Matemática discreta unidade i by Geovani Alves

Matemรกtica Discreta

Professor conteudista: Edson Tiharu Tsukimoto

Sumário Matemática Discreta Unidade I

1 TEORIA DOS CONJUNTOS ................................................................................................................................1 1.1 Deﬁnições na teoria dos conjuntos .................................................................................................2 1.2 Exemplos .....................................................................................................................................................4 2 PRINCÍPIO DA INCLUSÃO-EXCLUSÃO ..................................................................................................... 13 2.1 Princípio da inclusão-exclusão (PIE) (para dois conjuntos) ................................................ 13 2.2 Princípio da inclusão-exclusão (PIE) (caso geral) ................................................................. 13 2.3 Exemplos .................................................................................................................................................. 14 3 ANÁLISE COMBINATÓRIA............................................................................................................................. 17 3.1 O princípio fundamental da contagem (para dois conjuntos ﬁnitos) ............................ 17 3.1.1 Exemplos .................................................................................................................................................... 17

3.2 Princípio fundamental da contagem (para n conjuntos ﬁnitos) ...................................... 19 3.3 Aplicações do princípio fundamental da contagem .............................................................. 21 3.3.1 Arranjo com repetição (ARn,k) ............................................................................................................. 21 3.3.2 Arranjo sem repetição (An,k) ............................................................................................................... 24 3.3.3 Permutação (Pn) ...................................................................................................................................... 27 3.3.4 Permutação com elementos repetidos .......................................................................................... 30 3.3.5 Permutações circulares ......................................................................................................................... 34 3.3.6 Combinação ( Cn,k)................................................................................................................................... 36 Unidade II

4 O PRINCÍPIO DA CASA DO POMBO (OU PCP) ...................................................................................... 41 4.1 Formulações ........................................................................................................................................... 41 4.2 Exemplos .................................................................................................................................................. 42 5 O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA ............................................................................................................ 46 5.1 Introdução ............................................................................................................................................... 46 5.2 Princípio de Indução Finita (PIF fraco) ........................................................................................ 48 5.3 Princípio de Indução Finita (PIF) – versão conjuntista.......................................................... 49 5.4 Exemplos – (PIF fraco) ........................................................................................................................ 50 5.5 Princípio de Indução Finita Forte (PIF forte) ............................................................................. 54 5.6 Exemplos (PIF forte) ............................................................................................................................ 55 6 RECURSÃO ......................................................................................................................................................... 59 6.1 Deﬁnições ................................................................................................................................................ 59 6.2 Exemplos .................................................................................................................................................. 60 6.3 Conjuntos deﬁnidos por recursão ................................................................................................. 67 6.4 Cadeias...................................................................................................................................................... 68 6.4.1 Exemplos .................................................................................................................................................... 69

6.5 A Torre de Hanói ................................................................................................................................... 70 6.5.1 Alguns resultados ................................................................................................................................... 72

MATEMÁTICA DISCRETA

Unidade I

1 TEORIA DOS CONJUNTOS

Linguagem

Para uma introdução às noções básicas de teoria dos conjuntos, necessitaremos de uma linguagem apropriada, cujos símbolos serão os símbolos da lógica e os símbolos próprios da 15 teoria dos conjuntos, que listamos a seguir: I. Símbolos da lógica • ¬ (lê-se “não”). 20

• ∧ (lê-se “e”). • ∨ (lê-se “ou”). • → (lê-se “implica” ou “se... então”).

• ↔ (lê-se “se e somente se”). • ∀ (lê-se “para todo” ou “para qualquer”). • ∃ (lê-se “existe”).

II. Símbolos da teoria dos conjuntos • ∈ (lê-se “pertence”). • ⊆ (lê-se “contido”).

• ∅ ou { } (lê-se “conjunto vazio”). • ∪ (lê-se “união”). • ∩ (lê-se “intersecção”).

Unidade I • \ (lê-se “diferença”). • ℘ (lê-se “partes”). • × (lê-se “produto cartesiano”). 1.1 Deﬁnições na teoria dos conjuntos

Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. • C1. Igualdade: — A = B (x ∈ A ↔ x ∈ B). • C2. Inclusão: — A ⊆ B ⇔ (x ∈ A → x ∈ B). • C3. Conjunto vazio: — ∀x(x ∉ ∅). • C4. União: — x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B). • C5. Intersecção: — x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B). • C6. Diferença: — x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B); – ou seja, x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ ¬ (x ∉ B)). • C7. Conjunto das partes (subconjuntos): — x ∈ ℘(A) ⇔ x ⊆ A. • C8. Produto cartesiano: A x B = φ se A = φ ou B = φ —  A x B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} se A ≠ φ e B ≠ φ

MATEMÁTICA DISCRETA Observação 1 Quando escrevemos explicitamente um conjunto, a ordem na qual os elementos aparecem não importa. Por exemplo, os conjuntos {1, 2} e {2, 1} são iguais, mas atenção: a situação é diferente quando tratamos de pares ordenados: assim, (1, 2) ≠ (2, 1). Observação 2 Não devemos escrever duas ou mais vezes o mesmo elemento em um conjunto. Por exemplo, os conjuntos {1, 2, 2, 2}, {1, 1, 2, 2} e {1, 2} representam o mesmo conjunto, de forma que convencionamos não repetir elementos em um conjunto. Observação 3 Se A ⊆ B, dizemos que A está contido em B, ou que B contém A, ou ainda, que A é um subconjunto de B. Note que qualquer conjunto é subconjunto de si próprio, ou seja, para qualquer conjunto A, temos que A ⊆ A. Por exemplo, se A = {1, 2, 3, 4, 5}, então {1}, {1,2}, {1,3,5} e {2,3,4,5} são subconjuntos de A, mas {1,2,3,4,6}, {7,8,9} e {2,3,4,7} não são. O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A, e é denotado por ℘(A). Por exemplo, se A = {1, 2, 3} então φ (veja a observação 4), {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, são todos os subconjuntos de A. Então, ℘(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Unidade I Observação 4 O conjunto vazio φ é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, ∀A(φ ⊆ A). Esse fato decorre da forma lógica da deﬁnição de subconjunto, pois φ ⊆ A ⇔ ∀x (x ∈ φ → x ∈ A). Assim, como x ∈ φ é sempre falso, a implicação é sempre verdadeira para qualquer conjunto A, mas cuidado, ∀A(φ ∈ A) não é sempre válida. Observação 5 Embora nas teorias de conjunto usuais todo objeto seja um conjunto, nesta introdução intuitiva consideramos que existem objetos que não são conjuntos. Por exemplo, com relação ao número 3, não terá sentido escrever x ∈ 3 ou x ⊆ A. Observação 6 Se A é um conjunto ﬁnito, então |A| denota o número de elementos de A. 1.2 Exemplos

Exemplo 1 Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): 3 ∈ { 1, 2, 3 , 4 } 3 ∈ { 1, 2 , 4, 6

}

, , 3 , 4} { 3 } ∈ {12 { 3 } ∈ { { 1} , { 3} , { 5 } } { 3 } ∈{ 3 } { 3 } ∈ { { 3} }

V F F V F V

MATEMÁTICA DISCRETA

{ { 3} } ∈ { { 3} } { { 3} } ∈ { { { 3} } } 3 ∈ { {12 , , 3}, 4 } , , 3}, 4 } { 3} ∈ { {12 , , 3, 4 } { { 3} } ∈ { 12 { { 3}} ∈ { { 1} , { 3} , { 5 } } { { 3},{5 } } ∈ { { 1} , { { 3},{5 } } } { { 3}} ∈ { {1, 3, 5 } } { { 3}} ∈ { 1,{{ 3}}, {5 } } , , 3 } ∈ { {12 , , 3}, 4 } { 12 , , 3 } ∈ { 12 , , 3, 4 } { 12 , , 3, 4 } ∈ { 1, 2, 3, 4 } { 12 , , 3, 4 } ∈ { {1, 2, 3, 4 } } { 12 , }, 3 , 4 } ∈ { 1, 2, 3, 4 } { {12 , }, 3 , 4 } ∈ { {1, 2, 3}, 4 } { {12 , }, 3 , 4 } ∈ { {1, 2, 3, 4 } } { {12 , }, 3 , 4 } ∈ { {1},{ 2 },{ 3},{ 4 } } { {12 , }, 3 , 4 } ∈ { {1, 2},{ 3, 4} } { {12 , }, 3 , 4 } ∈ { { {1, 2 }, 3 , 4 } } { {12 φ ∈ { 12 , , 3, 4 } φ ∈ { φ,12 , , 3, 4 } φ ∈ { { φ },12 , , 3, 4 } { φ } ∈ { 12 , , 3, 4 } { φ } ∈ { φ,1, 2, 3 , 4 } { φ } ∈ { { φ },1, 2, 3 , 4 }

F V F F F F V F V V F F V F F F F F V F V F F F V

Unidade I Exemplo 2 Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): , , 3, 4 } { 3 } ⊆ { 12 { 3 } ⊆ { { 1} , { 3} , { 5 } } , , 3}, 4 } { 3} ⊆ { {12 , , 3, 4 } { { 3} } ⊆ { 12 { { 3}} ⊆ { { 1} , { 3} , { 5 } } { { 3},{5 } } ⊆ { { 1} , { { 3},{5 } } } { { 3},{5 } } ⊆ { { 1} ,{ 3},{5 },{7} } { { 3}} ⊆ { {1, 3, 5 } } { { 3}} ⊆ { 1,{{ 3}}, {5 } } { {{ 3}} } ⊆ { 1,{{ 3}}, {5 } } , , 3 } ⊆ { {12 , , 3}, 4 } { 12 , , 3 } ⊆ { 12 , , 3, 4 } { 12 , , 3, 4 } ⊆ { 1, 2, 3, 4 } { 12 , , 3, 4 } ⊆ { {1, 2, 3, 4 } } { 12 , }, 3 , 4 } ⊆ { 1, 2, 3, 4 } { {12 , }, 3 , 4 } ⊆ { {1, 2, 3}, 4 } { {12 , }, 3 , 4 } ⊆ { {1, 2, 3, 4 } } { {12 , }, 3 , 4 } ⊆ { {1},{ 2 },{ 3},{ 4 } } { {12 , }, 3 , 4 } ⊆ { {1, 2},{ 3, 4} } { {12 , }, 3 , 4 } ⊆ { {1, 2 }, 3, 4, 5, 6 } { {12

V F F F V F V F F V F V V F F F F F F V

MATEMÁTICA DISCRETA , }, 3 , 4 } ⊆ { { {1, 2 }, 3 , 4 } } { {12 φ ⊆ { 12 , , 3, 4 } φ ⊆ { φ,12 , , 3, 4 } φ ⊆ { { φ },1, 2, 3 , 4 } φ ⊆ { {{ 2 }}, 3, 5,{12 , , 3, 4 }, 7 }

F V V V V

{ φ } ⊆ { 12 , , 3, 4 }

{ φ } ⊆ { φ,1, 2, 3 , 4 }

{ φ } ⊆ { { φ },1, 2, 3 , 4 }

Exemplo 3 Considere A = {1,2,3}; B = {3,4,5,6}; C = { 7 }; D = { 2,5,8}, E = { 1,5,7 }. Calcule: a) (A ∩ B)∪ E. b) (A ∩ B)∩ E. c) ((B \ A)∩ E)\ D. d) (((A \ B)\ E)∩ C)∩ D. e) ((B \ A) ∩ (E \ D). f) (B \ E) \ ((C \ D) ∩ (C \ E)). Solução a) A ∩ B = {3}. — (A ∩ B)∩ E = {1,3,5,7}. b) A ∪ B = {1,2,3,4,5,6}. — (A ∪ B)∩ E = {1,5}.

Unidade I c) B \ A = {4,5,6}. — (B \ A)∩ E = {5}. — ((B \ A)∩ E) \ D = φ. d) A \ B = {1,2}. — (A \ B)\ E = {2}. — ((A \ B) \ E)∪ C = {2,7}. — (((A \ B)\ E)∪ C)∩ D = {2}. e) B \ A = {4,5,6}. — E \ D = {1,7}. — (B \ A) ∩ (E \ D) = φ. f) B \ E ={3,4,6}. — C \ D = {7}. — C \ E = φ. — (C \ D) ∪ (C \ E) = {7}. — (B \ E) \ ((C \ D) ∪ (C \ E)) = {3,4,6}. Observação Lembremos a notação para intervalos reais. Sejam a, b ∈ IR (conjunto dos números reais). Então deﬁnimos: • [a,b] = {x ∈ IR : a < x < b}. • [a,b [ = {x ∈ IR : a < x < b}. • ]a,b ] = {x ∈ IR : a < x < b}. • ]a,b[ = {x ∈ IR : a < x < b}.

MATEMÁTICA DISCRETA • [a, + ∞[ = {x ∈ IR : a < x}. • ]a, + ∞[ = {x ∈ IR : a < x}. • ]- ∞,b] = {x ∈ IR : x < b}. • ]- ∞,b[ = {x ∈ IR : x < b}. Exemplo 4 Considere A = [ 2, 7 ]; B = ] 4, 9 ]; C = ] 5, 8 [ e D = [ 1, 7 [. Calcule: a) (D \ C)∩ B. b) (A ∩ B)\C. c) (C ∩ D) \ (A ∪ B).

Solução a) D \ C = [1,5] — (D \ C)∩ B = ]4,5]. b) A ∩ B = ]4,7] — (A ∩ B) \ C = ]4,5]. c) C ∩ D = ]5,7[ — A ∪ B = [2,9] — (C ∩ D) \ (A ∪ B) = φ. Exemplo 5 Considere A = {1}; B = {1,2}; C = {1,2,3}; D = {1,2,3,4}. Calcule: a) A x B

Unidade I b) B x A c) B x B d) B x C e) C x B Solução a) A x B = {1} x {1,2} = {(1,1),(1,2)}. b) B x A = {1,2} x {1} = {(1,1),(2,1)}. c) B x B = {1,2} x {1,2} = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}. d) B x C = {1,2} x {1,2,3} = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}. e) C x B = {1,2,3} x {1,2} = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}. Exemplo 6 Considere A = {1}; B = {1,2}; C = {1,2,3}; D = {1,2,3,4}. Calcule: a) ℘(A). b) ℘(B). c) ℘(C). d) ℘(D). e) ℘(φ). f) ℘(℘(φ)). Solução a) ℘(A) = {φ, {1}}. b) ℘(B) = {φ, {1}, {2}, {1,2}}. c) ℘(C) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

MATEMÁTICA DISCRETA , },{1, 3},{1, 4},{2, 3},{2, 4}, φ,{1},{2},{3},{4},{12 d) ℘(D) =  . , , 3},{12 , , 4},{1, 3, 4},{2, 3, 4},{12 , , 3, 4},  {3, 4},{12 e) ℘(φ) = {φ}. f) ℘(℘(φ)) = {φ,{φ}}. Observação Lembrando que |A| denota o número de elementos de um conjunto ﬁnito A, no exemplo acima percebemos que: • |A| = 0 ⇒ |℘(A)| = 1. • |A| = 1 ⇒ |℘(A)| = 2. • |A| = 2 ⇒ |℘(A)| = 4. • |A| = 3 ⇒ |℘(A)| = 8. • |A| = 4 ⇒ |℘(A)| = 16. Haveria alguma relação entre o número de elementos do conjunto A e o número de elementos do conjunto ℘(A) de suas partes? Os exemplos acima sugerem a relação |℘(A)| = 2”, e, de fato, essa relação é válida. Então se A é um conjunto ﬁnito, temos que: |A| = n ⇒ |℘(A)| = 2”. Exemplo 7 Considere A = {1}; B = {2,3}; C = {4,5,6}. Calcule: a) ℘(A x B). b) ℘(A) x B.

Unidade I c) ℘(B) x ℘(A). d) (℘(A x B)) x A. e) (℘(B) ∩ ℘(A)) \ (A ∩ B). Solução a) A x B = {(1,2),(1,3)} ℘(A x B) = {φ, {(1,2)}, {(1,3)}, {(1,2), (1,3)}}. b) ℘(A) = {φ, {1}} ℘(A)x B = {(φ, 2), (φ, 3), ({1}, 2), ({1}, 3)}. c) ℘(B) = {φ, {2}, {3}, {2,3}} ℘(A) = {φ, {1}} (φ, φ),(φ,{1}),({2}, φ),({2},{1},({3}, φ) . ℘(B) x℘( A ) =   ({3},{1}), ({2, 3}, φ),({2, 3},{1})  d) A x B = {(1,2), (1,3)} ℘(A x B) = {φ, {(1,2)}, {(1,3)}, {(1,2), (1,3)}}. (℘(A x B))xA = {(φ, 1), ({(1,2)}, 1), ({(1, 3)}, 1), ({(1,2), (1, 3)}, 1)}. e) ℘(A) = {φ, {2}, {3}, {2,3}} ℘(A) = {φ, {1}} ℘(B) ∩ ℘(A) = {φ} A∩B=φ (℘(B) ∩ ℘(A)) \ (A ∩ B)

MATEMÁTICA DISCRETA 2 PRINCÍPIO DA INCLUSÃO-EXCLUSÃO

Dados dois conjuntos A e B, podemos aﬁrmar que |A ∪ B| = |A| + |B|? Não! Basta ver este exemplo: Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 2, 4, 6, 8 }. Então |A ∪ B| = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} Temos então que |A ∪ B| = 7, mas |A| + |B| = 5 + 4 = 9, e portanto |A ∪ B| ≠ |A| + |B| É fácil perceber que a igualdade |A ∪ B| = |A| + |B| vale se e somente se |A ∪ B| = φ ou seja, a igualdade |A ∪ B| = |A| + |B| não é válida em geral porque temos que “descontar” a intersecção A ∩ B. É isso que diz o Princípio da Inclusão-Exclusão (PIE). 2.1 Princípio da inclusão-exclusão (PIE) (para dois conjuntos)

“Sejam A e B dois conjuntos. Então: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|“ No nosso exemplo acima, se A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 2, 4, 6, 8 }, então pelo PIE: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = 5 + 4 - 2 = 7 No caso geral, teremos: 2.2 Princípio da inclusão-exclusão (PIE) (caso geral)

 Ai = ∑ | Ai | − ∑

1≤ i ≤ n

1≤ i < j ≤ n

| Ai ∩ A j | +

∑

1≤ i < j < k ≤ n

| Ai ∩ A j ∩ Ak | − .......( −1)n +1.



1≤ i ≤ n

Unidade I A expressão acima pode assustar a princípio, mas vamos utilizar o princípio da inclusão-exclusão nos casos particulares n = 3 e n = 4 e logo perceberemos uma regularidade (faça depois o caso n = 5). Princípio da inclusão-exclusão (para três conjuntos) | A ∪ B ∪ C | = | A | + |B| + | C | − | A ∩ B | − | A ∩ C | − |B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | Princípio conjuntos)

inclusão-exclusão

(para

quatro

A ∪B ∪ C ∪D = A + B + C + D − A ∩B − A ∩ C − A ∩D − B ∩ C − B ∩D − C ∩D + + A ∩B ∩ C + A ∩B ∩D + A ∩ C ∩D + B ∩ C ∩D − A ∩B ∩ C ∩ D 2.3 Exemplos

Exemplo 1 Em um grupo com 42 turistas, todos falam inglês ou francês. Sabe-se que 35 falam inglês e 18 falam francês. Quantos falam ambas as línguas? Solução Seja E = conjunto das pessoas que falam inglês e

F = conjunto das pessoas que falam francês

Então pelo princípio da inclusão-exclusão (PIE): |E ∪ F | = |E | + |F | − |E ∩ F | ⇔ 42 = 35 + 183 − |E ∩ F | ⇔ |E ∩ F | = 11 Portanto, 11 falam ambas a s línguas.

MATEMÁTICA DISCRETA Exemplo 2 Em um grupo com 24 pessoas, todos gostam de rock, jazz ou blues. Sabe-se que 14 gostam de rock, 17 de blues, 11 de rock e jazz, 9 de rock e blues, 13 de jazz e blues e 8 gostam dos três estilos. Quantas pessoas gostam de jazz ? Solução Seja R = conjunto das pessoas que gostam de rock J = conjunto das pessoas que gostam de jazz B = conjunto das pessoas que gostam de blues Então, pelo princípio da inclusão-exclusão (PIE): R ∪ J ∪B = R + J + B − R ∩ J − R ∩B − J ∩B + R ∩ J ∩ B ⇔ ⇔ 24 = 14 + J + 17 − 9 − 11 − 13 + 8 ⇔ J = 18 Portanto, 18 pessoas gostam de jazz. Exemplo 3 Uma pesquisa feita com 200 donas de casa revelou que 111 preferem o detergente Alvo, 94 preferem o detergente Brancura, 84 preferem o detergente Claro, 47 preferem os detergentes Alvo e Brancura, 43 preferem os detergentes Alvo e Claro, 32 preferem os detergentes Brancura e Claro e 4 preferem os detergentes Alvo, Brancura e Claro. a) Quantas não preferem nenhum dos três detergentes citados? b) Quantos preferem apenas o detergente Brancura ?

Unidade I Solução Considere os conjuntos: A = conjunto das donas de casa que preferem o detergente Alvo B = conjunto das donas de casa que preferem o detergente Brancura C = conjunto das donas de casa que preferem o detergente Claro Então, pelo princípio da inclusão-exclusão (PIE): A ∪B ∪ C = A + B + C − A ∩B − A ∩ C − B ∩ C + A ∩B ∩ C ⇔ ⇔ A ∪ B ∪ C = 111 + 94 + 84 − 47 − 43 − 32 + 4 ⇔ A ∪ B ∪ C = 171 a) Como a pesquisa envolveu 200 donas de casa pessoas e 171 preferiam um dos três detergentes citados, concluímos que 200 – 171 = 29 donas de casa não preferem nenhum dos três detergentes citados. b) Quero calcular |B \ A ∪ C|, então: B \ A ∪ C = B − B ∩ ( A ∪ C) = B − (B ∩ A ) ∪ (B ∩ C) = B − ( (B ∩ A )| + |(B ∩ C) − (B ∩ A ) ∩ (B ∩ C) ) =

= B − ( (B ∩ A )| + |(B ∩ C) − (B ∩ A ∩ C)

)

B − B ∩ A − B ∩ C + B ∩ A ∩ C = 94 − 47 − 32 + 4 = 19 Portanto, 19 donas de casa preferem apenas o detergente Brancura.

MATEMÁTICA DISCRETA 3 ANÁLISE COMBINATÓRIA 3.1 O princípio fundamental da contagem (para dois conjuntos ﬁnitos)

“Sejam A e B dois conjuntos tais que |A| = m e |B| = n, então |A x B| = m.n.” Ou, de maneira informal: “Se um processo de passagem de um estado R para um estado T pode ser dividido em duas etapas, de R para S e depois de S para T, de forma que a passagem de R para S pode ser executada de m formas distintas, e a passagem de S para T pode ser executada de n formas distintas, então o processo de passagem de um estado R para um estado T pode ser feito de m.n maneiras distintas.” Observação Qual a relação entre os enunciados formal e informal? No enunciado formal, o conjunto A corresponde às passagens possíveis do estado R para o estado S, e o conjunto B corresponde às passagens possíveis do estado S para o estado T. 3.1.1 Exemplos Exemplo 1 Existem 4 estradas ligando São Paulo ao Rio de Janeiro e 3 estradas ligando Rio de Janeiro à Bahia. Quantos caminhos distintos podem ser feitos de São Paulo à Bahia, passando pelo Rio de Janeiro?

Unidade I Solução Como posso fazer a viagem de São Paulo ao Rio de Janeiro de 4 formas distintas, e depois fazer a viagem do Rio de Janeiro à Bahia de 3 formas distintas, então pelo princípio fundamental da contagem, posso fazer a viagem de São Paulo à Bahia, passando pelo Rio de Janeiro, de 4.3 = 12 formas distintas. SP ao RJ

SP à BA

Exemplo 2 Uma mulher possui 5 saias e 8 blusas. De quantas formas distintas ela pode se vestir usando uma saia e uma blusa? Solução Ela tem 5 escolhas para a saia e 8 escolhas para a blusa, logo, pelo PFC, ela pode se vestir de 5.8 = 40 formas distintas. saia

blusa

O princípio fundamental da contagem pode ser generalizado para qualquer número ﬁnito de conjuntos:

MATEMÁTICA DISCRETA 3.2 Princípio fundamental da contagem (para n conjuntos ﬁnitos)

“Sejam A1, A2,........., Anconjuntos ﬁnitos e tais que |Ai| = mi, para i = 1,2,.........n, então |A1 x A2 x.........xAn| = m1, m2.........mn“. Retomando os exemplos acima, teremos: Exemplo 3 Existem 4 estradas ligando São Paulo ao Rio de Janeiro, 3 estradas ligando Rio de Janeiro à Bahia e 2 estradas ligando Bahia a Sergipe. Quantos caminhos distintos podem ser feitos de São Paulo a Sergipe, passando pelo Rio de Janeiro e pela Bahia? Solução Como posso fazer a viagem de São Paulo ao Rio de Janeiro de 4 formas distintas, do Rio de Janeiro à Bahia de 3 formas distintas e da Bahia a Sergipe de 2 formas distintas, então, pelo princípio fundamental da contagem, posso fazer a viagem de São Paulo a Sergipe de 4.3.2 = 24 formas distintas. SP ao RJ

SP à BA

BA a SE

Exemplo 4 Uma mulher possui 5 saias, 8 blusas, 4 colares e 3 chapéus. De quantas formas distintas ela pode se vestir usando uma saia, uma blusa, um colar e um chapéu?

Unidade I Solução Ela tem 5 escolhas para a saia, 8 escolhas para a blusa, 4 escolhas para o colar e 3 escolhas para o chapéu, logo, pelo princípio fundamental da contagem, ela pode se vestir de 5.8.4.3 = 480 formas distintas. saia

blusa

colar

chapéu

Exemplo 5 Uma agência bancária possui 7 portas. De quantas maneiras um cliente pode entrar e sair desse banco? Solução Consideramos cada par entrada/saída como uma maneira do cliente entrar e sair do banco. Existem 7 possibilidades para a escolha da porta de entrada, e, depois de entrar, ele possui novamente 7 possibilidades para a escolha da porta de saída. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, ele pode entrar e sair do banco de 7.7 = 49 maneiras.

Exemplo 6 Uma agência bancária possui 7 portas. De quantas maneiras um cliente pode entrar e sair desse banco se a porta de entrada não pode ser a mesma porta de saída ?

MATEMÁTICA DISCRETA Considere cada par entrada/saída como uma maneira do cliente entrar e sair do banco. Solução Existem 7 possibilidades para a escolha da porta de entrada, e depois de entrar, ele possui apenas 6 possibilidades para a escolha da porta de saída, já que não pode sair pela mesma porta que entrou. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, ele pode entrar e sair do banco de 7.6 = 42 maneiras.

3.3 Aplicações do princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem será a ferramenta básica para desenvolver várias técnicas de contagem, que apresentamos a seguir: 3.3.1 Arranjo com repetição (ARn,k) Seja S um conjunto com n elementos. Então o número de k-uplas (1 ≤ k ≤ n) ordenadas de elementos de S (que representamos por ARn,k) é dado por: ARn,k = nk Exemplo 1 Usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, quantas senhas de 5 dígitos existem?

Unidade I Solução Existem 8 possibilidades para o 1° dígito, 8 para o 2°, 8 para o 3° , 8 para o 4° e 8 para o 5°, portanto pelo princípio fundamental da contagem, podem ser construídas 8.8.8.8.8 = 85 = 32768 senhas.

Exemplo 2 Uma prova-teste consta de 12 questões cujas alternativas são “verdadeiro” ou “falso”. De quantas formas diferentes essa prova pode ser respondida? Solução Existem 2 possibilidades para cada questão (“verdadeiro” ou “falso”), portanto, pelo princípio fundamental da contagem, a prova pode ser respondida de 212 maneiras. questão 1

questão 2

questão 3

questão 10 questão 11 questão 12 • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

Exemplo 3 Uma senha deve consistir de uma sequência de 4 números, escolhidos entre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que podem ser repetidos ou não. Quantas senhas distintas podem ser construídas?

MATEMÁTICA DISCRETA Solução Existem 10 algarismos disponíveis, logo existem 10 possibilidades para cada dígito. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, podem ser construídos 104 senhas.

Exemplo 4 Cinco dados (cada um com seis faces numeradas de 1 até 6) são lançados. Quantas sequências de resultados distintos existem? Solução Como um dado possui 6 lados, existem 6 possibilidades para cada jogada. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, podem ser construídos 65 sequências.

Exemplo 5 Em certo jogo de computador, um objeto está parado na origem de um sistema de coordenadas e ele pode mover-se apenas para cima ou para a direita, com apenas um movimento por vez. Após 4 passos, quantas trajetórias distintas são possíveis?

Unidade I Solução O objeto tem apenas duas alternativas de movimento, para cima e para a direita. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, após 4 passos, o objeto pode descrever 24 trajetórias.

Exemplo 6 Sejam A e B conjuntos tais que |A| = n e |B| = k. Quantas funções ƒ : A → B existem ? Solução Para uma enumeração a1, a2, ................, an, qualquer dos elementos do conjunto A, temos que existem k possibilidades para o valor de ƒ(a1), k possibilidades para o valor de ƒ(a2),................., e k possibilidades para o valor de ƒ(an). Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, existem kn funções. ƒ(a1)

ƒ(a2)

ƒ(a3)

ƒ(an-1)

ƒ(an)

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

3.3.2 Arranjo sem repetição (An,k) Seja S um conjunto com n elementos. Então o número de k-uplas (1 ≤ k ≤ n) ordenadas de elementos de S sem repetição é dado por : An,k =

n! (n − k)!

MATEMÁTICA DISCRETA Exemplo 1 Utilizando os algarismos 1,2,3,4,5,6 e 7, quantos números de 3 dígitos existem se não podem haver algarismos repetidos? Solução Existem 7 possibilidades pra o 1° dígito, 6 para o 2° e 5 para o 3°. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, podem ser construídas 7.6.5 = 210 números. Observe que

7! 7! = = 7.6.5 = 210 (7 − 3)! 4 ! 1º dígito

2º dígito

3º dígito

Exemplo 2 Utilizando os algarismos 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, quantas senhas de 5 dígitos existem se não podem haver algarismos repetidos? Solução Existem 8 possibilidades pra o 1° dígito, 7 para o 2°, 6 para o 3°, 5 para o 4° e 4 para o 5°. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, podem ser construídas 8.7.6.5.4 = 6729 senhas. Observe que

8! 8! = = 8.7.6.5.4 = 6729 (8 − 5)! 3!

Unidade I 1º dígito

2º dígito

3º dígito

4º dígito

5º dígito

Exemplo 3 Um torneio de futebol de salão conta com 12 times. Quantas são as possibilidades para os quatro primeiros colocados ? Solução Existem 12 possibilidades pra o 1° lugar, 11 para o 2°, 10 para o 3° e 9 para o 4°. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, existem 12.11.10.9 = 11880 possibilidades. Observe que

12! 12! = = 12.11.10.9 = 11880 (12 − 4 )! 8!

campeão

vice

3º lugar

4º lugar

Exemplo 4 Sejam A e B conjuntos tais que |A| = n e |B| = k, onde n < k. Quantas funções injetoras ƒ : A → B existem? Solução Para uma enumeração a1, a2, ................, an qualquer dos elementos do conjunto A, temos que existem k possibilidades para o valor de ƒ(a1), k - 1 possibilidades para o valor de ƒ(a)

MATEMÁTICA DISCRETA (pois como ƒ é injetora, não pode haver valores iguais para argumentos diferentes),................., e k - n+1) possibilidades para o valor de ƒ(an). Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, existem k.(k - 1)......(k - n + 1) funções injetoras. Observe que k! k.(k − 1)........(k − n + 1).(k − n)! = = k.(k − 1)..........(k − n +1) (k − n)! (k − n)! ƒ(a1)

ƒ(a2)

ƒ(a3)

ƒ(an-1)

ƒ(an)

k-n+2

k-n+1

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

k-1

k-2

3.3.3 Permutação (Pn) Seja S um conjunto com n elementos. O número de n-uplas ordenadas de elementos de S sem repetição é dado por : Pn = n! Observação Podemos notar que uma permutação é um caso particular de um arranjo sem repetição quando k = n. Exemplo 1 Cinco pessoas devem formar uma fila. Quantas filas distintas podem ser formadas? Solução Existem 5 possibilidades pra o 1° lugar, 4 para o 2°, 3 para o 3°, 2 para o penúltimo e 1 para o último lugar. Portanto, existem 5.4.3.2.1 = 5! = 120 filas.

Unidade I

Observação Um anagrama de uma palavra é qualquer reordenação das letras da palavra original, tenha essa reordenação sentido ou não (a palavra original também é considerada um anagrama de si própria. Por exemplo, “gol, glo, lgo, log, ogl, olg” são os anagramas da palavra “gol”). Exemplo 2 Quantos anagramas possui a palavra “louca”? Solução Como são 5 letras, existem 5 ! = 120 anagramas. Observação Note que, na palavra “louca”, as letras são todas distintas. Se ocorrer repetição de letras, não podemos utilizar a fórmula acima. Veremos a seguir como tratar desse caso. Exemplo 3 Sejam A e B conjuntos tais que |A| = |B| = n. Quantas funções bijetoras ƒ : A → B existem? Solução Para uma enumeração a1, a2, ................, an qualquer dos elementos do conjunto A, temos que existem n possibilidades para o valor de ƒ(a1), n-1 possibilidades para o valor de ƒ(a2)

MATEMÁTICA DISCRETA (pois como ƒ é bijetora, não pode haver valores iguais para argumentos diferentes),................., 2 possibilidades para o valor de ƒ(an-1) e 1 possibilidade para o valor de ƒ(an). Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, existem n! = n.(n-1)........2.1 funções bijetoras. ƒ(a1)

ƒ(a2)

ƒ(a3)

ƒ(an-1)

ƒ(an)

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

n-1

n-2

Exemplo 4 Um grupo de 10 pessoas, entre elas Madalena e Rodrigo, que são namorados, deve ficar em fila. Quantas filas distintas podem ser formadas se: a) Madalena e Rodrigo ficarem juntos? b) Madalena e Rodrigo, após uma briga, ficarem separados? Solução a) Um truque básico neste tipo de problema consiste em “amarrar” as duas pessoas que devem ficar juntas e considerá-las como uma única pessoa. Assim, Madalena e Rodrigo transformaram-se em um ente único, de forma que podemos pensar que as 10 pessoas tornaram-se 9. Poderíamos pensar, então, que a resposta seria 9!, mas assim esqueceríamos que Madalena e Rodrigo podem trocar de lugar entre si de 2! maneiras. A resposta correta é, portanto, 2!.9! filas. b) No total, independentemente do fato de Madalena e Rodrigo ficarem juntos ou separados, existem 10! filas possíveis. Pelo item acima, como em 2!.9! filas estão

Unidade I juntos, nas filas restantes devem estar separados. Portanto existem 10! – 2!.9! filas. Exemplo 5 Um grupo formado por 12 pessoas, entre elas 5 brasileiros, deve formar uma fila. Quantas filas distintas podem ser formadas se os brasileiros ficarem juntos? Solução Como no exemplo anterior, vamos “amarrar” os 5 brasileiros e considerá-los como se fossem uma única pessoa, de forma que podemos considerar que agora são apenas 8 pessoas (os 7 restantes mais o “brasileirão monstro”). Além disso, como os 5 brasileiros podem trocar de lugar entre si de 5! maneiras, poderão ser formadas 5!.8! filas distintas. 3.3.4 Permutação com elementos repetidos Seja S um conjunto com n elementos e S1 = {a1, ............., ak} um subconjunto de S, onde 1 ≤ k ≤ n. O número de n-uplas ordenadas de elementos de S sem repetição, mas considerando os elementos a1, ............. ak indistinguíveis entre si para uma determinada situação (ou seja, podem ser considerados iguais), é dado por: Pnk =

n! k!

Observação 1 Tomemos por exemplo a palavra AMA. Provisoriamente vamos considerar as duas letras “A” distintas entre si, e para distingui-las, vamos chamá-las de A1 e A2.

MATEMÁTICA DISCRETA Considerando então A1 e A2 distintas, teríamos 3! Permutações, a saber: A1 M A2 A2 M A1 A1 A2 M A2 A1 M M A1 A2 M A2 A1 Porém, como A1 e A2 são na realidade indistinguíveis, sabemos que A1 M A2 e A2 M A1 são a mesma palavra, da mesma forma que A1 A2 M e A2 A1 M, bem como M A1 A2 e M A2 A1. Devemos então “descontar” as palavras repetidas. Como a letra “A” aparece duas vezes, temos que o número de anagramas, 3! nesse caso, é dado por: P32 = = 3 2! Exemplo 1 Quantos anagramas possui a palavra “sarabanda”? Solução No total temos 9 letras, dentre as quais 4 letras “A”. Portanto existem P94 =

9! = 15120 anagramas. 4!

Observação A permutação com elementos repetidos pode ser generalizada para mais elementos repetidos. Assim, se em um conjunto S existem n1 elementos indistinguíveis entre si, outros n2 elementos indistinguíveis entre si,..........,nk elementos indistinguíveis entre sí, com n1 + n2 +.......+ nk = n (nesta deﬁnição consideramos a possibilidade de ni = 1), então o número de permutações de

Unidade I elementos de S, levando-se em conta a indistinguibilidade de alguns dos elementos será dado por: Pnn1,....nk =

n! n1!.n2 !........nk !

Exemplo 2 Quantos anagramas possui a palavra “assassinato”? Solução No total temos 11 letras, dentre as quais 3 letras “A” e 4 letras “S” Portanto existem P113,4 =

11! = 277200 anagramas. 3!. 4 !

Exemplo 3 Quantos anagramas possui a palavra “inconstitucional”? Solução No total temos 16 letras, dentre as quais 2 letras “c”, 3 letras “i”, 3 letras “n”, 2 letras “o” e 2 letras “t”. Portanto existem 16! P162,2,2,3,3 = anagramas. 2!. 2!. 2!. 3!. 3! Exemplo 4 Um comerciante vende apenas três tipos de pizza: mussarela, atum e calabresa. De quantas formas uma pessoa pode comprar 5 pizzas ? Solução Vamos utilizar o seguinte truque para a solução deste problema:

MATEMÁTICA DISCRETA No esquema abaixo, devemos distribuir 5 pontinhos nas divisões separadas por uma barra. A 1ª divisão representa as pizzas de mussarela, a 2ª divisão as pizzas de atum e a 3ª divisão as pizzas de calabresa. O número de pontinhos em cada divisão representa o número de pizzas do tipo correspondente. Por exemplo, observe as situações abaixo:

Situação 1: foram escolhidas 2 pizzas de mussarela, 1 de atum e 2 de calabresa. Situação 2: foram escolhidas 1 pizza de mussarela, nenhuma de atum e 4 de calabresa. Situação 3: todas as 5 pizzas escolhidas foram de atum. mussarela situação 1

•

mussarela situação 2

calabresa

•

atum

•

mussarela situação 3

atum

calabresa •

atum

•

calabresa

• • • • •

Percebemos, então, que cada conﬁguração representa uma diferente escolha das 5 pizzas, de forma que se quero saber de quantas formas posso escolher 5 pizzas entre mussarela, atum e calabresa, basta saber quantas conﬁgurações do tipo acima existem.

Unidade I E quantas configurações existem? Basta notar que cada configuração é uma permutação de 7 símbolos, dos quais 5 são pontinhos e 2 são barras, de forma que utilizaremos a fórmula da permutação com elementos repetidos. 7! = 21 maneiras Portanto, podemos escolher as pizzas de 2 !. 5 ! diferentes. 3.3.5 Permutações circulares Definição Seja S um conjunto com n elementos, e sejam α = (a1, a2............., an) e β = (b1, b2............., bn) n-uplas ordenadas de elementos de S sem repetição. Então a1 = bj0 para algum j0. Dizemos então que α e β são equivalentes se a1+k (mod n) = bj0+k (mod n), ∀k ∈ N. Exemplo Seja S = {a,b,c}. Então (a,b,c), (c,a,b), (b,c,a) são todos equivalentes entre si. Seja S = {a,b,c,d}. Então (b,d,a,c), (c,b,d,a), (a,c,b,d), (d,a,c,b) são todos equivalentes entre si. Cálculo de permutações circulares Seja C um conjunto maximal de n-uplas ordenadas de S, tais que duas n-uplas quaisquer de C não sejam equivalentes (cada n-upla de C será chamada de uma permutação circular de S). Então | C | = (n – 1)!

MATEMÁTICA DISCRETA Observação 1 Embora a definição pareça complicada, a ideia por trás é simples: queremos dispor n elementos sobre uma circunferência. Por exemplo, queremos dispor 5 pessoas em uma mesa circular. A situação que descrevemos é quando não importa a particular cadeira em que a pessoa está sentada, mas sim as pessoas que estão sentadas do seu lado esquerdo e direito, embora consideremos direita e esquerda distintos. Exemplo1 Queremos dispor 13 pessoas em uma mesa circular. De quantas maneiras isso pode ser feito? Solução Como são 13 pessoas, então podemos dispô-las de (13 – 1)! = 12! maneiras. Exemplo 2 Um grupo de 20 crianças precisa sentar em roda para uma brincadeira. De quantas formas isso pode ser feito ? Solução Como são 20 crianças, então podemos dispô-las de (20 – 1)! = 19! maneiras. Exemplo 3 Queremos fazer um colar utilizando 6 tipos de pedras: diamante, esmeralda, rubi, opala, safira e ametista, e as pedras devem ficar distribuídas de forma equidistante na corda. Quantos colares podem ser feitos?

Unidade I Solução Considerando o colar ﬁxo em cima de uma mesa, como são 6 tipos de pedra, então poderíamos dispô-las de (6 – 1)! = 5 ! = 120 maneiras. No entanto, como podemos virar o colar, metade das conﬁgurações serão repetidas, então podemos fazer 5! 120 = = 60 colares. 2 2 Observação 2 Vamos ressaltar a diferença entre os exemplos 1 e 2 e o exemplo 3. Nos exemplos 1 e 2, vemos o círculo apenas “de cima” ou apenas “de baixo”. Já no exemplo 3, podemos ver o círculo (ou seja, o colar) pela “frente” ou por “trás”, e isso evidencia o que quisemos dizer com “embora consideremos direita e esquerda distintos“ que talvez tenha passado despercebido na observação 1. Essa diferença de tratamento deve ser feita de acordo com a situação real envolvida no problema. 3.3.6 Combinação ( Cn,k) Seja S um conjunto com n elementos. O número de subconjuntos de S com k elementos (1 ≤ k ≤ n) é dado por: Cn,k =

n! (n − k)!. k!

MATEMÁTICA DISCRETA Observação 1 Note que, para arranjos e permutações, a ordem dos elementos é essencial, enquanto na combinação não. Assim, por exemplo, em uma ﬁla, as pessoas presentes são as mesmas, mas se a posição delas for mudada, consideramos que são ﬁlas distintas. Em um outro exemplo, se com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 queremos formar números de 4 dígitos, então os números 2481 e 8241 são distintos, embora ambos utilizem os mesmos algarismos. Já no caso de uma comissão, importa quem são as pessoas, e não a ordem em que foram escolhidas. Observação 2 Como chegamos à essa fórmula? Consideremos um conjunto S com n elementos e k um natural tal que 1 < k < n. Sabemos que o número de k-uplas ordenadas sem repetição é dado por An,k =

n! (n − k)!

Por outro lado, um pouco de reflexão mostra que podemos chegar ao conjunto de k-uplas ordenadas sem repetição da seguinte forma: escolhemos um subconjunto R de S com k elementos. Então existirão k! permutações com elementos de R. Ora, se existem C subconjuntos de S com k elementos, e cada um desses subconjuntos gera k! permutações, então o número total de k-uplas ordenadas sem repetição de elementos de S

Unidade I será dado por C.k!, mas sabemos que esse número também é n! dado por An,k = (n − k)! n! n! Portanto, C.k! = , ou seja, C = (n − k)! .k! Observação 3 (n − k)!  n n! pode também ser abreviada por   ,  k (n − k)! .k! e essa expressão é chamada de número binomial. A expressão

Exemplo 1 Uma classe com 10 alunos precisa formar uma comissão com três representantes de classe. Quantas comissões existem? Solução 10 10! 10! 10 . 9 . 8 Existem C10,3 =   = = 120 = = 3 10 3 3 7 3 3 2 − ! . ( )! ! !.   comissões. Exemplo 2 Um concurso de Miss Universo conta com a participação de moças de 50 países. Quantas possibilidades existem para o primeiro, segundo e terceiro lugares? Solução Escrevemos este exemplo aqui para evidenciar que, neste caso, não devemos usar combinações, já que devemos escolher 3 moças. Mas, diferente de uma comissão, a ordem da escolha é importante. Por exemplo, Miss Brasil em primeiro, Miss Venezuela em segundo e Miss Argentina em terceiro é uma situação diferente de Miss Venezuela em primeiro, Miss Brasil em segundo e Miss Argentina em terceiro.

MATEMÁTICA DISCRETA Assim,

a solução correta 30! 30! A 30,3 = = = 30 . 29 . 28 (30 − 3)! 27!

1º lugar

2º lugar

3º lugar

problema

Exemplo 3 De um grupo com 9 pessoas, queremos escolher 6 para formar um time de vôlei. Quantos times podem ser formados? Solução  9

9.8.7

Podem ser formados C9,6 =   = = 48 = =  6 (9 − 6)!. 6! 3!. 6! 3 . 2 times. Exemplo 4 Um time de futebol de salão é constituído por quatro jogadores e mais um goleiro. De um grupo com 12 pessoas, apenas Marcos joga no gol e, portanto, deve fazer parte de qualquer time escalado. Nessas condições, quantos times podem ser formados? Solução Como Marcos deve estar presente em todos os times, separamos Marcos e já o colocamos em um time. Como Marcos já está no time, resta escolher mais 4 das 11 pessoas restantes.

Unidade I Portanto, podemos formar 11 11! 11! 11.10 . 9 . 8 C114, =   = = 330 times. = = 4 . 3.2  4  (11 − 4 )!. 4 ! 7!. 4 !

Exemplo 5 Um barman tem à sua disposição 9 tipos de bebida, e ele pretende fazer um drink misturando 5 delas. Quantos drinks ele pode produzir, se duas, entre essas 9 bebidas, não podem ser misturadas por resultarem uma mistura tóxica? Obs.: aqui supomos que a ordem em que as bebidas são misturadas é indiferente. Solução Aqui usaremos um truque muito utilizado em análise combinatória. A ideia é subtrair o número de drinks proibidos do total de drinks:  9 Quantidade total de drinks (sem restrição):    5  9 − 2  7 = Quantidade de drinks proibidos:   5 − 2  3 Portanto, o número de drinks pedidos será dado por:  9  7 9! 7!  5 −  3 = 5!. 4 ! − 4 !. 3! = 126 − 35 = 91