Problemas Problema 1 Encuentre las longitudes de los lados del triangulo con vértices en A 3, 4,1 , B(5, 3,0) y C (6, 7,4) . ¿Es ABC un triangulo rectángulo isósceles? Solución Podemos encontrar los lados de un triangulo usando la formula de la distancia entre los pares de vértices:
AB
5 3
BC
6 5
CA
3 6
2
3 4 0 1 4 1 1 6 2
2
2
7 3 4 0 1 16 16 33
2
4 7 1 4 9 9 9 27 3 3
2
2
2
2
El Teorema de Pitágoras se satisface por AB CA BC , ABC es 2
2
2
un triangulo rectángulo. ABC No es isósceles, además dos de sus lados no tienen la misma longitud.
Problema 2 Describa verbalmente la región de 3 representada por la desigualdad 1 x2 y 2 z 2 25 .
Solución La inecuación 1 x2 y 2 z 2 25 es equivalente a 1 x 2 y 2 z 2 5 , por lo tanto la región consiste en los puntos que van del origen en el rango de 1 a 5. Es decir son todos los puntos concéntricos a la esfera con radio 1 y 5 y centro C (h, , k ) C 0,0,0 .
Problema 3 Encuentre la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene puntos extremos 2,1,4 y 4,3,10 . Solución A través de los medios puntos del diámetro (el diámetro de la esfera) es C 3,2,7 x x y y2 z1 z2 Q 1 2 , 1 , 2 2 2 4 2 3 1 10 4 Q , , 2 2 2 Q 3,2,7
El radio es la mitad del diámetro, por lo tanto
r
1 2
4 2 3 1 10 4 2
2
2
1 44 11 2
Entonces la ecuación de la esfera es
x 3 y 2 z 7 2
2
2
11
Problema 4 Encuentre la ecuación de la esfera con centro 0,1, 1 y radio 4. ¿Cuál es la intersección de esta esfera con el plano yz ? Solución Tenemos que C h, , k
x h
2
y 1 z 1 16 x y 1 z 1 16 2
2
2
Con la condición de que x 0 La intersección 2 2 y 1 z 1 16
2
2