U.A.H. Actualización de Conocimientos de Matemáticas para…
1
Tema 5B. Geometría analítica del plano La geometría analítica estudia las relaciones entre puntos, rectas, ángulos, distancias…, de un modo algebraico, mediante fórmulas algebraicas y ecuaciones. Para ello es imprescindible utilizar un sistema de referencia: un punto fijo (origen) y unos ejes (cartesianos) y una orientación. Tal referencia es bien conocida. Aquí se indica de manera breve. Los ejes cartesianos son perpendiculares. En el punto de corte se sitúa el origen: O(0, 0). El eje horizontal se llama eje de abscisas, eje OX, eje de las x. A la derecha del origen las abscisas son positivas; a la izquierda, negativas. El eje vertical se llama eje de ordenadas, eje OY, eje de las y. Por encima del origen las ordenadas son positivas; por debajo, negativas. Cualquier punto del plano se designa por dos números, en general por sus coordenadas x e y: P(x, y). Para calcular la distancia entre dos puntos se aplica el teorema de Pitágoras, “dibujando” un triángulo rectángulo cuyos catetos son paralelos a los ejes. Así, por ejemplo, la distancia entre los puntos A y D de la figura es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 3 y 4. Para medir ángulos, su vértice se sitúa en el punto O, siendo uno de sus lados el eje positivo OX; los ángulos se consideran positivos si se abren en sentido inverso al movimiento de las manecillas de un reloj, y negativos en el mismo sentido de dicho movimiento. El ángulo de inclinación de cualquier recta es el que forma con el eje OX. 7. Vector fijo y vector libre El vector que tiene por origen el punto A y por extremo el punto B, se llama vector fijo AB . •
Módulo del vector AB es la longitud del segmento AB. Se denota AB .
Dirección de AB es la de la recta que contiene a A y a B. • Sentido de AB es el que indica el traslado de A a B. • Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Si AB y •
CD son equipolentes, entonces el polígono de vértices A, B, D y C (en ese orden) es un paralelogramo. • Se llama vector libre a un vector y a todos los que son equipolentes a él; esto es, todos los que se obtienen trasladándolo (paralelamente). Entre ellos tiene especial importancia el que tiene su origen en el origen de coordenadas, en el punto O. Correspondencia entre puntos y vectores Entre puntos de R2 y vectores libres del plano existe una biyección: A cada vector AB , equipolente a OP , se le asocia el punto P. r A cada punto P se le asocia el vector p = OP . r Se escribe, indistintamente, P = (a1 , a 2 ) o p = (a1 , a 2 ) . Así, el vector r OV de la figura es v = (4, 2).
José María Martínez Mediano