Matemática discreta unidade ii by Geovani Alves

MATEMÁTICA DISCRETA

Unidade II

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4 O PRINCÍPIO DA CASA DO POMBO (OU PCP)

O nome deste princípio advém do fato de que se houver n 25 casinhas de pombos e nelas pousarem mais do que n pombos, então, pelo menos, em uma casa haverá mais de um pombo. 30 4.1 Formulações

Podemos formular este princípio de forma menos pitoresca: Princípio da casa do pombo (coloquial) “Se mais do que n objetos forem distribuídos em n caixas, então haverá pelo menos uma caixa com mais do que um objeto.” Também podemos formular tal princípio na linguagem matemática de duas maneiras equivalentes: Princípio da casa do pombo (formal 1) Sejam A e B conjuntos ﬁnitos, e ƒ : A → B uma função. Se |B| < |A|, então ƒ não é injetora. Princípio da casa do pombo (formal 2) Sejam A e B conjuntos ﬁnitos, e ƒ : A → B uma função. Se |A| < |B|, então ƒ não é sobrejetora.

Unidade II No enunciado formal, o conjunto A corresponderia ao conjunto dos pombos, o conjunto B corresponderia ao conjunto das casinhas, e a função ƒ faria o papel de alocar cada pombo em uma casinha. 4.2 Exemplos

Exemplo 1 Qual o número mínimo de pessoas que devem estar em uma sala de aula para que haja certeza de que, ao menos, duas delas tenham o nome iniciado com a mesma letra? (Suponha que o alfabeto tenha 26 letras.) Solução Como existem 26 letras possíveis para a inicial, pelo princípio da casa do pombo devem existir ao menos 27 pessoas. (Neste problema, as 26 letras fazem o papel das “casas”; e as 27 pessoas, o lugar do “pombos”.) Observação No exemplo 1, assim como em muitos outros, será sempre útil raciocinar a partir do pior caso. Assim como o problema pergunta qual o número mínimo de pessoas que devem estar em uma sala para que haja certeza de que ao menos duas delas tenham o nome iniciado com a mesma letra, devemos pensar que, no pior caso, 26 pessoas poderiam ter as iniciais diferentes, pois existem 26 letras disponíveis, mas a próxima pessoa, com certeza, teria uma inicial repetida. Exemplo 2 Qual o número mínimo de pessoas que devem ser reunidas para garantir que ao menos duas delas fazem aniversário no mesmo dia? (Considere um ano com 365 dias.)

MATEMÁTICA DISCRETA Solução Como existem 365 dias possíveis para a data de aniversário, pelo PCP devem ser reunidas ao menos 366 pessoas. Exemplo 3 Quantas vezes um dado deve ser lançado para termos certeza de que cairão números repetidos? Solução Como existem 6 possibilidades para o lançamento de um dado, pelo PCP devemos lançar o dado ao menos 7 vezes. Exemplo 4 Um baralho é constituído por 52 cartas, divididas da seguinte forma: possui quatro naipes (copas, ouros, paus e espadas), e cada um dos naipes possui os seguintes valores: A (Ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Valete), Q (Dama) e K (Rei). Os naipes de copas e ouros são ﬁguras vermelhas e os naipes de paus e espadas, ﬁguras pretas. Quantas cartas devem ser retiradas de um baralho para garantirmos que sairão, ao menos: a) Duas cartas do mesmo naipe? b) Uma carta vermelha? c) Um Rei? d) Dois Reis? e) Duas cartas pretas? f) Três cartas do mesmo naipe? g) Duas Damas?

Unidade II h) Duas cartas de mesmo valor independentemente do naipe? i) Sete números? j) Três letras pretas? Solução a) Como são quatro naipes possíveis, pelo PCP, devemos retirar 5 cartas. b) Como dois naipes são vermelhos e dois são pretos, existem 26 cartas vermelhas e 26 cartas pretas. Pelo PCP, devemos, então, retirar 27 cartas. c) Como em 52 cartas apenas 4 são Reis, podemos retirar 52 - 4 = 48 cartas que não são Reis. Pelo PCP, devemos, então, retirar 49 cartas. d) Como acima, podemos retirar 52 - 4 = 48 cartas que não são Reis. Pelo PCP, devemos, então, retirar 48 + 2 = 50 cartas. e) Existem 26 cartas vermelhas e 26 cartas pretas. No pior caso, podemos tirar 26 cartas vermelhas e uma preta (independentemente da ordem) e a próxima bola será, obrigatoriamente, preta. Portanto, serão 28 cartas retiradas. f) Existem quatro naipes. No pior caso, podemos retirar oito cartas de três naipes, sem haver repetição. Portanto, devemos retirar nove cartas. g) De 52 cartas apenas quatro são Damas, portanto, podemos retirar uma Dama e 52 - 4 = 48 cartas que não são Damas e, independentemente da ordem, a próxima carta a ser retirada deverá ser, obrigatoriamente, uma Dama. Portanto, devemos retirar 50 cartas. h) Existem 13 valores possíveis, então após 14 retiradas haverá repetição de algum valor.

MATEMÁTICA DISCRETA i) Cada naipe possui quatro letras e nove números, de forma que o baralho possui 4.4 = 16 letras e 4.9 = 36 números. Podemos, então, no pior caso, retirar as 16 letras e, em seguida, serão retirados, obrigatoriamente, os números. Pelo PCP, devemos retirar 16 + 7 = 23 cartas. j) Podemos, no pior caso, retirar todas as 26 cartas vermelhas. Em seguida, podemos retirar todos os 18 números pretos e, posteriormente, retirar as três letras pretas. Portanto, pelo PCP, devemos retirar 47 cartas. Exemplo 5 Quantos números devem ser escolhidos no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sem repetição, para garantir que, pelo menos, um par de números tenha soma ímpar? Solução Se retirarmos, primeiramente, um número par, poderemos, no pior caso, escolher posteriormente mais dois números pares, para, somente na quarta escolha, podermos escolher um número ímpar, resultando, então, em uma soma ímpar. Analogamente, se retirarmos um número ímpar, poderemos, no pior caso, escolher, a seguir, mais dois números ímpares, para, somente na quarta escolha, podermos escolher um número par, resultando, então, em uma soma ímpar. Em qualquer caso, precisamos, então, de quatro escolhas. Exemplo 6 Quantos números devem ser escolhidos no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} para garantir que, se escolhermos dois números sem repetição desse subconjunto, pelo menos, um par de números tenha soma 7?

Unidade II Solução Notemos que os pares de números do conjunto A, cuja soma resulte em 7, são {1,6} , {2,5} e (3,4}. Se retirarmos um número qualquer, poderemos, no pior caso, escolher um número de outra dupla e depois outro número da terceira dupla, e na próxima escolha, obrigatoriamente, ele cairá em uma das duplas já ocupadas por um número, ou seja, se escolhermos quatro números do conjunto A, necessariamente um dos pares terá o número sete como soma. 5 O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA 5.1 Introdução

Observemos as seguintes situações: Situação 1 Um gerente de uma ﬁrma precisa de uma função que gere números primos, e pede a um funcionário que encontre determinada função. Após muito trabalho, ele chega à seguinte função ƒ : IN → IN dada por ƒ(n) = n2 - n + 41. Começa, então, a testar alguns números: ƒ(0) = 41 ƒ(1) = 41 ƒ(2) = 43 ƒ(3) = 47 ƒ(4) = 53 ƒ(5) = 61 ƒ(6) = 71 ƒ(7) = 83

MATEMÁTICA DISCRETA ƒ(8) = 97 ƒ(9) = 113 ƒ(10) = 131 Após testar mais alguns números e verificar que, de fato, ƒ(n) são todos números primos, é convencido e faz a seguinte afirmação ao seu patrão: Afirmação 1: “Considere a função ƒ : IN → IN dada por ƒ(n) = n2 - n + 4 Então, ∀n ∈ IN, ƒ(n) é um número primo.” Situação 2 Um gerente de uma firma precisa de uma função que some os n primeiros números ímpares, e pede a um funcionário que encontre determinada função. O funcionário faz, então, algumas observações: n

Soma dos n primeiros ímpares

1+3=4

1+3+5=9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100

Após um pouco de reﬂexão, ele percebe que a função ƒ : IN* → IN, dada por ƒ(n) = n2, é a função pedida. Apresenta-a, então, ao seu patrão e faz a seguinte aﬁrmação:

Unidade II Afirmação 2 “∀n ∈ IN*, a soma dos n primeiros números ímpares, é dada pela função ƒ : IN* → IN, dada por ƒ(n) = n2”. Você agiria da mesma forma que esses funcionários agiram? Arriscaria seu emprego? O grande problema dessas afirmações é que são afirmações sobre um número infinito de termos, e alguns testes, ou mesmo um grande número de testes, não garante a veracidade das afirmações. De fato, a afirmação 1 é falsa, basta tomar n = 41 e obteremos ƒ(41) = 412 - 41 + 41 = 412, que, obviamente, não é um número primo, já que é divisível por 41. Já a segunda afirmação é verdadeira, e será provada no exemplo1. É claro que um grande número de testes não aumenta a segurança da afirmação, para ver isso, basta tomar a seguinte afirmação: ∀n ∈ IN : n ≤ 10001000. A afirmação será verdadeira para os primeiros 10001000 números, mas falhará quando n = 10001000 + 1. Uma ferramenta matemática utilizada para provar tais afirmações (quando verdadeiras, evidentemente) é o Princípio de Indução Finita, que enunciaremos a seguir. 5.2 Princípio de Indução Finita (PIF fraco)

Seja A(n) uma aﬁrmação sobre um número natural n arbitrário. Se provarmos: 1) A(0)

MATEMÁTICA DISCRETA 2) ∀k [A(k) → A(k + 1)] Então, ∀nA(n). Observação 1 O item 1, acima, é chamado de base da indução e mostra que a aﬁrmação vale para o primeiro número natural, mas a aﬁrmação pode valer apenas a partir de um certo número natural n0, e, nesse caso, a hipótese de indução toma a forma A(n0). Observação 2 O item 2 é chamado de Passo Indutivo e a suposição A(k), no antecedente da implicação, é chamada de Hipótese de Indução (HI), e devemos utilizá-la para mostrar o consequente da implicação A(k + 1), que será chamado de tese. Observação 3 O Princípio de Indução Finita pode também ser apresentado em versão conjuntista. 5.3 Princípio de Indução Finita (PIF) – versão conjuntista

Seja S um subconjunto dos números naturais IN, tal que: 1) 0 ∈ S 2) ∀k [k ∈ S → k + 1 ∈ S] Então, S = IN. (São válidas, nesse caso, as mesmas observações e nomenclaturas citadas anteriormente.)

Unidade II 5.4 Exemplos – (PIF fraco)

Exemplo 1 Prove, usando o PIF, que ∀n > 1 : A(n), onde A(n) é a seguinte aﬁrmação: n

1 + 3 + 5 + 7 + ............. + (2n − 1) = n (ou seja, ∑ 2.i −1 = n2 ) 2

i =1

Solução 1) Base (n = 1): 1

Na expressão do lado esquerdo, para n = 1, obtemos

∑ 2.i −1 = 2.1−1=1, e, na expressão do lado direito, obtemos i =1

12 = 1, portanto A(1) é verdadeira. 2) Hipótese de indução (HI): 1 + 3 + 5 + 7 + ............. + (2k − 1) = k2 3) Tese: 1 + 3 + 5 + 7 + ............. + 2.k + [ 2.(k + 1) − 1] = (k + 1)2 4) Vamos mostrar nossa tese: 1 + 3 + 5 + 7 + ............. + 2.k + [ 2.(k + 1) − 1] =HI k2 + [ 2.(k + 1) − 1] = k2 + 2.k + 1 = (k + 1)2 5) Portanto, pelo PIF, ∀n ≥ 1: A(n). Exemplo 2 Prove, usando o PIF, que ∀n ≥ 1: A(n), onde A(n) é a seguinte n.(n + 1) (ou seja, aﬁrmação: 1+ 2 + 3 + 4 + ................ + n = 2 n n.(n + 1) ∑i = 2 ) i =1

MATEMÁTICA DISCRETA Solução 1) Base (n = 1): 1

Na expressão do lado esquerdo, para n = 1, obtemos ∑ i = 1, i=1

e, na expressão do lado direito, obtemos portanto A(1) é verdadeira.

1.(1+ 1) 2 = = 1, 2 2

2) Hipótese de indução (HI): 1+ 2 + 3 + 4 + ................ + k = 3) Tese:

k.(k + 1) 2

1+ 2 + 3 + 4 + ................ + k + (k + 1) =

(k + 1).(k + 2) 2

4) Vamos mostrar nossa tese: 1+ 2 + 3 + 4 + ................ + k + (k + 1) =HI

k.(k + 1) + 2.(k + 1) (k + 1).(k + 2) k .(k + 1) = + (k + 1) = 2 2 2

5) Portanto, pelo PIF, ∀n ≥ 1: A(n) . Exemplo 3 Prove, usando o PIF, que ∀n ≥ 1: A(n) , onde A(n) é a seguinte 0 1 2 3 n−1 n aﬁrmação: 2 + 2 + 2 + 2 + .............. + 2 = 2 − 1 (ou seja, n

∑ 2i −1 = 2n − 1) i =1

Solução 1) Base (n = 1): 1

Na expressão do lado esquerdo, para n = 1, obtemos

∑ 2i −1 = 21−1 = 20 =1 ,

e, na expressão do lado direito,

i =1

obtemos 21 - 1 = 2 - 1 = 1, portanto A(1) é verdadeira.

Unidade II 2) Hipótese de indução (HI): 20 + 21 + 22 + 23 + .............. + 2k −1 = 2k − 1 3) Tese: 20 + 21 + 22 + 23 + .............. + 2k −1 + 2k = 2k +1 − 1 4) Vamos mostrar nossa tese: 20 + 21 + 22 + 23 + .............. + 2k −1 + 2k =HI 2k − 1 + 2k = 2.2k − 1 = 2k +1 − 1 5) Portanto, pelo PIF, ∀n ≥ 1: A(n). Exemplo 4 Prove, usando o PIF, que ∀n ≥ 1: A(n), onde A(n) é a seguinte 1 1 1 1 1 n aﬁrmação: = + + + + ............. + n.(n + 1) n + 1 1 . 2 2. 3 3 . 4 4. 5 n 1 n (ou seja, ∑ ) = i .( i + ) n + 1 1 i =1 Solução 1) Base (n = 1): Na expressão do lado esquerdo, para n = 1, obtemos 1 1 1 ∑ i.(i + 1) = 1.(1 + 1) = 2 , e, na expressão do lado direito, i =1 1 1 = , portanto A(1) é verdadeira. obtemos 1+ 1 2 1

2) Hipótese de indução (HI): 1 1 1 1 1 k = + + + + ............. + k.(k + 1) k + 1 1 . 2 2. 3 3 . 4 4. 5

MATEMÁTICA DISCRETA 3) Tese: 1 1 1 1 1 1 k +1 + = + + + + ............. + 1 . 2 2. 3 3 . 4 4. 5 k.(k + 1) (k + 1).(k + 2) k + 2 4) Vamos mostrar nossa tese: 1 1 1 1 1 1 k 1 + =HI + = + + + + ............. + k.(k + 1) (k + 1).(k + 2) 1 . 2 2. 3 3 . 4 4. 5 k + 1 (k + 1).(k + 2) (k + 1)2 (k + 1) k.(k + 2) + 1 k2 + 2k + 1 = = = = (k + 1).(k + 2) (k + 1).(k + 2) (k + 1).(k + 2) (k + 2) 5) Portanto, pelo PIF, ∀n ≥ 1: A(n). Exemplo 5 Prove, usando o PIF, que ∀n ≥ 1: A(n), onde A(n) é a seguinte aﬁrmação: n < 2n Solução 1) Base (n = 1): 1 < 2 = 21 Ok. 2) Hipótese de indução (HI): k < 2k (onde k ≥ 1) 3) Tese: k + 1 < 2k+1 4) Vamos mostrar nossa tese: k + 1 <HI 2 k + 1 < 2 k + 2 k = 2.2 k = 2 k +1 5) Portanto, pelo PIF, ∀n ≥ 1: A(n). Exemplo 6 Prove, usando o PIF, que ∀n ≥ 1: A(n), onde A(n) é a seguinte aﬁrmação: 7 | 23n − 1.

Unidade II Observação 7 | 23n − 1 lê-se: “ 7 divide 23n − 1”. Lembremos que em IN: b | a ⇔ b ≠ 0 e ∃c ∈IN: a = b.c . Solução 1) Base (n = 1): 23.1 − 1 = 23 − 1 = 8 − 1 = 7 , portanto 7 | 23.1 − 1 Ok. 2) Hipótese de indução (HI): 7 | 23.k − 1 3) Tese: 7 | 23.(k +1) − 1 4) Vamos mostrar nossa tese: 23.(k +1) − 1 = 23.k + 3 − 1 = 23.k.23 − 1 = 8.23.k − 1 = (7 + 1).23.k − 1 = 7 .23.k + 23.k − 1 por HI, 7 | 23.k − 1, e, obviamente, 7 | 7.23.k , logo 7 | 7 .23.k + 23.k − 1. Ou seja, 7 | 23.(k +1) − 1 . 5) Portanto, pelo PIF, ∀n ≥ 1: A(n). Observação O Princípio de Indução Finita pode ser apresentado em outra versão, o chamado Princípio de Indução Finita Forte, que enunciaremos a seguir. 5.5 Princípio de Indução Finita Forte (PIF forte)

Seja A(n) uma aﬁrmação sobre um número natural n arbitrário. Se provarmos:

MATEMÁTICA DISCRETA 1) A(0) 2) ∀k [∀t (t ≤ k → A(t)) → A(k + 1)] Então, ∀n A(n). A diferença entre as duas versões é que, se queremos provar ∀n A(n), no Passo Indutivo, o Princípio de Indução Finita parte da suposição A(k), onde k é um número arbitrário, e o Princípio de Indução Finita Forte parte da suposição de que não apenas A(k) é válido, mas que A(n) é válido para todos os valores menores que k. Observação 1 A diferença entre as duas versões é que, se queremos provar ∀n A(n), no Passo Indutivo, o Princípio de Indução Finita parte da suposição A(k), onde k é um número arbitrário. Já o Princípio de Indução Finita Forte parte da suposição de que não apenas A(k) é válido, mas que A(n) é válido para todos os valores menores que k. Observação 2 Os dois princípios são equivalentes, ou seja, o que conseguimos provar com um, conseguimos provar com o outro. 5.6 Exemplos (PIF forte)

Exemplo 1 (Teorema Fundamental da Aritméticaexistência) Prove que todo número natural n ≥ 2 ou é primo ou pode ser escrito como um produto de primos. Solução: 1) Base (n = 2): Como 2 é primo, Ok.

Unidade II 2) Hipótese de indução (HI): “Seja k ≥ 2. Então, todo número 1 ≤ k ou é um número primo ou pode ser decomposto como produto de números primos”. 3) Tese: k + 1 é um número primo ou pode ser decomposto como produto de números primos. 4) Vamos mostrar nossa tese: Se k + 1 é um número primo, está provado. Se k + 1 não é um número primo, então, é um produto de dois números a e b , onde a ≤ k ≤ e b ≤ k. Então, como a ≤ k e b ≤ k, por HI, a e b são primos ou são produto de primos. Seja, então, a = a1 . a2.........ar, com r ≥ 1 e b = b1 . b2.........bs, com s ≥ 1, onde a1 . a2.........ar, b1 . b2.........bs são números primos. Então, k + 1= ab . = a1.a2 ........ar .b1.b2 ........bs , ou seja, k + 1 é um produto de números primos. 5) Portanto, pelo PIF Forte, todo número natural n ≥ 2 ou é primo ou pode ser escrito como produto de números primos. Exemplo 2 Prove que todo número natural maior que zero pode ser escrito como uma soma de potências de 2 distintas. Por exemplo: 15 = 23 + 22 + 21 + 20 e 24 = 24 + 23 e 31 = 24 + 23 + 22 + 21 + 20 . Solução 1) Base (n = 1): Basta notar que 1 = 20. Ok

MATEMÁTICA DISCRETA 2) Hipótese de indução (HI): Todo número l ≤ k pode ser escrito como uma soma de potências de 2 distintas. 3) Tese: k + 1 pode ser escrito como uma soma de potências de 2 distintas. 4) Vamos mostrar nossa tese: Se k + 1 é uma potência de 2, está provado. Se k + 1 não é uma potência de 2, por HI, k pode ser escrito como uma soma de potências de 2 distintas, ou seja, para algum m ≥ 1, temos que k = com am = 1 .

∑ ai .2i , onde

i= 0

ai = 0 ou ai = 1 , mas

Vamos deﬁnir uma nova sequência bn: Primeiramente, vamos estender a sequência an considerando am+1 = 0 . Então, na decomposição k = índice, tal que ai0 = 0 .

m +1

∑ ai .2i , seja i

i= 0

o primeiro

Deﬁnimos, então, a sequência bn da seguinte forma:  bi = 0 se i < i0   bi0 = 1   bi = ai se i > i0 m +1  m +1   m +1  Então, k + 1= HI ∑ ai .2i  + 1 =  ∑ ai .2i  + 20 = * ∑ bi .2i  i= 0   i= 0  i= 0 onde bi = 0 ou bi = 1.

Obs.: * decorre da deﬁnição da sequência bi.

Unidade II 5) Portanto, pelo PIF Forte, todo número natural n ≥ 2 ou é primo ou pode ser escrito como produto de primos. Observação Neste último exemplo, o conceito de indução, que é o que nos importa, é aparente. A parte ﬁnal, envolvendo somatórios, é apenas um artifício para não haver repetição nas potências de 2. Para melhor visualizar, vamos ver alguns exemplos, lembrando que queremos adicionar 1 (ou seja, 20) a uma dada decomposição de k. Exemplo 1 Vamos adicionar 20 a k = 25 + 23 + 21 + 20 . Temos, então: k + 1 = ( 25 + 23 + 21 + 20 ) + 20 = 25 + 23 + 21 + 2.20 = 25 + 23 + 21 + 21 = 25 + 23 + 2.21 = 25 + 23 + 22 Exemplo 2 Vamos adicionar 20 a k = 26 + 23 + 20 . Temos, então: k + 1 = ( 26 + 23 + 20 ) + 20 = 26 + 23 + 2.20 = 26 + 23 + 21 Exemplo 3 Vamos adicionar 20 a k = 24 + 23 + 22 + 21 + 20 . Temos, então: k + 1 = ( 24 + 23 + 22 + 21 + 20 ) + 20 = 24 + 23 + 22 + 21 + 2.20 = 24 + 23 + 22 + 21 + 21 = 24 + 23 + 22 + 2. 21 = 24 + 23 + 22 + 22 = 24 + 23 + 2.22 = 24 + 23 + 23 = 24 + 2.23 = = 24 + 24 = 2. 24 = 25

MATEMÁTICA DISCRETA 6 RECURSÃO 6.1 Deﬁnições

A recursão é um processo construtivo de obtenção de certos objetos a partir de outros obtidos em passos anteriores. Mais precisamente, dizemos que uma função F, com domínio nos números naturais, é deﬁnida recursivamente, supondo que seja conhecida uma função G, que satisfaz o seguinte esquema: F( 0) = c   F(n) = G( n, F(n − 1)) , se n ≥ 1  Observação 1 A expressão F(0) = c é denominada base da recursão, e c representa um valor ﬁxado. Observação 2 No esquema acima, tomamos como argumento inicial o número zero, mas poderíamos escolher outro, por exemplo: F(1). Observação 3 Poderíamos escrever o esquema acima da seguinte forma: F( 0) = c   F(n + 1) = G( n, F(n)) , se n ≥ 0  Frequentemente, utilizaremos ambas as formas.

Unidade II Observação 4 O esquema acima pode ser escrito de forma mais completa: F( 0, x1,....., xn ) = f( x1,....., xn )   F(n, x ,....., x ) = G( n − 1, F(n −11, x ,....., x ), x ,....., x ), se n ≥ 1 1 n 1 n 1 n  Mas, para a maioria das nossas aplicações, o primeiro esquema será suﬁciente. 6.2 Exemplos

Exemplo 1 A função multiplicação de um número natural por um número a fixo, supondo a soma conhecida, é definida recursivamente por: a.0 = 0  . +a a.(b + 1) = ab Exemplo 2 A função potência com base a fixo, supondo a multiplicação conhecida, é definida recursivamente por: a0 = 1  b +1 = ab .a a Exemplo 3 A função fatorial, supondo a multiplicação conhecida, é definida recursivamente por:  0! = 1  (a + 1)! = (a + 1). a!

MATEMÁTICA DISCRETA Exemplo 4 A função somatória de uma dada sequência ai, supondo a soma conhecida, é definida recursivamente por: 0 ∑ ai = a0 i = 0   n +1 n  a = a + an +1 ∑ i ∑ i i = 0 i = 0  Exemplo 5 Dada a seguinte função F , definida por recursão, escreva os 6 primeiros termos gerados:  F(1) = 2  F(n) = 2.F(n − 1) , se n ≥ 2 Solução: F(1) = 2 F(2) = 2.F(2 − 1) = 2.F(1) = 2.2 = 4 F(3) = 2.F(3 − 1) = 2.F(2) = 2.4 = 8 F(4 ) = 2.F(4 − 1) = 2.F(3) = 2.8 = 16 F(5) = 2.F(5 − 1) = 2.F(4 ) = 2.16 = 32 F(6) = 2.F(6 − 1) = 2.F(5) = 2.32 = 64 Exemplo 6 Dada a seguinte função F, definida por recursão, escreva os 6 primeiros termos gerados: F(1) = 1  2 F(n) = F(n − 1) + n , se n ≥ 2

Unidade II Solução F(1) = 1 F(2) = F(2 − 1) + 22 = F(1) + 4 = 1+ 4 = 5 F(3) = F(3 − 1) + 32 = F(2) + 9 = 5 + 9 = 14 F(4 ) = F(4 − 1) + 42 = F(3) + 16 = 14 + 16 = 30 F(5) = F(5 − 1) + 52 = F(4 ) + 25 = 30 + 25 = 55 F(6) = F(6 − 1) + 62 = F(5) + 36 = 55 + 36 = 91 Exemplo 7 Dada a seguinte função F, deﬁnida por recursão, escreva os 6 primeiros termos gerados:  F(1) = 2  1   F(n) = F(n − 1) , sen ≥ 2  Solução F(1) = 2 1 1 1 = = F(2 − 1) F(1) 2 1 1 1 F(3) = =2 = = 1 F(3 − 1) F(2) 2 1 1 1 F( 4 ) = = = F(4 − 1) F(3) 2 F(2) =

1 1 1 =2 = = 1 F(5 − 1) F(4 ) 2 1 1 1 = = F(6) = 2 F(6 − 1) F(5) F(5) =

MATEMÁTICA DISCRETA Exemplo 8 Dada a seguinte função F, definida por recursão, escreva os 6 primeiros termos gerados: F(1) = 1  2 F(n) = F(n − 1) + n , se n ≥ 2 Solução F(1) = 1 F(2) = F(2 − 1) + 22 = F(1) + 4 = 1+ 4 = 5 F(3) = F(3 − 1) + 32 = F(2) + 9 = 5 + 9 = 14 F(4 ) = F(4 − 1) + 42 = F(3) + 16 = 14 + 16 = 30 F(5) = F(5 − 1) + 52 = F(4 ) + 25 = 30 + 25 = 55 F(6) = F(6 − 1) + 62 = F(5) + 36 = 55 + 36 = 91 Exemplo 9 (Sequência de Fibonacci) Dada a seguinte função F, definida por recursão, escreva os 6 primeiros termos gerados:  F(1) = 1  (sequência de Fibonacci)  F(2) = 2  F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), se n ≥ 3  Observação: Esta importante sequência é definida com base dupla, ou seja, são dados os valores de F(1) e F(2).

Unidade II Solução F(1) = 1 F(2) = 2 F(3) = F(3 − 1) + F(3 − 2) = F(2) + F(1) = 2 + 1 = 3 F(4 ) = F(4 − 1) + F(4 − 2) = F(3) + F(2) = 3 + 2 = 5 F(5) = F(5 − 1) + F(5 − 2) = F(4 ) + F(3) = 5 + 3 = 8 F(6) = F(6 − 1) + F(6 − 2) = F(5) + F(4 ) = 8 + 5 = 13 Exemplo 10 Escreva uma função recursiva que gere a seguinte sequência (estão listados em ordem crescente de índices, ou seja, a1, a2 , a3 , a4 ,....... ): 1, 3 , 9 , 27 , 81,....... Solução F(1) = 1  F(n) = 3.F(n − 1), se n ≥ 2 Exemplo 11 Escreva uma função recursiva que gere a seguinte sequência (estão listados em ordem crescente de índices, ou seja, a1, a2 , a3 , a4 ,....... ): 2 , 4 ,16 , 256 ,............ Solução  F(1) = 2  2  F(n) = F (n − 1), se n ≥ 2 Exemplo 12 Escreva uma função recursiva que gere a seguinte sequência (estão listados em ordem crescente de índices, ou seja, a1, a2 , a3 , a4 ,.......) : 1, 2 , 4 , 7 ,11,16 , 22 ,...........

MATEMÁTICA DISCRETA Solução  F(1) = 1   F(n) = F(n − 1) + ( n − 1), se n ≥ 2 Exemplo 13 Uma colônia de bactérias tem inicialmente uma população de 50.000 bactérias. Sabe-se que a cada hora o número de bactérias triplica. Escreva uma deﬁnição recursiva para B(n) = número de bactérias no início da n-ésima hora (considere Q(0) = 50000). Solução  Q(0) = 50000   Q(n) = 3.Q(n − 1) , se n ≥ 1 Exemplo 14 Um investidor investiu R$ 600,00 em uma aplicação que rende 10% de juros compostos ao ano. Escreva uma deﬁnição recursiva para Q(n) = quantia de dinheiro no n-ésimo ano (considere Q(0) = 600,00). Solução Q(0) = 600, 00 ou seja,  Q ( n ) = Q ( n − 1 ) + 0 , 1 . Q ( n − 1 ) 

Q(0) = 600, 00  , .Q(n − 1) Q(n) = 11

Exemplo 15 (função de Ackermann) Dada a seguinte função F, deﬁnida por recursão, calcule F(2,1): F ( 0 , n ) = n + 1  F ( m , 0 ) = F ( m − 1,1) , se m ≥ 1 F ( m , n ) = F ( m − 1, F ( m , n − 1)) , se m, n ≥ 1 

Unidade II Obs.: Note que a função de Ackermann é uma função de duas variáveis. Solução 1) F( 2,1) = F( 2 − 1,F( 2 ,1− 1)) = F(1,F( 2 , 0 )) 2) F( 2 , 0 ) = F( 2 − 1,1) = F(1,1) 3) F(11 , ) = F(1− 1,F(1,1− 1)) = F( 0 ,F(1, 0 )) 4) F(1, 0 ) = F(1− 1,1) = F( 0 ,1) 5) F( 0 ,1) = 1+ 1 = 2 6) F(1, 0 ) = 2 (linhas 4, 5) 7) F(11 , ) = F( 0 , 2 ) (linhas 3, 6) 8) F( 0 , 2 ) = 2 + 1 = 3 9) F(11 , ) = 3 (linhas 7, 8) 10) F( 2 , 0 ) = 3 (linhas 2, 9) 11) F( 2,1) = F(1, 3 ) (linhas 1, 10) 12) F(1, 3 ) = F(1− 1,F(1, 3 − 1)) = F( 0 ,F(1, 2 )) 13) F(12 , ) = F(1− 1,F(1, 2 − 1)) = F( 0 ,F(1,1)) 14) F(12 , ) = F( 0 , 3 ) (linhas 9,13) 15) F( 0 , 3 ) = 3 + 1 = 4 16) F(12 , ) = 4 (linhas 14,15) 17) F(1, 3 ) = F( 0 , 4 ) (linhas 12, 16) 18) F( 0 , 4 ) = 4 = 1= 5 19) F(1, 3 ) = 5 (linhas 17, 18) 20) F( 2,1) = 5 (linhas 11, 19) Portanto, F( 2,1) = 5 .

MATEMÁTICA DISCRETA 6.3 Conjuntos deﬁnidos por recursão

De forma análoga, podemos definir um conjunto, recursivamente, escolhendo um elemento inicial e definindo uma cláusula de pertinência ao conjunto. Exemplo 1 Definimos recursivamente um conjunto numérico M da seguinte forma: a) 2 ∈ M b) Se x ∈ M , então x + 3 ∈ M c) Se x ∈ M , então 2.x ∈ M Quais dos seguintes números pertencem à M? a) 1 b) 6 c) 5 d) 3 e) 12 f ) 15 g) 4 Solução Apenas o número 5. Exemplo 2 Definimos recursivamente um conjunto numérico M da seguinte forma:

Unidade II i) 2 ∈ M ii) 3 ∈ M iii) Se x ∈ M e y ∈ M , então x .y ∈ M Quais dos seguintes números pertencem a M? a) 5 b) 6 c) 4 d) 21 e) 12 f ) 15 g) 24 Solução 6, 4, 12, 24 6.4 Cadeias

Definição Seja ∑ um conjunto finito de símbolos. Então, ∑* denota o conjunto de todas as sequências finitas de símbolos de ∑. Observação Entre as sequências de ∑* , deve constar o símbolo λ , que denota a sequência vazia. Definição Sejam x , y ∈ ∑* . Então a concatenação de x e y é a sequência xy.

MATEMÁTICA DISCRETA Por exemplo: se ∑ = { 0 , 1}, e sejam x a sequência 001010, y a sequência 111011, z a sequência 1001 e λ a sequência vazia. Então: xy é a sequência 001010 111011. xz é a sequência 001010 1001. yx é a sequência 111011001010. zxy é a sequência 1001001010111011. xλ é a sequência 001010. λyλ é a sequência 111011. 6.4.1 Exemplos Exemplo 1 Dado um alfabeto ∑ qualquer, forneça uma deﬁnição recursiva para | x | = número de símbolos da cadeia x. Solução  |λ|= 0   x ∈Σ ⇒ | x | = 1 | xy | = | x | + | y |  Exemplo 2 Dado um alfabeto ∑ qualquer, forneça uma deﬁnição recursiva para xR = o reverso da cadeia x. (o reverso de uma cadeia x é a cadeia x escrita ao contrário. Por exemplo, se x é a cadeia 124557, então, xR é a cadeia 755421). Solução  λR = λ  R  x ∈Σ ⇒ x = x  R R R ( xy ) = y x

Unidade II 6.5 A Torre de Hanói

O problema da Torre de Hanói: Existem 3 torres (A, B e C) e na torre A existem n discos com raios distintos empilhados de forma que seus raios estejam em ordem decrescente (ou seja, dado um disco qualquer, o disco acima tem raio menor). O problema da Torre de Hanói consiste em passar todos os discos da torre A para a torre C, possivelmente utilizando a torre B como auxiliar, obedecendo às seguintes condições: 1) É permitido mover apenas um disco de cada vez. 2) É permitido utilizar qualquer uma das três torres para a movimentação dos discos. 3) Em nenhuma etapa, um disco pode ﬁcar em cima de outro disco com raio menor. Para ilustrar, vamos exibir os passos para a solução do jogo de Hanói para 3 discos: Passo zero (posição inicial): A

Passo 1: A

MATEMÁTICA DISCRETA Passo 2: A

Passo 3: A

Passo 4: A

Passo 5: A

Passo 6: A

Unidade II Passo 7 (posição ﬁnal): A

O problema da Torre de Hanói suscita várias questões: 1) Existe solução? 2) A existência da solução depende do número de discos? 3) Caso exista solução, qual é o menor número de movimentos necessários? Vamos responder a todas essas questões, porém as aﬁrmações e suas demonstrações terão caráter intuitivo, já que trataremos as torres e os discos como objetos reais, embora o problema possa ser formalizado. 6.5.1 Alguns resultados Teorema 1 Seja n o número de discos. ∀n ≥ 1 o problema da Torre de Hanói admite solução. Dem: Por indução sobre o número de discos. Base: n = 1. Se existe apenas um disco, basta transferir o disco da torre A para a torre C. Hipótese de Indução: O problema de Hanói admite solução para k discos.

MATEMÁTICA DISCRETA Mostremos que existe solução para k+1 discos. De fato, seja D o disco de raio máximo. Então, D deve ser o último disco, e existem k discos empilhados sobre ele. Por Hipótese de Indução, é possível transferir esses k primeiros discos da torre A para a torre B, notando que, para isso, não é necessário mover o disco D, e, tampouco, D limita qualquer movimento, já que é o de maior raio, e admite qualquer outro disco acima dele (ou seja, o disco D funciona como o “chão”). É feita, então, a transferência do disco D para a torre C, e depois usando novamente a Hipótese de Indução, transfiro os k discos que estão agora na torre B para a torre C, empilhado-os sobre o disco D. Com isso, atingimos a configuração final seguindo as especificações pedidas. O que responde às perguntas 1 e 2. Para responder à pergunta 3, façamos antes algumas observações: • Chamaremos de movimento qualquer mudança de um disco de uma torre para outra torre distinta. • O Teorema 1 mostrou que ∀ ≥ 1, o problema de Hanói, admite solução. Seja, então, T(n) a função que fornece o menor número de movimentos para transferir n discos de uma torre para outra torre distinta. É claro que T(n) está bem definida, pois mostramos que o problema é solúvel e, obviamente, T(n) é limitada inferiormente.

Unidade II Teorema 2 Seja T(n) a função que fornece o menor número de movimentos para transferir n discos de uma torre para outra torre distinta.  T(1) = 1 Então,   T(n) = 2.T(n − 1) + 1 , se n ≥ 2 Dem: Se existe apenas um disco, basta transferir o disco da torre A para a torre C. Logo, T(1) = 1. Suponhamos que existam n ≥ 2 discos empilhados em A. Então, primeiramente transferimos os n - 1 primeiros discos de A para B. Por definição, foram necessários T(n - 1) movimentos. Podemos transferir, portanto, o disco de maior raio de A para C, e isso requer apenas um movimento. Finalmente, transferimos os n - 1 discos de B para C, empilhando-os sobre o disco de maior raio, e, para isso, por definição, foram necessários mais T (n - 1) movimentos. Portanto, para transferir os n discos de A para C foram necessários no total 2 . T (n - 1)movimentos.  T(1) = 1 Portanto,   T(n) = 2.T(n − 1) + 1 , se n ≥ 2 Resumindo: O problema de Hanói admite solução para qualquer número n de discos, e o menor número de movimentos possível para atingir a configuração final é dado pela função T(n) que obedece à seguinte relação de recorrência:

MATEMÁTICA DISCRETA  T(1) = 1   T(n) = 2.T(n − 1) + 1 , se n ≥ 2 Forma fechada para a função T(n): Podemos obter uma expressão não recursiva (forma fechada) para T(n). De fato, calculando alguns valores de T(n) na forma recursiva, obtemos: T(1) = 1 T(2) = 3 T(3) = 7 T(4 ) = 15 T(5) = 31 T(6) = 63 T(7) = 127 T(8) = 255 T(9) = 511 T(10) = 1023 Observando os valores de n e T(n), podemos conjecturar que T(n) =2n - 1. De fato, tal expressão é válida. É o que demonstraremos, a seguir, no Teorema 3. Teorema 3 Seja T(n) a função que fornece o menor número de movimentos para transferir n discos de uma torre para

Unidade II outra torre distinta. Mostramos no Teorema 2 que T(n) pode ser deﬁnida recursivamente por:  T(1) = 1   T(n) = 2.T(n − 1) + 1 , se n ≥ 2 Então, ∀n ≥ 1 : T(n) = 2n − 1. Dem: Por indução sobre n. Base: n = 1. Então, T(1) = 1 = 21 −1. OK Hipótese de Indução: T(k) = 2k − 1 Mostremos que T(k + 1) = 2k +1 − 1: De fato, T(k + 1) =DEF 2.T(k) + 1 =HI 2.( 2k − 1) + 1= 2.2k − 2 + 1= 2k +1 − 1 ∴ ∀n ≥ 1 : T(n) = 2n − 1 CQD (conforme queríamos demonstrar). Referências bibliográﬁcas GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação. São Paulo: LTC, 2004. SCHEINERMAN, Edward R. Matemática discreta: uma introdução. São Paulo: Saraiva, 2004.

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