CONICA: CIRCUNFERENCIA
Circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de un punto de coordenadas x, y que se mueve sobre un plano, de manera que su distancia permanece constante con relación a un punto fijo de coordenadas h, k . El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante es el radio r .
r 2 x h y k 2
2
(1.1)
Se le llama forma reducida o forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Si el centro de la circunferencia está en el origen de los ejes coordenados h 0 y k 0 la ecuación anterior se reduce a:
r 2 x2 y 2
(1.2)
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen conocida como forma canónica. Si desarrollamos la forma reducida de la ecuación de la circunferencia
r 2 x h y k , obtenemos la forma general de la ecuación de la 2
2
circunferencia:
x 2 y 2 Dx Ey F 0
(1.3)
Ejemplo 1 Determinar la ecuación en su forma reducida de la circunferencia, que pasa por los puntos 2,1 y 4,5 y tiene su centro en la recta
2 x y 5 0 . Hacer la gráfica.
P á g i n a 1 | 12
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Solución Las coordenadas de los puntos
2,1
y
4,5
deben satisfacer la
ecuación de la circunferencia en su forma reducida.
x h y k 2
2
r 2 con
2,1
Queda
2 h 1 k
r2
(1.4)
5 k 2 r 2
(1.5)
2
x h y k 2
2
r 2 con
2
4,5
Queda
4 h
2
El centro h, k debe satisfacer la ecuación de la recta 2 x y 5 0 . Por lo tanto:
2h k 5 0
(1.6)
Formamos un sistema de 3 ecuaciones para obtener el valor de las incógnitas h y k .
2 h 1 k r 2 ............1 2 2 4 h 5 k r 2 ............ 2 2h k 5 0........................... 3 2
2
Eliminamos por reducción r 2 por reducción con 1 y 2 , por lo tanto tenemos: 2 2 2 h 1 k r 2 0 2 h 1 k r 2 0 2 2 2 2 2 4 h 5 k r 0 1 4 h 5 k r 2 0 2
2
2 h 1 k r 2 4 h 5 k r 2 0 2
2
2
2
P á g i n a 2 | 12
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Desarrollamos y simplificamos:
4 4h h2 1 2k k 2 16 8h h2 25 10k k 2 0 4h 8k 36 0................. 4 Obtenemos k con la ecuación 3 y 4
2 2h k 5 0 4h 2k 10 0
4h 8k 36
10k 46 0 k
4h 8k 36 0
46 23 10 5
Calculamos h en 3 tenemos:
2h k 5 0 2h
23 23 2 5 0 2h 5 5 5 5
2 2 1 h 5 2 10 5 1
Calculo de r en 1
2 h
2
1 k r 2 2
2
1 23 2 2 5 1 5 r 2
2
2
1 23 2 2 5 r 5 5 2
2
11 18 2 r 5 5 121 324 r2 25 25 445 r2 25 P á g i n a 3 | 12
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Sustituimos en x h y k r 2 , los valores de h, k , r 2 2
2
2
1 23 445 x y 5 25 5 2
2
2
1 23 445 89 x y 5 5 25 5
P á g i n a 4 | 12
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Circunferencia que pasa por dos puntos y cuyo centro está sobre una recta Cuando se estudia Geometría se indica que “Las bisectrices” de un triangulo se cortan en un punto que se llama incentro que es el centro de una circunferencia inscrita en el triangulo”. Ejemplo 2 Calcular la ecuación, en su forma reducida, de la circunferencia inscrita en el triangulo cuyos lados son las rectas:
y 2, y
4 14 12 28 x ,y x 3 3 5 5
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Planteamiento del Problema Determinamos el centro de la circunferencia, con las bisectrices de los ángulos que forman las rectas. Bisectriz de y 2 , con y
12 28 x 5 5
Pasamos las dos ecuaciones a su forma general: Consideramos que el punto P0 de la misma bisectriz esta abajo de
2
,
su distancia dirigida es d 2 , pero como a su vez el mismo punto P0 esta arriba de
1
su distancia dirigida es d1 ; en consecuencia:
d1 d2 Por lo tanto procedemos de la siguiente manera
y20 12 x 5 y 28 0 d d 12 x 5 y 28
y2
122 52 12 12 x 5 y 28 y2 13 1 1(12 x 5 y 28) 13(1) y 2 12 x 5 y 28 13( y 2) 12 x 5 y 28 13 y 26 12 x 18 y 54 0 2 x 3 y 9 0................(1) Como queremos determinar la ecuación de la bisectriz, se tienen que analizar sus distancias dirigidas, que quedarían:
d1 d3 P á g i n a 6 | 12
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Por lo tanto procedemos de la siguiente forma: Bisectriz de y
12 28 4 14 x , con y x 5 5 3 3
Pasamos las dos ecuaciones a su forma general:
12 x 5 y 28 0 4 x 3 y 14 0 12 x 5 y 28 4 x 3 y 14 122 52 42 32 12 x 5 y 28 4 x 3 y 14 13 5 5 12 x 5 y 28 13 4 x 3 y 14 60 x 25 y 140 52 x 39 y 182 60 x 52 x 25 y 39 y 140 182 0 112 x 14 y 42 0 56 x 7 y 21 0................(2) Formamos un sistema de ecuaciones con (1) y (2) para determinar las coordenadas del centro de la circunferencia.
2x 3y 9 0 56 x 7 y 21 0 14x 21 y 63 168 x 21 y 63 182 x x
0
0 0 182
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Calculamos y en
2 x 3 y 9 0; 2(0) 3 y 9 0 3 y 9 y 3 Las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas es 0,3 que también es el centro de la circunferencia inscrita. Determinamos el radio, calculando la distancia del centro a cualquiera de las rectas; usaremos y 2 0 . Sustituimos en la ecuación de distancia de un punto a una recta:
d
Ax1 By1 C
d
Ax1 By1 C
A2 B 2
A2 B 2 Radio 1
1(3) 2 12
1 1 1
Sustituimos en x h y k r 2 , los valores de h, k , r 2 2
2
2 x 0 y 3 12 2
x 2 y 3 1 2
Circunferencia determinada por tres condiciones En geometría se indico que siempre es posible trazar una circunferencia por tres puntos no colineales. Procedíamos en la forma siguiente: uníamos los puntos A, B y C y obteníamos las mediatrices de las cuerdas AB y BC que al interceptarse determinan un punto que es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C.
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A
C B
0
El concepto anterior nos lleva a plantear el problema: obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos. Ejemplo 3 Determinar la ecuación, en su forma general, de la circunferencia que pasa por los puntos: 5,1 ,(2,2) y 4, 2 Planteamiento del Problema Observamos que la ecuación de la circunferencia en su forma general x2 y 2 Dx Ey F 0 , que las constantes arbitrarias o parámetros D, E, F pueden calcularse si establecemos tres ecuaciones que las relacionen: como cada uno de los puntos dados debe cumplir la ecuación de la circunferencia en su forma general, haciendo las sustituciones, tenemos: Para el punto (5,1) : (5)2 12 D(5) E(1) F 0; Para el punto (2,2) : 22 22 D(2) E(2) F 0; Para el punto (4, 2) : 42 (2)2 D(4) E(2) F 0 Realizando las operaciones, queda:
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25 1 5 D E F 0 4 4 2D 2E F 0 16 4 4 D 2 E F 0 5 D E F 26.....(1) 2 D 2 E F 8.......(2) 4 D 2 E F 20......(3) El sistema anterior lo podemos resolver por determinantes o algebraicamente: Solución Algebraica: Trabajamos con (1) y (2):
5D E F 26 2 D 2 E F 8 7 D E
18.......(4)
Ahora trabajamos con (2) y (3):
2 D 2 E F 8 4 D 2 E F 20 2d 4 E
12.......(5)
Formamos un sistema con (4) y (5):
7 D E 18 28D 4 E 72 30 D 60 D 2 2 D 4 E 12 2 D 4 E 12 Calculamos E con la ecuación (4)
7 D E 18 E 18 7 D E 18 7(2) E4 P á g i n a 10 | 12
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Calculamos F con la ecuación (2)
2 D 2 E F 8 2(2) 2(4) F 8 4 8 F 8 F 8 12 F 20 Sustituimos en la forma general de la ecuación de la circunferencia, los valores obtenidos:
D 2, E 4, F 20 x 2 y 2 2 x 4 y 20 0
Numero de soluciones de la ecuación son 12, las cuales son las siguientes:
Si el problema incluyera, además de obtener las coordenadas del centro y el radio, tendríamos que pasar la ecuación a la forma reducida.
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Otro procedimiento para resolver el mismo tipo de problemas, se basa en que “las mediatrices de dos cuerdas de una circunferencia se interceptan ene l centro”. Ejercicios Complementarios 1. Determine las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la circunferencia x 1 y 4 5 . Las rectas pasan por el punto 2
2
2, 7 que es exterior a la circunferencia. Sol. 2 x y 11 0, x 2 y 12 0 2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,2), B(3,4) y es tangente a la recta 3x y 3 0 Sol. Hay dos circunferencias que satisfacen las ecuaciones dadas y sus ecuaciones son: 2
2
3 7 5 x 4 y 1 10 y x y 2 2 2 3. Encontrar el dominio y la imagen si la ecuación de la circunferencia es x 2 y 2 16 2
2
4. Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(2,4) y que es concéntrica a la que tiene por ecuación:
2 x2 2 y 2 10 x 8 y 2 0 . Trazar la gráfica. Sol. x2 y 2 5x 4 y 46 0
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