1 examen departamental 2014

Primer Examen Departamental Cálculo Vectorial

Nombre: Solución Grupo: IGM4 Materia Calculo Vectorial Fecha: 10-09-2014 Profesor: Gerson Villa González Instrucciones   

El examen esta ponderado al 60% Cada problema tiene un valor de 1.67 Punto La duración del Examen es de 1:30 min

1. Encuentre las longitudes de los lados del triángulo con vértices en A(3, 4,1),B(5, 3,0) y C(6, 7,4) . ¿Es ABC un triángulo rectángulo isósceles?

Solución Encontraremos las longitudes de los lados del triángulo, usando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

AB 

5  3

2

  3   4     0  1  4  1  1  6

BC 

6  5

2

  7   3     4  0   1  16  16  33

CA 

3  6

2

2

2

2

2

  4   7    1  4   9  9  9  27  3 3 2

2

2

De acuerdo al teorema de Pitágoras se satisface que AB  CA

2

 BC

2

, ABC es un triángulo rectángulo. ABC no es un triángulo isósceles, porque dos de sus lados deben tener la misma longitud.

2. Describa verbalmente la región de  desigualdad.

3

representada por la ecuación o

z 2 Solución Todos los puntos en y entre los planos horizontales z  2 y z  2 1

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3. Si A,B y C son los vértices de un triángulo, halle AB  BC  CA Solución Por la ley del triángulo tenemos que:

AB  BC  AC  AB  BC  CA  AC  CA





pero AC  CA  AC   AC  0 4. Demuestre que:

i j  jk  k i  0 b. i  i  j  j  k  k  1 a.

Solución Inciso a

i  j  1,0,0  0,1,0  1 0    0 1   0  0   0 Similarmente j  k   0  0   1 0    0 1  0 y

k  i   0 1   0  0   1 0   0 Otro método: Porque los vectores i, j y k son mutuamente perpendiculares el factor coseno en cada producto escalar es cos

 0 2

Inciso b 2

Por la propiedad que i  i  i  1  1 , ya que i 2

Similarmente j  j  j  1 y k  k  k 2

2

es un vector unitario.

1

5. Demuestre que  a  b    a  b   2  a  b  Solución Tabla de Propiedades Utilizada Teorema Si a,b y c son vectores y c es un escalar, entonces a. a  b  b  a b. c.

 ca   b  c  a  b   a   cb  a  b  c   a  b  a  c 2

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d. e. f.

6.

a  b  c  a  c  b  c a  b  c    a  b   c a  b  c    a  c  b   a  b  c

 a  b    a  b    a  b   a   a  b   b Propiedad c  a  a   b   a  a  b   b   b Propiedad d   a  a    b  a    a  b    b  b  Propiedad b con c  -1  0  b  a    a  b   0   a  b    a  b  Propiedad a  2 a  b Demuestre que la recta que pasa por los puntos  2, 1, 5  y  8,8,7  es paralela a la recta que pasa por los puntos  4,2, 6  y  8,8,2  Solución El Vector del primer par de puntos es V1  6,9,12 siguiente par de puntos es V2  3,4,1

V1 

, por lo tanto tenemos que

3 V2 , por lo tanto las rectas son paralelas.

2

3

y y el vector del