ANEXO II – Optativo – Desarrollos Algebraicos 1. Estimador por Razón: Conveniencia del uso del MERa en relación al MESE n
∧
Debe tenerse presente que R =
∑y i =1 n
i
, al ser una función muestral es una variable. xi 1 N ∑ yi ∑ i =1 y Y N i =1 Si fuese constante, sería: R = para todo i. = = i N 1 X xi xi N∑ i =1
)
En ese caso, la parte variable de las Variancias de todos los Estimadores ( ∑ ( yi − R.xi ) ) se anularía, y es la situación ideal para utilizar el Estimador por Razón, ya que en estos casos el R es igual en todos los pares de valores de X e Y de cada unidad. Analizando esa parte variable de las Variancias (que es igual en los tres Estimadores presentados: Razón, Promedio y Total), y desarrollando el cuadrado de la expresión se llega a: n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
∑ ( yi − Rˆ . xi )2 = ∑ y i2 + Rˆ 2 .∑ xi2 − 2. Rˆ .∑ yi .xi =
= s y .Rˆ 2 .sx2 − 2.Rˆ .sx , y Si 2
expresión de
)
∑ ( yi − R. xi)
se considera que ρˆ =
Mediante algunos pasos algebraicos:
s x,y s x .s y
⇒ s x , y = ρˆ .( s x .s y ) se tiene otra
en función de ? , que puede resultar de utilidad para analizar el Sesgo
del Estimador por Razón.
El Sesgo de los Estimadores en el MERa Sabiendo que los Estimadores del MERa son sesgados, si se identifica con B el Sesgo de un Estimador, las formas de expresión “teóricas” del Sesgo del Estimador por Razón para cada uno de los Parámetros analizados son: Concepto Total
Sesgo del Estimador por Razón
B ( yˆ R ) =
( R − σ (2Xˆ ) − ρ .σ ( Xˆ ) .σ ( Yˆ ) ) X
Promedio
(1 − f ) 2 B ( yˆ R ) = .( R.S Xˆ − ρ .S Yˆ .S Xˆ ) n
Razón
(1 − f ) B( Rˆ ) = .( R.S Xˆ 2 − ρ.S Yˆ .S Xˆ 2 n. X
Donde ρ =
Cov x, y σ x .σ y
)
es el Coeficiente de Correlación entre las variables x e y.