué modelo se adapta mejor a la situación planteada así como los procedimientos para lograrlo. La Modelación Matemática se enmarca en dos tipos de actividades: o Actividades Piensa y Actúa: Se le presentan al estudiante todos los datos o elementos para obtener un modelo matemático el cual, reproduzca de la mejor manera la situación planteada. o Actividades de Ajuste de Curvas: Son las actividades donde al alumno se le presentan una serie de datos obtenidos a partir de una medición, con el propósito 20

de manipularlos y obtener un modelo matemático que represente de la mejor manera la gráfica de la situación planteada.  Actividades de Problemas no Rutinarios: Son situaciones en que el estudiante para resolverlas utiliza sus conocimientos, estrategias de resolución de problemas e ingenio para reconocer patrones y lograr la generalización. Consideramos que el uso de la tecnología, (software o de calculadora CAS, entre otros) fortalecen las actividades de enseñanza ya que a través de estas se facilitan las tareas matemáticas y propicia la comunicación entre los integrantes del grupo (Esquema 3).

Actividades de Enseñanza y Evaluación

Utilizar y Aprender Matemáticas

Actividades de Exploración

Evaluar

Actividades de Modelación

Piensa y Actua

Actividades no Rutinarias

Afectiva

Cognitiva

Metacognitiva

Ajuste de curvas

Esquema 3. Promoción de competencia en AMHM

3.1.4 Actividades de Modelación La Modelación Matemática consiste en la habilidad de traducir problemas de un

Planteamiento del problema

área

aplicación

expresiones

matemáticas manejables, cuyo propósito Método Numérico

Teoría

Modelación Matemática

sea realizar un análisis tanto teórico como numérico

al modelo

que se obtiene

(Neumier, 2004). De acuerdo con este Programa

Informe

autor, la Modelación Matemática posee elementos que se encuentran interactuando

Esquema 4. Elementos de la modelación Matemática

entre sí (esquema 4). Los elementos de la

Modelación Matemática quedan divididos en un proceso para cada nodo (6) y las conexiones entre estos (10) dando un total de 16 procesos. Es frecuente encontrar, que el problema planteado inicialmente vaya cambiando durante la fase de modelación dependiendo del entendimiento adquirido en cada proceso. Por ello, es posible que el problema inicial (vago o pobremente planteado), termine siendo una descripción precisa en base a un modelo matemático. De acuerdo a la definición de Modelación dada por Neumier (2003), se hace evidente la existencia de un vínculo para la aplicación de la matemática en otros campos del conocimiento como pueden ser la Física, la Química, la economía e incluso algunas del área de las ciencias sociales. Existen varias ventajas en el uso de un modelo para la descripción de un fenómeno, uno de ellos es la posibilidad de predecir y reproducir el fenómeno estudiado; además, un modelo puede ser utilizado para describir fenómenos distintos al original, por ejemplo, un modelo logístico utilizado para describir el crecimiento de los seres vivos, puede ser aplicado de forma efectiva al crecimiento de poblaciones ya sean humanas o no (ejemplo en el crecimiento de bacterias). La Modelación Matemática presenta características para ser consideradas en la aplicación de la enseñanza, por ejemplo: Los Modelos Matemáticos son indispensables para comprender fenómenos, se puede observar y practicar el conocimiento matemático, ayuda a la resolución de problemas, da un mejor entendimiento del fenómeno modelado, puede ser aplicado a diversos campos del conocimiento y ayuda al desarrollo de las capacidades en el uso de la tecnología. En el modelo de enseñanza que aplicamos en este trabajo, Aprender Matemática, Haciendo Matemática, las actividades encaminadas a la resolución de problemas son problemas de Modelación Matemática. La Modelación Matemática motiva al alumno a adquirir nuevo conocimiento, por ejemplo: al enfrentarlo a cierto fenómeno (sea natural o no) debe realizar suposiciones sobre el mismo y buscar un Modelo Matemático que lo explique de una manera fiel; además, pone en juego el conocimiento matemático que posee y, en caso contrario, se observa disponibilidad para incorporar nuevos conocimientos los cuales le sirvan para resolver el problema presentado.

En este trabajo, definimos Modelación como la serie de actividades encaminadas a la construcción de un Modelo Matemático el cual reproduzca los datos obtenidos del fenómeno (ya sea natural o no) con el propósito de comprender el fenómeno, y de manera más general, aplicar

Identificación del fenómeno

dicho

modelo

situaciones

similares

pertenecientes a otros campos del conocimiento.

Problematización

El Modelo Matemático lo definimos Matematización

como un objeto matemático (ya sea de manera gráfica, analítica, igualdad, funcional, tabular,

Modelo Intermedio

etcétera) la cual reproduce los datos presentados en

Verificación

fenómeno

permite

mejor

entendimiento de este. Interpretación del modelo

Consideramos que en los procesos de Modelación, se siguen una serie de pasos

Modelo Matemático Esquema 5. Matemática

Proceso

descritos a continuación (Esquema 5) de

Modelación

El proceso de modelación comienza con

la Identificación de un Fenómeno y termina en la obtención de un Modelo Matemático. En un análisis más profundo, se observa la presencia de dos posibles ciclos durante la fase de construcción del modelo matemático, uno de ellos se encuentra dentro del ámbito matemático, mientras que el segundo, implica un estudio más profundo del fenómeno a estudiar. Cada fase de la Modelación tiene sus propias características, de esta manera, la fase de Identificación del fenómeno requiere que el alumno identifique las características del fenómeno presentado, es decir, si es cuantificable, cuáles son sus variables importantes para su estudio y cuales no lo son, si existe un patrón de comportamiento, etcétera. Una vez realizado este proceso, el siguiente paso es la Problematización, la cual es un planteamiento de las características del fenómeno, el alumno lo observa como un problema a resolver, o en su defecto, como una serie de preguntas a ser respondidas. La serie de preguntas deben ser respondidas en términos matemáticos, a lo cual le denominamos la fase de Matematización. Durante esta fase, se hace necesario un análisis del

modelo obtenido, llevando a la Verificación de la solución del problema matemático, y eso a través de las cantidades conocidas, este proceso se hace en términos de estimaciones de errores y de intervalos de aceptación. Si durante el proceso de verificación, los resultados no representan la solución del fenómeno, se hace un replanteamiento de problema devolviéndonos al proceso de Matematización; si por el contrario, la verificación es satisfactoria, se continúa con el proceso. La Interpretación del modelo consiste en la verificación de si los datos obtenidos con el modelo representan al fenómeno original, de no ser así, el proceso nos conduce nuevamente a plantear una nueva problematización, iniciándose así un segundo ciclo, llevándonos a matematizar nuevamente el problema, etcétera. Si durante la verificación esta resulta ser satisfactoria, se considera que el modelo es aceptable, dando paso al Modelo Matemático, donde se reproducen los datos del fenómeno y se predicen situaciones similares. Como ya se mencionó, las actividades de Modelación se refieren, entre otras cosas, a la aplicación de las matemáticas en otros campos diferentes (fenómenos económicos, biológicos, sociales, etcétera) y se tiene dos tipos de actividades de Modelación Matemática:  Actividades de Piensa y Actúa: Se caracteriza por que el estudiante tiene todos los elementos para obtener un modelo, el cual, deberá reproducir el fenómeno presentado.  Actividades de Ajuste de Curvas: Al alumno se le presenta una serie de datos de tipo numérico, los cuales son obtenidos a partir de la medición del fenómeno, y deberán ser procesados con el fin de obtener un Modelo Matemático que mejor se adapte a la representación gráfica de los datos.

3.2 Marco Metodológico En esta sección se realiza una descripción de la metodología utilizada, la cual se basa en una investigación cualitativa y en experimentos de enseñanza que se describen a continuación.

3.2.1 Investigación cualitativa Este trabajo se fundamenta bajo la visión de un estudio cualitativo, donde los integrantes del grupo experimental trabajan en equipos de dos y se consideró viable que el investigador fuese quien dirigiese las actividades. Para sustentar lo anteriormente descrito, se hace referencia a lo citado por Gutiérrez (1999, Tomado de Dalcín, 2004): “La recogida de información cualitativa se hace generalmente de una de estas dos formas: la observación y las entrevistas. La primera forma tiene lugar cuando se desea investigar sobre el comportamiento de un grupo de estudiantes, pues la información que se recoge procede del grupo completo, o de un numeroso conjunto de sus elementos, y no de individuos aislados. Se debe recurrir a este método de trabajo cuando se es consciente de que los resultados de la investigación estarán altamente influenciados por las interacciones sociales del grupo formado por un profesor y sus alumnos durante su actividad cotidiana en el aula.”(p. 18). Tomando en cuenta los comentarios de Dalcín, el cual sugiere que la recogida de información sea para todo el grupo experimental, se decidió realizar el experto con todos los integrantes del grupo. Sin embargo, debido a la dinámico de trabajo en equipo, consideramos que con el análisis de 6 integrantes es suficiente para observar los resultados del experimento; lo anterior se justifica por dos razones: La primera, se clasificaron los alumnos de acuerdo a su rendimiento escolar (bajo, medio y alto) y cada estudiante elegido para el estudio representa de manera homogénea al conjunto de estudiantes de cada nivel. La segunda, los instrumentos utilizados en la recogida de la información representan el trabajo de dos alumnos, por lo anterior, si se analizan dichos instrumentos, se tendrían los mismos resultados para estos alumnos, siendo el análisis repetitivo. La intervención del investigador en la toma de la información, queda sustentado por la recomendación de Gutiérrez (1999) el cual comenta:

“…aquí le surgirán al investigador un dilema en cuanto a su forma de actuar durante la investigación: por una parte, su presencia supone la aparición de un elemento extraño que puede producir distorsiones en el “ecosistema” habitual del aula, las cuales serán más importantes cuando más activo sea el papel del investigador; desde este punto de vista, lo ideal es que no estén en el aula más que las personas habituales (profesor y estudiantes). Pero, por otra parte, si el investigador no entra en el aula, la única fuente de información sobre lo que ha pasado es el profesor; la experiencia indica que los informes de los profesores suelen ser parciales (es imposible estar atento a lo que hacen todos los estudiantes durante todo el tiempo y, además, recordarlo todo) e involuntariamente sesgados (normalmente el profesor no sabe con exactitud qué es lo que busca el investigador ni cuáles son los aspectos más interesantes para él). Luego la recogida de información debería hacerla directamente el investigador y, salvo que el profesor sea un miembro del equipo investigador, es razonable que haya en el aula, como mínimo, un operador con una cámara de vídeo.” (p. 23) Refiriéndonos a la última parte del comentario de Gutiérrez, se decidió fuese el propio investigador quien dirigiera las actividades, es decir, ser tanto el investigador como el profesor del grupo. Se hace referencia a que el investigador había sido su profesor de Matemáticas en el semestre anterior, por ello, ya existía una relación alumnos-maestros la cual se considera que dicha convivencia no alteraría los resultados, ya que sería vista como un elemento normal del entorno educativo. No se consideró el filmar las actividades por la siguiente razón: En experiencias anteriores, los alumnos han sido expuestos a la filmación de sus clases por parte de la Dirección de Telebachillerato; dichas filmaciones han sido ocupadas para elaborar video material que la propia institución elabora para sus cursos de actualización docente o sus teleclases. En dichas filmaciones, se ha observado variaciones significativas en el comportamiento de los alumnos dado que no actúan de manera habitual; por ejemplo, se nota en sus discursos respuestas cuidadosamente pensados antes de expresarlos, posiblemente al miedo de evidenciarse o en la creencia de que su respuesta es aquella la cual el docente desea; en otros casos, las actividades a realizar en el aula no comprometen al alumno a ejecutarlas y se despreocupan de sus labores. Dado las características del comportamiento de los alumnos en los

casos anteriormente descritos, se hace evidente que la recogida de datos a través de filmaciones u otro medio, no mostraría la realidad del fenómeno educativo estudiado. Durante el experimento se decidió que la relación entre los alumnos y el maestro, deberían ser como normalmente se presenta en el aula, es decir, de mutua interacción. Esta postura se encuentra sustentada en lo expresado por Gutiérrez (1999, Tomado de Dalcín, 2004): “…se habla de dos tipos de observaciones: la observación participativa, en el cual el observador trata de comportarse como un miembro del grupo, para comprender mejor sus interacciones aunque, al mismo tiempo, toma una postura de observador” (p. 20) 3.2.2 Experimentos de Enseñanza Para dar respuesta a la pregunta formulada, se ha pensado en realizar un experimento de enseñanza. Dentro de esta sección se habla sobre los fundamentos de los experimentos de enseñanza, de esta forma se justifican los instrumentos empleados en la recolección de los datos a ser analizados. De acuerdo a lo planteado en la naturaleza del conocimiento, se hizo hincapié en la postura de Vigosky, donde el conocimiento se genera a través de las interacciones sociales-culturales entre los alumnos y el docente, así también depende de los medios disponibles, ya sean materiales o tecnológicos, es decir el conocimiento se encuentra situado y mediado. Es indudable que el estudio de las ciencias exactas, como la Física, Química y la propia Matemática ha contribuido al desarrollo de la humanidad. La sociedad le ha dado un peso muy grande a la investigación de las ciencias naturales. Dichas áreas, trabajan con objetos, con características inertes en una búsqueda sistemática a la solución que afectan y preocupan a la humanidad. En cambio, los estudios de los proceso de enseñanza aprendizaje se realizan con seres humanos, con características propias y únicas, por ello, deben ser tratados con respeto y dignidad en busca de soluciones a sus propios problemas. La educación juega un rol importante en el mejoramiento de la sociedad, ya que con ello no solo se preserva el acervo cultural, sino también se forman personas con una autocrítica en busca de una sociedad justa y equitativa para todos.

Lo anterior se basa por los trabajos publicados por Kemmis (1990) quien cita “La educación ejerce un importante papel en el mejoramiento de la sociedad, mediante la transformación de la naturaleza y condiciones del trabajo (haciéndola más accesible, productivo y satisfactorio para todos), mejorando la calidad de nuestro conocimiento (haciéndola más coherente como un depósito de nuestras comprensiones y más racional) como una fuente de ejercicio del poder en la sociedad (haciéndola más justa y equitativa para todos)” (p. 177) Dado que la educación presenta un carácter de suma importancia en el desarrollo social, y esta se encuentra en constante movimiento, se hace entonces necesaria una transformación continua en los procesos de enseñanza, donde los docentes intervengan de manera activa con el quehacer de la enseñanza. “… la educación no puede mejorar sin la activa participación de los maestros en la inspiración y justificación de nuestras acciones, y mejorando el proceso de formulación, investigación y evaluación de los currícula.” (Kemmis, 1990, p 177). Kemmis (1990, p 178) también comenta “La educación es una actividad social y cultural que requiere una forma muy activa de participación tanto de los maestros como de los alumnos cuyos propios intereses e intenciones tiene que ser tenidos en cuenta en el acto educativo.” Entonces, la investigación en educación debe contener aspectos que acerque al docente a la currícula de manera que las acciones tomadas conduzcan a una evaluación crítica de su quehacer, en busca de soluciones a sus problemas que enfrenta y no a través de expertos que imponen soluciones a los problemas y que rara vez han estado frente a grupo. La investigación acción, es posiblemente la solución a dicha problemática, y sus fundamentos pueden ser rastreados hasta los trabajos de Lewin (1948, p 202) el cual menciona: “La investigación necesaria para la práctica social puede caracterizarse de mejor manera como la investigación para la administración social o para la ingeniería social. Es un tipo de investigación acción, una investigación comparativa sobre las condiciones y los efectos de diferentes formas de acción social; es una

investigación que conduce hacia la acción social. La investigación que sólo produce libros no es suficiente” Los experimentos de enseñanza que de acuerdo a Tompson (1979, Tomado de Cedro, Moura 2010) se caracterizan por: a.- Los alumnos deben ser orientados en los procesos de apropiación de los conceptos y estos ser correctamente internalizados. b.- La investigación es de naturaleza longitudinal c.- En el proceso de investigación, el docente interviene en las actividades de aprendizaje de los estudiantes. d.- Existe una constate interacción entre las observaciones recogidas y la planificación de las acciones futuras a realizarse. e.- Los datos obtenidos son más de carácter cualitativos que cuantitativos. Un experimento de enseñanza contempla tres fases (Simón, 2000) las cuales son: 1.- Diseño y planificación de la instrucción: a.- Identificación de los objetivos de aprendizaje. b.- Diseño de las tareas a realizar. c.- Elaboración de una hipótesis de aprendizaje que prediga la evolución y comprensión de los temas cuando los alumnos se enfrentan a las actividades planeadas. 2.- Implementación de las actividades planeadas en el aula. 3.- Análisis retrospectivo de las actividades realizadas. Los experimentos de enseñanza van muy acordes al marco teórico planteado en este trabajo, ya que se complementa con los trabajos de Vygotsky sobre la naturaleza del conocimiento y le propicia características deseables a nuestra investigación muy parecidas al trabajo de Cedro y de Moura (2010) las cuales son: a.-Las clases se diseñan pensando en actividades en colectivo. b.- Los trabajos realizados por los alumnos se realizan en equipos

c.- Las actividades planeadas deben relacionarse con un tema en general. d.- Debe existir motivación e interés por parte de los alumnos para realizar las actividades planeadas. e.- Los alumnos desarrollan la capacidad de analizar críticamente sus actividades y llegar a sus propias conclusiones. Por último, los experimentos de enseñanza proporcionan evidencia clara sobre las prácticas y conceptos que presentan los profesores, ayudándoles a mejorar sus estrategias pedagógicas y matemáticas en busca de solucionar los problemas que enfrenta tanto el docente como los alumnos dentro del aula. 3.3.1 Instrumentos de Evaluación En esta sección se explica el concepto de evaluación basados en el modelo AMHM, además se hará una breve descripción de la taxonomía de Bloom como una propuesta para clasificar el nivel cognitivo que logran los alumnos en este experimento. Por último se describe los instrumentos de evaluación empleados en este trabajo. 3.3.1.1 La evaluación. En toda aula siempre existe un proceso de evaluación y, por lo general, este proceso es para asignar una calificación al estudiante. Este enfoque que se le da al proceso de evaluación se encuentra muy presente en la enseñanza de carácter tradicional y los instrumentos mayormente utilizados son los exámenes, las tareas, los trabajos de reforzamiento o los repasos de algún tema en especial y, dado que estas actividades determinan su calificación final, los estudiantes, en el mejor de los casos, prefieren darle mayor peso al cumplimiento de dichas actividades para tener una mayor posibilidad de acreditar el curso, que interesarse realmente en aprender. Otro de los inconvenientes observados en los proceso de evaluación a través de exámenes, es que son considerados como momentos aparte del curso normal, es decir, se interrumpen los proceso de enseñanza aprendizaje con el fin de evaluar el rendimiento escolar de los alumnos (Flores y Gómez, 2009). Por lo anterior consideramos que los procesos de evaluación deben reflejar no sólo el rendimiento de los alumnos, sino tener una visión más amplia, en donde se incluya una

evaluación del profesor, de las estrategias planeadas y de los recursos disponibles. Desde este enfoque, la evaluación debe contener ciertas características (Sánchez, 2004):  Incluirse en los procesos de enseñanza aprendizaje planeados.  Ser permanente.  Emitir juicios de valor sobre la actuación de los alumnos.  Exponer juicios de valor sobre la actuación del docente.  Que incluya al alumno, a sus compañeros, los profesores y los recursos disponibles.  Que valoren al currículo. Dentro del modelo de enseñanza AMHM, consideramos que la evaluación debe presentar, aunado a las características anteriores los siguientes aspectos:  Permitir al alumno mostrar lo que sabe y lo que puede hacer.  Ser justa e imparcial.  La evaluación debe enfocarse a las ideas y procesos importantes.  Un equilibrio entre las actividades realizadas: trabajos, resolución de problemas, participaciones, conocimientos básicos, integración de nuevos conocimientos, trabajos individuales y en equipo. Por ello, definimos la evaluación como un proceso de carácter sistemático y continuo, que permite determinar en qué medida se han logrado los objetivos planteados en el curso, detectando los errores u obstáculos durante el proceso de enseñanza aprendizaje y permite fomentar el aprendizaje de los estudiantes. La definición anterior nos lleva a plantearnos dos preguntas fundamentales: 1.- ¿Qué tan extenso y profundo debe verse cierto contenido? 2.- ¿Cómo puedo evaluar el proceso de enseñanza aprendizaje? Para responder la primera pregunta, según nuestro criterio, es conveniente utilizar la taxonomía propuesta por Anderson y Krathwohl (2001), basada en la de Bloom (1984), y para evaluar los procesos de enseñanza aprendizaje conviene utilizar tres instrumentos en cada una de las actividades planeadas: lista de cotejo, matriz de resultados y rúbrica.

3.3.1.2 Taxonomía de Bloom En el año de 1956, el psicólogo educativo Benjamín Bloom realizó un trabajo en la Universidad de Chicago cuyo objetivo era la realización de una taxonomía de los objetivos educativos. La taxonomía de Bloom, como actualmente se le conoce es una herramienta que permite comprender los procesos de aprendizaje y se basa fundamentalmente en una división del aprendizaje en tres dominios:  Dominio cognitivo: Hace referencia a los procesos de información, conocimiento y habilidades mentales.  Dominio afectivo: Como su nombre lo indica hace referencia a las actitudes y sentimientos de los estudiantes  Dominio psicomotor: Indica los grados de habilidades manipulativas, manuales o físicas que se han adquirido. Bloom se dedicó principalmente a describir el dominio cognitivo (1956) mientras que el dominio afectivo fue planteado por Krathwohl, Bloom y Masia en 1973 y el dominio psicomotor lo describió Simpson (1972) La taxonomía de Bloom fue modificada por Anderson y Krathwohl (2001) y su aspecto más relevante consiste en el uso de verbos en lugar de sustantivos para cada categoría así como un cambio en la secuencia de los niveles. Cada uno de los dominios, a su vez, se encuentra dividido en categorías, los cuales representan el nivel de conocimiento adquirido por el alumno; los dominios quedan estructurados de la siguiente forma: 

Domino afectivo: (Krathwohl, Bloom y Masia, 1973) o Recepción o Respuesta o Valoración o Organización o Caracterización mediante valores



Domino Psicomotriz (Simpson, 1972) o Percepción

o Disposición para actuar o Respuesta guiada o Mecanismo o Respuesta Abierta compleja o Adaptación o Iniciación 

Dominio Cognitivo (Bloom, 1956) o Conocimiento o Comprensión o Aplicación o Análisis o Síntesis o Evaluación Las categorías de cada uno de los dominios se encuentran ordenadas de niveles de orden

inferior hasta los de orden superior. Hablando específicamente del domino cognitivo, como se mencionó, Anderson y Krathwohl (2001) modifican las categorías y a su vez utilizan verbos en lugar de sustantivos, dicho dominio se muestra en la Tabla 2. Habilidad de pensamiento Recordar

Entender

Aplicar Analizar

Evaluar

Crear

Verbos

Orden

Reconocer, listar, describir, identificar, recuperar, denominar, localizar, encontrar Interpretar, resumir, inferir, parafrasear, clasificar, comparar, explicar, ejemplificar Implementar, desempeñar, usar, ejecutar Compara, organizar, desconstruir, atribuír, delinear, encontrar, estructurar, integrar Revisar, formular, hipótesis, criticar, experimentar, juzgar, probar, detectar, monitorear Diseñar, construir, planear, producir, idear, trazar, elaborar

Habilidades de Pensamiento de orden inferior

Habilidades del pensamiento de orden superior

Tabla 2. Niveles cognitivos de Anderson y Krathwohl

Los objetivos de aprendizaje propuestos por el programa de estudios se clasifican de acuerdo con el dominio cognitivo propuesto por Anderson y Krathwohl (2001) y con ello se realiza un análisis del grado de profundidad con el cual se desea abordar los temas. Consideramos que para el caso de los sistemas de ecuaciones lineales utilizando el modelo AMHM se pueden alcanzar los tres o cuatro primeros niveles del dominio cognitivo, sin embargo es posible alcanzar niveles más altos. Para poder analizar los niveles cognitivos alcanzados por los alumnos se ha decido utilizar diversos instrumentos de evaluación, los cuales son descritos a continuación. 3.3.1.3 Instrumentos de evaluación Los instrumentos de evaluación nos permiten procesar la información que se obtiene a partir de las actividades de enseñanza aprendizaje, que, en AMHM se clasifican en tres categorías: 

Instrumentos afectivos: Proporcionan información sobre las cuestiones afectivas y actitudinales de los alumnos, por lo general estos instrumentos presentan una estructura de cuestionario el cual debe ser contestado por el alumno.



Instrumentos cognitivos: Ayudan a determinar el grado de conocimiento obtenido por el alumno de acuerdo a los objetivos planteados. Estos instrumentos se aplican a las respuestas obtenidas en las hojas de trabajo de cada actividad.



Instrumentos metacognitivos: Proporcionan información sobre cómo aprende el estudiante y son aplicados después de una actividad o sesión de trabajo. En la Tabla 3 se muestran los principales instrumentos utilizados en AMHM de acuerdo

con las categorías antes mencionadas. Instrumentos afectivos

Instrumentos cognitivos

Instrumentos metacognitivos

         

Escala de Actitudes Historia de vida Bitácora de coordinación objetiva del lenguaje (Bitácora COL) Matriz de resultados Lista de Cotejo V Herística de Gowin Rúbrica Informe de Inventario de conocimiento y Estudios anteriores (Informe ICEA) Mapas Cognitivos Portafolios de evidencia

Tabla 3. Instrumentos de Evaluación más comunes utilizados en AMHM

Para poder contestar la pregunta de investigación en este trabajo se utilizaron tres instrumentos de evaluación de tipo cognitivos, los cuales a continuación se describen. Lista de cotejo: El propósito de este instrumento de evaluación es verificar el cumplimiento o no de ciertos parámetros planeados. Se construye a partir de una serie de filas donde en cada una de ellas se especifica los puntos a evaluar dentro de un objetivo planteado, y en su respectivo recuadro, se marca el cumplimiento o no de dicho parámetro, es posible que los criterios enlistados no necesariamente sean cumplidos ya que se puede enlistar distintos procedimientos esperados o hacer una referencia a los errores más comunes (Tabla 4). La lista de cotejo básicamente es un

Lista de Cotejo

Conceptos: /Alumno:

Elabora una estrategia para la resolución del problema (HP5) Identifica las incógnitas de las ecuaciones (HP1) Representa el problema con expresiones matemáticas (HP2) Construye una tabulación (HP3) Construye la gráfica de las ecuaciones (HP5) Compara las características de las curvas en las gráficas (HP4) Formula una hipótesis sobre el resultado obtenido (HP5) Despejes de las ecuaciones adecuadamente (HP3) Sustituye adecuadamente los valores que encuentra en las expresiones matemáticas (HP3) Prueba los resultados obtenidos (HP4) Construye el modelo matemático que se le solicita (HP4) Encuentra la solución del problema (HP4) Habilidad de pensamiento (HP): 1: Recordar; 2: Entender; 3: Aplicar; 4: Analizar; 5: Crear Tabla 4 Lista de Cotejo utilizada en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

instrumento de verificación a partir de los indicadores previstos y tiene como ventaja la fácil visualización del cumplimiento o característica

de la

evaluar.

continuación se presenta la lista de cotejo

utilizada

esta

investigación, cabe hacer mención que los conceptos son clasificados de acuerdo

habilidad

pensamiento propuesto Anderson y Krathwohl (2001) y así observar el desempeño

logrado

por

los

estudiantes conforme se realizan las actividades

Matriz de Resultados: Este instrumento de evaluación se estructura a partir de una tabla, la cual presenta cuatro filas. En la primera fila se coloca el enunciado el problema, en la segunda fila se consigna la respuesta o las respuestas esperadas tal y como el docente o investigador espera sea resuelto por el alumno. En la tercera fila se coloca la respuesta obtenida y por último la cuarta fila se destina a las observaciones que se consideren pertinentes.

La matriz de resultados permite visualizar y comparar la repuesta del alumno o equipo versus la respuesta esperada y con ello, se puede visualizar el grado de avance en los objetivos planteados, así como también de los recursos que emplea el alumno o equipo en la resolución del problema (Tabla 5). Matriz de resultados Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Alumno : Pregunta

La matriz de resultados utilizada en esta investigación presenta diferencias en cada actividad, debido a que en cada una de las actividades se desea

Respuesta Esperada

que los alumnos modifiquen sus esquemas logrando

Respuestas obtenidas

una habilidad del pensamiento mayor, sin embargo, Observaciones

consideramos que las matrices de resultados nos Tabla 5. Matriz de utilizada en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

muestran los niveles alcanzados de una manera más o menos homogéneas.

Rúbrica: Este instrumento se utiliza para relacionar los criterios y estándares establecidos con respecto al problema. Este instrumento facilita la calificación de los alumnos en áreas donde se presenta cierta complejidad, imprecisión o tiende a ser subjetivas, ya que al definir los criterios de evaluación de manera graduada permite una fácil calificación de los proceso de enseñanza aprendizaje. La construcción de este instrumento se basa en una tabla, en la cual la primera columna se coloca el concepto que se desea que el alumno aprenda, en seguida se encuentran tres columnas las cuales clasifica las tres posibles categorías: Aprendiz, Intermedio y Avanzado. Cada uno de estas categorías a su vez se dividen en dos columnas, en la primera se mencionan las características consideradas para clasificar al alumnos en esa categoría, y en la segunda columna se coloca el alumno que ha adquirido dicho nivel (Tabla 6). Rúbrica

Resolución de sistemas de ecuaciones

Aprendiz -No identifica las incógnitas de las ecuaciones. - No realiza las operaciones adecuadas para llegar a la solución de las ecuaciones. - No encuentra la solución a las ecuaciones - Tabular NOTA: no construye un modelo matemático que se le solicita

Intermedio - Identificar las incógnitas de la ecuación. - Realiza las operaciones para llegar a la solución de la ecuación. - Encuentra la solución de las ecuaciones pero con errores - No realiza correctamente las operaciones con las incógnitas. - No grafica de manera correcta. - No tabula de manera correcta NOTA: Construye un modelo matemático pero con errores

Avanzado - Identifica las incógnitas de la ecuación. - Realiza las operaciones para llegar a la solución de la ecuación. - Encuentra la solución de las ecuaciones. NOTA: Construye un modelo matemático y es capaz de transferir sus conocimientos aprendidos a otros problemas semejantes.

Tabla 6. Rúbrica aplicada a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Se considera a un alumno como aprendiz cuando su habilidad de pensamiento de acuerdo con Anderson y Krathwohl (2001) se encuentra en la categoría de recordar, es decir, el alumno realiza proceso cognitivos muy básicos, en nuestro caso, el alumno no es capaz de reconocer las variables, describir el fenómeno e identificar las ecuaciones las cuales le son necesarias para resolver la actividad propuesta. Se clasifica a los alumnos como intermedios cuando en sus actividades presentan pequeños errores en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, sin embargo, son capaces de discernir sus errores y corregirlos en la marcha, es posible que estos alumnos lleguen a la solución del problema o en algunos caso den una respuesta errónea debido, no al procedimiento general, sino a errores en las operaciones matemáticas. Utilizando los criterios Anderson y Krathwohl (2001) estos alumnos presentarán habilidades del pensamiento de entender, aplicar y cierto grado de análisis de los problemas. Los alumnos considerados Avanzados son aquellos que logran adquirir niveles de pensamiento de analizar, evaluar y crear; para este caso, son aquellos que logran llegar a la solución de los sistemas de ecuaciones lineales con errores mínimos o sin ellos. La Rúbrica, al final de las actividades nos muestra el avance obtenido por los alumnos en la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales y así poder contestar la pregunta de investigación.

4 DESARROLLO EXPERIMENTAL En el presenta capitulo se hace una descripción de las actividades realizadas para esta investigación, por ello esta sección se encuentra dividida en dos partes: la primera es una descripción del experimento poniendo énfasis en las características de los alumnos, las herramientas que se ocuparon y los objetivos a lograr; en la segunda se describen las características de las actividades utilizadas.

4.1 Descripción del experimento El experimento se realizó con los alumnos del segundo semestre del Telebachillerato de Tonayan perteneciente al municipio del mismo nombre en el Estado de Veracruz. Los estudiantes no concluyeron el curso de Matemáticas 1, es decir, no estudiaron los temas referentes a ecuaciones lineales ni los métodos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. El grupo en cuestión se encuentra integrado por una matrícula de 25 alumnos, todos ellos con antecedentes 37

de haber estudiado en alguna institución de Telesecundaria; sus edades oscilan entre los 15 y 17 años; 17 residen en la misma localidad y los restantes pertenecen a localidades cercanas al centro de estudio, a una distancia máxima de 3 km. El experimento se desarrolló en actividades previas al curso de Matemáticas II justo antes de empezarlo y en el mismo horario. Se propuso un conjunto de dos actividades para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, una actividad que ayude a pasar de un sistema 2x2 a uno de 3x3, una actividad para los sistemas 3x3 y una última actividad de un sistema de ecuaciones lineales con varias variables. Para su desarrollo no se pensó en la utilización de alguna tecnología (calculadoras CAS, computadoras, etcétera), por ello los alumnos trabajaron con lápiz, hojas de trabajo, goma para borrar y hojas milimétricas. Cada actividad se programó para realizarse en 45 minutos. Los objetivos perseguidos en el curso son los mismos que se presentan en el programa de estudios de la Dirección General de Bachillerato: 

Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.



Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones dos incógnitas mediante el método: o Suma y Resta o Sustitución o Igualación o Gráfico



Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas.



Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones con tres incógnitas mediante el método: o Suma y Resta o Sustitución o Igualación

Los objetivos que se buscan en la presente investigación son: 

Desarrollar una estrategia de enseñanza aprendizaje en el tema de sistemas de ecuaciones lineales acorde al modelo de enseñanza Aprender Matemática, Haciendo Matemática.



Investigar cómo afecta el modelo de enseñanza Aprender Matemática, Haciendo Matemática en el aprendizaje de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, mediante la modelación matemática. En cada actividad, los alumnos se integraron en equipos de dos (sólo un equipo trabajó con

tres integrantes), y en cada sesión los integrantes fueron rotados. Se les permitió, de acuerdo con modelo de enseñanza aprendizaje Aprender Matemática, Haciendo Matemática, que los integrantes de los equipos pudieran intercambiar ideas con otros equipos, además, el instructor participó en la dinámica de clases monitoreando las actividades de los alumnos y, en algunas ocasiones, dando sugerencias sobre cómo resolver el problema o llevando a ciertos equipos alguna sugerencia que algún otro equipo hubiera planteado. Al final de la actividad, los alumnos debían intercambiar sus procedimientos y métodos de solución a través de la argumentación, con el propósito de que ellos mismo validaran sus resultados o en caso de presentar alguna discrepancia, argumentaran sus resultados. Dada la complejidad que representó realizar un análisis de todos los alumnos, debido a que en cada actividad los integrantes de los grupos son diferentes, se decidió realizar un seguimiento de 6 alumnos considerados de nivel bajo, nivel medio y nivel alto. Dicha clasificación considera los siguientes puntos: los resultados obtenidos en la primera actividad, el promedio de su curso anterior de Matemática y su actitud hacia esta asignatura. Para cada nivel se han tomado a dos alumnos. Considerados alumnos de nivel bajo aquellos donde su rendimiento académico en la materia de Matemáticas del primer semestre obtuvieron un promedio entre 6 y 7 y uno de ellos presento examen de regularización debido a que había reprobado el curso, además presentan como características comunes, dificultades en la comprensión de los conceptos matemáticos así como un cierto grado de apatía hacia la matemática. Los alumnos que consideramos de nivel medio presentan: un promedio en su curso anterior de Matemáticas entre 7 y 8, cierto grado de compromiso en sus cursos y son muy colaborativos en las actividades donde se trabaja en equipo. Los alumnos de nivel alto, exhiben un promedio en la materia de matemáticas mayor a 8 y mostraron gran empatía al realizar la primera actividad.

4.2 Justificación de las actividades propuestas. Las actividades se elaboraron pensando en que el nivel cognitivo necesario para resolverlos vaya aumentando, representando para el alumno un nuevo reto. Por ello, se realizó un análisis de cómo la guía de Matemáticas 1 utilizada en el Telebachillerato del Estado de Veracruz presenta estos temas; se observó que el método gráfico para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 se muestra al final del bloque. Para nuestro caso se decidió empezar con el método gráfico, ya que creemos que no se requiere niveles cognitivos altos para entenderlo. La Actividad 1 se

Actividad 1 El papá de Julio pesa 42 Kg más que Julio; si los dos juntos pesan 138 Kg ¿Cuánto pesa cada uno? a.- Encuentra las expresiones matemáticas que represente ambas condiciones b.- Tabula una de las expresiones dándole valores a x c.- Tabula la segunda expresión matemática dándole valores a x d.- Grafica ambas tablas e.- ¿En qué punto se interceptan las rectas? ¿Qué coordenadas tiene ese punto? ¿Qué valor tiene “x” y “y” en el punto donde se interceptan las rectas? ¿Qué me puedes decir se de esos números?

encuentra diseñada para que el alumno busque la respuesta al

problema

través del método de graficación. En una instancia,

primera se

solicita a los alumnos busquen las expresiones algebraicas donde se representen las condiciones del enunciado, posteriormente se requiere una tabulación de ambas ecuaciones y encuentren los valores de la segunda variable. Se deben graficar las ecuaciones y localizar el punto de intersección, este punto es la solución al sistema de ecuaciones. Esta actividad, según nuestro modelo, es considerada como una actividad de exploración y no como una de modelación. La actividad tiene la intención de que el alumno se acostumbre al trabajo en equipo, rescate sus conocimientos sobre el álgebra e introducirlos a un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. La Actividad 2 se encuentra enmarcada dentro de las actividades de modelación, específicamente de la forma Piensa y Actúa del modelo de enseñanza Aprender Matemática, Haciendo Matemática; en ella, el alumno debe encontrar dos ecuaciones con dos incógnitas y contestar las preguntas al ejercicio. Esta misma actividad pretende romper el posible esquema de resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de la graficación ya que los números manejados son grandes y la graficación al realizarla con lápiz y papel, no dará resultados exactos 40

debido a la misma precisión de los instrumentos empleados. Por ello, los alumnos habrán de buscar opciones para resolver estos sistemas, empleando cualquiera de los tres posibles métodos (sustitución, suma resta y eliminación), se tiene la tesis de que los alumnos encontrarán diferentes maneras de resolver la actividad y que cada grupo expresará su método; al final deberán elegir cuál de los 3 métodos les acomoda mejor de acuerdo con su gusto personal. Actividad 2 A fin de año, un gerente de cierta empresa ha decido invertir sus ahorros del año en el banco Serfin el cual le da una tasa de interés del 4.5% anual, y además, invertir todo su aguinaldo en el banco Banamex proporcionándole una tasa de interés del 7.2% anual. Después de transcurrir un año recibe la cantidad de $8,280.00 pesos intereses por ambas cuentas. Si el gerente hubiese invertido la cantidad de dinero en ambas cuentas hubiera obtenido $8,685.00 pesos por amabas cuentas a.- ¿Cuánto había ahorrado el gerente a fin de año? b.- ¿Cuál fue el monto de aguinaldo que recibió?

La Actividad 3 se Actividad 3 En el año 2002, el investigador Doraida R. Díaz Cueller publicó un artículo donde se muestra la tasa de crecimiento de cierta especie de pollos, su resultados de muestran en la siguiente gráfica

considera actividad

como de

una

Ajuste

Curvas en la Modelación Matemática. Esta actividad

Semana de Peso en vida del pollo gramos 1 200 2 400 3 700 4 1200 5 1750 a.- Grafica los puntos de la tabla b.- Determina una función lineal que prediga el comportamiento de los pollos (y=mx+b) c.- Grafica la función que has determinado ¿Pasa por o cerca de los puntos de la gráfica de crecimiento de los pollos? ¿Tu modelo entonces es el correcto? d.- Obtén una función de tipo cuadrática que se ajuste al crecimiento de los pollos (y=ax2+bx+c). e.- Grafica la función cuadrática ¿Pasa por la mayoría de los puntos de la gráfica de crecimiento de los pollos? ¿Este modelo es correcto?

tiene un doble propósito, por una parte el alumno busca un modelo que se ajuste mejor al problema y por otra, dicho ajuste se realiza a través de la resolución de sistemas lineales. Al alumno se le presenta una tabulación y a partir de los datos realizará

una

posteriormente,

gráfica; deberá

buscar los coeficientes de

(Gráfica tomado de: http://www.saber.ula.ve/revistacientifica/n12/pdfs/articulo_22.pdf)

una ecuación lineal a partir de su forma general y argumentar sus resultados, sobre todo si el modelo encontrado es el más adecuado. Una segunda actividad es ajustar los datos a una curva cuadrática, en donde a partir de su forma general deberá encontrar los coeficientes de cada término, empleado así un sistema de 3x3. Actividad 4 Tres comerciantes viajan a San Martín Texmelucan, Puebla, lugar muy conocido debido a la venta de ropa y calzado a muy buenos preciso. El primer comerciante ha comprado 3 pantalones, 2 camisas y 1 par de zapatos, a lo cual pago $2,830.00 pesos. El segundo comerciante compró 2 pantalones, 4 camisas y 3 pares de zapatos, pagando por los productos $3,790.00 pesos. El último comerciante ha comprado 1 pantalón, 3 camisas y 2 pares de zapatos y pagó $2,410.00 pesos. Calcula el costo de cada pantalón, camisa y cada par de zapatos.

Actividad

enmarca dentro de las actividades de Piensa y Actúa buscando la solución al problema de un sistema de ecuaciones de 3x3. En esta actividad se desea verificar el grado de dominio por parte de los estudiantes

sobre

los

temas

abordados.

Actividad 5 La fotosíntesis es un proceso en donde los organismos con clorofila, (como las plantas verdes, las algas y algunas bacterias), capturan energía en forma de luz y la transforman en energía química. Esta conversión se logra cuando los organismos con clorofila transforman compuestos inorgánicos (agua y bióxido de carbono) en compuestos orgánicos (Azucares principalmente y oxígeno. La fotosíntesis tiene una importancia vital en el sostenimiento de la vida, ya que los animales al consumir las plantas consumimos los compuestos orgánicos elaborados por las plantas y los animales la exhalar liberamos bióxido de carbono que utilizan las plantas para realizar la fotosíntesis, por lo cual existe un equilibrio sumamente delicado en este proceso. La reacción química de la fotosíntesis es: CO2 + H2O → C6H12O6 + O2 Si cuentas los números de carbono que hay en los reactivos y los comparas con los existentes en los productos puedes observar que no se cumple la ley de la conservación de la materia. Establece ecuaciones matemáticas que relacionen los elementos presentes con los reactivos y los productos Resuelve dichas ecuaciones dándole un valor a la literal que más se repita.

La Actividad 5 se considera un problema no rutinario donde el alumno, para

poder

resolverla,

tendrá que poner en juego los

conocimientos

adquiridos

durante

experiencia. Esta actividad también

puede

ser

considerada

como

Modelación

Matemática,

que

aplica

sus

conocimientos matemáticos

otros

ámbitos del conocimiento,

en este caso a la Química, y busca que se cumpla la ley de la conservación de la materia. 42

5 ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES En esta sección se describen los resultados obtenidos en las hojas de trabajo de los alumnos así como una descripción de las incidencias observadas durante el desarrollo del experimento; también se incluye un apartado para las conclusiones.

5.1 Análisis de los Resultados Como se explicó en la metodología de trabajo, los alumnos realizaron las actividades en equipos y en cada hoja de trabajo se solicitó a los estudiantes que registraran su número de identificación que sirvió como identificación; en esta investigación se decidió realizar el seguimiento de los alumnos 7, 9, 10, 15, 16 y 25 debido a que muestran habilidades de pensamiento tanto de aprendices, intermedios y avanzados, así como durante la realización de los ejercicios se presentaron incidentes los cuales son merecedores de analizarse. 5.1.1 Actividad 1 La Actividad 1 tiene básicamente dos propósitos, por una parte que los alumnos se acostumbre a la dinámica de trabajo en equipo así como en la resolución de problemas, y por otro un lado empezar a conocer los sistemas de ecuación lineales y sus resoluciones. El tiempo planeado para esta actividad fue de una sesión (45 min), sin embargo, en la práctica se vio la necesidad de adaptarnos al ritmo de trabajo de los alumnos, por lo cual el tiempo real ocupado fue de dos sesiones, cabe hacer mención que al momento de interrumpir la primera sesión no se dejó ningún trabajo extra clase. La sesión comenzó formando equipos integrados por dos alumnos y un equipo de tres, a los cuales se les presenta un problema en unas hojas de trabajo. En dicha hoja sólo se les pide buscar dos números y para poder resolverlo el docente propone primero la búsqueda de las expresiones algebraicas que cumplan con el enunciado. Una vez encontrados las expresiones, se solicitan dos actividades adicionales: el despeje de ambas expresiones matemáticas, y la realización de una tabulación dándole valores a la literal despejada. Cabe aquí mencionar un dato interesante: algunos equipos empezaron a preguntar a partir de qué valores deberían comenzar la tabla, lo cual dio pie a una discusión para que ellos mismos respondieran a la pregunta. Un equipo comentó que los valores de la incógnita deberían

tener valores negativos, la gran mayoría de los equipos respondió estar de acuerdo. Sin embargo, sólo un equipo no estuvo de acuerdo argumentado que deberían ser números positivos porque la literal representa edades y no existen edades negativas. Esta argumentación del equipo cambió la perspectiva de los alumnos, por ello, la gran mayoría decidió empezar a darle valor a la incógnita a partir de 10 hasta los 60 para ambas expresiones matemáticas. Fue en este momento en el cual, debido al tiempo, se cortó la sesión reanudándose dos días después. La segunda sesión empezó con la tabulación y conforme terminaban se les solicitaba que graficaran los datos. Una vez terminada la actividad se requirió que buscaran el punto en donde se intersecan ambas rectas y sustituyeran dichos valores en las expresiones originales. Los alumnos al obtener las coordenadas de punto de intersección y sustituirlas en las expresiones lograron visualizar que estos valores son aquellos que satisfacen las condiciones originales. Para evaluar la actividad planeada se utilizaron una lista de cotejo y una matriz de resultados, y de acuerdo con ambos instrumentos los alumnos se clasifican en una rúbrica. Los alumnos 9 y 15 trabajaron en el mismo equipo, por lo que se analizó el mismo instrumento para ambos.

Matriz de resultados Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Alumno : 7 Pregunta El papá de Julio pesa 42 Kg más que Julio; si los dos juntos pesan 138 Kg ¿Cuánto pesa cada uno? a.- Encuentra las expresiones matemáticas que represente ambas condiciones b.- Tabula una de las expresiones dándole valores a x c.- Tabula la segunda expresión matemática dándole valores a x d.- Grafica ambas tablas e.- ¿En qué punto se interceptan las rectas? ¿Qué coordenadas tiene ese punto? ¿Qué valor tiene “x” y “y” en el punto donde se interceptan las rectas? ¿Qué me puedes decir se de esos números? Respuesta Esperada Sea x el peso del papá de Julio Sea y el peso de julio Entonces a) x = y +42 ; y = x - 42 x + y = 138 ; y = 138 – x b) x y = x - 42 42 y= 42 – 42 = 0 60 y = 60 – 42 = 18 70 y = 70 – 42 = 28 80 y = 80 – 42 = 38 90 y = 90 – 42 = 48

c) x 42 60 70 80 90

y = 138-x y = 138 -42 = 96 y = 138 -60 = 78 y = 138 -70 = 68 y = 138 -80 = 58 y = 138 -90 = 48

e) Se interceptan en las coordenadas (90,40) el valor de x es de 90 y el valor de y es de 48, lo que implica que el papá de Julio tiene 90 años y Julio 48 Comprobación x = y +42 x + y = 138 90 = 48 + 42 90 + 48 = 138 90 = 90 138 = 138

Respuestas obtenidas

Observaciones El equipo no presenta la grรกfica, Nivel alcanzado: Aprendiz

Respuestas obtenidas

Observaciones Durante el desarrollo de la actividad el alumno 9 presenta dificultades para realizar la actividad, sin embargo su compa単ero el alumno 15 le ayuda para que entienda el procedimiento. No visualizan que no pueden existir edades negativas. En un momento de la actividad expresan de manera verbal el resultado al discutir sus procedimientos de forma grupal. Al alumno 9 se le considera como un aprendiz y al alumno 15 Intermedio

Respuestas obtenidas

Observaciones El alumno realiz贸 las actividades muy r谩pido, Grafica de manera correcta pero no expresa de manera escrita el resultado, no lo verifica; sin embargo al exponer su procedimiento expresa de manera verbal el resultado. Se considera un alumno de nivel intermedio.

Respuestas obtenidas

Observaciones Las expresiones algebraicas no las expresa correctamente, Realiza la tabulaci贸n pero al graficarlas son completamente diferentes a las que expresa en tu tabulaci贸n. Llega a los resultados pero no por m茅ritos propios ya que sus resultados los modifica al momento de la discusi贸n de los resultados. Se considera un alumno de nivel Intermedio

Respuestas obtenidas

Observaciones Presenta una dificultad en una ecuaci贸n, ya que la edad de julio la representa con signo negativo, al preguntarle al docente le sugiere que multiplique toda la expresi贸n por -1. No expresa en las hojas de trabajo el resultado, sin embargo si lo expresa de manera verbal y realiza solo una comprobaci贸n. Se considera al alumno en un nivel Intermedio

Lista de Cotejo 7

Conceptos: /Alumno: Elabora una estrategia para la resolución del No Si Si Si Si Si problema (HP5) Identifica las incógnitas de las ecuaciones Si Si Si Si Si Si (HP1) Representa el problema con expresiones No Si Si Si Si Si matemáticas (HP2) Construye una tabulación (HP3) Si Si Si Si Si Si Construye la gráfica de las ecuaciones No Si Si Si No Si (HP5) Compara las características de las curvas en NA NA NA NA NA NA las gráficas (HP4) Formula una hipótesis sobre el resultado No No No No Si No obtenido (HP5) Despejes de las ecuaciones adecuadamente No Si Si Si No No (HP3) Sustituye adecuadamente los valores que encuentra en las expresiones matemáticas No Si Si Si No No (HP3) Prueba los resultados obtenidos (HP4) No No No si Si Si Construye el modelo matemático que se le NA NA NA NA NA NA solicita (HP4) Encuentra la solución del problema (HP4) No No No No No Si Habilidad de Pensamiento (HP): 1: Recordar; 2: Entender; 3: Aplicar; 4: Analizar; 5: Crear

Resolución de sistemas de ecuaciones

7 9

Rúbrica Intermedio - Identificar las incógnitas de la ecuación. - Realiza las operaciones para llegar a la solución de la ecuación. - Encuentra la solución de las ecuaciones pero con errores - No realiza correctamente las operaciones con las incógnitas. - No grafica de manera correcta. - No tabula de manera correcta

10 15 16 25

NOTA: Construye un modelo matemático pero con errores

5.1.2 Actividad 2 Esta actividad se planeó para una sesión y empezó con la formación de los integrantes de los equipos. Se puede mencionar que existieron dos dificultades principalmente, la primera es como podían expresar una cantidad porcentual, y para resolver dicha duda se realizó una plenaria, la segunda dificultada consistió en que varios de los equipos trataron de resolver la actividad a partir de la graficación, lo cual no pudieron por la exactitud del método, a lo cual algunos equipos compartieron información para ver métodos alternativos. Al igual que en la actividad 1 se utilizaron los mismos instrumentos de evaluación y es de destacar que los alumnos 7 y 15 trabajaron como integrantes del mismo equipo. En el análisis realizado en la actividad 2, se observa que todos los equipos utilizan como estrategia de resolución el método de igualación, por ellos se decido utilizar una segunda sesión para realizar un foro y comentar su estrategia utilizada, se aprovechó la oportunidad la mostrar la solución al ejercicio a través de los métodos de sustitución y de suma y resta. Al final cada alumno tuvo la oportunidad de revisar su estrategia utilizada y hacer un comparativo de los diferentes métodos, en su gran mayoría de los equipos manifiestan su preferencia hacia el método de igualación.

Matriz de resultados Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Alumno : 7, 15 Pregunta A fin de año, un gerente de cierta empresa ha decido invertir sus ahorros del año en el banco Serfin el cual le da una tasa de interés del 4.5% anual, y además, invertir todo su aguinaldo en el banco Banamex proporcionándole una tasa de interés del 7.2% anual. Después de transcurrir un año recibe la cantidad de $8,280.00 pesos intereses por ambas cuentas. Si el gerente hubiese invertido la cantidad de dinero en ambas cuentas hubiera obtenido $8,685.00 pesos por amabas cuentas a.- ¿Cuánto había ahorrado el gerente a fin de año? b.- ¿Cuál fue el monto de aguinaldo que recibió? Respuesta Esperada x = ahorros y = aguinaldo (1) 0.045x + 0.072y = 82899 (2) 0.072x + 0.045y = 8685

OPCIÓN 2 ( (

OPCIÓN 1

) )

_________________________________ (

)

(

) (

(

)

OPCIÓN 3 De (1) despejar y Sustituir en (2) (

)

(

)

Respuestas obtenidas

Observaciones Los alumnos utilizan el mĂŠtodo de igualaciĂłn. Por su desempeĂąo el alumno 7 se considera en esta actividad como un alumnos intermedio y al alumno 15 como avanzado

Respuestas obtenidas

Observaciones El alumno utiliza el m茅todo de igualaci贸n, manifiesta tener dificultades en c贸mo expresar las ecuaciones, presenta dificultades para realizar operaciones, posteriormente corrige su estrategia, solo realiza una verificaci贸n de los resultados Se considera un alumno Intermedio

Respuestas obtenidas

Observaciones El alumno no presenta dificultades con las expresiones porcentuales, el alumno es quien observa que al despejar una de las literales esta es la misma para las diferentes ecuaciones por lo cual propone igualar las ecuaciones, presenta ligeros problemas al realizar la operaci贸n pero el mismo corrige su estrategia, llega a los resultados, pero no especifica la respuesta y solo comprueba una ecuaci贸n. Se considera un alumno avanzado

Respuestas obtenidas

Observaciones Presenta dificultades con la tasa de intereses, trata de buscar cantidades, no presenta dificultades en los despejes, aunque utiliza como estrategia segmentar las operaciones, solamente hace una verificaci贸n de las ecuaciones y no especifica las respuestas. El alumno se considera de nivel intermedio.

Respuestas obtenidas

Observaciones Presenta al inicio dificultades para expresar la tasa de inter茅s, no presenta problemas para igualar ni tampoco para realizar las operaciones, realiza solamente una comprobaci贸n, llega a la soluci贸n matem谩tica del problema pero no responde las preguntas. Considerado como alumno Intermedio.

Lista de Cotejo 7

Conceptos: /Alumno: Elabora una estrategia para la resolución del Si Si Si Si Si Si problema (HP5) Identifica las incógnitas de las ecuaciones Si Si Si Si Si Si (HP1) Representa el problema con expresiones Si Si Si Si Si Si matemáticas (HP2) Construye una tabulación (HP3) NA NA NA NA NA NA Construye la gráfica de las ecuaciones (HP5) NA NA NA NA NA NA Compara las características de las curvas en las NA NA NA NA NA NA gráficas (HP4) Formula una hipótesis sobre el resultado Si Si Si Si Si Si obtenido (HP5) Despejes de las ecuaciones adecuadamente Si Si Si Si Si Si (HP3) Sustituye adecuadamente los valores que encuentra en las expresiones matemáticas Si Si Si Si Si Si (HP3) Prueba los resultados obtenidos (HP4) Si Si Si Si Si Si Construye el modelo matemático que se le NA NA NA NA NA NA solicita (HP4) Encuentra la solución del problema (HP4) Si Si Si Si Si Si Habilidad de pensamiento (HP): 1: Recordar; 2: Entender; 3: Aplicar; 4: Analizar; 5: Crear

Resolución de sistemas de ecuaciones

7 9 16 25

Avanzado - Identifica las incógnitas de la ecuación. - Realiza las operaciones para llegar a la solución de la ecuación. - Encuentra la solución de las ecuaciones.

10 15

NOTA: Construye un modelo matemático y es capaz de transferir sus conocimientos aprendidos a otros problemas semejantes.

NOTA: Construye un modelo matemático pero con errores

5.1.3 Actividad 3 Esta actividad fue diseñada para realizarse en una sola sesión, sin embargo, la actividad se desarrolló en dos sesiones. En la primera sesión se integraron los equipos de trabajo y todos lograron ajustar el modelo a una lineal, sin embargo, tardaron mucho en realizar el ajuste a una cuadrática, por ello, este procedimiento se concluyó en la segunda sesión así como un foro para comentar las experiencias que los alumnos tuvieron durante la realización de la actividad 3. Ninguno de los equipos analizados logro obtener sin errores los modelos solicitados, se observa principalmente problemas con signos al momento de despejar, sin embargo, dada la complejidad de las operaciones se considera que los alumnos de manera general obtienen resultados satisfactorios en el dominio de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Matriz de resultados Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Alumno : 7 Pregunta En el año 2002, el investigador Doraida R. Díaz Cueller publicó un artículo donde se muestra la tasa de crecimiento de cierta especie de pollos, su resultados de muestran en la siguiente gráfica Semana de vida del Peso en pollo gramos 1 200 2 400 3 700 4 1200 5 1750 a.- Grafica los puntos de la tabla b.- Determina una función lineal que prediga el comportamiento de los pollos (y=mx+b) c.- Grafica la función que has determinado ¿Pasa por o cerca de los puntos de la gráfica de crecimiento de los pollos? ¿Tu modelo entonces es el correcto? d.- Obtén una función de tipo cuadrática que se ajuste al crecimiento de los pollos (y=ax 2+bx+c). e.- Grafica la función cuadrática ¿Pasa por la mayoría de los puntos de la gráfica de crecimiento de los pollos? ¿Este modelo es correcto?

Respuesta Esperada AJUSTE A UNA LINEAL ( ) (

(

)

________________________

1200 = 4(400) + b 1200 = 1600 + b 1200 – 1600 = b b= -400 Ecuación obtenida y= 400x – 400 x y=400x-400 1 y=400(1)-400=0 2 y=400(2)-400=400 3 y=400(3)-400=800 4 y=400(4)-400=1200 5 y=400(5)-400=1600

)

AJUSTE A UNA CUADRÁTICA

(1) (2) (3)

( ) ( ) ( )

( ( ) ( )

)(

)

De (1) c=200-a-b En (2) 700 =9a+3b+(200-a-b) 700=8a+2b+200 700-200=8a+2b 500=8a+2b (4) De (3) sustituir c 1750=25a+5b+(200-a-b) 1750=24a+4b+200 1750-200=24a+4b 1500=24a+4b (5) Con (4) y (5) 500=8a+2b (-2) 1550=24a+4b _____________ -1000 = -16a-4b 1500= 24a+4b _______________ 550=8a

En (4) 500=8(68,75)+2b 500=550+2b;

b=-25

C=200-68.75+25 C=156.25 ECUACIÓN OBTENIDA

Grรกfica

Respuestas obtenidas

Observaciones Al ajustar a una cuadrรกtica la tabulaciรณn la realiza las operaciones de forma incorrecta dรกndole una grรกfica incorrecta. Se clasifica al alumno como Intermedio

Respuestas obtenidas

Observaciones Al ajustar a una cuadrรกtica la tabulaciรณn la realiza las operaciones de forma incorrecta dรกndole una grรกfica incorrecta. Se clasifica al alumno como Intermedio

Respuestas obtenidas

Observaciones El alumno presenta una equivocaciรณn en el ajuste a una lineal al obtener el valor del b debido a un mal despeje. Para el ajuste a una cuadrรกtica sus operaciones, tabulaciones y graficas las realiza bien de acuerdo al modelo que obtuvo, sin embargo este presenta un error debido a que se equivoca con una operaciรณn en los signos dรกndole un valor errรณneo en b. Se considera al alumno como Intermedio

Respuestas obtenidas

Observaciones El ajuste a un modelo cuadr谩tico presenta el error al realizar un despeje por lo cual el valor de be es err贸neo y eso provoca que ce tambi茅n sea err贸neo, sin embargo, salvo ese error las operaciones son correctas. Se considera la Alumno como Avanzado

Respuestas obtenidas

Observaciones Al ajustar a una cuadrรกtica la tabulaciรณn la realiza las operaciones de forma incorrecta dรกndole una grรกfica incorrecta, se clasifica al alumno como Intermedio.

Respuestas obtenidas

Observaciones El alumno no presenta dificultades para Ajustar el modelo a una lineal, presenta problemas al obtener el valor de b al aplicar mal una operaci贸n con signos, no logra terminar el ejercicio falt谩ndole la tabulaci贸n, la gr谩fica y no responde a la pregunta. Se considera al alumno como intermedio

Lista de Cotejo 7

Conceptos: /Alumno: Elabora una estrategia para la resolución del Si Si Si Si Si Si problema (HP5) Identifica las incógnitas de las ecuaciones Si Si Si Si Si Si (HP1) Representa el problema con expresiones Si Si Si Si Si Si matemáticas (HP2) Construye una tabulación (HP3) Si Si Si Si Si No Construye la gráfica de las ecuaciones Si Si Si Si Si No (HP5) Compara las características de las curvas en No Si Si No No No las gráficas (HP4) Formula una hipótesis sobre el resultado No No Si Si No No obtenido (HP5) Despejes de las ecuaciones adecuadamente Si Si No No No Si (HP3) Sustituye adecuadamente los valores que encuentra en las expresiones matemáticas No No Si No No No (HP3) Prueba los resultados obtenidos (HP4) No No Si Si No No Construye el modelo matemático que se le Si Si Si Si No Si solicita (HP4) Encuentra la solución del problema (HP4) No No Si Si Si No Habilidad de pensamiento (HP): 1: Recordar; 2: Entender; 3: Aplicar; 4: Analizar; 5: Crear

Resolución de sistemas de ecuaciones

7 9 10 16 25

Avanzado - Identifica las incógnitas de la ecuación. - Realiza las operaciones para llegar a la solución de la ecuación. - Encuentra la solución de las ecuaciones.

NOTA: Construye un modelo matemático y es capaz de transferir sus conocimientos aprendidos a otros problemas semejantes.

NOTA: Construye un modelo matemático pero con errores

5.1.4 Actividad 4 En esta actividad se muestran al estudiante tres condiciones que tiene que expresar matemáticamente y posteriormente por medio de algún método resolver el sistema de ecuaciones. El tiempo destinado para la realización de la actividad fue de una sesión, siendo suficiente, y no se requirió de mayor tiempo. Uno de los objetivos principales de la actividad, consiste en verificar el grado de dominio de los métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. Se observa en la gran mayoría de los estudiantes no presentan dificultades en utilizar algún método, sus errores más comunes son los despejes de alguna literal o las operaciones con los signos; además en este ejercicio utilizan literales diferentes a “x”, “y” y “z” y solo comprueban el resultado con una ecuación. Matriz de resultados Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Alumno : 7 Pregunta Tres comerciantes viajan a San Martín Texmelucan, Puebla, lugar muy conocido debido a la venta de ropa y calzado a muy buenos preciso. El primer comerciante ha comprado 3 pantalones, 2 camisas y 1 par de zapatos, a lo cual pago $2,830.00 pesos. El segundo comerciante compró 2 pantalones, 4 camisas y 3 pares de zapatos, pagando por los productos $3,790.00 pesos. El último comerciante ha comprado 1 pantalón, 3 camisas y 2 pares de zapatos y pagó $2,410.00 pesos. Calcula el costo de cada pantalón, camisa y cada par de zapatos. Respuesta Esperada Sea p= pantalones, c=camisas y z=zapatos; entonces (1) 3p + 2c + 1z =2800 (2) 2p + 4c + 3z = 3790 (3) 4p + 3c + 2z = 2410 De (3) p= 2410 – 3c – 2z (4) Sustituyendo en (4) en (1) se obtiene: 3(2410-3c-2z)+2c+1z=2830 7230-9c-6z+2c+1z=2830 -7z-5c=-4400 (5) Sustituyendo (4) en (2) 2(2410-3c-2z)+4c+3z=3790 4820-6c-4z+4c+3z=3790 4820-2c-z=3790 -2c-z=-1030 z=1030-2c (6) Sustituyendo (6) en (5) -7c-5(1030-2c)=-4400 -7c-5150+10c=-4400 -7c+10c=-4400+5150 3c=750

Sustituyendo c en (6) -2(250)-z=-1030 -500-z=-1030 -z=-530 z=530 Sustituyendo los valores de c y z en (4) P=2410 -3(250)-2(530) P=600 Comprobaciones: 3p+2c+z=2830 3(600)+2(250)+530=2830 2830=2830 2p+4c+3z=3790 2(600)+4(250)+3(530)=3790 3790=3790 P+3z=2410 600+3(250)+2(530)=2410 2410=2410 Resultado: Un pantalón cuesta $600.00 Una camisa cuesta $250.00 Un par de zapatos cuesta $530.00

Respuestas obtenidas

Observaciones: Utiliza dos métodos para resolver las ecuaciones, el método de sustitución y el de suma y resta, comprueba en una sola ecuación sus resultados, llega a los valores de la incógnita pero no especifica el valor de cada prenda. Nivel Alcanzado: Avanzado

Observaciones: Logra obtener dos ecuaciones con dos inc贸gnita, dichas ecuaciones trata de resolverla por el m茅todo de suma y resta pero no concluye el procedimiento, por lo cual no obtiene los resultados. Nivel Alcanzado: Intermedio

Respuestas obtenidas

Observaciones: Se observa dominio en los m茅todos de resoluci贸n de problemas, logra obtener los resultados pero no especifica los precios de cada prenda. Nivel alcanzado: Avanzado

Respuestas obtenidas

Observaciones: Hoja de trabajo ordenado y con pocos borrones, dominio avanzado de los procedimientos, determina correctamente los valores de las inc贸gnitas pero no especifica el valor de cada prenda, comprueba el valor de las literales en una ecuaci贸n pero para 茅l un n煤mero igual al mismo es igual a cero igual a cero Nivel alcanzado: Avanzado

100

Respuestas obtenidas

101

Observaciones: Obtiene los resultados correctos de los valores de las literales, aunque presenta ciertas dificultades para los despejes, sustituye las literales iniciales por otras utilizad los m茅todos de sustituci贸n y suma y resta para obtener los valores de las inc贸gnitas, comprueba los resultados en una sola ecuaci贸n. Nivel Alcanzado: Avanzado

102

Respuestas obtenidas

103

Observaciones: Presenta dificultadas en el m茅todo de sustituci贸n pero logra corregir sus errores, comprueba sus resultados solamente en una ecuaci贸n no espec铆fica el costo de las prendas. Nivel alcanzado: Avanzado

104

Lista de Cotejo 7

Conceptos: /Alumno: Elabora una estrategia para la resolución del Si Si Si Si Si Si problema (HP5) Identifica las incógnitas de las ecuaciones Si Si Si Si Si Si (HP1) Representa el problema con expresiones Si Si Si Si Si Si matemáticas (HP2) Construye una tabulación (HP3) NA NA NA NA NA NA Construye la gráfica de las ecuaciones NA NA NA NA NA NA (HP5) Compara las características de las curvas en NA NA NA NA NA NA las gráficas (HP4) Formula una hipótesis sobre el resultado Si No Si Si Si Si obtenido (HP5) Despejes de las ecuaciones adecuadamente Si No Si Si Si Si (HP3) Sustituye adecuadamente los valores que encuentra en las expresiones matemáticas Si No Si Si Si Si (HP3) Prueba los resultados obtenidos (HP4) Si No Si Si Si Si Construye el modelo matemático que se le NA NA NA NA NA NA solicita (HP4) Encuentra la solución del problema (HP4) Si No Si Si Si Si Habilidad de pensamiento (HP): 1: Recordar; 2: Entender; 3: Aplicar; 4: Analizar; 5: Crear

Resolución de sistemas de ecuaciones

Avanzado - Identifica las incógnitas de la ecuación. - Realiza las operaciones para llegar a la solución de la ecuación. - Encuentra la solución de las ecuaciones.

7 10 15 16 25

NOTA: Construye un modelo matemático y es capaz de transferir sus conocimientos aprendidos a otros problemas semejantes.

NOTA: Construye un modelo matemático pero con errores

105

5.1.5 Actividad 5 Esta Actividad es considera de cierre, en ella se toma una ecuación Química en donde por medio de un sistema de ecuaciones se debe balancear dicha expresión para cumplir con la ley de la conservación de la materia. El mayor problema que encontraron los alumnos fue la obtención de resultados en números racionales y estas soluciones no pueden ser satisfactorias para el problema, por ello se toma como estrategia la multiplicar todos los resultados por un término común para que los coeficientes del balanceo sean enteros. Tres alumnos de los analizados expresan la ecuación Química balaceada, es decir, regresan al problema original para expresar adecuadamente la ecuación Química. La Actividad estuvo planeada para una sesión y no fue necesario sesiones adicionales.

Matriz de resultados Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Alumno : 7 Pregunta La fotosíntesis es un proceso en donde los organismos con clorofila, (como las plantas verdes, las algas y algunas bacterias), capturan energía en forma de luz y la transforman en energía química. Esta conversión se logra cuando los organismos con clorofila transforman compuestos inorgánicos (agua y bióxido de carbono) en compuestos orgánicos (Azucares principalmente y oxígeno. La fotosíntesis tiene una importancia vital en el sostenimiento de la vida, ya que los animales al consumir las plantas consumimos los compuestos orgánicos elaborados por las plantas y los animales la exhalar liberamos bióxido de carbono que utilizan las plantas para realizar la fotosíntesis, por lo cual existe un equilibrio sumamente delicado en este proceso. La reacción química de la fotosíntesis es: CO2 + H2O → C6H12O6 + O2 Si cuentas los números de carbono que hay en los reactivos y los comparas con los existentes en los productos puedes observar que no se cumple la ley de la conservación de la materia. Establece ecuaciones matemáticas que relacionen los elementos presentes con los reactivos y los productos Resuelve dichas ecuaciones dándole un valor a la literal que más se repita.

106

Respuesta Esperada

Establecer literales para cada compuesto químico Establece la relación de las incógnitas con los elementos correspondientes: Para el Carbono: a = 6c … (1) Para el Oxígeno: 2a + b = 6c + 2 d …(2) Para el Hidrógeno: 2b = 12c ….(3) Establecer un valor para la incógnita que más se repite; a=2 Por lo tanto:

De (3):

( )

En (2):

( )

Valores encontrados a=2 b=2 c= d=2 Todos los valores se multiplican por tres para obtener valores enteros: a=2 x 3=6 b=2 x3 = 6 c= x 3 =1 d=2x 3 =6 Por lo tanto la ecuación balanceada queda: 6CO2 +6 H2O → C6H12O6 + 6O2 Comprobación

Carbonos: 6 =6 Oxígenos:12+6 = 6 + 12; 18=18 Hidrógenos: 12 =12

107

Respuestas obtenidas

Observaciones: Resuelve la actividad de manera correcta, sin embargo no expresa la reacci贸n qu铆mica balanceada. Nivel alcanzado: Avanzado

108

Respuestas obtenidas

109

Observaciones Obtiene las ecuaciones, Resuelve los sistemas de ecuaciones, Convierte los resultados a enteros, Balancea la ecuaci贸n, Comprueba sus resultados Nivel alcanzado: Avanzado

110

Respuestas obtenidas

111

Observaciones Resuelve la actividad de manera correcta, sin embargo no expresa la reacci贸n qu铆mica balanceada. Nivel alcanzado: Avanzado

112

Respuestas obtenidas

Observaciones Resuelve la actividad de manera correcta, sin embargo no expresa la reacci贸n qu铆mica balanceada. Nivel alcanzado: Avanzado

113

Respuestas obtenidas

Observaciones Nivel Alcanzado: Avanzado

114

Respuestas obtenidas

115

Observaciones Nivel Alcanzado: Avanzado

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Lista de Cotejo 7

Conceptos: /Alumno: Elabora una estrategia para la resolución del Si Si Si Si Si Si problema (HP5) Identifica las incógnitas de las ecuaciones Si Si Si Si Si Si (HP1) Representa el problema con expresiones Si Si Si Si Si Si matemáticas (HP2) Construye una tabulación (HP3) NA NA NA NA NA NA Construye la gráfica de las ecuaciones NA NA NA NA NA NA (HP5) Compara las características de las curvas en NA NA NA NA NA NA las gráficas (HP4) Formula una hipótesis sobre el resultado No Si No No Si Si obtenido (HP5) Despejes de las ecuaciones adecuadamente Si Si Si Si Si Si (HP3) Sustituye adecuadamente los valores que encuentra en las expresiones matemáticas Si Si Si Si Si Si (HP3) Prueba los resultados obtenidos (HP4) Si Si Si Si Si Si Construye el modelo matemático que se le NA NA NA NA NA NA solicita (HP4) Encuentra la solución del problema (HP4) Si Si Si Si Si Si Habilidad de pensamiento (HP): 1: Recordar; 2: Entender; 3: Aplicar; 4: Analizar; 5: Crear

Resolución de sistemas de ecuaciones

Rúbrica Intermedio - Identificar las incógnitas de la ecuación. - Realiza las operaciones para llegar a la solución de la ecuación. - Encuentra la solución de las ecuaciones pero con errores

Avanzado - Identifica las incógnitas de la ecuación. - Realiza las operaciones para llegar a la solución de la ecuación. - Encuentra la solución de las ecuaciones.

- No realiza correctamente las operaciones con las incógnitas. - No grafica de manera correcta. - No tabula de manera correcta

NOTA: Construye un modelo matemático y es capaz de transferir sus conocimientos aprendidos a otros problemas semejantes.

7 9 10 15 16 25

NOTA: Construye un modelo matemático pero con errores

117

5.1.6 Resultados finales Para poder realizar el análisis de las 5 actividades y contestar la pregunta de investigación, Se concentran los resultados de las cinco rubricas en una rúbrica final y poder visualizar el avance de los 6 estudiantes analizados. Actividades: Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5

Aprendiz 7, 9

Rubrica Final Intermedio 15, 10, 16, 25 7, 9, 16, 25 7, 9, 10, 25 9

Avanzado 15, 10 15, 16 7, 10, 15, 16,25 7, 9, 10, 15, 16, 25

Con esta Rúbrica final se puede observar que al inicio del experimento los alumnos se encuentran en los niveles de aprendiz e intermedio, y conforme avanzan las actividades van adquiriendo niveles más altos, hasta alcanzar el nivel avanzado.

5.2 Conclusiones Consideramos que el trabajo presentado presenta puntos importantes para su investigación, los cuales son: 1.- En

la búsqueda

de referencias para la realización del trabajo, no se encontró

información sobre Modelación Matemática aplicadas a la enseñanza-aprendizaje en la Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. Lo anterior, nos hace pensar en la necesidad de plantear una estrategia la cual englobe tanto la Modelación Matemática como la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales, esto es debido a la importancia del tema en los cursos no solo de Matemáticas, sino también su vinculación con otras áreas del conocimiento. 2.- En base a las características que presenta el modelo de enseñanza-aprendizaje Aprender Matemática, Haciendo Matemática, creemos se pueda abordar el tema de resolución de Sistemas de Ecuaciones lineales con las adecuaciones necesarias. Los resultados observados en las primeras Actividades, muestran que los alumnos presentan dificultades en pasar del lenguaje común al lenguaje matemático. Sin embargo, conforme pasan las actividades esta dificultad se ve disminuida. Se presentaron dificultades durante todas las Actividades en la realización de despejes, pero conforme realizan la secuencia de actividades su frecuencia disminuye, aunque no desaparece por completo.

118

Operar con cifras negativas implica dificultades mayores, se observa que “olvidan” o “cambian” los signos, este error se presenta principalmente en la hoja de trabajo 4. En el Ejercicio 2, las operaciones con porcentajes representan dificultades adicionales a la resolución de sistemas de ecuaciones lineal; estas operaciones, una vez explicadas, facilitan la ejecución de los ejercicios. Los alumnos no presentan grandes dificultades al graficar, sin embargo, no visualizan que desde el contexto del ejercicio no puede haber cifras negativas. En todos los casos cuando logran resolver los ejercicios suceden dos cosas: la primera al momento de llegar a la solución de las ecuaciones no contextualizan los resultados, en segundo término, verifican los resultados a lo sumo en una sola ecuación. En la hoja de trabajo 5, se pensó que se les llevaría más tiempo terminar la actividad, sin embargo manifiestan que dicho trabajo les fue sumamente fácil. Los estudiantes manifestaron en un foro de discusión que la Actividad más difícil fue la 3, debido a que para resolverla requirieron varias estrategias, pero a partir de ese momento, las demás actividades fueron, desde su punto de vista más sencillas. El método de sustitución lo ocupan hasta la Actividad 4, lo que presupone ser el método de mayor preferencia. Con el análisis de los instrumentos de evaluación utilizados durante la investigación podemos contestar la pregunta de investigación: ¿Qué papel tiene la Modelación Matemática en el aprendizaje de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales en el contexto de Aprender Matemática, Haciendo Matemática?, para responder esta pregunta se hacen las siguientes observaciones: 1.- Con base en la rúbrica final, es posible concluir que utilizando el modelo de enseñanza aprendizaje Aprender Matemática, Haciendo Matemática, en particular con el uso de la Modelación Matemática como un medio para aprender la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, es posible hacer que los estudiantes pasen del nivel de aprendiz al nivel de avanzado, por tanto el papel que se tiene es positivo.

119

2.- No obstante, no es posible decir que estos resultados sean concluyentes, aunque nos dan la pauta para seguir con investigaciones similares que apunten hacia una mejor caracterizaci贸n de los niveles de conocimiento expresados en la r煤brica, con el fin de determinar con m谩s detalle el grado de comprensi贸n.

120

6 TRABAJOS FUTUROS El análisis del trabajo de investigación, nos permite sugerir algunos trabajos futuros con el fin de mejorar las estrategias utilizadas, sobre todo a partir de los errores más frecuentes:  Las principales dificultades para los estudiantes fueron: manejar porcentajes, operaciones de despejes y operaciones con signos negativos. Por tanto sería positivo realizar investigaciones en estos temas a partir de nuestro modelo de enseñanza, Aprender Matemática, Haciendo Matemática  En casi todos los ejercicios, las literales que utilizan los estudiantes son “x”, “y” y “z”, al parecer el uso de literales no representa grandes dificultades, pero suponemos que los estudiantes no visualizan la posibilidad de utilizar otras literales, debido posiblemente a dificultades en la transición del lenguaje común al lenguaje matemático. Se sugiere una investigación dentro del modelo Aprender Matemática, Haciendo Matemática sobre este tema.  Nuestro modelo de enseñanza sugiere el uso de Tecnología, en este trabajo no se empleó dicho recurso. Se propone una investigación similar utilizando tecnología.  La actividad 3 está diseñada como una actividad de ajuste de curvas, siendo ésta la de mayor dificultad; sin embargo, es precisamente la actividad 3 la que ayudó de manera específica a que los estudiantes aprendieran los métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Se recomienda una investigación en el uso del ajuste de curvas para aprender estos temas y verificar si efectivamente es este tipo de actividades las que tienen un mayor impacto en el aprendizaje de los métodos de resolución de ecuaciones de sistemas lineales.  En este trabajo no se evalúan los procesos metacognitivos, se sugiere una investigación al respecto.  La actividad final de balanceo de ecuaciones químicas no representa mayor dificultad, ya que no se aplican todos los posibles métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, se sugiere hacer un estudio similar al presente pero exclusivamente con balanceo de ecuaciones químicas.

121

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