SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE FUNDAMENTOS MATEMATICOS
Nombre Grupo: 1TM1 Materia Fundamentos Matemáticos Fecha: 16/10/2103 Instrucciones
El examen esta ponderado al 70% Debes de contestar todos los problemas
Trigonometría Analítica Verificación de identidades trigonométricas Verifique la identidad 1.
cos / 2 x
sen / 2 x
tan x
Solución Utilizamos las identidades trigonométricas siguientes:
cos x sen x y sen x cos x 2 2 Y tenemos que
sen x tan x cos x Por Wolfram
Resultado
Forma Alterna
1
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2. sec
u 2 tan u 2 tan u senu
Solución
1 u sec 2 cos u 2
2 2 senu 1 cos u senu 1 cos u
2 senu 2 senu cos u senu senu cos u senu senu cos u cos u cos u
2 tan u tan u senu
Con Wolfram
Resultado Exacto
Gráfica
2
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Formas Alternativas
Forma alternativa asumiendo que u 0
Solución entera
Compruebe la identidad 1. sen x cos x 1 2cos x 2cos x 4
4
2
4
Solución
3
Verify the following identity: sinHxL4 + cosHxL4 1 - 2 cosHxL2 + 2 cosHxL4
Express sinHxL4 in terms of cosine via the Pythagorean identity.
sinHxL4 IsinHxL2 M I1 - cosHxL2 M : 2
2
cosHxL4 + I1 - cosHxL2 M
2
?
1 - 2 cosHxL2 + 2 cosHxL4
Expand I1 - cosHxL2 M . 2
I1 - cosHxL2 M 1 - 2 cosHxL2 + cosHxL4 : 2
?
cosHxL4 + 1 - 2 cosHxL2 + cosHxL4 1 - 2 cosHxL2 + 2 cosHxL4
Evaluate cosHxL4 + 1 - 2 cosHxL2 + cosHxL4 .
cosHxL4 + 1 - 2 cosHxL2 + cosHxL4 1 - 2 cosHxL2 + 2 cosHxL4 : ?
2 4 1 - 2 cosHxL2 + 2 cosHxL4 1 - 2 cosHxL + 2 cosHxL
Come to a conclusion.
The left hand side and right hand side are identical: Answer:
Hidentity has been verifiedL
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Resuelva la ecuación 1. 2cos x 1 0 Solución
2cos x 1 0 2cos x 1 1 2 cos x x 2n 2 3 ó x
4 2n 3
Forma Alterna
Soluciones
Ley de Senos 1. Elevación. Un poste de teléfono de 10 metros proyecta una sombra de 17 metros hacia debajo de una pendiente, cuando el ángulo de elevación del Sol es de 42° (vea la figura). Encuentre , el ángulo de elevación del suelo. 4
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Solución
sen 42o
sen 48o 10 17 sen 42o ~ 0.43714 42o ~ 25.9o
~ 16.1o Sistemas de Ecuaciones Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
x yzw6 2x 3y w 0 1. 3x 4 y z 2w 4 x 2 y z w 0 Solución
5
Solve the following system: w+x+y +z 6 -w + 2 x + 3 y 0 2w -3x+4y +z 4 w +x+2y -z 0
Express the system in matrix form: 1 1 1 1 6 w -1 2 3 0 x 0 = y 4 2 -3 4 1 z 0 1 1 2 -1
Write the system in augmented matrix form and use Gaussian elimination: 1 1 1 1 6 -1 2 3 0 0 2 -3 4 1 4 1 1 2 -1 0
Swap row 1 with row 3: 2 -3 4 1 4 -1 2 3 0 0 1 1 1 1 6 1 1 2 -1 0
´ Hrow 1L to row 2: 2 2 -3 4 1 4
1
Add
0
1 2
5
1 2
1 1
1 1
1 1 6 2 -1 0
2
Multiply row 2 by 2: 2 -3 4 1 4 0 1 10 1 4 1 1 1 1 6 1 1 2 -1 0
2
Solución del Sistema de Ecuaciones.cdf
1 Subtract
´ Hrow
2 2 -3 4 0 1 10 0
5 2
-1
1
1
2
1L from row 3:
1 1
4 4
1 2
4
-1 0
Multiply row 3 by 2: 2 -3 4 1 4 0 1 10 1 4 0 5 -2 1 8 1 1 2 -1 0
1 Subtract
´ Hrow
2 2 -3 4 0 1 10 0 5 -2 0
5 2
0
1 1 1
-
3 2
1L from row 4: 4 4 8 -2
Multiply row 4 by 2: 2 -3 4 1 4 0 1 10 1 4 0 5 -2 1 8 0 5 0 -3 -4
Swap row 2 with row 3: 2 -3 4 1 4 0 5 -2 1 8 0 1 10 1 4 0 5 0 -3 -4
Solución del Sistema de Ecuaciones.cdf
1 Subtract
´ Hrow
2L from row 3:
5 2 -3 4 0 5 -2
1 1
4 8
4 5
12 5
0
0
52 5
0
5
0
-3 -4
5 Multiply row 3 by
: 4 2 -3 4 1 4 0 5 -2 1 8 0 0 13 1 3 0 5 0 -3 -4
Subtract row 2 from row 4: 2 -3 4 1 4 0 5 -2 1 8 0 0 13 1 3 0 0 2 -4 -12
Divide row 4 by 2: 2 -3 4 1 4 0 5 -2 1 8 0 0 13 1 3 0 0 1 -2 -6
1 Subtract 13 2 -3 4 0 5 -2 0 0 13 0
0
0
´ Hrow
1 1 1
-
27 13
3L from row 4: 4 8 3 -
81 13
3
4
Soluci贸n del Sistema de Ecuaciones.cdf
Multiply row 4 by -
13 : 27
2 -3 4 1 4 0 5 -2 1 8 0 0 13 1 3 0 0 0 1 3
Subtract row 4 from row 3: 2 -3 4 1 4 0 5 -2 1 8 0 0 13 0 0 0 0 0 1 3
Divide row 3 by 13: 2 -3 4 1 4 0 5 -2 1 8 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3 Add 2 麓 Hrow 3L to row 2: 2 -3 4 1 4 0 5 0 1 8 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3
Subtract row 4 from row 2: 2 -3 4 1 4 0 5 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3
Divide row 2 by 5: 2 -3 4 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3
Solución del Sistema de Ecuaciones.cdf
Add 3 ´ Hrow 2L to row 1: 2 0 4 1 7 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3 Subtract 4 ´ Hrow 3L from row 1: 2 0 0 1 7 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3
Subtract row 4 from row 1: 2 0 0 0 4 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3
Divide row 1 by 2: 1 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3
Collect results: Answer:
w 2 x 1 y 0 z 3
5
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Geometría analítica Elipse 1. Encuentre los centros, focos y los vértices (recuerde que es posible que sea necesario despejar y obtener dos ecuaciones) a. 36 x 9 y 48 x 36 y 72 0 2
2
Solución Características Geométricas
Gráfica
6
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Formas Alternativas
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