[ECUACIONES DIFERENCIALES] UNIDAD 1
Ecuaciones Diferenciales Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas. Ejemplo 1 Las siguientes son ecuaciones diferenciales que incluyen la función desconocida y .
dy 5x 3 dx
(1.1) 2
d2y dy e 2 1 2 dx dx y
3
(1.2)
d2y dy 3 dy 2 3 y y 5x dx dx dx
(1.3)
2 y 2 y 4 2 0 t 2 x
(1.4)
7
2
Una ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) si la función desconocida depende solamente de una variable independiente. Si la función desconocida depende de dos o más variables independientes, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial parcial (EDP). Ejemplo 2 De las ecuaciones (1.1) a la (1.4) son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias, pues la función desconocida y depende únicamente de la variable x . La ecuación (1.5) es una ecuación diferencial parcial, pues y depende tanto de la variable t como la de la x .
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El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación. Ejemplo 3 La ecuación (1.1) es una ecuación diferencial de primer orden; (1.2), (1.4) y (1.5) son ecuaciones diferenciales de segundo orden. [Obsérvese en (1.4) que el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación es dos.] La ecuación (1.3) es una ecuación diferencial de tercer orden. NOTACIÓN
y ', y '', y ''', y ,...., y 4
Las expresiones
n
se usan a menudo para
representar respectivamente a la primera, la segunda, la tercera, la cuarta,….., la n-ésima derivada de y con respecto a la variable independiente en consideración. De este modo,
y '' representa
d 2 y / dx 2 si la variable independiente es x , pero con d 2 y / dp 2 se
representa que la variable independiente es p . Obsérvese que los paréntesis se usan en y
n
para distinguirla de la n-
y n . Si la variable independiente es tiempo,
ésima potencia,
generalmente denotado por t , las comillas a menudo se remplazan
por puntos. Así,
y, y
y
y
representan dy / dt , d 2 y / dt 2 y d 3 y / dt 3 ,
respectivamente. SOLUCIONES Una solución de una ecuación diferencial en la función y desconocida y la variable independiente x en el intervalo , es una función y ( x) que satisface la ecuación diferencial de manera idéntica para toda x en .
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Ejemplo 4 ¿Es y( x) c1sen2 x c2 cos 2 x una solución de y '' 4 y 0 , donde c1 y c2 son constantes arbitrarias? Derivando y , tenemos que
y ' 2c1 cos2 x 2c2 sen2 x y y '' 4c1sen2 x 4c2 cos2 x De aquí que, y '' 4 y 4c1sen2 x 4c2 cos 2 x 4 c1sen2 x c2 cos 2 x 4c1 4c1 sen2 x 4c2 4c2 cos 2 x 0
Por esto, y c1sen2 x c2 cos2 x satisface la ecuación diferencial para todos los valores de x y es una solución en el intervalo , . Ejemplo 5 Determine si y x 2 1 es una solución de y ' y 2 1 4
Obsérvese que el lado izquierdo de la ecuación diferencial debe ser no negativo para cada función real y ( x) y cualquier x , puesto que es la suma de términos elevados a la segunda y cuarta potencias, en tanto que el lado derecho de la ecuación es negativo. Debido a que ninguna función y ( x) satisfará esta ecuación, la ecuación diferencial no tiene solución. Vemos que algunas ecuaciones diferenciales tienen un número infinito de soluciones (ejemplo 4), mientras que otras ecuaciones diferenciales no tienen solución (ejemplo 5). También es posible que una ecuación diferencial tenga exactamente una solución. Considere
y '
4
y2 0 ,
que por idénticas razones a las expresadas en el ejemplo 5 solo tiene una solución y 0 .
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Una solución particular de una ecuación diferencial es cualquier solución única. La solución general de una ecuación diferencial es el conjunto de todas las soluciones. Ejemplo 6 La solución general a la ecuación diferencial del ejemplo 4 se puede y c1sen2 x c2 cos2 x . Es decir, cada solución demostrar que es particular de la ecuación diferencial tiene ésta como forma general. Algunas soluciones particulares son: a) y 5sen2 x 3cos2 x (con c1 5 y c2 3 ), b) y sen2 x (con c1 1 y c2 0 ) y c) y 0 (con c1 c2 0 ). La solución general de una ecuación diferencial no se puede expresar siempre por medio de una formula única. Como un ejemplo, considere la ecuación diferencial y ' y 2 0 , que tiene dos soluciones particulares y 1/ x y y 0 . Problemas de Valor Inicial y de Valores en la Frontera Una ecuación diferencial acompañada de condiciones adicionales sobre la función desconocida y sus derivadas, todas dadas al mismo valor de la variable independiente, constituyen un problema de valor inicial. Las condiciones adicionales son condiciones iniciales. Si las condiciones adicionales se dan a más de un valor de la variable independiente, el problema de valores en la frontera y las condiciones son las condiciones en la frontera. Ejemplo 7 El problema y '' 2 y ' e x ; y( ) 1, y '( ) 2 es un problema de valor inicial, porque las dos condiciones adicionales están ambas dadas en x . El problema y '' 2 y ' e x ; y(0) 1, y(1) 1 es un problemas de
valores frontera, porque las dos condiciones adicionales están dadas para los diferentes valores x 0 y x 1 . Profesor: Dr. Gerson Villa González
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Una solución para un problema de valor inicial o bien de valores en la frontera es una función y ( x) que resuelve a la ecuación diferencial y además satisface a todas las condiciones adicionales. Ejercicios Complementarios 1. Determine el orden, la función desconocida y la variable independiente de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) y ''' 5xy ' e x 1. Tercer orden, porque la derivada de mayor orden es la tercera. La función desconocida es y ; la variable independiente es x . b) ty '' t 2 y ' sent y t 2 t 1. Segundo orden, porque la derivada de mayor orden es la segunda. La función desconocida es y ; la variable independiente es t . d 2t dt c) s st s . Segundo orden, porque la derivada de mayor 2 ds ds orden es la segunda. La función desconocida es t , la variable 2
independiente es s . 10
d 4b db d) 5 4 7 b7 b5 p . Cuarto orden, porque la derivada dp dp de mayor orden es la cuarta. Al elevar derivadas a varias potencias no se altera el número de derivadas implicadas. La función desconocida es b ; la variable independiente es p .
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2. Determine el orden, la función desconocida y la variable independiente de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. d 2x a. y 2 y 2 1 . Segundo orden. La función desconocida es x ; la dy
variable independiente es y . 2
dx b. y x 2 1 . Primer orden, porque la derivada de mayor dy orden es la primera, aun cuando este elevada a la segunda potencia. La función desconocida es x ; la variable independiente es y . c. 2 x ''' 3x ' 5x 0 . Tercer orden. La función desconocida es x ; la variable independiente es t . d. 17 y 4 t 6 y 2 4.2 y5 3cos t
.
Cuarto
orden.
La
función
desconocida es y ; la variable independiente es t . Obsérvese la diferencia de notación entre la cuarta derivada y (4) , con paréntesis, y la quinta potencia y 5 , sin paréntesis. 3. Determine si y( x) 2e x xe x es una solución de y '' 2 y ' y 0 Derivando y ( x) , se sigue que y '( x) 2e x e x xe x e x xe x y ''( x) e x e x xe x xe x
Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial, obtenemos
y '' 2 y ' y xe x 2 e x xe x 2e x xe x 0 Por lo tanto, y ( x) es una solución.
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4. ¿Es y( x) 1 una solución de y '' 2 y ' y x ? A partir de
y( x) 1 , tenemos que y '( x) 0
y
y ''( x) 0 .
Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial, obtenemos y '' 2 y ' y 0 2(0) 1 1 x De este modo, y( x) 1 , no es una solución. 5. Demuestre que y 1/ x 2 1 es una solución de y ' 2 xy 2 0 en
(1,1) pero no en cualquier intervalo más grande que contenga a
. En
1,1 ,
y 1 / x 2 1 y su derivada
y ' 2 x / x 2 1
2
son
funciones bien definidas. Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial, tenemos
y ' 2 xy 2
1 2 x 2 x 2 1 0 2 x 1 2x
De este modo, y 1/ ( x2 1) es una solución de 1,1 . Note, sin embargo, que 1 / x 2 1 no esta definida en x 1 , y por lo tanto no podría ser una solución en ningún intervalo que contenga cualquiera de estos dos puntos. 6. Determine si cualquiera de las funciones a) y1 x sen2 x , b)
1 y2 x x ó c)n y3 ( x) sen2 x es una solución para el problema de 2 valor inicial y '' 4 y 0; y(0) 0, y '(0) 1 a) y1 ( x) es una solución para la ecuación diferencial y satisface la primera condición inicial
y(0) 0 . Sin embargo,
y1 ( x)
no
satisface la segunda condición inicial
y ' x 2cos2x; y ' 0 2cos 0 2 1; 1
1
de aquí que no sea una
solución para el problema de valor inicial. b) y2 ( x) satisface ambas condiciones iniciales, pero no satisface la ecuación diferencial; por eso, y2 ( x) no es una solución. Profesor: Dr. Gerson Villa González
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c) y3 ( x) satisface la ecuación diferencial y ambas condiciones iniciales; por lo tanto, es una solución para el problema de valor inicial. 7. Demuestre que y ln x es una solución de xy '' y ' 0 en 0, pero no es una solución en , . En
0,
tenemos y ' 1/ x
y y '' 1/ x 2 . Sustituyendo estos
valores en la ecuación diferencial, obtenemos
1 1 xy '' y ' x 0 x x De este modo, y ln x es una solución en 0, Observe que y ln x no podría ser una solución en , pues el logaritmo no esta definido para los números negativos y para el cero. 8. Halle la solución para el problema de valor inicial y ' y 0; y(3) 2 , si la solución general de la ecuación diferencial se sabe que es y( x) c1e x , donde c1 es una constante arbitraria.
Puesto que y ( x) es una solución de la ecuación diferencial para cada valor de c1 que también satisfaga la condición inicial. Obsérvese que y(3) c1e3 . Para satisfacer la condición inicial
y(3) 2 , es suficiente escoger
c1 , de modo que
c1e3 2 .
Sustituyendo este valor por c1 en y ( x) , obtenemos y( x) 2e3e x como la solución del problema de valor inicial. 9. Encuentre una solución para el problema de valores en la frontera y '' 4 y 0; y / 8 0, y / 6 1 , si la solución general para la
ecuación diferencial es y( x) c1sen2 x c2 cos2 x .
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Observe que
1 1 y c1sen c2 cos c1 2 c2 2 8 4 4 2 2 Para satisfacer la condición y( / 8) 0 , necesitamos
1 1 c1 2 c2 20 2 2
(5)
Además
1 1 y c1sen c2 cos c1 3 c2 6 3 3 2 2 Para satisfacer la segunda condición, y( / 6) 1, precisamos
1 1 3c1 c2 1 2 2
(6)
Resolviendo (5) y (6) simultáneamente, hallamos c1 c2
2 3 1
Sustituyendo obtenemos estos valores en y ( x) , obtenemos y ( x)
2 sen2 x cos 2 x 3 1
Como la solución al problema de valores en la frontera. 10.
Encuentre una solución para el problema de valores frontera
y '' 4 y 0; y(0) 1, y 2 , si se sabe que la solución general para 2 la ecuación diferencial es y( x) c1sen2 x c2 cos2 x .
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Puesto que y(0) c1sen0 c2 cos0 c2 , debemos escoger c2 1 para satisfacer
la
y(0) 1.
condición
y / 2 c1sen c2 sen c2 ,
debemos
elegir
Dado
que
c2 2
para
satisfacer la segunda condición, y / 2 2 . Así, para satisfacer ambas condiciones en la frontera de forma simultánea, requerimos que c2 sea igual a 1 y a 2 , lo cual es imposible. Por lo tanto, no existe una solución para este problema. 11. Determine c1 y c2 de modo que y( x) c1sen2 x c2 cos2 x 1 satisfaga las condiciones y / 8 0 y y '( / 8) 2 Obsérvese que
1 1 y c1sen c2 cos 1 c1 2 c2 2 1 8 4 4 2 2 Para satisfacer la condición y( / 8) 0 , necesitamos
que
1 1 c1 2 c2 2 1 0 o de manera equivalente, 2 2 c1 c2 2
(7)
Dado que y '( x) 2c1 cos2 x 2c2 sen2 x , y ' 2c1 cos 2c2 sen 8 4 4 1 1 2c1 2 2c2 2 2c1 2c2 2 2
Para satisfacer la condición
y ' / 8 2 , necesitamos que
2c1 2c2 2 , o de manera equivalente,
c1 c2 1
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(8)
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Resolviendo simultáneamente (7) y (8), obtenemos c1
2 1
1 2 1 2 Determine c1 y c2 de modo tal que y( x) c1e2 x c2e x 2senx
y c2 12.
1 2
satisfaga las condiciones y(0) 0 y y '(0) 1 . Porque sen0 0, y(0) c1 c2 . Para satisfacer la condición y(0) 0 , necesitamos que
c1 c2 0
(9)
A partir de y '( x) 2c1e2 x c2e x 2cos x
Tenemos que
y '(0) 2c1 c2 2 . Para satisfacer la condición
y '(0) 1, necesitamos que 2c1 c2 2 1, o bien 2c1 c2 1
(10)
Resolviendo simultáneamente (9) y (10), obtenemos c1 1 y c2 1 Problemas Adicionales 1. En los problemas siguientes determine a) el orden, b) la función desconocida y c) la variable independiente para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas. a.
y ''
2
3 yy ' xy 0
b. x 4 y 4 xy ''' e x c. t 2 y '' ty ' 1 sent d. y 4 xy ''' x2 y '' xy ' seny 0 e.
d nx y2 1 n dy
d2y f. 2 dx
3/2
yx
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d 2r d 2r dr g. 2 2 y 0 dy dy dy
d 7b 3p h. dp 7 7
db i. 3 p dp j.
y 2 y 4 y 5 y8 e x 6
3
2. ¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial y ' 5 y 0 ? a. y 5 b. y 5 x c. y x5 d. y e5x e. y 2e5 x f. y 5e2 x 3. ¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial y ' 3 y 6 ? a. y 2 b. y 0 c. y e3 x 2 d. y e2 x 3 e. y 4e3 x 2 4. ¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial y ' 2ty t ? a. y 2 b. y
1 2
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c. y et
2
d. y et 2
1 2
1 2 5. ¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación
e. y 7et 2
diferencial?
dy 2 y 4 x 4 dx xy 3
a. y e x b. y senx c. y 4e x d. y 0 1 2 x 1 2 6. ¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial y '' xy ' y 0 ?
e. y
a. y x 2 b. y x c. y 1 x 2 d. y 2 x 2 2 e. y 0 7. ¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial x '' 4 x ' 4 x et ? a. x et b. x e2t c. x e2t et d. x te2t et e. x e2t tet
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8. En los problemas siguientes, halle c
de modo tal que x(t ) ce2t
satisfaga la condición inicial dada. a. x(0) 0 b. x(0) 1 c. x(1) 1 d. x(2) 3 9. En los problemas siguientes, halle
c
de modo tal que
y( x) c 1 x 2 satisfaga la condición inicial dada
a. y(0) 1 b. y(1) 0 c. y(2) 1 d. y(1) 2 10.
En los problemas siguientes, halle c1
y c2
de modo tal que
y( x) c1senx c2 cos x satisfaga las condiciones dadas. Determine si
las condiciones dadas son condiciones iniciales o condiciones en la frontera. a. y(0) 1, y '(0) 2 b. y 0 2, y '(0) 1 c. y 1, y ' 2 2 2 d. y (0) 1, y 1 2 e. y(0) 1, y '( ) 1 f. y '(0) 1, y ' 1 2 g. y(0) 1, y( ) 2
h. y(0) 0, y '(0) 0
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i.
y (0) 0, y ' 1 2
y 0, y 1 4 6 En los problemas siguientes, halle los valores de c1
j.
11.
y c2
de
modo tal que las funciones dadas satisfagan las condiciones iniciales prescritas. a. y( x) c1e x c2e x 4senx; y 0 1, y '(0) 1 b. y( x) c1x c2 x 2 1; y 1 1, y '(1) 2 c. y( x) c1e x c2e2 x 3e3 x ; y 0 0, y '(0) 0 d. y( x) c1senx c2 cos x 1; y 0, y '( ) 0 e. y( x) c1e x c2 xe x x 2e x ; y 1 1, y '(1) 1
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