[COEFICIENTES INDETERMINADOS MÉTODO ANULADOR] UNIDAD 1
Coeficientes Indeterminados Método Anulador Planteamos que una ecuación diferencial lineal de orden n se puede escribir como sigue:
an Dn y an1Dn1 y ... a1Dy a0 y g ( x) En
donde
Dk y
dk y k
, k 0,1......n ,
cuando
nos
(1.1) convenga
dx representaremos también esta ecuación de la forma L( x) g ( x)
donde L representa el orden del operador diferencial lineal de orden n :
L an Dn an1Dn1 .... a1D a0
(1.2)
La notación de operadores no solo es taquigrafía útil en un nivel muy practico la aplicación de los operadores diferenciales nos permite llegar a una solución particular de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. 1. El operador diferencial D n funciones:
anula cada una de las siguientes
1, x, x 2 ,......., x n1
2. El operador diferencial
D n
(1.3) anula cada una de las
siguientes funciones: e x , xe x , x2e x ,......, xn 1e x
(1.4)
n
3. El operador diferencial D 2 2 D 2 2 , anula cada una de las siguientes funciones:
e x cos x, xe x cos x, x 2e x cos x,...., x n 1e x cos x x
x
2 x
e sen x, xe sen x, x e sen x,.........x Ecuaciones Diferenciales
n 1 x
e sen x
(1.5)
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Cuando 0 y n 1 se tiene el caso especial:
x D2 2 cos sen x
(1.6)
Lo anterior nos conduce al punto de la descripción anterior, supongamos que L( y) g ( x) es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y que la entrada g ( x)
consta de sumas y
productos finitos de las funciones mencionadas anteriormente esto es g ( x) es una combinación lineal de funciones de la forma:
k (constante), xm , xme x , xme x cos x y xme x sen x
(1.7)
En donde m es un entero no negativo y y son números reales. Ejemplos Resuelva la respectiva ecuación por el método de los coeficientes indeterminados enfoque anulador Ejemplo 1 y '' 9 y 54
Solución Obtenemos la solución complementaria de la ecuación homogénea y '' m 2 y '' 9 y 0 y' m m 2 9 0 m 3 m 3 0 m1 3, m2 3 Raices Reales Diferentes Por lo tanto la solución complementaria seria: yc C1e3 x C2e 3 x
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Paso 2 Como el operador diferencial D anula a 54, vemos que D( D2 9) 54 es lo mismo que:
D( D2 9) 0 La ecuación auxiliar de la ecuación anterior de tercer orden será
m(m2 9) 0 ó sea m(m 3)(m 3) 0 tiene las raíces: m1 0, m2 3, m3 3 , así su solución debe ser:
C1e3 x C2e3 x
y
C3
Solución Complementaria
Por lo tanto una solución particular debido a C3 Posteriormente sustituimos la primera y segunda derivada de la solución particular propuesta en la ecuación diferencial lineal no homogénea y'p 0
y ''
yp A
p
0
y '' 9 y 54 0 9 A 54 A 6
Por lo tanto la solución particular sería:
yp 6 Por lo tanto la solución general es:
y yc y p y C1e3x C2e3x 6
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Ejemplo 2 y y ''' x e x , y(0) 0, y '(0) 0, y ''(0) 0, y '''(0) 0 4
Solución Obtenemos la solución complementaria de la ecuación homogénea y 4 m 4 y y ''' 0 3 y ''' m m 4 m3 0 m3 m 1 0 4
m1 m2 m3 0 Raices Reales Repetidas m4 1 Raiz real diferente Por lo tanto la solución complementaria seria: yc C1 C2 x C3 x 2 C4e x
Paso 2 a)
ex 1 y n 1
D 1 e x 0
b) D2 x 0 D2 D 1 0 Aniquila x e x
Por lo tanto:
D3 D 1 D 2 D 1 D 2 D 1 x e x D5 D 1 0 2
La ecuación auxiliar de la ecuación anterior de tercer orden será
m5 (m 1)2 0 tiene las raíces: m1 m2 m3 m4 m5 0, m6 m7 1 , así su solución debe ser:
Ecuaciones Diferenciales
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y C1 C2 x C3 x 2 C6e x C4 x3 C5 x 4 C7 xe x Solución Complementaria
Por lo tanto una solución particular debido a C4 , C5 , C7 Posteriormente sustituimos la primera y segunda derivada de la solución particular propuesta en la ecuación diferencial lineal no homogénea
y p Ax3 Bx 4 Cxe x y ' p 3 Ax 2 4 Bx3 Cxe x Ce x y '' p 6 Ax 12 Bx 2 Cxe x Ce x Ce x y '' p 6 Ax 12 Bx 2 Cxe x Ce x Ce x y ''' p 6 A 24 Bx Cxe x Ce x Ce x Ce x y '''' p 24 B Cxe x Ce x Ce x Ce x Ce x 4 y y ''' x e x
24 B Cxe x Ce x Ce x Ce x Ce x
6 A 24Bx Cxe x Ce x Ce x Ce x x e x 24 B Ce x 6 A 24 Bx e x x 24 B 6 A 0, C 1 , 24 B 1 B 1 / 24 A 1 / 6
Por lo tanto la solución particular sería:
yp 6 Por lo tanto la solución general es: 1 1 y yc y p y C1 C2 x C3 x 2 C6e x x3 x 4 xe x 6 24
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Por lo tanto las derivadas de la solución general para encontrar las constantes C1 , C2 , C3 y C6 3 4 y ' C2 2C3 x C6e x x 2 x 3 xe x e x 6 24 6 12 y '' 2C3 C6e x x x 2 xe x e x e x 6 24 y '' 2C3 C6e x x
12 2 x xe x 2e x 24
y ''' C6e x 1 x xe x e x e x e x y ''' C6e x 1 x xe x 3e x
Por lo tanto utilizamos las derivadas junto con las condiciones iniciales para encontrar el valor de las constantes. Por lo tanto sustituimos la condición inicial y(0) 0 y tenemos: 1 1 0 C1 C2 (0) C3 (0)2 C6e0 (0)3 (0)4 (0)e0 6 24 0 C1 C6
Por lo tanto sustituimos la condición inicial y '(0) 0 y tenemos: 3 4 0 C2 2C3 (0) C6e0 (0) 2 (0)3 (0)e0 e0 6 24 0 C2 C6
Por lo tanto sustituimos la condición inicial y ''(0) 0 y tenemos: 0 2C3 C6e0 0
12 2 (0) (0)e0 2e0 24
2 2C3 C6
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Por lo tanto sustituimos la condición inicial y '''(0) 0 y tenemos: 0 C6e0 1 0 (0)e0 3e0 0 C6 1 3 C6 2
Por lo tanto nuestro sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma: 0 C1 C6 1 C2 C6 C1 2, C2 1, C3 0 2 2C3 C6 2 C6
Por lo tanto sustituyendo el valor de las constantes tenemos: 1 1 y 2 x (0) x 2 2e x x3 x 4 xe x 6 24 1 1 y 2 x 2e x x3 x 4 xe x 6 24
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