Ecuaciones Diferenciales Tercer Departamental

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Modelado de Ecuaciones Lineales Diferenciales de Primer Orden Ley de Enfriamiento y Calentamiento de Newton 1. Si una barra metĂĄlica pequeĂąa, cuya temperatura inicial es de 20ÂşC, se deja caer en un recipiente con agua hirviente, ÂżCuĂĄnto tiempo tardara en alcanzar 90ÂşC si se sabe que su temperatura aumento 2ÂşC en un segundo? ÂżCuanto tiempo tardarĂĄ en llegar a 98ÂşC? SoluciĂłn Asumimos que la ecuaciĂłn diferencial de primer orden serĂĄ: đ?‘‘đ?‘‡ = đ?‘˜(đ?‘‡ − 100) đ?‘‘đ?‘Ą Por lo tanto usando separaciĂłn de variables para resolver la ecuaciĂłn diferencial anterior tenemos que: đ?‘‘đ?‘‡ đ?‘‘đ?‘‡ = đ?‘˜đ?‘‘đ?‘Ą ⇒ âˆŤ = đ?‘˜ âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ą ⇒ đ?‘‡ − đ?‘‡đ?‘š đ?‘‡ − đ?‘‡đ?‘š đ?‘™đ?‘›|đ?‘‡ − đ?‘‡đ?‘š | = đ?‘˜đ?‘Ą + đ??ś1 đ?‘’ đ?‘™đ?‘›|đ?‘‡âˆ’đ?‘‡đ?‘š | = đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ą+đ??ś1 â&#x;š đ?‘’ đ?‘™đ?‘›|đ?‘‡âˆ’đ?‘‡đ?‘š | = đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ą đ?‘’ đ??ś1 đ?‘‡ − đ?‘‡đ?‘š = đ??ś2 đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ą â&#x;š đ?‘‡ = đ??ś2 đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ą + đ?‘‡đ?‘š â&#x;š đ?‘‡ = đ??ś2 đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ą + 100 Usando la primera condiciĂłn inicial đ?‘‡(0) = 20đ?‘œ đ??ś, nosotros encontramos đ?‘‡(đ?‘Ą) = 100 + đ??ś2 đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ą â&#x;š 20 = 100 + đ??ś2 đ?‘’ đ?‘˜(0) â&#x;š 20 = 100 + đ??ś2 â&#x;š đ??ś2 = 20 − 100 â&#x;š đ??ś2 = −80 Por lo tanto đ?‘‡ = −80đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ą + 100 Utilizamos la segunda condiciĂłn inicial đ?‘‡(1) = 22đ?‘œ đ??ś tenemos que: 22 = −80đ?‘’ đ?‘˜(1) + 100 â&#x;š 22 = −80đ?‘’ đ?‘˜ + 100 â&#x;š 78 39 78 = 80đ?‘’ đ?‘˜ â&#x;š đ?‘™đ?‘› | | = đ?‘™đ?‘›|đ?‘’ đ?‘˜ | â&#x;š đ?‘™đ?‘› | | = đ?‘™đ?‘›|đ?‘’ đ?‘˜ | â&#x;š 80 40

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39 | â&#x;š đ?‘˜ ≅ −0.02531780798 40 Tenemos que la ecuaciĂłn que determinarĂĄ el tiempo dada una temperatura es: đ?‘˜ = đ?‘™đ?‘› |

(��|

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|)đ?‘Ą

đ?‘‡(đ?‘Ą) = −80đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ą + 100 â&#x;š đ?‘‡(đ?‘Ą) = −80đ?‘’ 40 + 100 Por lo tanto para determinar el tiempo que tardara en alcanzar la temperatura de 90đ?‘œ đ??ś serĂĄ: (đ?‘™đ?‘›|

39

|)đ?‘Ą

(��|

39 |)đ?‘Ą 40

(��|

39

|)đ?‘Ą

đ?‘‡(đ?‘Ą) = −80đ?‘’ 40 + 100 â&#x;š 90 = −80đ?‘’ 40 + 100 â&#x;š 39 90 − 100 1 (đ?‘™đ?‘›| |)đ?‘Ą = đ?‘’ 40 â&#x;š = đ?‘’ −0.02531780798đ?‘Ą â&#x;š −80 8 1 1 đ?‘™đ?‘› | | = đ?‘™đ?‘›|đ?‘’ −0.02531780798đ?‘Ą | â&#x;š đ?‘™đ?‘› | | = −0.02531780798đ?‘Ą â&#x;š 8 8 đ?‘Ą ≅ 82.13 đ?‘ đ?‘’đ?‘” Por lo tanto para determinar el tiempo que tardara en alcanzar la temperatura de 98đ?‘œ đ??ś serĂĄ: (đ?‘™đ?‘›|

39 |)đ?‘Ą 40

đ?‘‡(đ?‘Ą) = −80đ?‘’ + 100 â&#x;š 98 = −80đ?‘’ + 100 â&#x;š 39 98 − 100 1 (đ?‘™đ?‘›| |)đ?‘Ą = đ?‘’ 40 â&#x;š = đ?‘’ −0.02531780798đ?‘Ą â&#x;š −80 40 1 1 đ?‘™đ?‘› | | = đ?‘™đ?‘›|đ?‘’ −0.02531780798đ?‘Ą | â&#x;š đ?‘™đ?‘› | | = −0.02531780798đ?‘Ą â&#x;š 40 40 đ?‘Ą ≅ 145.70 đ?‘ đ?‘’đ?‘” Sistemas masa-resorte: movimiento libre no amortiguado 2. Una masa de 400N estira 2m un resorte. DespuĂŠs, al extremo de ese resorte se fija una masa de 50kg y parte de la posiciĂłn de equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba. Deduzca la ecuaciĂłn del movimiento.

SoluciĂłn Planteamiento del Problema SegĂşn la ley de Hooke, 400 = đ?‘˜(2) implican que la constante del resorte es đ?‘˜ = 200; por tanto, la ecuaciĂłn: GeĂłlogos

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đ?‘‘2đ?‘Ľ đ?‘‘2đ?‘Ľ đ?‘š 2 = −đ?‘˜đ?‘Ľ â&#x;š 50 2 = −200đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘2đ?‘Ľ đ?‘‘2đ?‘Ľ 50 2 + 200đ?‘Ľ = 0 â&#x;š 2 + 4đ?‘Ľ = 0 â&#x;š đ?‘Ľ ′′ + 4đ?‘Ľ = 0 đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą Por lo tanto las raĂ­ces de la ecuaciĂłn auxiliar đ?‘š2 + 4 = 0 son: đ?‘š2 = −4 â&#x;š đ?‘š = Âą2đ?‘– El desplazamiento y la velocidad iniciales son: đ?‘Ľ(0) = 0, đ?‘Ľ ′ (0) = −10 , donde el sino negativo en la primera condiciĂłn es consecuencia de que la masa recibe una velocidad en direcciĂłn negativa o hacia arriba.

De modo que la soluciĂłn general de la ecuaciĂłn diferencial es: đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = đ??ś1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ą − đ??ś2 đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ą Al aplicar las condiciones iniciales a đ?‘Ľ(đ?‘Ą) đ?‘Ś đ?‘Ľâ€˛(đ?‘Ą) , se obtienen 0 = đ??ś1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2(0) − đ??ś2 đ?‘ đ?‘’đ?‘›2(0) â&#x;š 0 = đ??ś1 Y đ?‘Ľ ′ (đ?‘Ą) = −2đ??ś1 đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ą − 2đ??ś2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ą â&#x;š −10 = 2(0)đ?‘ đ?‘’đ?‘›2(0) − 2đ??ś2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2(0) â&#x;š −10 = −2đ??ś2 â&#x;š đ??ś2 = 5 Por lo tanto la soluciĂłn particular dadas las condiciones iniciales serĂ­a: đ?‘Ľ = −5đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ą đ?‘Ś đ?‘Ľ ′ = −10đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ą

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Transformada de Laplace Utilice la definición de la transformada de Laplace para determinar L f (t ) 3. f (t )  et senht Solución La Transformada de Laplace de una función 𝑓(𝑡) se define mediante: ∞

𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 0

Por lo tanto ∞

𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 ∞

0

𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑡(𝑠−1) 𝑑𝑡 ⟹ ∫ 𝑒 −𝑡(𝑠−1) 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 { 𝑒 −𝑡(𝑠−1) 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡 𝑑𝑡 𝑣 = − 0 𝑠−1 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡

Por lo tanto resolviendo la integral por partes tenemos: ∞

∞

𝑒 −𝑡(𝑠−1) 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 −𝑡(𝑠+1) ∫𝑒 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 = − | 𝑠−1 0 0

∞

𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑡(𝑠−1) 𝑑𝑡 𝑒 −𝑡(𝑠−1) +∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡 𝑑𝑡 { 𝑒 −𝑡(𝑠−1) ⇒ 𝑠−1 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑡 𝑑𝑡 𝑣 = − 0 𝑠−1 ∞

∞

∞

𝑒 −𝑡(𝑠−1) 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑒 −𝑡(𝑠−1) 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡 −𝑡(𝑠−1) ∫𝑒 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 = − | − | (𝑠 − 1)2 𝑠−1 0 0 0

∞

𝑒 −𝑡(𝑠−1) +∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 (𝑠 − 1)2 0

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∞

∫ 𝑒 −𝑡(𝑠−1) 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 = − 0

−

1 [𝑒 −∞(𝑠−1) 𝑠𝑒𝑛ℎ∞ − 𝑒 −0(𝑠−1) 𝑠𝑒𝑛ℎ0] 𝑠−1

1 [𝑒 −∞(𝑠−1) 𝑐𝑜𝑠ℎ∞ − 𝑒 −0(𝑠−1) 𝑐𝑜𝑠ℎ0] 2 (𝑠 − 1) ∞

𝑒 −𝑡(𝑠−1) +∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 (𝑠 − 1)2 0

∞

∞

1 𝑒 −𝑡(𝑠−1) −𝑡(𝑠−1) ∫𝑒 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 = + −∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 ⟹ (𝑠 − 1)2 (𝑠 − 1)2 0

0

∞

∫𝑒

∞

−𝑡(𝑠−1)

0

𝑒 −𝑡(𝑠−1) 1 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 = + (𝑠 − 1)2 (𝑠 − 1)2 0

1 1 1 (𝑠 − 1)2 −𝑡(𝑠−1) ∫𝑒 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡 𝑑𝑡 [1 − ⟹ ⟹ ]= + 1 (𝑠 − 1)2 (𝑠 − 1)2 1− 0 (𝑠 − 1)2 ∞

+

1 1 (𝑠 − 1)2 𝑡 𝐿{𝑒 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑡} = ⟹ (𝑠 − 1)2 − 1 (𝑠 − 1)2 − 1 (𝑠 − 1)2 +

Utilice las tablas para obtener la transformada de Laplace 4. f (t )  cosh kt Solución La transformada del cos ℎ 𝑘𝑡 es 𝑠2 𝑠2 − 𝑘2

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Determine la transformada inversa de Laplace ďƒŹ 1 5. L ďƒ­ 2 2 ďƒŻ s 1 s 1 ďƒŽ 1 ďƒŻ







ďƒź ďƒŻ ďƒ˝ ďƒŻ ďƒž

SoluciĂłn Por lo tanto nuestra transformada inversa quedarĂ­a denotada de la siguiente manera: 1 1 −1 đ??żâˆ’1 { 2 = đ??ż } { } (đ?‘ + 1)(đ?‘ 2 + 1) (đ?‘ 2 + 1)2 Utilizando de tablas la siguiente transformada inversa de Laplace tenemos: 2đ?‘˜ 3 đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘˜đ?‘Ą − đ?‘˜đ?‘Ą cos đ?‘˜đ?‘Ą = 2 â&#x;š (đ?‘ + đ?‘˜ 2 )2 1 đ?‘˜3 (đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘˜đ?‘Ą − đ?‘˜đ?‘Ą cos đ?‘˜đ?‘Ą) = 2 (đ?‘ + đ?‘˜ 2 )2 2

De acuerdo a tablas tenemos que 1 1 1 −1 (−đ?‘Ąđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą − đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ą) đ??żâˆ’1 { 2 = đ??ż , đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘˜ = 1} = } { (đ?‘ + 1)(đ?‘ 2 + 1) (đ?‘ 2 + 1)2 2

Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial 6. 2

dy  y  0, y (0)  3 dt

SoluciĂłn Primero sacamos la transformada de cada tĂŠrmino de la ecuaciĂłn diferencial: GeĂłlogos

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[TERCER DEPARTAMENTAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES] Tercer Departamental đ?‘‘đ?‘Ś

2đ??ż { } + đ??ż{đ?‘Ś} = đ??ż{0} đ?‘‘đ?‘Ś De acuerdo con la ecuaciĂłn de la transformada de una derivada tenemos: đ??ż{đ?‘“′(đ?‘Ą)} = đ?‘ đ??š(đ?‘ ) − đ?‘“(0) Tenemos que del lado izquierdo tendremos que 2(đ?‘ đ?‘Œ(đ?‘ )) + 3 + đ?‘Œ(đ?‘ ) = 0 Por lo tanto 2đ?‘ đ?‘Œ(đ?‘ ) + đ?‘Œ(đ?‘ ) = −3 â&#x;š đ?‘Œ(đ?‘ )[2đ?‘ + 1] = −3 â&#x;š đ?‘Œ(đ?‘ ) = đ?‘Œ(đ?‘ ) =

−3 1 2 (đ?‘ + ) 2

â&#x;š đ?‘Œ(đ?‘ ) = −

−3 2đ?‘ + 1

3 1 2 (đ?‘ + 1) 2

Por lo tanto la transformada de Laplace inversa seria la siguiente: 3 đ?‘Ą đ??ż(đ?‘Ś) = − đ?‘’ −2 2

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