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Tema 5B. Geometría analítica del plano La geometría analítica estudia las relaciones entre puntos, rectas, ángulos, distancias…, de un modo algebraico, mediante fórmulas algebraicas y ecuaciones. Para ello es imprescindible utilizar un sistema de referencia: un punto fijo (origen) y unos ejes (cartesianos) y una orientación. Tal referencia es bien conocida. Aquí se indica de manera breve. Los ejes cartesianos son perpendiculares. En el punto de corte se sitúa el origen: O(0, 0). El eje horizontal se llama eje de abscisas, eje OX, eje de las x. A la derecha del origen las abscisas son positivas; a la izquierda, negativas. El eje vertical se llama eje de ordenadas, eje OY, eje de las y. Por encima del origen las ordenadas son positivas; por debajo, negativas. Cualquier punto del plano se designa por dos números, en general por sus coordenadas x e y: P(x, y). Para calcular la distancia entre dos puntos se aplica el teorema de Pitágoras, “dibujando” un triángulo rectángulo cuyos catetos son paralelos a los ejes. Así, por ejemplo, la distancia entre los puntos A y D de la figura es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 3 y 4. Para medir ángulos, su vértice se sitúa en el punto O, siendo uno de sus lados el eje positivo OX; los ángulos se consideran positivos si se abren en sentido inverso al movimiento de las manecillas de un reloj, y negativos en el mismo sentido de dicho movimiento. El ángulo de inclinación de cualquier recta es el que forma con el eje OX. 7. Vector fijo y vector libre El vector que tiene por origen el punto A y por extremo el punto B, se llama vector fijo AB . •
Módulo del vector AB es la longitud del segmento AB. Se denota AB .
Dirección de AB es la de la recta que contiene a A y a B. • Sentido de AB es el que indica el traslado de A a B. • Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Si AB y •
CD son equipolentes, entonces el polígono de vértices A, B, D y C (en ese orden) es un paralelogramo. • Se llama vector libre a un vector y a todos los que son equipolentes a él; esto es, todos los que se obtienen trasladándolo (paralelamente). Entre ellos tiene especial importancia el que tiene su origen en el origen de coordenadas, en el punto O. Correspondencia entre puntos y vectores Entre puntos de R2 y vectores libres del plano existe una biyección: A cada vector AB , equipolente a OP , se le asocia el punto P. r A cada punto P se le asocia el vector p = OP . r Se escribe, indistintamente, P = (a1 , a 2 ) o p = (a1 , a 2 ) . Así, el vector r OV de la figura es v = (4, 2).
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8. Operaciones con vectores libres: suma y multiplicación de un vector por un número r r Si a = (a1 , a 2 ) y b = (b1 , b2 ) , entonces: r r • a + b = ( a1 , a2 ) + (b1 , b 2 ) = ( a1 + b1 , a2 + b2 ) . r r • a − b = (a1 , a 2 ) − (b1 , b 2 ) = (a1 − b1 , a 2 − b2 ) . r r r • λa = (λa1 , λa2 ) . Si λ > 0, λa tiene el mismo sentido que a ; si λ < 0, sentido contrario. Ejemplo: r r Si A = (1, −2) y B = (3, −1), se tendrá: a = (1, −2); b = (3, −1). r r • a + b = (1, −2) + (3, −1) = (4, −3). r r • BA = a − b = (1, − 2) − (3, −1) = (−2, −1). r r • AB = b − a = (3, −1) − (1, −2) = (2, 1). r • 2 a = 2(1, −2) = (2, −4)
Interpretación geométrica de las operaciones con vectores libres Para sumar dos vectores se unen en el origen y se forma un paralelogramo, tal como se indica en la figura; su suma es el vector determinado por la diagonal que parte del origen común. Su diferencia es la otra diagonal. Punto medio de un segmento de extremos A = (a1 , a 2 ) y B = (b1 , b2 ) . Es el extremo del vector 1 OM = OA + AB . Sus coordenadas vienen dadas por 2 a1 + b1 a 2 + b2 M = , . 2 2 Ejemplo: 1+ 5 3 +1 Para A(1, 3) y B(5, 1), su punto medio es M = , = (3, 2 ) 2 2 Combinación lineal de vectores. Bases Dos vectores son linealmente dependientes si tienen la misma dirección. Dos vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección. En el plano, dos vectores no nulos y linealmente independientes (no paralelos) forman una base. r r La base canónica es {u1 = (1,0), u 2 = (0,1)}. 9. Producto escalar de vectores r r Dados los vectores v = (a1 , b1 ) y w = (a2 , b2 ) se define: r r r r r r • Producto escalar ordinario: v ·w = v · w ·cos(v , w) r r • Producto escalar canónico: v ·w = a1 a 2 + b1b2 − Ambas definiciones son equivalentes. − El producto escalar de vectores es un número. Ejemplo: r r r r Si v = (2, −1) y w = (4, 5), su producto escalar v ·w = (2, −1) · (4, 5) = 8 − 5 = 3. r r r r Propiedad: Si v ·w = 0 , entonces v y w son perpendiculares o uno de ellos es el vector 0. r r r r Si los vectores v y w son perpendicular, entonces v ·w = 0 .
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Ejemplo: r r r r Los vectores v = (2, −6) y w = (3, 1) son perpendiculares, pues v · w = 6 − 6 = 0. r r rr 2 2 El módulo de un vector v = (a1 , b1 ) , se define como: v = + v ·v = a1 + b1 Ejemplo: r r r r 2 2 2 2 Si v = (2, −1) y w = (4, 5) ⇒ v = 2 + ( −1) = 14 ; w = 4 + 5 = 41 •
Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos A y B, d(A, B), es igual al módulo del vector AB . Si las coordenadas de esos puntos fuesen A = (a1 , b1 ) y B = (a 2 , b2 ) , entonces AB = (a2 − a1 , b2 − b1 ) ⇒ d(A, B ) = AB = (a 2 − a1 ) 2 + (b2 − b1 ) 2
Ejemplo: (3 − 1) 2 + (−1 − (−2)) 2 = 5 r r Observa que coincide con el módulo del vector AB = b − a = (3, −1) − (1, −2) = (2, 1).
Si A = (1, −2) y B = (3, −1), la distancia, d(A, B) =
Coseno del ángulo que forman dos vectores
r r r s v ·w De la primera definición del producto escalar, se deduce que: cos(v , w) = r r v· w Ejemplo: r r r s r s 3 Para v = (2, −1) y w = (4, 5): cos(v , w) = ⇒ ángulo (v , w) = 77,9º. 5 · 41
Vectores ortogonales y vectores ortonormales. Dos vectores son ortogonales, perpendiculares, si su producto escalar vale cero. Si dos vectores ortogonales tienen módulo 1, se llaman ortonormales. r r a Los vectores de módulo 1 se llaman unitarios. Para cualquier vector a , el vector r es a unitario. Ejemplo: r r r r a = (1, −2) y b = (4, 2) son ortogonales, pues a · b = (1, −2) · (4, 2) = 4 − 4 = 0. r 1 1 r 1 2 2 2 Como a = 1 + ( −2) = 5 , el vector r ·a = (1,−2) = ,− es unitario. a 5 5 5
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10. Ecuaciones de una recta en el plano Una recta es un conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada ecuación. La ecuación general de una recta (que también se llama ecuación implícita o cartesiana) es de la forma: ax + by + c = 0 donde a, b y c son números; x e y son variables, que indican las coordenadas de los puntos de esa recta, siendo x la abscisa e y la ordenada. −Un punto pertenece a una recta cuando cumple su ecuación. −Para representar una recta basta con conocer dos de sus puntos.
−Si a = 0, queda by + c = 0 ⇒ y = −
c ; esto es, y = k , constante. Se trata de una recta b
horizontal, paralela al eje OX. c −Si b = 0, queda ax + c = 0 ⇒ x = − ; esto x = k , constante. Se trata de una recta vertical, a paralela al eje OY.
Ejemplo: Son ecuaciones de una recta las expresiones: (1); (2); 2x − y − 4 = 0 − 3x + 2 y + 6 = 0 x = −1 (3); y=2 (4). El punto (3, −2) pertenece a la recta (1), pues 2 · 3 + (−2) − 4 = 0. Ese punto, (3, −2), no es de ninguna otra recta. Los puntos (0, −3) y (2, 0) son de la recta (2). El punto (1, 2) pertenece a las rectas (1) y (4). Los puntos (−1, 0), (−1, 3), (−1, −1), siempre x = −1, son de la recta (3). Los puntos (−2, 2), (0, 2), (1, 2), siempre y = 2, son de la recta (4). a c Despejando la variable y en la expresión ax + by + c = 0 se obtiene y = − x − , que es la b b ecuación explícita de la recta. Suele escribirse en la forma y = mx + n El coeficiente de la x, m, indica la pendiente de la recta; su valor expresa el incremento de y (lo que sube o baja la recta) por cada desplazamiento unitario de x. Si m > 0, la recta es creciente; si m < 0, la recta es decreciente. Si m = 0 se trata de una recta horizontal; y = n = k . El número n indica el punto de corte de la recta con el eje OY, suele llamarse ordenada en el origen. •
Ejemplos: La recta 2 x − y + 1 = 0 se puede expresar en forma explícita como y = 2 x + 1 . Su pendiente vale 2, y corta al eje OY a la altura y = 1. 1 La recta x + 2 y + 4 = 0 es equivalente a y = − x − 2 . 2 1 Su pendiente vale − y su ordenada en el origen −2. 2
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11. Haz de rectas determinado por un punto El conjunto de todas las rectas que pasan por un punto se llama haz de rectas. Si el punto es P(x0, y0), la ecuación del haz determinado por P es y − y 0 = m( x − x 0 ) . Esas rectas se diferencian por su pendiente.
Ejemplo: El haz de rectas determinado por el punto (−3, 1) es y − 1 = m( x + 3) . Una de esas rectas sería, para m = 1: y − 1 = 1·( x + 3) ⇒ y = x + 4 . Otra recta será, para m = −2, y − 1 = 2·( x + 3) ⇒ y = −2 x − 5 . 12. Rectas paralelas y rectas perpendiculares Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Así, y = mx + n e y = mx + n´ son paralelas. −La ecuación de la recta paralela a y = mx + n que pasa por el punto P(x0, y0), es y − y 0 = m( x − x 0 ) .
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes vale −1. Por tanto, si 1 esas pendientes son m y m´ se tendrá: m · m´ = −1 ⇒ m´= − . Así, las rectas y = mx + n e m 1 y = − x + n´ serán perpendiculares. m −La ecuación de la recta perpendicular a y = mx + n , que pasa por el punto P(x0, y0), es 1 y − y 0 = − ( x − x0 ) . m Ejemplos: Las rectas y = 2 x − 1 e y = 2 x + 2 son paralelas. La paralela a la recta y = 3 x − 4 por el punto P(2, 1) es: y − 1 = 3( x − 2) ⇒ y = 3 x − 5 . 1 Las rectas y = 2 x − 1 e y = − x + 1 son perpendiculares. 2 2 La perpendicular a la recta y = x − 1 por el punto P(3, −4) es: 5 5 5 7 y + 4 = − ( x − 3) ⇒ y = − x + 2 2 2 13. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(x0, y0) y B(x1, y1) es x − x0 y − y0 y − y0 ⇔ y − y0 = 1 = ( x − x0 ) x1 − x0 y1 − y 0 x1 − x0 La misma expresión se obtiene partiendo de la ecuación y = mx + n e imponiendo que los puntos A y B la cumplan.
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Así, como A(x0, y0) debe ser la recta: y0 = mx0 + n como B(x1, y1) debe ser la recta: y1 = mx1 + n De este sistema se deducen los valores de m y n. Ejemplo: La ecuación de la recta que pasa por A(−2, 1) y B(3, 4) será: x − (−2) y − 1 x + 2 y −1 = ⇒ = ⇒ 3( x + 2) = 5( y − 1) ⇒ 3 x − 5 y + 11 = 0 ⇒ 5 3 3 − (−2) 4 − 1 3 11 y = x+ 5 5 Si se parte de y = mx + n , como A(−2, 1) debe ser de la recta: 1 = −2m + n como B(3, 4) debe ser de la recta: 4 = 3m + n Resolviendo el sistema se obtiene: m = 3/5 y n = 11/5. 14. Distancia entre dos puntos del plano
La distancia entre los puntos A(x0, y0) y B(x1, y1) es: d ( A, B ) = ( x1 − x0 ) 2 + ( y1 − y0 ) 2 Nota. En la figura anterior puede verse que la d ( A, B) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden x1 − x0 e y1 − y0. Ejemplo: Dados los puntos A(−4, 1), B(4, 5) y C(6, 1) se tiene: d ( A, B)= (4 − (−4)) 2 + (5 − 1) 2 = 64 + 16 = 80 d ( A, C )= (6 − (−4)) 2 + (1 − 1) 2 = 100 + 0 = 10 d ( B, C )= (6 − 4) 2 + (1 − 5) 2 = 4 + 16 = 20
Observación: Puede comprobarse que el triángulo de vértices A, B y C es rectángulo. 15. Distancia de un punto a una recta La distancia del punto P(x0, y0) a la recta de ecuación ax + by + c = 0 es la menor de las distancias entre el punto P y cualquier punto de la recta; viene dada por el valor de la expresión: d (P( x0 , y0 ), r : ax + by + c = 0 ) =
ax0 + by 0 + c
a 2 + b2 Nota: La ecuación de la recta debe escribirse en su forma general.
Ejemplo: La distancia del punto P(2, 3) a la recta r : −4 x + 5 y + 7 = 0 es d ( P, r ) =
− 4·2 + 5·3 + 7 (−4) 2 + 5 2
=
14 41
La distancia del punto P(1, −4) a la recta y = −3 x + 6 es
d ( P(1,−4), r : 3 x + y − 6 = 0) =
3·1 + 1·(−4) − 6 2
2
3 +1
=
7 10
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16. Lugares geométricos
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumple una determinada propiedad geométrica. Esta propiedad suele darse en términos de distancias. Algunos lugares geométricos clásicos son: −La mediatriz de un segmento, que es la perpendicular al segmento por su punto medio, puede definirse como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Si los extremos del segmento son A y B, un punto P es de la mediatriz sí y sólo sí d(P, A) = d(P, B). −La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Si los lados del ángulo son a y b, el punto P es de la mediatriz si d(P, a) = d(P, b).
−La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto interior llamado centro. La distancia de cualquier punto al centro es el radio: d(P, O) = r. 17. La circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un punto de la circunferencia se llama radio. La ecuación de la circunferencia con centro en C(a, b) y radio r, es ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r ⇔ ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
Desarrollando los cuadrados y agrupando, puede escribirse: x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 Ejemplos: La circunferencia con centro en C = (1, 4) y radio 3 es ( x − 1) 2 + ( y − 4) 2 = 3 2 La ecuación anterior es la misma que x 2 + y 2 − 2x − 8 y + 8 = 0 La circunferencia con centro en C = (−3, 0) y radio 2 es ( x + 3) 2 + y 2 = 4 . Las circunferencias con centro en O = (0, 0) y radio r son x 2 + y 2 = r 2 .
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18. La elipse La elipse: es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, es constante → d(P, F) + d(P, F´) = constante
Elementos de una elipse Eje focal es la recta que pasa por los dos focos. Eje secundario es la mediatriz del segmento que determinan los focos. La elipse es simétrica respecto de ambos ejes. Centro es el punto de corte de los dos ejes. Los vértices de la elipse A, A´, B, B´ son los puntos de corte de ésta con los ejes. El segmento AA´ se llama eje mayor; su valor es 2a. El semieje mayor es a. Al segmento BB´ se le llama eje menor. Su valor es 2b. El semieje menor es b. La distancia entre los focos se llama distancia focal y vale 2c: la semidistancia focal es c. La relación entre a, b y c es: a2 = b2 + c2, x2 y2 • La ecuación reducida de la elipse es: 2 + 2 = 1 a b ( x − x0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 • La ecuación de la elipse centrada en el punto P(x0, y0) es: + = 1 , a > b. a2 b2 Ejemplo: La elipse centrada en origen de semiejes a = 5 y b = 4 es: x2 y 2 + =1 25 9 19. La hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la diferencia de sus distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, es constante. Esto es, si P pertenece a la hipérbola: d ( P, F ) − d ( P, F´) = constante
Elementos de una hipérbola Como en la elipse: Ejes focal y secundario; centro; distancia focal: 2c; vértices; eje real; 2a; eje imaginario: 2b. Relación entre a, b y c: c2 = a2 + b2. Ecuación reducida de la hipérbola (centrada en (0, 0)): x2 y2 − = 1. a2 b2 •
La ecuación de la hipérbola centrada en el punto P(x0, y0) es:
( x − x0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 − =1. a2 b2
Ejemplo:
La ecuación
x2 y2 − = 1 es la de la hipérbola de semiejes 16 9
a = 4 y b = 3. Sus focos están en los puntos F(5, 0) y F´(−5, 0).
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Asíntotas de una hipérbola. Son rectas hacia las que tiende a pegarse la curva. Su ecuación es b y=± x . a Hipérbola equilátera. Tiene los semiejes real e imaginarios iguales, x2 y2 a = b. Su ecuación es de la forma 2 − 2 = 1 ⇔ x 2 − y 2 = a 2 . a a Sus asíntotas son las rectas y = ± x , es decir son perpendiculares entre sí y coinciden con las bisectrices de los cuadrantes. Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas. Su ecuación es xy = k . La parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano P que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz. Esto es, si P es un unto de la parábola se cumple que: d ( P, F ) = d ( P, d )
Elementos de la parábola Eje de la parábola: es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. La parábola es simétrica respecto de su eje. Vértice: es el punto de corte de la parábola y su eje. La distancia del vértice al foco se llama distancia focal y se p representa por . El número p, distancia del foco a la 2 directriz, es el parámetro de la parábola. Ecuación de la parábola 2 • Parábola de eje vertical el eje OY y vértice el origen: x = 2 py . Si el vértice está en el punto V(x0, y0) y eje paralelo al eje OY, su ecuación es: (x − x0 )2 = 2 p( y − y0 ) . Esta ecuación se transforma en la conocida y = ax 2 + bx + c . Ejemplo: La parábola de vértice el punto V(1, −3), de parámetro p = 1, y eje paralelo al 1 5 2 eje de ordenadas tiene por ecuación ( x − 1) = 2( y + 3) , que desarrollada es: y = x 2 − x − 2 2 p Parábola de eje horizontal el eje OX, con vértice en (0, 0), foco en F , 0 y la directriz 2 p es la recta d : x = − . Su ecuación es y 2 = 2 px 2 2 • Cualquier expresión de la forma x = my + ny + q es una parábola de eje horizontal. Ejemplo: La parábola de foco el punto F(2, 0) y directriz la recta d: x = −2, tiene por parámetro p = 4, luego su ecuación es y 2 = 2·4 x ⇒ y 2 = 8 x . •
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