Parabola 2013

Page 1

CONICA: PARABOLA

Parábola Una sección cónica (o simplemente cónica) es la intersección de un plano y un cono doble (conos opuestos por el vértice). Observe la sig. Figura 1 que en la formación de las cuatro cónicas básicas el plano de intersección no pasa por el vértice del cono, cuando el plano pasa por el vértice, la Figura B resultante es una cónica degenerada como se muestra en la figura.

Figura 1.

Cónicas Básicas

Figura 2.

Cónicas Degeneradas

Hay varias formas de abordar el estudio de las cónicas en términos de las intersecciones de planos y conos o bien se pueden definir en forma algebraica en términos de la ecuación general de segundo grado. P á g i n a 1 | 18

CONICA: PARABOLA

Ax2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0

(1.1)

Sin embargo, se estudia una tercera forma en el que cada una de las cónicas se define como un conjunto de puntos (colección) que satisfacen una propiedad geomÊtrica. Paråbolas La función cuadråtica f ( x)  ax 2  bx  c es una paråbola que se abre hacia arriba o hacia abajo. Definición de Paråbola Una paråbola es el conjunto de puntos

 x, y 

del plano que son

equidistantes de una recta fija (directriz) y de un punto fijo (foco) que no estĂĄ en la recta.

đ?‘‘2 Foco đ?‘‘1 đ?‘‘1

Directriz

Figura 3.

đ?‘‘2

VĂŠrtice

ParĂĄbola

El punto medio entre el foco y la directriz se denomina vĂŠrtice y la recta que pasa por el foco y el vĂŠrtice se denomina eje de la parĂĄbola. P ĂĄ g i n a 2 | 18

CONICA: PARABOLA

Forma EstĂĄndar de una ParĂĄbola La forma estĂĄndar de la ecuaciĂłn de la parĂĄbola con vĂŠrtice en (h, k ) es la siguiente:

 x  h  4 p  y  k , p  0 2  y  k   4 p  x  h, p  0 2

Ejevertical , Directriz y  k  p Ejevertical , Horizontal x  h  p

El foco se encuentra en el eje de la paråbola a P unidades (distancia dirigida) del vÊrtice. Si el vÊrtice estå en el origen  0,0  . La ecuación adopta una de las siguientes formas: x 2  4 py

Eje Vertical

y 2  4 px

Eje Horizontal

Como se muestra a continuaciĂłn đ??¸đ?‘—đ?‘’: đ?‘Ľ = â„Ž

đ??šđ?‘œđ?‘?đ?‘œ (â„Ž, đ?‘˜ + đ?‘?) đ?‘?>0

đ?‘‰đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘’ (â„Ž, đ?‘˜)

đ??ˇđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§ đ?‘Ś = đ?‘˜ − đ?‘?

đ??´) (đ?‘Ľ − â„Ž)2 = 4đ?‘?(đ?‘Ś − đ?‘˜) Eje Vertical đ?‘? > 0

P ĂĄ g i n a 3 | 18

CONICA: PARABOLA 𝐸𝑗𝑒: 𝑥 = ℎ 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 = 𝑘 − 𝑝 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (ℎ, 𝑘) 𝑝<0

𝐹𝑜𝑐𝑜 (ℎ, 𝑘 + 𝑝)

𝐵) (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) Eje Vertical 𝑝 < 0

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 = ℎ − 𝑝

𝑝>0

𝐸𝑗𝑒: 𝑦 = 𝑘

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (ℎ, 𝑘)

𝐹𝑜𝑐𝑜 (ℎ + 𝑝, 𝑘)

𝐶) (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) Eje Horizontal 𝑝 > 0

P á g i n a 4 | 18

CONICA: PARABOLA

đ?‘?<0

đ??ˇđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§ đ?‘Ľ = â„Ž − đ?‘?

đ??¸đ?‘—đ?‘’: đ?‘Ś = đ?‘˜

đ??šđ?‘œđ?‘?đ?‘œ (â„Ž + đ?‘?, đ?‘˜)

đ??šđ?‘œđ?‘?đ?‘œ (â„Ž + đ?‘?, đ?‘˜)

đ??ˇ) (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 = 4đ?‘?(đ?‘Ľ − â„Ž) Eje Horizontal đ?‘? < 0

Problema 1 Determinación del foco de una paråbola 1 1 Determine el foco de una paråbola dada por y 2   x 2  x  2 2

SoluciĂłn Para determinar el foco, la ecuaciĂłn se convierte a la forma estĂĄndar completando el cuadrado.

P ĂĄ g i n a 5 | 18

CONICA: PARABOLA

1 1 y   x2  x  Escriba la ecuación original 2 2 2 y  x 2  2 x  1 Multiplique cada lado por - 2 1  2 y  x2  2 x

Sume 1 cada lado

1  1  2 y  x 2  2 x  1 Complete el cuadrado 2  2 y  x2  2 x  1

Combine terminos semejantes

2( y  1)  ( x  1) 2 Forma Estandar Comparando esta ecuación con

 x  h

2

 4 p( y  k )

Se concluye que h  1, k  1 y p  

1 2

Como p es negativa, la parĂĄbola se abre hacia abajo como se muestra en la siguiente figura. đ?‘‰đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘’(−1,1)

1 đ??šđ?‘œđ?‘?đ?‘œ (−1, ) 2

1 1 đ?‘Ś = − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ + 2 2

P ĂĄ g i n a 6 | 18

CONICA: PARABOLA

Problema 2 Vértice en el origen Encuentre la ecuación estándar de la parábola con vértice en el origen y foco (2,0) Solución El eje de la parábola es horizontal y pasa por  0,0  y  2,0  como se muestra en la siguiente figura

P á g i n a 7 | 18

CONICA: PARABOLA

𝑦 2 = 8𝑥

𝐹𝑜𝑐𝑜(2,0)

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒(0,0)

P á g i n a 8 | 18

CONICA: PARABOLA

Por lo tanto, la forma estándar es y 2  4 px donde h  0, k  0 y p  2 . La ecuación es:

y 2  8x Problema 3 Determinación de la ecuación estándar de la parábola con vértice  2,1 y foco  2,4  Solución El eje de la parábola es vertical y pasa por  2,1 y  2,4  . Considere la ecuación

 x  h

2

 4 p y  k 

Donde h  2, k  1 y p  4  1  3 . Por lo tanto es la forma estándar es

 x  2

2

 12  y  1

La forma cuadrática más común se puede obtener como sigue

 x  2

2

 12  y  1 

x 2  4 x  4  12 y  12  x 2  4 x  16  12 y  1 2  x  4 x  16   y 12

P á g i n a 9 | 18

CONICA: PARABOLA

đ??šđ?‘œđ?‘?đ?‘œ(2,4)

(đ?‘Ľ − 2)2 = 12(đ?‘Ś − 1) đ?‘‰đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘’(2,1)

Problemas de AplicaciĂłn DiseĂąo de un camino. Con frecuencia los caminos se diseĂąan con superficies parabĂłlicas para permitir que escurra la lluvia. Un camino con 10 metros de ancho esta 0.12 metros mĂĄs alto en el centro, que en uno de los lados (vĂŠase la siguiente figura).

đ?‘†đ?‘’đ?‘?đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘œ

0.12đ?‘š 10đ?‘š

P ĂĄ g i n a 10 | 18

CONICA: PARABOLA

a. Encuentre la ecuaciĂłn de una parĂĄbola que modele la superficie del camino (suponga que el origen estĂĄ en el centro del camino). đ?‘‰đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘’(0,0)

đ??šđ?‘œđ?‘?đ?‘œ(0,0.12)

5đ?‘š

5đ?‘š

10đ?‘š

Puntos de la parĂĄbola

 5,0.12 Por lo tanto tenemos

x 2  4 py ďƒž

 ď‚ą5   4 p  0.12  ďƒž 2

25  0.48 p ďƒž 52 ď‚ť p ďƒž x 2  4  52 y  ďƒž x 2  208 y ďƒž y

1 2 x 208

P ĂĄ g i n a 11 | 18

CONICA: PARABOLA

Orbita Satelital. Un Satélite MEO con una órbita circular a 160 kilómetros de altura alrededor de la Tierra tiene una velocidad aproximadamente 28,160 kilómetros por hora. Si esta velocidad se multiplica por 2 , el satélite tendrá la velocidad mínima necesaria para escapar de la gravedad de la tierra y seguirá una trayectoria parabólica con el centro de la Tierra por foco.

6596𝑘𝑚

𝑇𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑐𝑎

6436 𝑘𝑚 𝑂𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

P á g i n a 12 | 18

CONICA: PARABOLA

a. Encuentre la velocidad de escape del satélite

V  (28160) 2  39824km / hr b. Halle una ecuación del trayecto parabólico del satélite (suponga que el radio de la tierra es de 6436 kilómetros) p0

p  6596 Foco(0, 6596) Vertice(0,0) ( x  h) 2  4 p( y  k ), p  0  ( x  0) 2  4  6596  y  6596  x 2  26384  y  6596 

P á g i n a 13 | 18

CONICA: PARABOLA

Problemas Complementarios Problema 1 Se lanza una pelota desde la cima de una torre de 23 metros de altura con una velocidad de 9.8 metros por segundo. a. Determine la ecuación de la trayectoria parabólica b. ¿Cuál es la distancia que recorre la pelota horizontalmente antes de golpear el suelo? Problema 2 Encontrar las coordenadas de los puntos donde la recta 2 y  x  4 corta a la parábola 2 y  x 2  2  0 . Determinar los puntos donde la parábola corta los ejes de coordenadas. Comprobar los resultados construyendo la gráfica respectiva. Problema 3 Determinar la ecuación de una parábola cuyo eje de simetría sea el eje de las ordenadas, cuyo foco es el origen y pasa por el punto (4,3). ¿Cuáles son los puntos donde la curva corta a los ejes?, ¿Cuál es su vértice y cual su directriz?

P á g i n a 14 | 18

CONICA: PARABOLA

P รก g i n a 15 | 18

CONICA: PARABOLA

P รก g i n a 16 | 18

CONICA: PARABOLA

P รก g i n a 17 | 18

CONICA: PARABOLA

P รก g i n a 18 | 18

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.