Primer Examen Departamental Calculo Vectorial

2013

Profesor: Gerson Villa González

Calculo Vectorial

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx

Calculo Vectorial

Nombre: Grupo: Calculo Vectorial

Fecha: 24‐02‐2013

Calificación

Instrucciones:  

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60% Cada valor tiene 2 puntos

Problemas Problema 1 Hallar la ecuación de la mayor esfera que tenga su centro en (2,1, 2) y corte a la esfera x  y  z  1 .

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Solución Primero obtenemos los vectores unitarios de:

2,1, 2 P 2 1 2   , ,  , un vector sobre la misma línea de acción pero P 2,1, 2 3 3 3 opuesto a el seria:

2 1 2  ,  , , por lo tanto tenemos que el punto más alejado de (2,1  2) sobre 3 3 3  2 1 2 x 2  y 2  z 2  1 es   ,  ,  en línea a través de (2,1, 2) y el origen. La  3 3 3  2 1 2 distancia desde  2,1  2  a   ,  ,  es:  3 3 3 2

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 2   1  2  d     2      1     2    16  4  3   3  3  Por lo tanto la ecuación de la esfera en forma canónica sería

 x  2

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  y  1   z  2   16

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Problema 2 La figura siguiente representa dos remolcadores que arrastran una barcaza. Si el remolcador A ejerce una fuerza de 5000 kg. ¿Qué fuerza debe ejercer el remolcador B para que la barcaza se desplace siguiendo la línea recta l .

Solución

40°

35°

Necesitamos una fuerza perpendicular a tenemos que

para contrabalancearlo, por lo tanto

FA sen 40  FB sen35  FB  5000

sen 40  5603kg sen35

Problema 3 Dados dos vectores a y b, demostrar la ley del paralelogramo

a b  a b  2 a 2 b 2

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Solución Tenemos que:

a  b   a  b    a  b   a  a  2a  b  b  b  a  2 a  b  b

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a  b   a  b    a  b   a  a  2a  b  b  b  a  2a  b  b

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Si sumamos las dos ecuaciones anteriores tenemos que: 2 2 a  2a  b  b  2 2 a 2 b 2 2 a  2a  b  b 

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Problema 4 Supongamos que a  i  0 y que a  j  0 . ¡Que se puede deducir acerca de a?

Solución

a  i  0,

a j  0

ai

y

Puesto que si a es paralelo a i y j

a ja0

  0 o     , entonces a  b  0

Problema 5 Hallar los vectores unitarios del siguiente plano 2 x  y  5 z  10  0 Solución El vector N  2i  j  5k es normal al plano 2 x  y  5 z  10  0 . Por lo tanto los vectores unitarios normales son:

N 1 N 1    2i  j  k  y   2i  j  k  N N 30 30

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