Cálculo Diferencial e Integral
PROBLEMARIO
18)
2.1 LIMITES
19)
Evalúa los siguientes límites: 1)
x 1
2)
lim 3 x 1 5t 2 2
lim x3 4 x 1
x 1
x3 1 x 1 x 1 t3 1 4) lim 2 t 1 t 1
3)
lim
x 2 x5 1
sol. 4
20)
sol. 14
21)
sol. 3
22)
sol.
3 2
23)
sol.
1 8
24)
3
5)
lim
x 0
x 4
2
6)
x 2 3x 1 1 lim x x x 0
7)
x x 2 16 x 5 x 4
8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)
lim
x 4
x h 2 x 2 lim
h 0
h 1 1 1 lim h 0 h x h x t 1 lim x 1 t 1 1 1 lim x x 1 x 1 x2 x 6 lim x2 x 2 t2 9 lim 2 t 3 2t 7t 3 4 h 2 16 lim h h 0 x2 lim x 2 x3 8 9t lim x 9 3 t x2 lim x 2 x 2 4
sol. 3 2
sol.
25) 26)
128 3
27) 28)
sol. 2 x sol.
1 x2
1 sol. 2
29) 30)
31) sol. 1
32) sol. 5 6 sol. 5 sol. 8 1 sol. 12
x 2 3 x7 11 4 x
lim
x 7
lim
x 4
lim
4 x 4 x
x 16 16 x x 2
1 1 lim t 0 t 1 t t x 3 lim x 3 x 3 x 2 16 lim x 4 x 2 x2 x 2 lim 2 x 1 x 3 x 2 2h 2 lim h h 0 2t 2 lim t x 0 x x2 lim x 1 1 x 1 3 lim x h x3 h 0 h xh x lim h h 0 x2 5x 4 lim x 4 x 2 3 x 4
lim
2 x 3 8
x 0
lim
x x2 2 x 1
x4 1 1 1 33) lim 2 t 0 t t t 34) 35)
sol. 6
36)
sol. 0
37) 38)
x 1
1 3 h 31 lim
h 0
h
lim
x2 9 5 x4
x4
lim
x 3
lim
x 0
lim
x 4
x2 x 6 x2 9 x5 5 x x5 3 x4
sol.
1 6
1 6 1 sol . 128 1 sol. 2 3 sol . 6 sol .
sol . 32 sol. 3 sol. sol.
1
2 2 2 4
sol. 3 sol. sol. sol.
sol. sol sol. sol. sol. sol. sol. sol
1
Cálculo Diferencial e Integral
2.2 LIMITES AL INFINITO Evalúa los siguientes límites: 1 x x2 1) lim x 2 x 2 7 2) 3)
4)
x 2 x3
lim
x2 4 4 x4 5
x
sol. 2
x2 2 2 x2 1 x 2 3x
lim
9) 10)
11) 12)
2 sol . 3
lim 9 x 2 x 3 x 1 ex
x 1 2e x
lim
x
1 2
sol.
9x 1 2
9 x6 x
x
lim
sol .
x
x2
lim
1 6
sol.
x3 1
x3 2 x 3 5 2 x2
x 1
x 0
senx 1 = 5 x 0 5 x
15
sen 2 x lim 0 x 0 x cos x lim 1 x cot x
21
3 1 cos x
x 0
f x
6)
f x
2.3 LIMITES TRIGONOMETRICOS
3
sen 2 2 x 0 x x0
4
lim
5
lim
1 cos x
6
7
lim
1 2
x2 xsenx lim 2 x0 1 cos x
x0
8
x0
lim
x0
lim
h0
sen 2 2 x x2
4
tg 2 x 2 x
2 x x2 sen x h senx h
x senx
3 4
lim cos3 x
x 0
lim
senx 1 cos x 2 x2
x 0
2 1 cosh lim
h 0
h sen3x 3 lim 2 x 0 2 x
0
0
cos xtgx 1 x x 0 lim
1 tgx 2 x senx cos x lim
Encuentra las asíntotas horizontales y verticales. x3 1) f x 2 Sol. x 2, x 5 x 3x 10 x 2) f x Sol . y 1 4 4 x 1
5)
senax a x0 senbx b
x 0
2
2.4 ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES
f t
lim
22
x 2 3 senx
lim
4
4)
2
0 20
tg x x 0 x
sol
sen2 x 2 x0 x
18
lim
sol
lim
x
16
2
f x
1
14
lim
lim
10 12
lim sec 2 x 1
x 0
3)
Evalúa los siguientes límites:
2
13
19
sol . 4
x
lim
2
5 2
sol.
11
17
1 4
sol .
x 4 x 2
lim
1 2
sol .
5 x 1 3x 5) lim x x 2 2 x 6 4x 1 6) lim x x 2 1 2x 1 7) lim x 3 x 2 1 8)
1 sol . 2
x3 5 x
lim
9
sen x 2 1
7)
x2 x 2 t 1 t2 1 x x2 x 2 x 2 2 x 15
x3 5 x 2 x 5 2x 1 f x x2
8)
f x
9)
f x
10)
x2 2
x3 x x2 6 x 5 1 x2 4
f x
Sol . x 2, x 1 Sol . no tiene Sol . x 2, x 1 Sol. no tiene Sol . y 2, x 2 Sol. x 5 Sol . x 2,
y0
1
x x2 6 x Sol. x 3, x 0, x 2, 3
y0
2
Cálculo Diferencial e Integral
11)
f x
x 2 3x 2
x2 2 x 3 Sol. x 2, x 1, y 1 x4 12) f x 2 Sol . x 4, x 16 x 13) y y 1 x 4 x4 14) 15) 16) 17) 18) 19) 21)
23)
y
x2
x2 4 x3 1 y x 1 y y y y y y
2 x2 x 1 x2 x 2
8)
f x
9)
f x
1 3 x
y0 10)
f x
Sol .
f x
1 x 1
Sol .
f x
x 1 x 1
Sol .
12)
y 2 x 2 x 1
14)
f x x2 4
20) 22)
24)
f x 3x x
x 12
y y y
Sol. m
4
x 2 3
15)
4 x
2
1
3 x x 4x 3
2
3x 6 x 24
16)
3 2
17)
f x 5 x2
18)
f x
1)
f x 2x 1
Sol.
f x 2
2)
f x x 2 +5
Sol.
f x 2x
3)
f x
1 2x 1
Sol.
f x
4)
f x 2x 1
Sol.
f x
5)
x f x 1 2x
Sol.
f x
6)
f x 2 3x
Sol.
f x 3
7)
f x 3 2x
Sol.
f x 4 x
2 x 1 1 2x 1 1
1 2 x 2
3.2
2,5
Recta es y 4 x 3 en
2,8
Recta es y 8 x 8 en
1 2
1,1
Recta es 2y x 1
f x x
Sol. m 2
en
f x x
Sol. m 19)
2
Recta es y 4 x 9
f x x3
3.1 DEFINICIÓN DE DERIVADA Aplique la definición de derivada para encontrar
2,1
en
f x x 2 +1
Sol. m 8
2, 2
en
Recta es 2y 3x 2
Sol. m 4
2
0,0
en
3 x 1 2
Sol. m 4
x2 4
1,3
en
Recta es y 3x
f x
DERIVACIÓN
2
2
Recta es y 2 x 1
3
x 25
2
Recta es y 2 x 3
Sol. m 2
x3 1
2
3
Sol. m 2
Sol. m 3
2x 3
x 1
no tiene
x2 1
x 2 1 x
1
x 2
13)
4 x 2 3x 2 2 x
3 x 2
Encuentre la pendiente y la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado. 11) f x 3 2 x en 1,5
x2 4
x x x9
f x
1
4 x
3 4
en
4,5
Recta es 4y 3x 8
REGLAS DE DIFERENCIACIÓN
Utiliza las reglas de derivación para encontrar la derivada de las siguientes funciones. 6 x 3 3 dy 1) f x 2 Sol. 2 dx x x 1 x2 x 1
2)
f x
3x x3 7 x 5
Sol.
dy dx
6 x3 15
x3 7 x 5
2
3
Cálculo Diferencial e Integral 3) 5)
f x
5 4 x 2 x5 x3
f x x 2 3x 4
Sol.
3
4
3 f x 1 1 x
7)
x 1 f x x 1
8)
1 1 f x x 1 x
10)
6
x2 1
f x
f x
12)
f x
2x 1
1 2 x2
f x =
3x 4
5
x2 1
3
x2 1
2
2 x2 x 1 23 24 x
3x 4
6
8
f y y y y
15)
f x
16)
f x 2 xsenx 3 x cos x
17) Sol. 18) Sol. 19) Sol.
f x =7 x 6 tan 5 x 5 x 7 sec 2 5 x
22)
f x sec seny
23) Sol.
f x =
x cos x senx x
27)
31)
f x =3 x sen 2 x 4 x sen2 x cos 2 x
f x =2 x cos 3 x 1 6 x sen 3 x 1 3
2
cos3x sen5 x 3sen5 xsen3 x 5cos3 x cos5 x f x = sen 2 5 x
f x
3
f x =
3 x 1
x 1
2 5
2
2x
2
f t t 2 1 t3 t 2 1
f t =5t 4 4t 3 3t 2 4t t 1 3t f x 2 f t = t 2t 1 1 t 3 1 3 f x f x = 3 x 1 t 16 1 2 4 x3 13x 2 12 x x x2 f x f x = 2 2 3 2 x 3 x3 x 4 12 x 2 6 x 3 x x 1 f x + f x = 2 x 1 3x 3x 2 3x
x3 4 x 5
32)
f x
33)
f x
34)
1 f y y 2 y
35)
f x senx
f x x 2 cos 3x 2 1 2
f x
3 x 1
f x a x a x a 3x Sol. f x = 2 ax
30)
3
f x = cos 2 x sec2 x cos 2 x
f x =2 9 x 2 x 1
f x x3 sen 2 2 x
f y = sec seny tan seny cos y senx f x sec x
Sol.
2
f x =3 x 2 senx 4 x cos x 2 senx 2
2 x 7
f x x 2 x 1 3x 2
2
2
x cos x 3 6 x x cos x 2 1 senx
25)
29)
1 x2
3
14)
Sol.
Sol.
1 x 7 x 10 1 x 6x
senx x
f x x tan 5 x
28)
x
7 x 10
21)
Sol.
3 5
f x =
f x =
26)
x2
1 x 1 x
f x
Sol
3
x
2x
f x =
f x x x - cos x
24)
1 x2
20)
Sol.
2 dy 2 x 1 x 2 x 2 3 dx x3 2 x
f x =
x2 1
11)
2
f x =
2
x 1 x
13)
x 1 dy 14 dx x 18
7
f x x 1 x
2
dy 3 x 2 3x 4 2 x 3 dx dy 3 3 2 12 1 1 x 1 x dx
6)
9)
dy 2 x5 4 x 2 25 dx x4
x2 9 x2
x 4 31x 2 10 x 36
x2 9
f x =
3x 4
3
3
f x =
3
f y =
2
6 x 22
3 x 4 4
3 y9 3 y3 2 y
7
f x =3x cos x3 2
4
Cálculo Diferencial e Integral 36)
f x 2x 1
f x =
1 2x 1
6)
f x 7x
1 1 f x =3 x 1 2 x x f x cos x xsenx
7)
f x
f x cos3 x 2sen 2 x cos x
8)
f x e senx
9)
f x xx
3
2
40)
1 f x x x f x x cos x
41)
f x senx cos 2 x
42)
f x cox 2 xsen3 x
Sol.
f x 2sen 2 xsen3 x 3 x cos 2 x cos3x
43)
f x sen 2 x
44)
f x xsenx 2
45)
f x cos senx
37)
f x
2
sen x cos x x
f x senx 2 2 x 2 cos x 2
f x 2 x sen senx 2 cos x 2 sec5 x 46) f x tan 3 x f x 5cos3x sec5 x tan 5 x 3csc2 3 x sec5 x
47)
f x 1 cos5 x
48)
49)
50)
f y
2 y 4
f x
y3
2x 1 2
x 1 x
2
f x a cos 2 x
f y
y 2 y 4 y 32
2) 3) 4) 5)
1 senx 1 senx 1 x f x ln 1 x f x ln
f x ln f x ln
1 x2 1 x2 x2 1 x x2 1 x
ex 1
f x ex
11)
y x senx
12)
y senx
x2 2 x dy 2 x 1 7 ln 7 dx
Sol.
dy dx
2e x
e x 1
2
dy e senx cos x dx dy Sol . x x ln x 1 dx x dy Sol . e x 1 ln x x x dx dy senx x senx ln x cos x dx x Sol.
x
tan x
13)
y sen 1 2 x
14)
y
1 4x
f x
x2 1 x2 f x
3
3
dy 2 dx sen 2 x dy 1 Sol. dx cos x dy 2 Sol . dx 1 x 2 Sol .
dy 4x Sol. dx 1 x 4 dy 2 Sol. dx 1 x2
x 2 2
4 3 2 dy x 1 x 2 3 dx 5 x2 2 x 1 4 x 2 5 x 3
2
asen 2 x cos 2 x
dy cos 1 2 x x 2 ln 2 dx 2 1 2x
x 13 x 2 3 5
2
Utiliza las propiedades de logaritmos y exponenciales para encontrar la derivada de las siguientes funciones.
f x ln tan x
ex 1
10)
5csc2 5 x 2 1 cot 5 x
3.3 DERIVADAS LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES.
1)
Sol.
2 x
dy tan x senx 1 sec2 x ln senx dx
Sol.
f x
2
3
1
15)
1 x 4 1 -1 y ln 2 tan x 1 x
16)
y
17)
f x xe
18)
f x =
19)
f x sen 2e x
20)
y ln x x 2 1
21)
4 dy 22 x 2 8 x 24 3 y ln 2 x 1 x 2 4 dx 2 x 1 x 2 4
3x 2 1 3 x3
ln 1 x 2
Sol.
dy x2 dx 1 x 4
Sol.
dy x5 1 8 dx x x 4 1
dy 2 x 2 x Sol. e dx 2 dy x 2 Sol . x dx e dy Sol . 2e x cos 2e x dx
x
1 x ex
Sol .
dy 2 x2 1 dx x x 2 1
5
Cálculo Diferencial e Integral 22)
f x ln x
23)
y x2 1
x
dy 2 ln x ln ln x ln x 1 dx 2 2 x ln x
x2
dy 2 x3 2 2 x ln x 2 1 x 2 1 dx x 1 x dy 2 ln x 24) f x x dx 4 x
25)
y ln sen 2 x
26)
y ln x 2 x
y x ln x
28)
f x ln
29)
f x e 4 x 5
30)
f x e x 1 x2
1 x 1 x
Sol.
ex
x
x
1
f x ecos x senx
f x ecos x cos x sen 2 x
33)
f x e ln senx
f x e cot x ln senx
34)
ye
35)
yx
36)
y senx
38)
x
y
1 ex
Sol . y x
1
y senx
1 ex
y
1 ex
x 1 ln x 2
Sol . y x
ln x
y tan g
x
2
43)
f x ee
x 1
x 1 x2
ln x
1 x cos 2 1 e 1 ex
1 x2
Sol . y
te t et 1
f t
Sol.
x
Sol.
t2
f x e x ee
x
dy dx
2
dy x dx y
x
x2 y 2 1
2)
xseny ysenx 1
3)
x2 y 2 1
4)
x y xy 3x
3 2 xy y 2 dy Sol. dx x 2 2 xy
5)
xy 1 x 2 y
4 xy xy y dy dx x 2 x 2 xy
Sol.
2
x2 1 dy seny ysenx Sol. dx x cos y senx dy x Sol. dx y
2
6) cos x y xe x
e x 1 x dy 1 dx sen x y
7)
x xy y 4
y 3x 2 dy dx 2 y x
8)
x 3x y 2 xy 12
6 xy 3x 2 2 y 2 dy dx 4 xy 3x 2
3
2
3
2
2
9) senx x 1 tan y
1 3x 2 2 x 4 1 x2
1 x2
1)
2
y
1 e t t
x x2 1 3
x 2
1 x4
2
ln senx x cot x
e2 x
1 e x
x
ln x 1
2 1 3 x x 1 1 2x 2 y 2 2 3 x 1 x x 1 x 1
39)
2 tan 1
x
x
x
2
4 2
f t
1
32)
37)
f x
f x ln
1 x 2 x
42)
Encuentra
f x 4e 4 x 5
f x e x 1 2x x2
1 x 2 x2
3.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA.
1 x2
y
Sol.
31)
1 ex
y ln
41)
f x
Sol.
1 x 1 1 2x 1 y ln + tan g 1 3 3 x2 x 1 3 1 Sol. y 3 x 1
40)
x2
Sol. y 2cot x 2x 1 Sol. y 2 x x Sol. y ln x 1
27)
1
x
dy cos x tan y 1 dx x sec2 y
10)
x 2 xy y 2 4
dy 2 x y dx 2 x y
11)
x 2 y 2 xseny 4
dy 2 xy 2 seny dx 2 x 2 y x cos y
3
6
Cálculo Diferencial e Integral
12) e x
2
y
x y y e y dy x dx y 2 xe y
x y
13) e y cos x = 1 senxy 14)
x
2
x - y y x y 2
15) 2 x 3e y e x y
16)
x3 x 2 y 4 y 2 6
31)
dy e y senx y cos xy dx e y cos x x cos xy dy 3x 2 2 xy y 2 dx 3 y 2 2 xy x 2
34)
dy 3e 2 x 2 dx 3 ex e y
35)
x 3x 2 y dy 2 dx x 8y
36)
20)
21) senx 2cos 2 y 1 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30)
2 3 dy 1 3x y dx 3 x3 y 2 1
x y yx
dy cos x Sol. dx 4 sen2 y
dy 3 y 2 5 x 4 4 x3 y x x y y 3x y 4 dx x 3 y 2 6 xy dy 4cos xseny 1 tan x tan y Sol. dx dy x 4 x 2 y 2 y 4 48 Sol. dx dy Sol. x 1 y 2 x 1 dx dy x5 y 5 5 x 2 y 2 Sol . dx dy cos x y senxseny Sol. dx dy xy e xy Sol . dx dy x 2 2 xy y 3 c Sol. dx 2 dy x5 x 2 y 3 1 ye x Sol. dx 4
33)
y
2 y dy y 2 3 x 1 2 xy 17) x2 1 2 x y x2 2 x y dx x dy 18) 4cos xseny 1 tan x tan y dx dy y 19) xy cot xy dx x 3 3
32)
37) 38) 39) 40) 41) 42)
dy dx dy 1 x 2 y 2 2 xy Sol . dx dy xseny cos 2 y cos y Sol. dx dy x 2 y y 2 x 2 Sol . dx dy 2 x3 x 2 y xy 3 2 Sol . dx 2 dy y 5 x 2 y 3 1 ye x Sol. dx dy 1 x sen xy 2 Sol. dx dy x y 1 x2 y2 Sol . dx dy 2 x3 x 2 y y 3 1 Sol . dx 4 2 dy y 2 9 = 4 x 2 3x 1 Sol. dx 5 dy 4 7 xy y 2 4 Sol. dx dy Sol. 1 xy 3 2 x 2 9 dx x y xy 6
Sol .
3.5 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
2
Encuentra
1)
d2y dx 2
en las siguientes funciones.
x 2 xy y 2 3
d2y dx
2)
3)
f x = 3x 1
x3 y 3 1
2
d2y dx
d y
5)
d2y
y ln x 1 x 2
d2y
dx
dx
x 2 y 3
2
2
=
9 4
3x 13
2x
=
2
x2 1 2x
f x =
18
=
2
2
dx 4)
=
y5 2
1 2 x 3
=
x
1 x2
2 3
7
Cálculo Diferencial e Integral 6)
x 2 y 2 36
d2y
Sol.
dx 7)
2
d y
y x3
dx 8)
11)
d2y dx 2
f x = 4x 7
5
x 2 3xy y 2 4 f x x4 ex
13)
x 2 ln 2 x
14)
x 2 y 2 16
15)
x2 y 2 2x 3
1) 2)
d3y dx3
d3y dx3 3
d y 2
f x
5)
f x x ln x
dx d3y dx3
48 x 18
8 3x 2
dx3
6 x 1
5
3
4
2x 3 3x 1
120x 2 18
3
d3y dx
3
594
3x 14
dx3
y
2)
y x3 3x 2 4 x 5 en
3)
y
3
5
2
4 x3
3x 2
4)
y
5)
y sec 2 x
x2 x 1
1, 5
Sol. 5 x y 3
en
1,7
Sol. 18 x y 25
en
1,3
Sol. 3 x y 0
6) 7)
x 2 y 2 25
8)
xy 2 x 2 y 2
en
3, 4
3 x 3 4
1, 2 Sol. y 2 en 0,0 Sol. 4 y 5 x en 1,1 Sol . y x 2
10)
x 2 xy y 2 3
11)
x2 y 2 2 x2 2 y 2 x
Sol. y x
y4
Sol.
en
9) 2e x e y 3e x- y
2
1, 5
en
1 2
13)
y ln xe x
14)
1 1 y 2 x x
4sen 2 x 4cos2 x
Sol. x y 3
2 en , 2 y 2 3 x 3 2 3 3 y x cos x en 0,1 Sol. y x 1
3
27 cos3x
2,1
en
x2 y 2
dx3 d y
1 x 1
1)
12)
d y 3
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
Escriba una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado.
2 3 x dx
d3y
2
f x senx cos x
y
x
384 2 x 1
3
d3y
x x 1
f x sen3x
d3y
y 2 x5 3 x3 4 x 1
dx
3.6
en las siguientes funciones.
4)
x4
APLICACIONES DE LA DERIVADA
d2 y = dx 2 d2 y Sol. = dx 2 d2 y Sol. = dx 2
2 x -1
3
d2 y 40 = 2 3 dx 2 y 3x
2
9)
6 x2 x cos x 3x2 6 senx
=320 4 x 7
2
Sol.
y x2 x 1
7)
d y
Sol.
dx3
10)
d y x 4 8 x 3 12 x 2 e x dx 2 d2 y Sol. 3 2 ln 2 x dx 2 d2 y 16 Sol. = 3 2 dx y
3)
6)
2
x cos y 3
2
dx
d3y
senx x
y 2 seny 2 y cos y 2 xy
=
y 2 x 4 3x3 6 x 17 f x =
3x 4y
=
y
8)
Sol.
y2 4x
Encuentra
y3
2
16) 1 xy x y
17)
36
3 d y 2 2 x 1 3 y = dx 2 9 y5
x2 x y3 5
12)
=
2
9) seny xy
10)
2
2
2
50 xy
en
1,1
en
1,1
2
-1
en
2, 4
11y 2 x 40 Sol. y 3x 2
Sol.
8
Cálculo Diferencial e Integral 3x 2 3x 2 6
15)
y
16)
y
17)
y 3x 4
1 x
1 en 2, 2
2
en
18)
y e x cos x
19)
y
20)
x2 y x 2
en
1 en senx cos x
21) 12 x 2 y 2 22)
2, 2 Sol.
en
2
en
1, 1 0,1
Sol .
0,1
Sol.
2,1
3x 4 y 10
x 4 2
2,0
23)
y2
24)
x 2 2 xy y 2 x 2 en
25)
1 1 + 1 x 1 y 1
en
26)
x 2 xy y 2 7
en
27)
x 2 xy y 2 19
en
28)
x2 y3 0
en
29)
x y 3 x3 y3
en
30)
x3 y 3 4 x 1
en
31)
xy 16 0
en
en
x2 4
32) 2 x x y y 1 0 en 2
3
1, 2
1,1 3, 2 3, 2 1,1 1,1 2,1 2,8 2, 3
a)
y 10 x 2
sol.
b)
y x 2x 1
sol.
e) y 70 x x 2 sol. 35,1225 38) Encuentra la ecuaciòn de la recta tangente a la gràfica de f y paralela a la recta dada. f x x3
a)
Sol .
c)
Sol.
d)
Sol. Sol .
3.7
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Sol.
1)
Sol . Sol.
2) Sol.
f x 2 x 2 4 x 3 Crec. ,1 Max. R. 1,5
P.c x 1 Dec. 1,
f x x2 3 x Crec. 0, 2 Dec. ,0 , 2,
P.c x 0, 2 Min. R. 0,0 Max. R. 2, 4
x5 5 x 5 Dec. 1,1 f x
34) Hallar una ecuaciòn de ambas lìneas que son tangentes a la curva y 1 x y paralela a la lìnea 12 x y 1 Sol. y 12 x 15, y 12 x 17 35) Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto indicado. 3
Cre.
5)
0,0
1 y x 2 36) Encuentre una ecuaciòn a la recta tangente a la curva 1 1 y enel punto 1, 1 Sol. y x 1 2 2 2 1 x
Sol.
Sol .
3)
Sol. y 2 x
3x y 1 0
a) Encuentre los puntos críticos, b) Determine los intervalos en donde las funciones son crecientes y decrecientes c) Encuentre los extremos relativos.
Sol .
2, 21 , 1, 6
en
si
f x x3 2 si 3x y 4 0 Sol. 1 f x si x 2 y 6 0 Sol. x 1 f x si x 2 y 7 0 Sol. x 1
b)
y 2 x3 3x 2 12 x 1 donde la tangente es
y 2 xe x
0,10 1,0
x y x sol. 50, 25 10 d ) y x 3 x 5 sol. 1,16
33) Encuentre los puntos sobre la curva horizontal. Sol.
2
c)
4, 1 Sol.
en
37) Encuentre todos los puntos de la curva donde la recta tangente es horizontal.
2
Sol.
25 xy en 3, 4 4 x 3 y
xy 4
3
Sol .
6)
, 1 , 1,
x2 2 x 1 x 1 Crec. , 3 , 1, Dec. 3, 1 , 1,1 f x
f x senx cos x
P.c
x 1
Min. R. Max. R.
P.c
1, 4 5 1, 4 5
x 3
Min. R. Max. R. P.c
x
1,0 3, 8 5 , 4 4
5 5 Crec. 0, , , 2 Min. R. , 2 4 4 4 5 Dec. , Max. R. , 2 4 4 4 9
Cálculo Diferencial e Integral
7) 8)
f x 3x 2 6 x 5 Dec. ,1 , 1,
P.c x Min. R. 1, 2
f x x3 6 x 2 9 x Crec. , 1 , 3, Dec. 1,3 , 1,1
P.c x Min. R. 3,0 Max. R. 1, 4
f x x 1 x 2 1 Crec. 2, , 1, 2 1 Dec. , 2 , ,1 2 5 10) f x 3x 5 x3 Crec. , 1 , 1, Dec. 1,1 2
9)
2
P.c
2,0 , 1,0
1 81 Max. R. , 2 16 P.c x Min. R. 1, 2 Max. R. 1, 2
f x 2 x 2 3x 9 P.c x 3 3 3 81 Crec. , Min. R. , Dec. , 4 4 4 8 5 3 12) f x 3x 20 x P.c x Crec. , 2 2, Min. R. 2, 64 Dec. 2, 2 Max.R. 2,64
11)
1
P.c
x
1,3
Max.R.
14) f x 3x 4 x 12 x 8 Crec. 1,0 2, Min. 1,3 , 2, 24 Dec. , 1 , 0, 2 Max.R. 0,8 4
3
2
15) f x 2 x 3x 12 x 3 Crec. x 1, x 2 Min. R. Dec. 1, 2 Max.L. 3
2
2, 17 1,10
16) f x 3x 4 4 x3 12 x 2 1 Crec. 1,0 , x 2 Min. 1, 6 , 2, 33 Dec. x 1, 0, 2 Max.R. 0, 1 1 1 P.I . 1 7 , 311 80 7 27 3
f x x3 x -1 3 Crec. x , x 1 7
17)
4
1,0
Min.
3 6912 Max.R. , 7 823543 1 P.I . 0,0 , y cuando x 3 2 7 Dec. de la otra forma
1
19) f x x 3 1 Crec. , 2, 2
x
Min. R.
13) f x x 3 4 x Crec. ,0 0,1 Dec. 1,
18) f x 2 x3 3x 2 12 x P.c x 2,1 Crec. , 2 1, Min. R. 1, 7 Dec. 2,1 Max.R. 2, 20
20) f x x 1 3 Crec. 1, 2, Dec. ,1 21)
f x
x2
x2 9 Crec. , 3 3,0 Dec. 0,3 3,
22) f x x 12 x Crec. , 2 2, Dec. 2, 2 3
23) f x 3 x x x Crec. 0,1 Dec. 1,
x0
P.c
P.c x 1 Min. R. 1,0 x0
P.c
Max.R.
0,0
P.c x Min. 2, 16 Max.R. 2,16 P.c x Min. 0,0 Max.R. 1, 2
24) f x x 4 8 x 2 7 P.c x Crec. , 2 0, 2 Min. 2, 9 , 2, 9 Dec. 2,0 , 2, Max.R. 0,7 25) f x 2 x3 x 2 12 x Crec. , 2 1, Dec. 2,1 2
f x x x 1 3 Crec. , 3 1, 5 3 Dec. ,1 5
26)
3.8
P.c x Min. 1, 7 Max.R. 2, 20 P.c
x
Min.
1,0
Max.R. x 3
5
CONCAVIDAD.
Encuentre los puntos de inflexión, indique los intervalos en donde la función es creciente y decreciente, encuentre los puntos máximos y mínimos, y bosqueje la gráfica. Encuentre los intervalos de concavidad. 2 16 1) f x 3x 4 4 x3 P.i. 0,0 , , 3 27 Dec. x 1 Cre. x 1 2 2 Car. x 0, x Cab. 0, Min. 1, 1 3 3
10
Cálculo Diferencial e Integral
f x x3 6 x 2 +12 x
2)
Car.
2,
f x
3)
, 2
Cab.
1 4 x 2x2 4
P.i.
3 3 Car. , 2 , , 2 3 3 f x x x 4
3
4)
Car.
Car. 6)
7)
f x
x x2 1
3,0 ,
Dec.
10)
Cab.
, 3 , 0, 3
Cab.
2, 2
Car. Min.L
Cab.
1,1
P.i.
1,
1 13 , 2 2 Cre. , 1 , 2, P.i.
1 Cab. , 2 Max.L 1,7
, 3 , 0, 3
, 1 , 1,
3, 9 , 3, 9
P.i. Cre.
21)
1, 5
3,0 ,
3,
1,1 Max.L 0,0
Cab.
3
1 1 1 1 Car. ,0 , , Cab. , , 0, 2 2 2 2 Min.L 1,1 Max.L 1,5 12)
f x x x2 1
Cre.
,
P.i.
Cab.
P.i.
,0
f x xe x
, 1 2,
1 2
P.i. 2, 2e 2
0,0 Car.
1 1 2, 2 e
1 Cab. , 2 1 Min.L 1, e
Cre. 1, Cab. , 2
f x 3 x 4 4 x3
20) f x x3 3x 1 Max. 1,3 , Min.
7 1 11) f x 3 x 5 x 3 P.i. 0,3 , ,3 2 8 2 Dec. 1,1 Cre. , 1 , 1, 5
1 x 1
2 16 P.i. 0,0 , , 3 27 Dec. x 1 Cre. x 1 Min.L 1, 1 2 2 Cab. 0, Car. x 0, x 3 3 2 2x 18) f x 2 P.i. -6.1,1.8 x x2 Dec. , 4 , 0, 2 , 2, Cre. 4, 1 , 1,0 16 Max..L 4, 9 2 19) f x x 4 x 3 Min. 2,1 17)
P.i.
Cab.
16)
Dec. Car.
P.i.
f x x4 6x2
Dec.
, 1 , 1,
x2 1
1 Car. , 2 Min.L 2, 20
f x e
Car.
24
1, 2
15)
3 3 P.i. 3, , 0,0 , 3, 4 4
f x 2 x3 3x 2 12 x
9)
P.i. Min.L 0,1 1 x2 Dec. , 1 , 1,0 Cre. 0,1 , 1, Car. 1,1 Cab. , 1 , 1, 14) f x ln 1 ln x P.i. 1,0 Dec. 0, e Car. 0,1 Cab. 1, e
, 1 , 1,
3,
,1
f x
Cre.
f x 3 x 2 x3 Car.
1 x2
13)
2, 4
x2 1 Car. , 1 , 1,
8)
2, 16 , 4,0
Cab.
x 2 12 Car. , 2 , 2, f x
3 20 , 2 3 9 3 3 Cab. 2 ,2 3 3
P.i.
, 2 , 4,
f x
5)
2,8
P.i.
f x xe
Max. 22)
P.i.
2, 2e2
1, e1 ,
P.i.
2, 2e2
f x x 2 x 1
0,1
1 1 P.i. 3 3 , 36 6
2
1 1 Max. , , Min. 2 16 24)
P.i.
1, e1 ,
f x xe x
Max. 23)
1, 1 ,
x
0,0 , 1,0
f x 10 x 1 e 2 x
3 Max. ,5e3 , 2
P.i.
2,10e4
0, 11
Cálculo Diferencial e Integral
25)
Max. 26)
f x x 2 2 x 1 e x P.i. 1, 2e 1 5, 14e 5
2
3,0.1308 , Min.
2
f x x3 2 x 2 x 1
1 31 Max. , 3 27 2 Car. , 3
Min.L
2 3
1,1
f x 3 x 4 4 x3 6
6 6 Car. , , , , 5 5
6 6 Cab. , 5 5 2 1 P.i. x 29) f x x 2 1 3 Max. 0,1 Min.L 1,0 , 1,0
1 1 , Car. , , 3 3
1 1 , Cab. 3 3 1 13 30) f x 2 x3 3 x 2 12 x P.i. , 2 2 Max. 1,7 Min.L 2, 20 Cre. , 1 , 2, 1 Car. , 2
1 Cab. , Dec. 1, 2 2 1 23 31) f x 2 2 x 2 x 4 P.i. , 3 9 Max. 1,3 , 1,3 Min.L 0, 2 Cre. , 1 , 2, 1 1 Car. , 3 3
Dec.
1,0 , 1,
1 Cab. , 3
1,3 Max. 2,7 Min. 0, 1 Cre. , 2 , 0, Dec. 2,0 Car. 1, Cab. , 1 33) f x x x 3 P.i. Min. 2, 2 Cre. 2, Dec. 3, 2 Car. 3, 32)
f x x 1 5 x 2 5
P.i. 0,0 x 4 Min. 1, 3 Cre. 1, Dec. , 1 Car. ,0 , 2, Cab. 0, 2
35)
f x 2cos cos 2
3
Min. , 1
2 Cab. , 3
2 P.i. x , x 0 3 2 2 Min.L 1,5 Car. ,0 , , Cab. 0, 3 3 6 P.i. x 28) f x 2 x 6 6 x 4 5 Max. 0,0 Min.L 2, 8 , 2, 8 27)
f x x
3, 1.1199 ,
P.i. x
1
34)
Cre. , 2
5 5 5 P.i. , , , 3 4 3 4 Dec. 0,
5 5 Car. , Cab. 0, , , 2 3 3 3 3 Analiza y dibuja la grafica indicando extremos relativos, y puntos de inflexión x2
b)
y
1 3 x2
d)
y
x 2 6 x 12 x4
f)
f x x 9 x2
a)
y
c)
y
e)
y x 4 x
g)
y 3x
i)
f x 2 x x3
k)
y x5 5 x
m)
f x x
3.9
REGLA DE L.HOPITAL.
x2 3 x2 1 x 2
3
2x
h)
f x x3 3x 2 3
j)
f x 3x 4 4 x 3
l)
y
2x x 1 2
4 x 1 2
Utiliza la regla de LHopital para demostrar o encontrar los siguientes límites. x 1 1 2 x2 1 2 1) lim 2 2) lim x1 x 1 2 x 5 x 2 3 x 5 3) 5) 7)
P.i.
9)
lim
x0
lim
x0
lim
sen x 2 0 x ex x 1 x ln x
x 10
x
2
1 2
0
e x e x 2 1 xsenx x0 lim
x 1
x1 x 2
1
x 1 0 x1 sen x
6)
x tan x 2 x0 1 cos x
8)
lim
3
11)
4)
3 2
10) 12)
lim
lim
lim
ln x 9
1
x 10
x 10
lim
sen3x 3 tan 5 x 5
x0
x senx 1 x 3 x cos x 3 lim
12
Cálculo Diferencial e Integral
2x 1
ln 2 x2 1 1 13) lim x 14) lim 2 x 0 3 1 ln 3 x 4 x 2 x ln 1 x 2e x x 2 2 x 2 1 15) lim 1 16) lim x 3 x 0 x 0 x3 x x 2e e 1 2x 17) lim 18) lim 1 2 2 tan 2 x x 0 x 2x 2 19)
x 2cos x
lim
x2 4
x 2
1 4
1 x 3 1 x 2 3 x x 0 3x 4 23) lim x 2 x 5 1 cos x 25) lim x 0 x3 ex 27) lim x r 14
3
20)
lim
x 0
lim
e e x x 0 x
29)
x
22)
lim
x 0
30)
x 4 x x ln ln x 33) lim x x ln x e3 x e3 x 35) lim 2x x 0 37)
39)
lim
2 x sen x
lim
x 1
4 x2 1
2
lim
x 0
0
x 2
32) 34) 36)
3 5 7
x0
x
lim
x3 sec x lim tan x x x 0
38)
lim
ln 1 x
x 0
ln 1 x 2
1 tan x lim 4x x
40)
4
lim 1 x
x0
lim ln x
x1
lim e x x
e
x
x 1
x0
2
0 1
1
x 2
x
lim x3 cot x
x 0
15]
lim 1 x
18] 19] 21]
lim e x x
1
x
4 6 8
1
lim x
x
x
x
lim 3x
x0
1 2
10
x 2
x
lim 3 x 4
x 4
x 4
1 x x x 1 14] lim 1 x x
12]
x 0
13]
17]
x
lim xtg
lim 3 x 4
16]
x4
x 4
1 x 1 lim 2 2 x 2 x 4 x 4 x 3 8 lim 2 2 x 2 x 4 x 2 2 3 lim 20] ln x x 1 x 2 1 1 lim x 22] 0 x x e 1
1 lim csc x 0 x 2 lim x x 1 0 x x
INTEGRACIÓN 4.0 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O INMEDIATAS.
2
1 3x 1 x
1
lim x
1
x 8
x 4 16 2x lim x x 3 senx tan x
lim
Utiliza la regla de LHopital para demostrar o encontrar los siguientes límites.
1
11]
lim 1 x
3
2
31)
2
e x cos x e3 x 1 24) lim x x 0 x tan x 26) lim x 0 x3 t2 1 28) lim t t ln t
lim
ln 1 x
3
21)
1 4x 1 4 3 x
9
3
Evalué las siguientes integrales utilizando las tablas, o por el método de sustitución. 12 x
1)
e
2)
x
dx
2 3 x3 1
e
dx
x e2 x
3)
x2 e2 x dx
4)
2 x x 1 dx
5)
x
6)
x
7)
0 x
2 3x 2 dx 2
4
cos 2 x3 dx x 2 9 dx
1 lim xtg x x x
1 lim 1 x x
8)
02 e
senx
9)
0 9 x2
3
dx
1 f x e12 x c 2 1 3 x3 1 Sol. f x e c 9 1 Sol. f x ln x 2 e 2 x c 2 Sol.
cos x dx
3 1 2 x 1 2 c 3 3 1 Sol. f x 2 3x 2 2 c 9 1 Sol. f x sen 2 x3 c 6 98 Sol. 32.66 3
Sol.
f x
Sol. e 1 1.782 Sol.
12
13
Cálculo Diferencial e Integral
10)
dx
Sol.
1 x f x sec 1 c 5 5
x x 2 25 x 49 1 11) dx Sol. f x tan 1 x50 c 100 50 1 x dx x 12) Sol. f x sen 1h c 2 3 x 9 dx 1 3x c 13) Sol. f x sen 1h 2 2 2 x 4 9x dx 14) Sol. f x sec 1 h e x c 2x 1 e 1 1 15) . dt Sol f t sen 1 3t c 2 3 1 9t 3x 3 16) dx Sol. f x sen 1x 2 c 4 2 1 x 1 17) dx Sol. f x sec 1 e x c 2x e 1 3 1 1 3 x 18) dx f x 2 x 3 2 2 x 3 2 c 6 2 2x 3 1 1 3 x 10 c 19) dx Sol. f x ln 60 3 x 10 100 9 x 2 3 2 20) x 2 x3 1 dx Sol. f x x3 1 2 c 9 x 1 1 dx Sol. f x ln x 2 2 x c 21) 2 2 x 2x 83 1209 22) x x 1 dx Sol. 0 28 11 dx Sol. 2 23) 3 2x 3 cos 1 x x dx 24) Sol . f x sen c 2 x2
31) 32) 33)
25)
1
e tan
x
1 1 x2
1 x dx 1 x
Sol. e
26)
27)
1 2 x ln x dx
28)
3 4 x x 1 dx x2
29)
xe
30)
cos x x dx
dx
Sol.
4
e
4
f x sen 1x 1 x 2 c 1 ln x 3 c 3 3 1 Sol. f x x 4 1 2 c 6 1 2 Sol. f x e x c 2 Sol.
f x
Sol.
f x 2 senx
2e
1
2 c
x
3
2 xdx Sol.
dx
2
Sol.
x 4 x2 ex
35)
dx
2 x 1 ln x 1 dy dx 36) 1 2 2 4 y
38)
ex
e
e
2x
0.11718
e 1 0.23865 e 1 f x sen 1 2 x c 2
Sol.
1 e2 x dx
37)
15 128
x
dx
Sol.
f x tan 1 e x c
Sol.
f x tan 1 ln x c
Sol. 0.1469
dx
1 csc2 x dx
cot x
e2 x
Sol.
f x sen 1e x c
Sol.
f x e cot x c
39)
1 e4 x dx
Sol.
1 f x tan 1 e 2 x c 2
40)
1 sen2 d
Sol.
f x tan 1 c
41)
42)
cos
x
x 2 dx
2
7 5 3 2 8 8 x 2 2 x 2 2 x 2 2 c 7 5 3
4 9 x 2 dx
1 x 4 9 x2 2
43)
e
44)
1 x2 dx
45) 46)
1
2
0
2 x
5 6
e
47)
48)
0 2
1
dx 3
dx
dx
Sol. f x
Sol.
x 1 x
2
dx
Sol. 3480
x
x
x 2 1 2 x3 x4
1
3 2 1 ex 2 c 3 1 1 f x tan x ln 1 x 2 c 2
f x
1 e x dx
x
2 23 ln 3x 4 9 x2 2 c
1 x
1
1
34)
1
0 6 sen 2 x cos
1
5 25 2 x
f x 2e
Sol. 1
x
5
c
c
1 3 2
14
Cálculo Diferencial e Integral
4.1 ÁREAS ENTRE DOS CURVAS. Encuentre el área limitada por las siguientes curvas 256 2 1) y 25 x 2 y 9 Sol. u 3 9 2 2) y x 2 3 x yx Sol. u 2 3) y 12 2 x 2 y x2 Sol. 32 u 2 128 2 4) y 4 x 2 y 3 x 2 12 Sol. u 3 5) y 6 y x 2 3x Sol. 32 u 2 6)
La región R acotada abajo por la gráfica y x3 y
arriba por la gráfica de y x en el intervalo 0,1 Sol.
1 2 u 4
7)
La región R acotada arriba por la gráfica y x3 y
abajo por la gráfica de y x4 en el intervalo 0,1 1 2 u 20 8) La región R acotada arriba por la gráfica y 1 x 1 y abajo por el eje x de en el intervalo
Sol.
0, 2 9)
Sol. 1.0986 u2 La región R acotada a la izquierda por la gráfica
x y 2 y a la derecha por la línea vertical x 4 Sol.
10)
32 2 u 3
La región entre las gráficas
x 8 y2 , x y2 8
Sol. 60.3397
4 2 u 3 500 2 12) x y 2 , x 25 Sol. u 3 32 2 13) y x 2 , y 2x 3 Sol. u 3 125 2 14) x y 2 , x y6 Sol. u 6 16 2 15) x 4 y 2 , x 12 y 5 0 Sol. u 3 3 2 16) y x 1, y 1 x 1 en 0,1 ln 2 u 2 2 e 1 u 2 1.0861 17) y e x , y e x . x 1 Sol. e x2 18) y xe , y 0, x 1 Sol. 0.3160u 2 4 2 19) y x 2 x, y 1 x3 Sol. u 3 20) y x 2 , y x3 2 x Sol. 3.0833u 2 11)
y x2 ,
y 2x
Sol.
1
17 2 u 6 x 33 2 22) y 2 x, x y 4, y 1, y 2 Sol. u 2 32 2 23) y x 2 1, y 5, Sol. u 3 32 2 24) y x 2 , y 4 x, Sol. u 3 9 2 25) y 1 x 2 , y x 1, Sol. u 2 26) y 2 4 x, y 2 x 2, Sol. 8 3 u 2 27) y x, y 3x, x y 4, Sol. 2u 2 1 2 Sol. u 28) y x3 x, y 0, 2 29) x 4 y y 3 , x 0, Sol. 8u 2 16 2 30) y x 4 x 2 , y 0, Sol. u 3 21)
y
4.2
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN.
2
,
y x 2 , x 1, x 2 Sol.
Encuentra el volumen del sólido generado al hacer rotar alrededor del eje indicado la región plana limitada por las curvas dadas.
1 2 3 y , x 1, x 3, y 0 Eje x Sol. u x x 2) y x 2 , y 2, Eje y Sol. 2 u 3 512 3 3) y x 2 4 x, y 0, Eje x Sol. u 15 64 3 4) y 2 x, 2 y x, Eje y Sol. u 15 64 2 3 5) y x 2 , y 4 x 2 , Eje x Sol. u 3 72 3 6) x y 2 , y x 2 0, Eje y Sol. u 5 128 3 Sol. u 7) y x , x 4, y 0 Eje y 5 24 3 Sol. 8) y x 2 , y 2 8 x, Eje y u 5 9) 2 x y 12 0, x 2 y 3 0, x 4 135 3 Sol. Eje y u 2 512 3 10) x 2 4 y, y 4, Eje x Sol. u 5 11) y 2 x, y 6, x 0 Eje x Sol. 72 u 3
1)
12)
y x2 ,
13)
y x , y 4, x 0 Eje y sòlo en el primer cuadrante 2
y 0, x 1
Eje x
Sol.
5
u3
Sol. 8 u 3
15
Cálculo Diferencial e Integral y 0, x 0 en 0,1 Eje xSol.
14)
y 1 x,
15)
yx ,
16)
y 1 x ,
y 0,
17)
y 1 x2 ,
y 0,
Eje y
18)
y 6 x2 ,
y 2,
Eje y
2 Sol. 8 u 3
19)
y 4,
2
y x , x0
Eje y
Sol. 8 u
20)
yx ,
y 0, x 2
Eje y
21)
y 25 x ,
22)
y x2 ,
Sol. 8 u 3 625 3 Sol. u 2 Sol. 16 u 3
23)
x y,
x y ,
2
2
2
2
3 3 3 Eje x Sol. u 10 16 Eje x Sol. u3 15
y 0,
Eje y
y 8 x2 ,
Eje y
2
Sol.
u3
9) 10)
24) 25) 26) 27) 28) 29)
Utilice el método de integración por partes para encontrar las siguientes integrales. 1)
x
2
ln xdx
2)
x cos5xdx
3)
x
2
sol. 4) 5)
sen xdx
1
x 2 cos x
ln x dx 2
e 2
1 3 1 sol. x ln x x3 c 3 9 1 1 sol. xsen5 x cos5 x c 5 25
2y
sen3 ydy
ln x
2
2
1 x ln xdx n x cos xdx
1.071 9 sol. x n senx n x n 1senxdx
x e dx ax e cos bx dx
sol.
13) 14) 15) sol.
cos x ln senx dx
sol. senx ln senx 1 c
2 2
n ax
1 2 24 ln 2 7
sol. sol.
eax a cos bx bsenbx a 2 b2
x n eax n n1 ax x e dx a a
c
1 2x e 2cos3 x 3sen3 x c 13 3 2 3 17) x5 x3 1 dx sol. x 1 2 3 x3 2 c 45 ln x 2ln x 4 18) dx sol. c x x x x 1 1 19) x sec 2 2 x dx x tan 2 x ln sec 2 x c sol. 2 4 16)
e
2x
cos3 xdx sol.
20)
0
ysen3 ydy
sol.
3 1 3 2 sol. e 4 4 1 2x e 2 senx cos x c sol. 5
21)
1
x
0 e2 x dx
23)
e
2x
24)
0 xe
25)
0 e
senxdx sol.
26)
x
e dx
27) 28)
x sec xdx n x senxdx
sol. x n cos x n x n1 cos xdx
29)
x
sol.
30)
e
ax
31)
x ln xdx
32)
x x 3 dx tsen2tdt 5 x ln xdx
sol.
7)
12)
cos x c
1 2y e 2sen3 y 3 cos3 y c 13 1 1 sol. ln 2 2 2
0 2 x cos xdx
sol. x ln x 2 x ln x 2 x c
1
dx
2
3
sol.
11)
2
6)
x2
xsen x
2
6 x x3 cos x 3x2 6 senx c
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 5.0 INTEGRACIÓN POR PARTES
2 4
sol.
3
Sol. u 128 3 y x3 , x 2, y 0 Eje x Sol. u 7 32 3 x y 2 , y 2, x 0 Eje y Sol. u 5 32 Eje x Sol. y 4 x, y 4 x 2 , u3 15 x y , y 4, x 0 Eje y Sol. 8 u 3 512 y x 2 4 x, Eje x Sol . u3 715 1 2 y , y 1, x 0 y 3 Eje y Sol. u3 x 3 x 2 y 3, x 0 Eje x
32 64 62 ln 2 2 ln 2 5 25 125 sol . e x x3 3x 2 6 x 6 c
1 x ln x dx 3 x x e dx 3 x senxdx
u3
3
8)
33) 35)
4
1 x
senxdx x 2 dx
2 2x
2
n
ln xdx
sol. 4 12e2 1 e sen1 cos1 1 0.909 2 e2 x 2 sol . 2x 2x 1 c 4 sol. x tan x ln cos x c
senbxdx sol.
x n1
1 n 1 ln x c n 12 eax asenbx b cos bx c a 2 b2
2 32 4 3 x ln x x 2 c 3 9 3 2 sol. x 2 x 3 2 c 5 34) x 2 cos mxdx sol.
36)
e
cos 2 d
16
Cálculo Diferencial e Integral 37) 39)
0 1
x 2 1 e x dx
1
0
x3
dx
4 x ln 2 x 41) 2 dx x 2
38) 40) 42)
2
0
ln x 2 dx x3 1
17)
ln x
dx
21)
Utilice las diferentes identidades trigonométricas si es necesario para evaluar las siguientes integrales.
22)
2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) sol. 10) 11) 12)
0 2 cos
2
xdx
14) 15) 16)
sol.
4 3 1 1 cos x dx sol. 2 x 2senx 4 sen2 x c 1 2 3 2 cos x tan xdx sol. 2 cos x ln cos x c 1 2 2 sec x tan xdx sol. 2 tan x c 1 5 2 3 6 sec ydy sol. 5 tan y 3 tan y tan y c 1 3 3 tan x sec xdx sol. 3 sec x sec x c 1 tan 2 x 1 sec2 x dx sol. 2 sen2 x c 1 3 sol . cos4 x c cos xsenxdx 4 5 2 sen x cos xdx 1 2 1 cos3 x cos5 x cos7 x c 3 5 7 2 3 sol . 0 2 cos xdx 3 1 4 sol. tan 5 x 3 tan 2 5 x c sec 5 xdx 15 2
tan
5
4
sol. tan 4 4 13)
xdx x 2 tan 2 4
x 4ln cos x c 4 1 3 3 sol. sec x c sec x tan xdx 3 1 5 1 3 3 2 sen x cos xdx sol. 5 cos x 3 cos x c 3 11 5 3 sol. 2 4 sen x cos xdx 384 3 4 sol . 0 sen 3xdx 8
sol.
x cos 2 xdx
16
cos x 2 dx senx 45 18sen 2 x 15sen 4 x c 45 sex cos x sen 2 x 19) dx sol. ln senx 2senx c senx 20) tan 2 xdx sol. tan x x c
dx 3
5.1 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
1)
2
5
18)
x ln x x2
0 2 sen
23) 24) 25) 26) 27) sol. 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) sol.
0 3 tan
5
sol.
x sec 4 xdx
1 4 sec x tan 2 x ln sec x c 4 1 5 6 sen 2 x cos 2 xdx sol. 12 sen 2 x c 1 2 sol. 6 x sen6 x c cos 3xdx 12 16 7 2 sol. 0 cos xdx 35 5 6 2 sol. 0 sen xdx 32 3 sec xdx
tan
5
xdx
sol.
sec x tan x ln sec x tan x 1
sol.
6 3 sen x cos xdx
37)
38)
sen3 x x dx
42)
2 c
1 x senx cos x c 2 1 1 2 3 3 5 sen x cos xdx sol. 3 sen x 5 sen x c 1 2 5 5 3 cos xdx sol. 5 sen x 3 sen x senx c sen3 4 x 1 sol. sec 4 x cos 4 x c cos2 4 x dx 4 1 4 sol. tan x tan 3 x c sec xdx 3 tan 3 x 1 sen 4 x c sol. sec4 x dx 4 1 1 3 sol. sen5t sen3 5t c cos 5tdt 5 15 3 5 sen 2t cos 2 tdt 5 9 13 1 2 1 cos 2t 2 cos 2t 2 cos 2t 2 c 5 9 3
csc2 x dx
36)
40)
117 8
0 cos xdx 2 4 0 sen x cos xdx 6
0 2 cos
5
xdx
39)
0 2 sen
2
2 ydy
41)
x cos
xdx
43)
cot
5
2
xsen 4 xdx
17
Cálculo Diferencial e Integral
5.2
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Utilice el método de sustitución trigonométrica para evaluar las siguientes integrales. 1 x 1) dx sol. c 3 25 25 x 2 2 2 25 x 5 25 x 2 25 x 2 25 x 2 c 2) dx =5ln x x
3)
4) 5) 6)
7)
1
x2 4
9)
12)
sol.
dx
1
dx
x 4 x2 9 1 x
x 9
2
2
dx
1
11)
sol. ln x x 2 4 c
dx
1 tan 1 x x c 2 1 x2 x2 9 x 16 4 x 2 dx sol. 4 sen 1 x 4 x 2 c 2 x
8)
10)
x 2 25 x 2
dx
1 4 x dx = 2
x x 7 2
1 sol. ln 3 sol.
1 x2 dx x
4x 9 3 c 2x 2
25 x 2 c 25 x
1 1 sen 1 2 x x 1 4 x 2 c 4 2
x2 x 1
1 1 x x 1 ln x 2 x 1 x c 2 2
sol.
1 1 x 1 x 2 2 x ln x 1 x 2 2 x c 2 2
x 2 2 x dx
1 x2 4 x2 x2 1 x2
dx
dx
4 x2 c 4x
sol. ln x x 2 1
x2 1 c x
9 16 x 2
3
1 dx x 1 x 2 ln x 1 x 2 c 2 1 x2 x 1 sol. c dx 3 2 2 2 x 1 4 x
1
21)
x
22)
23)
25)
26)
27)
9 4 x2
1
dx 16 x 2 1 dx x 2. 9
x4
sol.
dx
x2 5 2 3
x3
sol.
dx
dx
x 9 dx 2
3 x3
2 c 3
5 x2 5 c x5
x2 9 c
sol. ln x 2 16 x c
x 16
x2 9
29)
5 4 x x 2 dx
31)
1 x2
1 2 x 18 3
sol.
2
x3
sol. ln x x 2 9 c
2
5 x 2
3 1 2 x 4 2 3x 2 8 c 15 3 1 sol. 1 x2 2 c 3 x sol. sen 1 c 4
sol.
1 x 2 dx
1 x
9 4 x2 2 x c 3 3
1 ln 2
sol.
dx
28)
30)
c
x2
3 2 x x 4 dx
9 9 16 x 2
2
20)
24)
x
sol.
dx
sol.
sol.
1
19)
dx
13)
15)
2
sol.
14)
18)
x2 7 c
1 x2 1 sol. ln 1 x2 c x
x
2
sol.
17)
x 9 c 4x
sol.
dx
16)
dx
sol.
1 1 x x2 9 sec c 6 3 2 x2
9 x2 1 2 sen 1 x 2 5 4x x c 2 3 2
x2 16 x 2
dx 8sen 1
x x 16 x 2 c 4 2
1 4 x2 dx x
sol. ln 4 x ln 2 x ln 1 1 4 x 2 1 4 x 2 c
18
Cálculo Diferencial e Integral 32)
33)
x2 25 x 2 x2
25 x x sen 1 25 x 2 c 2 5 2
dx
x 1 dx x
35)
0
x x 2 4 dx
37)
1
x 2 1 dx
2
2
1
34)
1
36)
0
38)
x3
3
0
40)
x2 9 x2
6
4
42)
5.4
x 9 2
c x
t5
39)
dx
41)
dx
43)
x 2 100 t2 2 t
dx
dt
25 t
2
dt
4 x2 9
1
x4
3) 4) 5) 6)
sol
2
1
dx x2 1
4 x3
3
x3 2 x 2
2
1
2 x2 4
dx
4 y 2 7 y 12 dy y y 2 y 3
5 x2 3x 2
x3 x 2 2 x 1
x3 2 x 2
11)
dx dx
x x 3
x 1
2
dx 5ln x 2 ln x 2 3ln x c sol.
dx
13)
0 2 x2 5 x 2dx
3
sol. ln 2
x4
15)
x3 4 x dx
16)
7 2 ln 6 3
18)
sol.
27 9 ln 2 ln 3 5 5
x2 1 c x
sol. ln
x2 4 dx
sol.
1 dx 2ln x 3 ln x 2 c x
1
1 ln x 4 x3 c x
dx
14)
17)
1
1 3 x x 4 x 8 tan 1 c 3 2 1 1 ln x ln x 2 4 c sol. 4 8 sol.
x2 2 x
x 12 dx
sol. x
x2 1
x3 2 x2 x dx
sol.
1 c x 1
2 ln x c x 1
4 x3 7 x
x4 5 x2 4 dx
1 3ln x 2 ln x 1 x 1 3ln x 2 c 2 x4 1 1 x 19) 3 dx = ln x ln x 2 4 tan 1 c 2 2 2 x x sol.
20)
x c 2
x3 4 x 2 4x 2x 1
x3 x
1 3 ln 2 2
dx
x 2 12 x 12
12)
sol.
x2 1 x2 2 1 1 ln x 2 1 tan 1 2 2
2
x 2 3 2 3
10)
FRACCIONES PARCIALES
3
1 3 x 1 ln x 2 2 x 5 tan 1 c 2 2 2 1 8) 3 dx x 1 1 1 1 2x 1 sol. ln x 1 ln x 2 x 1 tan 1 c 3 6 3 3 3 dx sol. ln x 1 ln x 2 c 9) 2 x x2
3
Utilice el método de fracciones parciales para encontrar las siguientes integrales. x9 1) dx sol. 2ln x 5 ln x 2 c x 5 x 2
2)
x4
x2 2 x 5 dx
sol
dx
4 9x 3x 4 9 x 2 2 3x 4 9 x 2 ln 27 4 2 2
7)
x 2 10
2 x4 9 x2 4 dx
x2 x 1 dx 1 22) 2 dx x 4 21)
= tan 1
x 3 2 tan 1 2 x c 2 2
1 2 x x ln x 1 c 2 1 1 sol. ln x 2 ln x 2 c 4 4 sol.
19
Cálculo Diferencial e Integral 1
23)
x2 3x dx
24)
x 1
1 x3 ln c 3 x
sol.
x
x 1 2
dx
30) 31) 32)
1
x2
x4 2 x2 8 dx 6 ln x 2
2 tan 1
x 2 3x 4
35)
sol. 36)
2 x 4 x 15 x 5 3
2
x3 2 x
0 x4 4 x2 3 dx 10
x 1
Sol.
x3 ln x 1 c 2
PROBLEMAS FISICOS DE APLICACIÓN 6.0 RAZÓN DE CAMBIO Resuelve los siguientes problemas. 1) Una placa en forma de un triángulo equilátero se expande con el tiempo cada lado aumenta a razón constante de 2 cm/h . ¿Con que rapidez crece el área cuando cada lado mide 8 cm?.
1
x 52 x 1
2) Un bote navega hacia un acantilado vertical como se muestra en la figura. ¿Cómo están relacionadas las razones de cambio de x, s, ?.
1 8 = ln 4 3
x2 9 1 1 x ln x 1 ln x 2 9 tan 1 c 2 3 3 dx
dx
1 1 1 1 ln x 5 ln x 1 c 36 6 x 5 36 x 2 3x 1 1 x2 1 x 37) 4 dx = ln 2 tan 1 c 2 2 2 x 5x 4 x 4 sol.
x2 x 1 dx x 1
3
x3 4 x2 4 x dx 2ln x 2 ln x x 2 c
1
5 c x 1
x c 2
dx x2 2 x 8 3 1 sol. x 2 ln x 4 ln x 2 c 2 2 5 x 3 33) 2 dx ln 2 x 1 2ln x 1 c 2 2x x 1 34)
39)
Sol . 6ln x 1
x2
x 12 dx
1 1 1 sol. ln x 1 ln x 2 1 tan 1 x c 2 4 2 1 1 x2 sol. 25) 3 ln dx c 2 x 2 1 x x 3 x 10 26) 2 dx sol. ln 2 x 1 ln x 3 c 2 2x 5x 3 1 1 27) 2 dx sol. ln x 2 ln x 3 c 5 x x6 x 1 28) dx sol. x 2ln x 1 c x 1 2 x 1 1 8 29) dx sol. ln tan 1 2 0.557 2 1 2 5 4 x x 1
6 x 11
38)
3) Un insecto va a lo largo de un grafica de y x 2 4 x 1 , en donde x, y se miden en cm, si la abscisa x, varia a razón constante de 3cm/min. ¿Cuán rápido está variando la ordenada en el punto (2,13). 4) Una partícula se mueve sobre la gráfica de y 2 x 1 , de manera que dx 4 x 4 . ¿Cuál es el valor de dy cuándo dt
dt
x 8?
5) Un tanque de aceite en forma de cilindro circular de radio igual a 8m se está llenando según una razón constante de 10 m 3 / m . ¿Con que rapidez sube el nivel del aceite?
20
Cálculo Diferencial e Integral 6) Una escalera de 15 pies se apoya sobre u muro de una casa, el pie de la escalera se separa de la base del muro a razón constante de 2 pie/min. ¿A qué razón se desliza la parte superior de la escalera por el muro cuando el pie de la misma está a 5 pies del muro?
7) Un avión que vuela paralelo al nivel del suelo a una velocidad constante de 600 mill/h, se aproxima a una estación de radar, si la altitud del avión es de 2 millas. ¿Con que rapidez decrece la distancia horizontal entre ellos es de 1.5 millas? Y
6.1 PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. 1) Encuentre dos números reales positivos x ,y tales que su suma sea 50 y su producto tan grande como sea posible. Sol. 25 y 25. 2) Una hoja rectangular de metal con perímetro de 4 m va a ser enrollada para formar la cara lateral de un recipiente cilíndrico encuentre las dimensiones del recipiente con máximo volumen. Sol. y
2 m 3
2 r 3
3) Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 100 m cuya área sea lo más grande posible. Sol. 25 m x 25 m.
8) el agua escapa por la parte inferior del depósito cónico que se muestra a continuación, a razón constante de 1 pie3 / min . ¿Con que rapidez varia el nivel del agua cuando su altura. Sobre el fondo es de 6 pies? ¿a qué razón cambia el radio del espejo de agua sí V 1 r 2h .
4) De una pieza cuadrada de cartón se va a formar una caja abierta por arriba, cortando un cuadrado en cada una de las esquinas y doblando los bordes. Dado que el cartón mide 40 cm por lado, encuentre las dimensiones de la caja que darán lugar al volumen máximo ¿Cuál es el volumen de éste? 20 80 Sol. x y V 4740.74 cm3 3 3
9) Una bola de nieve esférica se funde de tal modo que su
5) Una caja rectangular tiene una base cuadrada con aristas de por lo menos una pulgada de largo. No tiene tapa y el área total de sus cinco lados es de 300 pug2 . ¿Cuál es el volumen máximo posible de esta caja? Sol. 500 pug3
3
volumen de reduce a una velocidad de 1 cm 3 / min ¿con que velocidad disminuye el diámetro cuando mide 10 cm? 10) Una escalera de 10 pies de longitud descansa en un muro vertical si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 ft/s con que velocidad cambia el ángulo formado entre la parte superior de la escalera y el muro cuando ese ángulo mide radianes. 4
6) Un granjero tiene 600 yardas de barda con las cuales quiere construir un corral rectangular. Parte de la barda se usará para construir dos bardas divisorias a intervalos iguales, ambas paralelas a los mismos lados del corral. ¿Cuál es el área total máxima posible de este corral? Sol. 11,250 yd2
21
Cálculo Diferencial e Integral una pieza de hojalata de 30 cm de ancho ¿Cuáles son las dimensiones de la sección transversal que hacen que el volumen sea máximo? Sol. y 7.5cm x 15cm
7) Un recipiente rectangular de almacenaje de agua debe tener un volumen de 10 m3. El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta $ 10 por metro cuadrado. El material para el costado, $ 6 por metro cuadrado si la tapa es del mismo material que el de los lados. Encuentre el costo de los materiales para tener el más barato de esos recipientes. Sol. $ 191.28 8) Un granjero tiene 600 m de barda con la que planea rodear un pastizal adyacente a un muro largo. Planea colocar un lado paralelo al muro, y dos para cerrar la barda al muro, colocará un cuarto (perpendicular al muro) para dividir el pastizal en dos partes iguales. ¿Cuál es el área máxima que puede rodear?. Sol. 30,000 m2
13) la suma de dos números reales no negativos es 10. Encuentre el valor más pequeño posible de la suma de sus cubos. Sol. 250. 14) Una ventana consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana con área máxima si su perímetro es de 10 m Sol. r
10 4
x
20 4
y
10 4
9) Encuentre las dimensiones de la región sombreada, de modo que el área sea máxima.
15) La suma de dos números positivos es 48. ¿Cuál es el valor más pequeño posible de la suma de sus cuadrados? Sol. 1152 10) El volumen V ( en cm3) de 1 kg de agua a una temperatura de T entre 0º C y 30º C se aproxima bien por. V 999.87 0.06426 T
0.0085043 T 2 0.0000679 T 3 ¿A qué temperatura tiene el agua su densidad máxima? Sol. Aproximadamente 3.967ºC 11)
Encuentre el punto en la recta
está más cerca del origen. Sol.
y 4 x 7 que
1728 , 177 .
12) La canaleta de sección trasversal rectangular se fabrica doblando porciones iguales en cada orilla de
16) Si se cuenta con 1200 cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta. Encuentre el volumen máximo posible. Sol. 4000 cm3 17) La sección transversal de una viga rectangular de madera cortada de un tronco circular de diámetro d tiene longitud x y anchura y. la resistencia de una viga varìa en proporción directa al producto de la longitud y al cuadrado de la anchura. Calcule las dimensiones de la sección transversal de la viga de mayor resistencia. R yx 2 .
Sol. x
6 d 3
y
3 d 3
22
Cálculo Diferencial e Integral cuadrados que se corten para maximizar el volumen de la caja?
18) Se va a construir una caja rectangular abierta con base cuadrada y un volumen de 32000 cm3 . Encuentre las dimensiones que requieran la menor cantidad de material. Sol. x 20 y 40
19) Encuentre las dimensiones de la lata cilíndrica para jugo que utilice la menor cantidad de material cuando el volumen del envase es de 32 pug . Sol. r 3 16
Altura 2 3 16
Sol. x
5 3
24) Encuentre el área máxima posible de un rectángulo con perímetro de 200 m. 25) Un granjero tiene 600 m de barda que usará para rodear un corral rectangular adyacente a una pared existente. Usará la pared como un lado del corral y la barda disponible para los otros tres lados. ¿Cuál es el área máxima que puede rodear de esta manera?
20) Hallar el área máxima para un rectángulo que esté inscrito en un círculo de radio 4 Sol. 32 cm2 21) Hallar las coordenadas del punto p que maximice el área del rectángulo representado en la siguiente figura. Sol. x 2 y
3 2
26) Encuentre el volumen máximo posible de un cilindro circular recto si el área de su superficie total incluyendo ambas tapas circulares es de 150 . 27) ¿Cuál es el área máxima posible de un rectángulo con una base que está sobre el eje x y dos vértices superiores que están en la gráfica de la ecuación y 4 x2 ?
22) ¿Cuáles son las dimensiones de la base de una caja rectangular de máximo volumen que se puede construir con 100 cm2 de cartón si la base ha de ser dos veces más larga que ancha? Se supondrá que la caja tiene una tapa. Sol.
10 3 cm 3
por
5 3 cm 3
23) En un trozo rectangular de cartón de dimensiones 8 x 15 se han cortado cuatro cuadrados iguales, uno de cada esquina. El pedazo cruciforme restante se dobla de manera que forme una caja sin tapa. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de los
28) Un cable recto de 60 cm de largo se dobla en forma de L. ¿Cuál es la distancia más corta entre las dos terminales del cable doblado? 29) La suma de dos números reales negativos es 16. Encuentre el valor máximo posible y el valor mínimo posible de la suma de sus raíces cúbicas.
23
Cรกlculo Diferencial e Integral
24