LITα DIS - FHyCS
LICENCIATURA EN EL TRATAMIENTO Y ANÁLISIS DE DATOS PARA LA INVESTIGACIÓN SOCIOECONÓMICA
ASIGNATURA “Inferencia Estadística”
Tema Nº 1: ELEMENTOS DE LA TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
-GUÍA DE CLASES-
DOCENTE Estadístico CESAR N. AGUIRRE
CONCEPTOS PRELIMINARES
Prueba Aleatoria Es toda acción o proceso que genera un conjunto de resultados observables y bien definidos, de los que, en una repetición de la prueba podrá ocurrir uno y sólo uno de ellos, siendo imposible predeterminar con certeza absoluta cual ocurrirá. Es decir que la incertidumbre sobre el resultado es lo que caracteriza a una prueba aleatoria. Ejemplos: •
lanzar dos dados y observar el número que presenta cada uno de ellos,
•
arrojar la bola en el juego de la ruleta y observar el número resultante,
•
contar el número de llamadas que atiende la central telefónica de la Facultad en los próximos 5 minutos,
seleccionar al azar (mediante un “sorteo”) una muestra de 6 alumnos del curso de Estadística, En cada uno de estos ejemplos podríamos identificar la serie completa de resultados posibles de ocurrir si se realizara la acción descripta, y en ningún caso podríamos afirmar con certeza cual de ellos sucederá al realizar la prueba.
•
Suceso Elemental y Espacio Muestral
Cada resultado posible de una prueba aleatoria es un suceso elemental o punto de muestra asociado a la misma. • Al conjunto de todos los sucesos elementales (o puntos de muestra) de una misma prueba aleatoria, se lo denomina espacio muestral o espacio de muestra. •
Por ejemplo: un suceso elemental en la prueba de “arrojar la bola en el juego de la ruleta” será cualquier número comprendido entre
12
0 y 36. Por lo tanto el espacio muestral de esta prueba será: E = { 0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}
Otro ejemplo: La prueba aleatoria consiste en arrojar dos dados y observar el número que ocurre en cada uno de ellos. Un resultado posible (punto de muestra – suceso elemental) será una combinación de dos números. Por ejemplo la que se forma con el número 1 en un dado y el 1 en el otro ei= (1,1). Otro resultado que puede ocurrir es el (3,5), etc., etc., etc. El espacio de muestra estará compuesto por todas las combinaciones que se pueden formar con los 6 números de cada dado y tendrá los siguientes NE=36 sucesos elementales o puntos de muestra:
( ( ( ( ( (
)( )( )( )( )( )(
)( )( )( )( )( )(
)( )( )( )( )( )(
)( )( )( )( )( )(
)( )( )( )( )( )(
)
1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 E= 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6
) )
) )
)
En problemas sencillos como extraer una carta de un mazo, lanzar un dado o elegir al azar 2 alumnos de un grupo formado por N=10, construir el espacio muestral resultará un ejercicio relativamente simple. En cambio, en pruebas más complejas (como el sorteo del LOTO o elegir al azar una muestra de n elementos de una población formada por N individuos), se volverá más difícil o quizás imposible, construir el espacio de muestra individualizando a cada uno de los sucesos elementales que lo compone 1 . En estos casos se vuelve necesario contar con herramientas auxiliares de trabajo como el “diagrama del árbol” o las técnicas matemáticas de conteo que propone el Análisis Combinatorio (permutaciones, arreglos y combinaciones).
1
Considerar que el espacio muestral de un sorteo del LOTO se compone de 8.145.060 sucesos elementales y la selección de 6 estudiantes de entre 139, genera un espacio de 8.979.650.478 puntos de muestra.
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Suceso Aleatorio Definida una prueba aleatoria y determinado el espacio de muestra que ella genera: Un suceso aleatorio (o simplemente suceso o evento) será todo subconjunto de sucesos elementales que comparten una misma condición o propiedad. Sobre el espacio de muestra que corresponde a la prueba de lanzar dos dados se podrían identificar (definir) diferentes subconjuntos de puntos de muestra que comparten una misma propiedad o condición (sucesos aleatorios), como por ejemplo los siguientes 2 : •
Suceso A: “la suma de ambos dados es igual a 7” . Comprende al subconjunto de sucesos que satisfacen la condición “suma igual a 7”, es decir:
{
}
A= ( 1,6 ) , ( 2,5 ) , ( 3,4 ) , ( 4,3) , ( 5,2 ) , ( 6,1) ⇒ nA = 6 •
Suceso B: “el primer dado es 5 ó 6”. Se compone del subconjunto de 12 puntos de muestra que tienen como primer número al 5 o al 6, es decir:
{
B = ( 5,1) , ( 5,2 ) , ( 5,3) , ( 5,4 ) , ( 5,5 ) , ( 5,6 ) , ( 6,1) , ( 6,2 ) , ( 6,3) , ( 6,4 ) , ( 6,5) , ( 6,6 ) •
}
⇒ nB = 12
Suceso C: “la suma de ambos dados es menor o igual a 4” .
{
}
C = ( 1,1) , ( 1,2 ) , ( 1,3) , ( 2,1) , ( 2,2 ) , ( 3,1) ⇒ nC = 6 •
Suceso D: “la suma de ambos dados es igual a 2”. O sea, el subconjunto compuesto por:
{
D = ( 1,1)
}
3
⇒ nD = 1
IMPORTANTE Un suceso aleatorio se hará presente al realizar la prueba, si y solo si ocurre alguno de los puntos de muestra que lo forman. Es decir, al lanzar los 2 dados ocurrirá el suceso B solamente si el resultado es alguno de los 12 sucesos elementales cuyo “primer dado es 5 ó 6”. 2
3
Sugerimos al lector definir otros eventos en el mismo espacio de muestra. Por ejemplo: “la suma es 11 ó 12”, “el segundo dado es un número par y la suma de ambos resulta menor o igual a 8”, etc. Notar que en este caso el suceso aleatorio coincide con un único suceso elemental, o sea es un subconjunto formado por un solo punto de muestra
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Sucesos “cierto” e “imposible”
Suceso Cierto: es el suceso definido de tal manera que se forma con todos los sucesos elementales que componen el espacio muestral y por ello, ocurrirá siempre que se realice la prueba (con certeza ocurrirá en cada repetición de la prueba). Por ejemplo: Suceso ω: “la suma de ambos dados es un número comprendido entre 2 y 12”. Cualquiera sea el resultado que ocurra al lanzar dos dados, el suceso así definido estará presente porque todos los puntos de muestra del espacio E satisfacen la condición de ω. O sea: ω =E
Suceso Imposible (nulo o vacío): es el suceso definido de tal manera que no puede ocurrir en ninguna realización de la prueba. En otras palabras, es un suceso aleatorio que no tiene ningún suceso elemental que lo represente. Por ejemplo: Suceso Φ : “la suma de ambos dados es un número mayor que 12”. Sucesos Mutuamente Excluyentes Dos o más sucesos aleatorios definidos en un mismo espacio de muestra, pueden ser “excluyentes” o “no excluyentes” entre sí.
Sucesos mutuamente excluyentes son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente en una misma prueba (la presencia de uno excluye automáticamente la presencia del otro u otros). Es decir que los eventos excluyentes se definen de tal modo que no comparten ningún suceso elemental entre sí (o forman subconjuntos que no se interceptan o “traslapan” en ningún punto de muestra).
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Los sucesos aleatorios A y C anteriores, son mutuamente excluyentes ya que no podrían ocurrir simultáneamente al lanzar dos dados, por cuanto forman subconjuntos de E que no tienen ningún suceso elemental en común (no es posible que la suma sea “ igual a 7” y al mismo tiempo “menor o igual a 4”). E C (1,3)
(1,1)
(1,6)
(4,1)
(3,2)
(1,2)
(4,6)
(2,5)
(2,2)
(6,1)
(3,6)
(2,1) (4,2) (1,4)
(4,5)
(6,2)
(2,3) (1,5)
(6,4) (6,6)
(6,5)
(3,3) (2,4)
(5,2)
(5,4)
(3,5)
B
(5,6)
A
(4,3)
(4,4)
(3,1)
(2,6)
(3,4)
(5,5)
(5,1) (6,3)
(5,3)
En cambio, los sucesos A y B son no mutuamente excluyentes (o traslapantes) por cuanto podrían ocurrir simultáneamente en una misma prueba. Si el resultado de lanzar los dados fuera (5,2) ó (6,1) se harían presentes al mismo tiempo los eventos A: “ suma igual a 7” y B: “el primer dado es 5 ó 6”. En otras palabras, los sucesos no excluyentes forman subconjuntos del espacio muestral que tienen uno o más sucesos elementales en común y por ello pueden ocurrir conjuntamente (simultáneamente) en una misma prueba. Sucesos Compuestos por la Unión Definidos dos o más sucesos aleatorios en un espacio de muestra E, se pueden componer nuevos sucesos mediante la unión de éstos. Supongamos que en la prueba de lanzar dos dados se definen los siguientes sucesos aleatorios: H: “la suma es 2 ó 3” → H= { (1,1),(1,2),(2,1),} y J: “la suma es 11 ó 12” → J= { (5,6),(6,5),(6,6),}
Uniendo a ambos obtendremos un nuevo suceso aleatorio G:“la suma igual a 2 ó 3 u 11 ó 12”, que estará compuesto por todos los elementos de “H” y “J”. Es decir:
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G= { ( 1,1) , ( 1,2 ) , ( 2,1) , ( 5,6 ) , ( 6,5 ) , ( 6,6 ) }
En símbolos diremos que G=H U J Un suceso compuesto puede ser el resultado de la unión de 2 ó más sucesos aleatorios definidos en el mismo espacio muestral E. O sea, (A U B U C) ó (A U C U D U E), etc. Sucesos conjuntos Dos sucesos aleatorios A y B, definidos en un mismo espacio de muestra, podrán ocurrir simultáneamente en una misma prueba, si y solo si, tienen puntos de muestras en común (o sea, no son mutuamente excluyentes). La presencia conjunta de ambos en una prueba, sucederá si ocurre alguno de los sucesos elementales compartidos (alguno de los elementos que forman la intersección de ambos sucesos). Ya hemos analizado que los sucesos A: “la suma es igual a 7” y B: “el primer dado es 5 ó 6” pueden ocurrir simultáneamente en una prueba si se hace presente alguno de los dos puntos de muestra que tienen en común.
El suceso aleatorio formado por los puntos comunes a dos sucesos A y B cualesquiera, definidos en un mismo espacio de muestra E , se denomina “suceso conjunto A y B” 4 y lo simbolizaremos con (A I B ) . Ejemplo: Para la prueba de lanzar 2 dados, sean los sucesos no excluyentes: •B: “el primer dado es 5 ó 6” •F: “la suma de ambos dados es un número entre 10 y 12” El suceso conjunto “B y F” significará “el primer dado 5 ó 6 y la suma un número entre 10 y 12”, resultando: Suceso (B I F) = ( 5,5) , ( 5,6 ) ,(6,4), ( 6,5) , ( 6,6 )
{
}
Sucesos Complementarios Definido un suceso aleatorio cualquiera A en el espacio de muestra E, el suceso complementario de A (simbolizado con A ) se compone de todos los puntos de muestra de E que no forman parte de A. Por lo tanto:
4
“Suceso A y B y C” si fueran 3 sucesos no excluyentes entre sí y su símbolo es este caso será (A I B I C)
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•
El suceso A significa que “no ocurra A” o sea, la negación de A (también llamado “no A”).
A y A son sucesos excluyentes entre sí y la unión de ambos es el suceso cierto. Es decir que el suceso compuesto (A U A )= E . En el ejemplo de lanzar 2 dados, A significará “la suma no es igual a 7”, B representará “el primer dado no es igual a 5 ó 6”, etc. etc. Es decir: ( 1,1) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ( 1,4 ) , ( 1,5 ) , ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 2,6 ) , ( 3,1) , ( 3,2 ) , ( 3,3 ) , ( 3,5 ) , ( 3,6 ) , A= ( 4,1) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) , ( 4,5 ) , ( 4,6 ) , ( 5,1 ) , ( 5,3 ) , ( 5,4 ) , ( 5,5 ) , ( 5,6 ) , ( 6,2 ) , ( 6,3 ) , ( 6,4 ) , ( 6,5 ) , ( 6,6 )
( (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , B = 3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6
Actividad
SIMBOLOGÍA Utilizaremos la siguiente simbología para representar los conceptos presentados hasta ahora: ei: Suceso elemental o punto de muestra genérico “i” de una prueba aleatoria. E: Espacio muestral generado por una prueba aleatoria. NE: Tamaño de E (cantidad de resultados posibles que genera la prueba). A, B, C: Diferentes sucesos aleatorios en E nA: Cantidad de elementos que componen un suceso A definido en E. U (A B): Suceso compuesto “A ó B”. (A I B): Suceso conjunto “A y B”. A : Suceso complementario de A. Φ : Suceso “imposible” o nulo. ω: Suceso “cierto”.
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PROBABILIDAD DE UN SUCESO La probabilidad de un suceso aleatorio definido en cierto espacio muestral, es una medida de la incertidumbre sobre la ocurrencia del suceso al realizar la prueba aleatoria que lo origina. Si decimos que hay una probabilidad de 0,167 (ó bien 16,7%) de obtener una suma igual a 7 al lanzar 2 dados, estamos expresando con un número cuán posible resulta la presencia de ese suceso en el caso de lanzar los dados. El problema entonces es cómo construir estas medidas en diferentes situaciones de trabajo. Son tres los enfoques que definen a la probabilidad: “probabilidad clásica”, “probabilidad frecuencial o estadística” y “probabilidad subjetiva” ; cada una de ellas será aplicable según el tipo de prueba aleatoria y resultados posibles que se trate en cada caso.
Probabilidad clásica ó “a priori” Consideremos una prueba aleatoria que genera un espacio de muestra E, conformado por NE sucesos elementales de igual probabilidad (equiprobables); consideremos también que como resultado de esta prueba podemos establecer un suceso aleatorio A (ó B ó C ó A U B ó B , etc.) definido en el espacio muestral (E) y compuesto por n A puntos de muestra. Desde el enfoque clásico la probabilidad P(A) 5 de que ocurra el suceso A en una realización de la prueba, “es el número que resulta del cociente entre los nA puntos de muestra favorables a A y los NE resultados posibles de E”. En símbolos: P(A)=
nA NE
ACLARACION La condición de “equiprobabilidad” de los sucesos elementales significa que podemos suponer que cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de ocurrencia en cada repetición de la prueba aleatoria. Es necesario que la prueba aleatoria se realice de tal manera que no asigna más chances de ocurrir a algunos resultados posibles que a otros. Por ejemplo “los dados bien equilibrados y lanzados correctamente”; “las cartas bien mezcladas y extraídas del mazo sin 5
P(A) ó P(B) ó P(A U B), etc. simbolizan: “probabilidad de que ocurra el suceso aleatorio en cuestión al realizar la prueba aleatoria”.
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trampas”, “las bolillas de la urna bien mezcladas y extraídas correctamente”, etc. Si uno de los dados no fuera perfectamente equilibrado en el peso de todas sus caras (estuviera “cargado”), de tal modo que favorece la presencia de una de ellas por sobre las otras, los sucesos elementales que se formen con ese número favorecido tendrán más chances que otros de ocurrir. En consecuencia, los resultados posibles no serían “equiprobables”. Lo mismo sucedería si se comete algún error o “trampa” al seleccionar la muestra extrayendo bolillas de la urna. En el ejemplo de lanzar dos dados que venimos describiendo, por la regla clásica resultarán: Para A: “la suma de ambos dados es igual a 7”: 6 =0,167 (ó 16,7%) que significa: “hay una probabilidad de P(A)= 36 0,167 o del 16,7% de obtener un 7 al lanzar 2 dados” Para B: “el primer dado es 5 ó 6”: 12 =0,333 P(B)= (ó 33,3%) “la 36 probabilidad de que el primer dado resulte 5 ó 6 es del 33,3%” Para el suceso (A I B): “que la suma sea igual a 7 y el primer dado 5 ó 6”: 2 =0,056 P(A I B) = 36 Para el suceso P( A )=
30 36
A : “que la suma no resulte igual a 7”:
=0,833
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Considerando que un suceso “imposible” Φ no reúne ningún punto de muestra de E que lo represente y que un suceso “cierto” se compone de todos los puntos del espacio muestral, por la regla clásica resulta: P( Φ )=
0
=0 “un suceso imposible siempre
NE tiene probabilidad nula de ocurrir” P()=
NE NE
=1 “un suceso cierto siempre tiene
probabilidad 1 de ocurrir”
Propiedad: “La probabilidad de todo suceso aleatorio A, definido en un espacio de muestra E, siempre es un número comprendido entre 0 y 1” . Es decir: 0 ≤ P(A) ≤ 1 6 Los únicos requisitos indispensables para resolver un problema de probabilidades por la regla clásica son: •
que la prueba asegure resultados posibles (sucesos elementales) equiprobables,
•
que se pueda determinar el tamaño NE del espacio de muestra, y
•
que sea posible determinar la cantidad de puntos de muestra (nA, n B , nC, etc.) que componen los sucesos para los que se deben calcular las probabilidades.
Probabilidad frecuencial ó “a posteriori” Ciertos problemas aleatorios no reúnen las condiciones que requiere la regla clásica para resolver el cálculo de probabilidades. Por ejemplo, si la prueba consiste en lanzar un dado imperfecto que sabemos favorece la aparición de dos de sus caras, estaríamos ante una experiencia aleatoria que no satisface la condición de equiprobabilidad y por lo tanto, las probabilidades no podrán resolverse desde el enfoque clásico. 6
Para facilitar la lectura y comprensión, las probabilidades suelen expresarse como un porcentaje.
12
Situaciones como esta podrán resolverse por el enfoque frecuencial de la probabilidad que expresa:
“Si un experimento se repite en condiciones homogéneas un número “n” muy grande de veces, y al cabo de las repeticiones un suceso A ocurrió fA veces 7 , la probabilidad de que A ocurra en una nueva repetición de la prueba será”:
P(A)=
fA n
(frecuencia relativa de A en las n repeticiones)
Desde este enfoque, la probabilidad de un suceso se determina por la frecuencia relativa con la que ocurre el suceso en una serie numerosa de repeticiones de la prueba. Por lo tanto, la probabilidad sólo puede determinarse “a posteriori” de las observaciones. Ahora sí, podríamos resolver los dos problemas planteados al comienzo. En el caso de lanzar el dado imperfecto, deberíamos realizar un número grande de lanzamientos (por ejemplo 1000 veces) y registrar la frecuencia con que ocurre cada uno de los 6 números. Supongamos que al final de la experiencia resultan los siguientes registros:
7
fA es la frecuencia absoluta de A en las n repeticiones de la prueba, por lo tanto fA ≤ n
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N ú m er o de l da do 1
0
2
2 2 0 0
3
1 4 0 0
4
1 3 6 0
5
2 3 1 0
6
1 3 5 0 1 3 8
12
T O T A L
1 0 0 0
Para un nuevo lanzamiento del dado, la probabilidad de que ocurra el suceso A: “el número es 4 ó mayor” resultará: fA 231+135+138 P(A)= = =0,504 1000 1000
Si dispusiéramos de datos recientes y confiables sobre la procedencia de los visitantes que ingresan al Parque Iguazú, utilizando las frecuencias relativas calculadas sobre esos datos, sería posible determinar las probabilidades para sucesos del tipo “que el grupo elegido resida en el Extranjero” . Volvamos a considerar la prueba aleatoria de seleccionar al azar un grupo turístico, observando el origen o procedencia (distinguiendo argentinos, Resto de América, y Otros Países) y la forma de organización del viaje (Cta. Propia y Tour por Agencia). El experimento consistió en observar a lo largo de un año una muestra de 3143 turistas 8 . Los resultados de la observación repetida se presentan en la siguiente tabla. Grupos Turísticos según Origen y Forma de Organización del Viaje. Pto. Iguazú 93/94 Origen Argentinos Resto América Otros Países Total
Organización del viaje Cta. Propia Tour Agencia 1496 722 331 90 363 141 2190 953
Total 2218 421 504 3143
A partir de los datos del cuadro anterior, podemos estimar que “la probabilidad de elegir al azar un grupo turístico de argentinos”, sería: P(A)=
8
fA 2218 = =0,71 3143 3143
Un suceso elemental ei estará definido por el par (origen, forma de organización), generando así un espacio muestral de 6 elementos: {(Argentino, Cta. Propia); (Argentino, Tour); (Resto América, Cta. Propia); (Resto de América, Tour); (Otros Países, Cta. Propia); (Otros Países, Tour)}
12
En consecuencia, esperaríamos que de cada 100 grupos turísticos que seleccionamos al azar, 71 fueran argentinos.
Reglas Básicas para el Cálculo de Probabilidades
Independientemente del enfoque por el cual se determinan las probabilidades de cualquier suceso A asociado a una determinada prueba aleatoria, es útil conocer ciertas reglas básicas que facilitan resolver operaciones y cálculos de probabilidades. Por ejemplo, supongamos que de alguna manera (clásica o frecuencial) se conocen las probabilidades de dos sucesos A y B generados por cierta prueba, siendo P(A)= 0,21 y P(B)= 0,16 respectivamente. ¿Cómo calculamos la probabilidad de que ocurra el suceso compuesto A ó B?, es decir, P(A U B) y ¿cómo calculamos la probabilidad de que no ocurra B? o sea P( B ). La teoría de las probabilidades nos ofrece reglas útiles para el cálculo de estas probabilidades sin tener que determinar el número de sucesos elementales favorables entre los posibles, tal como lo hiciéramos en puntos anteriores. Veamos entonces algunas reglas útiles para simplificar estos cálculos. Probabilidad de la unión de sucesos (“ley aditiva”) Si dos sucesos aleatorios A y B, definidos en un mismo espacio de muestra E, son mutuamente excluyentes, la probabilidad del suceso compuesto por la unión de A y B será: P(A U B)=P(A)+P(B) Es decir, “la probabilidad del suceso que resulta de la unión de dos sucesos aleatorios excluyentes, es igual a la suma de las probabilidades individuales de ambos sucesos”.
12
E
A B
nA=7 nB=5 n(A B)=12 NE =23
B
A
P(A)=7/23=0,30 P(B)=5/23=0,22 P(A B)=0,52
P(A B) = P(A) + P(B)
Ejemplo: Para los sucesos A, “la suma de ambos dados es igual a 7”, con probabilidad P(A)= 0,167 y el suceso C, “la suma de ambos dados es menor o igual a 4”, con probabilidad P(C)= 0,167 (siendo ambos sucesos excluyentes entre sí) resulta que la probabilidad del suceso compuesto “la suma es 7 o menor o igual a 4”, será: P(A U C)= 0,167+0,167= 0,334
Si los sucesos aleatorios A y B, definidos en un mismo espacio de muestra E, no son mutuamente excluyentes, la probabilidad del suceso compuesto por la unión de ambos será (regla general aditiva): P(A U B)= P(A)+P(B) - P(A I B) Es decir, “la probabilidad del suceso que resulta de la unión de dos sucesos aleatorios no excluyentes, es igual a la suma de las probabilidades individuales de ambos sucesos, menos la probabilidad del suceso conjunto (A I B)”.
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E
A C
C
A
nA =7 nC =9 n(A C)=14 NE =23 P(A)=7/23=0,30 P(C)=9/23=0,39 P(A C)=2/23=0,08
P(A C)=0,61
P(A C) = P(A) + P(C) - P(A C)
Ejemplo: Dados los sucesos A, “la suma de ambos dados es igual a 7”, con probabilidad P(A)= 0,167, el suceso B, “el primer dado es 5 o 6”, con probabilidad P(B)= 0,333; y el suceso (A I B) “la suma sea 7 y el primer dado es 5 o 6” con P(A I B)= 0,056, el suceso compuesto “la suma es 7 o el primer dado es 5 o 6”, tiene probabilidad: P(A U B)= 0,167+0,333 - 0,056= 0,444
Probabilidad del complemento En el ejemplo de lanzar 2 dados habíamos definido el suceso A: “la suma es igual a 7 puntos”, siendo entonces su complemento, el suceso A : “la suma es distinta a 7”. También hemos visto que los sucesos complementarios son excluyentes entre sí y que el suceso compuesto por la unión de ambos resulta el espacio de muestra. Es decir (A U A )= E. Por lo tanto: P(A U A )= P(E)=1 Siendo A y A mutuamente excluyentes, será P(A U A )= P(A)+P( A ) En consecuencia: P(A U A )=P(A)+P( A )=1, de donde: P( A )=1- P(A)
12
Propiedad: “Sea un suceso A definido en un espacio de muestra E, con probabilidad de ocurrencia P(A), la probabilidad del complemento A , siempre es”: P( A )=1- P(A) Ejemplo: El suceso B: “el primer dado es 5 ó 6”, tiene probabilidad P(B)= 0,333 de ocurrir al lanzar dos dados. En consecuencia, el suceso B : “el primer
dado es un número distinto a 5 ó 6”, tiene probabilidad P( B )= 10,333= 0,67 de hacerse presente al realizar la prueba. Regla de la probabilidad condicional Algunos problemas del cálculo de probabilidades consisten en determinar la probabilidad de que, al realizar la prueba aleatoria, “se haga presente cierto suceso A, bajo la condición de que ha ocurrido otro suceso B definido en el mismo espacio muestral” (“que ocurra A sí ha ocurrido B”). O sea, se trata de determinar la probabilidad de A, condicionada a la presencia de otro suceso B. Por ejemplo, para la prueba de lanzar 2 dados podríamos plantearnos: “la probabilidad de obtener la suma 7, sujeta a la condición de que el primer dado es 5 ó 6” (“probabilidad de que ocurra A, condicionada a la presencia de B”). Es de notar que en este tipo de planteos no nos interesamos por la presencia de un suceso A por sí mismo o independientemente de todo otro evento asociado a la prueba aleatoria 9. Interesa la ocurrencia de A, sujeta o restringida a la condición de que ocurra el otro suceso B (ó C ó D, etc. etc.). Estas probabilidades se denominan “condicionales” y se simbolizan con P(A/B) que se lee: “probabilidad de A condicionado a B” ó “probabilidad condicional de A dado B”, y significa “probabilidad de que ocurra A bajo la condición de que ocurre B”. La regla para calcular probabilidades condicionales expresa: “sean dos sucesos aleatorios A y B, definidos en un mismo espacio muestral, la probabilidad de que ocurra A, condicionada a 9
Ya hemos visto que la presencia de A, no sujeta a ninguna condición, tendrá probabilidad P(A) de ocurrir.
12
la presencia de B, resulta”: P(A/B)=
P( A ∩ B) P( B)
O sea, la probabilidad condicional se obtiene haciendo el cociente entre la probabilidad del suceso conjunto (A y B) y la probabilidad del suceso condicionante B.
Ejemplo: Para la prueba de los dados, ya hemos definido los sucesos: A: “la suma de ambos dados es igual a 7”, con P(A)=0,167; B: “el primer dado es 5 ó 6”, con P(B)=0,333. Supongamos nos interesa conocer cuál es la probabilidad de que “la suma de los dados sea igual a 7, si en la tirada del primer dado se ha observado un 5 o un 6”, sabiendo además que P(A I B) = 0,056. Así, la probabilidad de que ocurra A condicionada a que ocurre B es: P(A/B) =
P(A I B) P(B)
=
0, 056 0, 333
= 0,168
IMPORTANTE Si los sucesos A y B no tienen elementos en común (son mutuamente excluyentes), la P(A I B) = 0 y, en consecuencia, P(A/B)= 0. También, podemos decir que “si la probabilidad condicional de dos sucesos aleatorios resulta igual a cero, ambos sucesos son excluyentes entre sí”.
Regla multiplicativa
Si son conocidas P(A/B) y P(B), y desconocemos P (A I B) , podemos determinar la probabilidad del suceso conjunto (A I B) , mediante un pasaje de términos de la regla de probabilidad condicional como: P (A I B) = P(B)×P(A/B)
12
Es por ello que la llamada “regla multiplicativa” de las probabilidades expresa: “siendo A y B dos sucesos definidos en un mismo espacio de muestra, la probabilidad de que ocurran conjuntamente en una prueba es”: P (A I B) =P(B)×P(A/B)
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En muchos problemas prácticos puede resultar necesario determinar la probabilidad de que ocurran conjuntamente dos sucesos cualesquiera, asociados a una misma prueba aleatoria. Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso conjunto (F I G) . En nuestro ejemplo, la probabilidad del suceso (F I G) : “que el primer dado sea 6 y que la suma sea 12 ” 11. Sabemos que P(F/G)= 0,167 y P(G)= 0,167. Por lo tanto: P (F I G) = 0,167 × 0,167= 0,028
Regla multiplicativa y Sucesos independientes Si se trata de dos sucesos A y B independientes, será P(A/B)=P(A) y, en consecuencia, P (A I B) =P(A) × P(B), de donde se deduce la siguiente condición para la independencia de sucesos aleatorios: “dos sucesos A y B cualesquiera, definidos en un mismo espacio de muestra, son estocásticamente independientes, si la probabilidad de ocurrencia conjunta es igual al producto de las probabilidades marginales de cada uno de ellos”. Es decir, si se verifica que: P (A I B) =P(A) × P(B) Ejemplo: Para los sucesos A: “la suma de ambos dados es igual a 7” y B: “el primer dado es 5 ó 6”, sabemos que P(A)=0,167, P(B)=0,333 y P (A I B) = 0,056. Siendo que 0,167 . 0,333= 0,056= P (A I B) ; podemos afirmar que los sucesos A y B son estadísticamente independientes. 10 11
O bien, P (A I B) = P(A) × P(B/A) si son conocidas P(A) y P(B/A). Ya conocemos que P (F I G) = 0,028 porque la hemos determinado contando los puntos de muestra del suceso (F I G) y dividiendo por NE. Ahora nos proponemos una forma diferente de calcular P (F I G) cuando no se dispone de esa información primaria y sólo se conoce P(F), P(G) y P(F/G).
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Actividad
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