[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Ecuación de Bernoulli A la ecuación diferencial dy P( x) y f ( x) y n dx
(1.1)
Donde n es un número real cualquiera se le llama ecuación de Bernoulli en honor del matemático suizo Jacobo Bernoulli (1654 1705). Para n 0 y n 1 , la sustitución w y1n lleva a la ecuación lineal. Observe que cuando n 0 y n 1 la ecuación (1.1) es lineal. dw 1 n P( x) w 1 n f ( x) dx
(1.2)
Ejercicios Resuelva la ecuación de Bernoulli Ejercicio 1 x2
dy 1 2 xy 3 y 4 , y(1) dx 2
Solución Acomodamos la ecuación diferencial en la forma estándar de una ecuación de Bernoulli dy 2 y 3 y 4 2 dx x x
2 3 Identificamos a p( x) , f ( x) 2 y n 4 x x
En consecuencia sabemos que w y 1 y tenemos
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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 dw 3 2 1 4 w 1 4 2 dx x x dw 6 9 w 2 dx x x
El factor integrante de esta ecuación lineal es: 6
dx ln x6 6ln x e x e e x6
Por lo tanto d 6 9 d x w 2 x6 x 6 w 9 x 4 dx x dx
Por lo tanto integramos ambos lados 9 9 x6 w x5 c w x 1 cx 6 5 5
Como w y1n obtenemos w y 3 1 9 1 x cx 6 3 y 5
Sustituimos los valores de la condición inicial para encontrar c x 1 1 y (1) 1 2 y 2 3
9 1 6 1 1 c 1 5 2 9 9 49 49 8 cc 8 c 5 5 5 5 9 49 6 Por lo tanto tenemos que la solución y 3 x 1 x 5 5 Ecuaciones Diferenciales
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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Ejercicio 2 x2
dy y 2 xy dx
Solución Por lo tanto acomodándola de acuerdo a la forma estándar de Bernoulli tenemos:
dy dy y y2 2 x xy y 2 dx dx x x 2
Identificamos 1 1 p ( x) , f ( x) 2 y n 2 x x
En consecuencia haciendo la sustitución llegaremos a una ecuación lineal de primer orden como se denota a continuación: dw 1 1 1 2 w 1 2 2 dx x x dx dw w 1 ln x 2 e x e ; u ( x) x dx x x xw ln x c
con w y12 w y 1 w
1 y
Por lo tanto sustituimos el valor de w x x ln x c ln x ln c e x / y xc y y
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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Ecuación de Ricatti La ecuación diferencial no lineal dy P( x) Q( x ) y R ( x ) y 2 dx
(1.3)
Se llama ecuación de Ricatti. Si y1 es una solución particular conocida de (1.3) entonces las sustituciones y y1 u
y
dy dy1 du dx dx dx
Aplicadas estas sustituciones a la ecuación diferencial (1.3) producen la siguiente ecuación diferencial en términos de u : du Q 2 y1R u Ru 2 dx
(1.4)
Como la ecuación (1.4) es una ecuación de Bernoulli con n 2 , puede entonces reducirse a la ecuación lineal siguiente: dw Q 2 y1R w R dx
(1.5)
Al sustituir w u 1 Nota. En muchos casos una solución de una ecuación de Ricatti no puede ser expresada en términos de funciones elementales. Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones de Ricatti Ejercicio 1 dy 2 y y 2 , y1 2 dx
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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Solución Se identifican que P( x) 2, Q( x) 1, R( x) 1 y después se resuelve la ecuación lineal: dw 1 2 2 1 w 1 dx dw 3w 1 dx
Resolvemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden 3 dx e e3 x
d 3x d e w e3 x e3 x wdx e3 x dx dx dx 3x e e3 x w c 3
Pero con w u 1 e3 x 1 1 e u c c 3 x 3 u 3 3x
1
u
1 1 ce3 x 3
Entonces la solución de la ecuación es y 2u y 2
1 ce3 x
1 3
Ejercicio 2 dy 1 2 x 2 y 2 y 2 , y1 x dx x Ecuaciones Diferenciales
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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Solución 1 Se identifican que P( x) 2 x 2 , Q( x) , R( x) 2 y después se resuelve x la ecuación lineal: dw 1 2 x 2 w 2 dx x dw 1 4x w 2 dx x
Resolvemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden 1
x 4 x dx
ln x 2 x 2
e e e e 2 x xe 2 x 2 2 2 d 2 x2 d xe w 2 xe2 x xe 2 x wdx 2 xe 2 x dx dx dx
ln x
2
2
xe2 x w 2 xe 2 x dx 2
2
Resolvemos la integral
2 xe
2 x 2
z 2 x 2 dx dz 4 xdx
dz z z z 2 x 2 2 xe 2 e dz 2 e c 2 e c 4
Por lo tanto wxe2 x 2e2 x c 2
2
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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Pero con w u 1 2 1 2 x2 xe 2e 2 x c u
u
xe 2 x
2
2e 2 x c 2
Entonces la solución de la ecuación es y xu y x
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xe2 x
2
2e2 x c 2
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